ANÁLISIS NUMÉRICOS PROBLEMARIO DE REACTIVOS

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1 1 ANÁLISIS NUMÉRICOS PROBLEMARIO DE REACTIVOS Profesor Titular: María Alicia Ramírez Cruz. Departamento de Computación "Todos sabemos algo, todos ignoramos algo, por eso siempre estamos aprendiendo". (Paulo Freire) 1

2 Índice Introducción UNIDAD I: ANÁLISIS DE ERRORES Y GRAFICACIÓN 1.1 Tipos de errores Series de Taylor y Mc Laurin Exactitud y Precisión Error Absoluto y Relativo Números de punto flotante en 3 y 64 bits 1. Graficación Graficador xy. UNIDAD II: RAÍCES DE ECUACIONES.1. Introducción Teorema fundamental del Álgebra Regla de los signos de Descartes..... Métodos para encontrar raíces reales Bisección Punto Fijo (Regla Falsa)...3. Newton Raphson (Secante).3 Métodos para raíces complejas..... UNIDAD III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1. Sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss Método de Gauss Jordan (Matriz Inversa) Método LU y Choleski Método de Gauss Seidel. 3.. Sistemas de ecuaciones no lineales Método de Newton para ecuaciones. UNIDAD INTERPOLACIÓN. IV Mínimos Cuadrados. 4. Método de Lagrange Método de Interpolación de Newton. UNIDAD V.- DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS 5.1 Diferenciación Numérica Método de diferencias hacia delante Método de diferencias hacia atrás Método de diferencias central Integración Numérica Método del Trapecio Método de Romberg 5..3 Métodos de Simpson..

3 Cuadratura de Gauss. UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS VI Método de Euler. 6.. Método de Runge Kutta Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Bibliografía 3

4 4 Prologo PROLOGO El aprendizaje de Análisis Numéricos, contribuye una herramienta fundamental mediante la cuales se resuelven problemas matemáticos,que no tiene solución analítica,frecuentemente en las ciencias aplicadas se realizaron este problemario ciclo escolar que buscará alentar la reflexión de la comunidad educativa y contribuir a la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Esta aproximaciones a lo exacto incurrirán en errores que deberán ser cuantificados para evitar que su presencia influya de forma negativa en un resultado. Además los errores constituyen uno de los parámetros fundamentales para identificar las fortalezas y debilidades de un método numérico y su análisis para mejorar su rendimiento. La unidad I trata de errores y traficación El unidad II revisa brevemente algunos métodos numéricos del Álgebra Lineal, exclusivamente en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. estudia la solución de las ecuaciones no lineales, pues algoritmos numéricos en este campo son indispensables dado que no existen soluciones analíticas exactas para la mayoría de ecuaciones no lineales, excepto para muy pocas de ellas, y aún para ecuaciones polinómicas sólo existen soluciones analíticas exactas para ecuaciones de cuarto grado o inferior. La resolución de una ecuación lineal, por lo que este tema es de irrenunciable análisis para los métodos numéricos. La unidad III revisa brevemente algunos métodos numéricos del Álgebra Lineal, exclusivamente en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Unidad IV la interpolación polinómica, elemento indispensable en la predicción de resultados así como para la generación de métodos numéricos para otros campos como la diferenciación e integración numérica. Unidad V revisan los temas del cálculo numérico, dado que las derivadas e integrales numéricas son de vital importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales, tema este último que es uno de los puntos culminantes del Análisis Numérico y es revisado en el unidad VI. El contenido es suficiente para un curso de un semestre de Análisis Numéricos, pudiendo quedar a discreción del profesor la elección del orden de los temas a tratarse de acuerdo a su experiencia docente. 4

5 5 Procesos iterativos y errores en Métodos Numéricos UNIDAD I ANÁLISIS DE ERRORES Y GRAFICACIÓN Ejercicio 1 Los métodos numéricos al consistir de aproximaciones bastante confiables, pero aproximaciones, incurren en errores propios de lo no exacto. Tiene como objetivo analizar estos errores pues, en base a ellos, se podrá escoger un método y no otro, así como cuantificar la precisión de los resultados. Supóngase que se desea sumar los números y y obtener el resultado a cinco dígitos significativos de precisión, entonces se procede de la siguiente forma x x x10 Ejercicio A cinco dígitos de precisión el sumar a , resulta como sumar a 0, es decir se pierden cifras decimales del segundo sumando, para evitar ello es necesario realizar la operación al doble de precisión, es decir, diez dígitos significativos para obtener el valor correcto, x x10 Ejercicio x10 Se desea restar de y obtener el resultado con cinco cifras significativas de precisión x x x10-1 Ejercicio 4 Resolver la ecuación x 1357x + 1 = 0, con tres dígitos significativos de precisión. Se procede de la siguiente forma: x 1 = ( 1357) + ( 1357) 4(1)(1) x = ( 1357) ( 1357) 4(1)(1) = = = = produce un error de redondeo que genera un valor erróneo. Este error se puede evitar de dos formas, en este caso, aumentando la precisión o racionalizando la expresión para x y con ello eliminar la fuente de error (la resta 5

6 6 de números cercanos). Para este proceso numérico por ejemplo se podría cuantificar el error cometido, tomando como valor exacto los resultados obtenidos con seis cifras decimales de precisión, es decir... x 1 = ( 1357) + ( 1357) 4(1)(1) x = ( 1357) ( 1357) 4(1)(1) por lo tanto, los errores relativos porcentuales para cada resultado son... = E 1 = 100 = % E 1 = 100 = 100% = = = Ejercicio 5 Como resultados de un método numérico iterativo se obtienen los siguientes valores (redondeados a su última cifra decimal)... i xi Determinar el número de cifras significativas que se obtienen para x4 x5 y x5 x6. Para X 4 y X 5, se tiene X i+1 = X 5 = y X i = X 4 = , entonces por la expresión 0.5x10 k E 0 = x10 k Tomando logaritmos en base 10 en cada extremo de la desigualdad... k log 10 (0.5) + log 10 ( ) log 10 (0.5x10 k ) log 10 ( ) log 10 (0.5 + k) log 10 ( ) k Por lo tanto X 4 tiene al menos k = 4 cifras significativas exactas con respecto a X 5. Por otro lado para X 5 y X 6, se tiene X i+1 = X 6 = y X 1 y X 5 = , entonces por la expresión (0.1) E 0 = x10 k x10 k Tomando logaritmos en base 10 en cada extremo de la desigualdad log 10 (0.5x10 k ) log 10 ( ) 6

7 7 log 10 (0.5 + k) log 10 ( ) k log 10 (0.5) + log 10 ( ) Ejercicio 5 k Por lo tanto X 5 tiene al menos k=8 cifras significativas exactas con respecto a X 6 Graficar mediante la función y = sen(x) + e -cos(x), y descubrir un intervalo donde exista raíz. Se escribe y resalta la ecuación... seguidamente se efectúa el proceso anteriormente indicado y se obtiene... 7

8 8 Solución de ecuaciones no lineales UNIDAD RAÍCES DE ECUACIONES Las ecuaciones no lineales, no poseen métodos exactos de obtención de raíces, métodos de solución de ecuaciones no lineales, que mediante una automatización por computadora, resultan una alternativa muy eficaz. Matemáticamente el problema lo establece el siguiente teorema... Definición (Raíz de una ecuación). Sea y = f(x) una función dada, y sea xr un número real o complejo, entonces si f(xr) = 0, entonces se dice que xr es una raíz o solución de f(x) = 0. Ejercicio1 Hallar una raíz de la ecuación f(x) = x 4-3x 3 + 3x 1, utilizando el método de bisección con una tolerancia de tol = Emplear redondeo a 6 cifras decimales. Como no se da en el problema un intervalo donde encontrar la raíz, se procede entonces a graficar la función para aislar un intervalo de búsqueda de la raíz... f(x) Se puede entonces tomar varias alternativas para intervalos de búsqueda, tomemos el intervalo [, 3], y en él se afinará el aislamiento de la posible raíz, mediante la siguiente tabla... i xi f(xi) x 8

9 por lo que la raíz se halla en el intervalo [.6,.8]. La tabla de búsqueda de dicha raíz es... i a b c f(a) f(b) f(c) i Error absoluto Entonces la raíz para el intervalo [.6,.8] es x = por error relativo y x = por error absoluto. Ejercicio Encontrar las raíces de la ecuación f(x) = sen(x - x) que se ubiquen en el intervalo [1, π], utilizando el método de bisección con una tolerancia de tol = Redondear los cálculos a 6 cifras decimales. Se procede a generar una tabla para aislar las posibles raíces contenidas en el intervalo [1, π]... i xi f(xi) i a b c f(a) f(b) f(c)

10 De la tabla se puede observar que una raíz se encuentra en x = y la otra en el intervalo [3, π],en el se produce un cambio en f(x) de positivo a negativo. Entonces se procederá a la búsqueda de esta última raíz... i Error absoluto Por lo tanto, la raíz para el intervalo [3,π] es x = por error relativo y x = por error absoluto. Ejercicio 3 Determinar las raíces de la ecuación f(x) e x3 cos(x) que se ubiquen en el intervalo [0,], utilizando el método de la falsa posición con una tolerancia de Se procede a generar una tabla para aislar las posibles raíces contenidas en el intervalo... i xi f(xi) De la tabla se puede observar que una raíz se encuentra en x = 0 y otras dos posibles raíces se hallan en los intervalos [0.4, 0.6] y [1.4, 1.6] Búsqueda de la raíz en el primer intervalo... i a b c f(a) f(b) f(c) i Error absoluto

11 11 Ahora la raíz en el segundo intervalo... i a b c f(a) f(b) f(c) i 1 3 Ejercicio 4 Error absoluto Las raíces son entonces x = y x = Encuentre la raíz de f(x) = sen(x) x + 1 que se sabe está en 1 < x < 3, mediante el método de falsa posición. Utilice una tolerancia de Se procede a generar una tabla para aislar la raíz contenidas en el intervalo dado... i xi f(xi) Entonces la raíz buscada se encuentra en el intervalo [1.8, ], hallémosla... i a b c f(a) f(b) f(c) i 1 3 Error absoluto La raíz es x = Ejercicio 5 Mediante el método de falsa posición encuentre una raíz de f(x)= x 3 - x +1, con hasta 3 cifras decimales de precisión. 11

12 1 1 4 f(x) x Del gráfico es fácil observar que la raíz se halla en el intervalo [1, 1.5]. i a b c f(a) f(b) f(c) i Error absoluto La raíz pedida es Ejercicio 6 Determinar las raíces de la ecuación f(x) = x 5 - sen(x) que se ubiquen en el intervalo [ 1,1], utilizando el método de las tangentes con una tolerancia de Graficando f(x)... 5 f(x) x Es muy fácil notar que posee una raíz en x = 0, y que las dos restantes se hallan en los intervalos [ 1,0] y [0,1]. La fórmula iterativa que se aplicará para este problema es X i+1 = X i f(x i) = X f i X i 5 sen (X i ) (Xi ) 5X 4 i cos (Xi ) 1

13 13 La primera raíz se halla muy cerca de 1, por lo que esta puede ser una buena aproximación a la primera raíz, entonces el proceso iterativo es... i xi f(xi) f (xi) i Error absoluto La segunda raíz se encuentra en cambio cerca de 1, por lo que este valor será una buena aproximación a dicha raíz, así entonces... i xi f(xi) f (xi) i Error absoluto Las raíces son entonces x = y x = Ejercicio 7 Hallar una raíz de la ecuación f(x) = cot(x) + 3x, en el intervalo [0,4] utilizando el método de las tangentes con una tolerancia de Graficando la función a p roximación inicial 10 3 f(x) as ínt o t a x 13

14 14 Se observa una raíz en el intervalo [,4]. Se tomará un punto muy cercano a la raíz, x = 3, como aproximación inicial. La fórmula iterativa que se aplica a este problema es : X i+1 = X i f(x i) f = X i cot (Xi) 3X i (Xi ) 1 3 sen (x i ) Por lo tanto... i xi f(xi) f (xi) i Error absoluto entonces la raíz pedida es x = Ejerciucio 8 Encuentre la raíz de f(x) = e x 1 5x 3 con hasta 4 cifras decimales de precisión. Cuántas iteraciones requerirá el método de bisección para lograr la misma precisión? El punto más adecuado para empezar el procedimiento es x = 1, así i xi f(xi) f (xi)

15 i Error absoluto Ejercicio 9 i 5 6 Error absoluto La raíz exacta a cuatro cifras decimales es Determinar las raíces de la ecuación f(x) = x + e x 5sen(x) que se ubiquen en el intervalo [0, 3], utilizando el método de las secantes con una tolerancia de De una exploración gráfica... 5 f(x) x se observa que en el intervalo pedido existen dos raíces ubicadas en [0, 1] y [, 3]. La fórmula iterativa que se aplicará para este problema es... X n+ = X X n ( X n+1 +e X n+1 sen(x n+1 )) n+1 ( X n +e X n sen(x n )) ( X n+1 + e X n+1 ) sen(xn+1 )) ( X n + e X n ) sen(xn )) Tomándose como aproximaciones iniciales x0 = 0 y x1 = 0.1, se genera la siguiente tabla... i xi f(xi)

16 i Error absoluto En el intervalo [, 3], para las aproximaciones iniciales x0 = y x1 =.1, la tabla para el proceso iterativo es... i xi f(xi) Ejercicio 10 i Error absoluto Entonces las raíces buscadas son x = y x = Determinar la raíz de la ecuación f(x) = x - sen(x +1) que se ubica en el intervalo [0, 1], utilizando el método de sustituciones sucesivas con una tolerancia de Primeramente se escribe la ecuación en la forma x = g(x), así x = sen(x + 1);a continuación se obtiene la primera derivada de g(x) y se grafica g (x) para ver si cumple la condición g(x) < d d x g(x) de la gráfica se observa que la condición el gráfico de g(x) < 1 x se cumple. Esto se puede verificar realizando 16

17 17 17 Álgebra Lineal Numérica raíz entonces es... i xi g(xi) i Error absoluto por lo que la raíz pedida es x =

18 18 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UNIDAD III Ejercicio 1 Los procedimientos estudiados en el Álgebra Lineal como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales pueden ser tratados desde el punto de vista del análisis numérico, desarrollando métodos que facilitan el cálculo especialmente cuando la presencia de números en punto flotante involucran al error por redondeo. En el presente capítulo se desarrollarán únicamente métodos numéricos para solución de sistemas de ecuaciones lineales. Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Jacobi, para un a = 5% : 17 X1 X 3 X3= X1 + 1 X X3= 00-5 X1 5 X+ X3= 30 Las siguientes fórmulas las utilizamos para encontrar X1, X y X3 en cada una de las iteraciones Iteración x 1 x x 3 a x 1 a x a x 3 0 0, , , , ,5381 1, , , ,163 4,43% 4,8% 86,648% 3 33, ,8331 1, ,37% 6,547% 15,897% 4 33, , , ,40% 4,066% 6,59% 5 33, , ,3415 0,685% 1,018%,118% Ejercicio Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Gauss Seidel, para un a = 5% : 17 X1 X 3 X3= X1 + 1 X X3= 00-5 X1 5 X+ X3= 30 Las siguientes fórmulas las utilizamos para encontrar X1, X y X3 en cada una de las iteraciones Iteración x 1 x x 3 a x 1 a x a x 3 0 0, , , , , , ,1993 1,044% 11,194% 10,56% 3 33, , , ,445% 1,30% 1,57% 18

19 19 Ejercicio 3 19 Interpolación Polinómica Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, para un error a 5 %, con los tres métodos analizados x x 4 x 14 3 Incógnita Valores Valores aproximados Errores verdaderos verdaderos Iteracio-nes Jacobi Seidel C/Relaj Jacobi Seidel C/Relaj X 1 98, ,81 96,000 97,783,5%,54% 0,73% X 73,0 5 70,719 70,500 7,637 3,13% 3,4% 0,50% X 3 43,5 4 41,81 4,50 43,45 5,10%,87% 0,11% 19

20 0 ÍNTERPOLACION UNIDAD IV El problema de la interpolación polinómica, que consiste en hallar una dependencia funcional de tipo polinómico, entre dos conjuntos de igual número de datos, uno especifica el argumento y el otro su correspondiente función. El objetivo es encontrar cualquier valor de la función dentro del intervalo en que se hallan los valores del argumento, aunque también la interpolación polinómica es básica Ejercicio 1 Para el conjunto de datos... i x x0 x1 x X3 x4 x5 f f0 f1 f f3 f4 f5 Determinar el polinomio de interpolación de Lagrange. Los polinomios básicos de Lagrange o funciones de forma se escriben como... L 0 (x) = (x x 1)(x x )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 0 x 1 )(x 0 x )(x 0 x 3 )(x 0 x 4 )(x 0 x 5 ) L 1 (x) = (x x 0)(x x )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 1 x 0 )(x 1 x )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 )(x 1 x 5 ) L (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) L 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x )(x x 4 )(x x 5 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x )(x 3 x 4 )(x 3 x 5 ) L 4 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x )(x x 3 )(x x 5 ) (x 4 x 0 )(x 4 x 1 )(x 4 x )(x 4 x 3 )(x 4 x 5 ) L 5 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x )(x x 3 )(x x 4 ) (x 5 x 0 )(x 5 x 1 )(x 5 x )(x 5 x 3 )(x 5 x 4 ) y el polinomio de interpolación de Lagrange es... 0

21 1 P(x) = (x x 1)(x x )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 0 x 1 )(x 0 x )(x 0 x 3 )(x 0 x 4 )(x 0 x 5 ) f 0 + (x x 0)(x x )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 1 x 0 )(x 1 x )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 )(x 1 x 5 ) f 1 + (x x 0)(x x 1 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) f + (x x 0)(x x 1 )(x x )(x x 4 )(x x 5 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x )(x 3 x 4 )(x 3 x 5 ) f 3 + (x x 0)(x x 1 )(x x )(x x 3 )(x x 5 ) (x 4 x 0 )(x 4 x 1 )(x 4 x )(x 4 x 3 )(x 4 x 5 ) f 4 + (x x 0)(x x 1 )(x x )(x x 3 )(x x 4 ) (x 5 x 0 )(x 5 x 1 )(x 5 x )(x 5 x 3 )(x 5 x 4 ) f 5 es fácil notar que el orden del polinomio es n = 5. Ejercicio Encontrar el polinomio de interpolación mediante el método de Lagrange, para el siguiente conjunto de datos: x y L 0 (x) = L 1 (x) = L (x) = L 3 (x) = L 4 (x) = (x 1)(x 3)(x 7)(x 9) (x 1)(x 3)(x 7)(x 9) = (0 1)(0 3)(0 7)(0 9) 189 (x 0)(x 3)(x 7)(x 9) (x 0)(x 3)(x 7)(x 9) = (1 0)(1 3)(1 7)(1 9) 96 (x 0)(x 1)(x 7)(x 9) (x 0)(x 1)(x 7)(x 9) = (3 0)(3 1)(3 7)(3 9) 144 (x 0)(x 1)(x 3)(x 9) (x 0)(x 1)(x 3)(x 9) = (7 1)(7 3)(7 3)(7 9) 336 (x 0)(x 1)(x 3)(x 7) (x 0)(x 1)(x 3)(x 7) = (9 0)(9 1)(9 3)(9 7) 864 Entonces (x 0)(x 1)(x 7)(x 9) (x 0)(x 3)(x 7)(x 9) P(x) = ( ) ( 1) (x 0)(x 1)(x 7)(x 9) (x 0)(x 1)(x 3)(x 9) + (0) + (5) (x 0)(x 1)(x 3)(x 7) + ( 3) 864 1

22 (x 1)(x 7)(x 9) x(x 3)(x 7)(x 9) P(x) = x(x 1)(x 3)(x 7) 864 5x(x 1)(x 7)(x 9) 336 Ejercicio 3 Escribir mediante notación indicial todas las diferencias divididas para el conjunto de puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x, f(x)), (x3, f(x3)) y (x4, f(x4)). Nodo / Orden x0 f0 = f(x0) f0,1 f0,1, f0,1,,3 f0,1,,3,4 x1 f1 = f(x1) f1, f1,,3 f1,,3,4 x f = f(x) f,3 f,3,4 x3 f3 = f(x3) f3,4 x4 f4 = f(x4) Ejercicio 4 Determinar todas las diferencias divididas para el siguiente conjunto de datos i x f La correspondiente tabla de diferencias divididas es... i xi fi fi, i+1 fi, i+1, i+ fi, i+1, i+, i = 6 ( ) = 0 ( ) 3 0 = = 6 10 ( 6) = = Ejercicio 5 Para el siguiente conjunto de datos... i x x0 x1 x x3 x4 x5

23 3 f f0 f1 f f3 f4 f5 generar los polinomios de interpolación de Newton para: a) i = 0,1,,3,4 ; b) i =1,.3,4,5 ; c) i =,3,4 ; d) i = 3,4,5 ; e) i = 4,5 Ejercicio 6 Para la siguiente tabla de datos: x f(x) Ejercicio 7 Halle un polinomio de interpolación de segundo y otro de tercer grado que permitan obtener de forma aproximada f(0.). Utilice diferencias divididas. La tabla de diferencias divididas es xi fi fi[1] fi[] fi[3] fi[4] Un polinomio de segundo grado que interpole a x = 0. es P(x)= (x 0.1) ( x 0.1)(x 0.5) y uno de tercer grado es P(x) x x(x 0.1) 1.093x( x 0.1)(x 0.5) la expresión para el polinomio de interpolación de Newton con nodos exclusivamente equiespaciados, de Ejercicio 8 Añada el punto (1, 0) a los puntos anteriores encuentre el polinomio de interpolación xi f [xi] f [xi 1, xi] f [xi, xi 1, xi] f [xi 3, xi, xi 1, xi] = = = = 1 = = 1 p 3 (x) = p (x) (1 )(x 0)(x )(x 3) = x 3 + 3x (7 )x + 1 3

24 4 Ejercicio 9 El polinomio de grado que pasa por (0, 1),(1, 3),(, 0) es: P(x) = y0 L, 0(x) + y1 L, 1(x) + y L, 1(x)= 1 L, 0(x) + 3 L, 1(x) + 0 L, (x) = 1 = (x 1)(x )/(0 1)(0 )5x(x 0)(x )+ 3 (1 0)(1 ) 4

25 5 Integración numérica DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS UNIDAD V Las ecuaciones no lineales, en su mayoría, no poseen métodos exactos de obtención de raíces y en caso de que éstos existan, es exponer los principales métodos de solución de ecuaciones no lineales, que mediante una automatización por computadora, resultan una alternativa muy eficaz. Matemáticamente el problema lo establece el siguiente teorema... Definición (Raíz de una ecuación). Sea y = f(x) una función dada, y sea xr un número real o complejo, entonces si f(xr) = 0, entonces se dice que xr es una raíz o solución de f(x) = 0. Ejercicio 1 1 Calcular e sen(x) dx mediante el método de los trapecios con n = 10. Utilizar 10 cifras 0 significativas. La longitud h de la base de los trapecios es h = 1 0 = 0. = 0.1 i 10 Xextremos xintermedios f(xextremos) f(xintermedios) esen(0) = e sen(0.1) = e sen(0.) = e sen(0.3) = e sen(0.4) ]= e sen(0.5) = e sen(0.6) = e sen(0.7) = e sen(0.8) = e sen(0.9) = e sen(1) = f( X ) =T10 El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es , por lo que el error es 5

26 6 e = = Ejercicio 1 Calcular e sen(x) dx 0 mediante el regla de 1/3 de Simpson con n = 10 intervalos. Utilizar 10 cifras significativas. La longitud h de los intervalos es h = 1 0 = 0. = i xi f(xextremos) f(xpares) f(xno pares) 0 0 esen(0) = e sen(0.1) = e sen(0.) = e sen(0.3) = e sen(0.4) = e sen(0.5) = e sen(0.6) = e sen(0.7) = e sen(0.8) = e sen(0.9) = e sen(1) = f(x) e sen(x) dx = e 0 sen(x) dx = 0.1[ ( )+( ) ]= =S110/3 El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es , por lo que el error es e = = la precisión es casi el doble que el método de los trapecios, con el mismo número de intervalos. Un método de aceleración para la regla de 1/3 de Simpson es también posible, y su demostración se deja al lector. 6

27 7 Ejercicio 3 Calcular e sen(x) dx mediante el regla de 3/8 de Simpson con n = 9 intervalos. Utilizar i xi f(xextremos) f(xmúltiplos de 3) f(xno múltiplos de 3) 0 0 esen(0) = e sen(0.1) = e sen(0.) = e sen(0.3) = e sen(0.4) = e sen(0.5) = e sen(0.6) = e sen(0.7) = e sen(0.8) = e sen(0.9) = f(x) e sen(x) dx = 3(0.1) ( ) + 3( )] = =S9 3/8 El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es , por lo que el error es e= = == Ejercico 4 1 Mejorar la precisión de e sen(x) dx mediante el método de integración de Romberg a partir de 0 h1 = 0.1, hasta lograr 10 cifras significativas de precisión. k h1 n1 h n 1 h1,1 = O(hk,k ) Cifras significativas de precisión (aprox.) h1, = = O(h1,4 ) (0.05) 4 = h,1 = h1, = h, = = 0.05 entonces la integral de Romberg, para k =, es 40 O(h,6) (0.05) 6 = cifras significativas de precisión 7

28 8 T10 = T0 = T40 = R(0.05)1 = Ejercicio 6 Encuentre la solución aproximada para y(1.3) en la ecuación diferencial dy dx = x si y(1) = 0, utilizando el método de Euler hacia adelante con h = 0.05 y h = Mejore las anteriores estimaciones. El valor de y(1.3) a siete cifras decimales es i xi yi (h = 0.05) yi (h = 0.05) Ambos resultados tienen como mínimo una cifra decimal exacta, lo cual es fácilmente corroborable en base al valor exacto. Por la relación (5.4), se tiene que y1.3 =y1.3aprox(h 0.05) = ch (A) para h = 0.05, y y1.3 = y1.3aprox(h 0.05) =ch y1.3 = y1.3aprox(h 0.05) = ch (B) para h = Restando (B) (A) se tiene y 1.3 = y 1.3aprox(h 0.05) - y 1.3aprox(h 0.05) que da una estimación más exacta que las anteriores, así y1.3 = ( ) ( )= ésta última estimación es exacta a 3 cifras decimales. 8

29 9 BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍA. 1. Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra S. / Canale R., Ed. Mc. Graw Hill.. Métodos Numéricos aplicados con software, Nakamura S., Ed. Prentice Hall. 3. Análisis Numérico con Aplicaciones, Gerald C. / Wheatley P., Ed. Prentice Hall. 4. Métodos Numéricos aplicados a la Ingeniería, Nieves A. / Domínguez F., Ed. C.E.C.S.A. 5. Análisis Numérico y visualización gráfica con MATLAB, Nakamura S., Ed. Prentice Hall. 6. Análisis Numérico, Un enfoque práctico, Maron M. / López R., Ed. C.E.C.S.A. 7. Análisis Numérico, Scheid F., Ed. Mc.Graw Hill. 8. Introducción a los Métodos Numéricos, Samarski A., Ed. Mir. 9. Métodos Numéricos, Volkov E., Ed. Mir. 10. Learning Diferential Equations through DERIVE, Lowe B. / Berry J., Ed. Chartwell Bratt 11. Learning Mathematics through DERIVE, Graham E. /Watkins A.J.P / Berry J., Ed. Chartwell Bratt 1. Gráficas por computadora,luthe Olivera ScDonald Eran, M.P. Barrer,Prentice Hall Hispanoamericana S. A. 13. Métodos numéricos, Hultz,Limusa 14. Teoría de ecuaciones,unspensky. Limusa 9