Capítulo 5. Plaxis: Modelo Hardening-Soil

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1 Capítulo 5. Plaxis: Modelo Hardening-Soil 73

2 5.1. Introducción y formulación del modelo Plaxis comenzó su desarrollo en la Universidad Técnica de Delft en 1987, el objetivo inicial era desarrollar un código de elementos finitos de uso sencillo para analizar el comportamiento de los diques y terraplenes construidos sobre los suelos blandos de los ríos de las lowlands de Holanda. En los años siguientes, Plaxis creció para cubrir otras muchas áreas de la ingeniería geotécnica hasta conseguir formar en 1993, debido a sus continuas actividades de crecimiento, una compañía llamada Plaxis BV. El comportamiento mecánico de los suelos puede ser modelado con diferentes grados de precisión, la versión Plaxis 7.2, con la que se simularán algunas de las trayectorias triaxiales efectuadas, cuenta con los modelos elasto-plástico perfecto de Mohr-Coulomb y Hardening-Soil de plasticidad endurecible, entre otros. El modelo elasto-plástico de Mohr-Coulomb involucra únicamente cinco parámetros, el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν para la elasticidad del suelo, el ángulo de rozamiento interno φ y la cohesión c para la resistencia y plasticidad, y ψ como el ángulo de dilatancia. En contraste con un modelo elasto-plástico perfecto, la superficie de fluencia de un modelo de plasticidad endurecible no es fija en el espacio de las tensiones principales, ya que ésta puede expandirse debido a deformaciones plásticas. Cuando una probeta de suelo se somete a una tensión desviadora, el suelo muestra un decrecimiento de rigidez y simultáneamente se desarrollan deformaciones plásticas irreversibles. En el caso especial de un ensayo triaxial drenado, la relación observada entre la deformación axial y la tensión desviadora puede ser bastante aproximada a una hipérbola. Esta relación fue formulada en primer lugar por Kondner (1963) y usada posteriormente en el modelo de Duncan & Chang (197). El modelo Hardening-Soil supera a este primer modelo hiperbólico en tres aspectos: por usar la teoría de la plasticidad en vez de la teoría de la elasticidad, por incluir la dilatancia del suelo y por introducir un yield cap (cierre de la superficie de fluencia sobre el eje de tensión isótropa p del espacio de Cambridge) [11]. La idea básica para la formulación del modelo Hardening-Soil es la relación hiperbólica entre la deformación axial ε a y la tensión desviadora q, que se muestra en la figura 5.1. En los ensayos triaxiales consolidados drenados esta relación puede ser descrita mediante la siguiente expresión [12]. 1 q ε a = para q < qf 2 E 1 q/ q 5 a (5.1) Figura 5.1. Relación hiperbólica tensión-deformación para ensayos triaxiales consolidados drenados [11]. 74

3 En la expresión anterior q a es el valor asintótico de resistencia y E 5 es el modulo de Young correspondiente al alcanzar el 5 % de la tensión desviadora de rotura q f. La expresión para determinar la tensión desviadora de rotura q f se deriva del criterio de rotura de Mohr- Coulomb, que implica los valores de resistencia de c y φ', mientras que q a es una fracción de q f, tal como se muestra en las siguientes expresiones [12]. 6 sen φ' qf q f = (p + c 'cotan φ ') qa = 3 sen φ' R f (5.2) (5.3) Cuando q = q f, el criterio de rotura se satisface y ocurre la plasticidad perfecta de acuerdo con el criterio de Mohr-Coulomb. En la expresión (5.1), el valor de E 5 es dependiente de la tensión de cámara σ 3 según la siguiente expresión [12] (recordar la expresión derivada de Janbu (4.16) en el apartado 4.4.1), donde E 5 es el módulo de rigidez de erencia correspondiente a la tensión de cámara de erencia σ. E σ + φ 3 c cotan = E σ + φ c cotan 5 5 m (5.4) La dependencia potencial de la rigidez respecto de la tensión es una característica básica del modelo Hardening-Soil. Además, para describir la rigidez del suelo de forma mucha más precisa que el modelo de Mohr-Coulomb, Hardening-Soil tiene en cuenta la rigidez que presenta el suelo en las trayectorias de descarga-recarga mediante el módulo elástico E ur [12]. E ur σ + φ 3 c cotan = Eur σ + φ c cotan m (5.5) Las componentes elásticas de las deformaciones axial ε a y radial ε r, de acuerdo con la expresión (3.7) se calculan mediante las siguientes expresiones [12], donde ν ur es el coeficiente de Poisson para la descarga-recarga. e q e ε = ε = ν E a r ur ur q E ur (5.6) (5.7) Figura 5.2. Determinación del valor de E oed en ensayos edométricos [11]. La misma dependencia potencial se presenta de nuevo para obtener la rigidez respecto a compresiones unidimensionales mediante el módulo edométrico E oed, tal como se muestra a continuación [12], donde hay que notar que se utiliza la variable σ 1 en vez de σ 3, pues en un 75

4 ensayo edométrico ésta es la tensión conocida. El valor del parámetro E oed, según se muestra en la figura 5.2, el la pendiente de la recta tangente a la curva σ 1 -ε a para una tensión de σ. E oed σ 1 + c cotanφ = Eoed σ + c cotanφ m (5.8) Como valores típicos promedios en varios suelos se tienen las siguientes relaciones orientativas entre E 5, E ur y E oed [11], aunque suelos muy rígidos o muy blandos pueden presentar otras relaciones. E 3E E E (5.9) (5.1) ur 5 oed 5 Al igual que en el resto de modelos de plasticidad, Hardening-Soil mantiene una relación entre la deformación plástica volumétrica ε p p y la deformación plástica de corte ε p q, a modo de ley fluencia. Esta relación entre implica un ángulo de dilatancia ψ que viene determinado mediante la siguiente expresión [11], deducida de la presentada anteriormente como (3.31). senφm senφcs senψ= 1 sen φ sen φ (5.11) m cs Un último parámetro dentro del modelo Hardening-Soil es el coeficiente de presión lateral de tierra para suelos normalmente consolidados K nc cuyo valor se estima igual a.5 [1]. Recapitulando, el modelo Hardening-Soil implica un total de 11 parámetros que quedan sintetizados y agrupados en la siguiente tabla [11]. Resistencia c Cohesión [kpa] φ Ángulo de fricción interna [º] Rigidez Avanzados ψ Ángulo de dilatancia [º] Rigidez secante en ensayos triaxiales [kpa] E 5 E oed Rigidez tangente en cargas edométricas [kpa] m Potencia de la dependencia tensional de la rigidez - Rigidez en descarga-recarga (por defecto E ur = 3E 5 ) [kpa] E ur ν ur Coeficiente de Poisson en descarga-recarga (por defecto ν ur =,2) - σ' Tensión de erencia para las rigideces (por defecto σ' = 1) [kpa] K nc Coeficiente de presión lateral de tierras (por defecto K nc = 1 - senφ) - R f Relación entre q f y q a (por defecto R f =,9) - Tabla 5.1. Parámetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis [11] Obtención de parámetros Un buen modelo implica, con la invariabilidad del valor de los parámetros que lo definen, la capacidad para representar diferentes situaciones sin alejarse de los resultados observados previamente. Es decir, con un mismo set de parámetros del modelo Hardening-Soil se deberían simular correctamente diferentes trayectorias triaxiales sin que los resultados de estas 76

5 simulaciones distasen apreciablemente de los resultados obtenidos en los ensayos de laboratorio. En el capítulo anterior ya quedaron definidos algunos de los 11 parámetros de los que consta el modelo Hardening-Soil. Entre ellos, por ejemplo, están los englobados en la categoría de resistencia c, φ, ψ. Los valores para la cohesión c y del ángulo de fricción φ quedarían fijados según la expresión (4.22) del criterio de rotura de Mohr-Coulomb. Sin embargo, para el ángulo de dilatancia ψ no se obtuvo un valor fijo, sino una función logarítmica del OCR según la expresión (4.25). c Cohesión 14,33 [kpa] φ Ángulo de fricción interna 39,67 [º] ψ Ángulo de dilatancia ψ = 3,23+12,51 log 1 OCR [º] Tabla 5.2. Valores determinados para los parámetros c, φ y ψ del modelo Hardening-Soil de Plaxis. En la figura 4.16 quedo lejada la relación entre el módulo de Young E y la tensión isótropa p según la expresión (4.16) propuesta por Janbu. Utilizando los mismos datos obtenidos de los resultados de los ensayos triaxiales, se obtienen los parámetros E ur y m definidos en la expresión (5.4), donde para σ se toma el valor por defecto de 1 kpa E ur [MPa] p' [MPa] IS-4 IS-6 AS-6 Plaxis Janbu Figura 5.3. Comparación entre las relaciones E-p según la expresión de Janbu y la formulación de Plaxis. Como puede observarse en la figura 5.3 no existe una diferencia apreciable entre las relaciones E-p propuestas por Janbu y por la formulación de Plaxis, sin embargo, esto permitirá un cierto ajuste de los parámetros E ur y m entre los valores que ambos criterios proporcionan. En la tabla 5.3 se recogen los valores para los parámetros E 5, E oed, E ur determinándose los dos primeros a continuación. y m E 5 E oed E ur Rigidez secante en ensayos triaxiales [kpa] Rigidez tangente en cargas edométricas 1557 [kpa] Rigidez en descarga-recarga [kpa] m Potencia de la dependencia tensional de la rigidez,59 -,63 - Tabla 5.3. Valores determinados para los parámetros E 5, E oed, E ur y m del modelo Hardening-Soil de Plaxis. 77

6 Manteniendo el rango de variación del parámetro m, se analiza el valor del parámetro E 5 analizando las trayectorias IS-4 y IS-6, se excluyen las trayectorias AS-6 por no ajustarse a la definición marcada por la figura 5.1. Como puede observarse en la figura 5.4, no existe una diferencia sustancial entre las curvas E 5 -p para los diferentes valores del exponente m. 5 4 E 5 [MPa] IS-4 IS-6 m=.59 m= p' [MPa] Figura 5.4. Obtención del parámetro E 5 según la formulación de Plaxis. El no haber realizado, durante la ejecución del programa experimental, ningún ensayo edométrico para conseguir caracterizar el parámetro E oed no supone impedimento alguno, pues utilizando la relación entre los incrementos de la tensión desviadora q y de la tensión isótropa efectiva p, dado en la expresión (2.35), resulta que al aplicar una K igual K, cuyo valor se estima igual a.5 [1], resultaría una trayectoria de consolidación unidimensional en el espacio de Cambridge. Estas trayectorias corresponden a las consolidaciones anisótropas efectuadas sobre las probetas de arena limosa de Diagonal Mar, con lo que de éstas podría extraerse el valor del parámetro E oed, según se muestra en la figura 5.2, como el valor de la recta tangente a la curva en el espacio σ 1 -ε a para una determinada tensión de erencia σ. No obstante, en un ensayo edométrico no es posible que se den deformaciones radiales ε r, por lo que la existencia de estas deformaciones en las trayectorias de consolidación anisótropas realizadas, indica que éstas no son exactamente unidimensionales. Por este motivo, para la obtención del parámetro E oed se opta por escoger aquella trayectoria de consolidación anisótropa que presente la menor relación ε r /, que en este caso corresponde a la trayectoria AS-6/3.. En dicha trayectoria de consolidación, como puede apreciarse en la figura 5.5, la curva p -ε a se ajusta muy bien sobre la ecuación de una parábola, y a partir de ésta es sencillo obtener el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva para una tensión de erencia σ igual a 1 kpa. ν ur Coeficiente de Poisson en descarga-recarga,3 - σ' Tensión de erencia para las rigideces 1 [kpa] K nc Coeficiente de presión lateral de tierras,5 - R f Relación entre q f y q a? - Tabla 5.4. Valores determinados para el resto de parámetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis. 78

7 Para el resto de parámetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis quedan definidos mediante los valores que se muestran en la tabla 5.4, con la excepción de Rf que permitirá ajustar las curvas q-ε a al ir variando su valor ε r / p' [kpa] E oed = kpa ε a Figura 5.5. Obtención del parámetro E oed según la formulación de Plaxis Simulación de algunas trayectorias Previo a la simulación de algunas de las trayectorias realizadas sobre las arenas limosas de Diagonal mediante el modelo Hardening-Soil del software Plaxis, es necesario definir una geometría y una discretización del material a modelar. En este caso se opta por un modelo axisimétrico como el mostrado en la figura 5.6 donde los lados inferior e izquierdo actúan como ejes de simetría, y por lo tanto las dimensiones del modelo son 19 mm de base por 38 mm de altura. La simetría descrita implica que en lo erente a las condiciones de contorno, en el lado inferior se impida el movimiento en la dirección vertical, y en el lado izquierdo en la dirección horizontal. Estas condiciones se completan con la imposición de unas tensiones perpendiculares al contorno en los lados superior y derecho, tensiones A y B respectivamente. El modelo se completa con la discretización de la geometría en una malla de elementos finitos triangulares con seis nodos para el calculo de desplazamientos y tres puntos de Gauss para el cálculo de tensiones. Como se comento en el apartado anterior, para simular diferentes trayectorias sería optimo tener un único set de valores para los parámetros que definen el modelo Hardening-Soil de Plaxis. En la tabla 5.5 se recogen los valores de los 11 parámetros utilizados en las siguientes modelizaciones. 79

8 Figura 5.6. Modelización y discretización de las probetas de arena limosa de Diagonal Mar. c Cohesión 14 [kpa] φ Ángulo de fricción interna 39 [º] ψ Ángulo de dilatancia ψ = 3,23+12,51 log 1 OCR [º] E 5 Rigidez secante en ensayos triaxiales 145 [kpa] E oed Rigidez tangente en cargas edométricas 155 [kpa] m Potencia de la dependencia tensional de la rigidez,59 - E ur Rigidez en descarga-recarga 535 [kpa] ν ur Coeficiente de Poisson en descarga-recarga,3 - σ' Tensión de erencia para las rigideces 1 [kpa] K nc Coeficiente de presión lateral de tierras,5 - R f Relación entre q f y q a,71 - Tabla 5.5. Valores utilizados para los parámetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis en las simulaciones. La necesidad de utilizar una función del OCR para determinar el ángulo de dilatancia ψ en las simulaciones, responde al hecho de la variabilidad que presenta este parámetro a la vista de los resultados obtenidos con anterioridad. A continuación se presentan los resultados de las simulaciones realizadas mediante el modelo Hardening-Soil correspondientes a las trayectorias IS-4/1., IS-6/1.5, IS-6/1., AS-6/2., AS-6/6. y AL-6/1.2. Para cada una de ellas se indica en la tabla 5.6 el valor del parámetro ángulo de dilatancia ψ utilizado en la modelización. trayectoria IS-4/1, IS-6/1,5 IS-6/1, AS-6/2, AS-6/6, AL-6/1,2 ψ [º] 3 5, Tabla 5.6. Valor del ángulo de dilatancia ψ utilizado en cada trayectoria simulada. 8

9 IS-4/ IS-6/ trayectoria ensayada simulación IS-6/ ε p q [kpa] ε p q [kpa] εp q [kpa] Figura 5.7. Simulación de algunas trayectorias triaxiales realizadas mediante el modelo Hardening-Soil. 81

10 AS-6/ AS-6/ trayectoria ensayada simulación AL-6/ εp q [kpa] εp q [kpa] ε p q [kpa] Continuación Figura

11 Tras una observación detenida de los resultados de las simulaciones mostrados en las figuras anteriores, donde pueden compararse con las trayectorias que intentan simular, se deduce que el modelo Hardening-Soil, con los valores para los parámetros utilizados que quedan lejados en la tabla 5.5, recogen de manera satisfactoria las principales características de las trayectorias triaxiales realizadas. El resultado de la simulación esta muy bien ajustado al comportamiento observado en las trayectorias de consolidación isótropa para un grado de sobreconsolidación OCR bajo, donde la relación hiperbólica entre la deformación axial ε a y la tensión desviadora q quedan muy bien recogidas por el modelo. Sin embargo, en las curvas ε p -, a pesar de que la tendencia principal de las trayectorias realizadas queda bien lejada en los resultados del modelo, se observa un cierto desfase axial que implica que la tendencia a la dilatación del modelo quede desplazada hacia la derecha de los resultados observados en el laboratorio. En cuanto a los resultados de las simulaciones para las trayectorias que implican una consolidación anisótropa, se observa como el modelo no recoge de forma tan exacta la relación hiperbólica entre la deformación axial ε a y la tensión desviadora q, durante las fases de compresión simple, aunque no obstante adoptan los trazos principales de las trayectorias. En estos casos las curvas ε p - vuelven a mostrar el desfase comentado. La utilización de diferentes ángulos de dilatancia ψ parece ser una buena elección, pues de lo contrario, las curvas ε p - no alcanzarían de ningún modo el incremento de volumen que experimentan las arenas limosas de Diagonal Mar. Por último, la simulación de la trayectoria con consolidación anisótropa y compresión lateral puede considerarse bastante satisfactoria, si se tiene en cuenta que el eje de abscisas ha sido considerablemente aumentado en escala, pues recoge las direcciones adoptadas en la trayectoria triaxial observada. Debido a que la formulación de Plaxis no incluye un posible reblandecimiento en la relación tenso-deformacional, tras alcanzar la resistencia de pico el modelo no recoge suficientemente la tendencia hacia la resistencia de estado crítico observada en los ensayos triaxiales realizados sobre las arenas limosas de Diagonal Mar. 83

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