Grado en Ingeniería Mecánica

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1 Tema Grado en Ingeniería Mecánica INTEGRACIÓN MÚLTIPLE CONOCIMIENTOS PREVIOS Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga al día sus conocimientos en los siguientes contenidos: Cálculo de integrales de Riemann. efinición y propiedades de la integral de Riemann. Manejo de coordenadas polares en. Manejo de ecuaciones de curas y superficies en distintos sistemas de coordenadas. ibujo de curas y superficies con Matlab. OBJETIVOS ESPECÍFICOS A continuación se presentan los objetios específicos del Tema, indicando en cada uno de ellos la bibliografía que le corresponde, los ejercicios propuestos y los ejercicios resueltos en estos apuntes, así como los ejercicios resueltos en el proyecto Giematic con contenidos del tema. Las abreiaturas que encabezan cada línea hacen referencia a los siguientes libros, documentos o bloques de enunciados y también actiidades de la web del proyecto Giematic: Tomo de la Colección FUNAMENTOS MATEMÁTICOS, de Álarez, errero y Ruiz. CÁLCULO de arias ariables, de Bradley y Smith; editorial Prentice all. G) CÁLCULO II. Teoría y Problemas de funciones de arias ariables, de García y otros; editorial GLAGSA. M) CÁLCULO VECTORIAL, de Marsden y Tromba; editorial Addison Wesley Ib. P) CÁLCULO VECTORIAL. PROBLEMAS RESUELTOS, de Marsden y Tromba, por Pao y Soon; editorial Addison Wesley Ib. S) CALCULUS de una y arias ariables. Volumen I, de Salas, ille y Etgen; editorial Reerté. EP) Enunciados de los ejercicios propuestos de este tema. ER) Ejercicios resueltos de este tema. EG) Ejercicios y actiidades en la página del proyecto Giematic, cuya dirección es: multiple/material interactio Los objetios específicos de este tema son:. Saber escribir la suma de Riemann de una función z f ( x, y) R = éa, bù éc, dù êë úû êë ú, tomando diferentes particiones de R. û EP ; = sobre un rectángulo Los enunciados de estos problemas resueltos están en [M]

2 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE ER ; EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte. Ejercicios, y. Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte. Ejercicios, y. Integral doble. efinición y propiedades. Laboratorio y ejercicios, y.. Entender la definición de integral doble y saber escribirla. Conocer las condiciones suficientes de integrabilidad y las propiedades de la integral doble. B Cap., Sec.: Ejemplo.; M Cap.5, Sec.: Ejemplos y ; P Cap.5, Sec.: Ejercicio ; EP y 8; ER,, 4, 5 y 7; EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte. Ejercicios 4, 5 y 6. Integral doble. efinición y propiedades. Ejercicio 4.. Saber realizar la integral de una función de dos ariables sobre un rectángulo mediante integración iterada. A Cap.4, Sec.: Ejemplos 4. y 4.; Cap.4, Sec.: Ejercicios 4. y 4.; B Cap., Sec.: Ejemplos. a.4; G Cap.: Problemas resueltos 7 a 9; M Cap.5, Sec.: Ejemplos y 4; P Cap.5, Sec.: Ejercicios b, b y 8; Cap.5, Sec.: Ejercicios b y b; S Cap.6, Sec.: Ejemplos a ; EP ; ER. 4. Saber expresar adecuadamente un dominio regular del plano para realizar sobre él una integral iterada. allar el alor de esa integral. Saber expresar la integral en distintos órdenes de integración. A Cap.4, Sec.: Ejemplos 4. y 4.4; B Cap., Sec.: Ejemplos.5,.8 a.; M Cap.5, Sec.: Ejemplos y ; Cap.5, Sec.4: Ejemplos y ; P Cap.5, Sec.: Ejercicios b, b, e, 4 y 7; Cap.5, Sec.4: Ejercicios b, c,, ; Cap.5, Sec. Repaso: Ejercicios b, b,, 6 y 9; EP,, 4, 5 y 6; ER 6 y 8; EG Preliminares. Ejercicio. Integral doble. Aplicaciones. Laboratorio y ejercicio.

3 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5. Conocer y utilizar las interpretaciones de la integral doble como olumen, área, masa y temperatura. A Cap.4, Sec.: Ejemplos 4.9 y 4.; Cap.4, Sec.: Ejercicios 4. a 4.6; B Cap., Sec.: Ejemplos.6 y.7; Cap., Sec.6: Ejemplo.5; G Cap.: Problemas resueltos 6 y 9; P Cap.5, Sec.: Ejercicio ; Cap.5, Sec.: Ejercicio 7; S Cap.6, Sec.: Ejemplos 4 y 5; EP 4, 5 y 6; ER 8, 9 y ; EG Integral doble. Aplicaciones. Ejercicio 6. Saber definir e interpretar el alor medio de una función sobre un recinto del plano. G Cap.: Problema resuelto 7; M Cap.6, Sec.4: Ejemplo ; EP 4, 5 y 6; EG Integral doble. Aplicaciones. Ejercicio. 7. Saber el teorema del cambio de ariables en integrales dobles y poder efectuar un cambio de ariables en una integral doble. Manejar el cambio a coordenadas polares. A Cap.4, Sec.: Ejemplos 4.5 a 4.8; B Cap., Sec.: Ejemplos. a.4; M Cap.6, Sec.: Ejemplos y 4; P Cap.6, Sec.: Ejercicios,, 7, y 4; S Cap.6, Sec.4: Ejemplos a 4; Cap.6, Sec.5: Ejemplo ; Cap.6, Sec.: Ejemplos y ; EP 7, 8, 9 y ; ER 9, y ; EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte. Ejercicio 7. Preliminares. Ejercicio. Integral doble. Aplicaciones. Ejercicio Entender y poder escribir la definición de integral triple. Conocer las condiciones suficientes de integrabilidad y las propiedades de la integral triple. G Cap.: Problema resuelto ; EP ; EG Integral triple. efinición y propiedades. Ejercicio. 9. Saber realizar la integral de una función de tres ariables sobre una caja mediante integración iterada. A Cap.4, Sec.: Ejemplo 4.; Cap.4, Sec.: Ejercicio 4.;

4 4 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE B Cap., Sec.5: Ejemplo.; G Cap.: Problema resuelto 4; P Cap.6, Sec.: Ejercicio. EP ;. Saber expresar adecuadamente un dominio regular del espacio para realizar sobre él una integral iterada. Poder hacer esa integral, sabiendo modificar el orden de integración si esto fuera coneniente. A Cap.4, Sec.: Ejemplo 4.4; Cap.4, Sec.: Ejercicios 4. y 4.; B Cap., Sec.5: Ejemplo.; G Cap.: Problemas resueltos 5 a 9; M Cap.6, Sec.: Ejemplo ; P Cap.6, Sec.: Ejercicios 5, 7, y 4; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicios y 5; S Cap.6, Sec.7: Ejemplos y 4; EP, y 4; ER y ; EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte. Ejercicios 5 y 6. Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte. Ejercicio 8. Integral triple. Aplicaciones. Ejercicio.. Conocer y utilizar las interpretaciones de la integral triple como olumen, masa y temperatura. A Cap.4, Sec.: Ejemplo 4.5; B Cap., Sec.5: Ejemplos. a.4; M Cap.6, Sec.: Ejemplo ; Cap.6, Sec.4: Ejemplos y 5; P Cap.6, Sec.: Ejercicios, 8ª y 8d; Cap.6, Sec.4: Ejercicio 7; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicios 5 y ; S Cap.6, Sec.7: Ejemplos a 5; EP,, 5, 6, 7, 8 y 9; ER, 4 y 5; EG Integral triple. Aplicaciones. Ejercicios,, 4 y 5.. Saber definir e interpretar el alor medio de una función sobre un recinto del espacio. G Cap.: Problema resuelto 7; P Cap.6, Sec.4: Ejercicio ; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicio. EP 9; ER 5.

5 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5. Poder escribir el teorema del cambio de ariables en integrales triples y poder efectuar un cambio de ariables en una integral triple. Manejar los cambios a coordenadas cilíndricas y esféricas. A Cap.4, Sec.: Ejemplos 4.6 y 4.7; Cap.4, Sec.: Ejercicio 4.; B Cap., Sec.7: Ejemplo.4 y.7; G Cap.: Problemas resueltos a 4; M Cap.6, Sec.: Ejemplos 6 y 7; P 7; Cap.6, Sec.: Ejercicios, 6 y ; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicios 9,, 8d, 4 y S Cap.6, Sec.8: Ejemplos a ; Cap.6, Sec.9: Ejemplos a ; EP, 5, 6, 7, 8 y 9; ER 4 y 5; EG Integral triple. Aplicaciones. Ejercicio. INTEGRAL OBLE Integral doble sobre rectángulos efinición (Rectángulo). Rectángulo del plano XY es el conjunto R =[ a, b] [ c, d]={( x, y)/ a x b, c y d} efinición (Partición de un rectángulo). Partición de un rectángulo R es el conjunto de subrectángulos generados al tomar una partición en [, ab ] y otra en [, cd ]. Si hay n subrectángulos y cada uno de ellos se denota por R, tendremos k R = n R k k = efinición (Norma de una partición). Llamaremos norma de la partición y la designaremos por R a la longitud de la diagonal del mayor subrectángulo. efinición (Suma de Riemann). Llamaremos suma de Riemann de la función fxy (, ) definida en el rectángulo R para la partición { k } k n R = a la suma, n å k= f ( x, y ) A donde k k k ( xk, y k) es un punto cualquiera tomado en el subrectángulo R y A es el área de R. k k k

6 6 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE efinición (Integral doble)). Sea f una función de dos ariables definida sobre un rectángulo cerrado R. Si para toda partición de R, tal que la norma de la partición tiende a cero, existe el límite n lim (, ) å R ( n ) k= f x y A k k k se dice que f es integrable en R. Además el alor de éste límite es la integral doble de f sobre R y se denota por òò R n f ( xydxdy, ) = lim fx (, y) A å R ( n ) k= k k k Interpretación geométrica Si fxy (, ) ³, la suma de Riemann n k f ( x, y ) A k k k, es igual a la suma de los olúmenes de los n prismas rectangulares cuya base es R y cuya altura es fx (, y ). (Ver figura ). k En consecuencia, la integral doble definida anteriormente representa el olumen del sólido de base R y altura z f( x, y) en cada punto de R. k k R R 9 R 5 R 6 R 7 R 8 R R R R 4 Figura. Representación de la suma de Riemann Existencia y propiedades CONICIONES SUFICIENTES E INTEGRABILIA: Si f es continua en un rectángulo R, entonces es integrable en él. Si f es acotada en un rectángulo R y es continua en él, con excepción de un número finito de curas suaes, entonces f es integrable en R.

7 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 PROPIEAES: P. Linealidad. La integral doble es lineal. ( af( xy, ) bgxy (, )) da= a f( xyda, ) b gxyda (, ) R R R P. Aditiidad del dominio de integración. La integral doble es aditia sobre rectángulos que tengan en común a lo sumo un segmento de recta: f( xyda, ) = f( xyda, ) f( xyda, ), si Á rear ( R)= R R R R P. Acotación. Si fxy (, ) gxy (, ) en casi todos los puntos de R, entonces R R f ( xyda, ) gxyda (, ) P4. Acotación modular. Para cualquier f integrable en R, R f ( xyda, ) f( xy, ) da R 4 Cálculo de integrales dobles sobre rectángulos. Integrales iteradas En la práctica una integral doble se calcula mediante dos integrales simples llamadas integrales iteradas. efinición (Integrales iteradas). Si f es integrable en R =[ ab, ] [ cd, ], d b b d f (, xyda ) = fxydxdy (, ) = fxydydx (, ) òò ò ò ò ò R c a a c Estas expresiones indican que el alor de la integral doble es independiente del orden elegido para calcular las integrales iteradas. Si se integra primero en la ariable x y después en la ariable y, el proceso de cálculo es el siguiente: b. Se resuele la integral f ( xydx, ) tomando la y como constante, obteniendo como a resultado una expresión Ay (), que depende de y. d. Se calcula la integral ò Aydy (). c. Si se resuele la integral cambiando el orden de integración, el proceso es análogo al anterior, pero tomando la x como constante en la primera integral y calculando la última integral en función de x. 5 Integral doble sobre dominios regulares. Integrales iteradas Una función fxy (, ) es integrable en un conjunto contenga a. En casi todos los puntos significa, en todos los puntos salo en un número finito. Ì si lo es en un rectángulo que

8 8 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE La definición, la interpretación geométrica, las condiciones de existencia y las propiedades de la integral doble sobre rectángulos recogidas en el apartado anterior, son aplicables a la integral doble sobre dominios regulares sin más que sustituir R por. Existen dos tipos de dominios regulares en : x simple, y simple. efinición (ominios regulares). Un conjunto del plano es y simple si se puede escribir como ={( x, y)/ a x b, f( x) y f ( x)} Un conjunto del plano es x simple si se puede escribir como ={( x, y)/ c yd, ( y) x ( y)} efinición (Integrales iteradas sobre dominios regulares). Si un conjunto del plano es y simple y la función f ( xy, ) es integrable en, entonces (, ) = b ( x) f xyda f ( xydydx, ) a ( x) Si un conjunto del plano es x simple y la función f ( xy, ) es integrable en, entonces (, ) = d ( y) f xyda f ( xydxdy, ) c ( y)

9 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 6 Algunas interpretaciones de la integral doble Volumen. El olumen del sólido definido inferiormente por la gráfica z f ( x, y) superiormente por la z = g( x, y) para ( xy, ) ÎÌ, es la integral,, Volumen g x y f x y da Valor medio. Se llama alor medio o alor promedio integral de f ( xy, ) en al número Área. Si Ì R, el área de es f ( xyda, ) á rea( ) = y Masa. Si una lámina L ocupa la región del plano y está compuesta por un material de densidad superficial d (, xy), su masa es Masa( L)= ( x, y) da Para la lámina anteriormente descrita, la densidad de masa media es Á rea( )= da ensidad media( L)= òò d(, xyda ) Área( ) Temperatura media. Si una lámina L ocupa la región del plano y la temperatura en cada punto iene dada por Txy (, ), la temperatura media de la lámina es Temperatura media( L)= òò TxydA (, ) Área( ) 7 Simetrías en integrales dobles El cálculo de la integral doble se simplifica cuando existen simetrías en el dominio y en la función. Veamos dos casos: ominio simétrico respecto del eje OY f x y es impar en x, es decir erifica, f (- xy, ) =- f( xy, ) Si (, ) Si (, ) f( x, y) da fxy es par en x, es decir erifica, f ( x, y) f x, y f ( xyda, ) f( xyda, ) con x

10 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE ominio simétrico respecto del eje OX f xy es impar en y, es decir erifica, f ( x, y) f x, y Si (, ) Si (, ) f( x, y) da f xy es par en y, es decir erifica, f (, x - y) = f ( x, y) f ( xyda, ) f( xyda, ) con y 8 Cambio de ariables en integrales dobles TEOREMA CAMBIO E VARIABLE EN INTEGRALES OBLES ipótesis: las regiones R y de los planos XY y ST respectiamente, están relacionadas por las ecuaciones x = xst (, ), y= yst (, ) esa relación entre R y es biyectia (cada punto de R es imagen de uno y sólo un punto de ). las funciones del cambio, x(,) st e yst, (,) admiten deriadas parciales continuas en. la función fxy (, ) es continua en la región R. Tesis: ( xy, ) f (, x y) dxdy = f ((,), x s t y(,)) s t dsdt R (,) st siendo, ( xy, ) x = s x t (,) st y y s t OBSERVACIONES: El factor J = ( x, y) (,) st se llama jacobiano del cambio El alor absoluto del jacobiano da la relación entre un elemento diferencial de área del plano XY y un elemento diferencial del plano ST : dxdy = J dsdt Puesto que tanto dxdy como dsdt son positios, el cociente entre ellos es positio: recuerda que el jacobiano siempre se introduce en la integral en alor absoluto. Si el cambio de ariables fuera el inerso, es decir, el que escribe las coordenadas s y t en función de x e y, entonces el jacobiano sería el inerso, es decir

11 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA (, st) = (, xy) (, xy) (, st) 9 Cambio a coordenadas polares Este es uno de los cambios de ariables más habituales. Las fórmulas del cambio son x = rcos, y = rsen establecidas de forma biyectia entre dos conjuntos S y R, siendo r positia. El jacobiano es J (, xy) cos q -r senq = = = r (, r q) senq r cos q Resultando, R S f ( x, y) dxdy = f ( r cos, rsen ) rdrd RELACIÓN ENTRE COORENAAS POLARES Y CARTESIANAS Si se hace coincidir el polo del sistema de coordenadas polares con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje polar con el eje OX, se obtiene la siguiente relación entre las coordenadas cartesianas x, yde un punto del plano y sus respectias coordenadas polares ( r, q ): Conersión de polares a cartesianas x rcos, y rsen Conersión de cartesianas a polares r y x y arctg, x, signo signo y, efinición (Ecuación polar). Una cura en polares endrá dada por una ecuación del tipo r r( ) ó Frq (, ) =, con q Î I. Cura Circunferencia de centro el polo y radio a Ecuaciones de curas en polares Ecuación cartesiana (ariables: x, y) x y a r a Ecuación polar (ariables: r, ) q = a, si y ³ Semirrecta que pasa por el polo y = mx q = a- p, si y < y de pendiente m tg con Recta ertical x a r cos q = a Recta horizontal y b r sen q = b

12 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE INTEGRAL TRIPLE Integral triple sobre cajas efinición (Caja y Partición). Caja del espacio es el conjunto =[ ab, ] [ cd, ] [ e, j]={( xyz,, )/ a xb, c yd, e z j} Partición P de una caja es el conjunto de subcajas generadas al tomar una partición en [ ab,, ] otra en [ cd, ] y otra en [ ej., ] Si hay n subcajas y cada una de ellas se denota por k, tendremos = n k= k Llamaremos norma de la partición, y la designaremos por a la longitud de la diagonal más larga de las subcajas de la partición de. efinición (Suma de Riemann). Llamaremos suma de Riemann de la función f ( xyz,, ) definida en la caja para la partición kk n k = n a la suma, f ( x, y, z ) V k k k k donde ( xk, yk, z k) es un punto cualquiera tomado en la subcaja k de. k y Vk es el olumen efinición (Integral triple)). Sea f una función de tres ariables definida sobre una caja. Si para toda partición de, tal que la norma de la partición tiende a cero, existe el límite n lim f ( x, y, z ) V k ( n) k k k k se dice que f es integrable en. Además el alor de éste límite es la integral triple de f sobre y se denota por f ( xyzdv,, ) lim f( x, y, z) V n k ( n) k k k k

13 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA Existencia y propiedades CONICIONES SUFICIENTES E INTEGRABILIA: Si f es continua en una caja, entonces es integrable sobre. Si f es acotada en una caja y es continua en ella, con excepción de un número finito de superficies suaes contenidas en, entonces f es integrable en. PROPIEAES: P. Linealidad. La integral triple es lineal. ( af ( x, y, z) bg( x, y, z)) dv = a f ( x, y, z) dv b g( x, y, z) dv P. Aditiidad del dominio de integración. La integral triple es aditia sobre cajas que tengan en común como mucho una porción de cara: òòò òòò òòò f (, xyzdv, ) = fxyzdv (,, ) + fxyzdv (,, ) È f( x, y, z) dv = si Volumen( )= P. Acotación. Si f ( xyz,, ) gxyz (,, ) en casi todos los puntos de, entonces f ( xyzdv,, ) gxyzdv (,, ) P4. Acotación modular. Para cualquier f integrable en, f ( xyzdv,, ) f( xyz,, ) dv Cálculo de integrales triples sobre cajas: integrales iteradas efinición (Integrales iteradas). Si f es integrable en =[ ab, ] [ cd, ] [ e, j], b d j f ( xyzdv,, ) = f( xyzdzdydx,, ) a c e La expresión de la derecha representa el proceso que comienza integrando la función f respecto de z, tomando x e y como constantes, resultando una función de dos ariables. La integración iterada de esa función, primero respecto de y y luego respecto de x da como resultado el alor de la integral triple. Este orden de integración es el expresado en la integral anterior, pero podríamos intercambiar las ariables: El cálculo de una integral triple se reduce a calcular una integral simple y una doble. Una ez elegida la ariable para la primera integración, la integral doble se extenderá al dominio contenido en el plano de las otras ariables; podemos escribir

14 4 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE j f ( xyzdv,, ) = f( xyzdzda,, ) [ a, b] [ c, d] e d f ( xyzdv,, ) = f( xyzdyda,, ) [ a, b] [ e, j] c b f ( xyzdv,, ) = f( xyzdxda,, ) [ c, d] [ e, j] a Existen seis órdenes distintos de integración, pues cada una de las expresiones anteriores origina dos formas de resoler las correspondientes integrales dobles. Integral triple sobre dominios regulares. Integrales iteradas Una función f ( xyz,, ) es integrable en un conjunto V Ì si lo es en una caja que contenga a V. La definición, las condiciones de existencia y las propiedades de la integral triple sobre cajas recogidas en el apartado anterior, son aplicables a la integral triple sobre dominios regulares sin más que sustituir por V. Existen tres tipos de dominios regulares en puede ser de los tres tipos simultáneamente. : x simple, y simple, z simple. Un dominio Se describe el proceso de cálculo para el caso de dominio z simple, los restantes casos se deducen de éste sin dificultad. efinición (ominio regular z simple). Un conjunto del espacio es z simple si se puede escribir como, ={( xyz,, )/ ( xy, ) R, ( xy, ) z ( xy, )} xy z= (x,y) z= (x,y) R xy siendo además R xy un dominio regular. efinición (Integrales iteradas sobre un dominio regular z simple). Si un conjunto del espacio es z simple y la función f ( xyz,, ) es integrable en, entonces

15 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Si además, La integral anterior es (,, ) = ( xy, ) f xyzdv f ( xyzdzda,, ) R xy ( x, y) R ={( xy, )/ a xb, ( x) y ( x)} xy b ( x ) ( x, y ) Según sea la forma de y de integración. a ( x) ( x, y) f ( xyzdv,, ) = f ( xyzdzdydx,, ) f, puede ser recomendable utilizar otro orden de 4 Interpretaciones de la integral triple Volumen. Si el sólido se puede escribir como el conjunto entonces ={( x, y, z)/ a xb, ( x) y ( x), ( x, y) z ( x, y)} f ( ) y (, ) a f ( x) y ( x, y) òòò ò ò ò Volumen( )= dv = b x x y dzdydx Valor medio. Se llama alor medio o alor promedio integral de f ( xyz,, ) en al número òòò f (, xyzdv, ) Volumen( ) Masa. Si un sólido S ocupa la región del espacio y está compuesto por un material de densidad ( x, yz, ), su masa es Para el sólido anteriormente descrito, la densidad de masa media se calcula como Masa( S)= ( x, y, z) dv òòò d(,, xyzdv ) ensidad media( S)= Volumen Temperatura media. Si un sólido S ocupa la región del espacio y la temperatura en cada punto iene dada por T( x, y, z ), la temperatura media del sólido es ( ) Temperatura media( S)= òòò TxyzdV (,, ) Volumen( ) 5 Simetría integrales triples El cálculo de la integral triple se simplifica cuando existen simetrías en el dominio y en la función. Veamos tres casos:

16 6 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE ominio simétrico respecto del plano ZY fxyz es impar en x, es decir erifica, f ( x, y, z) f x, y, z Si (,, ) Si (,, ) f( x, y, z) dv f xyz es par en x, es decir erifica, f ( x, y, z) f x, y, z ominio simétrico respecto del plano ZX Si (,, ) òòò òò f (, xyzdv, ) = fxyzdv (,, ) con x³ f xyz es impar en y, es decir erifica, f ( x, y, z) f x, y, z Si (,, ) òòò fxyzdv= (,, ) fxyz es par en y, es decir erifica, f ( x, y, z) f x, y, z òòò òò f (, xyzdv, ) = fxyzdv (,, ) con y³ ominio simétrico respecto del plano XY f xyz es impar en z, es decir erifica, f (, xy, - z) =- f( xyz,, ) Si (,, ) Si (,, ) f( x, y, z) dv f xyz es par en y, es decir erifica, f ( x, y, z) f x, y, z f ( xyzdv,, ) f( xyzdv,, ) con z 6 Cambio de ariables en integrales triples El teorema sobre cambio de ariable en integrales triples se obtiene del isto para integrales dobles con las modificaciones obias resultantes de añadir una ariable más. El jacobiano del cambio de ariables x = xuw (,, ), y= yuw (,, ), z= zuw (,, ) es el determinante x u x x w ( xyz,, ) J = = y u y y w ( uw,, ) z z z u w

17 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 RELACIÓN ENTRE COORENAAS CILÍNRICAS Y CARTESIANAS Las coordenadas cilíndricas se obtienen utilizando coordenadas polares en uno de los planos coordenados, de forma que son las apropiadas para describir conjuntos del espacio, como el interior de un cilindro, que tienen un eje de simetría. Si ese eje de simetría es el eje OZ, las coordenadas cartesianas se escribirán del siguiente modo en ì x = r cosq función de las cilíndricas: íy = rsenq z = z Cambio a coordenadas cilíndricas Para el cambio de ariables x = r cos q, y = r sen q, z = z el jacobiano es cos q -r senq (, xyz, ) J = = senq r cosq = r (, r q, z) Y el elemento diferencial de olumen, dv = dxdydz, en cilíndricas es dv = rdrdq dz puesto que r es no negatio. Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas cilíndricas son: r = a es el cilindro de eje Z y radio a ; = b es el semiplano que contiene al eje Z y forma ángulo b con el plano XZ, x > z = c es un plano perpendicular al eje Z.

18 8 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE RELACIÓN ENTRE COORENAAS ESFÉRICAS Y CARTESIANAS Las coordenadas esféricas son útiles en sólidos acotados por esferas, planos que pasan por el eje Z y conos con ese eje. Es decir, aquellos olúmenes en los que existe un centro de ì x = rsenfcosq simetría. Las fórmulas del cambio son: íy = rsenfsenq z = rcosf Las ariables del sistema representan las siguientes magnitudes geométricas: distancia del punto al origen de coordenadas, r = x + y + z q ángulo de ariación respecto del eje X positio, se toma entre y ; f ángulo de ariación respecto del eje Z positio, se toma entre y. Cambio a coordenadas esféricas Para el cambio de ariables x = rsenfcos q, y = rsenfsen q, z = rcos f el jacobiano es (, xyz, ) (,, rqf) J = = r senf El elemento diferencial de olumen dv = dxdydz en esféricas es dv = sen r f drdqdf

19 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas esféricas son: r = a es la esfera de centro el origen y radio a q = b es el semiplano que contiene al eje Z y forma ángulo b con el plano XZ, ( x >) f = c es un semicono de eje Z. Ejercicios propuestos a) Aproxima el olumen del sólido limitado inferiormente por el rectángulo [,] [,] del plano XY y superiormente por la superficie z = 4 ( x + y ), mediante una suma doble de Riemann sobre una partición regular de 5 celdas, tomando el alor de la función en el punto medio de cada celda. b) Comprueba la calidad de la aproximación, calculando el alor exacto de la integral. i f ( ) = >. Solución: a) Vaprox=, 8 b) Vexacto =, 8 x + y - x + 4x òò òò = da E = da Solución: A = p ; B = + p /; C 5/6; = /; E = 9/ Se consideran los dominios de definidos en las gráficas siguientes:, Para cada una de las siguientes integrales dibuja la región de integración, escribe la integral equialente cambiando el orden de integración y encuentra su alor utilizando el orden que consideres más coneniente: p p A= (senx + cos y) dxdy x B = xsenydydx C = ò p ò p ò ò y ò ò y dxdy Se pide:

20 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE. efine estos dominios utilizando desigualdades, como regiones x simples e y simples.. Calcula sobre cada dominio la integral I indicada, utilizando los dos órdenes de integración posibles. Comprueba que el alor de las integrales no depende del orden de integración utilizado. I = x -y da A B òò ( ) A òò ( ) I = x - y da B Solución: a) I =- 6 / b) I =- 8 A B 4 Se consideran las dos regiones del plano siguientes: {(, )/, } ( ) A= x y x x y x {, /, } B = x y y - y x y. efínelas cambiando el orden (si iene definida como x simple, escribirla como y simple, y iceersa).. Calcula, a mano, el área de cada una.. Utiliza Matlab para representar las regiones y comprobar el alor del área. 4. Supondremos que estas regiones son láminas (sin grosor) de un material de densidad de masa proporcional en cada punto a la distancia del punto al eje y =. Encuentra la masa de cada lámina, primero a mano y después con Matlab. 5. Calcula el alor medio de la función densidad en cada placa y los puntos de la placa en los que se alcanza ese alor. 6. Utiliza Matlab para representar sobre cada una de las regiones A y B, los puntos donde se alcanza el alor medio de la función de densidad. Solución: a) y b) área A = /6 área B = 6 / d) masa A = k ; masa B = k ; k es la 5 constante de proporcionalidad. e) densidad media de A: k ; en los puntos ì ü í( xy, )/ x, y= ý 4 þ densidad media de B: 6 k ; en los puntos 5 ì 6 ü í( xy, )/- x, y= ý þ 5 Se considera la región del plano, acotada por las rectas y = x, y =x, x = y x =. Se pide: a) Represéntala gráficamente y defínela como región x simple y también como región y simple. b) Calcula a mano el área. c) Comprueba los apartados a) y b), utilizando Matlab para representar la región y para calcular el área. d) Calcula la temperatura media de una lámina que ocupa la región, sabiendo que la temperatura en cada punto iene dada por Txy (, )= x/ y y encuentra los puntos de la placa donde se alcanza esta temperatura media. e) Utiliza Matlab para representar el rectángulo [, ] [, 4] coloreado según la función temperatura y destaca sobre él el contorno de la lámina y los puntos que están a temperatura media. Solución: a) Región y simple: {(, )/, } = x y x x y x

21 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA Región x simple: {(, )/, } = x y y x y È ì y ü í (, xy)/ y 4, x ý þ b) / d) Temperatura media =log; Puntos a temperatura media: ì x ü í (, xy)/ y=, x ý log þ 6 Sea la región del plano limitada inferiormente por la gráfica de y = x y superiormente por y = para x 4. a) Escribe un fichero para dibujar con Matlab la región definida por ={( x, y)/ x 4, x y } b) efine la región en el otro orden, es decir, de la forma ={( x, y)/ c y d, x ( y) x x ( y)} c) Una placa delgada plana ocupa la región y la temperatura en cada uno de sus puntos es Txy (, )= xy. Calcula a mano el alor medio de la temperatura en la placa. d) Utiliza Matlab para representar el rectángulo [,4] [,] coloreado según la función temperatura y destaca sobre él el contorno de la placa,, y los puntos que están a temperatura media. Comprueba que esos puntos están sobre un arco de hipérbola. Solución: a) ={( x, y)/ y, x y } c) Temperatura media = d) Puntos a temperatura media: ì ü í(, xy)/ y=, x 4 ý x þ 8 Se consideran las siguientes regiones del plano, donde a es un número real positio: A x, y / a xa, y a x B x, y / a y a, x a y C r, /, r a 4 7 r, /, r a 6 a) Represéntalas gráficamente. b) Supón que una función f ( x, y ) es integrable en cualquier región del plano, es positia en el semiplano x < y además es simétrica impar respecto del eje x =. Ordena de menor a mayor las integrales de f ( x, y ) sobre ABCy.,, y c) Sustituye la función f ( x, y) =-x e, que cumple las características del apartado b) y calcula las integrales utilizando Matlab. Elige también el alor de a =. Solución: a) Las regiones son sectores del círculo x + y = a 7 Calcula la siguiente integral doble I = ( y - x ) xy ( x + y ) dxdy òò S donde S es la región del primer cuadrante del plano XY acotada por las curas xy =, xy =, y = x e y - x =. ada la forma de la región S y la del integrado, es coneniente realizar el cambio de ariables u = xy, = y - x Solución: I =log/

22 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE b) I < I < I < I. B C A c) Se resuelen todas en polares: I, I 7, 795, I, 475, I,94 A B C 9 alla las siguientes integrales mediante el cambio a coordenadas polares y representa gráficamente la región de integración a) b) a a -y ( + ) ò ò a/ a -y ò ò Solución: a) y x y da xda p a 4 /8; b) a /6 Utilizando coordenadas polares, define mediante desigualdades, representa y calcula el área de las regiones siguientes: a) Región S, comprendida entre las circunferencias x + y =x, x + y =4x y las rectas y = x, y =. b) Región S, interior a la cardioide r = + cosq y exterior a la circunferencia ( ) x y - + = 4. Solución: a) ì p ü S = ( r, q) / q, cos q r 4 cos q í ý; 4 þ área de S = ( p + ) 4 b) ì p ü S = (, )/, 4cos cos í r q q q r + q ý þ ì p ü È í(, r q)/ q p, r + cosq ý þ ; área de S = p (a) Prepara una función Matlab que tenga como argumentos de entrada una función de f ( x y z),,,, los extremos a, b, c, d, h, y j de una caja éab, ù écd, ù éh, jù êë úû êë úû êë úû y una partición de la caja definida por el número de subinteralos en cada eje: n, m y p. Como salida de la función se obtendrá la suma de Riemann de f en la caja, tomando como puntos para ealuar la función, los puntos medios de los subinteralos en cada coordenada. La función se dará como string (carácter). Puedes seguir los siguientes pasos: generar incrementos inc=[b-a,d-c,j-h]./[n,m,p]; generar ector de x x=a+inc()/:inc():binc()/; generar ector de y y=c+inc()/:inc():dinc()/; generar ector de z

23 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA z=h+inc()/:inc():jinc()/; generar malla con meshgrid [X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); ectorizar f (con los comandos ectorize (inline(f)) f=ectorize(inline(f)); ealuar f sobre la malla al=f(x,y,z); calcular la suma de Riemann suma=sum(al(:))*prod(inc) c) Comparar los resultados obtenidos con las sumas de Riemann (tomando cajas) y con la integración simbólica para las tres integrales: 4 p ò ò ò ( ) sen() z I = x + y e dzdydx - 5 p I = ò ò ò x + cos ( yz) dzdydx 4 I = ò ò ò x + y + z dv Solución: b) Con las sumas de Riemann se obtiene, I =, 85646, I = 7, 8564, I =, 9658 b) Calcula, utilizando el paquete simbólico de Matlab, el olumen del sólido limitado entre las dos hojas de z =x (una hoja se produce con z negatio y la otra con z positio) y el cilindro x + y =x. c) Intenta calcular con Matlab, utilizando coordenadas polares, el olumen del sólido limitado por x + y = x entre las dos hojas de -x - y + z =. Verás que Matlab te deuele un resultado simbólico mediante funciones elípticas, ello es debido a que la integral en la ariable t no tiene una primitia elemental. Calcula tú, de forma aproximada, el alor de esta segunda integral iterada en la ariable t. Solución: b) Volumen=8/5 c) Volumen»,84 alla, mediante una integral triple, el olumen del sólido del primer octante limitado inferiormente por el plano z = y superiormente por la superficie z =4-x - y. Solución: Volumen =4/5 Con el cálculo simbólico se obtiene, I =, 898, I = 7, 8588, I =, 9659 a) ibuja, utilizando Matlab o pgraph la porción del cilindro x + y =x entre z = - y z = y sobre la misma figura una porción del cilindro parabólico z =x. 4 Si es el sólido limitado inferiormente por z = x + y y superiormente por z =, calcula òòò I = ( x + y - z) dv Solución: I = - 8 p /

24 4 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 5 a) alla mediante una integral triple el olumen del sólido del primer octante limitado por los planos coordenados, por el cono z = x + y y por la esfera x + y + z =8. b) Calcula la densidad media de dicho sólido, sabiendo que su densidad de masa iene dada por la función z d ( xyz,, ) = x + y Solución: a) Volumen =8 p( - )/ b) ensidad media =/( - ) 7 a) Expresa en coordenadas esféricas las ecuaciones de las superficies siguientes: S : el cono de ecuación z = x + y ; S : el cono de ecuación z = ( x + y ) 6 a) Calcula mediante una integral triple el olumen del sólido, limitado superiormente por el paraboloide z =9 x y que es exterior al cilindro x z y - -, inferiormente por = + y. = b) Encuentra la temperatura media de, sabiendo que la temperatura en cada punto iene dada por la distancia del punto al eje OZ. Solución: a) Volumen =p b) Temperatura media=7/ S : la esfera de ecuación x + y + z = 6 b) alla el olumen del sólido, que está comprendido entre los conos S y S, y dentro de la esfera S. p p Solución: a) S : j = ; S : j = ; S : r = p b) Volumen = ( - )

25 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 8 a) Calcula la masa del sólido, situado en el semiespacio y ³, que está limitado por la esfera x + y + z = 4 y también por el plano y =, sabiendo que la densidad de masa en cada punto es ( xyz,, ) = ( x y z) d + + b) Calcula el alor de la integral dv I = òòò, siendo la ( x + y + z ) / región del espacio limitada por las esferas x + y + z = a y x + y + z = b, donde a > b >. Solución: a) Masa = 8 ; p b) I = log ( a / b) 9 Se considera el sólido que ocupa la región limitada inferiormente por z = x + y y superiormente por z =-x - y. Cada punto de está a una temperatura dada por Txyz (,, )= x + y + ( z- ). Calcula el olumen del sólido y la temperatura media del sólido. Test de autoealuación Sea la función z = f ( x, y) = x - y, definida en el rectángulo R º é,ù é, ù êë úû êë úû. Si se ejecuta la siguiente secuencia de comandos de Matlab, >> x=/8:/8:; >> y=/8:/8:; >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z=X.^-Y; >> s=sum(z(:))/64 Qué representa el alor de s? A. aría error. B. Una aproximación de la integral doble de z = x - y sobre R.

26 6 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE C. Una aproximación del olumen limitado por el trozo de la gráfica de f ( xy, ) sobre el rectángulo R, con el plano z =.. Ninguna de las anteriores. Sea f (, xy ) una función continua en æ 5 ö R y tal que f (, x y) dx dy = M ç çè ø entonces se puede asegurar que: æ 5 ö A. f (, x y) dy òò dx = M ç çè ø B. 5 òò, æ ö f (, x y) dy dx =-M ç çè ø òò 5 æ ö C. f (, x y) dy òò dx = M ç çè ø. Ninguna de las anteriores. cierta? A. B. C. Cuál de las siguientes igualdades es x òòdydx = òò dxdy x òòdydx = òò dxdy x òòdydx = òò dxdy - y. Ninguna de las anteriores. 4 y y y òò El alor de la integral ( x + y) dxdy, donde R es el recinto plano limitado por las curas de ecuación xy = 4, x + y = 5, es: A. 8. B. 9. C. 8/9.. Ninguna de las anteriores. 5 ada la función ( ) º {(, ) Î / + 4 } f x, y = x + y - y el dominio x y x y En base a las propiedades de la integral doble de Riemann, sin calcular las integrales, decir cuál de las siguientes afirmaciones es erdadera: R òò A. - 4 p fxydxdy (, ) 4p òò B. fxydxdy> (, ) òò C. fxydxdy= (, ). òò f (, x y) dxdy = òò f (, x y) dxdy, siendo la parte del dominio situada en el primer cuadrante. 6 El alor medio de la función f ( x, y) = definida sobre el x + y + rectángulo R º é, ù é,ù êë úû êë úû, es: A. ( - - ) B. ( ) C. 5 ( 5- ). Ninguna de las anteriores. 7 Cierta región de, está definida en ì r a coordenadas polares por: í Cómo q p habrá que definirla usando coordenadas cartesianas? ì x y a A. + = í y ³ ì x y a B. + í x ³ ì x y a C. + í y ³. Ninguna de las anteriores. 8 Cuál de los siguientes resultados es erdadero? A. B. ò ò ò ò 4-y 4-y 4 - y 4 - y dxdy = dxdy =

27 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 = p/ òò r 4- r sen ddr q q 4 -y p/ C. dxdy = 4 - y. Ninguna de las anteriores. ò ò ò ò r dqdr cos q Cómo se definiría esta misma región en coordenadas cilíndricas? ì r 4 ; q p ; r z 6 -r A. í B. { r 4 ; q p ; - 4 z 4} ü ý þ 9 Elegir cuál de las siguientes afirmaciones es la erdadera: é x ù A. ( x y) dy òò + dx = êë úû é ù = ( x y) dx òò + dy ê ëy/ ú û x é e ù e é ù B. f (, x y) dy dx f (, x y) dx òò = òò dy ê ú ë û êëlny úû C. Sea la región del primer cuadrante tal que + cos q r cos q, entonces el área de dicha región en coordenadas polares iene dada por p/ cosq ò ò dr dq cos q + cosq. El área interior a la cura r = senq p p cuando q es 4 8 La ecuación en coordenadas cilíndricas r = z, representa: A. un cono. B. un cilindro. C. un hiperboloide.. Ninguna de las anteriores. ada la región de, definida en coordenadas cartesianas por las condiciones ì x + y ³ 9 í x + y + z 6 ì r 4 ; q p ; ü C. í ý r z 6 -r þ. Ninguna de las anteriores. cierta? A. B. C. Cuál de las siguientes igualdades es p -r -x -x -y òò ò rdzdrdq = ò ò ò p -r -x òò ò rdzdrdq = ò ò ò x -x -y p -r -x -x -y òò ò rdzdrdq = ò ò ò -. Ninguna de las anteriores. Una interpretación geométrica de la p p/4 integral triple òòò r sen fdrdfdq es: A. Volumen de una semiesfera de radio B. Volumen de un cono de ecuación z = x + y C. Volumen de un sector esférico limitado inferiormente por el cono z = x + y y superiormente por la esfera x + y + z = 9. Ninguna de las anteriores. dzdydx dzdydx dzdydx Soluciones del Test: B C B B A B C B B A C C

28 8 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Ejercicios resueltos Aproximar el olumen del sólido situado entre el paraboloide, 4 z f x y x y y la región cuadrada R dada por x, y. acer una partición de R formada por celdas cuadradas de lado /4. Solución Construimos la partición mencionada sobre el cuadrado R y elegimos dentro de cada celda el értice superior derecho como punto para calcular el alor de f ( xy, ). Utilizando una notación con subíndices dobles, como la que se emplea en matrices, el punto de coordenadas (, ) ij ij ésima columna. Luego resulta x y representa el elegido sobre el cuadrado de la i ésima fila y j ( ij ij) æi jö x, y =, ç, i, j =,,, 4 çè4 4 ø El alor de f en xij, y ij es: i j f xij, yij4 4 4 ado que el área de cada subregión es /6, aproximamos el olumen mediante la suma doble de Riemann é ù, i j 4 = - -»,598 ç 6 åå è ø ê 6 8 ú çè6 ø ë û ( y ij ij) æ ö æ ö åå f x i= j= i= j= A continuación se representa gráficamente el olumen que se calcula con la suma de Riemann anterior y se escribe el código de Matlab para calcular el alor de esta suma.

29 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 inc=/4; x=inc:inc:; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); f=4-x.^-*y.^; suma=sum(f(:))*inc.^ La función fxy (, ) se define como z x /, si y f( x, y) x y, si y Estudiar si existe la integral Solución é ù I = dx f(, x y) dy ê ë úû ò ò. En caso afirmatio, calcular su alor. La integral cumple con una de las condiciones suficientes para la existencia de integral doble: "Si fxyes (, ) una función acotada en un dominio acotado y cerrado R y es continua en dicho dominio, salo en un número finito de curas suaes, entonces f( x, y ) es integrable en R". Sobre el segmento de la recta y, comprendido en x, es donde se produce la discontinuidad de salto finito de la función f ( x, y ). Este segmento es una cura suae, luego fxy (, ) es integrable sobre el dominio de integración. La integral se debe plantear como suma de dos integrales, así: y I dx dy dx ydy 4 x y x ì x Sea R = í, entonces y R ( x y) dxdy. Razonar sin resoler la integral. Solución

30 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Según se obsera en la figura, la parábola x y, sólo toca en un punto al dominio R. Los puntos exteriores (junto con la frontera) a la parábola erifican la condición y x ó bien òò R x y. Al ser la función subintegral no negatia, también será ( x - y) dxdy ³, luego la proposición de partida es CIERTA. 4 Sea la función y ( ) f( x, y) x y razonadamente, si se cumple 4 p f( x, y ) dxdy p Solución En efecto, basta recordar que {, / 4 } º x y Î x + y òò. òò márea ( ) f( x, y) dxdy Márea ( ). Estudiar, siendo m el mínimo de la función f( x, y ) en y análogamente M el máximo de fxy (, ) también en. En nuestro caso m se obtiene en (,) es decir m = f(, ) = y el máximo M se produce en los puntos de la frontera del dominio de ecuación x + y = 4, por tanto M = 5. área( ) p 4p òò = =, por tanto 4 p fxy (, ) dxdy p que coincide con la expresión del enunciado, luego la proposición es CIERTA. 5 Si = {(, x y) Î / x + y }, estudiar razonadamente, si se erifica x tg( y ) sen( x + y ) òò dx dy =. 4 x + y + Solución Siendo el dominio correspondiente a x el correspondiente a x ³

31 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA tendremos además f( - x, y) =- f( x, y) luego òò f (, x y) dx dy = òò f (, x y) dx dy + òò f (, x y) dx dy, òò òò fxydxdy (, ) =- fxy (, ) dxdy Por tanto òò fxy (, ) dxdy= y la propuesta del enunciado es VERAERA. 6 ibujar la región (R) limitada en el primer cuadrante por la hipérbola xy = 6 y las rectas y = x, y =, y x = 8. Expresar la integral genérica fxy (, ) dxdy, extendida al dominio anterior R: a) Por franjas erticales. b) Por franjas horizontales. Solución a) Por franjas erticales òò R b) Por franjas horizontales R 4 x 8 6/ x f ( x, y) dx dy d x f ( x, y) dy dx f ( x, y) dy 4 R (, ) 8 (, ) 4 6/ y f x y dx dy dy f x y dx dy f ( x, y ) dx y y 7 allar el área de las siguientes regiones planas, situadas en el primer cuadrante, integrando primero en x y después en y: S es la región limitada por las curas

32 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE S es la región limitada por las curas x y x, y, y, y 4 5 x y, x, y, y Calcular el área cambiando el orden de integración de las integrales anteriores. Solución Integrando primero en x y después en y, tenemos: S 4 5y ( 5 )( 4 ) 4 área S = da dxdy òò = ò ò = - - y S y + òò ò ò área S = da = dxdy = Para poder resoler primero en y, y después en x, el dominio S se debe tomar como la unión de tres subdominios, A, B y C; mientras que el dominio S se debe tomar como la unión de dos subdominios, A y B. 4 área S = x òò òò ò ò dydx + dydx + dydx = x /5 4 5 òò ò ò área S = dydx + dydx = x- 4 8 ì allar el olumen definido por z ³ x + y í x + y + z 9

33 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA Solución Para obtener el dominio, eliminamos la z entre las ecuaciones z x y x y z 9 resultando x 9 y, que es la circunferencia de centro (,) y radio. Sean z 9 x y y z x y. Para saber cuál de estas superficies está por encima y cuál por debajo, tomamos un punto interior al dominio, por ejemplo el (, ), obteniéndose z y z =. Por tanto z ³ z y el olumen endrá dado por 9 V z z dxdy x y x y dxdy Por simetría en la frontera del dominio y en la función subintegral, ya que al cambiar x por e y por - y ninguna de las dos cambia podemos escribir 4 9 V x y x y dxdy - x Siendo el cuadrante del círculo de centro (, ) y radio polares: x rcos y rsen J r. La integral se resuele en

34 4 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE El nueo dominio es: ì pü º í r ; q ý î þ Y el olumen: ( ) òò q òò q òò q= A + B V = 4 9-r - r rdrd = 4 r 9-r drd -4 r drd Calculamos las integrales A y B: ì 9 r t rdr tdt ü - = =- p/ / 9 9 A= 4 r 9 r drdq 4 dq r 9 r dr r 9 t t òò - = òo ò - = í = - = = = ý o r = 9- = t t = þ Primera integral iterada: / / / é t ù æ ö ( ) 7 9 r 9- r dr =- t dt = 7 - =- ç - = - ê ë úû çè ø ò ò Segunda integral iterada: 4 d 4 4 o / / p/ / 9 9p A = 4 dq r 9- r dr = - p é ê- ù = - é - ù o o ë ú û ê ú ë û ò ò u. d.. Finalmente, / / / / 4 4 p p ér ù =- q =- q =-4éqù o o ê ë ú û ê ú òò ò ò = B r drd d r dr ë û 9p - ; 9p 9p 9p V = A + B = - é ù é ù 9p é ù ê - - = - = - ë ú û ê ú ê ú ë û ë û u. d. 9 Considera la región del primer cuadrante limitada por las curas x y = x, y =, xy =, xy = 4 5 x Calcula dxdy en función de dud si u =, = xy y Calcula el área de la región utilizando las nueas ariables. Solución

35 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Sabemos que dxdy = J dud, siendo J (, xy) = = (, u) (, u) (, xy) Calculemos el jacobiano, x x (, u) y y (, xy) x y y y x u u x y - x = = = = u Por tanto, dxdy J dud dud u El área de la región se calcula mediante la integral doble dxdy = J dud = dud u òò òò òò A * * A A Es necesario escribir las ecuaciones de las curas que limitan el dominio en el nueo sistema de coordenadas para definir el nueo dominio de integración A* x y = x u = ; y = 5 u = 5; xy = = ; xy = 4 = 4 Luego la integral quedará * A 5 4 dud = dd = log 5 u u òò ò ò eterminar x y x y I e dx dy, siendo ì x ³ = í y ³ x + y Solución El dominio en cartesianas es la región de la figura acemos el cambio de ariable x yu x y Calculamos el jacobiano del cambio

36 6 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE ( x, y) J = = = = dxdy = dud ( u, ) ( u, ) - ( x, y) La nuea integral es: Siendo, u u ' u I = e du d òò u é u I = e du d d e du òò = ò ò - êë ù úû Calculamos primero la integral del corchete: Sustituyendo se obtiene, ò - u é uù - - e du = e = e- e = ( e-e ) êë úû - 4 I ( ee ) d ( ee ) ( ee ) Calcular el olumen y el centro de graedad del sólido limitado por el cilindro z = 4 - x y los planos x =, y, y = 6, z, siendo la densidad constante e igual a k. Solución efinición (Centro de graedad). Sea V un sólido básico cuya densidad se expresa mediante una función continua l l( xyz,, ) (,, ) =. Las coordenadas del centro de masas o centro de graedad x y z son medias ponderadas de la densidad M M M x M òòò x l(, x y, z) dxdydz y l(, x y, z) dxdydz = V V ; y = M M M ; z l(, x y, z) dxdydz z M = òòò V M òòò

37 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 Los denominadores representan la masa del sólido, M ( xyzdxdydz,, ) V La intersección de será x =. z z = 4 -x con La solución x =- no sire por estar limitado por x, por tanto x. é 6 æ 4-x ö ù é 6 ù V = dxdydz = dz dy dx ( 4 x ) dy dx S = - ç ê ê è ø ë ú ë úû û òòò ò ò ò ò ò, é 4- x dy ù = é 4y - x y ù = 4-6x êò ê ú ë úû ë û 6 por otro lado ( ) 6, luego ( 4 6 ) é 4 ù ò ê ú 48 6 udm u V = - x dx = x - x = - = Masa = Vk = ë û d x G òòò k x dx dy dz S = k S é 6 æ 4-x ö ù é 6 ù k x dx dy dz = k x dz dy dx k (4 x x ) dy dx = - = ç ê ê è ø ë ú ë úû û òòò ò ò ò ò ò 6 6 = (4 x x ) dy é 4xy x y ù ò - = ê - ú = 4x -6x ; ë û por luego tanto òòò é 4ù kx dx dy dz = k ò (4x - 6 x ) dx = k x - x = 4k S ê ú, ë û x G òòò k x dx dy dz S 4k = = = k k 4 u d l y G òòò S = k y dx dy dz k

38 8 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE S é 6æ 4-x ö ù é 6 ù ky dx dy dz = k y dz dy dx k ( 4 x ) y dy dx = - = ç ê ê è ø ë ú ë úû û òòò ò ò ò ò ò 6 é y ù = ( 4 x ) ydy ( 4 x ò - = - ) = 8( 4-x ) ; êë úû por tanto ( ) decir S 6 é x ù ky dx dy dz = 8 k 4 - x dx = 8 k 4 x - = 96k êë úû òòò ò ; es y G òòò k y dx dy dz = S k = u d l z G òòò k z dx dy dz S = k 4 x 6 4x 4x S z k z dx dy dz k zdz (4 ) 8 4 dy dx zdz x x x 4 6 6æ 4-x ö 6 æ 4ö é ù æ 4ö æ 4 ö zdz dy = 8-4x + x dy = 8-4x + x y = 6 8-4x + x ç è ø çè ø ç êè ø çè ë úû ø ò ò ò S é 6æ 4-x ö ù k z dx dy dz = k zdz dy dx ç êë çè ø úû òòò ò ò ò = æ 4ö é 5ù ç ê ú 4 56k = 6kò 8 4x x 6 8 ; ç - + dx = k x - x + x = çè ø ê ú ë û 5 Calcular J= òòò V planos x + y =, y + x = 6 y el cilindro y 8 z = u d l G 5 zdxdydz, siendo V la región limitada en el primer octante por los + z = 4. Solución Por estar la integral extendida sólamente al primer octante en lo que respecta a los alores de z, es decir z 4 y únicamente tomaremos el positio, por tanto, tenemos:

39 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 é + 4-y ù J = dx dy z dz êë úû òò ò (I) siendo el dominio en el plano XOY limitado por las rectas x y, y + x = 6 Calculamos preiamente la integral respecto de la ariable z sustituyendo en (I) se obtiene 4 y 4 y z y 4 zdz ; æ æ 6-y ö ö J = (4 - y ) dy dx ç è ç è -y ø ø ò ò, siendo 6-y 6-y dx éx ù ò = 4 y -y ê ú = - ; ë û -y luego sustituyendo queda resoliendo la integral se tiene J ( y 4 y 4 y 6 ) dy, J 6 Una esfera de radio a está situada de forma que es tangente al plano horizontal en el origen y su diámetro está sobre el eje OZ. Plantear una integral triple en coordenadas esféricas para calcular el olumen de la esfera situado sobre el plano z = a. Se escribirán los límites de integración, pero no se calculará la integral. Solución Esfera en cartesianas: x + y + ( z - a) = a Relación entre cartesianas y esféricas: ì x = rsen fcos q íy = rsen fsen q z = rcos f El olumen de la semiesfera que está situada por encima del plano z calcula con la siguiente integral triple: = a, se

40 4 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE p p/4 a cosf V = dv = sen d d d òòò ò ò ò a/cosf r f r f q Nótese que la ariación de es f p/4, por tratarse de la semiesfera con z ³ a. 4 Considera el cubo en esféricas dado por ={( rqf,, )/ r r r, q q q, f f f} cuya densidad de masa en cada punto es inersamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen de coordenadas. a) Encuentra a mano las fórmulas que dan el olumen de, su masa y el alor promedio de la densidad. Encuentra también el lugar geométrico de los puntos donde la función densidad alcanza ese alor promedio. a) Prepara una función de Matlab que tenga como ariables de entrada Solución los límites de, y f la constante de proporcionalidad y como resultado tenga los alores del olumen de, la masa y el alor promedio de la densidad una figura donde se dibujen las caras de y también la superficie formada por los puntos donde se alcanza la densidad media. Para realizar el dibujo de puedes hacerlo llamando a la función cuboesfericasres(r,r,t,t,p,p) r f q Volumen = òòò dv = ò ò ò r sen j dq df dr = q -q cos f -cos f r -r r f q ( )( )( ) k k Masa = l x y z dv = dv = r j dq df dr òòò ( ) òòò ò ò ò r f q,, sen x + y + z r r f q ( )( cos cos )( ) Masa = k q -q f - f r - r k ( r - r ) k ( r - r ) ( r + r r + r ) masa ensidad media = = = olumen El lugar geométrico de los puntos donde la función densidad alcanza su alor promedio se obtiene igualando la función densidad a su alor medio, es decir k k l ( xyz,, ) x y z x + y + z + + = = + + = ( r r r r ) ( r + r r + r )

41 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 Concluimos que se trata de la esfera de centro ( r + r r + r ),, y radio = b) efinimos el código de Matlab de la función masaym(r,r,t,t,p,p,k), que resuele este apartado llamando a la función cuboesfericasres(r,r,t,t,p,p) function masaym(r,r,t,t,p,p,k) % masaym(r,r,t,t,p,p,k) % Calcula el olumen del sólido formado por los puntos %(rho,theta,phi) que en esféricas cumplen que rho está entre r y r, %theta está entre t y t y phi entre p y p olumen=(t-t)*(cos(p)-cos(p))*(r^-r^)/ % Calcula la masa de si la densidad de masa es inersamente % proporcional al cuadrado de la distancia (k es la constante de % proporcionalidad) masa=k*(r-r)*(t-t)*(cos(p)-cos(p)) % alla el alor promedio de la densidad alormedio=*k/(r^+r*r+r^) radio=sqrt(k/alormedio) disp(['la densidad media se alcanza en los puntos para los que rho=',numstr(radio)]) %LLama a la función que dibuja las caras del sólido cuboesfericasres(r,r,t,t,p,p); %Sobre la gráfica de dibuja la esfera donde se alcanza la densidad %media hold on t=linspace(t,t,); p=linspace(p,p,); [T,P]=meshgrid(t,p); surf(radio*cos(t).*sin(p),radio*sin(t).*sin(p),radio*cos(p) ); hold off Ejecutando la función masaym(r,r,t,t,p,p,k) para los alores r=, r=, t=, t=/, p=, p=/4, k=, se obtienen los siguientes resultados y la figura del cubo esférico: olumen =.5 ; masa =.8 ; alormedio =.486 ; radio =.575

42 4 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

43 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 Ecuaciones de algunas superficies frecuentes PLANO Cartesianas Ax + By + Cz + = Paramétricas x = x + ua + b o y = y + ua + b o z = z + ua + b ì x o = - íy =- u z = u + u I, J ESFERA Cartesianas x y z r Paramétricas x = r sen ucos y = r sen usen z = r cos u ì x = 5 sen ucos íy = 5senusen z = 5cosu u p, p

44 44 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE CILINRO ELÍPTICO Cartesianas x a y + = b Paramétricas x = a cos u y = b sen u z = ì x = cosu íy = 4senu z = u < p, Î I CILINRO IPERBÓLICO Cartesianas x a y b Paramétricas x acosh u y bsenh u z ì x = coshu íy = 4senh u ( u, ) Î z =

45 CÁLCULO II GRAO EN INGENIERÍA MECÁNICA 45 CILINRO PARABÓLICO Cartesianas z = x a Paramétricas x = u y = u z = a u x = u, y =, z =, ( u, ) Î 4 CONO Cartesianas z = x + y Paramétricas ì x = ucos íy = usen p, u Î I z = u ELIPSOIE Cartesianas x y z a b c Paramétricas x = asen ucos y = bsen usen z = ccos u ì x = 5 sen ucos íy = senusen z = cosu u p, p

46 46 T INTEGRACIÓN MÚLTIPLE PARABOLOIE ELIPTICO Cartesianas Paramétricas ì x = aucos íy = busen z =u ì x = ucos íy = usen u Î I, < p z = u PARABOLOIE IPERBÓLICO Cartesianas x z a y b Paramétricas ì x = aucosh íy = busenh z =u ì x = ucosh íy = usenh u Î I, Î J z = u IPERBOLOIE E UNA OJA Cartesianas x y z + - = a b c Paramétricas