TENSIONES INDUCIDAS EN MÁQUINAS A ANILLOS

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1 INTRODUCCIÓN TENSIONES INDUCIDAS EN MÁQUINAS A ANILLOS Nobeto A. Lemozy El objetivo del peente capítulo e obtene la expeione de la tenione inducida en una fae de un aollamiento a anillo, que gia dento de un campo magnético. Pimeo e analiza la tenión inducida en una epia diametal, luego en una epia acotada, en un gupo de bobina y en bobina con u lado inclinado epecto de la geneatiz del cilindo otóico, e deci fomando una hélice, eto concepto on geneale y pueden aplicae a cualquie tipo de aollamiento. Luego e calcula el flujo po polo, uponiendo una máquina de entehieo contante, y e deteminan la tenione inducida en una fae completa de un aollamiento a anillo ubicado en el oto y e conidean te cao: a) El aollamiento gia dento de un campo contante. b) El aollamiento gia dento de un campo otante. c) El aollamiento gia dento de un campo alteno. TENSIONES INDUCIDAS Se conidea que en el entehieo de la máquina hay un campo magnético contante en el tiempo y fijo en el epacio, el que podía eta poducido po una coiente continua ciculando en el etato o po imane pemanente colocado en el mimo. Si bien en la páctica la ditibución de la inducción en el entehieo, nunca e pefectamente inuoidal, i e hace el análii amónico de la mima, cada una de la componente tiene ditibución inuoidal, po lo tanto e lícito ealiza el etudio paa ete tipo de ditibucione de campo en el entehieo y aplicalo, pimeo a la componente fundamenta y luego a la amónica.. Una epia diametal Se etudia una máquina, como la epeentada en la figua, que po encillez e tomó de entehieo contante, con una epia diametal ubicada en el oto, el que gia con velocidad angula ω en adiane eléctico po egundo. Cabe ecoda que e definen lo ángulo eléctico como: θeléctico = p θ geomético () Y la velocidade angulae como la deivada epecto del tiempo de eo ángulo: [ pm] π ω [ ] [ p ] p n = Ω = () 6

2 Donde: p: e el númeo de pae de polo de la máquina. Ω: e la velocidad angula en adiane geomético po egundo [/]. n: e la velocidad angula en evolucione po minuto [pm]. π Fig. : Epia diametal. Po comodidad e dibujan y analizan máquina de un pa de polo paa que coincidan lo ángulo eléctico y geomético, peo i e conidean todo lo ángulo, en toda la expeione, como ángulo eléctico, alvo que e diga lo contaio; la concluione que e obtienen on aplicable a máquina de cualquie polaidad. Haciendo una epeentación deaollada de la epia que e mueve dento de la componente fundamental del campo magnético de inducción [T], e tiene la figua. v e e θ Y = τ p e Fig. : Epia diametal moviéndoe en el campo magnético. Como la inducción magnética en el entehieo e adial y lo lado de la epia etán dipueto egún la geneatiz del cilindo otóico, lo mimo cotan pependiculamente a la línea de fueza del campo magnético. Si la longitud activa de dicho lado e l [m], la tenión inducida en bone de la epia eá: e = e + e = e lv (3) =

3 Donde v [m/] e la velocidad tangencial, que vale: Siendo [m] el adio del cilindo otóico. v = ω (4) Toda eta tenione inducida on altena y etán en fae, ya que lo do lado de la epia paan imultáneamente po lo ceo y po lo máximo del campo magnético. Si e la epeenta faoialemente eultan todo lo faoe en fae, como e mueta en la figua 3. En ete cao la tenión eultante vale:. Una epia acotada E E π Fig. 3. Tenione inducida en epia diametal. + E = E E E E & = E& & & + & (5) Si en la condicione anteioe e acota la epia, como e mueta en la figua 4, la tenione inducida en u lado ya no etaán en fae, la tenión inducida en el lado tendá un defae, de la coepondiente al lado en un ángulo ( c)π, donde c e el pao elativo: Y c = < τ p (6) Siendo Y el pao de la epia y τ p el pao pola. cπ (-c) π Fig. 4. Epia acotada. Si e vuelven a epeenta el entehieo y la epia en foma deaollada, figua 5, e puede ve que cuando el lado alcanzó el máximo de la inducción, y en conecuencia el máximo de la tenión inducida, el lado todavía no lo alcanzó, po ee motivo e dice que la tenión etá ataada de la. 3

4 v e e θ Y = cτ p e Fig. 5. Epia acotada moviéndoe en el campo magnético. Po lo dicho lo faoe epeentativo de la tenione inducida tendán el mimo módulo (lo máximo on iguale, peo ocuen en momento ditinto) peo el fao E & etaá ataado un ángulo ( c)π, como e mueta en la figua 6. A E cπ E E Fig. 6. Tenione inducida en epia acotada. Como el tiángulo que e foma e iócele, la tenión eultante vale: π E & = A + C = A = E& in c (7) Se define facto de pao k p a la elación de lo módulo de la tenión inducida eultante en la epia acotada epecto a la tenión inducida eultante en la epia diametal: Donde E = E& = E&, eemplazando eulta: E en epia acotada k p = (8) E en epia diametal π E in c π k p = = in c (9) E Teniendo en cuenta que un ángulo θ paa la fundamental, vale θ paa el amónico de oden. = () θ θ C 4

5 La expeión (9) e puede genealiza paa un amónico de oden multiplicando al agumento de la función po el oden del amónico: implemente π k p = in c () Entonce, cuando e neceita calcula la tenión inducida en una epia acotada, e la calcula pimeo como i fuea diametal y luego e la multiplica po el coepondiente facto de pao: E en epia acotada = k p E en epia diametal () Lo mimo vale paa la tenión inducida en una bobina..3 obina ditibuida Sea un gupo de te (q=3) bobina diametale, iguale, epaada un ángulo eléctico ente í, y conectada en eie, como e mueta en la figua 7. N N b N b b Fig. 7. Te bobina diametale ditibuida. Como la te bobina tienen el mimo númeo de epia, u tenione inducida van a tene el mimo módulo peo van a eta defaada un ángulo eléctico ente í, fomando un polígono egula, en ete cao de te lado, como e mueta en la figua 8; donde e agega una contucción auxilia paa etablece la elacione ente la tenione. A C / E E E E 3 D O Fig. 8. Tenione inducida en la bobina ditibuida. 5

6 En la figua 8 e han tazado la mediatice (pependiculae en lo punto medio de lo lado) coepondiente a la te tenione, la que e cotan el punto O que e el cento de la cicunfeencia cicuncipta al polígono o cicuncento. También e han tazado lo adio de dicha cicunfeencia. Lo ángulo de defae ente la tenione, on lo ángulo exteioe del polígono, lo que a u vez on iguale a lo ángulo inteioe del mimo. En ete ejemplo la uma de lo ángulo inteioe eulta 3, poque on te bobina; en geneal i e tienen q bobina en eie en el gupo, la uma de lo ángulo inteioe eía q. El módulo de la tenión eultante E e puede expea como: E & ditibuido = AD = AC = in q (3) Si la te bobina del ejemplo etuviean upepueta en la mima anua, u tenione etaían en fae y la eultante eía el tiple de la coepondiente a una de la bobina; en geneal i el gupo tiene q bobina en eie, el módulo de la eultante eía: E & concentado = q E& = q A = q in (4) El facto de ditibución k d e el cociente de lo módulo de la tenione eultante con ditibución y in ditibución: Reemplazando eulta: Genealizándola paa el amónico : k d E& ditibuido = (5) E& concentado in q in q k d = = (6) q in q in in q k d = (7) q in Donde, como ya e dijo, q e el númeo de bobina del gupo y e el ángulo eléctico ente la mima. Entonce, cuando e deea calcula la tenión inducida en un aollamiento ditibuido, e la calcula pimeo como i fuea concentado y luego e la multiplica po el coepondiente facto de ditibución: E ditibuido = kd E concentado (8) 6

7 .4 obina helicoidale En alguna máquina la anua del oto e inclinan epecto de la geneatiz del cilindo que lo epeenta, en eo cao la anua, y en conecuencia lo lado de la bobina que e encuentan en la mima, dejan de e ecta y e tanfoman en cuva de doble cuvatua: en hélice cilíndica de un pao muy gande. Si la anua del etato, como e lo habitual, on ecta en la diección de la geneatice del mimo, el campo magnético poducido po la bobina etatóica mantendá u imetía axial. En la figua 9 e mueta como una anua otóica, que a la izquieda etá enfentada con una anua etatóica, en el extemo deecho del oto e encuenta giada un ángulo γ epecto de la mima anua etatóica. Roto Roto Etato Roto γ Etato Ranua etatóica Ranua otóica Fig. 9. Ranua otóica inclinada. Ee ángulo γ e la otación de la hélice cuando e deplaza una longitud igual al lago del oto. Cuando un conducto otóico helicoidal e mueve dento del campo magnético poducido po un etato con anua ecta, u elemento de longitud dl cotan ditinto valoe de inducción magnética. El ángulo eléctico ente lo difeenciale de tenión inducida, coepondiente al pime y al último elemento conducto, e el ángulo de otación γ. El diagama faoial coepondiente a lo infinito difeenciale de tenión inducida en el conducto e un aco de cicunfeencia cuyo ángulo cental e γ y la tenión eultante e la cueda, figua. de γ A E γ O Fig.. Diagama faoial. 7

8 El facto de hélice k h e el cociente de lo módulo de la tenione eultante con anua helicoidale y con anua ecta: k h E& con hélice = (9) E& in hélice La tenión eultante con anua helicoidale e la cueda de la figua que e puede expea como: γ E & con hélice = de& = in () Mienta que la uma de todo lo módulo de lo difeenciale de tenión inducida e la longitud del aco ubtendido po el ángulo γ: E & in hélice = de& = aco = γ () Reemplazando en la (9) eulta: γ γ cueda in in k h = = = () aco γ γ Que genealizando paa un amónico de oden : γ in k h = (3) γ Entonce, cuando e deea calcula la tenión inducida en un aollamiento con anua helicoidale, e la calcula pimeo como i fuean anua ecta y luego e la multiplica po el coepondiente facto de hélice: E con hélice = kh E in hélice (4) A fin de no comete un eo de cálculo conviene detaca que el ángulo que figua en el denominado de la expeione () y (3), ademá de e un ángulo eléctico, debe eta expeado en adiane. El facto de hélice puede conideae como un cao límite del facto de ditibución en el que: Ademá: E deci: q (5) lim = γ (6) q q γ in q in q in k lim h = = = (7) q γ q in q 8

9 Cuando lo aollamiento etán muy ditibuido, como lo de colecto, el facto de ditibución e calcula diectamente como la elación ente la cueda y el aco, e deci como i e tatae de un cao de hélice. Ete facto de hélice no e popio del etato ni del oto, ya que el ángulo γ e define ente la anua del oto epecto de la del etato. Si e inclinaan amba anua hacia el mimo lado y el mimo ángulo, no apaeceía el facto de hélice. Po lo tanto, el facto de hélice, e debe utiliza cuando e etudian la inteaccione ente el etato y el oto, po ejemplo en el cálculo de la tenione inducida en el oto debida al campo poducido po el etato, o vicevea, o en el cálculo de la cupla electomagnética y debe apaece una ola vez en la poductoia de lo ditinto factoe del etato y del oto. Si en cambio e etudian la tenione inducida en un aollamiento, debida al campo poducido po el popio aollamiento, la hélice, i la hubiea, no poduciía ningún efecto. La azón po la cual e inclinan la anua del oto, lo que no deja de e una complicación contuctiva, a fin de que apaezca el facto de hélice, e atenua amónico de oden upeio. A modo de ejemplo en la figua e gafica el facto de hélice en función del oden de la amónica, paa un oto de 4 anua, cuato polo y con valoe de otación de la hélice (aco otóico coepondiente al ángulo gama) coepondiente a media, una y una y media anua del oto. Facto de hélice,8,6,4, -, -,4 Media anua Una anua Ranua y media Amónico Fig.. Facto de hélice En la figua e puede obeva que cuanto mayo e la inclinación, má ápidamente e atenúan lo amónico. 9

10 .5 Cao geneal A fin de conegui una buena educción de amónico, el aollamiento puede tene bobina acotada, ditibuida y con la anua inclinada, de ea foma e combinan lo ditinto efecto y e pueden obtene eultado muy atifactoio. En ee cao la tenión eultante e calcula como i el aollamiento fuea diametal, concentado y con anua ecta y luego e la multiplica po el poducto de lo te factoe: E acotado, ditibuido, inclinado = k k k E diametal, concentado, ecto (8) p d h Al poducto de lo te factoe e lo uele llama facto del aollamiento: k w p d = k k k (9) Si la bobina del gupo o de la fae poeen ditinto númeo de epia, i lo ángulo no on todo iguale, o lo gupo poeen ditinta cantidad de bobina, como en lo aollamiento faccionaio; la expeione de lo factoe dada má aiba, no on aplicable y e debe ecui a oto pocedimiento de cálculo. Afotunadamente la mayoía de lo aollamiento e ajutan a la condicione etudiada. h

11 3 FLUJO POR POLO A fin de pode obtene el flujo concatenado po cada fae, y luego la fueza electomotiz inducida, pimeo hay que detemina el flujo po polo. En la mayoía de la máquina eléctica, cuando etán en caga, e encuentan peente do fueza magnetomotice, po ejemplo la del etato F e y la del oto F que, i e conidea cada amónica po epaado, cada una de ella tiene una ditibución inuoidal en el entehieo y e epeentable po medio de un vecto en el epacio. En vitud de ea ditibución epacial, la fueza magnetomotiz eultante F R e puede obtene haciendo la uma vectoial de la mima aplicando, po ejemplo, la egla del paalelogamo: F = F + F (3) R La uma anteio (3) e común hacela tomando lo valoe máximo de la fueza magnetomotice. En la figua e mueta, en una epeentación deaollada, la inducción magnética debida a la componente fundamental de la fueza magnetomotiz eultante. F R e S p π l θ τ p Fig.. Supeficie pola de fundamental. Donde τ p e el pao pola y l e la longitud axial del oto. La upeficie pola paa la fundamental S p coeponde a un ecto de la upeficie lateal del cilindo otóico coepondiente a un pao pola, figua 3. Si el cilindo otóico tiene un diámeto medio D, la upeficie pola de fundamental e puede expea como: Siendo p el númeo de pae de polo. π Dl S p = (3) p

12 D τ p S p l Fig. 3. Supeficie pola en el oto. Como la ditibución de la inducción e inuoidal, una foma encilla de calcula el flujo po polo e tomando el valo medio de la mima y multiplicándola po la upeficie pola: med Fˆ R = ˆ = µ (3) π π g Donde: 7 µ = 4π [H/m] ˆ e el valo máximo de la componente fundamental de la inducción [T]. F ˆR e el valo máximo de la fueza magnetomotiz eultante [A]. g e entehieo equivalente [m]. El entehieo equivalente e el entehieo geomético multiplicado po lo factoe de Cate del etato y del oto. El entehieo equivalente, in anua, peenta la mima eluctancia que el entehieo eal anuado. Haciendo el poducto e obtienen el flujo po polo paa la fundamental: Dl = µ FˆR [Wb] (33) pg Si e conidea un amónico, po ejemplo el teceo, donde hay un ciclo de la fundamental habá te ciclo de ee tece amónico, y la upeficie de uno de eo polo, e educe a la tecea pate de la upeficie de un polo de fundamental, figua 4: En geneal e puede pone: Reultando el flujo po polo: S S p π Dl = (34) p p = Dl Fˆ = µ R [Wb] (35) pg

13 3 π l π θ S p3 τ p Fig. 4. Supeficie pola paa el tece amónico. 4 FLUJO CONCATENADO Todo lo etudiado hata ahoa, tiene un caácte batante geneal, lo que igue etá oientado a lo aollamiento de fae, e deci aollamiento abieto con un pincipio y con un final. El valo máximo del flujo concatenado po una fae, e deci cuando el eje magnético de la fae coincide con la diección del campo magnético, etá dado po: ˆ λ [Wb] (36) = N kw Donde k w e el facto de aollamiento paa el amónico definido po la (9) y N e el númeo de epia en eie po fae e deci el númeo de epia en eie que hay ente lo bone de la fae. Cuando la fae tienen ama en paalelo, eta ama deben e toda iguale, a fin de evita coiente de ciculación ente ella, éta e una condición de imetía del aollamiento y N e el númeo de epia de una de ea ama. 3

14 5 TENSIONES INDUCIDAS EN UNA FASE A continuación e etudian la tenione inducida en una fae otóica que gia en un campo magnético, pimeo contante, luego otante y finalmente alteno. Al oto e lo conidea giando con velocidad angula ω contante definida po la ecuación (). 5. Fae en campo contante Como ya e dijo en el páafo un campo magnético contante e el que tiene amplitud contante y etá fijo epecto al aollamiento que lo poduce, en ete cao el campo etatóico podía eta geneado po medio de coiente continua o imane pemanente. En la figua 5 e mueta equemáticamente un oto cilíndico bipola giando dento de un flujo contante : = cte. θ ω Fig. 5. Fae en campo contante. Si bien el equema de la figua 5, po encillez, mueta una máquina bipola, i e conidean ángulo eléctico, la concluione que e obtienen, on aplicable a máquina de cualquie polaidad. Ademá e omitió el etato, el que puede e cilíndico o de polo aliente inditintamente, ya que al conidea la componente amónica de la inducción en el entehieo, la mima etaán ditibuida en foma coenoidal en el entehieo. El ángulo giado po el oto eá: θ = ω t + θ (37) El ángulo de fae inicial θ etá incluido a fin de genealiza la expeión. El flujo concatenado po la componente fundamental vale: λ N coθ (38) = k w La expeión anteio (38) olamente e válida cuando el oto e cilíndico ya que i poee aliencia la vaiación del flujo concatenado no eía una función coeno del ángulo y el eultado eultaía apoximado. En ealidad eta eticción no e muy limitativa, ya que la mayoía de la máquina poeen inducido cilíndico. Paa obtene la tenión inducida e aplica la ley de Faaday: dλ e = [V] (39) dt Deivando el flujo concatenado, dado po la (38), la componente fundamental queda: 4

15 Que e una tenión altena de pulación: π e = ω N kw co ωt + θ + (4) ω = π f (4) Cuya amplitud depende de la fecuencia de otación y u valo eficaz e: E π = f N kw Como tanto la fecuencia como la amplitud dependen de la velocidad de gio, a eta tenión inducida e la uele denomina de otación. Ete e el tipo de tenión inducida que apaece en la máquina incónica. Si e conidea un amónico de flujo de oden, po cada vuelta del oto el mimo encuenta p pae de polo, entonce la fecuencia y la pulación de la tenión inducida eultaán vece la coepondiente a la fundamental: (4) f = f (43) La velocidad de otación en adiane eléctico po egundo e puede genealiza paa el amónico de oden conideando la elación () que etablece que paa lo amónico lo ángulo e deben multiplica po el oden del amónico. Entonce la elación () e puede genealiza como: θ = θ = p θ (44) eléctico eléctico geomético Que i e la deiva epecto del tiempo, da la epectiva velocidade angulae de otación: Reemplazando en la expeión (4) eulta: Cuyo valo eficaz e: 5. Fae en campo giatoio e ω = ω = p Ω (45) π = ω N kw co ωt + θ + (46) E π = f N kw Cuando po el etato de la máquina cicula un itema polifáico de coiente, e poduce un campo giatoio en el cual cada componente amónica de la fueza magnetomotiz, poee amplitud y velocidad de gio contante y alguna e pueden anula. A continuación e analiza la tenión inducida en una fae otóica, que gia con velocidad angula ω dento de un flujo que ota con velocidad de campo ω c la que, en geneal y paa la fundamental, coincide con la pulación de la coiente que lo etán poduciendo. Eta ituación e mueta equemáticamente en la figua 6 donde e tomaon al oto y al campo giando en el mimo entido. (47) 5

16 ω θ θ c ω c Si: θ Fig. 6. Fae en campo giatoio. = ω t + θ θ = ω t El flujo concatenado po la fae eá: c c ( θc θ ) ( ω ω ) λ = N kwco λ = N kwco[ c t θ ] La tenión inducida en la fae e obtiene haciendo la deivada epecto del tiempo: dλ e = = dt ( ω ω ) N k ( ω ω ) t θ + (48) (49) π c w co c (5) Éta e una tenión altena cuya amplitud y cuya fecuencia dependen de la difeencia de velocidade ente el campo giatoio y la de otación de la fae. Fecuentemente e utiliza una vaiable denominada ebalamiento definida como: ω ω ω c = (5) c Si el oto gia en entido opueto al campo otante, en la expeione (49), (5) y (5), la velocidade angulae e debeán uma. La tenión inducida dada po la ecuación (5) e puede pone en función del ebalamiento como: π e = ωc N kw co ωc t θ + (5) De eta foma e puede ve que tanto la amplitud como la fecuencia dependen del ebalamiento, po ee motivo a eta tenión inducida e uele llama tenión de ebalamiento y e la que apaece en lo otoe de motoe aincónico o de inducción. Como ya e dijo, en la mayoía de lo cao, la velocidad de gio del campo de fundamental coincide con la pulación de la coiente que lo poducen, e deci: ω = ω = π f (53) c 6

17 Entonce la fecuencia de ebalamiento vale: f ωc π f = = π π = f Donde e toma el módulo del ebalamiento a fin de no obtene fecuencia negativa. El valo eficaz de la tenión de ebalamiento (5), eulta: E π = f N k w Como ya e habá podido apecia, eta tenión inducida e un cao paticula de la tenión inducida cuando el oto gia dento de un campo contante, etudiada en el punto 5., y uge de eemplaza la velocidad de otación ω po la velocidad elativa ente el campo y el oto ω c - ω. Si e tienen en cuenta lo flujo amónico habá que conidea u epectiva velocidade angulae y u epectivo entido de gio. Si el campo giatoio e poducido po un itema tifáico balanceado de coiente hay olamente campo amónico impae, lo múltiplo de te e cancelan y la velocidade de gio valen: (54) (55) ω ωc = (56) Ademá lo campo amónico de oden = + 3k con k = ; ; gian en entido opueto al de fundamental. Se puede defini un ebalamiento paa cada amónico haciendo: Ωc ± Ω nc ± n ωc ± ω ω ± ω = = = = (57) Ω n ω ω c c Coepondiendo el igno meno del numeado al cao en que el oto y el campo otante gian en el mimo entido, como en la figua 6, y el igno má al cao contaio. La elacione ente la velocidade angulae ω ; Ω y n on la dada po la ecuación () y ademá: ω c c ω Ω c = = (58) p p n c 6 f = (59) p Con la alvedade hecha má aiba epecto a la componente que e anulan y la que otan en entido contaio. En toda la expeione el númeo de pae de polo p e el que le coeponde a la componente fundamental del campo. La fecuencia de ebalamiento dada po la ecuación (54) e puede genealiza paa la amónica poniendo: f = f (6) Po lo expueto, la tenión inducida po lo amónico del campo giatoio eulta: 7

18 e = π ωc N k w co ωc t θ + (6) Cuando el campo giatoio etá poducido po un itema polifáico de coiente, y de acuedo a la ecuación 56, eulta: ω = ω = π f (6) c Igual a la pulación de la coiente. El valo eficaz de la tenión (6) e: 5.3 Fae en campo alteno E π = f N k w Si el aollamiento etatóico etá ecoido po una coiente altena monofáica, la fueza magnetomotiz y el campo magnético que e deaollan eán alteno: e deci u amplitude dependeán del valo intantáneo de la coiente, que e upone pefectamente inuoidal, y etaán fijo epecto al aollamiento inducto; po lo tanto el valo intantáneo del flujo po polo eá: φ = máx inω t (64) Donde la pulación del flujo e la de la coiente que lo etá poduciendo y vale: En la figua 7 e mueta eta ituación. (63) ω = π f (65) φ = máx en ω t θ ω Fig. 7. Fae en campo alteno. Igual que en lo cao anteioe, el ángulo θ etá dado po la expeión (37); y el flujo concatenado po toda la fae otóica eá: ( ω θ ) λ = N k inω t co t + w máx (66) Aplicando la ley de Faaday (39) e obtiene la tenión inducida en la fae otóica, la que poee do témino: dλ e = = ω N kw máx dt ω N k w coω t co máx inω t in ( ω t + θ ) ( ω t + θ ) (67) 8

19 Paa intepeta má fácilmente la expeión anteio (67), conviene deaolla lo poducto de funcione tigonomética de acuedo a la iguiente igualdade: Reultando: Odenándola queda: e = ω N k ω N k co co β = in in β = w w máx máx ω + ω e = N kw ω ω + N kw [ co( β ) + co( + β )] [ co( β ) co( + β )] { co[ ( ω ω ) t θ ] + co[ ( ω + ω ) t + θ ]} { co[ ( ω ω ) t θ ] co[ ( ω + ω ) t + θ ]} máx máx co co [( ω + ω ) t + θ ] [( ω ω ) t θ ] + (68) (69) (7) En la expeión anteio (7) e puede ve que la tenión inducida e altena y poee do componente: una de la cuale tiene amplitud y fecuencia popocionale a la uma y la ota popocional a la difeencia de la pulacione de la excitación ω y de otación ω, po tal motivo uele llamae biamónica. En la figua 8 e mueta un ejemplo de una tenión biamónica en la que ω = 3 / y ω = 5 /. Ete tipo de tenión inducida y la coiente po ella poducida, e encuentan peente en lo otoe de lo motoe de inducción monofáico. Si ω = ω, e deci el oto gia a velocidad incónica, la componente difeencia de la tenión inducida, e anula y olamente queda la componente uma, con una fecuencia igual al doble de la del flujo alteno que la etá poduciendo, nomalmente el doble de la fecuencia de ed, ecuación (7). Si ω = la tenión inducida olamente poee una componente de la fecuencia con la que pula el flujo y la amplitud de la mima depende del coeno del ángulo θ, ecuación (7), cuando éte ángulo vale ceo, hay máximo acoplamiento y la tenión e máxima. La máquina e compota como un tanfomado de acoplamiento vaiable. Si ω = ω : e = ω N k co( ω t + θ ) w máx (7) Si ω = : e = ω N kw máx coθ coω t (7) Lo valoe eficace de cada una de la componente de la (7) eán: 9

20 E E + = = π π ( f + f ) máx ( f f ) N k máx N k w w (73) e,5,5,75,,5,5,75 Tiempo [] Fig. 8. Tenión biamónica. Donde la fecuencia f y f on la que eultan de la ecuacione (4) y (65). El valo eficaz de toda la tenión biamónica (7) e puede detemina como en el cao de una poliamónica: + ( E ) + ( ) E = E (73) Una jutificación má fenomenológica del po qué e poduce una tenión inducida con do componente e puede ealiza en bae al teoema de Leblanc. Figua 9. φ = en ω t máx ω máx ω ω máx Fig. 9. Teoema de Leblac. En efecto, de acuedo a dicho teoema, un campo alteno e puede decompone en do campo giatoio, de amplitud igual a la mitad del máximo del alteno, que otan a velocidad incónica ω y en entido opueto. Po lo tanto e puede conidea que la tenión inducida e la uma de do tenione de ebalamiento: una debida la campo que gia en mimo entido que el oto, dando una amplitud y una fecuencia popocionale a la difeencia de velocidade; y ota

21 debida al campo que gia en entido opueto al oto, dando una amplitud y una fecuencia popocionale a la uma de la velocidade. Si e conidean la componente amónica de flujo que genea el aollamiento, cada una de ella pulaá de la mima foma que lo hace la coiente e deci con ω, e deci: φ = máx inω t (75) Mienta que lo ángulo en el entehieo y, conecuentemente la velocidad angula de otación, e veán multiplicado po el oden del amónico, ecuacione (44) y (45). Po lo tanto el flujo concatenado po la fae eultaá: λ ( ω θ ) = N kw máx inω t co t + (76) Haciendo la deivada de eta expeión y odenando lo témino, como e hizo paa la componente fundamental, e llega a: e ω + ω = N k ω ω + N k w w máx máx co co [( ω + ω ) t + θ ] [( ω ω ) t θ ] + (77) Expeión a la que también e puede llega aplicando el teoema de Leblanc. 6 ILIOGRAFÍA Manuel Coté Cheta: Cuo Modeno de Máquina Eléctica Rotativa Tomo I La máquina Eléctica en Geneal. Editoe Técnico Aociado S. A., 97. M. P. Kotenko y L. M. Piotovki: Máquina Eléctica Volumen II, Montane y Simon S. A., 968. Michael Liwhitz-Gaik y Clyde C. Whipple: Máquina de Coiente altena Compañía Editoial Continental CECSA, 97. Alexande S. Langdof: Teoía de la Máquina de Coiente Altena Editoial Mac. Gaw Hill, México, 967. Cliffod. Gay: Máquina Eléctica Edicione Alfaomega, México, 993. Stephen J. Chapman: Máquina Eléctica Mac. Gaw Hill Inteameicana, cuata edición, 5. John Hindmach: Máquina Eléctica y u Aplicacione Umo S. A. de Edicione, 975. Lui S. Iibanegaay: Fundamento de Máquina Eléctica Rotativa Macombo Editoe, 989. Leande W. Match: Máquina Electomagnética y Electomecánica Repeentacione y Sevicio de Ingenieía S. A. México97. Nobeto A. Lemozy: Fueza Magnetomotice en Aollamiento a Anillo Apunte de Cáteda, 7. Nobeto A. Lemozy, agoto de 8