Introducción. Concepto de vector. Una cantidad física que se defina mediante un valor (módulo), un punto de

Transcripción

1 Intoducción MGNITUDES VECTORILES Pof Santiago Villaveda La agnitude fíica á encilla pueden definie copletaente ediante un valo nuéico iple conitente en la unidad de edida en la que e idió la agnitud del núeo de eta a la que coeponde la agnitud (Si etableceo que un cuepo tiene una aa de 5,5 kg etao indicando que la aa del cuepo e cinco edia vece la aa del kilogao) Ete tipo de agnitude e denoina ecala lguno ejeplo de agnitude ecalae on la aa, la tepeatua, el voluen, etc Ota agnitude tale coo el deplaaiento de un cuepo o u velocidad, eigen paa u definición infoación obe u oientación epacial Uno puede deplaae po ejeplo 10 veticalente hacia aiba o 10 hoiontalente hacia la deecha, iendo abo deplaaiento notoiaente difeente definitivaente no e puede defini ólo indicando que e deplaó 10 Ete tipo de agnitude e denoinan, en geneal, agnitude oientada La agnitude vectoiale on un tipo de agnitud oientada cua ua peenta la popiedad de conutatividad Magnitude vectoiale típica on po ejeplo: poición, deplaaiento, velocidad, fuea,etc Concepto de vecto Una cantidad fíica que e defina ediante un valo (ódulo), un punto de aplicación, una diección de acción un entido que paa la cual e defina una opeación de ua conutativa, eá conideada una agnitud vectoial (La otacione caecen de la conutatividad de la ua, iendo agnitude oientada, no pueden conideae vectoiale) En una epeión algebaica una agnitud vectoial e indica ediante una leta obe la cual e dibuja una pequeña flecha ( Ej: v paa velocidad) Módulo Sentido Punto de aplicación Paa epeenta gáficaente un vecto lo haeo ediante una flecha ente do punto La ecta obe la cual e dibuja la flecha indica la diección del vecto, u oigen eá el punto de aplicación, la punta de la flecha indicaá el entido u lago debeá e popocional Diección al ódulo de la agnitud epeentada ( Deben epeentae a ecala) fig 1 Popiedade a) Igualdad de vectoe: Do vectoe on iguale i tienen el io ódulo, la ia diección el io entido ( Solaente en ete cao la difeencia ente do vectoe e nula) b) Multiplicación de un vecto po un ecala: Si un vecto a e ultiplicado po un ecala n, el eultado del poducto eá oto vecto de igual diección que el vecto a, cuo ódulo eá el ódulo de a ultiplicado po el valo de n cuo entido eá el de a i n e poitivo o el opueto i n e negativo Sua eta de vectoe Paa pode ua vectoe eto debeán e concuente 1 debeán e tabién del io tipo de agnitud (todo deplaaiento o todo velocidade po ejeplo) No pudiéndoe ua ente i agnitude vectoiale de difeente tipo 1 Concuente: aplicado obe el io cuepo, i podeo conide al cuepo coo puntual, aplicado obe el io punto del cuepo en cao contaio o, eventualente, en el io punto del epacio No iplica que e apliquen iultáneaente 1

2 a) Sua gáfica: Dado que lo deplaaiento on la agnitude vectoiale á caacteítica, analiaeo la ua de vectoe a tavé de la ua de deplaaiento Método del polígono : Conideeo do vectoe, coo e indica en la figua Si no deplaao a lo lago de luego a lo lago de, el eultado ha ido i del oigen de al eteo de, iendo ete deplaaiento el que epeentao po el vecto C coo e indica en la figua 3 En ete cao el vecto C e la ua de á C= + Ete étodo de ua vectoe e conoce coo étodo del polígono Podeo euilo diciendo que conite en ubica lo uando, dibujado a ecala, uno a continuación del oto, anteniendo cuidadoaente la diección entido de cada uno de ello, po últio hallando el eultado coo el vecto definido dede oigen del pie uando hata el eteo del últio Coo puede vee en la figua cuato, la ua de á da coo eultado el io vecto C, po lo que podeo conidea que la ua de vectoe e una opeación conutativa + = + C fig fig 3 C fig 4 Po lo tanto: l e conutativa la ua de vectoe no ipota el oden en el que e ubiquen lo uando Peo, i no e epetaa la diección entido de lo uando el eultado eía eóneo, a que e etaía S D opeando con oto conjunto difeente de vectoe La ao ventaja de ete étodo e que peite ua en foa iultánea cualquie núeo de vectoe En la fig 5 veo la ua de cuato vectoe donde S= + + C+ D fig 5 C Método del paalelogao : Ete étodo, que po upueto da eultado idéntico a lo del étodo anteio, e adecuado paa ua ólo do vectoe po ve En cao de ao núeo de uando deben ealiae uceiva ua paciale de do vectoe Paa ealia la ua e deben dibuja lo vectoe en foa concuente, a ecala con diección entido apopiado continuación e copleta el paalelogao taando po el eteo de cada uando un egento de ecta paalelo al oto uando El vecto definido dede el vétice coún a lo uando hata el oto vétice del paalelogao eá el vecto ua En la figua 6 teneo a: C = + fig 6 C

3 Reta de vectoe : Si e utilia el étodo del paalelogao paa halla la difeencia ente do vectoe D =, el pocediiento conite en uale D al vecto, el vecto, iendo ete últio un vecto de igual odulo diección que peo de entido contaio ( fig 7) fig 7 Si utiliao el étodo del polígono el pocediiento e aun á encillo Dibujao concuente a lo vectoe inuendo utaendo, el vecto difeencia eá el que uado al utaendo tenga po eultado el D inuendo Dede el punto de vita gáfico el vecto difeencia eá el que teniendo oigen en el eteo del utaendo, tenga eteo en el eteo fig 8 del inuendo En la fi 8 e iluta la difeencia D = Nota: Todo eto étodo gáfico tienen una liitada utilidad debido a u falta de peciión Paa pode aegua una peciión edianaente aonable, debe tabajae con ecala u gande que iniicen lo eoe elativo en la edida de lo taado de lo ángulo Método analítico Relacione etablecida en el teoea del coeno + C Po coeno genealiado: Cuando e uan o etan do coα= C vectoe ente í, uando el étodo del polígono, β C + C obteneo figua tiángulae donde el eultado e uno coβ= C de lo lado En ete cao podeo halla, el ódulo γ α + C coγ = oientación del vecto eultado, ecuiendo al teoea fig 9 del coeno genealiado Conideeo el cao de la ua de do vectoe concuente Debeeo conoce el ódulo de cada uando el ángulo foado C ente ello Sea la ua C = + El ángulo ente lo vectoe β eá el ángulo inteno al tiángulo, ente lo do vectoe a 180 fig 10 ua, eá (180 ) plicandoel teoea del coeno tendeo que: + C co( 180 ) =,, dado que co(180 ) = co(), + C podeo utitui: co( ) = De allí depejao que: C = + + co, finalente: C = + + co (, C on lo ódulo de lo vectoe, C epectivaente ) Paa deteina la diección del vecto ua hallaeo el ángulo que ete foa con uno de lo uando (En la figua el ángulo β foado ente el vecto ua C el uando ) Paa eto e calcula el coeno del ángulo, utiliando nuevaente el teoea del coeno, luego e halla a qué ángulo coeponde ee coeno (En ete cao tabién podía uae el teoea del eno paa halla en β) 3

4 Paa el cao de la difeencia de vectoe el pocediiento e iila, olo que el ángulo ente inuendo utaendo e inteno al tiángulo foado ente ello el vecto difeencia ( fig 11) En ete cao queda: D + D co =, e: D = + co β l igual que en el cao anteio deteinaeo la diección del vecto fig 11 difeencia, hallando el ángulo que ete foa con uno de lo opeando Paa eto podeo ua tanto el teoea del eno coo del coeno Repeentación cateiana de vectoe Coponente de un vecto Le llaaeo vectoe coponente de un cieto vecto, a un conjunto de vectoe cua ua vectoial ea Coponente ectangulae de un vecto: E el cao en el cual lo vectoe coponente tienen dieccióne paalela a lo eje coodenado,, Todo vecto en el epacio puede definie coo la ua de te coponente otogonale ( pependiculae toda ente í ), cada una paalela a uno de lo eje coodenado En el plano alcana con ólo do coponente Decopoición de un vecto en coponente otogonale : Toeo un vecto definido en un plano ( po lo tanto en do dienione ), cua diección foe un ángulo con el eje Su coponente eán entonce, que eán epectivaente la poeccione de en el eje en el eje (fig 1) Dieo entonce que = + Lo ódulo de la coponente eán epectivaente: = co = en * En el cao de vectoe definido en el epacio tendeo al eno te dato paa defini al vecto Nueto dato de patida pueden e, el ódulo del vecto, el ángulo que foa u poección en el plano con el eje () el ángulo que foa con el eje (α) (Ve fig 13 ) En ete cao la decopoición en coponente otogonale tendá te coponente:, Dieo entonce que = + + α fig 13 en α Lo ódulo de la coponente en lo eje coodenado eán en ete cao = ( en α)co, = ( en α)en, coα = *( Si e diean lo ángulo foado po el vecto con cada uno de lo te eje lo ódulo de lo coponente eán: co(, ), co(, ), co(, ) epectivaente) = = = fig 1 4

5 i k j fin de tabaja algebaicaente con lo vectoe epeado po u coponente, e definen te vectoe convencionale, lo vectoe i, j, k Eto on vectoe de ódulo igual a uno pependiculae ente í, cada uno definido en uno de lo eje coodenado, i en el eje, j en, k en Si ultiplicao a po el vecto i obteneo un vecto de ódulo igual a fig 14 en la diección del eje, en una palaba teneo al vecto que e la coponente de en la diección del eje De igual anea po j eá po k eá Po lo tanto podeo epea = i + j+ k Ejeplo: Supongao que obe un cuepo e aplica una fuea de 100 N, en el plano, a 40º del eje En ete cao F = 100N co 40º i + 100N en 40º j, luego de opea queda F= 77N i + 64 N j Eto iplica que F tiene una coponente de 77N en la diección del eje una coponente de 64N en la diección del eje La ventaja de ete tipo de notación on vaia: 1) Tabaja con coponente otogonale no no e etaño, etao habituado a uala a que la calle de una ciudad e cuan en ángulo ecto la coodenada geogáfica, con la que etao failiaiado, tabién coeponden a un itea de coodenada ectangulae ) Uando eta notación tabajao ateáticaente con lo vectoe in epaa u ódulo de u oientación 3) l tabaja de ete odo etao epeando lo vectoe coo polinoio, po lo tanto en cao de ualo etalo, lo opeaeo coo lo haceo con lo polinoio, téino a téino Sua eta de vectoe epeado en coponente ectangulae: Supongao do vectoe coo e indican en la figua 16 En ete cao eán: = co, = en, = coϕ = enϕentonce: = i + j = i + j La ua de abo etaá dada po: + = ( i + j) + ( i + j) = ( + ) i + ( + ) j fig + Puede otae gáficaente la equivalencia ente la ua de lo vectoe la ua de u coponente En la figua 17 puede vee que la ua gáfica de coincide con la ua gáfica de u coponente epectiva,, + = º F fig 15 ϕ fig F F

6 Ejeplo Ejeplo 1: Supongao que obe un cuepo actuaan te fuea, F 1, F F 3, coo ueta la fig 18 Sean: 1 = 60º, = 5º 3 = -70, con F 1 = 80 N, F =100 N F 3 = 90 N Su coponente ectangulae eán: F1 = 80N (co 60º i + en 60º j) = ( 40 i + 69 j) N F = 100N(co 5º i + en 5º j) = ( 91 i + 4 j) N F N i j i 3 = 90 co( 70º ) + en( 70º ) = ( j) N ( ) Quedan aí: F i 1 = ( j) N, F i = ( j) N F i 3 = ( j) N Paa uala: F = ( 40 i + 69 j ) + ( 91 i + 4 j ) + ( 31 i 85 j ) = ( ( ) i + ( ) j) N El eultado: F = ( i j ) N podeo dejalo epeado en eta notación coo eultado final F F 3 fig 18 F Si fuea neceaio epea el eultado indeicando ódulo diección epaadaente ealiaeo la conveión po la aplicación de tigonoetía encilla Paa deteina el ódulo de F aplicaeo el teoea de Pitágoa lo hallaeo coo F = F + F Paa halla el ángulo ϕ calculaeo u F ϕ F F tangente coo: tg( ϕ ) = F F, (Ve fig 19) bucaeo luego a qué ángulo fig 19 coeponde eta tangente ( En el cao del poblea planteado F = N = 164N coeponde a un ángulo ϕ = 9º 7 ) 6 tg( ϕ ) = = 01605,, lo que 16 Ejeplo : Un cao e ovía en un plano hoiontal Su velocidad inicial ea de 11/ en una diección a 84º del eieje + En deteinado oento u velocidad vaía, hata una velocidad final de 10/ en una diección a 40º del eieje + Deteinaeo el cabio de velocidad epeientado, Δv = v v f o v = 10 (co 40º ) i + (en 40º ) j = ( 7, 7 i + 6, 4 j) F ( ) ( ) ( ) v = 11 (co 84º ) i + (en 84º ) j = ( 11, i + 10, 9 j) o Δ v = ( 77, 11, ) i + ( 64, 109, ) j = ( + 66, i 45, j) El ódulo de del cabio de velocidad eía entonce: Δ v diección hallao:, tg= 45 = 0, 68 luego = 34º 17 66, = ( 66, ) + ( 45, ) = 80, Paa halla u 6

7 Poducto ecala de vectoe: El poducto ecala de vectoe e una opeación de poducto ente vectoe cuo eultado e un ecala Se define, el poducto ecala de do vectoe, coo el ecala que eulta del poducto del ódulo de uno de lo do vectoe, po el ódulo del oto po el coeno del ángulo ente abo = co (Definición altenativa: El poducto ecala de do vectoe puede definie coo el ecala que eulta del poducto del ódulo de un vecto, po el ódulo de la coponente del oto vecto en la diección del pieo) El íbolo de la opeación poducto ecala de vectoe e el punto ( ) e de uo ecluivo, lo deá íbolo uuale de la opeacione poducto e eevan paa ota opeacione (El íbolo e eeva paa el poducto vectoial ente vectoe) lguna caacteítica de la opeación: a) El poducto ecala de do vectoe pependiculae ente í e iepe nulo (co 90º = 0) b) El poducto ecala ente do vectoe eá poitivo i el ángulo ente abo e eno que 90º eá negativo i el ángulo fuea ao que 90º c) El poducto ecala de un un vecto po í io eá igual al cuadado de u ódulo co0 ( ) = = = lguna popiedade de la opeación: 1) Conutativa: = Coo la opeación e euelve coo una opeación ente te ecalae, (, co lo on), e antiene la conutatividad del poducto de ecalae C+ C= + C ) Ditibutiva: ( ) Opeando con vectoe epeado en notación cateiana: Si opeao con lo vectoe unitaio i, j, k tendeo lo iguiente eultado: i i = j j= k k =1 ( i, j k tienen ódulo 1 co 0 = 0) i j= j k = k i =0 ( i, j k on pependiculae ente í co 90º = 0) Coo conecuencia de eto eultado, i tuvieao que halla el eultado del poducto ecala de do vectoe, epeado en notación cateiana: = i + j+ k i + j+ k = + + ( ) ( ) i + j k N i + j+ k = + + N= 19,7N [ ] Ej: ( 30, 85, 60, ) ( 15, 3, 0, ) ( 30, 15, ) ( 85, 3, ) ( 60, 0, ) 7

8 C= Poducto vectoial de vectoe: E una opeación ente do vectoe cuo eultado e tabién un vecto El íbolo de poducto eevado paa eta opeación e el no e utituible po oto íbolo uual de poducto El poducto vectoial ente do vectoe, ( ), e define coo un vecto de diección pependicula al plano de lo do vectoe factoe, cuo ódulo e el poducto de lo ódulo de lo do factoe po el eno del ángulo ente abo ( = en ), cuo entido e el dado po la egla de la ano deecha, toándola coo un gio del pie facto hacia el egundo ecoiendo el ángulo á pequeño ente abo vectoe lguna popiedade de la opeación: a) E una opeación anticonutativa, o ea que el oden de lo factoe inviete el entido del poducto = (Debeá tenee eto en cuenta cuando e planteen o euelvan poducto vectoiale, la C = opeación e define iepe del pie facto hacia el egundo, nueándoe lo factoe de iquieda a deecha b) El poducto vectoial de do vectoe de igual diección e iepe nulo, ean del io entido o de entido opueto (en 0º = 0 en 180º =0) Coo conecuencia de eto el poducto vectoial de un vecto po í io e iepe nulo ( = 0 ) + C= C+ C (Debeá notae el oden de lo téino en el poducto c)ditibutiva: ( ) al no e eta opeación una opeación conutativa, i invitiéao lo téino la opeación quedaiá: C + = C + C = C+ C ) ( ) ( ) Poducto vectoial de vectoe epeado en función de u coponente ectangulae: Si de acuedo a la definición de poducto vectoial, etudiao todo lo poible poducto vectoiale ente lo vectoe unitaio i, j k obtendeo la iguiente elacione: i j j k = i k i j i j = k k i j k i = j k i j = k j i = k j k = i k j= i k i = j i k = j i i = j j = k k = 0 Cuado 1 Si lo dedo doblado de la ano deecha indican el entido del gio, el pulga etendido indica diección entido del vecto 8

9 Si teneo do vectoe, = ( i + j+ k) ( i j k) el poducto vectoial igue la le ditibutiva obtendeo: = i + j+ k i + j+ k = ( ) ( ) = + +, teniendo en cuenta que i i + i j + i k + j i + j j + j k + k i + k j + k k = 3 k ( j) ( k) i j ( i) = i j k ( ) + ( ) + ( ) Ej: Sea una fuea F= ( 1i 10 j) N ea = ( ) d, i, k la ditancia del punto pivote al punto de aplicación de la fuea La toca poducida po ea fuea eía: τ= d F, entonce : τ = 1, 5 i + 0, 5k 1 i 10 j N = ( ) ( ) ( ) ( ) 15, 1N i i + 15, 10 N i j+ 0, 5 1N k i + 0, 5 10 N k j= ( ) ( ) ( ( ) ) 0 15Nk + 60, N j 50, N i = i j k N ( 50, + 60, 15 ) ( ) Poducto últiple (Sin deotación) a) Poducto ecala de un vecto po el vecto poducto vectoial de oto do vectoe( Nótee el oden de C = C = C lo factoe en lo poducto vectoiale ) : ( ) ( ) ( ) b) Poducto vectoial de un vecto po el vecto poducto de oto do vectoe: C = C C ( ) ( ) ( ) Nota Si bien eite el poducto vectoial de vectoe no eite el cociente vectoial Eto e aí poque paa eiti el cociente debeía eiti un único vecto que ultiplicado po el vecto divio diea po eultado el vecto dividendo Si teneo que C = podeo enconta oto infinito vectoe, en el io plano que que, que ultiplicado po den coo eultado el vecto C lcanaá que el ódulo de eto factoe ultiplicado po el eno del ángulo ente ello dé el io eultado que el ódulo de po el eno del ángulo ente Pof Santiago Villaveda (et/1997) 3 Ve cuado 1 de poducto ente lo vectoe unitaio 9