UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS.

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1 UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números que son imagen de una función, cuyo dominio son, (normalmente), los enteros positivos, comenzando a partir del 1. Bueno, bueno, no nos preocupemos por las definiciones más o menos rigurosas o académicas; la forma más fácil de "visualizar" una sucesión es pensar en varios números, por ejemplo, la población en millones de habitantes que tienen varios países, y luego ordenar esos números: en la primera posición (n=1), ponemos la nación con más población, y así sucesivamente en orden decreciente, hasta llegar a la menor cantidad de población: en el caso de que tuviéramos una lista con 12 países, el menor en habitantes estaría situado en la posición décimo segunda, n=12. En general, las sucesiones numéricas sirven para ordenar números, en cantidades finitas como en el ejemplo anterior, o en cantidades infinitas, como por ejemplo, sn= 1/n, la cual tiene infinitos elementos: cuáles son?, bien, ya hemos dicho que, n = (1,2,3,4,5...y así sin fin), por lo que el primer elemento será 1/1 = 1, el siguiente, (como fácilmente puede adivinarse) es, 1/2 = 0.5, etc. Si quisiéramos saber cuál es el elemento que ocupa la posición 1320, sólo tendremos que hallar el inverso de este número, es decir: 1 / La expresión sn= 1/n, se denomina "término general de la sucesión", es una forma de escribir de manera compacta la sucesión; cuando sabemos como se "comportan" los elementos de la sucesión, podemos escribir una fórmula que nos de el valor numérico para cualquier posición, por ejemplo, si tengo la colección infinita de números: 2,4,6,8,..., es fácil ver su comportamiento; el primero termino, (n=1), es el 2, a partir de entonces los siguientes se obtienen sumando 2 al anterior, y en vez de escribir todos los elementos para "ver" la sucesión (ridículo e imposible a la vez), lo que hacemos es escribir: sn = 2n. La idea clave sobre el concepto de sucesión es la de " una colección de elementos ordenada. Si quitamos la palabra "ordenar", entonces ya no tenemos una sucesión; lo que tendremos es un conjunto de zapatos, coches, estrellas, sucesiones (! Si, sucesiones de sucesiones), números, etc., y no sabremos responder a preguntas como: cuál es el lugar que ocupa Sirio en la lista de las estrellas más brillantes? o cuántos números primos hay hasta 1000?. Si no hacemos una lista de estrellas en función de su brillo, o de números primos, no podremos contestar a las cuestiones anteriores. En la gráfica de arriba puedes ver una sucesión de números reales (3, 9, 27,...) que están relacionados entre sí, es decir, existe una característica común entre ellos y es, que todos se obtienen al tomar el anterior y multiplicarlo por 3. Pues bien, toda sucesión que cumpla que cualquier elemento de la misma

2 sea igual al anterior multiplicado por un número, que llamaremos r, se denomina sucesión geométrica. En el ejemplo anterior se puede ver que se trata de una sucesión de números reales (creciente), siendo r = 3 y S 1 = 3 (el primer elemento). Desde luego, es muy fácil ver lo que sucede cuando n toma valores muy elevados (para n = 1000, n = ), la sucesión 3 n nos va a dar números muy grandes. Si los elementos de la sucesión representaran distancias (por ejemplo en metros, o lo que quieras), obtendríamos longitudes superiores al tamaño del mismo Universo, o dicho con otras palabras, no es posible pensar en un número que sea mayor que los números que pueden conseguirse con la sucesión 3 n, lo cual implica que no esta "acotada" superiormente. Lo de acotación significa encajar o limitar entre dos valores: podemos encontrar "dos números" entre los cuales estén (3, 9, 27, 81,...)?, pues no, sólo podemos decir están entre el 3 ( u otro más pequeño) y el infinito, pero infinito no es un número concreto, verdad?, por lo que podemos decir que no esta acotada, o que solamente tiene cota inferior ( el 3 o cualquier otro numero menor). Hay dos fórmula muy útiles que nos permiten hallar el termino general de una sucesión geométrica y la suma de una cantidad finita de estos: Termino general de una sucesión geométrica: S n = S 1.r n-1 donde r = razón, S 1 = el primer elemento o término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4,... Suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica: Esta ultima formula, sólo tiene sentido utilizarla si "el valor absoluto de de r es mayor que 1", es decir, si r > 1 o r < -1. Veamos, si r es mayor que 1, resulta que los términos de la sucesión van creciendo más y más, puesto que al multiplicar por un número mayor que 1, lo que conseguimos son números mayores que el anterior, con lo que la suma será igual a infinito: sucede lo contrario para valores de r menores que 1 ( entre 1 y -1), al multiplicar por "0,algo" (cero coma algo), obtenemos números cada vez más pequeños, y entonces es posible hacer la suma. En el ejemplo anterior, r=3, con lo que la "suma vale infinito". Esto ultimo es una forma de hablar, suma = infinito, no tiene sentido: suma = un numero concreto, si lo tiene, entonces, este tipo de sucesiones se dice que son divergentes, y de forma equivalente, cuando su suma es finita (un numero), se dice que son convergentes. Veamos un ejemplo: Hay otra clase de sucesiones que se llaman aritméticas: son un conjunto de números ordenados que tienen la propiedad de que cada término es igual al anterior más una constante, d, o diferencia común, Los mismos números enteros, ( Z = 1,2,3,...) son una sucesión aritmética, en donde d = 1: también lo serían, ( -1/2, -1, -3/2, -2,...) con d = -1/2 o (2, 6, 8,..) con d = 2. Disponemos de dos fórmulas para calcular la expresión del término general y el valor de la suma. Hay que tener en cuenta que si sumamos una serie aritmética, con todos sus términos positivos, el resultado será infinito ( o menos infinito cuando todos sus términos son números negativos), puesto que estamos todos sus elementos que son infinitos, en esta situación, sólo tiene sentido sumar una cantidad finita de términos. Bien, las fórmulas son: Término general para una sucesión aritmética: S n = S 1 + (n - 1)d donde d = diferencia, S 1 = el primer elemento o término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4,.. Suma de "n" términos (cantidad finita) para una sucesión aritmética: Suma = (n /2) (2.S 1 + (n - 1)d)

3 Veamos un ejemplo: Progresión geométrica En matemáticas, una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta separación no es estricta. Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = = = = y así sucesivamente Ejemplos de progresiones geométricas La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.

4 La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición. Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas Si son los términos de una progresión geométrica con razón entonces se cumple la regla recursiva La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término por su inmediato anterior: Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo: Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que Dado que, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo: Suma de términos de una progresión geométrica Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica Se denomina como S n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: S n = a 1 + a a n-1 + a n Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

5 Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión, S n r = a 2 + a a n + a n r Si se procede a restar de esta igualdad la primera: S n r = a 2 + a a n + a n r S n = a 1 + a a n-1 + a n S n r - S n = - a 1 + a n r o lo que es lo mismo, S n ( r - 1 ) = a n r - a 1 Si se despeja S n, De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a n como a n = a 1 r n-1 Así, al substituirlo en la fórmula1 anterior se tiene lo siguiente: Con lo que se obtiene la siguiente igualdad: Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad r < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si r < 1, tiende hacia 0, de modo que:

6 En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: UNIDAD 2: UTILICEMOS EL CONTEO. 1. Principio de la multiplicación. Objetivos conceptuales. Conocer el principio de la multiplicación. Objetivos procedimentales. Calcular el número de opciones en un fenómeno aplicando el principio de la multiplicación, y construir diagramas de árbol. Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre lo útil que resulta la multiplicación para efectuar cálculos Si lanzamos una moneda al aire, las opciones de caer son 2: cara o corona. Si después de lanzada la moneda, lanzamos una esfera a una área de 2 zonas: blanco y negro, cuántas opciones en total se tienen?... Piensa... Se tienen 4 opciones. Veámoslas: cara blanco cara negro corona blanco corona negro Si el área es de 3 zonas: blanco, negro y puntos, cuántas opciones en total se tienen?... Piensa... Se tienen 6 opciones. Veámoslas: cara blanco cara negro cara puntos corona blanco corona negro corona puntos Ocurre que si el área fuera de 4 zonas (opciones), las opciones totales serían 8; y si tuviéramos zonas, las opciones 5 serían 10. Ya te percataste que para encontrar el total de opciones basta con multiplicar las opciones entre sí?... Pues así de fácil se encuentran! Resumiendo: para una moneda y 2 zonas: 4 opciones (4 = 2 x 2); para una moneda y 3 zonas: 6 opciones (6 = 2 x 3); para una moneda y 4 zonas: 8 opciones (8 = 2 x 4); para una moneda y 5 zonas: 10 opciones (10 = 2 x 5); Del análisis anterior se desprende el principio de la multiplicación, que establece lo siguiente: Si una operación puede efectuarse en 2 pasos, teniendo el primero A opciones, y si por cada opción puede realizarse otro de B opciones; el total de opciones es A x B.

7 El principio de la multiplicación se amplía a más de 2 opciones. Por ejemplo, si a la moneda y al área de 3 zonas se le agrega una ruleta con 4 animales: gato, perro, loro y conejo; se tendrán 24 opciones (24 = 2 x 3 x 4) Diagrama de árbol Todas las opciones posibles pueden detallarse en lo que se conoce como diagrama de árbol. Para el caso de la moneda y 3 zonas, el diagrama de árbol es el siguiente: Blanco Negro cara Puntos corona Blanco Negro Puntos A Se lanza una moneda, se hace girar una ruleta de 4 colores y otra de 5 letras. Cuántas opciones hay? 2. Ana posee 3 pares de zapatos, 5 faldas y 4 blusas, de cuántas formas se puede vestir? El diagrama de árbol puede extenderse más si agregamos más elementos. Por ejemplo, si tenemos 2 colores: blanco y negro; 2 letras (A y B) y 3 números: 1, 2 y 3; el diagrama de árbol es el siguiente Actividad 1. Resuelve los casos siguientes. 3. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda y hacer girar una ruleta de 4 colores (blanco, negro, azul y verde) Blanco Negro 4. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul) y otra ruleta con 3 letras: A, B y C. 5. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul) y otra ruleta con 4 letras: A, B, C y D. 6. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul), otra ruleta con 3 letras: A, B y C; y un disco con 4 animales: gato, perro, loro y tortuga. 7. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer girar una ruleta de 4 colores (blanco, negro, rojo y azul), otra ruleta con 3 letras: A, B y C; y un disco con 4 animales: gato, perro, loro y tortuga. B B A

8 8. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul), otra ruleta con 4 letras: A, B, C y D; y un disco con 4 animales: gato, perro, loro y tortuga. 2. Principio de la suma Objetivos conceptuales. Conocer el principio de la suma. Objetivos procedimentales. Calcular el número de opciones en un fenómeno aplicando el principio de la suma. Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre lo útil que resulta la suma para efectuar cálculos Supongamos que para ir de la casa a la playa existen 3 rutas: A, B y C. Pero si se desea antes pasar por el museo, se tienen las rutas siguientes: De la casa al museo 2 rutas: R1 y R2. Del museo a la playa 3 rutas: R3, R4 y R5. Lo anterior se esquematiza a continuación: A Casa R1 R2 B Museo R3 R4 R5 Playa C Puede apreciarse que si se desea pasar por el museo, podemos tomar cualquiera de las rutas ERRES, pero NO podemos tomar las rutas A, B o C. De igual forma, si deseamos ir directo podemos tomar cualquiera de las rutas A, B o C; pero ninguna de las rutas ERRES. Por lo tanto, ir directamente es una operación; e ir pasando por el museo es otra operación. Son operaciones que no pueden realizarse una después de la otra o al mismo tiempo. Una operación excluye a la otra: son excluyentes. La primera operación es de un paso; mientras que la segunda es de 2 pasos. De acuerdo con el principio de la multiplicación, para ir a la playa pasando por el museo existen 6 rutas (6 = 2 x 3): R1R3, R1R4, R1R5, R2R3, R2R4, R2R5. Por lo tanto, el total de rutas es 6 más las rutas directas A, B y C; es decir, 9 rutas: 2 x = 9. Entendido lo anterior, entenderás el principio de la suma: Si A y B son operaciones excluyentes, y si para realizar A se tienen n opciones; y para B, k opciones; el total de opciones es n + k. Ejemplo. Se tienen 2 formas excluyentes de llegar a la playa: una pasando por el museo, y la otra pasando por el aeropuerto. Se tienen 2 opciones para llegar al museo y 4 para llegar del museo a la playa. Se tienen 3 opciones para llegar al aeropuerto y 5 para llegar del aeropuerto a la playa. Cuántas opciones en total existen? Solución. Pasando por el museo. Se tienen 2 opciones para llegar al museo y 4 para llegar del museo a la playa. El total son: 2 x 4 = 8 Pasando por el aeropuerto. Se tienen 3 opciones para llegar al aeropuerto y 5 para llegar del aeropuerto a la playa. El total son: 3 x 5 = 15

9 El total de opciones para llegar a la playa son = 23. Museo Casa Playa Aeropuerto Actividad 2. Resuelve los casos siguientes. 1. Sandrita, para ir a la escuela, puede hacerlo directamente por las calles A, B, C o D. Pero si desea pasar por el parque, tiene las opciones siguientes: de su casa al parque tiene los caminos C1, C2 y C3; del parque a la escuela tiene los caminos C4, C5, C6, C7 y C8. Cuántas opciones tiene? 2. Si en el caso anterior Sandrita sólo puede ir a la escuela pasando por la iglesia o pasando por el parque, cuántas opciones tiene si para llegar a la iglesia tiene los caminos C9 y C10; y de la iglesia a la escuela tiene los caminos C11, C12 y C Cuántas opciones tiene Sandrita para llegar a la escuela si puede hacerlo directamente, pasando por la iglesia o pasando por el parque. 4. Karen, para ir a la escuela, puede hacerlo directamente por las calles A, B, C o D. Pero si desea pasar por la tienda, tiene las opciones siguientes: de su casa a la tienda tiene los caminos C1, C2 y C3; del de la tienda a la escuela tiene los caminos C4, C5, C6, C7 y C8. Cuántas opciones tiene? 3. Factorial de un número Objetivos conceptuales. Conceptualizar lo que es la factorial de un número. Objetivos procedimentales. Calcular la factorial de un número y operar con factoriales. Objetivos actitudinales. Tomar conciencia de lo grande que es la factorial de número mayores que 10. La factorial de un número natural n, denotada n!, es el producto de n por todos sus anteriores. Es decir que: n! = n(n-1)(n-2)... x 3 x 2 x 1 El cero no está considerado como natural; pero su factorial se considera UNO. Es decir que 0!= 1 Para el caso de los primeros 7 naturales, se tiene que: 1! = 1 2! = 2 3! =3 x 2 = 6 4! = 4 x 3 x 2 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5040 Nótese que no es necesario multiplicar por UNO.

10 Tomemos la factorial de 7. Se tiene que: 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2! = ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3! = ! = 7 x 6 x 5 x 4! = ! = 7 x 6 x 5! = ! = 7 x 6! = 5040 De aquí resulta que: 10! = 10 x 9 x 8 x 7! 7! 7! = 10 x 9 x 8 = 720 La factorial tiene sus aplicaciones. Por ejemplo, si se tienen 3 figuras y se necesita ordenarlas tomando en cuenta la posición de cada una, cuántos ordenamientos son posibles? Tomemos las figuras siguientes: un trébol, un corazón y una estrella ( ) Se tienen los ordenamientos siguientes: Consideremos las figuras siguientes: ordenamientos posibles. Actividad 3. Efectúa los cálculos siguientes: 1. 10! / 7! = 2. 12! / 10! = 3. 12! / 7! = 4. 20! / 16! = 5. 25! / 21! = 6. 27! / 22! = 7. 28! / 23! = 8. 29! / 24! = Construyamos todos los Puede apreciarse que se obtuvieron 24 ordenamientos con las 4 figuras. 24 = 4! Podemos concluir que para 5 figuras, obtendremos 120 ordenamientos. Puede verse que el número de ordenamientos obtenidos es 6. Pero 6 es la factorial de 3, que es el número total de figuras. Podríamos decir que el número máximo de ordenamientos que obtendremos con 4 figuras será 24, pues 24 = 4!? 9. 30! / 25! = ! / 26! = ! / 27! = ! / 28! = ! / 29! = ! / 30! = Actividad 4. Cuántos arreglos más se pueden hacer con 7 elementos que con 5?

11 Actividad 4b. Cuántos arreglos más se pueden hacer con 8 elementos que con 6? discusión 1. Intenta graficar las factoriales desde el 1 hasta el 10. Utiliza el eje X para los números, y el eje Y para las factoriales. Medita sobre los grandes valores que se obtienen 4. Permutaciones Objetivos conceptuales. Conceptualizar lo que es una permutación. Objetivos procedimentales. Calcular el número de permutaciones posibles con determinado número de elementos Objetivos actitudinales. Tomar conciencia de lo útil de la factorial. Una permutación es cualquier arreglo tomando todos o parte de los elementos considerando el orden de aparición. Es decir que en las permutaciones el orden de los factores sí altera el resultado. Ya vimos que, tomando todos los elementos, el número de arreglos es la factorial del número de elementos. También se debe tener presente que el orden de aparición determina los arreglos. Para el caso, con dos figuras se obtiene un máximo de 2 arreglos: y Cuando se toman r elementos del total n, el número de arreglos se expresa así: npr. Dichos arreglos se calculan así: npr=n! /(n r)! Significa que: 10P7 = 10! / (10 7)! Debe quedar muy claro lo siguiente: se toma parte de los elementos para cada arreglo, pero en el total de arreglos aparecen todos los elementos. Ejemplo. Encontremos y expresemos el número de arreglos posibles tomando 2 figuras de un total de 5. Las figuras son las siguientes Solución. Tomaremos 2 figuras de un total de 5: n = 5 y r = 2. npr = n! / (n r)! = 5! / (5 2)! = 5! / 3! = 120/6 = 20. Por lo tanto se pueden formar 20 arreglos. Estos arreglos se muestran a continuación: Puede apreciarse que aparecen todas las figuras, pero en cada arreglo sólo aparecen 2 de las 5. También se aprecia que cada figura aparece 8 veces. Actividad 5. Efectúa los cálculos siguientes: 1. 4P3 = 2. 5P3 = 3. 6P3 =

12 4. 7P3 = 5. 8P3 = 6. 8P4 = 7. 8P5 = 8. 8P6 = 9. 8P7 = 10. 9P3 = 11. 9P4 = 12. 9P5 = 13. 9P6 = 14. 9P7 = 15. 9P8 = Actividad 6. Resuelve los casos siguientes: 1. Cuántos números pueden formarse tomando los impares de entre los números siguientes: 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9? 1b. Cuántos números pueden formarse tomando los pares de entre los números siguientes: 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9? 1c. Cuántos números pueden formarse tomando los impares de entre los números siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9? 1d. Cuántos números pueden formarse tomando los pares de entre los números siguientes: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? 2. Por qué no es posible calcular la expresión npr si r > n? - 3. Es cierto que npn = np(n 1)? 4. Ana mueve 3 figuras de un total de 10; y Sonia mueve 5 de un total de 6. Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra? 4b. Karen mueve 4 figuras de un total de 10; y Sandra mueve 5 de un total de 6. Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra? 4c. Karen mueve 5 figuras de un total de 10; y Sandra mueve 5 de un total de 6. Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra? 4d. Karen mueve 6 figuras de un total de 10; y Sandra mueve 5 de un total de 6. Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra? 5. Escribir todos los números que pueden formarse tomando 2 de los siguientes: 1, 2, 3, 4 y Combinaciones l Objetivos conceptuales. Comprender lo que es una combinación y su diferencia con la permutación. Objetivos procedimentales. Calcular el número de combinaciones posibles con determinado número de elementos Objetivos actitudinales. Tomar conciencia de lo útil de las combinaciones en estadística.

13 Las combinaciones son diferentes a las permutaciones. En las permutaciones, el orden de los elementos se toma en cuenta; pero en las combinaciones NO se toma en cuenta. Lo anterior se ejemplifica así: Para una permutación: Para una combinación: = Concepto: Una combinación es cualquier arreglo tomando parte de los elementos sin considerar el orden de aparición. El número de combinaciones tomando r elementos de un total de n, se representa así: ncr. Se calcula así: Para el caso de las figuras, si tomamos 2 de ellas, sólo obtenemos 3 arreglos. Esto lo podemos comprobar aplicando la ecuación. ncr = Actividad 7. Resuelve los casos siguientes: 1. Efectúa los cálculos siguientes: a. 6C4 = b. 6C3 = c. 6C2 = d. 7C 4 = e. 8C4 = f. 9C4 = g. 10C4 = h. 10C5 = i. 10C6 = j. 10C7 = k. 10C8 = l. 11C6 = m. 11C6 = 2. Será cierto que nc0 = ncn? 3. Será cierto que nc(n/2 + 1) = nc(n/2-1)? 4. Será cierto que nc(n-1) = n? 5. Cuál número es mayor ncr ó (n + 1)Cr ncr = n! r!(n r)! n! r!(n r)! 3! = = 6/2 = 3. 2! (3 2)! 6. Cuál número es mayor ncr ó nc(r+1) discusión 1. Resuelve los casos siguientes: 1. Un empresario necesita contratar 3 empleados. Los aspirantes son 4: Juan, Virginia, Pedro y Belinda. Escribe todas las combinaciones posibles. 2. Un empresario necesita contratar 4 empleados. Los aspirantes son 5: Juan, Virginia, Pedro, Belinda y Amanda. Escribe todas las combinaciones posibles. 3. Un empresario necesita contratar 3 empleados. Los aspirantes son 5: Juan, Virginia, Pedro, Belinda y Amanda. Escribe todas las combinaciones posibles. 4. Un empresario necesita contratar 4 empleados. Los aspirantes son 6: Juan, Virginia, Pedro, Belinda, Amanda y Sandra. Escribe todas las combinaciones posibles. UNIDAD 3: ANALICEMOS LA FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA.

14 Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real. 2.1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición. Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x. Como para todo,la función exponencial es una función de en. En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial Teorema (Leyes de los Exponentes) Sean a y b reales positivos y x,y,entonces: Cuando a > 1,si x < y, entonces,.es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces,. Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en

15 su dominio. 10.Si 0< a < b,se tiene:.. Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 11. Cualquiera que sea el número real positivo,existe un único número real tal que. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real Gráfica de la Función Exponencial En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

16 Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir, crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es invectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial invectiva. Observación. Cuando a = e,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = ?.,la función exponencial,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp ( x ) = Las Funciones Hiperbólicas En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones y que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas. Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.

17 La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define: La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx, se define:, A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:, A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas: senh2x =2senhx coshx 8. 9.

18 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. La igualdad N,donde N es un número real y, es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales: Dada la base a y el exponente x,encontrar N. Dados N y a, encontrar x. El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo, la propiedad 11 del teorema garantiza que siempre existe un número real x tal que N reales positivos y., cuando N y a son Lo anterior da lugar a la siguiente definición: Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces: La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base, denotada por,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a. La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos Teorema ( Propiedades de los logarítmos ) Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :

19 .. Cuando a > 1, si 0 < x < y, entonces, estrictamente creciente en su dominio..es decir,la función logarítmica de base a > 1 es Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y,entonces, estrictamente decreciente en su dominio..esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es Para todo número real, existe un único número real tal que. Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva.. Si, y, a!= 0, entonces,. (Invarianza) Demostración. Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. A manera de ilustración, se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector. Sea.De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3,se tiene :. Esto es, ( 1 ) En segundo lugar, nuevamente por la definición,. 0

20 Es decir, ( 2 ). De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que. Sea y, entonces : ( 1 ). ( 2 ). De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :. Es decir,. 7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean : y.se prueba que. En efecto,si,y como a > 1,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que, es decir, en contradicción con la hipótesis. Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. Observaciones. i ) La igualdad, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0. ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base.es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ), la otra también lo es. iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln.Sin embargo,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son los correspondientes a la base 10,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan por o, simplemente, Log x Gráfica de La Función Logarítmica En las figuras 3 y 4, aparecen las gráficas de las funciones e, en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas e.allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

21 fig 3 fig Ejercicios Resueltos Sobre la Función Exponencial 1. Simplifique totalmente la siguiente expresión:.. SOLUCIÓN =

22 = = = = = Pruebe que.. SOLUCIÓN Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción.así: También, En consecuencia, Ejercicios Resueltos Sobre La Función Logarítmica 1. Pruebe que si a > 0, a y x > 0,entonces,... SOLUCIÓN Suponga que (1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que (2).

23 De (2), se deduce que. Pero, (3). De (1) y (3), se concluye que : 2. Sea a > 0, x > 0 y, además,.determine el valor de x... SOLUCIÓN Si, entonces,. Tomando logaritmo en base a,en ambos miembros de la última igualdad,se obtiene :. O Equivalentemente, Despejando y simplificando, se obtiene : En consecuencia,. 3. Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones :.. SOLUCIÓN ( 1 ) ( 2 ) De la ecuación ( 2 ),se sigue que x e y son reales positivos. Además,se puede deducir que : ( 3 ). De donde, ( 4 ). Como x,y son reales positivos,se sigue de ( 1 ) que ( 5 ). De ( 4 ) y ( 5 ), se deduce que :

24 . De donde,. Sustituyendo el valor de y en la ecuación ( 1 ),se obtiene 4. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios ) por medio de la fórmula: Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, cuántas veces mayor es su índice de Richter M? Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1906 (M=8.3), con la del Eureka de 1980 (M=7)?.. SOLUCIÓN Sean, las energías de los dos terremotos y tales que (1). Entonces, Pero, (3) y,también, (4) Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene: Simplificando la última igualdad, se deduce que :. Este último resultado indica que la intensidad del terremoto de mayor energía tenía dos unidades mas que la intensidad del primero. Si denota la energía del terremoto de San Francisco y la energía del Eureka, entonces : (5). (6). Dividiendo miembro a miembro las igualdades (5) y (6), se obtiene: Cómo interpreta usted este resultado? UNIDAD 4: ESTUDIEMOS LA PROBABILIDAD. 7. Probabilidad 1 Objetivos conceptuales. Comprender lo que es probabilidad. Objetivos procedimentales. Efectuar cálculos de probabilidad. Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre la probabilidad de un suceso en la vida cotidiana: la lluvia, un temblor

25 En términos sencillos, la probabilidad es la parte de la matemática que intenta expresar con números la posibilidad de que ocurra o no un seceso. 7.1 Enfoques probabilísticas Se conocen 3 enfoques sobre la definición de probabilidad: la subjetiva, la frecuencial o empírica y la clásica. El enfoque clásico se basa en la confianza derivada del conocimiento que se tiene sobre el desarrollo de un fenómeno. Por ejemplo, un tirador con arco con muy buena puntería, arriesgará una buena cantidad apostando a que dará en el blanco. Su probabilidad es subjetiva, y se deriva del conocimiento que tiene del fenómeno. Sin embargo, una persona que no lo conozca no estará dispuesta a arriesgar mucho a su favor (apostando por él). El enfoque frecuencial o empírico resulta de la experiencia. Esta se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número de veces que se realizó el experimento. Por ejemplo, si un dado se lanza 50 veces, obteniéndose en 10 ocasiones el 4, entonces la probabilidad para el 4, P (4), es: P (4) = 10 / 50 = 1 / 5 = 0.2 El enfoque clásico se produjo como resultado de efectuar un experimento un gran número de veces. Por ejemplo, si lanzamos una moneda sólo una vez, obtendremos cara o corona. Pero si la lanzamos 2 veces, es más probable que caigan los 2 lados: cara y corona. Si lanzamos la moneda 5 veces, es difícil que siempre caiga un lado. Y si lanzamos la moneda 100 veces es casi imposible que siempre caiga un lado. Con seguridad, al final de las 100 veces, observaremos que las caras y las coronas andan alrededor de las 50 veces cada una. Esto conduce a pensar que tanto la cara como la corona tienen iguales posibilidades de aparecer. El enfoque clásico establece lo siguiente: Si se tienen n resultados y cada resultado es igualmente probable, entonces la probabilidad de cada uno es 1/n. Qué significa que cada resultado sea igualmente probable?... Aquí entran en juego varios factores. Por ejemplo, si se trata de un dado, para que los 6 resultados sean igualmente probables, se necesita que los 6 lados tengan igual superficie. Si se tiene una urna con canicas negras, blancas y rojas, para que los colores tengan igual probabilidad se requiere que en la urna haya igual número de canicas de cada una. Por ejemplo 10 de cada una. En el diagrama siguiente, el número 2 no tiene las mismas probabilidades que el 1 y el Los números que se obtengan en esta ruleta no tienen la misma posibilidad. Se observa que el 2 está en desventaja, pues tiene menor área. Por su parte, el 3 tiene mayores ventajas, pues su área es mayor.

26 Si designamos con P(E) la probabilidad de un evento, se tiene que: Casos favorables P(E) = Casos posibles Conforme a la ecuación anterior, respondamos: Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga cara?... Tenemos un caso (cara), y los casos posibles son 2. Por lo tanto: P(E) = ½ = % Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga cara o corona?... Tenemos dos casos (cara o corona) y los casos posibles son 2. Por lo tanto: P(E) = 2/2 = 1 100% Cuál es la probabilidad de que un dado caiga en 5?... Tenemos un caso; y los casos posibles son 6. Por lo tanto: P(E) = 1/6 = % Cuál es la probabilidad de que un dado caiga en 3 ó 5?... Tenemos 2 casos; y los casos posibles son 6. Por lo tanto: 7.2 Axiomas sobre probabilidad P(E) = 2/6 = % Axioma 1. Si se tiene la certeza de que un evento ocurrirá, su probabilidad es UNO. Axioma 2. Si se tiene la certeza de que un evento no ocurrirá, su probabilidad es CERO. Axioma 3. Las probabilidades son números reales entre 0 y 1. Por ejemplo, la probabilidad de sacar una canica verde de una urna que sólo tiene canicas verdes es UNO. Por el contrario, la probabilidad de sacar una canica blanca de dicha urna es CERO. 7.3 Teoremas básicos sobre probabilidad Teorema 1. La probabilidad de que ocurra un evento es 1 menos la probabilidad de que no ocurra. Supongamos que en una urna hay 4 canicas: verde, azul, blanca y roja. La probabilidad de sacar la verde es 1/4, entonces la probabilidad de no sacarla o sacar cualquier otra es 1 1/4 = 3/4.

27 Teorema 2. Si A y B son eventos excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades separadas. Es oportuno aclarar que 2 eventos son excluyentes si no tienen puntos muestrales en común. Para el caso de la misma urna, la probabilidad de sacar una canica es 1/4. Cuál será la probabilidad de sacar una verde o una azul?... Se suman las probabilidades: 1/4 +1/4 = 2/4 = 1/2. Desde luego que para la resolución basta con conocer el número de casos (2) y el total de casos (4): P (E) = 2/4 = 1/2. Teorema 3. Si A y B son 2 eventos, la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos, es igual a la probabilidad de A más la de B menos la probabilidad de su intersección. Supongamos que tenemos 10 canicas enumeradas del 1 al 10. Si el evento A es sacar un número par; y el evento B es sacar un número mayor que 7, se tienen los siguientes espacios muestrales: Evento A: {2, 4, 6, 8, 10} La probabilidad de A es 5/10 Evento B: {8, 9, 10} La probabilidad de B es 3/10 La intersección de A y B es: A B = { 8, 10 } La probabilidad de A B es 2/10 La probabilidad de que ocurra A o B, de acuerdo al teorema 3 es: 5/10 + 3/10 2/10 = 6/10 = 0.6 = ( )/10 De nuevo aquí basta con observar los puntos muestrales. Estos son: 2, 4, 6, 8, 9, 10. Seis en total. La probabilidad es 6/10 = 0.6. Observemos que A y B NO son eventos excluyentes, ya que tienen en común 2 números: 8 y 10. Si la intersección es vacía, estamos en el teorema 2. Actividad 9. Calcula la probabilidad en cada caso. 1. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene sólo canicas blancas 2. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene sólo canicas verdes 3. Que una moneda caiga cara o corona 4. Sacar una canica que no sea verde. La probabilidad de sacar una canica verde es Que el dado caiga en 5 6. Que el dado caiga en 5 ó en 4 7. Que el dado caiga en 2, 3 ó 4 8. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 5 verdes y 5 blancas 9. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 5 verdes y 15 blancas

28 10. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 5 verdes, 5 negras y 10 blancas 11. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras y 10 blancas 12. Sacar una canica verde o una negra de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras y 10 blancas 13. Sacar una canica blanca o una negra de una bolsa que tiene 5 verdes, 5 negras, 10 blancas y 5 azules. 14. Sacar una canica blanca o una negra de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras, 15 blancas y 10 azules. 15. Sacar una canica blanca, una negra o una azul de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras, 15 blancas y 10 azules. Actividad 10. Resuelve cada caso. 1. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número par. El evento B es que caiga en número múltiplo de 3. Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 2. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número impar. El evento B es que caiga en número múltiplo de 3. Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 3. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número impar. El evento B es que caiga en número múltiplo de 4. Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 4. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número impar. El evento B es que caiga en número múltiplo de 2. Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 5. En una urna se tienen 12 canicas enumeradas del 1 al 12. El evento A es sacar un número par. El evento B es sacar un número mayor que 6. Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? 6. En una urna se tienen 12 canicas enumeradas del 1 al 12. El evento A es sacar un número par. El evento B es sacar un número múltiplo de 3. Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? discusión 2. Resolver cada caso. 1. En una urna se tienen 3 canicas enumeradas del 1 al 3. En otra se tienen dos canicas de colores: una negra y una blanca. Cuál es la probabilidad de obtener la combinación 2 negra? 2. En una urna se tienen 3 canicas enumeradas del 1 al 3. En otra se tienen 3 canicas de colores: negra, blanca y roja. Cuál es la probabilidad de obtener la combinación 2 roja? 3. Para el caso anterior, cuál es la probabilidad de obtener la combinación 2 roja o la combinación 3 blanca? 4. En una urna sólo hay canicas blancas y negras. Blancas son 10. Se sabe que la probabilidad de sacar una canica blanca es de Cuántas canicas hay en la bolsa?

29 5. En una urna sólo hay canicas blancas, rojas y negras. Blancas son 10. Se sabe que la probabilidad de sacar una canica blanca es de 0.2 y la de sacar una negra es 0.3. Cuántas canicas negras y rojas hay? UNIDAD 5: UTILICEMOS PROBABILIDADES. Distribuciones de probabilidad Introducción Estudiaremos aquí en qué consiste una distribución de probabilidades y los distintos tipos de variables que aparecen en el trabajo con probabilidad. Además, se conocerán con cierto detalle dos tipos de distribución de probabilidad: la binomial, como distribución especial de variable discreta, y la normal, como principal de las distribuciones probabilísticas para variable continua. El tema de las distribuciones implica no sólo conocer sus peculiaridades, sino también calcular probabilidades. El caso de la distribución normal supone obtener probabilidades con ayuda de la tabla, la cual tendrá que ser manejada con soltura. La distribución normal es la más importante por su gran utilidad en la inferencia estadística y porque son muchas las variables que siguen o se aproximan a su patrón entre otros aspectos. Objetivos: Que el alumno o la alumna pueda: 1. Definir una distribución de probabilidades 2. Distinguir entre variable discreta y variable continua. 3. Obtener probabilidades para valores específicos de la variable 4. Enlistar características de una distribución normal 5. Definir y calcular valores de z 6. Determinar la probabilidad de que una observación esté entre dos puntos, utilizando la distribución normal estándar 7. Determinar la probabilidad de que una observación esté por arriba o por abajo de un valor, utilizando la.. distribución normal estándar.

30 Lo que se debe tener presente es que en una variable continua no hay saltos: no pasamos de 2 a 3, sino que podemos tomar cualquier valor entre 2 y 3; por ejemplo 2.25 Una forma fácil para determinar si una variable es discreta o continua es la siguiente: si es el resultado de contar es discreta; y si es el resultado de medir es continua. 2. Distribución de probabilidades. Se tiene una distribución de probabilidades cuando se conocen todos los valores posibles que una variable aleatoria puede tomar y la probabilidad de cada uno de esos valores. Gildaberto Bonilla nos presenta el ejemplo del lanzamiento de 4 monedas, o lo que es lo mismo, lanzar 4 veces una moneda. El diagrama de árbol nos da todos los posibles resultados: Si la variable aleatoria es el aparecimiento de cara en los 4 lanzamientos, dicha variable toma los siguientes valores: 0, 1, 2, 3 ó 4. Es decir, puede NO aparecer una cara o pueden aparecer 1, 2, 3 ó 4. Al observar los 16 casos, vemos que sólo en un caso no aparece la cara, y sólo en un caso aparecen las 4. También observamos que 2 caras aparecen en 6 casos. En la tabla siguiente se resume el resultado. N o de caras Casos Probabilidad / / / / 16

31 4 1 1 / 16 Los datos de la tabla aparecen en un diagrama de barras, que se utiliza para variables discretas. Es importante hacer notar que la suma de las probabilidades es la unidad: 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = ( )/16 = 16/16 = 1 Es importante recalcar que la variable aparecimiento de cara es una variable discreta, pues toma valores enteros. La cara puede aparecer CERO veces, o también 1, 2, 3 ó 4 veces. Pero nunca aparecerá una vez y media (1.5) 3. Distribución binomial. Objetivos conceptuales. En el ejemplo del lanzamiento de la moneda, existen sólo 2 posibilidades: cara o corona. Además, la probabilidad para cada evento es la misma: 1/16. Esto se debe a que son eventos independientes. Cuando se dan estas 2 condiciones se dice que se trata de un experimento binomial, o de una distribución binomial. Otra distribución binomial es la de hacer una extracción de una canica blanca, con reemplazo, de una urna con 5 canicas: 2 blancas y 3 negras. En este caso sólo hay 2 posibilidades: blanca o negra. Además, la probabilidad de que sea blanca es SIEMPRE 2/5, pues son eventos independientes (la canica se remplaza: vuelve a la urna) Si P es la probabilidad de éxito y Q la probabilidad de fracaso, entonces Q = 1 P. Para nuestro caso Q = 1 2/5 = 3/5. Volvamos a la urna y hagamos 10 extracciones (con reemplazo), cuál será la probabilidad de tener éxito en 3 ocasiones?... Se calcula de la siguiente manera: Recordemos que: 10 C 3 = 10! 3! (10 3)! C 3 P Q Para este caso específico, se tiene que: = 120 (2/5) 3 (3/5) 7 = C 3 P 3 Q 10 3 En general, la probabilidad de tener éxito x veces en n experimentos es: En la tabla siguiente se muestran las probabilidades para diversos números de éxitos. x n x P(x) = n C x P Q Exitos Probabilidad

32 Ejemplo. Resolver cada caso. 1

33

34 10. Un tirador medalla de oro tiene 0.2 de probabilidad de fracasar en dar en el círculo central de un disco de tiro. Si hace 8 tiros cuál es la probabilidad de que acierte en 4 ocasiones? 11. Un basquetbolista falla 3 de cada 10 tiros libres al aro. Si efectúa 12 tiros, cuál es la probabilidad de que acierte en 5 ocasiones? 12. Se tiene un tablero con 6 orificios blancos, 5 negros y 7 rojos. Se lanza al tablero una canica 7

35 Esta curva se obtiene para variables continuas. Se conoce como distribución normal o curva normal. El estudio de esta curva se centra en el área que encierra. Ocurre que muchas distribuciones de variables continuas tienen el mismo comportamiento general. Variables que tienen un comportamiento normal son pesos, estaturas, velocidades, tiempos, volúmenes... La curva normal se extiende indefinidamente hacia los lados, pero nunca toca al eje X, es decir que dicho eje es una asíntota. Esto no es de mucha importancia, pues el área en los extremos es de poco valor para el análisis. Como se observa, la curva tiene la forma de una campana. Además, es siempre simétrica. Esto significa que una mitad es el reflejo en un espejo de la otra mitad. Qué implica esta simetría? Observa la normal siguiente: P = 0.5 P = 0.5 La probabilidad en una mitad es 0.5, por lo tanto en la otra mitad es también 0.5 De aquí resulta que el área encerrada por la campana es igual a la unidad. En la curva anterior, cero es la media aritmética. Se dice que una población es normal si cumple con las siguientes características: 1. La población se distribuye simétricamente a ambos lados de la media. Una mitad es menor que la media y la otra mitad es mayor.