Interpretación geométrica de un producto notable a.b a.b b2 a.b a.b b2 a.b a.b + b2 a.b a.b b2 (a + b) a2 + 2a.b + b2 Parte teórica Ejemplos:

Transcripción

1 Productos Notables I (Binomio al cuadrado - Binomio al cubo - Diferencia de cuadrados) Cuando hablamos sobre Álgebra, Aritmética, Geometría o Trigonometría, quizás algunas personas interpretan esto como una "DIVISIÓN" de la Matemática. Por ejemplo, se podría entender que el Álgebra no tiene vinculación alguna con la Aritmética, o que el Álgebra se encuentra totalmente aislado de la Geometría, etc. Sin embargo, esto no es así; más aún, podemos afirmar que estas cuatro materias se encuentran fuertemente vinculadas. Es por este motivo, que presentamos el siguiente ejemplo: Interpretación geométrica de un producto notable a a a a a.b a a.b a a b b b b a.b b Líneas imaginarias a.b a b b b a + b a a.b a + a.b = a + a.b + b a.b b b (a + b) = a + a.b + b Parte teórica Son multiplicaciones de polinomios de forma conocida cuyo resultado se puede recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la propiedad distributiva de la multiplicación.. Binomio al cuadrado (a + b) = a + ab + b (a - b) = a - ab + b. Binomio al cubo (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a - b) 3 = a 3-3a b + 3ab - b 3 3. Diferencia de cuadrados (a + b)(a -b) = a - b Ejemplos:. Hallar: Solución: Efectuar: (a - b)(a + b)(a + b ) + b 4 Solución: (a - b)(a + b)(a + b ) + b 4 = (a - b ). (a + b ) = a 4 - b 4 + b 4 = a 4 AÑO

2 resueltos. Reducir: ( + 4) + ( - 4) desarrollando cada uno de los binomios: + (4) (4) reduciendo términos semejantes: Si se tiene: hallar: recordando: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b) se tiene: 5 elevando a la potencia 3:. Efectuar: 5 ( + 3 )( - 3 ) desarrollando: aplicamos (a + b)(a - b) = a - b = 5 ( + 3 )( - 3 ) = - 3 = - 3 = 9 3. Efectuar: ( + y)( - y)( + y )( 4 + y 4 )( 8 + y 8 ) + y 6 efectuando la multiplicación de dos en dos: ( y)( y)( y )( 4 y 4 )( 8 y 8 ) y 6 ( y )( y )( 4 y 4 )( 8 y 8 ) y 6 ( 4 y 4 )( 4 y 4 )( 8 y 8 ) y 6 finalmente: 6 ( 8 y 8 )( 8 y 8 ) y y 6 + y (5) = 5 3 = = 0 3 Bloque I. En cada caso completar lo que falta según los productos notables: a. ( + 3) = b. ( + 5) = Si: + y = 6 y = hallar: + y + y = 6 elevando a la potencia : ( + y) = 6 + y + y = 36 + () + y = 36 + y = 3 c. ( + y) = y d. (3 - y) = y +. Completar en cada caso: a. ( + 3)( - 3) = - b. ( - 5)( + 5) = - 5 c. a 5 5 a a

3 Bloque II 5 y y 5 d. y 3 3. Reducir: 3. Cuál es el resultado al efectuar: K J 7 7 a) b) 3 c) a) b) 5 c) 7 d) e) - d) e) 8 4. Calcular:. Hallar: 5 6 (a b) 4ab ; si a>b. 6 5 a) a + b b) b - a a) b) 6 c) 4 c) a b d) a b d) 3 e) -3 e) a - b 5. Determinar el valor simplificado de: (a + b) - ab a) a b) b c) ab d) a + b e) (a + b) 6. Reducir: J = ( + 3y) - (4 + 9y ) 3. Reducir: ( + 3) - ( + ) + ( + 4) - ( + 5) a) 0 b) - c) - d) -3 e) Efectuar: a) 8 b) 9y.( y) ( y) c) 6y ; y - y d) e) y y 7. Simplificar: a) + y b) + y c) G 5 5 d) y e) y a) 0 b) 3 c) 4 d) 7 e) 0 8. Indicar el coeficiente de " "" al efectuar: ( + 3) 3 a) 8 b) c) 36 d) 7 e) 0 9. Reducir: ( + ) 3 - (4 + 6) + a) 6 b) 3 + c) 3-8 d) + 8 e) Simplificar el valor de la epresión: (n + ) 3 + (n - ) 3 a) (n 3-3n) b) (n 3 + 3n) c) (n - 3n 3 ) d) (n + 3n 3 ) e) 0 5. Al reducir: (4 + 3) - (4 + 3)(4-3) + (4-3), obtenemos: a) b) c) d) e) Simplificar la epresión: ( + ) - () a) 4 + b) 4 - c) + d) + e) - 7. El resultado de efectuar: ( + y) 3 - ( + y)( - y + y ), es: a) 0 b) 3 - y 3 c) 3 y + 3y d) 3 + y 3 e) 3 y - 3y

4 8. Al efectuar: 5. Sabiendo que: a - b = 7; ab = 0 a + b > 0 hallar: a + b (a b) 3 (a b) 3 b 0; se obtiene: a) 69 b) 39 c) 35 (a b) (a b) d) 43 e) 89 a) a - b b) -a b c) ab d) 3a + b e) 4ab 6. Si: 4 9. Si: 3, determinar: 3 calcular: 3 a) b) 9 c) 3 d) 6 e) 7 0.Sabiendo que: a + b = 6; a.b = 7. hallar: a + b a) b) 36 c) 49 d) 4 e) 4 Bloque III. Indicar un término de: (y 3-5z 4 ) a) 4y 3 b) -0 y 6 z 8 c) 5z 4 d) 4 y 6 e) 0y 3 z 4. Efectuar: (mn + 7)(-7 + mn) a) 49 - m n b) 49 - mn c) m n - 49 d) mn - 49 e) m n Si: a + b = 7 ; ab = 0 ; a > b hallar: a - b a) b) c) 3 d) 4 e) 5 4. Si: a + b = 8 ; ab = 5 ; a > b hallar: a - b a) 44 b) c) 4 d) e) a) 5 b) 40 c) 64 d) 84 e) 8 7. Sabiendo que: 6 calcular: 3 3 a) 84 b) 34 c) 6 d) 8 e) 0 8. Si: + = 3 calcular: a) 8 b) 5 c) 7 d) 8 e) 5 9. Si se cumple que: a - b = 8; a.b = calcular el valor de: a + b a) 64 b) 4 c) 86 d) e) 0.Si sabemos que: a + b = 0 a + b = 5 hallar "a.b" a) 5 b) 7,5 c) 5 d),5 e) 8

5 v e z q u e a p a r e c i e r o n i m p r e s o s f u e e n Aritmética Autoevaluación. Si se sabe que: a + b = 9 4. Reducir: a. b = a +b a) 8 b) 74 c) 7 d) 7 e) 37. Al efectuar: (4y + ) 3 ; uno de los términos es: 7 a) b) c) 3 d) 4 e) 5 a) 64 3 y b) 48 4 y c) y d) 8 e) 3 y 4 5. Indicar V o F (V=verdadero, F=falso) en cada una de las siguientes afirmaciones: I. (a + b) = a + b II. (m - n)(n + m) = m - n 3. El resultado de: III. (y - ) = + y - y ; es: a) b) 6 c) 4 d) - 4 e) 0 a) VFF b) FFV c) FVF d) VVV e) FVV Signos con historia y : No se empezaron a usar hasta el siglo XV. La primera comercial escrita en 489 por Johann Widman, un maestro calculista alemán. Antes se usaban las letras p y m del latín plus y minus respectivamente. y : Los signos para las operaciones de Multiplicación y División son más modernos; fueron introducidos en el siglo XVII (concretamente en 657) por William Oughtred. Sólo un par de años después, Johann Rahn en su libro "Álgebra Alemana" utiliza por primera vez el signo " " para indicar la División.

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7 Productos Notables II (Identidades de Legendre) Como habrás visto, en el capítulo anterior se estudiaron estos dos productos notables: * (a + b) = a + ab + b DIFERENCIA: (a + b) - (a - b) = 4ab * (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Observa detenidamente lo anterior y notarás que ambas epresiones pueden escribirse así: (a + b) n ; para: n = ó para: n = 3 Pero aquí una pregunta, podremos escribir la fórmula: (a + b) 4, (a + b) 5, (a + b) 6,... etc. de una manera fácil? La respuesta es afirmativa. Para ello, usaremos este famoso "triángulo": A estos dos últimos resultados se les denomina IDENTIDADES DE LEGENDRE. Formulario. Identidades de Legendre (a + b) + (a - b) = (a + b ) (a + b) - (a - b) = 4ab. Término común (Identidad de Stevin) Observa que los números del triángulo son los coeficientes del desarrollo de: (a + b) 3 (a + b) ( + a)( + b) = + (a + b) + ab. Efectuar: resueltos Ahora, con la ayuda de tu profesor calcula el desarrollo ( 6) ( 4)( 8) de: (a + b) 5 = desarrollando lo que está dentro de la raíz cuadrada: Observación El anterior triángulo fue ideado por el matemático italiano NICCOLO FONTANA, sin embargo se le atribuye el trabajo a BLAS PASCAL. NICCOLO FONTANA era conocido bajo el pseudónimo de TARTAGLIA debido a la tartamudez que padeció. Parte teórica Si consideramos el desarrollo de estos productos notables: (a + b) = a + ab + b (a - b) = a - ab + b Podemos realizar lo siguiente: SUMA: (a + b) + (a - b) = (a + b ) (6) 6 [ 3] 36 3 reduciendo términos semejantes: Desarrollar: ( - 5) 3 recordando: (a - b) 3 = a 3-3a b + 3ab - b 3 ( - 5) 3 = 3-3 (5) + 3(5) = ÁLGEBRA AÑO

8 4 3. Si: a b a b a b a y b 0 ; a - b Bloque I hallar: a b. Efectuar: ( + 3)( + 4) a) b) efectuando: c) d) + 4 a b 4 e) + 7 a b a b ab a b en aspa se tiene: (a + b) = 4ab a + ab + b = 4ab a ab b 0 trinomio cuadrado perfecto: (a - b) = 0 a = b finalmente: a b a a a b a a 4. Efectuar: ( abc abc )( abc abc ) ; > abc > 0 aplicando: (a + b)(a - b) = a - b ( abc abc )( abc abc ) = abc abc = + abc - ( - abc) = abc 5. Si: a + b = 4 ab =. Reducir: ( + 5)(7 + ) - 35 a) + 35 b) + c) + 35 d) e) 0 3. Calcular: ( + 7) - ( - 7) a) 0 b) 4 c) 8 d) 49 e) Simplificar: [n + 5] + [n - 5] a) 4n + 50 b) 8n + 5 c) 6n + 50 d) 8n + 50 e) 4n Determinar el área rectangular: ; > 0 a) b) c) + 45 d) + 45 e) Calcular la suma de áreas de los cuadriláteros: hallar: a 3 + b 3 recordando: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) a + b = 4 (elevando al cubo) (a + b) 3 = 4 3 ; desarrollando: a 3 + b 3 + 3ab(a + b) = 4 3 a 3 + b 3 + 3()(4) = a) b) c) d) + 7 e) Reducir: ( 5 3)( 5 ) ; > 0 a 3 + b = 64 a) 5 5 b) 6 5 = a 3 + b 3 = 40 c) d) 0 e) 5 5

9 8. Calcular: ( 0 5 )( 0 5 ) 4 a) - 5 b) -6 c) + 8 d) 5 e) Si: a) b) c) 3 a + b = 7 d) 4 e) 5 a. b = 0; hallar: a + b 9. Reducir: a) 4 0 ( 5 ) ( 5 ) b) 8 5 a) 9 b) 49 c) 39 d) 09 e) Sabiendo que: a + b = 5 c) 4 5 a + b = 3; hallar "ab" d) 8 0 e) 0.Calcular: ( 5 3) ( 5 3) a) 8 b) 6 c) d) 5 e) 5 a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 7. La suma de dos números es 5 3 y su producto es 6. Calcular la suma de sus cuadrados. a) 4 b) 43 c) 75 d) 7 e) 36 Bloque II. Hallar: 3 3 a) 48 b) 4 6 c) 00 d) 0 e) 4. Reducir: y a) - b) y 8y ; y 0 c) 8. El cuadrado de la suma de dos números es 0 y la suma de sus cuadrados es 6. Calcular el producto de dichos números. a) 4 b) 3 c) - d) e) 9. Si un número más la inversa del mismo es 8, calcular el cuadrado del número más la inversa de dicho cuadrado. a) 64 b) 66 c) 60 d) 6 e) 58 0.La diferencia de dos números es "n". La diferencia de sus cuadrados es "m". Hallar la suma de estos números. (mn) 0 a) m b) m c) n 3 d) e) 4 8 m d) e) -n 3 n 3. Si tenemos el terreno rectangular: + Entonces, cuál será su área? + 7 ; > - Bloque III. Por cuánto debe multiplicarse: 4 ; 0 4, para obtener: a) b) c) d) e) Reducir: ( + )( + ) - ( + 3)( + 4) + 4( + ) a) + - b) - - c) - d) - e) +. Reducir: ( + )( - )( + )( 4 + ) + a) b) - c) 4 d) 8 e) 6

10 3. Efectuar: y 4 4. (5 )(5 4 ) 7. Si: y y 6, hallar: 3 y ; y > 0 a) 5 b) 5 c) 5 d) -5 e) 4. Si: 5 ; calcular: 4 4 ; 0 a) 46 b) 4 c) 50 d) 57 e) 500 a) b) 0 c) - d) - e) 8. La suma de dos números es igual al producto de éstos y es igual a 3. Obtener el valor de la suma de sus cuadrados. a) 3 b) c) 9 d) 6 e) 5. Si: y y 7 ; hallar: M y y ; y > 0 9. La suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de los mismos números y esta última suma equivale a 4. Calcular el producto de los números. a) b) c) 3 a) b) 3 c) 4 d) 4 e) 5 d) 5 e) 6 6. Reducir y calcular el valor de: 0.Si la suma de dos números es 5 y su producto es 6. (m - 3n) - 4n(n - m) + 8; si: m - n = 8 Calcular el producto de la suma de sus cuadrados por la a) 36 b) 3 c) 7 suma de sus cubos. d) 64 e) 90 a) 9 5 b) 9 5 c) 5 d) 7 5 e) 5 Autoevaluación. Dadas las siguientes afirmaciones. II. ( + a)( + b) = + ab + (a+b) III. (a + b) + (a - b) = 4ab B a + 8 a + son falsas: a) Sólo I d) Sólo III b) I y II e) I, II y III. Calcular el valor simplificado de: ( 3y) ( 3y) y ; y 0 c) II y III a) b) a + c) 6 d) a e) 4 4. Si: 3 ; calcular el valor de: 4 ; 0 a) 49 b) 7 c) 47 d) 45 e) 8 a) 6 b) c) 4 5. La suma de dos números es. Si su producto es 0, d) 8 e) calcular la suma de sus cuadrados. 3. Calcular el eceso del área del terreno A sobre la del terreno B. (a > 0) a) b) 0 c) 0 d) 00 e) 3 A a + 4 a + 5

11 Y aquí un viejo truco... Sigue con atención los siguientes pasos, uno por uno, y llegarás a una conclusión algo increíble!!! 0 = 0 Primer paso: Igualando el cero. 4-4 = - Segundo paso: Equivalencia de la igualdad anterior. 4( - ) = ( - ) Tercer paso: Factorizando el 4 y respectivamente..( ) 4 ( ) Cuarto paso: Pasando a dividir ( - ) y simplificando 4 = Quinto paso: Simplificando mitad = Seto paso: COSA DE LOCOS? Podrías eplicar dónde está el error?

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