Curso: Bioestadística básica para médicos asistenciales. Clase Nº 5: Probabilidad de Pertenecer

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1 [Index FAC] [Index CCVC] Bioingenieria e Informatica Médica/Bioengineering- Medical Informatics Curso: Bioestadística básica para médicos asistenciales Clase Nº 5: Probabilidad de Pertenecer Raúl E. Ortego, Carlos R. Secotaro Index curso - Clase anterior - Clase siguiente En su hospital deciden probar un adminículo que determina la glucemia de manera incruenta en el lecho subungueal. El paciente sólo debe introducir en el mismo un dedo de la mano y en 3 segundos aparece en una pequeña pantalla el nivel de la glucemia en mg%. Se resuelve hacer un control con personas a los cuales se les determinará la glucemia por métodos tradicionales. Se planifica aparear para comparar, es decir cotejar el par de datos obtenidos en el mismo paciente, uno con el aparato de marras y otro suministrado por el laboratorio. En el laboratorio del hospital se realizan más de 300 glucemias diariamente en pacientes con diversas patologías y en personas normales por exámenes de admisión laboral. Para asegurarse la aleatoriedad en las muestras, se decide que durante los cinco días hábiles de la próxima semana, un residente diferente por día, hará la determinación subungueal en cada uno de los pacientes que concurren al laboratorio con un pedido de glucemia. Cada residente deberá presentar en un gráfico de coordenadas cartesianas los polígonos de frecuencia superpuestos de glucemias obtenidos por ambos métodos. Cada gráfico exhibe dos curvas bimodales, una curva con los valores obtenidos con el aparato nuevo (color rojo) y una con los obtenidos de manera tradicional (color negro); un modo corresponde a glucemias de personas NO diabéticas y el segundo modo a la distribución de glucemias de pacientes diabéticos. La situación se complica al comprobarse que en realidad el gráfico de cada residente es parecido pero NO idéntico al de sus compañeros de trabajo. Los datos apareados obtenidos por cada residente no son idénticos. Al superponer las 10 curvas obtenidas se observa lo siguiente:

2 Le proponemos que desde cualquier valor de la variable levante una vertical, por ejemplo desde un valor alrededor de 110 mg%; observe en cuantas muestras puede alojarse ese valor. Ahora traze una horizontal desde cualquier frecuencia de aparición, por ejemplo a una altura del 25% de la máxima frecuencia absoluta obtenida; observe cuantas curvas presentan una intersección con esa línea. Cambiemos la perspectiva, en un gráfico de coordenadas cartesianas representaremos un punto de intersección entre la vertical levantada desde un valor u opción de la variable y la horizontal de un valor de frecuencia. En nuestras analogías el punto de intersección "xy" es un "lugar de localización". Si proyecta cualquier localización xy de un valor u opción de la variable en un gráfico como el de los residentes, es evidente que una localización puede pertenecer a más de una muestra, o más de una población ya que la situación es la misma. Localización e Incertidumbre Nos encontramos en el meollo del problema que aborda la Estadística, buscando certezas obtuvimos incertidumbre. En la problemática del aparato y las glucemias se observa que el valor de la variable glucemia 110 mg% se "localiza" en un punto xy que pertenece tanto a la curva de los pacientes diabéticos como a la curva de las personas No diabéticas. En otros términos, en la "localización" xy se alojan valores u opciones de la variable que siendo iguales en identidad, pertenecen a más de una muestra o población. El problema práctico aparece cuando se debe responder a una persona con glucemia 110 mg% si es o no diabético; otro tema trascendente es establecer el valor de corte, el número con el que se dividirá a la población en Diabéticos y No Diabéticos. En el gráfico superponemos en color negro la "campana" de la población no diabética; en colores rojo y verde, dos de las curvas obtenidas por los residentes.

3 Probabilidad de Pertenencia Una localización xy admite el mismo valor de la variable de varias muestras o poblaciones. No se puede certificar a qué curva pertenece una localización. Se puede calcular la probabilidad de que una determinada localización pertenezca a una curva. Observe el gráfico, tiene frente a ud. dos curvas de glucemias, una curva roja y una curva verde, ambas con dos campanas. Las campanas más altas corresponden a los pacientes NO diabéticos, las más bajas (menor frecuencia de aparición) a los pacientes diabéticos. El punto xy señala la localización del valor 110 (x =110 mg %). Observe la línea horizontal de la frecuencia de aparición, repare en qué "rama" de qué "campana" se produce la intersección con la curva verde; repita el procedimiento con la curva roja. Sin hacer ningún cálculo, sólo con el significado coloquial del término probabilidad (que suele simplificarse usando la letra "p"), seguramente coincidirá en que para el residente que obtuvo la curva roja el valor 110 corresponde, pertenece, con mayor "p" a una persona del grupo de pacientes diabéticos. Con el mismo razonamiento, el residente que obtuvo la curva verde opinará que el valor 110 tiene mayor "p" de pertenecer a una persona del grupo NO diabético. En otros términos, que una persona con glucemia 110mg%, para un residente tendrá mayor "p" de ser diabético, y para el otro residente, mayor "p" de ser NO diabético. La verdad no está a nuestro alcance para el caso individual, sólo podemos acceder a la "p" de pertenecer a una muestra o población de referencia, lo cual como veremos no es poca cosa, y nos permitirá manejarnos razonablemente con la incertidumbre. La Ecuación de la Distribución Simétrica Enfrentemos la ecuación de la "campana", confesando que a primera vista asusta, parece sólo para elegidos, para inteligentes que "dominan" las matemáticas.

4 Si observamos detenidamente esa ecuación, advertimos que la podemos simplificar bastante para nuestra pretensión de sólo pensar y hablar sin hacer cuentas. Esa ecuación presenta constantes universales como son el número "1", el número "2", el número "p" y el número "e" (base de los logaritmos "naturales"). Además presenta constantes de cada población como son los parámetros y G. No supone ningún error matemático asumir que constantes de cada población relacionadas, vinculadas con cualquier operación aritmética a constantes universales, mantienen su característica de Constante Poblacional. En la campana de cada población, o muestra, ya que es la misma idea, la frecuencia de aparición "y" para un valor "x", en otras palabras la localización xy, dependerá del exponente que afecta al número "e". Ese exponente es la clave, ese exponente es lo único No constante en la Ecuación de la Distribución Simétrica. Un número llamado "Zeta" o "Chi" En álgebra del ciclo básico nos enseñaron que podemos utilizar letras para construir y trabajar con ecuaciones de aplicación general; en cada aplicación práctica sólo deberemos reemplazar la letra por el valor numérico específico del problema. El exponente del número "e" en la ecuación de la campana es en sí mismo, una "mini" ecuación, al resultado de esa mini ecuación se lo denomina "Z" (zeta). Veamos: En la fórmula ecuación de la "campana", Z es un exponente negativo para el número e. Recordemos un poco más, elevar un número a un exponente negativo es lo mismo que elevar la inversa de ese número al mismo exponente con signo positivo. Es importante destacar esto porque significa que cuanto más grande el exponente, más pequeño el resultado final. veamos: No hace falta que vuelva a su texto de aritmética elemental, solamente recuerde que esos artilugios algebraicos no modifican lo esencial.

5 Lo esencial está en la magnitud del número "Z" y en que es un exponente negativo. En algunos cálculos estadísticos, con modificaciones operativas NO esenciales, cambia de nombre, por ejemplo adopta el de (Chi); como dice un amigo mexicano que entiende de estas cosas "se trata de la misma gata, pero revolcada", en efecto: Z 2 = 2 "Z" ó " " es un exponente y un exponente negativo en una ecuación que tiene como variable dependiente "y" que en este caso es la Frecuencia de Aparición de un valor u opción de la variable. En síntesis, cuanto mayor magnitud tenga "Z", menos frecuente que aparezca en la población, o muestra, el valor de la variable "x" con el que se calculó ese número "Z". La magnitud de "Z" Los valores con que se calculan "Z" son la diferencia entre un valor de la variable "x" y el promedio de la población " ", es decir, el Desvío ; ya vimos por qué se lo eleva al cuadrado, en el denominador está el Desvío Standard "G" también elevado al cuadrado, lo que se denomina Varianza. Se destaca como idea de esta ecuación que cuanto mayor el desvío de un valor "x", mayor es "Z" y por lo tanto menor su frecuencia de aparición "y". Eso es coherente con nuestras analogías, es menos probable que una localización "xy" pertenezca a la población o muestra a la que se la pretende referir, si se trata de un valor "x" muy "desviado", muy lejos del "Km 0" ; cuanto más alejada la "localización", cuanto más grande "Z" o " ", menos probable la pertenencia. No es imposible, sólo es poco probable ; conviene recordar que alguno "gana la lotería". Como veremos a continuación con mayor detalle, si el valor de la variable "x" coincide con el valor virtual del promedio " ", el desvío es 0 (cero); el exponente es 0 y cualquier número elevado a la 0 da resultado 1. La menor magnitud de "Z" es 0, corresponde a la mayor frecuencia de aparición "y"; se obtiene con un valor de la variable que sea igual al promedio. En realidad esta ecuación no sólo plantea el Desvío como factor gravitante, lo que pone como dato crucial es la relación entre el desvío y el desvío promedio. En nuestra traducción a la jerga coloquial sería, la "dirección del valor" con respecto a la "Dirección en general"; si se prefiere un lenguaje más técnico, la dispersión específica con respecto a la dispersión genérica. Este concepto implica que un Desvío "grande" puede "amortiguarse" en su impacto sobre la magnitud de "Z" si la Varianza es "grande" en proporción similar. La magnitud de "Z" depende de la relación Desvío/Desvío Standard, o lo que es lo mismo, de la relación Desvío Cuadrático/Varianza. Zeta es Universal La relación matemática que concluirá en Z tiene en numerador y denominador la misma unidad en cada población o muestra, pueden ser unidades de peso, de volumen o cualquier otra en cualquier modalidad. Lo constante es que se trata de la misma unidad de medida en numerador y denominador, luego, se simplifican (se anulan a sí mismas) y el resultado final es que siempre Z es un número SIN UNIDAD. Lo mismo ocurre cuando Z adopta la presentación (Chi).

6 Z no tiene unidad de medida y en realidad es una relación entre el Desvío de un valor de la variable y el Desvío promedio construido con todos los valores de la variable. En numerador y denominador de esa proporción hay números de similares rangos de mangnitud; así por ejemplo la relación / arroja el resultado 1/2 o 0.5 idéntico al que se obtiene con una relación como 0.001/0.002 ó 150/300, etc. Z es una proporción sin unidad, luego, Z es universal para la Estadística. Los expertos en Estadística han elaborado tablas con diferentes valores de "x", asignando al promedio m un valor de 0 (cero) y al Desvío Standard (G ó ±) un valor de 1 (uno). Si el valor de la variable es igual al promedio (x = m), como ya vimos, el desvío es 0 (cero) y todo termina en que Z = 0 (cero); como Z es un exponente, y como cualquier número elevado a la 0 (cero) es 1 resulta que el valor de "y" será 1. El mínimo valor que puede exhibir Z es 0 y esa es la máxima frecuencia de aparición "y" que puede alcanzar un valor real de la variable "x". Ese valor real "x" será uno que coincida con el promedio ; un valor que sea igual a ese número virtual de referencia, a esa que es el promedio. Cualquier valor de la variable "x" diferente de m resultará en un número Z mayor que 0 (cero) en valores absolutos. Ya habíamos enfatizado al analizar la ecuación de la distribución simétrica que cuanto mayor es Z menor es "y"; mayor Z, menor frecuencia de aparición. En esas tablas a las que hacíamos referencia, elaboradas con diferentes valores de "x", que resultan en diferentes valores de Z se encuentra para cada uno de estos Z un valor de "y". La frecuencia de aparición "y" para cada Z se puede expresar como tal o como el porcentaje de aparición con respecto al conjunto. Por ejemplo si Z = 0 corresponde a 1 (la máxima frecuencia de aparición), Z = 2 podría corresponder a (el 2.5% de las "apariciones"). La probabilidad de pertenencia de un valor de la variable "x" para un Desvío Standard (G ó ±), a partir de calcular la frecuencia de aparición "y" con Z puede expresarse como ese porcentaje de aparición. Conocido Z, se calcula la frecuencia de aparición "y" que se puede expresar como un porcentaje de las apariciones del conjunto, como la probabilidad de aparecer. La situación habitual es que ante la aparición de un valor de la variable "x" en una recolección de datos, muy alejado (Desviado) del promedio, el investigador quiere saber si ese valor pertenece o no a la muestra o población estudiada; quiere saber la probabilidad de que ese valor "sea de ", que pertenezca a la población y que su aparición sea simplemente el resultado de la casualidad, del azar. Calcular el número Z informará la probabilidad que tiene un valor de la variable "x" de aparecer y por ende de pertenecer a la población o muestra del estudio. En el lenguaje estadístico, a la frecuencia de aparición "y" de un valor de la variable "x" se la expresa de manera indirecta, se hace referencia a la probabilidad de aparecer en una muestra o población en estudio ése valor "x" de la variable. Si a la frecuencia de aparición, se la expresa referida a las apariciones del conjunto, ésa será la probabilidad ("p") de pertenencia a la campana del conjunto, un número agregado a la letra "p", por ej.: p < 0.01 o dicho de otro modo: la p robabilidad de pertenecer es < del 1%. En síntesis, dado un valor de la variable "x" de una muestra o población estudiada, calculando el número Z se establece la probabilidad que tiene de pertenecer a la muestra o población asumiendo que su aparición es simplemente el resultado del azar. Z permite calcular la probabilidad de pertenecer. La Probabilidad de Pertenecer

7 La Ecuación de la Distribución Simétrica (la "campana") es universal y la variable dependiente es la frecuencia de aparición "y". La proporción sin unidad, también universal, denominada "Z" es una función del Desvío cuadrático de un valor de la variable "X" en el numerador y del Desvío Standard cuadrático o Varianza en el denominador. "Z" es un exponente negativo y por lo tanto afecta de modo inverso al resultado final que es la frecuencia de aparición "y".. Dijimos que en el lenguaje estadístico la frecuencia de aparición "y" de un valor de la variable "X" es referida de manera indirecta, se menciona su probabilidad de aparición. El problema habitual que enfrenta la bioestadística médica es el inverso. La investigación debe establecer la probabilidad de que un valor real y concreto "X" menos frecuente, pertenezca, o no, a una muestra o población de referencia. Al ser el valor real diferente del promedio, del valor referencial, la Bioestadística calcula la probabilidad de que ese valor de la población haya aparecido simplemente por azar. La bioestadística debe asignar a una diferencia hallada la probabilidad de que sea simplemente casual, azaroso. El mecanismo para establecer esa probabilidad (p) se entiende analizando la "Campana" y su Ecuación. En realidad como ya vimos, de la ecuación sólo nos interesa el cálculo de Z. Estudiaremos ahora que probabilidad tienen de aparecer valores de la variable "X" diferentes del promedio en uno, dos o tres Desvíos Standard. Observe la "ecuación" de Z, veamos que probabilidad tiene de aparecer un valor de X que genera Z = 1 ó Z = 2 ó Z = 3. Recordemos que si (X = ) resulta Z = 0 y la frecuencia es 1 ; la máxima posible: 100%. Se aplica la Ecuación de la campana, se "localizan" los valores "X" acorde a su frecuencia de aparición "y" observándose que:

8 La manera de expresar lo mismo en la jerga estadística dijimos que era indirecta, y por lo tanto, la probabilidad (p) de un valor de la variable de pertenecer a una población y haber aparecido sólo por casualidad es, según se "aleje" del promedio: Lo anterior es una generalidad, queda claro que a partir de calcular el número "Z", se puede conocer la probabilidad (p) precisa de que un valor o una diferencia sea casual. Esta es la forma de construir las tablas que mencionábamos previamente. Reiteremos una vez más que los mismos fundamentos están implícitos en el cálculo del número (chi) cuya aplicación veremos más adelante. Index curso - Clase anterior - Clase siguiente Publicación: Octubre 2005 Tope Preguntas, aportes y comentarios ser án respondidos por el relator o por expertos en el tema a través de la lista de Bioingenieria e Inform ática Médica Llene los campos del formulario y oprima el botón "Enviar" Preguntas, aportes o comentarios: Nombre y apellido: Dirección de País: Argentina Enviar Borrar Dr. Diego Esandi Co-Presidente Comité Científico Correo electrónico Dra. Silvia Nanfara Co-Presidente Comité Científico Correo electrónico Prof. Dr. Armando Pacher Presidente Comité Técnico/Organizador Correo electrónico CETIFAC - Bioingeniería UNER

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