Cadena de un puente Grúa.

Transcripción

1 Laboatoio de Cálculo Numéico MA-33A Cadena de un puente Gúa Intoducción Un puente gúa es un sistema mecánico fomado po una cueda vetical cuyo extemo supeio se mueve po un iel hoizontal y que pemite desplaza objetos pesados de un luga a oto En la figua siguiente se muesta una foto de un puente gúa en plena opeación En este tabajo nos inteesaá esolve numéicamente las ecuaciones que pemiten conoce la foma que adopta la cadena (que sopota la caga) cuando el puente gúa aasta una caga de un punto a oto Z O a t A Esquemáticamente se puede ve un puente M X gúa como un cao A que se mueve po un iel hoizontal y que en cada instante ocupa la posición a t Desde ese cao cuelga una cadena homogénea de lago L y densidad de masa ρ, po unidad de lago, que tiene en su extemo infeio amaada la caga que es un bloque de masa M Paa esolve numéicamente este poblema, se supone que los datos seán la posición del cao A en cada instante, la posición y velocidad inicial de la cueda y las popiedades físicas del sistema (densidad de la cadena, masa de bloque, masa del cao)

2 ! 2 Fomulación matemática del poblema Resolveemos numéicamente este poblema usando las técnicas de EDOs Paa ello, comenzaemos po hace una discetización física del dominio de cálculo Esto es, en luga de tabaja con una cadena homogénea, la modelaemos como un conjunto de N baas de lago L N, conectadas ente sí po aticulaciones Cada una de estas baas seá sin masa La masa de la cadena de supondá concentada en las N aticulaciones y estaá dada po m i ρ si i N ρ 2 M si i N Esta situación puede vese en la figua () O Z a t x t x 2 t x 3 t x N t x N t A M X 2 Ecuaciones del movimiento En la figua se muesta el diagama de cuepo libe de una aticulación Como la masa está concentada allí, la llamaemos patícula i En esta figua se ha llamado a la tensión de la baa i (de lago ) que conecta a las patículas i e i Si i N las fuezas que actúan sobe esta patícula son las mostadas en la figua En el caso i N no hay fueza (ya que la cueda se temina allí Denotaemos po i t la posición de la patícula i en el instante t m i, posición i i m i g i m i, posición i i i m i, pocisión i Del diagama de cuepo libe se deduce que la ecuación difeencial paa la patícula i es i t " i i i % i i " i #g $ i N &g si i N (2) Si se conociean las tensiones de las baas, estas ecuaciones se podían pogama en SCILAB simplemente mediante las lineas siguientes 2

3 6 8 ' ' < 6 8 < 6 8 < N=length(X); II=N-; DX=X-[posa ; X(II) ]; DZ=Z-[0 ; Z(II) ]; T(N+)=0;DX(N+)=0;DZ(N+)=0; //No hay patícula N+ II=N; AccZ = ( T(II+)*DZ(II+) - T(II)*DZ(II) ) / M(II) /L +98; AccX = (ídem) El poblema de estas ecuaciones es que las tensiones de las baas no son conocidas, po lo tanto debe escibise un modelo paa su cálculo Este modelo paa las tensiones puede deducise a pati de la ecuación i " i En efecto, si se deiva dos veces la ecuación (3) se obtiene i % i *) i 2 ( 2 Cte $ i N (3) i +-,, i i,, 2 0 $ i N (4) En esta expesión, podemos eemplaza las ecuaciones del movimiento (2) paa obtene difeentes elaciones paa difeentes valoes de i En el caso i el eemplazo entega la ecuación i % i /)0 % i i i % i T i &g a t23,, i i,, 2 0 donde el valo de a t coesponde a la aceleación del cao A En el caso en que i vaía ente 2 y N el eemplazo de la ecuación del movimiento (2) en la elación (4) entega una expesión un poco más laga de escibi, a sabe i % i *)*0 % i i Finalmente, si i i " i i " i m i N el eemplazo entega la ecuación i % i 2 24, m i, i i,, 2 0 i % i /)0 0 i % i i % i m i Estas ecuaciones pueden escibise en foma maticial como a b b a 2 b b 2 a 3 an b N b N a N 9; i % i 2 25, m i, i donde la matiz tidiagonal simética tiene los siguientes coeficientes a i =)?> b i m i si i si i m i m i i % i /) i " i 3 T T 2 T 3 T N 2 N 9 d d 2 d 3 d N 9 i,, 2 0 (5) (6) $ i N ()

4 Q y el lado deecho es el vecto de componentes d i i,, 2 Aa t)cb a t /AgD si i 0 si i 2 N (8) En SCILAB estas ecuaciones se pueden pogama como II=(N-); va=-l/m - [0; L/ m(ii)]; DX=X-[posa;X(II)]; DZ=Z-[0;Z(II)]; vb=( DX(II)*DX(II+) + DZ(II)*DZ(II+) ) / m(ii) /L; DU=U-[vela; U(II)]; D=-[0;(II)]; vd=-( DU^2 +D^2 ) + [ DX()*acca - DZ() * 98 ; zeos(i ) ]; Esta última ecuación completa el modelo matemático del puente gúa En efecto las ecuaciones N ih JI 5 entegan las tensiones de las baas en función de EF ig ik ih y los datos del poblema Con estas tensiones la ecuación 2 se tansfoman en un sistema de 2N ecuaciones difeenciales de segundo oden 3 Solución Numéica y actividades a ealiza Definiendo los vectoes X,Z,U, LNM N (vectoes de númeos flotantes de N componentes) como aquellos de componentes O i i ) î P i # i ) ˆk i ) î R i i ) ˆk i El poblema numéico a esolve con SCILAB consiste en, dados t S 0, L, ρ, M LUT y n N LUV fijos, más las condiciones iniciales X(0), Z(0), U(0), V(0) y la función a t, se desea enconta los t 2 t? n t vectoes X, Z, U y de la posición y velocidad de la cueda paa los instantes t Paa esto ealice lo siguiente Comenzaemos po da la condición inicila de la cadena del puente gua Paa ello, esciba (en el achivo funcionessci) una función en SCILAB (llámela function [X,Z,U,]=condicion_inicial(flag,N,L)) que dependiendo de la vaiable flag(=,2, ), el númeo N de patículas y el lago L de cada tozo de cueda entegue las difeentes condiciones iniciales paa la cueda que se detallan a continuación si flag= i 0 i )X, i 0 0 si flag=2 i i )Y C i )Y Z[ ]\ 2, i 0 0 si flag=3 Alguna condición inicial que usted mismo invente Paa poba su pogamación hay disponible en la página del laboatoio un pogama llamado visualiza_cisce Uselo cambiando el valo de la vaiable flag en la llamada a su función paa obtene sus condiciones iniciales Puede agega estos gáficos en su infome 4 N

5 Esciba en el achivo funcionessci una función SCILAB (llámela function T=tension(X,Z,U,,M,L,posa,vela,acca)) que pemita calcula las tensiones de las baas, usando las ecuaciones (6) (8), en función de la posición y velocidad de las patículas (X,Z,U,), las masas de las patículas (vecto columna M) el lago de las baas (escala L) y la posición, velocidad y aceleación del cao A (escalaes posa, vela y acca espectivamente) Es ecomendable comenza po calcula los vectoes VA, VB y VD definidos en las ecuaciones (6), () y (8) espectivamente Luego defini la matiz MAB de la ecuación (5) y esolve dicho sistema con la instucción T=MAB\VD Paa usa esta función deben conocese todos los paámetos del puente gúa Como esto aun no lo hemos hecho, hay una pogama SCILAB escito anteiomente, que llama a esta función y pemite veifica la pogamación Esta pogama se llama veifica_tensionessce Si lo ejecuta, debeía obtene como esultado el vecto de tensiones igual a T =[ ] Esciba ahoa una función SCILAB llamada aceleacion ( function [AccX,AccZ]=aceleacion(X,Z,T,M,posa)) que calcule las aceleaciones hoizontal (AccX) y vetical (AccZ) de las masas Paa esto use la fómula (2) y las indicaciones SCILAB coespondientes Puebe la función aceleacion que ha escito mediante el pogama veifica_aceleacionessce Debeía obtene el vecto AccX =-49*ones(0); AccZ = 49*ones(0); Cuidado con los signos, ya que puede habe puesto la gavedad en un a dieccion que no coesponde! Paa ejecuta en foma mas opeativa las funciones tension() y aceleacion() esciba una única función udot(t,xx) que use las dos funciones anteioes del modo siguiente function ud=udot(t,xx) II=Nbaas; X=XX(II); Z=XX(II+Nbaas); U=XX(II+2*Nbaas); =XX(II+3*Nbaas); Tension=tension(X,Z,U,,M,L,posa,vela,acca); [AccX,AccZ]=aceleacion(X,Z,Tension,M,posa); ud=[u;;accx;accz]; Note que aquí la vaiable XX contiene todo el estado de la cueda, o sea, posiciones X,Z y velocidades U, En la página del laboatoio hay un pogama llamado pogamasce, donde se ha pogamado el método de eule paa esolve la EDO Bajelo y ejecutelo Notaá que este pogama funciona peo al final la foma de la cadena es un poco extaña Esto se debe a las 5

6 inestabilidades numéicas pesentes en el método de eule Nomalmente esta inestabilidades dependen de t T n (en SCILAB dt=t/ntime) Visualice en foma explícita estas inestabilidades aumentando gadualmente la vaiable T desde 05 hasta 080 po incementos de 00 Vea que cada vez que eejecuta su pogama las inestabilidades son más impotantes Anote todos los comentaios petinentes en su infome Si se desea esolve el poblema hasta T=2, hay que aumenta el valo de Ntime a uno más gande paa que el método de Eule sea capaz de descibi la oscilación completa de la cadena Busque que valo de Ntime pemite esolve satisfactoiamente el poblema Indique en su infomedicho valo y cuanto tiempo se demoa el computado en hace cálculo (dicho tiempo se llama tiempo de cálculo (t c ), el cual puede se mayo o meno que T=2, que se llama tiempo de simulación (t s ) Cuando t c ^ t s de dice que el cálculo se puede ealiza en tiempo eal) Copie su pogamasce a pogama2sce Allí cambie el Método de Eule po el de Runge-Kutta de oden 2 m=udot(tk,xx); m2=udot(tk+dt,xx+dt*m); XX=XX+dt*(m+m2)/2; Ejecute este pogama con T=4 y Ntime=900 Comente sus esultados Vea si se puede aumenta T y Ntime paa cálculos más lagos (no sobepase Ntime=3500) Copie su pogama2sce a pogama3sce Allí cambie el Método de Runge-Kutta de oden 2 po el de oden 4 m=udot(tk,xx); m2=udot(tk+dt/2,xx+m*dt/2); m3=udot(tk+dt/2,xx+m2*dt/2); m4=udot(tk+dt,xx+m3*dt); XX=XX+dt*(m+2*m2+2*m3+m4)/6; Ejecute este pogama con T=0 y Ntime=500 Comente sus esultados Vea ahoa si es posible llega a T=30 aumentando Ntime (no sobepase Ntime=3500) Copie su pogamasce a pogama4sce Ahoa implementaemos una vesión de Eule implícito Recodemos que esta vesión coesponde a u k u k tf t k t u k es deci, se debe despeja u k de una ecuación no lineal Usaemos una técnica de apoximaciones sucesivas Usaemos las iteaciones s 0 s n u k u k tf t k t s n 6

7 La idea es que cuando n se obtiene que s n u k Use la implementación siguiente SSn=XX;e=; while e>e-4 then SS=XX+dt*udot(tk+dt,SSn); e=max(ss-ssn);ssn=ss; end; XX=SS; Encuente hasta que valo de T se puede esolve el poblema tomando Ntime=2000; Comente sus esultado especto de los métodos anteioes en su infome Incopoe al achivo funcionessce una función que calcule la posición, velocidad y aceleación del cao supeio Considee las funciones v t` λt 2 a T t 2 λt 4 b s 2 2s 3 s 4c ; s a td λt 3 b 2s 6s 2 4s 3c x t` λt 5 e s 3 3 s 4 2 s 5 5 f ; x T g λt 5 30 D t T Llame a esta función function [posa,vela,acca]=cao(t,d,t) Puébela con el pogama pueba_posasce Incopoe el gáfico obtenido en su infome intepetando las cuvas que allí apaecen Modifique el pogama3sce Guádelo como pogama_finalsce Incopoe el movimiento del cao supeio y láncelo paa valoes azonables de T y N 4 Plazos Esta taea debe se entegada en la foma de un infome en papel el dia lunes de la pimea semana de clases del semeste 2005/0 (que es fijado po la escuela de ingenieía y ciencias) En este infome, escito en wod u oto softwae simila, se deben inclui Intoducción, descipción geneal del poblema 2 La fomulación matemática del poblema Esta pate debe esta escita a mano (pueden incluise estas páginas sin numea al momento de compagina el infome) 3 Todo el desaollo computacional, incluyendo gaficos, esultados y comentaios puntuales 4 Conclusión, incluyendo apeciaciones técnicas sobe los métodos numéicos usados, descipción de extensiones del tabajo hacia otos dominios o bien usando otos métodos numéicos y apeciaciones pesonales sobe el tabajo ealizado