REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

Transcripción

1 EXPERIMENTAL LA VICTORIA REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD en el marco de la Misión Sucre FÍSICA I AUTOR: Prof. Maria Esher Pérez La Vicoria, Enero 010

2 MÓDULO I CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL

3 VECTORES Una Canidad Escalar: Es aquélla que se especifica por compleo mediane un solo número con una unidad, posee sólo magniud. Ejemplo: masa, poencia, emperaura, iempo, volumen, rabajo, densidad, carga elécrica enre oro. Un Vecor: Es aquel que quedará definido compleamene mediane res caracerísicas, como: Módulo: es la pare escalar del vecor, es la disancia enre los exremos de un vecor, longiud del vecor. Dirección: La dirección de un vecor esá dada por la reca sobre la cual se considera que esá colocado dicho vecor. Senido: Es la orienación del vecor de acuerdo con su dirección Ejemplo: B AB A AB: Disancia enre A y B Dirección: Reca que pasa por A y B (inclinada) Senido: De A hacia B 3

4 Un vecor se puede represenar por una lera negria A y su magniud por A ó se puede represenar por una lera con una flecha sobre ella A y su magniud por A, sin flecha. COMPONENTES DE UN VECTOR La suma y la diferencia de vecores se facilian en gran medida cuando se uilizan las componenes de un sisema de coordenadas. Un vecor se represena por un segmeno recilíneo dirigido, la longiud de ese segmeno recilíneo es la magniud, y el ángulo que forma con respeco a un eje de referencia es su dirección. Cualquier vecor que se encuenre en el plano xy (sisema de coordenas caresiano bidimensional), puede represenarse como la suma de un vecor paralelo al eje x y oro paralelo al eje y. Esos vecores se llaman componenes vecoriales recangulares Ejemplo Y Ay A A = Ax + Ay 4

5 . X Ax Componene de x = Ax= A Cos Componene y = Ay= A sen La magniud de un vecor, en función de sus componenes es : A =( Ax) + ( Ay) Ax/A = Cos y Ay/A = sen Tang = Ay/Ax despejando al ángulo = arc ang (Ay/Ax) VECTOR EN UN ESPACIO TRIDIMENSIONAL En un espacio ridimensional, un vecor B puede descomponerse en sus componenes Bx, By, Bz a lo largo de res ejes en el espacio. Ejemplo: Bz B By B x Componene en X=Bx=Bsen cos Componene en Y = By=B sen sen Componene en Z= Bz=Bcos Donde B= ( Bx ) ( By ) ( Bz Los ángulos y fijan la dirección del vecor. By=B sen sen Bx=B sen cos Si dividimos By/Bx = ang ( despejando el ángulo) =arc ang -1 By/Bx ) Bz= B cos ( despejando el ángulo) 5

6 =Cos -1 By/B COSENOS DIRECTORES Esos son los cosenos de los ángulos direcores, los cuales expresan el ángulo que forma la dirección de un vecor con la pare posiiva de cada uno de los ejes de coordenadas. Esos ángulos direcores son res: Z = ángulo direcor respeco al eje X = ángulo direcor respeco al eje Y = ángulo direcor respeco al eje z Donde: Cos =Bx/B Cos =By/B Cos =Bz/B Donde B= ( Bx ) ( By ) ( Bz ) X Y REPRESENTACIÓN CANÓNICA Es la represenación de un vecor como combinación lineal de los vecores uniarios fundamenales i,j,k ĩ= (1,0,0) y dirección en el eje X ĵ=(0,1,0) y iene dirección en el Y K=(0,0,1) y iene dirección en el eje z Un Vecor en un espacio ridimensional se puede expresar como combinación lineal de ellos res: Ejemplo. B=Bx ĩ +Byĵ+Bzk SUMA La suma de dos vecores es comuaiva A+B=B+A ÁLGEBRA VECTORIAL 6

7 A=Ax ĩ +Ayĵ+Azk B=Bx ĩ +By ĵ +Bzk A+B=C C= (Ax+Bx) ĩ +(Ay+By) ĵ +(Az+Bz)k MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Hay res operaciones de muliplicación de vecores Muliplicación de un Vecor por un Escalar: La muliplicación de un vecor A por un escalar K, se escribe KA, y se define como un nuevo vecor que iene el mismo senido que A si K es posiivo y senido opueso, si K es negaivo. Para dividir un vecor enre un escalar simplemene se muliplica el vecor por el reciproco del escalar. Ejemplo: A= Ax ĩ +Ay ĵ +Azk y un escalar K k.a =kax ĩ +KAy ĵ +kazk Muliplicación de un Vecor por un Vecor de al manera que se obenga un escalar Cuando se muliplique una canidad vecorial por ora canidad vecorial se debe disinguir enre el produco escalar( que se represena por un puno) y el produco vecorial ( que se represena con una cruz). Ejemplo: Dados dos vecores A=Ax ĩ +Ay ĵ +Azk y B= Bx ĩ +By ĵ +Bzk El produco escalar se denoa A.B cuyo resulado es un numero real Es equivalene a decir la magniud de A por La magniud de la proyección B sobre A, ó la proyección de A sobre B por la magniud de B. Luego A.B= A.B cos Donde. B Teniendo en cuena que el produco escalar de ĩ. ĩ = ĵ. ĵ =kk=1 ĩ. ĵ = ĵ k=k ĵ =0 Ejemplo W= Trabajo ( escalar) F= Fuerza (vecor) S=Desplazamieno ( vecor) El produco puno de dos vecores nos da un escalar 7

8 W= F.S Muliplicación de dos vecores de al manera que se obenga oro vecor El produco vecorial de dos vecores A y B se escribe A x B y el resulado es oro vecor C Ax B = C Su magniud C=AB sen siendo el ángulo enre A y B, el senido se deermina por la regla de la mano derecha. ĩ ĵ k Ax Ay Az AxB= Bx By Bz Ejemplo: = Momeno de una fuerza (vecor) r = Posición (vecor) F =Fuerza (vecor) Al muliplicar vecorialmene (produco cruz) dos vecores se obiene un vecor = rx F MEDICIÓN Es una écnica que se uiliza para deerminar el valor numérico de una propiedad física comparándola con una canidad parón que se ha adopado como UNIDAD. Hay cuaros magniudes fundamenales independienes. Longiud, iempo, masa y carga elécrica 8

9 El Mero: ( abreviado m) es la unidad de longiud. Es igual a la disancia recorrida por la luz en el vació en un iempo de x10-9 s El Kilogramo: (abreviado Kg) es la unidad de masa.esá definido como la masa del kilogramo prooipo Núm 1( bloque de plaino) o kilogramo inernacional, para fines prácicos es igual a la masa de 10-3 m 3 de agua desilada a 4 C. 1uma (unidad de masa aómica) =1,66x10-7 kg El Segundo: ( abreviado s) es la unidad de iempo, se define como el lapso en que ranscurren periodos de la radiación correspondiene a ciera ransición del áomo de 133 Cs El Coulomb : ( abreviado C) es la unidad de carga elécrica UNIDADES Y CANTIDADES FÍSICAS COMPLEMENTARIAS DE SI Canidad Física Nombre de la Canidad Símbolo longiud mero m Masa Kilogramo Kg Tiempo Segundo S Corriene Elécrica Ampere A Temperaura ermodinámica Kelvin K Canidad de Susancia mol mol Frecuencia herz HZ Energía Joule J Fuerza Newon N Presión Pascal Pa Poencia Wa W Carga Elécrica Coulomb C Poencial Elécrico Vol V Resisencia Elécrica ohm Capaciancia farad F Inducancia Henry H Flujo Magnéico Weber Wb Densidad de Flujo magnéico esla T 9

10 Algunos Facores de Conversión de longiud 1m=39,37in=3,8f=1,904 yardas 1mi=580f=1609,4m 1al=9,461x10 15 m 1in=,54cm Donde: in= Pulgadas F=Pie mi= Millas al=año luz Algunos Facores de Conversión de Masa 1Slung=14,59kg 1 Tonelada(T)=10 3 kg 1 kilogramo(kg)=10 3 g 1kilogramo(Kg)=,05 lb( libra masa) Algunos Facores de Conversión de Tiempo 1 dia = 4 Horas (h) 1 Hora=60 minuos (min) 1 min =60 segundos (s) 1 Hora =3600 segundos (s) PREFIJOS PARA POTENCIAS DE 10 Múliplo Prefijo Abreviaura EXA E PETA P 10 1 TERA T 10 9 GIGA G 10 6 MEGA M 10 3 KILO K 10 HECTO H 10 1 DECA Da 10 0 UNIDAD 10-1 Deci d 10 - Ceni c 10-3 Mili m 10-6 Micro 10-9 Nano n 10

11 10-1 Pico p Femo f Ao a MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME, MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMENTE ACELERADO Y LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA Sisemas de Referencia Un objeo esá en movimieno con respeco a oro cuando su posición, medida en relación con el segundo cuerpo, esá cambiando con el iempo. Por oro lado, si esa posición relaiva no cambia con el iempo, el objeo se encuenra en reposo relaivo. Reposo y movimienos son concepos relaivos, es decir, dependen de las condiciones del objeo con respeco al cuerpo que sirve de referencia. Una plana y una fabrica esán en reposo con relación a la ierra, pero en movimieno con respeco al sol. Cuando pasa un carro por una parada, decimos que esá en movimieno con respeco a la parada, un pasajero que vaya en él podría decir que la parada se esá moviendo en relación con el carro, pero en la dirección opuesa. Para describir el movimieno, el observador debe definir un sisema de referencia en relación con el cual se analiza el movimieno. Un sisema de referencia puede considerarse como un objeo o conjuno de objeos en reposo con respeco al observador, en física se uilizan sisema de coordenadas bien sea caresiano, esférico o cilíndricos. Concepos Fundamenales Consideremos como sisema de referencia el eje de coordenadas caresianos x-y. Supongamos que una parícula esá en el puno A en el insane 1 (Ver figura 1), su posición en el plano x-y queda deerminado por el vecor r 1, consideremos que en un insane poserior, la parícula esá en el puno B, su vecor posición r queda deerminado por un vecor razado desde el origen del sisema de coordenadas hasa el puno B como se ve en la figura 1. Ahora el 11

12 vecor desplazamieno que describe el cambio de posición de la parícula conforme se mueve del puno A al puno B es r, donde r= r r 1. (Figura 1) Trayecoria de la parícula y A 1 r= r -r 1 r 1 B r x Por lo ano se puede definir el desplazamieno como la variación del vecor posición r= r f - r o Desplazamieno = Posición Final Posición inicial Desplazamieno = Variación del vecor posición Cuando la parícula vario su posición uilizo un iempo y el iempo ranscurrido para el movimieno enre esos punos es = ( f o ) de allí se desprende que la velocidad media de la parícula durane ese inervalo de iempo queda definiiva por V = v ( desplazamieno ) ( iemporanscurrido ) Velocidad media La canidad V es un vecor v ( Vecor ) V = ( Escalar ) 1

13 Vecor Porque se obiene dividiendo el vecor desplazamieno enre el escalar iempo. Por consiguiene, la velocidad incluye ano dirección y senido como magniud. Su dirección y senido son las de r y su magniud es r/, la magniud se expresa en unidades de disancias divididas enre unidades de iempo. La velocidad media no nos dice nada acerca de cómo fue el movimieno enre A y B, la rayecoria puede haber sido curva o reca, el movimieno pudo haber sido coninuo o variane. La velocidad media se refiere simplemene al desplazamieno oal y al iempo oal ranscurrido. Noa: Si la velocidad media resula la misma en magniud, dirección y senido enre dos punos cualquiera a lo largo de la rayecoria, deduciríamos que la parícula se había movido con una velocidad consane, eso es, siguiendo una línea reca (dirección consane) y con una rapidez uniforme (magniud consane) Velocidad Insanánea: Supongamos que una parícula se esá moviendo de al manera que su velocidad media, medida en un gran número de inervalos de iempos diferenes, no resula consane. Se dice que esa parícula se mueve con velocidad variable. La velocidad puede variar porque cambia de magniud o de dirección o de senido. Enonces raar de deerminar una velocidad de la parícula en un insane dado cualquiera es lo que se llama velocidad insanánea. En la figura se puede observar que conforme B se va acercando al puno A, enconramos que la relación del desplazamieno con respeco al iempo ranscurrido, iende a un valor límie definido, al ir haciendo cada vez más pequeño el vecor desplazamieno iende a una dirección límie, la de la angene a la rayecoria de la parícula en el puno A. Ese valor límie de v/ se llama velocidad insanánea en el puno A. 13

14 V lim 0 r La magniud V de la velocidad insanánea se llama rapidez y es simplemene el valor absoluo de V. V = V = dr/d Como la rapidez es la magniud de un vecor, es inrínsecamene posiiva. y Figura r B r A 1 B r r r B r r r x Aceleración: A menudo la velocidad de un cuerpo móvil cambia, ya sea en magniud, en dirección, o en ambas cosas, al efecuarse el movimieno, enonces se dice que el cuerpo iene una aceleración. (La aceleración de una parícula es la rapidez con que cambia su velocidad al ranscurrir el iempo). Supongamos que en un insane 1, una parícula se encuenra en el puno A y se esá moviendo en el plano xy con una velocidad insanánea V 1, y en un insane poserior se encuenra en el puno B y moviéndose con una velocidad insanánea V.( ver figura 3) Figura 3 y v A v B 14

15 1 La aceleración media a, durane el movimieno de A a B, se define como el cambio de velocidad dividido enre el inervalo de iempo, o sea, X a = v v 1 1 v La canidad a es un vecor, porque se obiene dividiendo un vecor V enre un escalar. por consiguiene, la aceleración se caraceriza por magniud, dirección y senido. Su dirección es la dirección de V y su magniud es V/ Aceleración Insanánea: Si una parícula se esa moviendo de al manera que su aceleración media, medida en varios inervalos de iempo diferenes, no resula consane, se dice que la parícula iene una aceleración variable. La aceleración puede variar en magniud, en dirección, o en ambas cosas la aceleración de la parícula en un insane cualquiera se denomina aceleración insanánea. La aceleración insanánea se define por la expresión. a = lim 1 0 v dv d La dirección de la aceleración insanánea a es la dirección límie del cambio vecorial de la velocidad v. la magniud a de la aceleración insanánea es simplemene a=dv/d. Cuando la aceleración es consane, la aceleración insanánea es igual a la aceleración media. 15

16 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME La caracerísica fundamenal de un Movimieno Recilíneo Uniforme (M.R.U) es que su velocidad (Vecor) es consane y por lo ano su rayecoria es una línea reca. Es necesario recordar que la velocidad es un vecor, por lo ano posee módulo, dirección y senido. Ejemplo 1 Consideremos un auomóvil que se desplaza a ravés de una carreera, como lo indica la figura 4. Figura 4 X o X o =5m X c = 50m X o =75m X o =100m X f =15m V V A B V C V D V E V F X AB =5m A B C D E F 1 =0S =S 3 = 4S 4 =6S 5 =8S 6 =10S Pare del puno A, donde X o = O m y sigue su rayecoria en línea reca sucesivamene hasa el puno F, donde Xr = 15m Si se analiza cada ramo, enconramos que: Xo = Om X f = X B = 5m o = 0S En el ramo AB 16

17 f = B =S Recordando que velocidad = Desplazamieno Tiempo Velocidad = X f f X 0 o 5m om V AB = 1,5m / s 5 05 Caracerísica de la velocidad en el ramo AB es: Módulo = 1,5 m/s Dirección = Horizonal Senido = Hacia la derecha En el ramo BC r x X o = X B = 5m V X f = X c = 50m X o = B = S V f f Xo 50m 5m o 4S S f = c = 4S = 1,5 m/s Caracerísica de la velocidad en el ramo Bc módulo = 1,5 m/s Dirección = Horizonal Senido = Hacia la derecha TRAMO CD Velocidad ramo CD Xo = Xc = 50 m X X f = X D =75m V o = c = 4S f f Xo o 17

18 r = p= 6S 75m 50m V 1,5m / s 6S 4S Caracerísica de la velocidad en el ramo CD Módulo = 1,5 m/s Dirección = Horizonal Senido = Hacia la derecha. TRAMO DE Velocidad ramo de DE r Xo= X D = 75m V x f f x 0 o X 1 = X E = 100m o = D = 6S f = c= 8S 100m 75m V 1,5m / s 8S 6S = 1,5 m/s Caracerísica en el ramo de módulo = 1,5m/s Módulo: 1,5m/s Dirección = Horizonal Senido = hacia la derecha. Tramo EF Xo= X E = 100m V r x f f x 0 o X f = X f = 100m o = E = 8S f = f = 10S 15m 100m V 1,5m / s 10S 8S = 1,5 m/s Caracerísica de la velocidad en el ramo EF Módulo = 1,5m/s, Dirección: Horizonal, Senido: Derecha 18

19 En resumen comparando cada ramo se concluye que el auomóvil, manuvo su velocidad consane, ya que su módulo, dirección y senido no variaron en ningún ramo, por lo ano el auomóvil posee un Movimieno Recilíneo Uniforme. Si graficamos los valores de las disancia recorrida en cada ramo en función de su iempo empleado para cada uno enconramos que: Disancia (m) Tiempo (s) 0m OS 5m S 50m 4S 75m 6S 100m 8S 15m 10S 10 X (m) Yf Gráfica m= Pendiene Yo Xo Xf Y T(S) 19

20 La reca en la gráfica 1 nos indica que exise una relación direca enre las disancia recorrida y los iempos empleados. Buscando la pendiene en la gráfica enconramos que m= Pendiene m y X y1 X 1 m= 15m 50m = 1,5 m/s La pendiene represena la velocidad del cuerpo. De la gráfica podemos concluir que un cuerpo realiza movimieno recilíneo uniforme cuando recorre disancia iguales en inervalos de iempo iguales. Con los daos de la primera gráfica se puede consruir una segunda gráfica, pero ahora relacionando velocidad en función del iempo. Velocidad (m/s) Tiempo (s) 1,5m/s OS 1,5m/s S 1,5m/s 4S 1,5m/s 6S 1,5m/s 8S 1,5m/s 10S V(m/ s) 0 y 1,5 Gráfica 10 X (s) 0

21 La gráfica resulane es una reca paralela al eje de las X, su pendiene vale cero. Recordando que m= pendiene m y X y1 X 1 1,5m / s 1,5m / s m m=0m/s Las unidades nos indica que la pendiene represena la aceleración, de allí concluimos que en un Movimieno Recilíneo Uniforme, no exise aceleración, porque la velocidad se maniene consane. En la gráfica N, se puede deerminar la disancia oal recorrida por el auo para el ejemplo V(m/ s) 1,5 Gráfica y (s) X El área que esá debajo de la gráfica es un recángulo = base x alura = 10S x 1,5 m = 15m S 1

22 Esá área (15m) es numéricamene igual a la disancia oal recorrida. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Ejemplo Consideremos un vehículo que se desplaza por una carreera en línea reca como lo indica la figura 5 Figura 5 X o X B =1,5m X c = 6m X D =13,5m X o =100m V B V C V D V E A B C D E A =0S B =1S C = S D =3S E =4S A coninuación analizaremos cada ramo para deerminar las caracerísicas de la velocidad. En la gráfica se puede ver que el iempo en cada puno va variando de 1 segundo, pero las disancias recorridas no son proporcionales con el iempo. X o = X A =om Tramo AB X f = X b =1,5m o = A =os f = B =1S Como V X

23 3 x V V f o Si el cuerpo parió de reposo, enonces su velocidad inicial vale cero. x V V B oa V B = A o r o r Vo X X V B = s m s m Om m / 3 / ,5 Caracerísica de la velocidad den el ramo AB Módulo = 3m/s Dirección: Horizonal Senido: Hacia la derecha Tramo BC X f = X c = 6m X o = X B = 1,5m r = c = 5 o = B = 1S V o = V B = 3m /S Como X V o r r f o X X V V 0

24 4 B C B C C B X X V V V C = B B C B c V X X V c = 9m/s 3m/s = 6m/s Caracerísica de la velocidad en el ramo BC Módulo = 6m/s Dirección= horizonal Senido= hacia la derecha Tramo CD X O = X c = 6m X 1 = X d = 13,5m o = c = 5 r D = 3S V o = V C = 6m /S X V o r r o r X X V V 0 C D C D C D X X V V V C = C C D B c V X X

25 13,5m 6m V B = 6m / s 3S S V o = 15m/s 6m/s = 9m/s Caracerísica de la velocidad en el ramo CD Módulo = 9m/s Dirección= horizonal Senido= hacia la derecha Tramo DE X O = X D = 13,5m X r = X E = 4m o = D = 3S r E = 4S V o = V D = 9m /S V X V o X Vr r 0 r X o V E V D X E E X o o 4m 13,5m V E = 9m / s 4S 3S V o = 1m/s 9m/s = 1m/s Caracerísica de la velocidad en el ramo DE Módulo = 1m/s Dirección: Horizonal Senido: Hacia la derecha 5

26 Cuando se revisa odos los ramos por los cuales paso el vehículo y se compara las velocidades, se puede observar, que las velocidades se manuvieron consane en dirección y senido pero su módulo vario, por lo ano el sisema esá acelerado, basa que cambie al menos una caracerísica del vecor velocidad para que se produzca una aceleración. En la figura 6, se puede observar que la velocidad aumena canidades iguales en inervalos de iempos iguales Figura 6 VA=om/s V B =3m/s V c = 6m/s V D =9m/s V E =1m/s V V V V A =0S B =1S C = S D =3S E =4S Ahora se analizará su aceleración en cada ramo V o =V A = om/s V r =V B =3m/s o = A =OS r = B =1S Módulo: 3m/S V a Tramo AB Vr Vo 3m / s om/ s a 1S OS r o 3m / s Caracerísica de la velocidad en el ramo AB Dirección: Horizonal Senido: Derecha 6

27 7 Tramo BC V o =V B = 3m/s o f o f V V V a V r =V C =6m/s o = B =1S / 3 1 / 3 / 6 s m S S s m s m a r = C =S Caracerísica de la aceleración en el ramo BC Modulo: 3m/s Dirección : Horizonal Senido: Derecha Tramo CD V o =V C = om/s o f o f V V V a V r =V D =9m/s o = C =S / 3 3 / 6 / 9 s m S S s m s m a r = D =3S Caracerísica de la aceleración en el ramo CD Módulo 3m/S Dirección: Horizonal Senido: Derecha Tramo DE V o =V O = 9m/s o r o r V V V a V r =V E =1m/s o = D =3S / / 9 / 1 s m S S s m s m a

28 r = E =4S caracerísica de la aceleración en el ramo DE Modulo: 3m/s Dirección : Horizonal Senido: Derecha Comparando las aceleraciones del vehículo en cada ramo, se observa que la aceleración se maniene consane ano en módulo, como en dirección y senido. Si observamos la figura 6, se puede concluir que para que exisa un Movimieno Recilíneo Uniformemene acelerado o reardado su velocidad debe aumenar o disminuir canidades iguales en inervalos de iempos iguales y, su rayecoria debe ser una línea reca. Gráfica de disancia en función del iempo de la Figura 5 Disancia (m) (segundo) 0m 1 =OS 1,5m =1S 6m 3 =S 13,5m 4 =3S 4m 5 =4S 8

29 X(m) Gráfica 4 6 Disancia en función del iempo La gráfica represena una semi parábola S S 3S 4S 5S (s) Si se eleven al cuadrado los iempos Disancia (m) (segundo ) 0m OS 1,5m 1S 6m 4S 13,5m 9S 4m 16S 9

30 X(m) Gráfica 5 8 Disancia en función del iempo al cuadrado y 1 x 1 y =m x 0 S 4S 6S 8S 10S 1S 14S 16S (S ) La gráfica 5 nos indica que exise una proporción direca de la disancia con los iempos al cuadrado, deerminando la pendiene. m= pendiene m= m= y X y1 X 1 13,5m 6m 9S 4S como la X 1,5m / X= k, si m es igual a K donde K= 1 a s 30

31 V(m/S) Susiuyendo 1,5m/s = 1 a ( 1,5m/s ) = a 3m/s =a Si graficamos los daos obenidos en la figura 6 Velocidad (m/s) Gráfica 6 0m/s 3m/S 6m/S 9m/S 1m/S Tiempo S OS 1S S 3S 4S Velocidad en función 1 11 y m=pendiene y 1 x 1 x 1 31

32 0 1S S 3S 4S 5S T(S) En la gráfica Nº 6 vemos que exise una relación direca de la velocidad en función del iempo, además se puede observar que la velocidad aumena canidades iguales en los inervalos de iempo iguales. Deerminado la pendiene m= y x y1 x 1 m= 1m/ s 3m / s 3m / s 4S 1S Las unidades nos indica que se raa de la aceleración Se iene que V V = K Como el vehículo parió del reposo Vo= Om/s V f = Vo + a V = a Donde la pendiene represena la aceleración y se raa de una aceleración consane. En la gráfica N 6, se puede deerminar el área. 3

33 Y V(m/s) Gráfica m=pendiene S S 3S 4S 5S 6s (S) El área bajo la gráfica es un riángulo área de un riángulo Base x alura Área = 4 x 1 = 4 El área de la gráfica de la velocidad conra el iempo es numéricamene igual a la disancia oal recorrido por el vehículo en el ejemplo. 33

34 Deducciones de las ecuaciones para un movimieno recilíneo uniformemene acelerado Cuando la aceleración media es igual a la aceleración insanánea, el cuerpo posee una aceleración consane, como consecuencia, la velocidad aumena o disminuye con la misma rapidez, en odo el movimieno. Sabemos que: a v f f v o o (variación de la velocidad) (Variación del iempo) Por conveniencia, sean 1 =0 y f cualquier insane arbirario. También, sea V i = V o (la velocidad inicial en =0 ) y V f =V (la velocidad en cualquier insane arbirario ) se puede expresar la aceleración como: V a Vo V = Vo + a (despejando) Una caracerísica del movimieno unidimensional con aceleración consane, es el hecho de que dado que la velocidad varía linealmene con el iempo (ver gráfica 6), se puede expresar la velocidad media en cualquier inervalo de iempo como la media ariméica de la velocidad inicial( V o ) y la Velocidad final ( V) V Vo V (velocidad media para aceleración consane) 34

35 Esa expresión sólo es válida cuando la aceleración es consane, es decir, cuando la velocidad varía linealmene con el iempo. Como velocidad media se puede expresa de la siguiene manera: V x x V (despejando el desplazamieno) Vo V x (susiuyendo la velocidad media) pero V = Vo + a (Esa ecuación represena la velocidad final de la parícula en función del iempo) susiuyendo a la velocidad final en la ecuación del desplazamieno, enemos: x ( Vo Vo a) 1 x Vo a x 1 (Vo a ) 1 X f -X o =Vo+ a Xf 1 Xo Vo a 35

36 Esa ecuación represena la posición de la parícula en cualquier insane Se puede obener ora expresión úil que no conenga al iempo 1 X Xo ( Vo V ) como V= Vo+a Despejando a V Vo a Susiuyendo en la primera expresión 1 V Vo X Xo ( Vo V ) a X Xo 1 VoV a Vo V VVo X Xo 1 ( V a Vo ) a( X Xo) V Vo V Vo ax Esa ecuación represena la velocidad final de la parícula en función del desplazamieno. 36

37 RESUMEN DE LAS ECUACIONES Para un Movimieno Recilíneo Uniforme Como la velocidad es consane, no exise aceleración en el sisema, la única expresión maemáica es: dx V o d donde V x V= Velocidad (m/s) X= Disancia (m) = Tiempo (s) Para un Movimieno Recilíneo Uniformemene Acelerado Para ese ipo de movimieno, la aceleración se maniene consane, y la velocidad puede aumenar o disminuir linealmene en función del iempo por lo ano se puede ener un Movimieno Recilíneo Uniformemene Acelerado o un Movimieno Recilíneo Uniformemene Reardado. Si VF Vo se iene Movimieno Recilíneo Uniformemene Acelerado Si Vo Vf se iene Movimieno Recilíneo Uniformemene Desacelerado Las ecuaciones son V F = Vo a V f = V o ax Vo Vf V X V Vo Vf V 37

38 X f = Xo+Vo 1 a Se uiliza el signo más si se raa de un Movimieno Recilíneo Acelerado y signos menos si se raa de un Movimieno Recilíneo Uniformemene Reardado leyenda: V f = Velocidad final (m/s) V o = Velocidad Inicial ((m/s) a= Aceleración consane (m/s ) X= Variación del desplazamieno (m) V = Velocidad Media (m/s) = Tiempo empleado Resolución de Ejercicios 1) El movimieno de una parícula esá definido por la 5 3 relación X 5 4 1,, donde X esá expresado en mero y en 5 segundo. Deermine a) la posición de la parícula para 1 = 0S y = 1S b) El desplazamieno de la parícula enre y 1 c) La velocidad media enre y 1 d) la velocidad insanánea para 1 =0s y =1S e) la aceleración promedio para el iempo y 1 f) La aceleración insanánea para 1 =0S y =1S Procedimieno a) La posición de la parícula en cualquier insane viene dada por la relación, 5 3 X 5 4 1, si se quiere deerminar su posición en cualquier iempo, 5 simplemene se susiuye los valores del iempo dado en la expresión dada. Para 1 =0S X , 38

39 Posición X 1 X 1 = 5(0) 5 3 4(0) (0) 1 m 5 X 1 =-1m Posición X, para = 1S X = 5(1) 5 3 4(1) (1) 1 m 5 X = m 5 X = 0,4m b) El Desplazamieno enre y 1 Como desplazamieno = Variación del vecor posición X= X r - X o Desplazamieno = posición final posición inicial Susiuyendo X=(0,4m) (-1,0m)= X= 0,4m + 1m = 1,4m c) La velocidad media V enre y 1 V = Variación del vecor posición Variación del iempo V X r X 1 0 o (0,4m) ( 1m) V 1, m / S 1S 0S 39

40 d) Velocidad insanánea para 1 = 0S y =1S dx V= d Derivada de la posición en cualquier insane En función del iempo Velocidad Insanánea Susiuyendo 5 3 d5 4 / 5 1 V = d V= ( /5) m/s represena la velocidad en cualquier insane evaluando para 1 =0S, en la ecuación anerior, se susiuye iempo por OS. V= 5(0) 4-1(0) +4/5(0)m/s V= 0 m/s Para =1S V= 5(1) 4-1(1) +4/5(1)m/s V= (5-1+4/5) m/s V= 13,8 m/s e) La aceleración media enre y 1 a = V Susiuyendo Variación de la velocidad Variación del iempo a = V f -V o = (13,8m/s) (0 m/s) = 13,8 m/s f -V o 1S 0S f) La aceleración insanánea para 1 =0S y = 1S a= dv derivada de la velocidad en cualquier insane d en función del iempo 40

41 aceleración insanánea susiuyendo 4 d5 1 4 / 5 a= d a= ( /5) m/s esá represena la aceleración en cualquier insane para el ejercicio dado luego la aceleración para 1 =0S y =1S, se consigue susiuyendo el iempo para cada valor. Para 1 = 0S a= 100(0) 3-4(0)+4/5m/s a=0,8 m/s para 1 = 1S a= 100(1) 3-4(1)+4/5m/s a= ( /5) m/s = 76,8 m/s ) El movimieno de una parícula esá definido por la relación 3 5 X ( ) f, donde X esá expresada en pies (f) y en segundos. Deermine el iempo, la posición y la velocidad cuando la aceleración es cero. Procedimieno a) X ( 30 8) f, represena la posición en cualquier insane. 3 41

42 b) Velocidad se obiene derivando la posición en cualquier insane en función del iempo. dx V= d Susiuyendo d V 3 5/ 3 5/ 30 8, d V= (5-5-30) m/s, esá expresión represena la velocidad en cualquier insane c) La aceleración se obiene derivando la velocidad en cualquier insane en función en iempo. a= dv d susiuyendo d a d a = (10 5) m/s, esa expresión represena la aceleración en cualquier insane. Como el ejercicio dice que deermine la posición y la velocidad cuando la aceleración vale cero, enonces se iguala a aceleración en cualquier insane a cero y de allí se despeja el iempo. a= =10 5, se despeja el valor del iempo 5 =, luego = 0,5S 10 4

43 cuando el iempo vale 0,5 S, la aceleración se hace cero. Una vez obenido el iempo, se evalúa la posición y la velocidad para = 0,5S a= Posición en cualquier insane X= 30 8 f 3 Para = 0,5S X= (0,5) (0,5) 30(0,5) 8 f 3 X= (0,1-0, ) f X= (8,1-15,01) f = -7,4 f b) La velocidad en cualquier insane V= (5 5-30) m/s Para = 0,5S V= [5(0,5) -5(0,5)-30] m/s V= (1,5,5 30) m/s V= -31,5m/s 3) Un adolescene iene un auo que acelera a 3,0 m/s y desacelera a- 4,5m/s. en un viaje a la ienda, acelera desde el reposo hasa 1 m/s, maneja a velocidad consane durane 5,0S y luego se deiene momenáneamene en una esquina. Acelera después hasa 18m/s, maneja a velocidad consane durane 0S, desacelera durane 8/3S, coninua durane 4,0S a esá velocidad y después se deiene. a) Cuano dura el recorrido? b) Qué disancia recorre? c) Cuál es la velocidad promedio del viaje? d) Cuáno ardaría se caminará a la ienda y regresa a ese mismo modo a,15m/s? 43

44 Procedimieno Lo primero que se debe hacer, es realizar un esquema de lo expueso aneriormene Puno de Parida V o =om/s V B =1m/s V c =1m/s V o =0m/s V E =18m/s V F =18m/s V G =? V H =V G V F =0m/s Tienda puno de Acelera V=ce desacelera acelera V=ce desacelera v=ce desacelera Lo que se debe hacer es analizar cada ramo, y buscar el iempo y la disancia en cada uno de ellos. Tramo AB Allí se raa de un Mov. Re. Unif. Acelerado (M.R.V.A.), donde VoVf, se iene que: Vo= 0m/s Vf= Vb= 1m/s a= 3,0m/s (dado en el ejercicio, cuando acelera) Recordando que a) Vf= Vo + a (Signo más, si es acelerado) despejando = Vf Vo a Tab= 1m/s 0m/s = 3,75s 3,0m/s b) V f = Vo + xa (Despejando la disancia) X = V f -V o a 44

45 X ab = (1m/s) (0m/s) (3,0m/s ) X ab =,5m Ora ecuación que se puede uilizar X ab = Xo + Vo + 1 a ab Tramo BC La paricular se desplaza con velocidad consane desde el puno B hasa el puno C, por lo ano posee un M.R.U. V = X X= V X bc = 1m/s 5s =60m bc = 5,0S (lo da el ejercicio) Tramo CD El vehículo desacelera hasa que se deiene por lo ano posee un Mov. Rec. Unif. desacelerado. V o = V c = 1m/s Vf= V D = 0m/s a= 4,5 m/s ( lo da el ejercicio, cuano desacelera) a) como Vf= Vo a (el signo menos se uiliza cuando el cuerpo desacelera) Despejando el iempo () = V o Vf a 45

46 CD = 1m/s 0m/s =,67s 4,5 m/s b) V f = Vo xa (el signo menos, porque el mov. es desacelerado) Despejando a x X= Vo Vf a susiuyendo X CD = (1m/s) (om/s) = 16m (4,5m/s ) TRAMO DE El vehículo pare del reposo y acelera hasa adquirir una velocidad de 18m/s. en ese ramo se iene un Mov. Rec. Unif. Ace. (MRUA) Donde Vo=0m/s V f = VE= 18m/s a= 3,0m/s (cuando el vehículo acelera, dado en el ejercicio) Vf= V o + a despejando = Vf Vo a susiuyendo DE = (18m/s) (0m/s) = 5,63S 3,0m/s b) Vf = Vo + xa despejando x X= Vf Vo a 46

47 Susiuyendo X DE = (18m/s) (0m/s) = 50,63m (3,0m/s ) Tramo EF El vehículo maniene su velocidad, durane 0S, por lo ano en ese ramo se iene un Movimieno Recilíneo Uniforme. V= X X= V X EF = 18m/s 0S = 360m T Ef =0S (dado en el ejercicio) Tramo FG El vehículo desacelera hasa una velocidad desconocida y el iempo que emplea en adquirir esa velocidad es 8/3s. en ese ramo se iene un Mov. Rec. Unif. desacelerado Donde V o = V f = 18m/s Vr= Vo=? T FG = 8/3 s a= 4,5 m/s (cuando el cuerpo desacelera dado en el ejercicio) a) Vf= Vo a (el signo menos, es porque el Mov. es desacelerado) V B = V f a FG Susiuyendo V G = (18m/s) (4,5ms ) (8/3s) V G = 18m/s 1m/s= 6m/s 47

48 b) luego V f = Vo xa despejando a x X FG = (V f ) (V G ) a Susiuyendo X FG = (18m/s) (6m/s) = 3m (4,5m/s ) TRAMO GH El cuerpo maniene la velocidad final que adquirió en el ramo anerior por 4 segundos el vehículo en ese ramo posee movimieno recilíneo uniforme. V=x/ despejando a x X=v. X GH = 6m/s.4s =4m TRAMO HI El vehículo desacelera hasa que se deiene, en ese ramo el vehículo posee Mov Rec. Unif: desacelerado V o =V H =V G =6m/s V f =V I =0m/s a=4,5m/s (dado en el ejercicio cuando desacelera) como: V f =V o -a (Despejando el iempo) T=Vo-Vf a Susiuyendo: 6m / s 0m / s = 1,34S 4,5m / s 48

49 V f = Vo xa X= Vo a V f (6m / s) (0m / s) X= (4,5m / s ) 4 m a) Cuano dura el recorrido? El iempo oal será igual a la suma de los iempos en cada ramo T=T AB +T BC +T CD +T DE +T EF +T FG +T GH +T HI Susiuyendo: T =3,75S+5,0S+,67S+5,63S+0S+8/3S+4S+1,34S=45,06S b) Qué disancia recorre? X =X AB +X BC +X CD +X DE +X EF +X FG +X GH +X HI Susiuyendo X T =,5m+60m+16m+50,63m+360m+3m+4m+4m=569,13m c) Cuál es la velocidad promedio del viaje? X 569,13m V 1,63m / s 45,06s d) Cuáno ardaría si caminaría a la ienda y regresa a ese mismo modo a 1,5 m/s? Supongamos que la persona camina a un rimo moderado, de ser así endría, un Movimieno Recilíneo Uniforme al llegar a la ienda y un Movimieno Recilíneo Uniforme al regresarse de la ienda. Como V= X 49

50 y la disancia desde donde comienza el vehículo a la ienda la enemos que es 569,13m, despegamos el iempo = X= (569,13m) = 379,4s V (1,5m/s) Se ardaría en ir y en venir el doble T = (379,45) = 759s 4) Un auomóvil que esá parado en un semáforo acelera a,80 m/s al encenderse la luz verde, 3,10 segundos después, un camión que se mueva a una velocidad consane de 80,0 km/h se rebasa el auomóvil. El auomóvil maniene una aceleración consane hasa llegar a la velocidad de 104 km/h y coninua enonces a esa velocidad Cuáno iempo pasará desde que se prendió la luz verde hasa que el auomóvil se rebase al camión? esará el auomóvil acelerado odavía o ya se moverá a velocidad consane? Se hace un esquema y Vo=om/s X Inicialmene el auomóvil esá en reposo, y a los 3,10 segundos de haber acelerado, un camión que viaja a velocidad consane pasa al auo. Se iene que para el auomóvil Vo= 0m/s a=,80 m/s = 3,10s Durane ese iempo el auo avanzo una disancia X o1 50

51 Como Vf = Vo + xa (signo + porque es el Mov. es acelerado) Despegando a x X o1 = Vf 1 -V o a Pero Vf 1 =? V f = V o + a Vf 1 = 0m/s+(,80m/s ) (3,10s) Vf 1 = 8,68 m/s Susiuyendo en X 01 X 01 = (8,68m/s) (0m/s) X 01 = 13,5 m (,80m/s ) Ubicando ambos en un esquema para el iempo 3,10s (0,0 ) Vo om / s V 8,68m / s 1 (MRUA) 13,5m V c,m / s (MRU) El auomóvil maniene su aceleración hasa alcanzar una velocidad de 104km/h y a parir de allí conserva esa velocidad. Ahora el auomóvil uilizo un iempo para adquirir esa velocidad. Uilizando la expresión Vf= Vo + a Vf= V 1 + a despejando = V f V 1 susiuyendo a 51

52 = (8,88m/s 8,68 m/s),80m/s = 7,1S y durane ese iempo el auo avanzo ora disancia. V f = Vo + xa despejando a x X= Vf V A a X= (8,88m/s ) (8,68 m/s) (,80m/s ) X auo = 135, 48m X auo = 135,5m X T = X ,5m = 13,5m + 135,5m = 149m Ora forma de calcular la disancia oal, desde el origen hasa que adquirió su velocidad de 8,88m/s X= Xo + Vo + 1 a X= 13,5m+ (8,68m/s) (7,1s) + 1 (,80m/s ) (7,1S) X= 13,5 m + 6,58m + 7,77m X= 148,85m X= 149m Para el camión que posee Movimieno Recilíneo Uniforme V= X/T despejando X= V X=,m/s. 7,1S Xc= 160,0m 5

53 X TC = 13,5m + 160,0m = 173,7m Y haciendo nuevamene el esquema. Vo=0m/s 149m V 8,8m / s (MRU) 173,7m X V,m / s (M.R.U.) X Puno de encuenro Ahora ambos, se mueven a velocidad consane. Tomando como puno de referencia el origen se iene que la disancia que recorre el auo desde el origen al puno de encuenro es exacamene igual a la disancia del origen del camión al puno de encuenro. X a = X TC Disancia oal = Disancia oal del auo del camión la disancia falane se puede reemplazar uilizando la ecuación V= X despejarlo X X= V (Solamene para MRU) Va = 173,m + Vc ambos deben uilizar el mismo iempo para llegar al puno de encuenro; susiuyendo las velocidades de cada uno 149+8,8= 173,7 +, agrupando érminos 53

54 ,7 =, 8,8-4,7= (, 8,8) -4,7 = -(6,06) Despejando al iempo -4,7-6,06 = 4,07s es el iempo que arda ambos en llegar al puno de encuenro, a parir del momeno en que ambos poseen velocidad consane o Movimieno Recilíneo Uniforme. Como ya se enconró el iempo, se puede deerminar las disancias oal de ambos X auo = 149m + 8,8m 4,07 s s X ano = 64,1m X camión = 173,7m +,m 4,07 s s X camión = 64,1m Comprobando que X c = X a El iempo oal, que ranscurrió desde el origen del sisema de coordenada hasa el puno de encuenro es: T = 3,10S + 7,1S + 4,07S T =14,38S 54

55 5) Desde un puno A se desplaza un vehículo a 80km/h y desde un puno B se desplaza en senidos conrario oro vehículo a 60km/h, la separación enre A y B es de 560km calcular a) El iempo que arda en enconrarse b) La disancia de A al puno de encuenro Esquema A V OA,m / s oa Vo V V ob = 16,66m/s B Puno de encuenro X A X A m ambos vehículos poseen Movimieno Recilíneo Uniforme, ya que sus velocidades se manienen consane en módulo, en dirección y en senido. El iempo que emplea el auo A en llegar al puno de encuenro, debe ser el mismo iempo que emplea el auo B en llegar a ese mismo puno T ap = T Bp = Para el cuerpo A para el cuerpo B V= X V= X X= V X B = V B X A = V a m - X A = V B Susiuyendo X A en la ecuación del cuerpo B m X A = V B m V A = V B agrupando érminos m= V B + V a (Sacando facor común ) 55

56 m= (V B + V A ) Susiuyendo valores m= (16,66m/s +,m/s) m= (38,88m/s) despejando al iempo = m = 14,40x10 3 s 38,88m/s ese el iempo que ardan ambos en cruzarse luego X A = V A X A =, m/s 14,40m x 10 3 s X A = 30 X10 3 m X B = V B X B = 16,66m/s 14,40 x 10 3 s X B = 39,90 x 10 3 m = 40 x 10 3 m Luego X T = X A + X B X T = 30 x 10 3 m + 40 x 10 3 m X T = 560 x 10 3 m 56

57 6) Una paricular se mueve con aceleración consane y recorre el espacio que separa dos punos disanes de 54m en 6S su velocidad cuando pasa por el segundo puno es de 13,5m/s Cuál es su aceleración y velocidad en el primer puno? Esquema V 1 1 =? 6S V = 13,5 m/s (0,0) X Puno 1 =54m Puno 1 Pariendo de la velocidad media V X V Como la aceleración es consane, la velocidad media, se pudo expresar como media ariméica de la velocidad inicial y final. Vo Vf V desde el puno 1 hasa el puno para el ejercicio la V o = V 1 (en el puno 1) y la V f = V (en el puno ) susiuyendo X V Vo Vf X V1 V X X 1 Despejando la velocidad en el puno 1 V X X 1 1 V 57

58 Susiuyendo, 54m 0m V 1 13,5m / s 6s 0s V 1 = 4,5m/s Como la aceleración es consane, va a ener el mismo valor en cualquier puno. Por lo ano desde el puno 1 hasa el puno. Vf= Vo + a (V > V 1 ) V = V 1 + a 1 despejando la a V V a 1 1 susiuyendo los valores 13,5m / s 4,5m / s a 1,5 m / s 6s si la parícula parió del reposo, cuál es su disancia oal desde ese puno (origen) hasa el puno? Viendo el esquema, desde el puno 0 hasa el puno 1 Vo= 0m/s Vf = V 1 = 4,5 m/s a= ce = 1,5 m/s como V f = V o + a despejando 1 01 V Vo a susiuyendo 4,5m / s 0m / s 01 3s 1,5m / s luego X f = Xo + Vo + 1 a 58

59 X 01 = 0m + 0m/s + 1/ (1,5m/s ) (3s) X 01 = 6,75m Desde el puno 1 al puno V f = V 1 + X 1 a despejando X 1 X 1 Vf V a 1 susiuyendo X 1 (13,5m / s) (4,5m / s) (1,5 m / s ) X 1 = 54m Enonces X T = X 01 + X 1 X T = 6,75 m + 54m X T = 60,75m Ora manera de deerminar X T X T = Xo + Vo + 1 a T donde T = T = 3s + 6s = 9s susiuyendo el valor de X T = 0m + om/s + 1 (1,5m/s ) (9s) X T = 60,75m 59

60 7) El iempo de reacción de un conducor medio de un auomóvil es aproximadamene 0,75 (el iempo de reacción es el inervalo que ranscurre enre la percepción de una señal para deenerse y la aplicación de los frenos). Si un auomóvil puede experimenar una desaceleración de 4,8m/s. Calcule la disancia oal anes de deenerse una vez percibida la señal, cuando la velocidad es de 30km/h. Esquema Vo= 8,33m/s V B = 8,33m/s Vc= 0m/s Percibe la señal Aplica los frenos Se deiene (0,0) A B C X Analizando el ejercicio por segmeno, se iene que: Del segmeno A hasa el segmeno B Se iene a una persona que va en un vehículo con una velocidad de 8,33m/s; ve una señal, y arda 0,7S en colocar los pies en el freno, pero durane 0,7s se desplazo una disancia dada y manuvo la velocidad Por lo ano desde el segmeno A hasa el segmeno B, posee un Movimieno Recilíneo Uniforme Como V= X = X= V X AB = V AB X AB = 8,33 m 0,7s = 5,83m s Del Segmeno B hasa el Segmeno C En el puno B la persona aplica los frenos y el vehículo pierde velocidad hasa que se deiene, pero en el momeno de aplicar los frenos, el vehículo iene una velocidad de 8,33 m/s. 60

61 Como Vf < Vo y el cuerpo además se desplaza en línea reca, se iene un Movimieno Recilíneo Uniformemene desacelerado. Recordando que: Vf = Vo xa (Desacelerado) Despejando a X X Vo V a 1 X BC V B a V BC C Susiuyendo X BC (8,33m / s) ( om / s) (4,8m / s ) X BC = 7,3m Luego X T = X AB + X BC X T = 5,83 m + 7,3m = 13,06m 8. Una paricular maerial se desplaza en línea reca con una velocidad V= (3 + 5) m/s, para = 0s la parícula se encuenra en el puno Po= (,0). Calcular: a) La posición de la parícula en cualquier insane, b) El desplazamieno de la parícula en el inervalo de iempo comprendido enre 1 = s y = 5s. Es necesario recordar que se pare de la posición de una parícula y se deriva, se deermina la velocidad de esa parícula, pero si derivamos la velocidad obendremos su aceleración, por supueso odo en función del iempo. X V a Pero podemos uilizar las herramienas maemáicas para ir en un proceso conrario, es decir, hacia arás. 61

62 Si se inegra la aceleración, obendremos la velocidad y si inegramos la velocidad obendremos la posición X V a Inegrando Inegrando En el ejercicio nos dan la velocidad en cualquier insane y nos piden la posición X V Por lo ano debemos inegrar la velocidad en cualquier insane pariendo de: V = dx d V d = dx se inegra en ambos lados Vd xf Xo dx luego se susiuye la V por la velocidad en cualquier insane ( 3 5)d xf Xo dx 3 d 5 d ce ce 3 d 5 d xf Xo dx xf Xo dx = X f X o despejando X f X f = X o represena la posición en cualquier insane 6

63 pero inicialmene se iene que P o = posición inicial X o =m e Y o =0m P = (, 0), susiuyendo a X o en la ecuación X F X f = ( ) m Evaluando la posición para cada iempo a) Posición para 1 = s X f = ( ) m se susiuye a por s X f = ( + 3() + 5()) m X f = 18m b) Posición para = 5 s X f = ( ) m Se susiuye a por 5 s X f = ( + 3(5) + 5(5)) m Xr = 64,5 m El desplazamieno ( X) enre 1 y X= Variación del vecor posición X= X f Xo X= (64,5m)- (18m) = 46,5m 9) Un puno se mueve con la velocidad Vx = (5) m/si e Vy= ( -) m/sj, Si para = 0s el móvil se encuenra en P o = (,5) m. Calcule a) la posición, b) la velocidad, c) la aceleración para odos a los 4S. 63

64 Se puede rabajar primero para un eje y luego para el oro eje. Para el eje de las X Se iene Vx= (5) m/s i Debemos recordar que X V a Pero si inegra desde la aceleración, se obiene que X V a La inegral de la aceleración nos da la velocidad La inegral de la Velocidad nos da la posición a) Si se iene la velocidad y se quiere buscar la aceleración, simplemene derivamos la velocidad V a a= dv derivamos la velocidad en cualquier insane d en función del iempo a= d (5) d a= (5m/s ) i b) Si se iene la velocidad y se quiere buscar la posición, se debe inegrar la velocidad V = dx d V d = dx (se inegra a ambos lados) Vd dx 5d ce xf Xo dx 64

65 5 d xf Xo dx 5 /= X f X o despejando a X f X f = (Xo + 5 /) m posición en cualquier insane Pero X o = m X f = (+5 /) m Evaluando para = 4s Xf = + 5(4) m Xf = 4m c) La velocidad a los 4s V = (5) m/s, se susiuye a por 4s V= 5(4) m/s = 0 m/s Para el eje de las y, se iene que Vy = ( ) m/s j a) Para deerminar la velocidad a los 4s, solamene susiuimos a por 4s Vy = (4) - m/s = 14 m/s b) Para deerminar su aceleración, derivamos la velocidad en función del iempo. a= dv Velocidad en cualquier insane d d a en función del iempo d m / s luego la evaluamos para = 4s a = (4) m/s = 8 m/s c) Para deerminar su posición, inegramos la velocidad V = dx d 65

66 Vd = dx inegramos a ambos lados xf Vd dx susiuimos a V por la velocidad en cualquier insane Xo ( )d xf Xo dx d d ce d 3 3 d xf Xo dx xf Xo dx X r X o despejando a X f X f = (Xo + 3 ) m 3 pero X o = Y o = 5m y X f = Y f Y f = (5 + 3 ) m posición en el cualquier insane 3 evaluando para = 4s 3 (4) Yr 5 (4) m 3 Y f = 18,33m j 10) Una parícula se mueve con una aceleración a= (ĩ - 1ĵ) m/s, para =0s la parícula se encuenra en el puno (0,0) con una velocidad Vo = (1ĩ + ĵ) m/s, calcular a) La velocidad de la parícula en el insane =5s b) La posición de la parícula para = 0s; c) Con que velocidad media se ha desplazado la parícula en el inervalo = 0s a = 5s? 66

67 Daos a= ( ĩ - 1 ĵ) m/s = 0s Xo Yo P o = ( 0 ĩ, 0 ĵ) m Vo = (1 ĩ + ĵ) m/s a) Vr =? = 5s La información de la aceleración y de la velocidad inicial, esá expresado vecorialmene Recordamos que Vr = Vo + a Susiuimos los valores de Vo y a Vr= (1 ĩ + ĵ ) m/s + ( ĩ - 1 ĵ ) m/s Esá ecuación nos represena la velocidad final en cualquier insane. Para Vr=? En el insane = 5s, lo que se hace es susiuir a por 5s Vr= (1 ĩ + ĵ) m/s + ( ĩ - 1 ĵ)m 5s Vf= (1 ĩ + ĵ) m/s + (10 ĩ - 5 ĵ ) m/s Se suman los vecores Vf = (11ĩ - 3 ĵ ) m/s Vx Vy Su modulo Vf s Vf ( Vx) ( Vy ) Vf (11m / s) ( 3m / s) 11,40m / s b) La posición para = 0s la posición se puede expresar como Xf= Xo + Vo + 1 a 67

68 susiuyendo los valores Xf= Xo + (1 ĩ + ĵ ) m + 1 ( ĩ - 1 ĵ ) m S S Esá ecuación nos represena la posición en cualquier insane. Luego para =0S, donde ese se susiuye para 0S Xr= Xo + (1 ĩ + ĵ) m (0)s + 1 ( ĩ - 1 ĵ) m (0S) S S Información que da el ejercicio se puede verificar ese resulado. Para = 0S, la parícula se encuenra en X=0 m o y=om c) Para = 5S Xr= Xo + (1 ĩ + ĵ) m 5s + 1 ( ĩ - 1 ĵ ) m (5S) S S Xr= Xo + (5 ĩ + 10 ĵ ) m + (5 ĩ - 1,5 ĵ ) m Se suman los vecores Xr= (30 ĩ,5 ĵ)m, esa ecuación represena la posición a los 5 S. d) Velocidad media V X V Xr Xo r o (30i,5 j) m/ s (0) m V 5S 0S 30i,5 j 6i 0,5 j V m/ s, V m/ s 5 5 Vx Vy 68

69 Movimieno Verical Libre Se ha comprobado experimenalmene que, cuando un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad una disancia relaivamene cora de unos cuanos meros, el movimieno es uniformemene acelerado. Esa aceleración es la misma para odos los cuerpos, se denoa con la lera g y se conoce como aceleración de gravedad. Por supueso, si el movimieno es hacia arriba la aceleración es la misma (es decir, hacia abajo) pero el movimieno es desacelerado. Esas afirmaciones son correcas siempre y cuando podamos despreciar los efecos debidos a la resisencia del aire, y por lo ano se puede aplicar a cuerpos compacos cuando se mueven vericalmene a disancias no mayores de unos cienos de meros. El valor de g varía de un lugar a oro, pero siempre esá cercano a 9,8m/s. El vecor g esá dirigido hacia abajo, hacia el cenro de la ierra. Cuando se emplea la expresión caída libre, no solamene se refiere a un objeo que se deja caer a parir del reposo. Un objeo en caída libre es uno cualquiera que se mueve libremene bajo la influencia de la gravedad, sin imporar su movimieno inicial. Todos aquellos objeos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, y los que se dejan caer a parir del reposo caen libremene una vez que se dejan en liberad.,es imporane reconocer que cualquier objeo en caída libre experimena una aceleración dirigida hacia abajo sin imporar el movimieno inicial del objeo. Un objeo lanzado hacia arriba o hacia abajo experimenará la misma aceleración que uno liberado desde el reposo. Una vez que se encuenren en caída libre, odos los objeos endrán una aceleración hacia abajo igual a la aceleración debida a la gravedad. 69

70 Si se desprecia la resisencia del aire y se supone que la aceleración graviacional no varía con la aliud, enonces el movimieno de un objeo en caída libre equivale al movimieno en una dimensión, con aceleración consane. Se denoará la dirección verical como el eje de la y, y se considerará y posiiva la que va dirigida hacia arriba, las coordenadas se pueden reemplazar x por y en las ecuaciones de cinemáica. Pueso que y es posiiva hacia arriba la aceleración es negaiva (hacia abajo) y queda que a= -g, el signo negaivo indica que la aceleración es hacia abajo. EJEMPLO: Consideremos un cuerpo que es lanzado desde el suelo, con una velocidad inicial diferene de cero Esquema Figura 7 y + Ymax B V BF =m/s B = max g c=v Vo0 A C + x A medida que el cuerpo se aleja del puno A su velocidad va disminuyendo hasa llegar al puno B, donde su velocidad se hace cero, luego comienza a descender y va adquiriendo velocidad hasa llegar al puno C, con la misma velocidad con que fue lanzado, pero en senido conrario. Cuando el cuerpo va desde el puno A hasa el puno B, posee un Movimieno Desacelerado (va en conra de la aceleración de gravedad) y cuando 70

71 va desde el puno B hasa el puno C posee un Movimieno Acelerado (Va a favor de la aceleración de gravedad). Como la aceleración de gravedad iene un valor consane y el movimieno se realiza en el eje de las Y, lo que se debe hacer es uilizar las mismas ecuaciones ya deducidas para M.R.U.A. pero con la salvedad de cambiar a por g y x por y. Ecuaciones a) X f = X o + V o 1a Y f = Y o + V o 1 g b) V f = V o a (Ecuación de la posición en cualquier insane) Vf= V o g (Ecuación de la velocidad en función del iempo) c) Vf = V o Xa V f = V o yg (ecuación de la velocidad en función de la posición) Cuando el cuerpo ese subiendo se uiliza el signo menos (-) y cuando el cuerpo ese bajando se uiliza el signo (+). En la figura 7, se observa que cuando el cuerpo llega al puno más alo, su velocidad se hace cero, ese iempo que emplea el cuerpo desde que se lanza hasa llegar al puno más alo se denomina iempo máximo. Como V f = V o g (el cuerpo sube) Desde el puno A hasa el puno B 71

72 V B = V A g, pero V B = 0m/s Despejando a = V A g = iempo máximo = max max = V o Velocidad inicial g Aceleración de gravedad Tiempo máximo Pero el iempo que arda el cuerpo en subir es el mismo iempo que arda el cuerpo en bajar y a ese iempo que arda el cuerpo desde que se lanza hasa llegar al mismo nivel donde es lanzado, se conoce como iempo de vuelo. Susiuyendo v= max v= Vo g La disancia verical que adquiere la parícula desde que se lanza hasa llegar al puno más elevado, donde V B = 0m/s, se llama alura máxima. Pariendo desde A hasa B V f = V o yg (El cuerpo sube) En el puno más elevado V r =V B = om/s 0= V A Y AB g (despejando Y AB ) Y AB = V A, donde V A =V o g Y AB = Y max Y max = (V o ) g Alura máxima 7

73 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1) Desde que alura se soló un cuerpo si se sabe que en el úlimo segundo recorrido 35m Procedimieno Como el cuerpo se solo, su velocidad inicial vale cero Se hace un esquema A Vo A =om/s y 1 =? B C y = 35m BC =1S La posición para un cuerpo en cualquier insane Y= Yo + Vo 1 g el iempo oal = l sería el iempo que arda el cuerpo en llegar al puno B más el iempo que arda desde el puno B hasa el puno C = AB + AB la alura oal que descendió el cuerpo es Y = Y 1 + Y ; donde Y = 35m susiuyendo a Y T y Y 1,por sus ecuaciones respecivas o o Y T = Yo + Vo + 1g T o o Y 1 = Yo + Vo + 1 g AB 73

74 nos queda Y T = Y 1 + 3S 1 g T= 1 g AB + 3S T = AB + BC luego 4,9 ( AB + BC ) = 4,9 AB + 35 Desarrollando el produco noable (AB) = A AB + B ( AB + BC ) = ( BC ) + ( BC ) ( BC ) + ( BC ) A B Donde BC = 1s ( BC ) + BC + 1 Luego 4,9 ( AB ) + AB + 1 = 4,9 ( AB ) ,9 ( AB ) + 9,8 AB + 4,9 = 4,9 ( AB ) + 35 Despejando al AB AB = 35-4,9 = 3,07S 9,8 = AB + BC luego la alura a la cual se solo es la alura oal Y T = 1 g T Y T = 1 9,8 m/s (4,07S) = 81,17 m Y T = 81,18m 74

75 ) Se deja caer una piedra en un pozo profundo y se observa que el sonido del choque con la superficie inerior se escucha a los 8 segundos, después de haber solado la piedra Cuál es la profundidad del pozo? La velocidad del sonido en aire seco es 331m/s Esquema Y A Vo= om/s in el sonido y T B (0,0) X - Como la piedra se deja caer su velocidad inicial vale cero - Los 8 segundos represena el iempo que la piedra arda en ocar lo profundo del pozo más el iempo que arda el sonido que hace la piedra en llegar nuevamene al puno A. Por lo ano T = AB bajada + Basubida sonido La disancia del pozo (profundo del pozo) es la misma disancia que recorre la piedra desde el puno A hasa el puno B Y pozo = Y piedraab Para la piedra o Y= Vo + 1 g ABbajada Y = 1 g ab 75

76 Pero la disancia que recorre el sonido desde el puno B hasa el puno A en subir, es la misma disancia que recorre la piedra desde el puno A al puno B en bajar y ambas represenan la profundidad del pozo. Como el sonido viaja a velocidad consane, realiza un Movimieno Recilíneo Uniforme. Para el sonido V= X Susiuyendo Vs= Y BA BAS (iempo que arda en subir) Despejando Y BA Y BAS = Vs s Y BAS = 340 m s s Como Y S sonido = Y AB piedra = Y Tpozo Ys= Yp Vss= 1 g ab pero T = Ab + s Despejando s s= T - Ab Vs ( T - Ab ) = 1 g ab Dando valores 76

77 340 (8 Ab ) = 4,9 Ab Ab = 4,9 Ab igualando la ecuación a cero 4,9 ab ab 70 = 0 A B C Se iene una ecuación de do. grado Ab = b b 4ac a susiuyendo Ab = 340 (340) 4(4,9)( 70) (4,9) Ab = ,8 Ab = = 7,4S 9,8 luego verificamos Y piedra = 1 g (ab) Y piedra = 1 9,8m/s (7,4S) Y piedra = 57m Para el sonido s= T ab s= 8S 7,4S = 0,756S Ys= Vs s Ys= 340m 0,756 S = 57m S La profundidad del pozo es 57m 77

78 3) Se lanza una piedra hacia abajo vericalmene desde una alura de 80m con una velocidad inicial de 5m/s y segundos después se lanza en el mismo senido y desde el mismo puno ora piedra de al manera que ambas llegan junas al suelo. Cuál es la velocidad inicial de la piedra? Esquema 1 Vo 1 = 5m/s 1 Vo =? y T y 1 y Suelo Si ambas llegan junas al suelo, se iene que la disancia y 1 = y = 80m. Además, la piedra uno se lanzo primero y segundos después lanzaron a la piedra dos, eso nos indica que la piedra uno uilizo un iempo y la piedra uilizó un iempo menos segundos 1 = = (-) s para la piedra 1 para la piedra como y r = yo + Vo 1 g para la piedra uno y 1 = V o1 + 1 g 80 = ,9 igualando a cero 4, = 0 78

79 Se iene una ecuación de do grado donde A= 4,9 B= 5 = C = -80 b b 4ac a Susiyendo los valores en la ecuación de do. grado = 5 (5) 4(4,9)( 30) (4,9) = ,8 = = 3,56S 9,8 luego = (-)s = 3,56S S = 1,56S y ese es el iempo que arda la piedra dos en llegar al suelo para la piedra, enemos que Y = Yo + Vo 1 g 80 = V o (1,56) + 1 (9,8) (1,56) 80= V o (1,56) + 11,9 despejando a V o V o = 80 11,9 = 43, 63m/s 1,56 comprobando que: Y = Y 1 V o + 1 g = Vo1 + 1 g 79

80 (43,63m/s) (1,56s) + 49m/s (1,56s) = 5m/s 3,56s +4,9m/s (3,5gs) 79,98m = 79,90m 80m= 80m 4) Se dispara un proyecil vericalmene hacia arriba desde la azoea de un edificio con una velocidad de 75m/s si el proyecil llega al suelo después de 19s de iniciado el mov. Deermine a) la alura máxima que alcanza el proyecil b) La úlima del edificio c) La velocidad con que llega al suelo. Esquema VoA = 75m/s B Ymav Y T Ye C a) Alura máxima (Y max ) la disancia verical que alcanzo el proyecil desde donde se lanzo hasa llegar al puno más elevado, donde su Vr = om/s represena su alura máxima Y max = Y AB Y max = ( Vo) g Susiuyendo Y max = (75m / s) (9,8m / s) 87m 80

81 b) Alura del edificio (ye) Y T = Y BC Y T = Vo + 1 g Y T =VoB + 1 g BC pero en el puno B V B = 0m/s Y T = 1 g BC Donde BC = es el iempo que ardo el proyecil en recorrer el puno B hasa C. Como los 19 segundos represenan el iempo que arda el proyecil en ir desde el puno A hasa el puno B y desde el puno B hasa puno C. T = AB + BC Tiempo oal = iempo en subir + iempo en bajar, Pero el iempo que arda la parícula desde que se lanza hasa llegar al puno más elevado se conoce como iempo máximo AB = max AB = (Vo) g susiuyendo AB = 75m/s = 7,65s 9,8m/s además T = AB + BC despejando BC BC = T - AB BC = 19s - 7,65S = 11,35S se puede conocer Y T Y T = 1 g ( BC ) 81

82 Y T = 1 (9,8m/s )(11,35S) = 631,3m viendo el esquema Y T = Y max + Y e Despejando la alura del edificio (y e ) y e = Y T - Y max y e = 631,3m 87m = 344,3m c) La velocidad con que llega al suelo desde el puno B hasa el puno C Vo = V B = 0m/s Vr= Vo + s (proyecil va a favor de la aceleración de gravedad) Vr = om/s + 9,8m/s (11,35s) Vr = 111,3m 5) Un cohee es disparado vericalmene siendo su aceleración consane por espacio de 3 minuos, cuyo valor es 17m/s al cabo de los cuales se le agoa el combusible y sigue subiendo como parícula libre. Deermine la alura a la cual llegar?, b) el iempo que esuvo en el aire? Esquema C sin combusible B Y T Con combusible A D 8

83 Desde el puno A hasa el puno B (subiendo) Desde el puno A hasa el puno el B, el cohee posee una aceleración de 17m/s que le imprime sus moores, como el cohee parió del reposo esa acelerado Vr= Vo + a VB = Vo A + a AB Y el iempo que dura su aceleración es de 3 min, a parir de allí, no posee combusible y luego se compora como una parícula libre someida a la aceleración de gravedad VB = om/s + 17m 180s = 3060 m/s S Luego desde el puno B hasa C, pierde velocidad, hasa que su velocidad en el puno C, se hace cero Vr = Vo g Vc = VB g BC BC = VB = 3060 m/s = 31,4s g 9,8 m/s la disancia desde el puno B hasa el puno C V f = Vo yg (subiendo) Vc = V B gy BC YBC = V B g Y BC = (3060m/s) = 477,73x10 3 m (9,8m/s ) la disancia desde el puno A al puno B V f = Vo + ya V B = Vo A + Y AB a Y AB = (VB) a Y AB = (3060 m/s) = 75,4x10 3 m (17 m/s ) 83

84 La disancia oal YT= Y ab + Y ab Y T = 477,73x10 3 m + 75,4x10 3 m Y T = 753,13 x 10 3 m Cuando el cohee llega al puno C, su velocidad se hace cero y comienza a descender la disancia que desciende es 753,13 x 10 3 m Si Y T = Vo + 1 g Y T = Voc + 1 g CD CD = yt g (753,13x10 CD = 9,8m / s 3 m) El iempo que esuvo el cohee en el aire será: T = AB + BC + BC + CD T = 180s+31,4S + 39,05S = 884,9S 84

85 MÓDULO II MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL 85

86 Movimieno Parabólico o Movimieno de un Proyecil Se raa de un movimieno en dos dimensiones de una parícula disparada oblicuamene en el aire como por ejemplo el movimieno de una peloa que es paeada en un campo de fúbol o el movimieno de una peloa en una cancha de voleibol o la rayecoria a que sigue una peloa cuando es golpeada por un bae en un campo de béisbol. En odo momeno se supone que la aceleración de gravedad es consane en la cercanía de la ierra, además se desprecia el efeco de la resisencia del aire y la roación que efecúa la ierra no afeca ese ipo de movimieno. Nos enconraremos que el recorrido que sigue el proyecil o los cuerpos en esas condiciones en una parábola. Si se elige un sisema de referencia de modo que la dirección z sea verical y posiiva hacia arriba, además supongamos que en un insane inicial o s el proyecil deja el origen X o =z o =0, con una velocidad inicial V o y que el vecor V o forma un ángulo con la horizonal como se indica en la figura 8. z Figura 8 X Vz v v Vz=0 max V Voz Vo g h o v Vox X x 86

87 En el movimieno de proyecil, sobre el objeo acúa la fuerza del peso debido a la aceleración consane de gravedad. El objeo iene una componene horizonal de velocidad graviacional. V ox, perpendicular a la dirección de la aceleración Debido a que hay una componene horizonal inicial de la velocidad V ox = V o Cos, el movimieno del proyecil no es una línea reca, sino que sigue una rayecoria curva en el plano Xz. La fuerza de gravedad origina una aceleración consane g dirigida vericalmene hacia abajo, por lo que el vecor g iene las componenes gx= 0, gy= 0 y gz= g. Enonces las ecuaciones de movimieno según las componenes X y Z serán: ax dvx d 0 az dvz g d Es evidene que V x debe ser consane y su valor inicial al iempo =0 en V ox debe ener Vx Vox VoCos Ecuación de la velocidad en el eje de las X, en cualquier insane 87

88 De la condición dada de que cuando =0 V o z=v oz =V o Sen Velocidad inicial en el eje de las y. Se puede escribir, inegrando desde el iempo =0 (cuando Vz=Voz) hasa un iempo poserior, cuando la componene verical de la velocidad iene un valor Vz. dvz d g Se coloca lineal y se inegra a ambos lados Vz Voz dvz o gd como g es consane sale fuera del facor inegración, enemos que V z -V oz =-g (despejando la velocidad final en cualquier insane) V z =Voz-g (susiuyendo el valor de la velocidad inicial en el eje z) Vz = V o Sen -g Esa ecuación represena la velocidad final en el eje z, en función del iempo. Ahora dx Vx (la velocidad se puede expresar como la derivada de la posición en d función del iempo) Vx.d=dx (colocando la ecuación lineal e inegrando) Inegrando cuando =0 (cuando x=0) hasa el iempo, que corresponde a un desplazamieno horizonal x. 88

89 x o dx Vox. d donde Vox es consane y sale del signo de inegración o X = Vox() (susiuyendo a Vox por V o cos X = V o cos (esa ecuación represena la posición en cualquier insane en el eje de las x) Se sigue el mismo procedimieno para deerminar la posición eje z dz Vz d z dz o o Vzd donde Vz= V o Sen-g zf zo dz ( VoSen g) d o Z= V o Sen- 1 g Ecuación que represena la posición de la parícula en el eje de la z, en el eje donde esá presene la aceleración de gravedad. Esa ecuación z=v o Sen-1 g y X=VoCos definen la rayecoria del proyecil dando las coordenadas X y Z en cada insane y consiuyen un sisema de ecuaciones paraméricas para la Trayecoria del objeo y, esán relacionadas con el parámero el iempo. 89

90 Despejando de la ecuación de alcance X= V o Cos Y susiuyendo en la ecuación Z, se puede obener una sola ecuación para la rayecoria X= V o cos x ( despejada de la ecuación de alcance) Vox luego, susiuyendo a en la ecuación z, obenemos x 1 X z VoSen. g ; pero V o x = V o cos Vox Vox Z Z VoSen X 1 X g VoCos Vo Cos 1 gx Tang Ecuación Paramérica Vo Cos Esa ecuación es la de una parábola y nos es más que la ecuación paramérica, con ella se puede deerminar la posición de la parícula en el eje z, sin necesidad de conocer el iempo, ambién se puede uilizar para deerminar el ángulo de lanzamieno, la velocidad inicial, y la posición en el eje x. Para deerminar la máxima alura h que alcanza la parícula se deriva dz/dx o dz/dx y se iguala el resulado a cero. dz dx an g Tang Vo 1 gx Vo Cos gx Cos despejando a X X= TangV o Cos g 0 X= Sen Vo Cos. Cos g 90

91 X= VoSen VoCos g Vo SenVoCos X= esa ecuación represena la miad del alcance máximo g La alura máxima h se obiene cuando X adquiere ese valor. Susiuyendo ese valor en la ecuación para mérica Z X an g Z= gx Vo Cos Vo SenCos Sen g( Vo g Cos g SenCos ) Vo Cos Z= Vo Sen Vo Sen g g Vo Sen 1 Z= 1 g Z=Vo Sen g Esa ecuación represena la alura máxima que adquiere la parícula Z=h Vo Sen O h= Esa ecuación represena la alura máxima de la parícula g Cuando el proyecil llega a ierra a una disancia S del origen a lo largo del eje de las X, las coordenadas Z de la rayecoria en ese puno vale cero, por lo que la disancia X puede enconrarse haciendo Z igual a cero. O=XTang - 1 gx Vo Cos Sacando m.c.m. = Vo Cos 91

92 O XSen.Vo Cos gx Vo Cos XSen.Vo Cos-gx =0 Sacando facor común X(Sen.Vo Cos-gx) = 0 Despejando a X, hay dos soluciones una de las cuales X=0, corresponde al puno de parida. La segunda corresponde al puno del impaco final en X no y iene la forma X Vo SenCos g Por rigonomería Sen= SenCos X= Vo Sen Esa ecuación represena la disancia horizonal desde que se g lanza de parícula hasa que llega al mismo nivel donde es lanzado. Esa ecuación represena al alcance oal de la parícula en el eje x. En el puno más elevado la velocidad en el eje z es igual a cero Vz=0 por lo ano el insane 1 en el que alcanza la alura máxima esá dado por: Vz=V o Sen - g 1 O=V o Sen-g 1 (igualando su velocidad final a cero) Despejando 1 VoSen 1 = g Esa ecuación represena el iempo máximo 9

93 El iempo que arda la parícula es subir es el mismo iempo que arda la parícula en bajar. Por lo ano el iempo de vuelo. v= max v= V o Sen g Ecuación de iempo de vuelo RESUMEN DE ECUACIONES PARA LANZAMIENTO DE PROYECTIL Para el eje donde esa presene la aceleración de gravedad, bien sea z o y V oz = V o sen (Velocidad inicial de la parícula en ese eje) V fz = V o sen - g (Velocidad final en función del iempo) Vfz = (V o sen) gz (Velocidad final en función de la posición) Z= Z o + V o sen 1 g (posición de la parícula en ese eje) Y max = (V o Sen) (alura máxima) g max = V o Sen (iempo máximo) g v= max = (V o Sen) (iempo de vuelo) g z= ang X 1 gx Vo Cos (Ecuación Paramérica) Movimieno Recilíneo Uniforme V ox = V o cos (la velocidad en cualquier puno en el eje de las X) X= V o Sen (alcance oal) g X= V o Cos (posición en cualquier insane) R= X Z (módulo de la posición) 93

94 V ( Vx) ( Vy) (Módulo de la velocidad) La duración se puede deerminar por a) Tang= Vz = arc angv Z /V x b) =V o sen /g Donde Vy es la velocidad en cualquier insane en el eje de las Y, nóese que depende del iempo y Vx es la velocidad en el eje de las X. Las coordenadas del proyecil en un iempo son X = Vo (represena la posición en cualquier insane en el eje de las x) Y = 1 g (represena la posición de la parícula en cualquier insane en el eje de las Y) La disancia del proyecil, desde el origen en ese insane es: R = X Y La magniud de la velocidad resulane es: V Vx Vy el ángulo Vy = ArcTang Vx 94

95 Movimieno Circular Uniforme (M.C.U.) El movimieno Circular es un movimieno curvilíneo cuya rayecoria es un círculo. Es por ejemplo, el movimieno de cualquier puno de un disco o de una rueda en roación, así como el de los punos de las manecillas de un reloj como primera aproximación, es el movimieno de la luna alrededor de la ierra y del elecrón alrededor del proón en un áomo de hidrógeno. Debido a la roación diaria de la ierra, odos los cuerpos que esán en su superficie ienen en su superficie un movimieno circular en relación con el eje de roación erresre. El Movimieno Circular Uniforme se describe el movimieno de una parícula que recorre una circunferencia de radio R, con una rapidez consane V. Aunque la parícula se muere con rapidez consane, la dirección del vecor velocidad V, cambia con el iempo, por lo ano la parícula se acelera. Un error es concluir que la aceleración de la parícula es cero, porque su rapidez es consane, dado que la dirección de v cambia, a 0. La dirección de V siempre es angene a la rayecoria, pero como la rapidez, V, es consane no exise componene de la aceleración angene a la rayecoria. El vecor aceleración es perpendicular a la rayecoria y siempre apuna hacia el cenro del círculo. Ejemplo: figura A Consideremos una parícula que se mueve en una rayecoria circular de radio R con cenro O. los vecores V i y V f indican las velocidades en los punos P y O. El iempo que arda la parícula en moverse desde P hasa Q es, enonces el desplazamieno de la parícula en ese iempo es r V 95

96 Figura A Rf Vf Q R vi p O Ri El cambio de velocidad a medida que la parícula se mueve desde P hasa Q, se obiene de V = Vf-Vi Por definición la aceleración media en el inervalo de iempo es v/ Si razan los vecores V i y Vf, de modo que se originen en un puno común Figura B q o Vf Vi v p Si un pequeño (correspondiene a un valor pequeño O), enonces el cambio de velocidad esá dirigido aproximadamene hacia el cenro del círculo. Los riángulos OPQ y opq son semejanes, ya que ambos son isósceles y los ángulos asignados por son iguales ( ver figura B). Por lo ano V Vi S ó R S v Vi R V Vi S R 96

97 La magniud de la aceleración normal media a 1 durane es v/, según la ecuación anerior, eso es igual a v a1, susiuyendo en esa ecuación a V a 1 Vi S R la aceleración insanánea a 1 en el puno P es el valor límie de esa expresión cuando el puno Q se oma cada vez más próximo al puno P y cuando -> 0 a Vi s Vi R R lim 1. lim 0 0 s pero el valor límie de s/ es la rapidez V i en el puno P y pueso que P puede ser cualquier puno en la rayecoria, es posible eliminar el subíndice de V i y hacer que V represena la rapidez en un puno cualquiera. Enonces: a 1 V Expresión que represena la aceleración cenrípea R La magniud de la aceleración normal insanánea es, por consiguiene, igual al cuadrado de la rapidez dividida por el radio. La dirección es perpendicular a V y hacia adenro a lo largo del radio R, hacia el cenro del círculo. Por eso se denomina aceleración cenral, cenrípea o normal. Noa: Cenrípea: dirigida hacia el cenro 97

98 En el movimieno circular, la velocidad V, que es angencial al círculo, es perpendicular al radio R = C.A. cuando medimos disancias a lo largo de la circunferencias del círculo desde el cenro O, enemos que S = R, donde el Ángulo se mide en Radianes S = R. V R S C 0 Tomando R como consane, la magniud de la velocidad esá dada por: ds V (La velocidad se puede definir como la variación del desplazamieno en d función del iempo) donde S=R V d( R ) d d w d Ecuación de la velocidad angular Donde W es la velocidad angular y es igual al ángulo barrido por unidad de iempo, la velocidad angular se expresa en radianes por segundo, rad s -1, aún que debe enerse en cuena que el radián es una unidad sin dimensiones. Por lo ano la velocidad angular se expresa simplemene como S

99 Enonces: V d( R ) d Ecuación de la velocidad angencial V = R.W La velocidad angular se puede represenar como una canidad vecorial cuya dirección es perpendicular al plano de movimieno en el senido dado por la regla de la mano derecha. Z W V R A En el Movimieno Circular Uniforme, es decir con velocidad angular consane W, el movimieno es periódico y la parícula pasa por cada puno del círculo a inervalos regulares de iempo. El período P de un cuerpo circular uniforme es el iempo empleado en efecuar una vuela complea o revolución, y la frecuencia f es el número de revoluciones por unidad de iempo. Noa: P, n n f, P.F = 1 99

100 Como el período se expresa en segundos, la frecuencia debe expresarse en s -1 a esa unidad se le llama Herz (y se abrevia en Hz) Si W es consane, se iene que w= d d d= wd (inegrado a ambos lados) O Oo d o Wd =o+.w(-o) Ecuación de la posición angular de la parícula Esa relación, sólo es válida para el movimieno circular uniforme, para o y o iguales a cero = W ó W = Para una revolución complea el iempo es igual al período ecuación de la velocidad angular =p y =., lo que da como resulado W = f P Además V= Rw (susiuyendo el valor de velocidad angular) V= R o RF P 1rps = Rad/s 360º = rad Noa: En un movimieno circular uniforme no exise aceleración angencial, debido a que la magniud de la velocidad angencial 1rev = Rad no varía, ampoco exise aceleración angular ya que la velocidad angular 100

101 Movimieno Circular Uniformene Acelerado (M.C.U.A.) Cuando la velocidad angular de una parícula en movimieno cambia con el iempo, la aceleración angular se define como: dw d = d d La aceleración angular se expresa en rad/s o simplemene en s -. Cuando la aceleración angular es consane (es decir, cuando el movimieno circular es uniformemene acelerado) dw = d represena la aceleración angular. inegrando o d w wo dw (-o)= w-w o W = wo + (-o) Ecuación que represena la velocidad angular en cualquier insane Donde w o es el valor de w en el iempo o. Inegrando de nuevo y eniendo en mene que d W = d Wd=d 101

102 o wd O Oo d O Oo d wo ( o) d o O Oo d o wod o o d Wo f 0 1 o o 1 f 0 w o o Eso da la posición angular en cualquier insane. Cuando o=o y o = O. Tenemos que 1 = W+ (esa ecuación represena la posición angular en cualquier insane) para o=0s y o =0 la velocidad angencial varía de magniud, se produce una aceleración angencial ( a T ) a T = dv, como V = Rw susiuyendo a T = d (Rw), además R (radio) es consane d dw dw a T = R, pero d d a T = R 10

103 Se iene que la aceleración angencial o lineal en un puno de un cuerpo rígido giraorio es igual a la disancia a la que se encuenra ese puno respeo al eje de roación, muliplicada por la aceleración angular. cenripea. En el esquema se represena la aceleración angencial y la aceleración a a a c p a T ( a ) ( ac ) pero a T = R (Aceleración angencial) ac= V T R (aceleración cenripela) ( Rw ac= R ) R w R Rw a a a 4 R R w Sacando facor común R R ( w 4 ) 4 R w (magniud de la aceleración) 103

104 Resumen de las ecuaciones (M.R.U.) V T = RW (m/s) W= ( Rad / s) R R V T = ( m / s) P W= f (Rad/s) V T = RF (m/s) F P = 1 ac= Donde V T F= 1/P (1/s) ó (H ) R ( m / s) V T = Velocidad angencial (m/s) W = Velocidad angular (Rad/s) a c = Aceleración cenripea (m/s ) R = Radio (m) F = Frecuencia (HZ) P = Período (s) Noa. 1rpm 1rps %60 Equivalencia 1rps Rad / s P= 1/F (s) 104

105 RESUMEN DE LAS ECUACIONES (MCUA) Wf = Wo + (Rad/s) f= i + Wo + 1 a T = R (m/s ) ac= R w (m/s ) dw w = ó = d donde (Rad) (Rad/s ) = Aceleración angular (Rad/s ) a T = Aceleración angencial (m/s ) a c = Aceleración cenripea (m/s ) W= Velocidad angular (Rad/s) R= Radio (m) = Tiempo (s) a 4 R w ó a T ac 105

106 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1. La órbia de la luna alrededor de la ierra es aproximadamene circular con un radio de medio de 3,84x 108m, se requieren 7,3 días para que la luna complee una revolución alrededor de la ierra. Encuenre a) La velocidad orbial media de la luna. b) Su aceleración cenrípea. Esquema V T Rm V T V T V T V T El período es el iempo que arda una parícula en dar una vuela complea, la luna arda en darle una vuela complea a la ierra en 7,3 días, por lo ano ese iempo represena el período de la luna. Además la rayecoria de la luna alrededor de la ierra se puede considerar una circunferencia, donde la magniud de la velocidad de la luna se considera consane, solamene cambia su dirección y senido, por lo ano, la luna efecúa un Movimieno Circular Uniforme alrededor de la ierra La velocidad angencial R V T = T V T 106

107 donde el periodo (T) debe esar expresados en segundos (s) 7,3 x 4 x 3600 =,36x10 6 s Susiuyendo V= (3,14) (3,84x10 8 m) = 1,0x 10 3 m/s,36x10 6 s Su aceleración cenripea esa dirigida hacia el cenro de la circunferencia ( V ac= T ) R susiuyendo a= (1,0x10 3 m/s) =,70x10-3 m/s 3,84x10 8 m. En el ciclo de cenrifugado de una máquina lavadora, el ubo de 0,300m de radio guía a una asa consane de 630 rev/min Cuál es la máxima velocidad lineal con la cual el agua sale de la máquina? Daos r= 0,300m w= 630rev/min La velocidad angular en el S.I. viene expresadas en Rad/s Enonces primero de pasa de rev/min a rev/s dividiendo enre 60. W= 630rev/mi % 60= 10,5 rev/s Luego se aplica una equivalencia 1revs Rad/s X= 10,5 rev/s X w= 65,94 Rad/s 10,5rev / s Rad / s 1rev / s como V T = R W, simplemene se susiuyen los valores V T = (0,300 m) (65,94 Rad/s) V T = 3,15 m/s 107

108 3. Un puno del borde de un disco compaco esa a 6,0m del eje de roación deerminar la velocidad angencial, la aceleración angencial y la aceleración cenripea de dicho puno, cuando el disco girar a la velocidad angular consane Daos R= 6,0 = 6x10 - m W= 300 rev/mi 5rev/s = 31,4 Rad/s %60 Luego 1 rev/s Rad/s X = 5rev/s Rad/s 5 rv/s X 1 rev/s X= 31,4 Rad/s El ejercicio dice que la velocidad angular es consane, por lo ano si la velocidad viene expresada por V T = RW, donde R es el radio y iene un valor consane, además si W es consane, la velocidad ambién es consane Recordando que a T =dv T d pero la derivada de una consane siempre da cero. Por lo ano a T =dv T = 0 no exise aceleración angencial d el ejercicio se raa de un Movimieno Recilíneo Uniforme, donde la magniud de V T se maniene consane y la única aceleración presene es la aceleración cenripea V T = RW susiuyendo V T = (6 x 10 - m) (31,4 Rad/s) = 1,88 m/s ac= ( V T ) R a T = om/s (1,88m / s) 6x10 m 59,15m / s 108

109 4. Una rueda pare del reposo y iene una aceleración angular de,6 rad/s deermine: a) La velocidad angular después de 6s? b) Cuánas revoluciones habrá realizado? c) Cuál es su velocidad y la aceleración de un puno siuado a 0,3m del eje de roación? Daos: Wo= 0 Rad/s =,6 Rad/s a) Velocidad angular (w) a los 6 segundos Wf= Wo (esá acelerado) Wf= Wo + (susiuyendo) Wf= 0 Rad/s +,6 Rad/s 0 s Wf= 15,6 Rad/s b) Cuánas revoluciones habrá realizado Se deermina la posición angular y luego lo relacionamos con las revoluciones f= o + Wo + 1 (posición angular en cualquier insane) Como o = 0 Rad Wo= 0 Rad/s Susiuyendo f= 1 (,6 Rad/s ) (6s) f= 46,8 Rad Luego Luego 1 rev/s Rad/s X = 1rev/s 46,8 Rad X 46,8 Rad rad X= 7,45 rev d) Velocidad y aceleración en el puno siuado a 0,3 del eje de roación d. 1) V T = w T R Para = 6s 109

110 w= 15,6 Rad/s Susiuyendo V T = 15,6 Rad/s 0,3m = 4,68 m/s d.) ac= V T = (4,68m/s) R 0,3m ac= 73m/s 5) Un disco de 1 cm de radio alrededor de su eje pariendo del reposo con aceleración angular consane de 8 rad/s. al cabo de = 5s cual es: a) La velocidad angular del disco. b) La aceleración angencial y cenripea de un puno del borde del disco. Daos R= 1cm = 1 x 10 - m Wo= 0 Rad/s = 8 Rad/S (consane) a) Velocidad angular para = 5s Wf= Wo (Velocidad angular en función del iempo) Susiuyendo Wf= 0 Rad/s + 8 Rad/s 5 S = 40 Rad/s b) Aceleración angencial a T = dv d(rw) d d a T = R susiuyendo a T = (1x10 - m) (8Rad/S ) = 0,96m/s c) Aceleración cenripeal a c = (VT) (WR) R R a c = W R susiuyendo 110

111 a c = (40Rad/s) (1x10 - m) = 19 m/s d) Módulo de la aceleración a ( ac) ( at ) susiuyendo a ( 19m / s ) (0,96m / s ) a 19m / s 6. Un esquiador sale de una rampa de salo con una velocidad de 10m/s, a 15º arriba de la horizonal como se muesra en la figura la pendiene esá inclinada a 50º, y la resisencia del aire es despreciable. Deermine a) La disancia a la cual el esquiador aerriza, y b) Los componenes de la velocidad juso anes del aerrizaje. Esquema +y V 10m / s +Y (0,0) 15º -Y 50º (0,0) -Y Yf X 111

112 La disancia a la cual aerriza el esquiador esá por debajo del origen del sisema de coordenadas. Como no conocemos el parámero iempo, uilizamos la ecuación paramérica. Y f = Y o + Xang 1 gx Vo cos donde es el ángulo con el cual fue lanzado la parícula, susiuyendo valores Y = 0 + xang15-1 (9,8) x (10) (Cos 15) -y= x 6,8 x 10-5,5,x10-3 x Tenemos una ecuación con dos incógnias que es la variable Y e X. Si nos ubicamos en el riángulo recángulo, podemos expresar y en función de X, ó la variable X en función de Y Y(co) 50 X (ca) Como ang 50º = caeo opueso Caeo adyacene Tang 50º = Y despejando a y Y= xang50 X Susiuyendo el valor de Y en la expresión anerior -xang50º = x6,8x10-5,5x10-3 x igualando la expresión a cero 5,5x10-3 x X(1,19)-(6,8x10 - ) X=0 11

113 agrupando érminos 5,5x10-3 x 1,46X = 0 sacando facor común X (5,5x10-3 X 1,46) = 0 Se iene dos soluciones 1) X= 0 cuando el cuerpo sale ) 5,5x10-3 x 1,46 = 0 X = 1,46 = 7,8m 5,5x10-3 Cuando el cuerpo llega Como en el eje de las X exise un Mov. Rec. Unif. V x = X = X Vx = X Vocos Susiuyendo = 7,8m =,88S 10m/scos15 Es el iempo que emplea el esquiador desde que sale de la rampa que llega a la pendiene. Los componenes de las velocidades cuando llega a la pendiene. a) Vx= Vocos (iene un valor consane) Vx= 10m/scos15º = (9,66m/s) ĩ b) Vy = Vo Sen - g 113

114 Vy= 10m/ssen15 9,8m/s,88 s Vy= -(5,64m/s) ĵ b) La disancia sobre la pendiene D=hip co 50 7,8 (ca) Como cos50º= caeo adyacene Hipoenusa Cos50º= X despejando a D D D = X Cos50º D= 7,8 m = 43,5m Cos50º 114

115 LANZAMIENTO HORIZONTAL Consideremos que enemos una parícula en el borde de una mesa y la empujamos horizonalmene de modo que la parícula se mueve y cae describiendo una rayecoria en forma de parábola. Cuando la parícula esá en el aire se mueve hacia delane y hacia abajo. La represenación de la siuación seria +y (0,0) Vx x La alura que descuene V y V V x g V o V V x Alcance = X El ángulo de lanzamieno vale cero =0º En el eje de las X, no esá presene la aceleración de gravedad, por lo ano posee un movimieno Recilíneo Uniforme Como Vx = Vo cos Vx= Vo Cos0º 1 Vx = Vo la velocidad en cualquier momeno en el eje de las X, iene un valor 115

116 Consane y siempre va a ser igual a la velocidad inicial Para MRU Vx= X X= Vx Donde X es la disancia horizonal alcanzada por el proyecil X= Vo En el eje de las y, esa presene la aceleración de gravedad y esa en la misma dirección y senido del eje de la referencia Voy= Vo sen, pero =0º Voy= VoSen0º 0 = 0 no exise velocidad inicial en el eje de las y. Las ecuaciones para el eje de las Y ya se rabajaron en el lanzamieno de proyecil a) Y= Yo + Vosen 0 (1 g ) como = 0º y= 1 g posición en el eje de las Y b) V = Vosen 0 (-g) V f = g Velocidad en cualquier insane en el eje de las y c) ang= Vy Dirección de la parícula Vx d) V ( Vx) ( Vy) Magniud de la velocidad resulane e) r x y Magniud de la posición 116

117 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1) En un bar local, un cliene hace deslizar un arro vacío de cerveza sobre la barra para que vuelvan a llenarlo, el caninero esa momenáneamene disraído y no ve el arro el cual cae de la barra y golpea el piso a 1,40m de la base de la misma. Si la alura de la barra es 0,860m a) Con qué velocidad abandono el arro la barra b) Cual fue la dirección del arro juso anes de chocar con el piso. y (0,0) Barra V y Vx 0,860m V y Vx -y 1,40m El arro se desliza horizonalmene y sale de la barra formando un ángulo de 0º. Como la aceleración esá presene solamene con el eje de las y, en el eje de las X se iene un movimieno Recilíneo Uniforme Vx = Consane Vx= Vo Cos, pero = 0º Vx= Vo Cos0º 1, pero = 0º Vx= Vo Además Vx = X, donde X es el alcance y es el iempo que duro el arro en descender la alura de 0,860m 117

118 Se iene que X= 1,40m =? pero y= 1 g posición en el eje de las y, despejando al iempo. (0,860m) = 0,4s 9,8m / s enonces Vo = Vx Vx= x Vx= 1,40m = 3,33m/s 0,4s b) Vf = g Vf= (9,8m/s ) (0,4s) = 4,1m/s ang = Vy Vx = arcang Vy Vx = arc ang 4,1 m/s 3,33m/s = 51,0º 118

119 ) Un jugador de fúbol soccer paea una roca horizonalmene desde el borde de una plaaforma de 40,0m de alura en dirección a una fosa de agua. Si el jugador escucha el sonido del conaco con el agua 3,0s después de paear la roca Cuál fue la velocidad inicial? Suponga que velocidad del sonido en el aire es de 343m/s V V x 40m V y VR V x VR V x V y Alcance (x) Cuando la roca a descendido los 40m, oca el agua (llega al pozo) eso nos indica que el iempo que arda en descender es el mismo iempo que llega al pozo. La ecuación de posición en el eje de las y. Y= 1 g (despejando el iempo) = y g susiuyendo 119

120 (40m) =,86s 9,8m / s como Vx= Vo Cos, y = 0º Vx= Vo cos 0º Vx= Vo Vx = X Pero X =? Viendo nuevamene el esquema 40m 50 Trayecoria del sonido ( X ) X=? Los 3 segundos represenan el iempo que ardo la roca en descender los 40m más el iempo que ardo el sonido en viajar hasa el oído. T =3s T = b + s, despejando a s. b = iempo de bajada s = iempo del sonido s = T b s = 3s,86s = 0,14s El sonido viaja a velocidad consane, por lo ano su rayecoria es una línea reca Vs= X X = Vs 10

121 X = Disancia que recorre el sonido para un iempo de 0,14s X = 343 m/s 0,14s = 48,0 m En el riángulo recángulo, si despeja el alcance Disancia del sonido Alura 40m co ca 48,0m alcance (hipoenusa) = (caeo opueso) + (caeo adyacene) hip = co + ca Despejando a Ca ca= ca= hip co (48,0m) (40m) 6, 57m volviendo a la ecuación de Vx = X y susiuyendo Vx= 6,57m = 9,3m/s (represene la velocidad inicial de la roca),86s 11

122 4) Después de enregar sus juguees de manera usual, Sana Claus decide diverirse un poco y se desliza por un echo congelado y como se ve en la figura pare del reposo en la pare superior del echo, que mide 8,0m de longiud, y acelera a razón de 5,0m/s la orilla del echo esá a 6,00m arriba de un banco de nieves blanda, en la cual aerriza Sana encuenre a) Los componenes de la velocidad de Sana cuando llega al banco de nieve, b) El iempo oal que permanece en movimieno c) La disancia d enre la casa y el puno donde el aerriza en la nieve. 8m (0,0) 37º 37 X Y f d C 1

123 Desde el puno A hasa el puno B, El cuerpo esá acelerado y su aceleración vale 5m/s V f = Vo +Xa Vf o B = Vo A + X ab a Vf B = (8m )(5m / s ) 8,94m / s Además V f = Vo + a o Vf B = Vo A +a ab despejando ab ab = Vf B = (8,94m/s) = 1,79s a 5m/s ora manera X ab = Vo A o + 1 a ab despejando ab ab = xab a susiuyendo ab = (8m) 5m / s 1,79S Desde el puno B hasa el puno C Sana abandona el echo y queda someido a la aceleración de gravedad B Vo BX V o BY V B Se iene una velocidad inicial en B ano para el eje X como para el eje de las X Para el eje de las X (iene un MRU) Vx = X X = Vx T X represena el alcance 13

124 D= Vocos bc bc =? para el eje de las y Voy= Vosen Voy= 8,94m/s sen 37= 5,39m/s La posición Y= Yo + Vosen bc + 1 g bc (susiuyendo) 6= 5,38 bc + 4,9 bc igualando a cero 4,9 bc + 5,38 bc 6 = 0 A B C Uilizando la ecuación de do. grado bc = b b 4ac a susiuyendo valores bc = 538 (5,38) (4,9) 4(4,9)( 6) bc = bc = 5,38 1,10 9,8 5,38 1,10 9,8 0,68S luego el alcance X=D D = Vo cos bc D= (8,94m/s) (cos37) (0,68S) 14

125 D= 4,89m D= 4,9m El iempo oal es T T = ab + bc T = 1,79S + 0,68S =,47S 4. Un rifle se dirige horizonalmene al cenro de un gran blanco a 00m de disancia. La velocidad inicial de la bala es 500m/s. a) Dónde incide la bala en el blanco? b) Para golpear en el cenro del blanco, el cañón debe esar a un ángulo sobre la línea de la visión. Deermine el ángulo de elevación del cañón. Ejemplo Blanco Vo= 500m/s 00m a) El rifle se coloca sin ningún ángulo de inclinación, pero debido a la aceleración de gravedad, la rayecoria de la bala no es una línea reca, en el mismo momeno que la bala avanza horizonalmene, desciende vericalmene. La rayecoria real, sería Vo= 500m/s V x 00m Blanco V y V x V Yf V V x V y En el eje de las X, la bala se mueve con movimieno Recilíneo Uniforme (MRU) 15

126 Como Vx = X se puede despejar el iempo que ardo en avanzar horizonalmene 00m =X Vx = 00m = 0,4s 500m/s para ese iempo la parícula ya iene una posición en el eje de las Y Y = 1 g susiuyendo el valor de y= 1 (9,8m/s ) (0,45) = 0,78m cuando la parícula avanzo los 00m descendió 0,78m por debajo de la línea de visión (0,0) 0,78m b) Qué ángulo debería ener Esquema Vo= 500m/s 00m Yr=Yo Como el alcance máximo Xmax= Vo sen g despejando el ángulo 16

127 = 1 arc sen (xmax g ) Vo susiuyendo valores = 1 00m 9,8m / s arcsen (500m / s) = 1 arc sen (7,84 x 10-3 ) = 1 (0,45 ) = 0, RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1) Una parícula que se mueve con velocidad inicial V o =30m/s ĩ sufre una aceleración a= ( ) ĩ + (45-1 ) ĩ + (45-1 ) ĵ ] m/s. Deermine la posición y la velocidad de la parícula a los 4 segundos, suponiendo que pare del origen. Procedimieno La información que se da es una velocidad inicial en el eje de las x y una aceleración ano en el eje de las x como el eje de las y, se pide deerminar la velocidad y la posición a parir de la aceleración. Recordando que el proceso inverso de la derivada nos permie ir hacia arás, se iene X V a Derivando Inegrando Si se inegra la aceleración se obiene la velocidad y si se inegra la velocidad se obiene la aceleración. Como se raa de un movimieno en dos dimensiones, se recomiendo hacerlo primero para un eje y luego para el oro eje. Para el eje de las X Dao a x = ( ) m/s ĩ V o = (30m/s) ĩ 17

128 Pariendo de a= dv d ad= dv inegrando a ambos lados ad dv susiuyendo a la aceleración por el valor dado 3 (15 3 )d 15 ce Vf Vo 3 3 d ce dv Vf d 15 Vf 3 d 3 d Vo Vo dv dv Vf Vo Despejando V f 4 3 Vf Vo Vf (30 15 ) m / s Represena la velocidad en el eje de las X en cualquier 4 insane. La velocidad a los 4S,simplemene se susiuye a por 4S 3 4 Vf (30 15(4) (4) ) m / s 4 V fx = 8m/s Para deerminar la posición se inegra la velocidad en cualquier insane. Pariendo de V= dx d Vd= dx Inegrando a ambos lados Vd dx Susiuyendo el valor de la Velocidad en cualquier insane 3 4 (30 15 ) d 4 Xf Xo dx 18

129 30d 15d 3 4 ce ce 4ce d d 15d d X f = Xf xf xo Xo 5 Xo m 0 dx Evaluando la posición para =4S 15 X f = 0 30(4) (4) Xf= (78,4m) ĩ 3 (4) 0 Xf Xo dx Despejando X f 5 m represena la posición en cualquier insane De la manera que se hizo para el eje de las X, se resuelve para el eje de las y, Para el eje de las y Daos a y = (45-1 )m/s ĵ Si se inegra la aceleración, se deermina su velocidad. Pariendo de: a= dv d a d= dv inegrando a ambos lados ad dv Susiuyendo el valor de la aceleración en cualquier insane. (45 1 )d 45d ce Vf Vo dv Vf d 45 Vo Vf d d Vo dv dv Vf Vo despejando a V f 19

130 3 Vf Vo 45 m / s 3 evaluando la velocidad para =4s 3 (4) Vf 0 45(4) m / s 3 Vf y = 01,33m/sĵ represena la velocidad en cualquier insane Ahora si se inegra la velocidad en cualquier insane se deermina su posición V= dx d Vd=dx se puede cambiar x por y. yf Se inegra a ambos lados Vd dy Se susiuye el valor de la velocidad en cualquier insane yo 3 (45 ) d 3 45d ce 3 3ce Yf yo dy Vf d Vf 3 d d 45 y f = Vo Vo dy yf yo dy yo m 1 como parió del origen Y o =0m Y f = yo 45(4) 1 4 (4) m 1 Yf= m ĵ Despejando a Y f represena la posición en cualquier insane 130

131 ) Se dispara un proyecil con una velocidad de 100m/s y un ángulo de 60 con la horizonal calcule a) El alcance horizonal, b) El iempo de vuelo, c) La velocidad y alura después de 10s. Información V o = 100m/s =60 Esquema y max V oy V o y max v V oy X X max a) Alcance horizonal Es la disancia horizonal que alcanza el proyecil desde que se lanza hasa llegar al mismo nivel donde es lanzado se iene que: X max = alcance Vo Sen X g susiuyendo (100m / s) Sen(60) X 9,8m / s (100m / s) Sen10 X 883, 70m 9,8m / s b) El iempo de vuelo ( v ) Es el iempo que arda la parícula desde que se lanza hasa llegar al mismo nivel donde es lanzado 131

132 v= VoSen g susiuyendo valores v= 100m / ssen60 17,67s 9,8m / s c) La velocidad y la alura después de los 10S Voy Vo Vox max v La velocidad en el eje de las X es consane V x = Vocos V x =(100m/s) (cos60) = 50m/s La velocidad en el eje de las y V fy =Voseno-g (susiuyendo valores) V fy = 100m/s sen60 9,8m/s 10 s V fy = -11,39m/s VR Vx Vy VR (50m / s) ( 11,39m / s) 51,8m / s su posición a los 10s Y= Y o + Vosen 1g (como Y o =0m) Y= (100m/s) (sen60)(10s) 1 (9,8m/s) (10s) Y= 376,0m 3) Se dispara un proyecil con un ángulo de 35, golpea al suelo a una disancia horizonal de 4km. Calcule a) La velocidad inicial. b) el iempo de vuelo. c) La velocidad en el puno de máximo ahora. 13

133 La disancia horizonal de una parícula desde que lanza hasa llegar al mismo nivel donde es lanzado se conoce como alcance máximo. V 4 Km Como: X max = Vo sen g del alcance se despeja la V o X max g V o = Sen Susiuyendo Vo= 3 (4x10 m)(9,8m / s ) Sen(35) Vo= 3 39,x10 m / s Sen70 b) El iempo de vuelo (v) v= max v= Vosen g susiuyendo 04,4m / s. Sen35 v= 9,8m / s v=11,95 = 1s 04,4m / s c)la velocidad en el puno más elevado. En el puno más elevado la V fy = om/s, la única velocidad que exise en ese puno es la velocidad en el eje X y es consane Vx= Vo cos = ce Vx= 04,4m/s cos 35 Vx= 167,30m/s 133

134 4) Un cañón que iene una velocidad de orificio de 1000m/s se usa para desruir un blanco en la cima de una monaña. El blanco se encuenra a.000m del cañón horizonalmene y a 800m sobre el suelo. A que ángulo, relaivo del suelo, debe dispararse el cañón? Ignore la fricción del aire. Esquema. Vo=1000m/s 800m (0,0) =? 000m Esquema +Y Y f 800m Y o V 1000m / s =? Blanco X=000m En el esquema la información que nos dan es la velocidad inicial, la disancia que avanza horizonalmene y las posiciones iniciales y finales en el eje y. Para ese ipo de ejercicio, donde nos fala la variable iempo, se emplea la ecuación paramérica que no involucra el iempo. z zo x an g cambiamos z por y 1 Vo gx cos 134

135 yf yo x an g 1 Vo gx cos susiuyendo 1 (9,8)(000) an g (1000) cos 19, an g cos enemos una ecuación en función de ang y del cos, se debe colocar en función de una sola variable Recordando Sec = 1 Cos Susiuyendo 800=000ang -19,6 sec además Sec = 1+ ang Susiuyendo nuevamene en Sec 800=000ang -19,6 (1+ang ) 800=000.ang -19,6-19,6 ang ahora se iene una sola ecuación en función de la ang, se iguala la ecuación a cero. 19,6 ang ang ,6=0 19,6 ang ang + 819,6 A B C Se iene una ecuación de do. grado ang= b b 4ac a ang= (000) ( 000) (19,6) 4(19,6)(819,6) ang= +0001,98x

136 39, 1 =arcang 000+1,98x10 +3 = 89,44º 39, 1 =arcang 000-1,98x10 +3 = 7,03º 39, son las dos posibles ángulos para que den en el blanco 5) Un balón de fúbol se lanza hacia un recepor con una velocidad inicial de 0m/s a un ángulo de 30 sobre la horizonal. En ese insane el recepor esá a 0,0m del Mariscal del campo. En qué dirección y con qué velocidad consane debe correr el recepor para arapar el balón a la misma alura a la cual fue lanzado? y Vo 0m / s (0,0) 30 X 0,0m Lo primero que se debe deerminar es donde va a caer la peloa, para saber en que dirección va a correr el Mariscal, pero la disancia horizonal que alcanza la peloa desde que se paea del suelo hasa llegar nuevamene al suelo es el alcance máximo, por lo ano lo que se va a deerminar es el alcance máximo que adquiere la peloa Como X max Vo Sen g 136

137 Se susiuye valores X max (0m / s) Sen(30) 9,8m / s X max (0m / s) Sen(60) = 35,35m 9,8m / s Haciendo nuevamene el esquema y Vo 0m / s (0,0) 30 X 0,0m Xmax X El mariscal debe correr una disancia Xm = 35,35m 0,0m= 15,35m Y el iempo que debe emplear en llegar a la peloa, debe ser igual al iempo que uilizo la peloa desde que la paearon hasa llegar al suelo, que no es más que el iempo de vuelo de la peloa. Como v= max v= (Vo Sen) g susiuyendo 0m / sen30 v= 9,8m / s,04s 137