UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RIOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD INICIACIÓN AL ESTUDIO DE LAS CIENCIAS DE LA SALUD MÓDULO MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RIOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD INICIACIÓN AL ESTUDIO DE LAS CIENCIAS DE LA SALUD MÓDULO MATEMÁTICA

2 2 PRESENTACION GENERAL ESTIMADO ALUMNO: A partir de este momento, vamos a compartir el mismo camino, el cual nos llevará a lograr ciertos conocimientos y habilidades específicas de una asignatura básica, y necesaria para cursar la carrera elegida, se trata de la matemática. Usted ya esta familiarizado con esta materia, desde la escuela primaria, en el presente CURSO DE APOYO, nos dedicaremos a repasar y aplicar los temas fundamentales. Pero antes responderemos a una pregunta: Para que sirve la matemática? Es importante comprender que algunos de sus objetivos consisten en: -. Desarrollar la capacidad de razonamiento del estudiante. -. Favorecer el sentido de observación, análisis, espíritu crítico, investigación. Además: aprender conceptos fundamentales que constituyen una base firme, el estudio exitoso de la carrera a emprender. Para ello, esta ciencia trabaja con un método intelectual que consiste en partir de reglas impuestas, definiciones, postulados, de los cuales se derivan aplicando reglas lógicas, propiedades o teoremas. Ahora, queremos que usted advierta como los temas de este curso son pre-requisitos o condiciones para estudiar las materias básicas de la carrera universitaria. CONTENIDOS TEMÁTICOS. Magnitudes y cantidades. Sistema métrico legal argentino. Medidas de longitud, superficie, volumen, capacidad, equivalencias. Peso especifico. Razones y proporciones numéricas. Magnitudes directa e inversamente proporcionales. Logaritmación. Propiedades. Uso de la calculadora. OBJETIVOS DE LA MATERIA Que al finalizar el curso los alumnos hayan logrado: - Reconocer sistemas de unidades - Operar con los distintos sistemas. -Adquirir concepto de logaritmo. - Conocer, interpretar y aplicar los aportes teóricos asimilados para llevarlos a la práctica. -Manejar la máquina de calcular.

3 - MAGNITUDES Y CANTIDADES Magnitudes: se llaman magnitudes ciertos entes abstractos tales como la longitud, la superficie, el volumen, la abertura de un ángulo, etc., que se pueden medir. Medir es comparar una cantidad de una magnitud cualquiera con otra cantidad de la misma magnitud, a la cual se la toma como unidad. Cantidades: la magnitud correspondiente a un determinado elemento se lo llama cantidad. Ejemplo: el volumen de un cubo, la longitud de un segmento, la capacidad de un deposito, etc. Cantidades homogéneas: son las distintas cantidades de una misma magnitud. Ejemplo: Magnitud cantidades homogéneas Longitud 4 m, 2dm, 49 cm, etc. Superficie 4m 2, 27cm 2, 2km 2, etc. Capacidad 20 litros, 2 dl, 456 cl, etc..-valor DE UNA CANTIDAD A una cantidad de una magnitud corresponde un valor determinado. Este valor es igual al producto de la unidad por la medida con respeto a ella. Ejemplos: 2 metros, /2 gramos, 0,2 m 2, etc, son cantidades expresadas mediante valores. 2 m donde 2 es la medida y metros la unidad. /2 gramos donde /2 es la medida y gramos la unidad..2-sistema METRICO LEGAL ARGENTINO a) MEDIDAS DE LONGITUD Unidad: el metro Símbolo: m kilómetro hectómetro Decámetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm m m 000 m 00 m 0 m m 0, m 0,0 m 0,00m 0 m 0 2 m 0 m 0 m 0 - m 0-2 m 0 - m

4 4 b) UNIDADES DE SUPERFICIE Unidad derivada: el metro cuadrado Símbolo: m 2 Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro cuadrado cuadrado cuadrado Cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 m m m m 2 00 m 2 m 2 0,0 m 2 0,000 m 2 0, m m m m m m m 2 c) UNIDADES DE VOLUMEN Unidad derivada: el metro cúbico Símbolo: m Kilómetro Hectómetr Decámetro metro Decímetro Centímetro Milímetro cúbico o cúbico Cúbico cúbico cúbico cúbico Cúbico km hm dam m dm cm m m m m 000 m m 0,00 m 0,00000 m 0, m 0 9 m 0 6 m 0 m 0 m 0 - m 0-6 m 0-9 m d) UNIDADES DE MASA Unidad fundamental: gramo Símbolo: g kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo kg hg dag g dg cg mmg 000 g 00 g 0 g g 0, g 0,0 g 0,00 g 0 g 0 2 g 0 g 0 0 g 0 - g 0-2 g 0 - g

5 5 e) UNIDADES DE CAPACIDAD Unidad fundamental: el litro Símbolo: l kilolitro hectolitro Decalitro Litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl mml 000 l 00 l 0 l l 0, l 0,0 l 0,00 l 0 l 0 2 l 0 l 0 0 l 0 - l 0-2 l 0 - l f) EQUIVALENCIA ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD Volumen cm dm m Capacidad ml l kl = 000 l g) CORRESPONDENCIA ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN Y MASA Caso del agua pura (agua destilada) a 4 C y presión atmosférica normal. Volumen cm = ml dm = l m = kl Masa g kg tm. - PESO ESPECÍFICO DE ALGUNAS SUSTANCIAS El peso específico de una sustancia es la relación entre el peso de una porción de esa sustancia y el volumen que ocupa. Es decir: Pe = V P donde Peso del cuerpo y V su volumen. Unidades: kg / dm, g / cm y tm / m P Pe = de donde P= Pe. V V V = P Pe g Tabla de pesos específicos en cm Agua,00 Alcohol 0,80 Aluminio 2,4 a 2,89 Acero 7,80 Plata 0,50 Cobre 8,90 Estaño 7,0 Hierro 7,80.4- ACTIVIDADES PRACTICAS UNIDADES - Cuantos decímetros hay en 4 km 2 dam

6 6 2-Expresar en decímetros a),25cm +0,57 km + 5,7dam 0,0092 hm b) hm + 2,8km + 7dam. 4m 4 c) 0,008 hm + 5 cm 6 m - Expresar en centímetros a) 5, dm + m + dam 4 4 b) 4,8 dm + m + 2dam mm Reducir a metros cuadrados y efectuar a) 5 m 2, hm 2 2cm 2 b),8 dm dm Reducir a centímetros cuadrados a) 25 cm 2 82 dam 2 8 m 2 b) de2m 5 2 dm 2 6- Expresar en centímetros cúbicos y efectuar a) 52, dm + 0,6 m - mm b) m + 0,94 dm +,5 dam 0,5 m 7- Reducir a litros y efectuar a) 5,2 l + 42 hl 7, dal + 4,8 hl b) 245dl + l + 8dal.9l.dl l 4 8 8) Reducir a mililitros y efectuar a) 4 l +2/5 de 0,5 hl 5cl : 0,02

7 7 9) Sumar en litros a) 0,5 m ; 4hl 4l ; 450 cm ; 9,8 dal b) 89,5 m ; 400 dm ; 8kg; 85 dl 0) 5 dm equivalen a cuantos litros 0,4 m equivalen a cuantos kl 5 cm equivalen a cuantos ml ) 6 litros de agua destilada pesan 2, ml de agua destilada pesan 0,8 kl de agua destilada pesan 2) Calcular y expresar en en decímetros cúbico el volumen de un cubo de 75 cm de arista. -Calcular el diámetro de una jeringa cuya capacidad es de 0 ml y una longitud de 5 cm 4- Para pintar 80 m 2 se necesitan 24 kg de pintura. Cuantos litros se necesitaran para pintar una superficie rectangular de 2 metros de largo por 0 m de ancho 5- El peso específico del mercurio, sabiendo que 500 cm pesan 6,8 kg. Expresar el g resultado en cm kg, dm g 6) Hallar el volumen de 25 g de alcohol, siendo el peso especifico del alcohol 0,8 cm kg 7) Hallar el peso de 5m de arena, siendo el peso específico de la arena de,8 dm

8 8 2-RAZONES Y PROPORCIONES NUMÉRICAS. Razón: dados en un cierto orden dos números, a y b, distinto de cero, se llama razón entre a y b al numero n, cociente exacto de dividir a por b. En símbolos: a = n donde a se lo llama antecedente, b se lo llama consecuente y n b razón o relación. Ejemplos: - 6 la razón entre 6 y 4 es 9 pues = la razón entre 9 y 7 es pues = la razón entre 2 y 2 es pues = = = Proporción: dados en un cierto orden cuatro números, a, b, c y d, distinto de cero, se dice que forman proporción, cuando la razón entre los dos primeros, a y b es igual a la razón entre los dos últimos, c y d. a c En símbolos: = b y c: medios b d a y d: extremos Ejemplos: 2 5 = 4 5 es decir = 2.2 PRACTICO a) Calcular x 2 x ab 5 5 = ) = R:x = 0,25 7) 4 2n R: x = 2ab x n ab 6 2 t 2 t 4 ( p + ) 2( p + ) x 2) 5 = 2 2 R: x = -0 8) = R: x = p + t x x 8 ) = ( : 2) R: x = 2,5 9) 5 0,09 9 9,6 = R: x = 0,09 x 6 2

9 9 - MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES. Magnitudes directamente proporcionales: al aumentar las cantidades de una también aumentan las cantidades de lo otro, su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenada y la relación se expresa con la expresión: y = k x k es la constante de proporcionalidad Ejemplo: Si por un lápiz se paga 6$, por dos lápices se pagan 2$, por cinco lápices 0$, las cantidades correspondientes son: x y lápiz $ 6 2 lápices $ 2 y = k x 5 lápices $ 0 Obsérvese que la razón entre cada medida de una magnitud precio y el numero de lápices es la misma. y x y = = = 6 ( k ) implica que: = k por lo tanto y = k. x, es decir y = 6 x 2 5 x Es decir que la magnitud a que corresponde el número de lápices y la magnitud precio de los mismos son directamente proporcionales. Ejemplos de magnitudes proporcionales Poner valores y hacer los gráficos correspondientes: La longitud de la circunferencia y su diámetro. La superficie de un rectángulo y su ancho (para igual largo) La cantidad de líquido que circula por una cañería y el tiempo empleado. Magnitudes inversamente proporcionales. Al aumentar las cantidades de una disminuyen las cantidades de lo otro, la representación gráfica es una hipérbola equilátera. Relación: Ejemplo: y = k x

10 0 Si 0 0breros tardan 0 días en hacer una obra, es fácil calcular que 20 obreros en igualdad de condiciones tardan 5 días en hacer la misma obra, y que 5 obreros tardan 60 días, es decir que las cantidades que se corresponde son: 0 obreros tardan 0 días 20 obreros tardan 5 días 5 obreros tardan 60 días Así: = o bien = = x 0 = 5 x 20 = 60 x 5 = x. y = 00 por lo tanto y = x Esto se expresa diciendo que la magnitud a que corresponde el número de obreros y la que corresponde a días de trabajo son inversamente proporcionales. Ejemplos: La cantidad de mercadería y el precio unitario (para igual costo total) La base de un rectángulo y la altura del mismo (para igual superficie) 4- REGLA DE TRES. 4. Regla de tres simple Hay problemas en los que intervienen dos magnitudes que pueden ser directa o inversamente proporcionales. En dichos problemas, conociendo dos cantidades A y B de una de ellas y la cantidad C de la otra magnitud que corresponde a A, es necesario encontrar x correspondiente a B. El procedimiento que permite encontrar tal cantidad desconocida se llama regla de tres simple. Si las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales el problema es entonces de regla de tres simple directa. Ejemplo: Por 8 días de trabajo un obrero cobra $48. Cuánto cobrara si trabajara 25 días? 8dias $48 25dias.$48 25 días x por lo tanto x = = $ 50 8dias Otra forma de resolver el problema es por proporciones, es decir: 8dias $ 48 25dias.$48 = por lo tanto x = = $ 50 25dias x 8dias

11 4.2 Regla de tres simple inversa. Si las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, el problema es entonces de regla de tres simple inversa. Ejemplo. Un alumno estudiando horas diarias emplea 20 días para preparar una evaluación. Cuánto tiempo emplearía si estudiara 5 horas por día? horas días hora dias. 5 horas x = = 2dias 5 4. Regla de tres compuesta Cuando se vinculan cantidades de tres o más magnitudes, se llama regla de tres compuesta. Si cada una de las magnitudes que aparecen es directamente proporcional a la magnitud de la cantidad que se quiere calcular, el problema se llama de regla de tras compuesta directa; si todas son inversamente proporcionales, el problema se llama de regla de tres compuesta inversa. Ejemplo: Cinco rotativas imprimen en 56 minutos ejemplares. En que tiempo 7 rotativas imprimirán ejemplares? 5 rotativas min 7 rotativas x,como en este caso las magnitudes son inversamente proporcionales 5rot x 5.56 min = por lo tanto x = = 40min 7rot 56min 7 pero 40 minutos es el tiempo que 7 rotativas emplearon para imprimir ejemplares; luego para imprimir ejemplares las cantidades que se corresponden son: ej min ej x, por lo tanto min x = = 60 min = horas40min

12 PRÁCTICO - Un aeroplano tarda 2 minuto para recorrer 4,5 km. Cuánto tarda en recorrer con la misma velocidad 80 km? 2- Si una docena de copas cuestan $744. Cuanto debe abonarse por 7 de estas copas? Resp:$054 - Un automóvil recorre 50 km en hora 2 minutos. En qué tiempo recorrerá 0 km? Resp:55min 2 seg 4- Si para pintar 80 m2 se necesitan 24 kg de pintura. Cuántos kg se necesitaran para pintar una superficie rectangular de 2 m de largo por 0 m de ancho? Resp: 6 kg 5- La longitud de los 5 4 camino? Resp:687,75m de un camino es de 550,20 m. Cuál es la longitud del 6- Para empapelar una habitación se necesitan 5 rollos de papel de 0,45 m de ancho. Cuántos rollos se necesitaran, si el ancho fuera de 0,75m? Resp:9 rollos 7- Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 0 días. Cuántos obreros deberán aumentarse? Resp: 2 obreros 8- Una familia compuesta de 6 personas consume en dos días kg de pan. Cuántos kg de pan serán consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes? Resp:5 kg 9- Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 9 obreros. Cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de largo, 0,50m de ancho y 45 cm de profundidad? Resp: 29 obreros 0-En un colegio con 20 alumnos pupilos se han gastado en manutención $5.200 durante 6 días. Habiendo disminuido el numero de alumnos en. cuánto se gastara durante 0 días? Resp:$

13 5 - LOGARITMACION La operación inversa de la potenciación que consiste en calcular el exponente conociendo la potencia y la base se llama logaritmacion. Si a y b son dos números reales positivos siendo b distinto de uno, existe un único numero x tal que b x = a este numero x se llama logaritmo en base b del numero a y se indica: Ejemplo: ) log 2 8 = porque 2 = 8 2) 2 log = 2 porque = 9 5. PROPIEDADES Log b a = x esto implica que b x = a 9 ) El logaritmo de uno de cualquier base es cero. Log b = 0 porque b o = Ejemplo: log 9 = 0 porque 9 0 = 2) El logaritmo de la base es uno. Log b b = porque b = b Ejemplo: log 4 4 = porque 4 = 4 ) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. Log b ( r. s ) = log b r + log b s Ejemplo: log 2 ( 4. 2 ) = log log 2 2 = 2 + = 4) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor. Log b ( r % s ) = log b r log b s Ejemplo: log 2 ( 4 % 2 ) = log 2 4 log2 2 = 2 = 5) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia. Log b a n = n log b a Ejemplo: log 4 4 = log 4 4 =. =

14 4 5.2 Ejercicios: A) Resolver aplicando definición de logaritmo ) log 2 6 = porque? 2) log 5 25 = porque? ) log /2 4 = porque? 4) log / 27 porque? 5) log 25 = 5 porque? 6) log 49 = porque? 7 9 7) log 4 = porque? 6 8) log porque? 9) log 5 5 porque? 0) log 6 6 = porque? B) Resolver aplicando propiedades de logaritmo ) log 2 (6.8) = 2) log ( 27 % ) = ) log 2 4 = 4) log 5 25 = 5) log = 6) ( 4. 2 ) = log 2 7) log = 5 5. Logaritmos decimales. Se llaman logaritmos decimales, a los logaritmos de base diez. Notación: log 0 a = log a Para indicar el logaritmo decimal de 2, escribimos log 2.

15 5 5.4 Logaritmos naturales o neperianos: Se llama logaritmos naturales o neperianos a los logaritmos de base e, donde e es el numero irracional cuyas primeras cifras son 2,7828 y se indica log e a = ln a. Así para indicar el logaritmo natural de 2, escribimos ln Cambio de base. Conociendo el logaritmo de un número en una base determinada podemos obtener el logaritmo de dicho numero en cualquier otra base, aplicando la siguiente formula: log a = c log log b b a c Ejemplo: Calcular log 4 00, sabiendo que el log 4 = 0,6 log00 2 log 4 00 = = =, log 4 0,6 5.6 Uso de la calculadora para obtener el logaritmo de un número. a) Logaritmos decimales: para obtener el logaritmo decimal de un numero de manera inmediata, debe marcarse primero el numero y luego la tecla LOG. Así por ejemplo para obtener log 54 debe seguirse la siguiente secuencia 5 4 log y aparecerá en la pantalla el numero,7298. b) Logaritmos naturales: se procede como en el caso de logaritmo decimal pero pulsando, esta vez, la tecla LN, así para obtener ln 28 se sigue la secuencia 2. 8 LN y aparecerá en la pantalla el numero, c) Logaritmos en cualquier base: para obtener el logaritmote un número en una base cualquiera se utiliza la formula de cambio de base. log6 Así, por ejemplo, para obtener log 2 6, debe calcularse el cociente = log 2 6 log 2 siguiendo la secuencias de teclas 6 LOG + 2 LOG = El número que aparecerá en la pantalla es: 2, luego log 2 6 = 2, Para obtener log 2 6 también puede utilizarse la tecla LN. En este caso debe calcularse el ln 6 cociente = log 2 6 siguiendo la misma secuencia anterior pero pulsando la tecla LN ln 2 en lugar de la tecla LOG.

16 6 Conceptos de Física Las magnitudes pueden ser escalares o vectoriales. Magnitudes escalares: son aquellas cuyas cantidades quedan perfectamente determinadas al indicarse la medida y la unidad. Como las longitudes, las superficies, los volúmenes, etc. Magnitudes Vectoriales: son aquellas que para quedar definidas necesitan cuatro elementos: punto de aplicación, dirección, sentido e intensidad. Estas magnitudes se representan con vectores. Por ejemplo la fuerza y la velocidad FUERZAS Si del extremo de un resorte colgamos una pesa, el resorte se estira; cuanto más pesada es mayor es el estiramiento. Es decir que el estiramiento del resorte es proporcional al peso (fuerza) de las pesas. Esto es la base de la construcción del aparato que nos permite medir fuerzas y que se denomina Dinamómetro. Este instrumento de medida puede estar graduado en distintas unidades, por ejemplo : Kilogramo fuerza, Newton, Dina. Características de una fuerza Cuando pedimos a una persona que haga una fuerza de 0 N (Newton) nos puede responder: dónde quiere que la aplique? Podemos indicarle, por ejemplo, una mesa. Seguramente no quedará conforme y nos dirá: Y en qué dirección quiere que la aplique? Podemos indicarle a lo largo de la mesa. Pero, hacia acá o hacia allá?. Cuando se habla de una fuerza determinada no basta indicar su valor, hay que detallar también el punto de aplicación, la dirección y el sentido. Para determinar una fuerza hay que indicar sus cuatro características:. Punto de aplicación 2. Dirección. Sentido 4. MÓDULO o intensidad Cómo se representa una fuerza Una fuerza se representa con un vector. El origen del vector señala el punto de aplicación; la recta a la que pertenece y por donde se puede desplazar, determina la dirección, llamada también recta de acción; el extremo en forma de flecha señala el sentido, es decir hacia donde se desplaza; y eligiendo la escala, la longitud del vector representa el valor de la fuerza, o sea su intensidad o módulo.

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18 8 Punto de Dirección Sentido aplicación módulo o intensidad Sistema de fuerzas: Un cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas cuando sobre él actúan simultáneamente varias fuerzas. Resultante de un sistema: es la fuerza que aplicada al cuerpo produce exactamente el mismo efecto que todo un sistema de fuerzas. Resultante de un sistema de fuerzas Fuerzas con la misma recta de acción y el mismo sentido: En este caso la resultante tendrá: Recta de acción: la misma que la de las fuerzas componentes del sistema. Sentido: el mismo que el de las componentes Intensidad: la suma de los valores de las intensidades de las fuerzas componentes Punto de aplicación: cualquiera de los de su recta de acción Si las fuerzas tienen igual dirección pero sentido contrario la resultante tendrá el sentido de la fuerza mayor y su intensidad se determinará restando las intensidades de las fuerzas que componen el sistema Fuerzas concurrentes Fuerzas concurrentes que forman un ángulo recto entre sí: F C F R A β B F y F 2 forman un ángulo recto. Si aplicamos Pitágoras resulta: F R = F 2 + F 2 2 Descomposición de una fuerza en dos direcciones concurrentes, método gráfico y analítico Método gráfico: se conoce la recta de acción de cada una de las componentes. Usando el F método del paralelogramo se trazan por el extremo de F acción de ambas componentes. rectas paralelas a las rectas de Las fuerzas F y F 2 son las fuerzas componentes buscadas. F C β F A F B

19 9 Método analítico a) Cuando las rectas de acción de las componentes son mutuamente perpendiculares las componentes F y F 2 se llaman ortogonales. Teniendo en cuenta que el triángulo ABC es rectángulo en B: sen β = F 2 F F 2 = F. sen β cos β = F F F = F. cos β ACTIVIDADES:. Hallar la resultante de F = 500 N y F = 500 N, aplicadas a un mismo cuerpo; tienen la misma recta de acción y sentido opuesto.(hacer el dibujo a escala) 2. Hallar, gráfica y analíticamente, la resultante de dos fuerzas F = 6 N y F 2 = 8 N, que forman entre sí un ángulo de 90.. Una fuerza F de módulo 60 N forma un ángulo de 60 con una dirección arbitraria. Hallar los módulos de las componentes ortogonales de F de manera tal que una de ellas tenga por recta de acción la anterior dirección arbitraria.