CAPÍTULO 2 TEMAS DE DINÁMICA INCLUIDOS

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1 CAPÍTULO TEMAS DE DINÁMICA INCLUIDOS.1. CONCEPTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL Dede el punto de vita de la ingeniería ímia, el tema entral de la dinámia e etudiar y entender la vibraión de una etrutura uando etá ujeta a una uerza lateral u horizontal, o a un movimiento ímio en u bae (Chopra, 001). Eto e hae a travé del etudio de un modelo, que e la repreentaión matemátia de la etrutura real y que adopta la propiedade la mima. Partiularmente para el etudio de la vibraione el modelo reibe el nombre de Oilador pue la etrutura al er ometida a una uerza lateral eetúa un movimiento oilante a manera de un péndulo. Dentro de la dinámia etrutural hay do tipo de oiladore: de un grado de libertad (1GL) y de vario grado de libertad (VGL). Dede el punto de vita dinámio, lo grado de libertad que interean on aquéllo en lo que e onideran uerza generalizada de ineria; e deir, uerza iguale a maa por aeleraión. Por ejemplo en la igura.1 e muetra un maro plano on lo 1 grado de libertad (lineale y angulare); in embargo, para reduir el número de grado de libertad e onidera que la uerza de ineria importante on la que generan la maa m1 y m al movere lateralmente; entone en dinámia e habla de un itema reduido de grado de libertad, que on lo deplazamiento laterale 1 y. (Bazan y Meli, et. al 1983) m m Etátio Dinámio Figura.1 Grado de libertad La repueta dinámia de una etrutura onite en determinar el movimiento, veloidad y aeleraione de u maa uando etá ometida a una uerza lateral o a un movimiento ímio en u bae. La repueta dinámia depende de la magnitud y duraión de la eitaión, de la propiedade dinámia de la etrutura (maa, rigidez, reuenia de vibrar y amortiguamiento) y de la araterítia de lo depóito del uelo donde etá imentada. (Bazan y Meli, et. al 1983)

2 La arga gravitatoria que atúan obre la etrutura on uerza etátia, la uale on independiente del tiempo; en ambio la uerza ímia, por eeto de la vibraión del uelo, auan una repueta dependiente del tiempo (Bazan y Meli, et. al 1983). Ante de la eitaión, el oilador permanee en etado de repoo, pero una vez que omienza a movere e generan en él uerza interna de ineria ( I ), de rigidez ( S ) y de amortiguamiento ( D ) que tratan de retaurar diho etado de repoo ontrarretando a la uerza ejerida. D I = k...(.1) = &...(.) = m &&...(.3) Al haer el equilibrio de eta uerza e genera la euaión de equilibrio dinámio, que e la repreentaión matemátia del itema. Para ada tipo de oilador (1GL o VGL) la euaión de equilibrio dinámio e dierente, aunque el planteamiento e el mimo... OSCILADORES DE 1GL El oilador de un grado de libertad (ver igura.a) e el modelo que repreentan a etrutura imple, e deir, que todo u peo o maa e onidera onentrada en un ólo punto y etá otenida por un reorte (rigidez lateral k de la etrutura). Dh maa (m) (k) Oilador etátio Dv Oilador en movimiento (a) (b) Figura. (a) Oilador de un grado de libertad, (b) Deplazamiento del oilador Lo grado de libertad de un oilador on la direione en que la maa e puede deplazar. En la igura.b e muetra el movimiento de un oilador haia el lado dereho; oberve que la maa e deplaza en do direione: horizontal (Dh) y vertial (Dv) medida on repeto al entro de la maa. Bajo la deiniión anterior (uerza de ineria generalizada), ete oilador puede aproimare omo de un grado de libertad, ya que lo deplazamiento vertiale (Dv) on muy pequeño omparado on lo horizontale (Dh); por tal motivo e depreian quedando el oilador de un ólo grado de libertad (1GL). 10

3 ..1. Euaión de equilibrio El equilibrio de uerza (euaión.1 a.3) uando no eite eitaión alguna en lo oiladore queda erita de la iguiente manera: I + D + S = 0...(.4) Un ao partiular de eta euaión e uando el itema etá ujeto a una aeleraión en u bae & & (. Al introduir diha aeleraión a la euaión.3 y a u vez utituyendo la euaione.1 a.3 en la euaión.4 e obtiene la euaión.5, la ual gobierna el movimiento de un oilador de 1GL (igura.a). m (&& ( + && ) + & + k ( = 0...(.5) Dividiendo la euaión.5 entre la maa y paando el término de la aeleraión del uelo dereho, e obtiene la euaión.6 & & ( al lado k & + & + ( = &...(.6) m m Deiniendo la iguiente propiedade k Ω =...(.7) m ξ =...(.8) r r = k m...(.9) Y utituyendo la euaione.7 a.9 en.6, la euaión de equilibrio dinámio e muetra omo: & + ξ Ω & + Ω ( = &...(.10) Eta última e la euaión del equilibrio dinámio para un oilador de 1GL uando etá ometido a una aeleraión en u bae. E una euaión dierenial de do grado, pue en ella intervienen la primera y egunda derivada de, (veloidad y aeleraión) on repeto al tiempo..3. OSCILADORES DE VGL La etrutura no iempre pueden modelare dinámiamente empleando un oilador de un grado de libertad, y en general, e neeario modelar la etrutura omo itema de vario grado de libertad. (Paz, 199) 11

4 Lo oiladore de vario grado de libertad (igura.3) repreentan a etrutura que u peo o maa no e puede onentrar en un ólo punto, ino que e neeario oniderar un modelo de varia maa onentrada y reorte. maa (m1) maa (m) maa (m3) (k1) (k) (k3) Figura.3 Oilador de vario grado de libertad En ediiio e uualmente aeptable uponer que la maa etán onentrada en lo nivele de lo pio y que la uerza de ineria importante on ólo la laterale. El oilador, uando etá ujeto a eitaione que produen deplazamiento horizontale, tiene araterítia imilare a la de una viga en voladizo deormada olamente por el euerzo ortante. (Paz, 199) En ete trabajo, un oilador e de vario grado de libertad uando el número de maa onentrada que tiene e de o má. Al igual que lo oiladore de 1 GL ólo e onideran lo deplazamiento horizontale (Dh); por ello e poible identiiar el número de grado de libertad del oilador a travé del número de maa on la que uente Euaión de equilibrio De igual manera que lo oiladore de 1GL, la euaión de equilibrio dinámio para un oilador de VGL parte del equilibrio de la uerza interna de la etrutura (euaione.1 a.3). Sólo que en eta parte la propiedade del oilador etán dada de orma matriial. La uerza en lo elemento elátio e pueden eprear omo el produto de la matriz de rigidez lateral [k] por lo deplazamiento laterale, e deir: [ ] = [ k] {} F S...(.11) De manera análoga la uerza de amortiguamiento vioo e pueden eprear omo el produto de una matriz de amortiguamiento por la veloidade, o ea omo: [ ] = [ ] {} & F D...(.1) Aí mimo la uerza de ineria del itema quedan omo: [ ] = [ m] {} & F I...(.1) 1

5 De manera análoga a lo oiladore de 1GL, la euaión del equilibrio dinámio para oiladore de VGL e puede eribir en orma matriial omo: [ m ] { & } + []{ & } + [] k ( = [ m] {& }...(.13).4. TEMAS INVOLUCRADOS Lo tema inluido en el programa on la repueta dinámia de lo oiladore de 1GL y VGL (on propiedade deinida) ante dierente tipo de uerza o arga horizontale, por ejemplo: Vibraión libre Carga impuliva Carga armónia Carga triangular Carga general Dependiendo de la propiedade que e le proporione a lo oiladore, éto pueden er amortiguado o no amortiguado. Ademá, etán oniderado omo itema elátio-lineale, e deir que la propiedade de lo oiladore no e modiian en ningún momento. El programa, a partir de la oluión de la euaione del equilibrio dinámio permite etudiar tema omo: Reonania Deormaión máima Epetro de repueta elátio Fuerza ortante Freuenia y modo de vibrar Repueta modale Epetro de pio Para onoer la repueta dinámia de ada oilador (1GL y VGL) e neeario reolver la euaione.10 y.13; para ello e uó el método onoido omo el de la oho ontante, el ual e deribe má adelante en el apítulo orrepondiente a lo algoritmo. 13