Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 1

Transcripción

1 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire.- Un balón de fútbol americano se patea con una rapidez inicial de 64[pie/s] y con un ángulo de elevación de 45º. Un jugador que está en línea de meta a 60 yardas de distancia y en la dirección del vuelo del balón, empieza a correr en ese instante para recogerlo. Cuál deberá ser su rapidez mínima para que alcance al balón antes que éste llegue al suelo? Hint: pié 0, 3048m yarda 3pie 64[pie/s] m 60 yardas m Escribimos las ecuaciones de movimiento: xt cos 45 t t xt t yt sin 45 t 5t t 5. 0t yt t 5. 0t resumimos: con ellas podemos hacer todo xt t yt t 5. 0t condición del problema: yt t 5. 0t 0 ; la pelota llega al suelo t 5. 0t 0, Solution is: t , t 0. 0 utilizando el resultado: t s x m es la distancia que debe recorrer m luego la rapidez mínima ha de ser: v 3. 8 m s s.- Un bateador golpea a una pelota que viaja a 4,0 pié de altura sobre el suelo, de tal manera que la lanza con un ángulo de elevación de 45º y con una rapidez inicial de 0pie/s. En su trayectoria la pelota tiene que sobrepasar una barda de 4pie de altura, situada a una distancia de 30 pies del bateador. Podrá sobrepasar a la barda?. pié 0, 3048m conversión de unidades: yarda 3pie altura 7. 3 distancia La condición del problema es que la trayectoria pase por el punto (97.54,7.3) Las ecuaciones de movimiento son: x cos 45 t y sin 45 t 4. 9t y 4. 9t t. x t y 4. 9t t.

2 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire x t, Solution is: t x y x x. y x x. y x como no conocemos el comportamiento de la trayectoria...se obtiene su ecuación a partir del sistema de ecuaciones anterior. y x x. según la gráfica, la pelota ni siquiera alcanza a llegar a la barda.(ver eje x) sin 45 t 4. 9t 7. 3, Solution is: t , t con el tiempo t s calculamos máximo alcance.. x cos , es decir, la pelota alcanza demás pasar por sobre la barda,ya que la altura de 7.3m la alcanza de bajada recién a los 08m.Otra forma sería, calcular el tiempoque demora en recorrer la distancia horizontal y despúes calcular la altura. es decir: t, Solution is: t en este tiempo, el recorrido realizado(horizontal) es de m, donde está la valla. Con este tiempo, calculamos la altura que lleva: vía SWP t y 4. 9t t., Solution is: t , y La pelota pasa por sobre la valla y a una altura de 5.8m app 3.- Una pelota rueda desde lo alto de una escala con una velocidad horizontal cuya magnitud es de 5,0 [pie/s]. Los escalones tienen 8 plg de ancho y 8 plg de alto. Cuál será el primer escalón con que choca la pelota? pieplg, la aceleración de gravedad es igual a 3 3 aceleración: 384 plg 5 velocidad: 60 plg s s pié s

3 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 3 xt v 0 t yt gt de ambas ecuaciones se puede encontrar la ecuación de la trayectoria, eliminando el parámetro "t" tiempo xt v 0 t t x v 0 yt gt y g x v 0 y g x, reemplazando los v 0 valores de aceleración y velocidad...y x 384 yx x (ahora tenemos la "altura" en función de la distancia horizontal recorrida.) se puede a continuación construir una tabla de valores, cada 8 pulgadas(ancho de un escalón) xt 60t yt 9t x y El problema se resuelve cuando x y es decir: x 4 75 x 0 4x 75x 0 4x 75x ya que estamos trabajando con x positivo...: 0 4x x x plg es decir cuando el objeto sobrevuele el tercer escalón. 4.- Un avión vuela con una velocidad horizontal constante de 500[Km/h a una altura de 5[Km y se dirige hacia un punto que se encuentra directamente arriba de su objetivo. Cuál es el ángulo de mira, al que debe arrojarse un paquete de supervivencia para que llegue al objetivo? el paquete demora un tiempo "t" calculable mediante: 5000 gt, Solution is: t , t luego la distancia recorrida por el avión en ese tiempo viene dado por: v d t es decir: d, Solution is: finalmente el ángulo de mira debe ser: tan, Solution is: es decir:

4 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 4 g 0 m s Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance horizontal es igual a 3 veces su máxima altura Cuál es el ángulo de disparo? Hint: sin sin cos xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt d yt v dt 0 sin gt v y t v 0 sin gt la altura máxima se calcula con el tiempo en que la velocidad vertical se anula, es decir: v y t 0 v y t 0, Solution is: t g v 0 sin luego la altura máxima viene dada por: y g v 0 sin v g 0 sin y el alcance máxima se calcula por: x g v 0 sin g v 0 cos sin luego, como se cumple: xt 3yt se tiene la ecuación: g v 0 cos sin 3 v g 0 sin cos sin 3 sin 3 sin cos tan 4, Solution is: Determinar el alcance horizontal de un proyectil cuya velocidad Vo 30[m/s] y el ángulo de elevación es : a) 3,7 b) 66,3 c) Según sus resultados de a) y b) qué puede inferir? d)determine el tiempo de vuelo tv en cada caso a) y b) Resp. X 30[m] El alcance horizontal se obtiene cuando y(t)0, luego: xt v 0 cos t v 0 sin t gt 0, Solution is: t g v 0 sin y ahora calculamos el alcance horizontal: x g v 0 sin g v 0 cos sin xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt v 0 sin t gt 0, Solution is: t g v 0 sin y ahora calculamos el alcance horizontal: x g v 0 sin g v 0 cos sin y ahora debemos demostrar que: g v 0 cos sin g v 0 cos sin, lo que es prácticamente obvio ya que se cumple:

5 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 5 cos sin sin cos 7.- Una pelota rueda fuera del borde de la parte superior de una mesa de [m] de altura y toca el suelo en un punto situado a una distancia horizontal de,5[m] del borde de la mesa. a) Hállese el tiempo que la pelota esta en el aire. b) Hállese la velocidad inicial. a) las ecuaciones de movimiento son: xt v 0 t yt gt y se cumple que: v 0 t. 5 gt v 0 t. 5 gt g 0, Solution is: t , v t , v El ángulo de elevación de una batería antiaérea es 70º y la velocidad de salida de la boca del cañón del arma es de 900[m/s]. Para qué instante después del disparo debe armarse la espoleta si el obús debe explosionar a una altura de 500[m]? xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt 70 v yt 500, Solution is: t ,. 73, v x 900 cos 70 t y 900 sin 70 t 5t y 500, Solution is: t , x , y , t , x , y Un avión vuela horizontalmente a una altura de 5[m] con una rapidez de 00[Km/h]. A qué distancia debe soltarse una bomba para que dé en un blanco fijo en

6 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 6 tierra? y con qué velocidad impacta el proyectil en el blanco? Se requiere primeramente el tiempo de caída,tal tiempo nos permite calcular la distancia a recorrer x t, Solution is: t 5. 0, x t t 5. 0, x Cómo se podría interpretar el tiempo negativo? 0.- Se lanza un proyectil que da en el blanco a los 0[s] a una altura de 400[m]. Si el blanco está ubicado a una distancia de 800[m] medidos horizontalmente. Determinar la velocidad de salida y el ángulo de elevación del proyectil. xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt t 0 y0 400 x0 800 g y0 0v 0 sin 000 x0 0v 0 cos 0v 0 sin v 0 cos 800, Solution is: g 0. 0, t 0. 0, , v , Solution is: , v n n, Solution is:, v 0 sin 0 v 0 cos 90 tan 0, Solution is: Desde la terraza de un edificio se dispara un proyectil con Vo 30[m/s] y un ángulo de elevación de 37º respecto de la horizontal. Si el proyectil cae a tierra a 50[m] de la base del edificio. Calcular la altura del edificio. xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt

7 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire cos 37 t h 30 sin 37 t 5t Por qué este resultado?, Solution is: h , t x 30 cos 37 t 0 30 sin 37 t 5t, Solution is: t 0. 0, x 0. 0, t , x h 30 sin 37 t 5t y x -0.- Un avión de combate vuela horizontalmente a una altura de [Km] y con una velocidad de 00[Km/h]. Deja caer una bomba que debe dar en un buque que viaja en la misma dirección a una velocidad de 0[Km/h]. Encuentre la distancia horizontal entre el avión y el buque para que la bomba dé en el blanco en centro del buque. xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt , la velocidad relativa es de 00 0 km h d 50t, Solution is: d , t , 000 t d , t Se lanza un proyectil que da en el blanco a los 0(s) a una altura de 400(m). Si el blanco esta ubicado a una distancia de 800(m) medidos horizontalmente. Determinar la velocidad de salida y el ángulo de elevación del proyectil. repetido 4.- Una pelota se lanza horizontalmente desde la azotea de un edifico de 35m de altura. La pelota golpea el suelo en un punto a 80(m) de la base del edificio. a) Encuentre el tiempo que la pelota permanece en el aire. b) Su velocidad inicial c) Las componentes "x e y" de la velocidad justo antes que la pelota pegue en suelo. xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt v y v 0 sin gt

8 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 8 80 v 0 t 35 v 0 t 5t, Solution is: t 3. 0, v , t 3. 0, v utilizando v y t 0t v y 3 30 pero v x constante (sin roce) de modo que: v m s Nota bene: en general: vt v 0 cos î v 0 sin gt 5.- El helicóptero de la figura vuela horizontalmente a una altura de 000(m) con una velocidad de 00(Km/h). Deja caer una bomba que debe dar en un buque que viaja en dirección opuesta a una velocidad de 0,8(nudos). Determine la distancia horizontal, entre el helicóptero y el buque para que la bomba dé en el blanco..(nudo),85(km/h) la velocidad relativa es de km h en consecuencia... el tiempo disponible es el de caída desde 000m yt v 0 sin t gt 000 5t, Solution is: t 4. 4, t 4. 4 luego la distancia viene dada por: d m 6.- Desde una fragata se dispara un proyectil que impacta en el blanco 5 (s) después de lanzado sobre un blanco situado a 700(m) de distancia y 8(m) de altitud. Calcular a) Ángulo de elevación del cañón ( o ). b) b) Velocidad de salida del proyectil (Vo ) xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt v y v 0 sin gt 700 v 0 cos 5 8 v 0 sin 5 5 5, Solution is: , v Un avión vuela horizontalmente a 04[pies] de altura con una rapidez de 300[pie/s] está alcanzando a una lancha misilera que viaja a 50[pies/s] en la misma dirección del avión. a) A que distancia de la popa de la misilera debe dejar caer una bomba para impactar la

9 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 9 lancha? b) Cuál es la velocidad de la bomba al impactar la misilera? c) Con qué ángulo impacta la bomba? g 3[pies/s ] Resolución:como la velocidad es pie/s 50pie/s y el tiempo de caída viene dado por: d gt 04 t 8. 0s, t 8. 0s la distancia debe ser: d vt 50 8s 000pie la velocidad debe ser: v y gt v y 3 pie s pie s 8s 56 pie s 3t, Solution is: la velocidad en el eje x en cambio: 50pie/s Aunque la velocidad del avión es mayor pero se debe descontar la velocidad de la missilera. luego el módulo de la velocidad, viene dado por: v pie s el ángulo viene dado por: tan 56, Solution is: (haga un dibujo) 9.- Lo que no contó Shakespeare Romeo está lanzando guijarros a la ventana de Julieta para despertarla, pero no lo logra, así que lanza un guijarro muy grande con demasiada rapidez. Justo antes de romper el cristal, el guijarro se esta moviendo horizontalmente, habiendo recorrido una distancia horizontal x 0 y una distancia vertical "y 0 " como proyectil. Calcule la magnitud y dirección de la velocidad al ser lanzado. xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt v y v 0 sin gt v y v 0 sin gt v 0 sin gt 0, Solution is: t g v 0 sin x 0 v 0 cos g v 0 sin g v 0 cos sin y 0 v 0 sin g v 0 sin g g v 0 sin v g 0 sin y 0 x 0 g v 0 sin g v 0 cossin sin cos y 0 x 0 sin tan y 0 cos x 0, expresión que nos dá el ángulo la velocidad se puede obtener a partir de: x 0 g v 0 cos sin x 0 g v 0 cos sin v 0 v 0 gy 0 sin gx 0 cossin o bien a partir de y 0 g v 0 sin 0.- Un proyectil sale de un orificio horizontal y en su caída topa levemente el borde P del peldaño; el movimiento del proyectil no es alterado al topar el borde. El desnivel del peldaño con respecto al orificio es h y la longitud de éste es d. Las dimensiones del proyectil son ínfimas en relación a las de los peldaños.

10 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 0 a) Determine la rapidez con emerge el proyectil desde el orificio. b) Determine la distancia L a la esquina del segundo peldaño donde impacta el proyectil. d L v 0 t h gt, Solution is: L d tv 0 if 4h gt 0 if 4h gt 0 d L v 0 t, Solution is: t Ld h gt h g v 0 Ld v 0 4h g Ld v 0 4h g Ld v 0 v 0 4h g L d, Solution is: L v 0 g h d.- Un proyectil es lanzado tal como se muestra en la figura siguiente. Simultáneamente parte desde la base del arrecife un automóvil con M.U.A. Calcular la aceleración de este ultimo con el objeto que el proyectil impacte sobre él. v o 50i 50j y O 375m Obs: se despreciará la altura del auto xt 50t yt 50t gt v y 50 gt yt 50t gt debemos considerar que en el punto de impacto: yt 375 luego: 50t 0t 375, Solution is: t 5. 0, t 5. 0 con t 5s se puede calcular la distancia horizontal recorrida: x por lo que el automóvil debe recorrer esa distancia. d at 750 a 5, Solution is: a m s Nota Para efectos de cálculos numéricos tome: g 0m/s.- Un volante gira con una velocidad angular constante de 50[rad/s]. Calcular: a) velocidad de un punto de la periferia sabiendo que su radio es R [m] b) La velocidad de un punto colocado a una distancia de 0,5[m] del centro. c) Distancia lineal recorrida por ambos puntos en el tiempo de [min]. d) El número de vueltas del volante es ese tiempo. Rptas. A)50[m/s]; b) 5[m/s]; c) 3000[m] y 500[m]; d) 477,5 vueltas. resolución: a) v R v v 50 m s observación: 50 rad s se debe entender como 50 s o bien 50s el radián es más bien una referencia y nó una dimensión b) análogamente: v v 5 m s c) como la rapidez es constante se tiene: s R Rt luego: s m para el primer punto, en forma análoga se tiene 500m para el segundo punto.

11 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire d) el número de vueltas viene dado por t vueltas 3.- Calcular la velocidad angular de cualquier punto de la superficie de la Tierra en su movimiento de rotación alrededor del eje terrestre. Calcular la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de un punto sobre la superficie de la Tierra situado en un lugar de 60º de latitud. (radio de la Tierra R T 6300Km día s t rad s v R v m s km h a c v a R c m s 4.- Un punto material describe un MCU.de radio [m] dando 30rpm. Calcular el período T, la frecuencia f, velocidad angular y velocidad tangencial v T, y la aceleración centrípeta a c Rptas: T s,f 0, 5Hz, rad/s, v T 3. 4m/s, a c 9. 87m/s Ayuda: ocupar el siguiente conjunto de relaciones: Período T frecuencia f T f T velocidad angular media t f velocidad tangencial v R aceleración centrípeta a c v R 5.- Dos aviones están situados en la misma vertical; la altura sobre el suelo de uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Pretenden bombardear el mismo objetivo. Siendo la velocidad del mas alto v. Qué velocidad v debe llevar el de más abajo? xt v 0 cos t yt v 0 sin t gt v y v 0 sin gt 4h 5t t 4h 4h d v 5 t d v 5 h 5t t v 4h h v 5 v 5 v h h d v 5 t d v h v v v 5 h Solution is: v 5 h 4 h if h 0 5 if h 0 6.-El vector posición de una partícula viene dado por rt xti ytj en

12 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire donde:(unidades S.I.) xt t, yt t. Hallar: a) posición de la partícula cuando: t0 [s];t[s] b) velocidad de la partícula en cualquier tiempo. Evaluar v(3) c) aceleración. d) ecuación de la trayectoria. a) x0 y0 0 se halla en le punto (,0) x 5 se halla en le punto (5,4) y 4 rt xti ytj vt d t r d xti d ytj dt dt dt d dt xt yt t vt i tj v3 i 6j a d dt xt yt a d d d vt xti ytj j dt dt dt ecuación de la trayectoria. x t, Solution is: t x y t x 4 x x 4 y 4 x x 4 0 y Las curvas paramétricas de la trayectoria de un móvil son: xt cos3t e yt sin3t a) Hallar la ecuación de la trayectoria. b) vector posición cuando t0 [s]. c) su velocidad cuando t[s]. a) xt cos3t x 4 cos 3t x

13 Guía de proyectiles / Ejercicios propuestos del profesor Sergio Maguire 3 yt sin3t y 4 sin 3t x y 4 cos 3t 4 sin 3t x y 4cos 3t sin 3t x y 4 se trata de una circunferencia de radio b) cuando t 0 x0 y0 0 el móvil se encuentra en el punto (;0) o vector posición r 0 îm