NA = 1. Realizando el mismo procedimiento para APM y CPM se (AP M)
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- María Teresa Cristina Redondo Venegas
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1 Teorema de Ceva. Sean AB,BC,CA los lados del triángulo ABC. Sean l,m,n rectas que pasan por A,B,C respectivamente. Sea L=BC l, M=AC m, N=AB n. Las rectas l,m,n concurren en un punto P <=>. CL. BN = 1 MC LB NA Demostración: 1.a) Si l,m,n concurren en P => MC. CL NA = 1 (ABC) denota el area del triangulo ABC. Sea h la altura del ABC con respecto al lado AC, que es a su vez altura de ABM y CBM => (ABM)=.h y (CBM)= MC.h 2 2 => (ABM) = (1) (CBM) MC Realizando el mismo procedimiento para APM y CPM se (AP M) tiene que => = (2) (CP M) MC Igualando (1) y (2) tenemos => (ABM) (AP M) =. (CBM) (CP M) Ahora, utilizaremos la siguiente propiedad de los números reales: Sean a,b,c,d números reales se cumple que si a b = c d => a b = c d = a+c = a c b+d b d => (ABM) (CBM) (AP M) (ABM) (AP M) = = = (ABP ) = (3) (CP M) (CBM) (CP M) (BCP ) MC 1
2 Realizando el mismo procedimiento para los lados AB y BC obtenemos: (ACP ) (ABP ) = CL LB (4) (BCP ) (ACP ) = BN NA (5) => (3).(4).(5) => CM. CL NA = (ABP ) (BCP ). (ACP ) (ABP ). (BCP ) (ACP ) = (ABP ). (ACP ). (BCP ) (ABP ) (ACP ) (BCP ) 1.b) Si MC. CL NA =1. Demostrando así 1.a) = 1 => l,m,n concurren en P. Procedamos por contradicción. Supongamos que l,m,n no concurren en P. Y sea P=l m, sea n una recta por C que pasa por P => l,m,n concurren por lo tanto si N =n AB por 1.a) se tiene: CM. CL. BN LB N A =1 (i) y por 1.b) MC. CL NA = 1(ii) => por (i) y (ii) se tiene: BN = BN pero N y N pertenecen al N A NA segmento AB y no hay dos puntos dentro de un segmento que lo partan en razones iguales => N = N => n=n y como l,m,n concurren en P => l,n,m concurren en P. Demostrando así 1.b) Problema 1 Sea C una circunferencia y dado un triángulo ABC, sean L,L,M,M,N,N los puntos de corte de C con el triángulo ABC sobre los lados BC,CA,AB respectivamente. Demostrar que si AL,BM,CN concurren => AL,BM,CN concurren. 2
3 Demostración: Como AL,BM,CN concurren => por el Teorema de Ceva ten-. CL. BN = 1 (1) MC LB NA emos: Por otra parte si Pc(A) denota la potencia de punto de la circunferencia C con respecto al punto A tenemos que Pc(A)=AN.AN =. => NA = AN Pc(B)=BN.BN =BL.BL => BN LB = BL Pc(C)=CL.CL =CM.CM => CL MC = CM (2) (3) BN (4) CL CL. N A. BN.CM BL =.LB M C CL CL. N A. L B BN CL. N A = 1 Demostrando así BN Para que AL,BM,CN concurran debe cumplirse que : M C. L B Realizando (2).(3).(4) =>. BN. CL = AN NA LB MC M C y sustiyendo (1) tenemos que: lo que queríamos. Problemas Propuestos: 1. Demostrar las siguientes afirmacione usando el Teorema de Ceva. a) Las medianas de un triangulo concurren b) Las bisectrices de un triangulo concurren c) Las alturas de un triangulo concurren. d) La bisectriz interna de un angulo y dos bisectrices extrernas los otros dos angulos concurren. 2. En un triángulo ABC la recta obtenida por la reflexión de la mediana del vértica A sobre la bisectriz del <A se llama simediana correspondiente al vértice A. Demostrar que las simedianas en el triángulo ABC son concurrentes. 2. Teorema de Menelao En el ABC sean X,Y,Z puntos sobre los lados BC,AC,AB (o sus prolongaciones) respectivamente. Los puntos X,Y,Z son colineales <=> BX. CY. AZ = 1 XC Y A ZB Demostración: BN = 1 3
4 2.a) Si X,Y,Z son colineales => BX XC. CY Y A. AZ ZB = 1 Sea l la recta que pasa por los puntos X,Y,Z. Sean L,M,N los pies de las perpendiculares desde C,A,B respectivamente hasta la recta l. Como CL,,BN son perpendiculares a l => CL////BN => como CL//BN tenemos que : BNX~ CLX => BN = BX CL XC (1) Como <BNZ=<Z=90 y <NZB=<AZM (por ser opuestos por el vértice) => Z~ BNZ => = AZ (2) BN ZB Analogamente como <Y=<CLY=90 y <LYC=<MYA (por ser opuestos por el vértice) => CLY~ Y => CL = CY (3) Y A Multiplicando (1).(2).(3) tenemos => BN.. CL = 1 = BX. AZ. CY Demostrando así lo que se quería. CL BN XC ZB Y A 2.b) Si BX XC. CY. AZ Y A ZB = 1 => X,Y,Z son colineales Se X un punto sobre BC tal que X,Y,Z son colineales. Por 2.a) tenemos que BX. CY. AZ BX = 1 (i) y pot 2.b). CY. AZ = 1 (ii) X C Y A ZB XC Y A ZB Igualando (i) y (ii) tenemos BX = BX pero no existen dos puntos X C XC (los dos fuera de BC) que divida a la prolongación de BC en una misma razón => X =X => X,Y,Z son colineales. Demostrando 2.b) Problema En el ABC, rectángulo en A, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta es tangente a la circunferencia 4
5 circunscrita en el punto A (M es un punto de BC ). S y R son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos AC y AB, respectivamente. La recta RS corta a la recta BC en N. Las rectas y SR se cortan en U. Demostrar que el triángulo UMN es isósceles. Demostración El enunciado del problema indica que los puntos U,N,R,S son colineales, sea l la recta que pasa por estos puntos. Por ello podemos aplicar el Teorema de Menelao en los triángulos ABC y C con respecto a la recta l. 1. Teorema de Menelao en ABC : AR = 1. A su vez se. BN. CS RB NC SA sabe que AS y AR son tangentes al incírculo del ABC => AS=AR => NC = BN (i) CS RB 2. Teorema de Menelao en C: AU. MN. CS MN = 1=> = NC. SA UM NC SA UM CS AU => sustituyendo (i) se tiene: MN UM = BN RB. SA AU = BN AU. SA RB (ii) Como AS=AR y <BAC=90 => ASR es isósceles y 5
6 <ARS=<ASR=45 =<NRB (por ser <ARS y <NRB opuestos por el vértice) =><ASR=<UAS=<NRB (a) Por otra parte, <MAC=<MAB+<BAC=<MAB+90. Además por ser tangente al circuncírculo del ABC se cumple que: <MAB=<BCA => <MAC=<UAS=<BCA+90 (b). Además se tiene que <MBA=<NBR=<BCA+<BAC=<BCA+90 (c). Igualando (b) y (c) se tiene que <UAS=<NBR (d) => por (a) y (d) UAS y NBR => BN = BR BN =>. SA = 1 (iii) AU AS AU RB MN Sustiyuyendo (iii) en (ii) se tiene: = 1 => MN=UM => UM UMN es isósceles. Demostrando así lo que se pedía. Problemas Propuestos 1. Demuestre las siguientes afirmaciones: a) Si ABC es un triangulo y AA es su bisectriz externa (con A sobre BC ) entonces BA = AB. A C AC b) Suponga que las bisectrices internas de B y C cortan a CA y AB en B y C respectivamente y que la bisectriz externa de A corta a BC en A Demuestra que A, B y C son colineales. c) Demuestre que los puntos en los que las bisectrices externas cortan a su lado opuesto correspondiente son colineal 2. Sea ABC, se definen los puntos A,B,C tales que los segmentos AA,BB,CC son las bisectrices del ABC. Sean A,B,C tales que si las rectas l,m,n son las mediatrices de AA,BB,CC se tiene que A = l BC, B = m AC, C = n AB. Demuestre que A,B,C son colineales. 6
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