El plano cartesiano y gráfica de ecuaciones

Transcripción

1 Capítulo 2 El plano cartesiano y gráfica de ecuaciones 2.1. El plano cartesiano Para representar puntos en un plano, definidos por un par ordenado de números reales, se utiliza generalmente el sistema de coordenadas rectangulares, que se caracteriza por: Estar formado por dos rectas reales dirigidas, mutuamente perpendiculares, llamadas ejes coordenados: eje X (eje de las abscisas), normalmente horizontal y eje Y (eje de las ordenadas), normalmente vertical. 28

2 Resumen de contenidos El punto de intersección de los dos ejes es el origen del sistema, y se denota por O. El eje X está orientado (crece) de izquierda a derecha y el eje Y de abajo hacia arriba. El número 0 de ambos ejes se ubica en el origen del sistema. Plano cartesiano La posición de un punto P en el plano cartesiano queda determinado por un par de números reales (a, b), donde Los números a y b reciben el nombre de coordenadas del punto P. La primera coordenada, a, recibe el nombre de abscisa de P. La segunda coordenada, b, recibe el nombre de ordenada de P. La abscisa de P corresponde a la distancia dirigida de P al eje Y. La ordenada de P corresponde a la distancia dirigida de P al eje X. Posición de un punto Es claro que los ejes coordenados dividen al plano en 4 sectores. Estos sectores reciben el nombre de cuadrantes. Los cuadrantes se designan por I, II, III y IV, tal como se muestra en la siguiente figura: Instituto de Matemática y Física 29 Universidad de Talca

3 Resumen de contenidos Cuadrantes En la siguiente figura se muestran las posiciones de 4 puntos con sus respectivas coordenadas: Coordenadas de puntos 2.2. Distancia entre dos puntos del plano La distancia entre dos puntos del plano P = (x 1, y 1 ) y Q = (x 2, y 2 ), que se denota por d(p, Q), viene dada por la fórmula: d(p, Q) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Instituto de Matemática y Física 30 Universidad de Talca

4 Resumen de contenidos 2.3. Punto medio de un segmento El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son P = (x 1, y 1 ) y Q = (x 2, y 2 ), que se denota por M(P, Q), viene dada por la fórmula: ( x1 + x 2 M(P, Q) =, y ) 1 + y Gráfica de ecuaciones Una ecuación es una relación entre las variables x e y. Ejemplos de ecuaciones son: x = 1, x + 2y = 6, x 2 + (y 3) 2 = 4, y 2 = x 2, y = 2x 2 3x + 6 Graficar una ecuación es representar en un plano cartesiano el conjunto de todos los puntos (x, y) que la satisfacen. Para ello, en general, se procede de la siguiente manera: Paso 1 Construir una tabla de valores, del tipo: x y para algunos valores de x y sus correspondientes valores de y. Paso 2 Graficar en un sistema de coordenadas los puntos obtenidos en la tabla de valores precedente. Paso 3 Unir con una curva suave los puntos recién graficados. Observación: En caso de tener alguna duda al trazar la curva (en el paso 3) se debe refinar la tabla de valores, agregando nuevos puntos de la curva. Instituto de Matemática y Física 31 Universidad de Talca

5 Resumen de contenidos 2.5. Ayudas para graficar ecuaciones Algunas veces es de utilidad, en la obtención del gráfico de una ecuación, realizar los siguientes estudios Intersecciones con los ejes coordenados Intersecciones con el eje X Para determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el gráfico de una ecuación intersecta al eje X, se sustituye en la ecuación y por 0 y se despeja la variable x. Intersecciones con el eje Y Para determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el gráfico de una ecuación intersecta al eje Y, se sustituye en la ecuación x por 0 y se despeja la variable y. Así por ejemplo, la ecuación y = x 2 4 intersecta al eje X en los puntos ( 2, 0) y (2, 0), y al eje y en el punto (0, 4). Esta situación se muestra en el siguiente gráfico: Intersecciones con los ejes coordenados de la ecuación y = x Simetría respecto al eje X El gráfico de una ecuación es simétrica respecto al eje X, cuando al cambiar en la ecuación la variable y por y, la ecuación no cambia. Es decir, (x, y) gráfico = (x, y) gráfico Nota: Geométricamente, el gráfico de una ecuación es simétrico respecto al eje X, cuando al girar el gráfico en torno al eje X, su parte superior e inferior coinciden. Ejemplos de ecuaciones cuyas gráficas son simétricas respecto al eje X son: x + y 2 = 5, x 3 + y 4 = 10, xy 2 + x 2 y 6 = 10 Así, por ejemplo, los gráficos de las dos primeras ecuaciones son: Instituto de Matemática y Física 32 Universidad de Talca

6 Resumen de contenidos Gráfico de ecuaciones simétricas respecto al eje X Simetría respecto al eje Y El gráfico de una ecuación es simétrica respecto al eje Y, cuando al cambiar en la ecuación la variable x por x, la ecuación no cambia. Es decir, (x, y) gráfico = ( x, y) gráfico Nota: Geométricamente, el gráfico de una ecuación es simétrico respecto al eje Y, cuando al girar el gráfico en torno al eje Y, su parte derecha e izquierda coinciden. Ejemplos de ecuaciones cuyas gráficas son simétricas respecto al eje Y son: x 2 + y = 5, x 4 + y 3 = 10, x 2 y + x 4 y 2 = 10 Así, por ejemplo, los gráficos de las dos primeras ecuaciones son: Gráfico de ecuaciones simétricas respecto al eje Y Instituto de Matemática y Física 33 Universidad de Talca

7 Resumen de contenidos Simetría respecto al origen Diseño formado al hacer pasar rayos X a través de un cristal esférico El gráfico de una ecuación es simétrica respecto al origen, cuando al cambiar simultáneamente en la ecuación la variable x por x y la variable y por y, la ecuación no cambia. Es decir: (x, y) gráfico = ( x, y) gráfico Ejemplos de ecuaciones cuyas gráficas son simétricas respecto al origen son: x 2 + 2y 2 = 5, xy = 10, x 2 y 2 + x 4 y 2 = 10 Así, por ejemplo, los gráficos de las dos primeras ecuaciones son: Gráfico de ecuaciones simétricas respecto al origen Instituto de Matemática y Física 34 Universidad de Talca

8 Resumen de contenidos 2.6. La circunferencia Dados C = (h, k) un punto del plano y r > 0. Se llama circunferencia, con centro C y radio r, al conjunto de todos los puntos del plano P = (x, y) que cumplen d(p, C) = r Gráfico de una circunferencia de centro (h, k) y radio r 1. La circunferencia de centro (h, k) y radio r, tiene ecuación: (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Es claro que, si se desarrolla la ecuación precedente, se obtiene que la ecuación de una circunferencia se puede escribir: donde D = 2h, E = 2k y F = h 2 + k 2 r 2. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (2.1) 2. La circunferencia de centro en el origen y radio r, tiene ecuación: x 2 + y 2 = r 2 Instituto de Matemática y Física 35 Universidad de Talca

9 Resumen de contenidos Nota: La ecuación 2.1 no siempre representa una circunferencia. Ella representa una circunferencia cuando: = D 2 + E 2 4F > 0, en tal caso su centro es ( D, E ) y su radio 2 2 es 2 1 D2 + E 2 4F. Si = 0, 2.1 representa el punto ( D, E ) y si < 0, no hay puntos que satisfagan La línea recta La ecuación general de una recta es con A 0 o B 0. Ax + By + C = 0 (2.2) Sea L una recta y P 1 = (x 1, y 1 ) y P 2 = (x 2, y 2 ) dos puntos (distintos) de la recta L. Se llama pendiente de la recta L a m L = y x = y 2 y 1 x 2 x 1, con x 1 x 2. Nota: En la ecuación general de la recta 2.2, la pendiente es m = A/B. La ecuación de la recta que pasa por el punto P = (a, b) y tiene pendiente m es y b = m(x a) Nota: En este caso no se incluyen las rectas verticales. Por qué?. La ecuación de una recta vertical que intersecta al eje X en el punto (a, 0), es x = a. Observación: Sean L 1 y L 2 dos rectas con pendientes m 1 y m 2 respectivamente. Entonces: L 1 L 2 m 1 = m 2 L 1 L 2 m 1 m 2 = 1 Instituto de Matemática y Física 36 Universidad de Talca

10 Resumen de contenidos 2.8. Sistema de ecuaciones lineales (SEL) Conceptos básicos Un conjunto de dos ecuaciones lineales ax + by = c px + qy = r ( ) con dos incógnitas o variables x e y, se denomina sistema de dos ecuaciones lineales, donde a, b, p y q son los coeficientes del sistema, y los términos c y r son los términos independientes o constantes del sistema. Los coeficientes y las constantes del sistema representan números reales. Una solución de un SEL con dos incógnitas, es todo par ordenado de números reales (a, b), que satisfacen cada una de las ecuaciones que conforman el sistema. Al proceso de determinar todas las soluciones de un sistema se le denomina: resolver el sistema. En general, un SEL, puede tener o no soluciones. En el primer caso se dice consistente, y en el segundo inconsistente. Cuando un SEL es consistente, puede tener una única solución, o bien infinitas soluciones. Para resolver un SEL existen cuatro métodos: tres algebraicos y uno gráfico Métodos algebraicos para resolver un SEL 1. Método de sustitución. Pasos: Despejar una de las incógnitas (cualquiera) de una de las ecuaciones. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación. Instituto de Matemática y Física 37 Universidad de Talca

11 Resumen de contenidos Resolver la ecuación (lineal) obtenida. Con esto se obtiene el valor de una de las variables. Para obtener el valor de la otra variable, sustituir el valor de la variable recién encontrada en la primera relación. 2. Método de igualación. Pasos: Despejar una misma incógnita (cualquiera) de cada una de las ecuaciones que conforman el sistema. Igualar las expresiones obtenidas. Luego, continuar de la misma manera del método anterior. 3. Método de reducción. Pasos: Multiplicar ambas ecuaciones por números adecuados, de modo de igualar los coeficientes de una de la variables (en ambas ecuaciones). Restar las ecuaciones obtenidas. De la ecuación obtenida en el paso anterior, despejar su variable. Luego, continuar de la misma manera del método anterior. Nota: El SEL ( ) tiene: Una única solución cuando aq pb 0, o bién cuando a p = b q Ninguna solución cuando a p = b q c r Infinitas soluciones cuando a p = b q = c r Método gráfico para resolver un SEL Como el gráfico de una ecuación lineal es una línea recta, el conjunto solución del sistema ( ), se puede encontrar gráficamente, realizando los siguientes pasos: 1. Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las rectas correspondientes a las dos ecuaciones lineales que conforman el sistema. 2. Por inspección visual, determinar el (o los) punto(s) comun(es) a ambas rectas. Estos puntos constituyen la solución del sistema. Instituto de Matemática y Física 38 Universidad de Talca

12 Resumen de contenidos Nota: Desde el punto de vista gráfico, las distintas posibilidades de solución de un SEL, corresponden a: El sistema ( ) tiene exactamente una solución. En este caso los gráficos de las ecuaciones lineales se cortan en un punto, que corresponde justamente a la solución del sistema. Ejemplo: Sistema de ecuaciones: x + 2y = 4 3x y = 5 (1) Luego, la solución del sistema (1) es (2, 1). Ecuaciones x + 2y = 4 y 3x y = 5 El sistema no tiene solución. En este caso los gráficos de las ecuaciones lineales corresponden a dos rectas paralelas (no coincidentes). Ejemplo: Sistema de ecuaciones: x + 2y = 4 x + 2y = 6 (2) Ecuaciones x + 2y = 4 y x + 2y = 6 Instituto de Matemática y Física 39 Universidad de Talca

13 Resumen de contenidos Luego, este sistema (2) no tiene solución. El sistema tiene un número infinito de soluciones. Aquí los gráficos son rectas que coinciden. Ejemplo: Sistema de ecuaciones: x + 2y = 4 2x + 4y = 8 (3) Ecuaciones x + 2y = 4 y 2x + 4y = 8 Luego, el sistema (3) tiene infinitas soluciones. Instituto de Matemática y Física 40 Universidad de Talca

14 Ejemplos 2.9. Ejemplos 1. Identificar y graficar todos los puntos del plano cartesiano que cumplen la condición x = 3. Solución: Los puntos a determinar satisfacen que su distancia (positiva) al eje Y es igual a 3, por lo tanto, ellos están ubicados en una recta paralela al eje Y, que se encuentra a 3 unidades, a la derecha del eje Y. Gráfico de x=3 2. Identificar y graficar todos los puntos del plano cartesiano que cumplen la condición (x + 2)(y 3) = 0. Solución: Como los puntos a determinar satisfacen la condición (x + 2)(y 3) = 0, se tiene que ellos cumplen x + 2 = 0 o y 3 = 0, es decir, x = 2 o y = 3. Por lo tanto, son los puntos que están a 2 unidades del eje Y (recta vertical que pasa por el punto ( 2, 0)) o 3 unidades del eje X (recta horizontal que pasa por el punto (0, 3)). Gráfico de (x + 2)(y 3) = 0 Instituto de Matemática y Física 41 Universidad de Talca

15 Ejemplos 3. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto A = (3, 2). Si la abscisa del otro extremo B es 6, determinar su ordenada. Solución: Como d(a, B) = 5, se tiene de donde y = 6 o y = 2 (6 3)2 + (y ( 2)) 2 = 5 /() (y + 2) 2 = 25 y 2 + 4y 12 = 0 (y + 6)(y 2) = 0 Luego, la ordenada del punto B puede ser 6 o Decidir si el triángulo cuyos vértices son los puntos A = (0, 0), B = (2, 4) y C = (4, 3) es o no un triángulo rectángulo. Solución: Como la d(a, B) = 20, d(b, C) = 5 y d(a, C) = 5, se tiene que d(a, B) 2 + d(b, C) 2 = d(a, C) 2 luego, por el Teorema de Pitágoras, el triángulo propuesto es rectángulo. 5. Considerar los siguientes puntos del plano cartesiano: A = (1, 2), B = (5, 10) y C = (10, 5). a) Determinar una ecuación de la recta L que pasa por los puntos A y B. b) Encontrar una ecuación de la recta M que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta L. c) Sea P el punto de intersección entre las rectas L y M. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A, C y P. Solución: a) m L = 10 2 = 8 = 2. Luego, eligiendo el punto A, la ecuación de la recta L es y 2 = 2(x 1), es decir: 2x y = 0 b) m M = 1. Luego, eligiendo el punto C, la ecuación de la recta M es y 5 = (x 10), es decir: x + 2y = 20 c) Para buscar P, se resuelve el sistema: Instituto de Matemática y Física 42 Universidad de Talca

16 Ejemplos 2x y = 0 Ec. de la recta L x + 2y = 20 Ec. de la recta M de donde P = (4, 8) Una figura que resume todo lo anterior (y destaca el triángulo al que se le debe calcular el área) es: d(ap ) = = 45, d(p C) = ( 3) 2 = 45. Por lo tanto, el área del triángulo AP C ( recto en P!) es = 2 2 = 22,5 (u. de longitud)2. 6. Graficar la ecuación y 2 = x2 (2 x) (Estrofoide recto). 2 + x Solución: En primer lugar, observemos que los valores que puede tomar la variable x, deben cumplir 1 : 2 x 2 + x 0 Ahora bien, los x que satisfacen la relación precedente son los x que están entre 2 y 2, excluyendo al 2 ( por qué?). Ahora construyamos una tabla de valores: x 1,5 1 0, y ±3,96 ±1,73 ±0,65 0 ±0,39 ±0,58 ±0,57 0 Observar que para para algunos valores de x hay dos valores de y. A continuación, en un plano cartesiano se dibujan los puntos de la tabla anterior y luego (uniendo con una curva suave) se hace un esbozo del gráfico de la ecuación y 2 = x2 (2 x) 2 + x : 1 por qué? Instituto de Matemática y Física 43 Universidad de Talca

17 Ejemplos Gráfico de algunos puntos de y 2 = x2 (2 x) 2 + x Gráfico de y 2 = x2 (2 x) 2 + x 7. Estudiar intersecciones con los ejes coordenados y simetrías de la curva de ecuación 3x 3 y 2 + x 2 + x + 32y 4 = 2 ( ) Solución: a) Intersecciones con el eje X: Haciendo y = 0 en ( ) se obtiene la ecuación x 2 + x = 2. Resolviendo esta ecuación cuadrática se obtiene x = 1 y x = 2. Por lo tanto, la curva corta al eje X en los puntos (1, 0) y ( 2, 0). b) Intersecciones con el eje Y: Haciendo x = 0 en ( ) se obtiene la ecuación 32y 4 = 2. Resolviendo esta ecuación se obtiene y = 1/2 y y = 1/2. Por lo tanto, la curva corta al eje Y en los puntos (0, 1/2) y (0, 1/2). c) Simetría respecto al eje X: Sustituyendo y por y en ( ) se obtiene: 3x 3 y 2 + x 2 x + 32y 4 = 2. Como esta ecuación es igual a ( ), se obtiene que la ecuación ( ) es simétrica respecto al eje X. d) Simetría respecto al eje Y : Sustituyendo x por x en ( ) se obtiene: 3x 3 y 2 + x 2 x+32y 4 = 2. Como esta ecuación es diferente a ( ), se obtiene que la ecuación ( ) no es simétrica respecto al eje Y. e) Simetría respecto al origen: Sustituyendo x por x e y por y en ( ) se obtiene 3x 3 y 2 + x 2 x + 32y 4 = 2. Como esta ecuación es distinta a ( ), la ecuación ( ) no es simétrica respecto al origen. Gráfico de 3x 3 y 2 + x 2 + x + 32y 4 = 2 Instituto de Matemática y Física 44 Universidad de Talca

18 Ejemplos 8. Considerar los puntos A = (1, 5) y B = (7, 3). a) Encontrar un punto del plano que equidiste (esté a igual distancia) de los puntos A y B. b) Determinar la ecuación que satisfacen todos puntos que equidistan de A y B. c) Graficar la ecuación obtenida en (b). Solución: a) Un punto que claramente equidista de A y B es el punto medio del segmento AB. Este punto es (4, 4). b) Sea P = (x, y) un punto que equidista de A y B. Luego, d(p, A) = d(p, B) luego : (x 1)2 + (y 5) 2 = (x 7) 2 + (y 3) 2 elevando al cuadrado (x 1) 2 + (y 5) 2 = (x 7) 2 + (y 3) 2 desarrollando y simplificando 3x y = 8 Por lo tanto, la ecuación que satisfacen los puntos buscados es 3x y = 8. c) El gráfico de 3x y = 8 es: 9. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (0, 0); B = (3, 6) y C = (7, 0), indicando su centro y radio. Solución: La ecuación general de la circunferencia es: ( ) x 2 +y 2 +Dx+Ey +F = 0. Como los tres puntos dados están en la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer ( ), sustituyendo los puntos A, B y C en ( ) se tiene respectivamente: D + 0 E + F = D + 6 E + F = D + 0 E + F = 0 Instituto de Matemática y Física 45 Universidad de Talca

19 Ejemplos es decir, F = 0 3D + 6E + F = 45 7D + F = 49 Resolviendo este sistema, se obtiene: F = 0, D = 7, E = 4. Luego, la ecuación de la circunferencia es: x 2 + y 2 7x 4y = 0. Para determinar su centro y radio se escribe la ecuación en la forma: (x h) 2 + (y k) 2 = r 2, lo que se logra por el método de completar cuadrados. x 2 7x y2 4y = 0 ( x 2 7x + 49 ) + (y 2 4y + 4) = ( x 7 2 ( 65 + (y 2) 2) 2 = 2 De donde el centro de la circunferencia es ( 7 2, 2) y su radio ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: x 2y 1 = 0, y, x + 3y 6 = 0. Solución: Para determinar el centro de la circunferencia buscada, debemos encontrar el punto de intersección de las rectas. Para ello se debe resolver el sistema: x 2y = 1 x + 3y = 6 Restando ambas ecuaciones, se tiene 5y = 5, de donde y = 1. Reemplazando el valor encontrado de y en (por ejemplo) la primera ecuación, se obtiene x 2 1 = 1, de donde x = 3. Por lo tanto, el centro de la circunferencia es el punto P = (3, 1). Ahora, como la circunferencia pasa por el origen, su radio es: r = = 10 Luego, la ecuación de la circunferencia con centro en P y radio 10, es: es decir, o bien, desarrollando: (x 3) 2 + (y 1) 2 = ( 10) 2 (x 3) 2 + (y 1) 2 = 10 x 2 6x + y 2 2y = 0 Instituto de Matemática y Física 46 Universidad de Talca

20 Ejemplos Ecuación x 2 6x + y 2 2y = Determinar la ecuación de la línea recta L que pasa por el punto ( 3, 6) y de pendiente 1. Solución: La ecuación buscada es de la forma y = f(x) = mx + b, en donde m = 1. Como ( 3, 6) L, entonces 6 = ( 1)( 3) + b, con lo cual se obtiene b = 3; así la ecuación de la recta es y = 3 x. 12. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6), y calcular su pendiente. Solución: La ecuación buscada es de la forma y = mx+b, en donde m y b son números reales, b es la ordenada en el origen y m es la pendiente de la recta. Como se conocen dos puntos (de la gráfica de f) con distintas abscisas, entonces se puede calcular la pendiente m: 6 ( 2) m = = 4, Así, y = 4x + b 2 1 Falta sólo determinar b, para ello se elige uno de los puntos dados, por ejemplo, (1, 2) cuyas coordenadas x = 1 e y = 2 tienen que satisfacer la ecuación y = 4x + b, es decir, 2 = 4(1) + b, de donde se obtiene que b = 2. Por lo tanto, la ecuación lineal buscada es y = 4x Hallar el valor de k para que la recta L 1 : kx + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta L 2 : 3x 2y 11 = 0. Solución: La pendiente de L 1 es m 1 = k y la de L k+1 2 es m 2 = 3. Para que dos rectas 2 sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser 1, luego k k = 1, de donde k = 2 Instituto de Matemática y Física 47 Universidad de Talca

21 Ejemplos 14. La suma y el producto de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10 y 12 respectivamente. Hallar la ecuación de la recta que cumple con estas condiciones. Solución: Sea L : y = mx + b la ecuación de la recta buscada. Intersección de L con el eje X: y = 0 = x = b m. Intersección de L con el eje Y : x = 0 = y = b De la primera condición se obtiene b + b = 10 y de la segunda ( b )b = 24, de m m donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: b m + b = 10 b 2 = 24m De la segunda ecuación m = 24 b2. Sustituyendo este valor en la primera ecuación tenemos: 24 b + b = 10 / b 24 + b 2 = 10b b 2 10b + 24 = 0 de donde b = 6 o b = 4. Si b = 6, entonces m = 3 2 y si b = 4, entonces m = 2 3. Luego, el problema tiene dos soluciones que son: 3x + 2y 12 = 0 y 2x + 3y 12 = Considerar el siguientes sistema de ecuaciones lineales: (a) αx + 1y = 5 x + αy = 5 a) Para qué valores de α el sistema tiene: una única solución? infinitas soluciones? ninguna solución? b) Determinar su solución, cuando tiene una única solución. Solución: a) Única solución: Para ello: α 2 1 0, es decir cuando α 1 y α 1. Por lo tanto, el sistema tiene una única solución cuando α 1 y cuando α 1. Instituto de Matemática y Física 48 Universidad de Talca

22 Ejemplos Ninguna solución: Para ello: α 1 = 1 α 5 5. De la igualdad: α 2 = 1, es decir α = 1 o α = 1. De la desigualdad: α 1. Por lo tanto el sistema no tiene soluciones cuando α = 1. Infinitas soluciones: Para ello: α 1 = 1 α = 5. Trabajando de manera análoga al caso precedente, 5 se obtiene α = 1. Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones cuando α = 1. b) Multiplicando la segunda ecuación por α: αx + 1y = 5 αx α 2 y = 5α sumando término a término: (1 α 2 )y = 5(1 + α), de donde y = 5 1 α. Reemplazando el valor encontrado de y en la primera (o segunda) ecuación del sistema, se obtiene que x = 5 α 1. ( ) 5 Luego, en el caso que el sistema tenga única solución, su solución es: α 1, 5 1 α 16. Estudiando una familia de sistemas de ecuaciones Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a) 3x + 4y = 5 7x + 8y = 9 (b) 20x 19y = 18 4x + 5y = 6 (c) 13x + 14y = 15 9x 8y = 7 a) Qué tienen de particular los coeficientes de las ecuaciones que conforman los sistemas dados? b) Resolver estos SEL. Qué se puede observar en las soluciones obtenidas? c) En base a las soluciones de estos sistemas, establecer una conjetura. d) Verificar la conjetura planteada en (c). Solución: a) En cada ecuación los coeficientes son tres enteros consecutivos. b) Resolvamos el sistema (a). Multiplicando la primera ecuación por 7 y la segunda por 3, se obtiene: 21x + 28y = 35 21x 24y = 27 Instituto de Matemática y Física 49 Universidad de Talca

23 Ejemplos sumando término a término, se tiene: 4y = 8, de donde y = 2. Sustituyendo el valor encontrado de y en la primera ecuación: 3x = 5. De donde x = 1. Por lo tanto, el sistema (a) tiene, como única solución a ( 1, 2). Análogamente, usando este mismo método (u otro), se obtiene que también la solución de los sistemas (b) y (c) es ( 1, 2). Luego, se puede observar que los 3 SEL propuestos tienen como solución común a ( 1, 2). c) La conjetura propuesta es: Todos los sistemas de ecuaciones lineales, en que los coeficientes de ambas ecuaciones son tres enteros consecutivos, tienen como solución a ( 1, 2). d) Para verificar la conjetura, consideremos el siguiente SEL: ax + (a + 1)y = a + 2 bx + (b + 1)y = b + 2 ( ) con a, b Z y a b. Multiplicando la primera ecuación de ( ) por b y la segunda por a, se obtiene: abx + (ab + b)y = ab + 2b abx (ab + a)y = ab 2a sumando término a término, se tiene: (b a)y = 2b 2a, de donde y = 2. Sustituyendo el valor encontrado de y en la primera ecuación: ax + (a + 1) 2 = a + 2. De donde x = 1. Por lo tanto la solución del sistema ( ) es ( 2, 1). 17. Se conoce en física (Ley de Hooke) que la relación entre la elongación s de un resorte y el peso w que lo causa es lineal. Un peso de 10 libras estira un resorte 1 pulgada, y sin el peso el estiramiento es 0. a) Encontrar la función lineal que representa esta relación. b) Determinar la longitud del estiramiento para un peso de 30 libras. c) Calcular el peso que determina un alargamiento de 5 pulgadas. d) Graficar esta función para 0 w 40. Instituto de Matemática y Física 50 Universidad de Talca

24 Ejemplos Solución: a) Como la función entre s y w es lineal, ella tiene la forma s = f(w) = aw + b para ciertas constantes a y b. Como s = 0 cuando w = 0, se tiene que 0 = a 0 + b, de donde b = 0. Luego, la función tiene la forma s = f(w) = aw. Como s = 1 cuando w = 10, se tiene que 1 = 10a, de donde a = 1/10. Por lo tanto, la función lineal buscada es s = f(w) = w/10. b) Si w = 30, s = 30/10 = 3. Luego, para un peso de 30 libras el estiramiento es de 3 pulgadas. c) Si s = 5, 5 = w/10. De donde w = 50. Luego, para que el estiramiento sea de 5 pulgadas, el peso debe ser de 50 libras. d) El gráfico para 0 w 40 es: Gráfico de s = f(w) = w/ En un laboratorio de química hay dos tipos de probetas: probetas tipo A y probetas tipo B. El número de probetas tipo A son 7 más que las del tipo B. Si en total hay 52 probetas, determinar el número de probetas tipo B. Solución: Sean x = número de probetas tipo A y = número de probetas tipo B Como en total hay 52 probetas: x + y = 52 El número de probetas tipo A son 7 más que el del tipo B: x = 7 + 2y. Luego, este problema viene modelado por el siguiente SEL: x + y = 52 x = 7 + 2y Instituto de Matemática y Física 51 Universidad de Talca

25 Ejemplos Resolvamos este SEL: reemplazando x = 7 + 2y en la ecuación x + y = 52 se tiene 7 + 2y + y = 52. De donde y = 15. Por lo tanto, en el laboratorio hay 15 probetas tipo B. 19. La presión p del agua de mar bajo la superficie aumenta 14,7 libras por pulgada 2 por cada 33 pies de profundidad bajo la superficie. Si la presión sobre el agua es de 14,7 libras por pulgada 2 : a) Establecer la ecuación lineal que relaciona la presión p (en libras por pulgada al cuadrado) con la profundidad de d (en pies) bajo la superficie. b) Cuál es la presión a la que se encuentra sometida una persona que está a 100 pies de profundidad? c) A qué profundidad se encuentra un buzo si observa que la presión es 165 libras por pulgada 2? Solución: a) Sea d la variable que representa la profundidad bajo la superficie. Elijamos d como variable independiente (en eje X). Es claro que la relación entre estas variables es lineal. De acuerdo a la información entregada, se tiene que: p d 14,7 0 29,4 33 La pendiente de la recta buscada es: m = Por lo tanto, la ecuación lineal buscada es 29,4 14, ,445 p = 14,7 + 0,445d ( ) b) Para determinar la presión a la que se encuentra sometida una persona que está a 100 pies de profundidad, simplemente se sustituye en la relación ( ), d = 100: p = 14,7 + 0, = 59, 2 Por lo tanto, la presión pedida es de 59, 2 libras por pulgada al cuadrado. c) Para buscar la profundidad solicitada, se reemplaza p = 165 en ( ): 165 = 14,7 + 0,445 d Resolviendo esta ecuación, se obtiene d = 337, Por lo tanto, la profundidad pedida es de 338 pies. Instituto de Matemática y Física 52 Universidad de Talca

26 Ejemplos 20. Se calienta agua en un recipiente, y se miden los valores siguientes de la temperatura versus el tiempo de cocción. tiempo (t en seg) Temperatura (T en C) a) Determinar un modelo lineal, que muestre la dependencia entre el tiempo de cocción del agua y su temperatura. b) Cuál será la temperatura a los 2 minutos de cocción? c) En cuánto tiempo hervirá el agua? Solución: a) La pendiente de la ecuación de la recta buscada es: m = = 0, Luego, m = 0,38. Por lo tanto, el modelo lineal es T 20 = 0,38(t 20), es decir: T = 0,38 t + 12,4 ( ) b) Para buscar la temperatura pedida se reemplaza t = 120 en ( ): T = 0, ,4 = 58 Luego, la temperatura a los 2 minutos de cocción es de 58 C. c) Como se sabe, el agua en condiciones normales, hierve a 100 C. Luego: 100 = 0,38 t + 12,4 resolviendo esta ecuación, se obtiene t = 230, Por lo tanto, en las condiciones del problema, el agua demora 231 segundos en hervir. Instituto de Matemática y Física 53 Universidad de Talca

27 Ejercicios Ejercicios 1. Determinar los puntos que dividen en cuatro partes iguales al segmento con extremos A = (1, 8) y B = ( 5, 40). 2. Encontrar un punto del eje Y que equidiste de los puntos A = (5, 5) y B = (1, 1) 3. Determinar si los puntos A(2, 6), B(0, 2) y C( 3, 4), son colineales, o sea, si pertenecen a la misma recta. 4. Determinar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de sus lados son (2, 4), (6, 6) y ( 4, 2). 5. Dados los puntos A = ( 2, 9), B = (4, 6), C = (1, 0) y D = ( 5, 3): a) Decidir si el triángulo ABD es rectángulo. b) Decidir si cuadrilátero ABCD es un cuadrado. c) Calcular el área del cuadrilátero ABCD. 6. Dada la ecuación: (E) : 30y = x(39 10x 2 + x 4 ) se pide: a) Completar la siguiente tabla de valores: x y b) Graficar los puntos anteriores, y en base a ellos esbozar un posible gráfico de la ecuación (E). Qué curva parece ser el gráfico de (E). c) Completar la tabla de valores para otros valores de x, por ejemplo, 2, 4, 2, y 4. d) Incorporar estos nuevos puntos del gráfico de (E) y con ellos esbozar nuevamente un gráfico para la ecuación (E). e) Qué enseñanza le deja esta actividad? 7. En cada caso, determinar la ecuación de los puntos que satisfacen las condiciones indicadas y graficar. Instituto de Matemática y Física 54 Universidad de Talca

28 Ejercicios a) Su ordenada es igual al 50 % de su abscisa. b) Su distancia al punto ( 2, 3) es igual a 25. c) El producto de sus coordenadas es igual a 6. d) Su distancia al origen es el doble de su distancia al punto (0, 5). 8. Buscar una ecuación que tenga la propiedad indicada: a) La gráfica tiene intersección con el eje X en x = 1, x = 2 y x = 5. b) La gráfica es simétrica respecto al eje X. c) La gráfica es simétrica respecto al origen, pero no es simétrica respecto al eje Y. 9. Graficar cada una de la siguientes ecuaciones, estudiando previamente sus intersecciones con los ejes coordenados y sus posibles simetrías. a) y = x b) y = 9 x 2 c) y = x 3 d) y = 1 x 2 e) x + y 2 = 3 f) x 2 y 2 = A continuación se entregan 4 gráficos: (1) Curva Kappa (2) Lemniscata de Bernoulli (3) Hoja de Descartes (4) Trisectriz de Maclaurin Instituto de Matemática y Física 55 Universidad de Talca

29 Ejercicios a) Por inspección de cada gráfico, determinar si tiene o no simetría con respecto al eje X, Y y origen. b) Si las ecuaciones de los gráficos ( sin orden!) son: (A) x 3 + y 3 = 3xy (B) y 2 (x 2 + y 2 ) = x 2 (C) y 2 (1 + x) = x 2 (3 x) (D) (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 establecer la correspondencia entre los gráficos de (a) y sus correspondientes ecuaciones. c) Una vez realizada la correspondencia entre los gráficos y sus ecuaciones, corroborar sus respuestas dadas en (a) trabajando con las ecuaciones de las curvas. 11. Hallar algebraica y geométricamente los puntos de intersección de las dos ecuaciones dadas. Comprobar los resultados. a) x + y = 7 b) x 2 + y 2 = 5 c) x = 3 y 2 3x 2y = 11 x y = 1 y = x La ecuación x 2 + y 2 + 6x 14y 6 = 0 representa una circunferencia. Determinar su centro y su radio. 13. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B( 4, 5). Hallar la ecuación de dicha circunferencia. 14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, 5) y cuyo centro es el punto de intersección de las ecuaciones 7x 9y 10 = 0 y 2x 5y + 2 = Una circunferencia pasa por los puntos A( 3, 3), B(1, 4) y su centro está sobre la ecuación 3x 2y 23 = 0. Hallar su ecuación. 16. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 2x + y 2 + 8y + 17 = 8 en su punto de coordenadas (3, 6). 17. Una circunferencia con centro en el origen es tangente a la recta: 12x + 5y + 52 = 0. Encontrar la ecuación de la circunferencia y el punto de contacto. 18. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto (7, 2). Calcular la abscisa de P. Instituto de Matemática y Física 56 Universidad de Talca

30 Ejercicios 20. Hallar las intersecciones con los ejes coordenados de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x 7y + 2 = Sean L 1 la recta de ecuación y + 8x = 0 y L 2 la recta que pasa por el punto (0, 18) y tiene pendiente 3. Se pide encontrar: a) El punto B de intersección entre L 1 y L 2. b) El área del triángulo OBC, donde O es el origen y C es el punto donde L 2 corta el eje X. 22. Determinar el valor de k (k > 0) para que la recta 4x + 5y k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 5 unidades cuadradas Determinar el(los) valor(es) de k para que: a) La recta L 1 : kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0. b) La recta L 2 : kx + (k 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta 3x 2y 11 = 0. c) La recta L 3 : (2 + k)x (3 k)y + 4k = 14 contenga al punto P (2, 3). 24. Dados los puntos A( 1, 1) ; B(3, 5) y C(0, 2). Se pide: a) Encontrar la ecuación de la recta L que pasa por C y el punto medio del segmento AB. b) Determinar la ecuación de la recta M que pasa por B y C. c) Calcular la distancia de A a la recta M y el área del triángulo ABC. d) Determinar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. 25. Determinar las ecuaciones de las rectas L 1, L 2, L 3 y L 4 que aparecen en la siguiente figura: Instituto de Matemática y Física 57 Universidad de Talca

31 Ejercicios 26. Dado el sistema de ecuaciones lineales: se pide: 2x 3y = 9 8x + 5y = 7 a) Verificar, sin resolverlo, que tiene una única solución. b) Obtener gráficamente, una solución aproximada. c) Encontrar su solución exacta, usando uno de los métodos algebraicos. 27. Un químico tiene dos soluciones de ácido sulfúrico, una al 20 % y otra al 80 %. Cuánto debe usarse de cada solución para obtener 100 litros al 62 %? 28. Se sabe que, cada 32 metros de profundidad h, bajo tierra, la temperatura t aumenta un grado. Si en la superficie, la temperatura es de 10 : a) Encontrar la ecuación de una recta que relaciona los metros de profundidad con grados. b) Graficar la recta encontrada. c) Si un agua termal que sale a 79, de qué profundidad proviene?. 29. En un lago se ha medido la concentración de oxígeno (en ppm) en el agua a distintas profundidades (en m). Al graficar dicha información se ha obtenido el siguiente gráfico: a) Trazar a mano una recta que aproxime razonablemente los datos obtenidos. Instituto de Matemática y Física 58 Universidad de Talca

32 Ejercicios b) Determinar la ecuación de la recta graficada. c) En base a la recta obtenida estimar: i) la concentración de oxígeno a 35 metros de profundidad. ii) la profundidad a la cual la cual la concentración del oxígeno es igual 0, 5(ppm). 30. a) Encontrar la ecuación lineal que relaciona la temperatura en grados Farenheit, con la misma en grados Celsius, sabiendo que 0 C =32 F y 100 C = 212 F. b) La relación funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal. Sabiendo que 0 C = 273 K y que 27 C = 300 K, encontrar la ecuación que da la temperatura en grados Celcius conocida la misma en grados Kelvin. c) Encontrar la expresión de la temperatura en grados Farenheit en función de la temperatura en grados Kelvin. Es lineal?. 31. La fórmula para la dilatación de una varilla metálica bajo un cambio de temperatura pequeño viene dada por la ecuación lineal: l l 0 = al 0 (t t 0 ) ( ) donde l es la longitud del objeto a la temperatura t, l 0 es la longitud inicial a la temperatura t 0 y el valor a es una constante que depende del tipo de metal. a) Encontrar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas de ( ). b) Suponer que se tenía una varilla que inicialmente medía 100cm de largo a 60 F y hecha de un metal con a = Escribir una ecuación que dé la longitud de esta varilla a una temperatura t. c) De acuerdo a la fórmula obtenida en (b), cuál es la longitud de la varilla a 100 F Respuestas a los ejercicios 1. ( 1/2, 16), ( 2, 24), ( 7/2, 32) 2. (0, 4) 3. Sí, los 3 puntos son colineales. Esto se puede verificar comprobando que d(a, C) = d(a, B) + d(b, C). 4. (12, 12), ( 8, 4) y (0, 0). 5. a) Sí b) Sí c) 45(unidades de longitud) 2 Instituto de Matemática y Física 59 Universidad de Talca

33 Ejercicios 6. a) Tabla de valores: x y b) El gráfico parece ser una recta. d) El gráfico de la ecuación dada es: Gráfico de 30y = x(39 10x 2 + x 4 ) 7. a) Ecuación: y = x/2 Gráfico de y = x/2 b) Ecuación: (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 625 Instituto de Matemática y Física 60 Universidad de Talca

34 Ejercicios c) Ecuación: xy = 6 Gráfico de (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 625 d) Ecuación: 3x 2 + 3y 2 40y = 0 Gráfico de xy = 6 Gráfico de 3x 2 + 3y 2 40y = 0 8. a) Una respuesta es y = (x+1)(x 2) 2 (x 5) 3 c) Una respuesta es xy(x 2 y 2 4) = 45 Instituto de Matemática y Física 61 Universidad de Talca

35 Ejercicios 9. Los gráficos de las ecuaciones (a), (c) y (e) respectivamente son: 10. a) (1) Curva Kappa: eje X, eje Y y origen. (2) Lemniscata de Bernoulli: eje X, eje Y y origen. (3) Hoja de Descartes: no tiene simetría con respecto al eje X, ni al eje Y ni al origen. (4) Trisectriz de Maclaurin: eje X. b) (1) Curva Kappa: ecuación (B). (2) Lemniscata de Bernoulli: ecuación (D). (3) Hoja de Descartes: ecuación (A). (4) Trisectriz de Maclaurin: ecuación (C). 11. a) Las curvas se cortan en un punto (5, 2). Gráfico: c) Las curvas se cortan en los puntos ( 1, 2) y (2, 1). Gráfico: Instituto de Matemática y Física 62 Universidad de Talca

36 Ejercicios 12. Su centro es: ( 3, 7) y su radio (x + 1) 2 + (y 4) 2 = (x 4) 2 + (y 2) 2 = (x 2) 2 + ( y + 17 ) 2 = x y = x 2 + y 2 = 16. Punto de contacto ( 48 ) 13, y = 4x x = Eje Y (x = 0) : y = 10. Eje X (y = 0) : x = a) ( 18 5, 144 ) 5 b) El área es: (u.d.l)2 22. k = a) k = 21 6 b) k = 3 5 c) k = a) y 5x + 2 = 0 b) y 7x = 0 c) La distancia es: y su área 8 (u.d.l) 2 Instituto de Matemática y Física 63 Universidad de Talca

37 Ejercicios d) ( x 13 ) 2 ( + y 3 ) 2 = L 1 : x y = 1, L 2 : y x = 1, L 3 : x + y = 1, L 4 : x + y = a) aq pb = 34 0, luego el sistema tiene una única solución b) Gráfico de la ecuaciones: Solución aproximada: (1, 8, 1,7) c) (33/17, 29/17) (1,9412, 1,7059) lt de la solución al 20 % 28. a) t = 1 32 h + 10 b) c) 2208 metros de profundidad Instituto de Matemática y Física 64 Universidad de Talca

38 Ejercicios 29. a) Una solución es: b) C = 1 10 P + 5,5 c) i) C = 2 ppm ii) m = 50 mts 30. a) F = f(c) = 9 5 C + 32 b) C = g(k) = K 273 c) F = (f g)(k) = 9 5 K a) Pendiente = al 0, intersección eje l igual a l 0 (1 at 0 ) b) l = 10 3 t c) l = 100, 1 cm Instituto de Matemática y Física 65 Universidad de Talca