LECCIÓN Nº 04 CAPACITORES Y DIELECTRICOS. CAPACITANCIA.

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1 LEIÓN Nº 4 APAITORES Y DIELETRIOS. APAITANIA. 4.. APAITANIA La capacitancia es la capacidad que tienen los conductoes electicos de pode admiti cagas cuando son sometidos a un potencial. Se define también, como la azón ente la magnitud de la caga (Q) en cualquiea de los conductoes y la magnitud de la difeencia de potencial ente ellos (V). Es entonces la medida de la capacidad de almacenamiento de la caga eléctica. El Voltaje es diectamente popocional a la caga almacenada, po lo que se da que la popoción Q/V es constante paa un capacito dado.la capacitancia se mide en columbios/voltios o también en faadios(f).la capacitancia es siempe una magnitud positiva. apacitoes: uando se conectan dos elementos metálicos paalelos (placas) a un geneado eléctico, un númeo de las cagas desplazadas po la difeencia de potencial quedaá en los objetos metálicos, es deci, las placas de un condensado tienen la misma difeencia de potencial que entega la fuente. Ente las dos placas metálicas se foma un campo eléctico el cual pemite el funcionamiento del capacito. Un capacito se caga de manea exponencial al tiempo y limitado po la capacitancia del mismo y la caga que ecibe, así también se descaga de manea exponencial entegando su enegía almacenada gadualmente. La elación ente el áea de las placas y la capacitancia nos da que a mayo áea útil, mayo seá la capacitancia (son diectamente popocionales). En tanto la elación ente la capacitancia y la sepaación ente dos placas, es invesamente popocional. Po último, tenemos que la capacitancia depende del dieléctico, siendo que paa el vacío, la capacitancia es ; paa un aislante dieléctico K, la capacitancia está dada po K. Si inteumpiéamos la difeencia de potencial entegada po la fuente, una pequeña cantidad de enegía eléctica quedaá almacenada en el poceso (en las placas) y se ia libeando poco a poco dependiendo del mateial del que están hechas las placas, las condiciones de aislamiento ente estas, etc. EDUA INTERATIVA Pág. 6

2 Existen dos tipos de capacitoes: eámico: onsta de dos pequeñas placas paalelas que están sepaadas po un elemento dieléctico que impide la conducción ente estas (aislantes), su foma común es la de una lenteja y su constucción es ceámica. Electolítico: Puede consta de dos placas, peo comúnmente está confomado po dos laminillas que se odean mutuamente en foma de ollo; el elemento dieléctico es mica o algún plástico. Todo el aeglo se encuenta sumegido en una solución que puede modifica el funcionamiento del capacito. En este caso, los capacitoes electolíticos a difeencia de los ceámicos, cuentan con una polaización y se encuentan dento de un almacenaje metálico paecido a un bote. Los capacitoes tienen usos en cicuitos de A, en los cuales desempeñan el papel que juega un estanque de agua en una ed de agua potable. Estos se llenan con agua y son capaces de suminista gandes cantidades de esta en un coto peíodo, paa luego llenase nuevamente con un flujo pequeño peo constante. La mayoía de las instalaciones elécticas en la industia y en los hogaes cuentan mayomente con bobinas, esto implica el etaso de la fase de intensidad con especto a la de voltaje. Los capacitoes, estos entegan gan flujo de caga cuando es equeida po un cicuito, adelantando así, la fase de intensidad y ajustándola a la fase de voltaje; esto es posible dado que los capacitoes almacena caga eléctica y pueden libeala gadualmente. Al deja de se equeida la coiente, éste comienza a ecagase inmediatamente, completando así el ciclo. El tiempo que toma un capacito en descagase, y en ecagase, dependen de las caacteísticas del mismo. aga y descaga de un capacito Usando el cicuito descipto esquemáticamente en la Figua, se estudia las caacteísticas básicas del poceso de caga y descaga de un capacito usando un sistema de adquisición de datos asociado a una P. Paa este expeimento, use un capacito y una esistencia R tal que su poducto sea del oden de segundos.elija paa R un valo de apoximadamente el doble que R. onecte los teminales de sistema de toma de datos en los bones del capacito como muesta la Figua siguiente. También es útil dispone de un pulsado y asegúese que la fuente de tensión V tenga un valo infeio a Volt de modo de no daña el sistema de toma de datos. Elija una fecuencia de muesteo (cuentas po segundo) del oden de R/. Use el pulsado paa caga el capacito. Antes de conecta, asegúese que un instucto evise su cicuito. Gafique la dependencia de Vc como función del tiempo en escala lineal y semilogaítmica y obtenga el mejo ajuste de la cuva que descibe la dependencia de Vc como función del tiempo. También constuya un gáfico de d Vc (t)/dt vesus Vc (t). A pati de estos gáficos, detemine la constante de tiempo t caacteística de la descaga del cicuito R -. Usando este mismo pocedimiento, detemine la constante de tiempo de tiempo t de la caga del capacito. En cada caso, mida los valoes de, R y R usando un multímeto. Repita este análisis paa oto conjunto de valoes R, R y. Usando sus datos y los de sus compañeos de clase, constuya un gáfico de los valoes de t medidos expeimentalmente en función de los coespondientes valoes de R.. Qué concluye de este estudio especto de valo de tiempo caacteísticos de caga y descaga de un capacito? Pág. 7 EDUA INTERATIVA

3 4..Dielécticos. Los mateiales dielécticos son malos conductoes de la coiente eléctica. ompaados con los conductoes, los dielécticos se caacteizan poque en su inteio no hay cagas libes, sino que todos los electones están ligados a sus átomos o moléculas. Una de sus caacteísticas fundamentales es que el campo eléctico en su inteio es infeio al que tendíamos en el vacío. Esto supone que, po ejemplo, la capacidad de un condensado elleno de dieléctico es mayo que la de un condensado vacío. Este fenómeno no se justifica suficientemente con un modelo en el que los electones estén ligados, y sin cagas libes, sino que se debe plantea un modelo en el que los electones, sin deja de esta ligados a los átomos, tengan posibilidad de ealiza pequeños desplazamientos po efecto de fuezas de oulomb. La consecuencia de estos desplazamientos son los denominados fenómenos de polaización de los dielécticos, paa los que existen dos modelos: a) Dielécticos en los que en sus átomos o moléculas coincidan los centos de las distibuciones de las cagas positivas y negativas. En este caso al aplica un campo eléctico las cagas positivas se desplazan en el sentido del campo y las negativas en el contaio, fomando así un dipolo con un momento dipola p. Este tipo de polaización se denomina polaización electónica o inducida y es un fenómeno muy ápido. E p E p b) Dielécticos con átomos o moléculas en los que los centos de las distibuciones de las cagas positivas y negativas no coincidan, fomando ya de po sí pequeños dipolos oientados al aza. En este caso al aplica un campo eléctico los dipolos se oientan y se dice que la polaización es po oientación. Este fenómeno puede se más o menos ápido dependiendo de la facilidad que pesente el mateial a este movimiento, y depende fuetemente de la tempeatua. EDUA INTERATIVA Pág. 8

4 E Oientación al aza E dp dv Oientación E E ind dp dv Ambas polaizaciones, po defomación y po oientación, pueden dase simultáneamente en muchos mateiales, y suponen una justificación micoscópica de lo que ocue en los mateiales dielécticos cuando se aplica un campo eléctico. Desde un punto de vista macoscópico, paa estudia el efecto del campo eléctico en los dielécticos considéese la siguiente expeiencia: Si se toma un condensado plano y se conecta a una fuente de V, el condensado se caga con Q y ente sus placas existe una difeencia de potencial de V. Si, a continuación, se desconecta la fuente de tensión y se ellena el espacio ente placas con un mateial dieléctico o aislante y se vuelve a medi la difeencia de potencial, nos encontamos un valo V < V. El cociente V /V es una constante caacteística paa cada dieléctico que se denomina constante dieléctica elativa o pemitividad elativa del mateial, e que siempe es mayo o igual que uno. ε ε A -Q Q B A -Q Q B A ε Q B V V Si V V /e, entonces E V/d V /(de ) E /e, es deci, al intoduci el dieléctico en el condensado, manteniendo la caga constante, tanto el campo eléctico como el potencial disminuyen en el facto e. Po ota pate, la capacidad que inicialmente ea Q/V, al ellena el condensado con dieléctico ha aumentado, pasando a vale: Q/V e Pág. 9 EDUA INTERATIVA

5 Si el condensado se ellena de dieléctico manteniendo la fuente de tensión conectada, i.e., manteniendo V constante, entonces el campo eléctico también se mantiene constante y, dado que la capacidad del condensado con dieléctico es mayo: e, la caga aumenta. Sin dieléctico ea Q V, con dieléctico seá: Q V e V e Q. A efectos de cálculo, las leyes que hemos estudiado paa el campo eléctico en vacío se aplican de igual modo a los campos elécticos en dielécticos, sin más que sustitui la pemitividad dieléctica del vacío e po la pemitividad dieléctica de cada mateial, calculada como el poducto de la del vacío po la elativa del dieléctico e e e E E ind σ σ σ σ σ σ El campo eléctico en el vacío y en las poximidades de un conducto cagado o en el σ inteio de un condensado plano vacío vale: E, si en el exteio del conducto ε cagado o dento del condensado plano existiese mateial dieléctico, entonces la densidad supeficial de caga total seía: σ + σ y el campo eléctico en las poximidades de un conducto cagado o en el inteio de un condensado plano σ + σ' valdía: E. ε Dado que el campo eléctico disminuye en /ε E E ε σ ε ε σ ε donde e es la pemitividad del mateial. ompaando σ ε σ + σ' ε, se obtiene: Igualdad que elaciona la densidad supeficial de caga ligada con la pemitividad dieléctica. Obsévese que la densidad de caga ligada es de signo contaio a la densidad supeficial de caga libe. 4.3 OMBINAIONES EN SERIE Y EN PARALELO apacitoes en Seie. onsideemos que dos capacitoes están conectados uno después del oto como se indica en la figua 4a, en donde y son sus capacitancias espectivas. Paa ealiza el análisis del sistema y detemina la capacitancia equivalente utilizaemos dos EDUA INTERATIVA Pág. 3

6 aspectos: a) la consevación de caga eléctica; y, b) la consevación de la enegía, de la siguiente foma. +Q -Q V S S V +Q -Q V (a) (b) Figua. apacitoes conectados en seie, (a) sin caga eléctica, (b) con caga eléctica. Si inicialmente los capacitoes tienen una caga eléctica nula en cada placa, la caga enceada po la supeficie S que contiene a la placa infeio del capacito y la supeio del capacito, como se muesta en la figua.(a), es nula. uando en los capacitoes se tienen difeencias de potencial DV y DV, espectivamente, se acumulan cagas elécticas positivas y negativas en cada capacito, como se indica en la figua 4b Entonces las cagas enceadas po la supeficie S son Q y +Q, y su suma debe de se igual a la caga inicial poque no hay un paso de cagas a tavés de la supeficie S, ocuiendo solo una distibución de cagas dento de la supeficie. En otas palabas, se tiene: + Q, Q lo que indica que las cagas almacenadas en los dos capacitoes son iguales. Po ota pate, la suma de las difeencias de potencial es igual a la difeencia total V, V + V. V Un capacito equivalente debe tene una capacitancia, tal que si es sometido a la misma difeencia de potencial DV, loga almacena la misma cantidad de caga Q Q Q que los capacitoes conectados en seie. Sustituyendo las expesiones de la difeencia de potencial en función de la caga eléctica y de la capacitancia ;en los tes V V V. téminos de la ecuación +, tenemos: Q Q + Q ; como la caga es la misma, entonces queda que el ecípoco de la capacitancia equivalente es: + ; de donde se tiene: +. Pág. 3 EDUA INTERATIVA

7 En geneal, la capacitancia equivalente es meno que las capacitancias y. Esto se puede entende de la siguiente foma. Si consideamos que los dos capacitoes tienen la misma áea en las placas, al sustitui la expesión paa la capacitancia en téminos del áea y de la distancia de sepaación ente las placas coespondientes dada po la Q Q, ecuación, + en la ecuación +., tenemos: Aε d + d. Esto indica que en el capacito equivalente, si se mantiene la misma áea de las placas, la distancia de sepaación ente las placas es equivalente a la suma de las distancias ente las placas de los dos capacitoes; y como se había comentado anteiomente, al aumenta la distancia de sepaación disminuye la capacitancia. apacitoes en Paalelo. onsideemos que dos capacitoes están conectados uno junto al oto como se indica en la figua a, en donde y son sus capacitancias espectivas. Paa ealiza el análisis del sistema y detemina la capacitancia equivalente utilizaemos de nuevo los dos aspectos: a) la consevación de caga eléctica; y, b) la consevación de la enegía. S S +Q +Q -Q V -Q V (a) Figua apacitoes conectados en paalelo, (a) sin caga eléctica, (b) con caga eléctica. (b) Si inicialmente los capacitoes tienen una caga eléctica nula en cada placa, la caga enceada po la supeficie S que contiene a las placas supeioes de los capacitoes, como se muesta en la figua.a, es nula. uando en los capacitoes se depositan cagas elécticas Q y Q, espectivamente, la difeencia de potencial en los dos capacitoes es igual DV DV DV, poque las placas supeioes son equipotenciales, lo mismo que las infeioes. Entonces las cagas enceadas po la supeficie S son +Q y +Q, como se indica en la figua.b, y su suma debe de se igual a la caga eléctica en el capacito equivalente +Q. En otas palabas, se tiene: Q Q + Q EDUA INTERATIVA Pág. 3

8 Sustituyendo las expesiones de la difeencia de potencial en función de la caga Q Q eléctica y de la capacitancia (ec. ), en los tes téminos de la ecuación + Q tenemos: V V + V; como la difeencia de potencial es la misma, entonces queda que la capacitancia equivalente es: +. En geneal, la capacitancia equivalente es mayo que las capacitancias y. Esto se puede entende de la siguiente foma. Si consideamos que los dos capacitoes tienen la misma distancia de sepaación ente las placas, al sustitui la expesión paa la capacitancia en téminos del áea y de la distancia de sepaación ente las placas ( A + A ) ε, coespondientes dada po la ecuación, en la ecuación, d tenemos: ( A + A ) ε d lo que indica que el capacito equivalente, si se mantiene la misma distancia de sepaación ente las placas, el áea de las placas es equivalente a la suma de las áeas de las placas de los dos capacitoes; y como se había comentado anteiomente, al aumenta el áea de las placas, se incementa la capacitancia., Ejemplo 3. Desaolla la expesión apoximada paa la capacitancia de un capacito de placas en espial mediante la suposición de que está fomado po N cilindos ciculaes inteconectados, con R el adio del cilindo inteio más pequeño y R el del exteio. Solución 3. omo las placas conectadas de manea intecalada son equipotenciales, se tiene N capacitoes conectados en paalelo, con la capacitancia i de cada uno dada po la expesión apoximada i πrilε d, siendo L la longitud de los cilindos; d la sepaación ente cilindos; y, R i el adio del cilindo i-ésimo: Ri R + ( i ) d, con i desde hasta N -, siendo R N- R + (N )d R d. Pág. 33 EDUA INTERATIVA

9 La capacitancia total coesponde a la suma de las N - capacitancias: omo la suma N i i N i N i π ( R d + ) N ; d id Lε. y la suma la capacitancia total queda: N i i ( ), N N de donde se tiene: πlε d ( R d)( N ) πlε dn N + ( ), dn ( N ) ( R d) +. d omo R R + (N - )d, despejando el témino Nd, y sustituyéndolo en la expesión anteio queda: πlε d ( N ) [ R + R d], con N. El facto ente cochetes es el adio medio de los adios "intenos". PROBLEMAS. alcula la capacitancia total de un sistema fomado po tes condensadoes de capacitancias, y 3, conectados en paalelo. b) Repeti el cálculo paa el caso en que los mismos capacitoes se conectan en seie.. Un capacito se caga hasta una difeencia de potencial V. Entonces se desconecta la bateía de caga y el capacito se conecta, como se muesta en la figua, a oto capacito descagado. a) uál es la difeencia de potencial final V de la combinación? b) uál es la enegía almacenada antes y después de que se ciee el inteupto S? EDUA INTERATIVA Pág. 34

10 3. La pimea fig. muesta dos condensadoes de placas paalelas de áea A conectados en seie. La sección ígida cental de longitud b se puede move veticalmente. Demosta que la capacitancia equivalente de la combinación seie es independiente de la posición de la sección cental y está dada po A / (a b). 4. Enconta la capacitancia equivalente paa las siguientes configuaciones: a) F, 5 F, 3 4 F. b) F, 3 F. 5. En un condensado de placas paalelas se colocan dos sustancias dielécticas llenándolo como se obseva en la Figua. Demosta que la capacitancia de este condensado viene dada po: Pág. 35 EDUA INTERATIVA