INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA

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1 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. Fecha de Etega: 6 de Noviembe de 0. Pate A: Ejecicio Teóico: Ejecicio N o (* Ditibucioe de Femi-Diac y Boe-Eitei. I Ditibució de Femi-Diac: a Gafique la ditibució de Femi-Diac: f ( ε ε µ ep + k BT e fució de la elació ε, iedo ε la eegía del ivel e coideació, y µ el µ potecial químico, e el cao que µ > T > 0. E paticula: k B i. Calcule u valo e ε µ y e ε 0. Qué ucede i µ >> k B T? ii. Etudie el límite ε >> µ. iii. Cuál e la egió de valoe de ε e que f(ε toma valoe ete 90 % y 0 % de u valo máimo? iv. Cómo cambia la gáfica ateio i µ < 0? b (Kittel 9. Simetía de lo ivele ocupado y vacío: Sea ε µ + δ, demota que f(δ f( δ. Itepete ete eultado como que la pobabilidad de que u ivel δ po ecima del ivel de Femi eté ocupado e igual a la pobabilidad de que u ivel δ po debajo del ivel de Femi eté vacío. c (Kittel 9. Deivada de la fució de Femi-Diac: Calcule la fució f g ( ε y demuete que: ε i. Tiee u valo máimo e el ivel de Femi ε µ que e (4k B T -. Itepete ete eultado como que cuato meo ea la tempeatua má icliada e la pediete de la fució de Femi-Diac. - La etega míima debe cotee lo ejecicio macado co ateico, que e ete epatido o: Ejecicio N o, 8, 0 y. V /

2 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 ii. Calcule lo valoe de eegía ε +, ε e que la fució g(ε cae a la mitad de u valo máimo. Co eto valoe etime el acho completo a media altua ε FWHM ε + ε y demuete que e popocioal a k B T. iii. Demuete etoce que e el límite e que la tempeatua T tiede a 0 K, la fució g(ε tiede a la fució δ(ε µ (delta de Diac cetada e el ivel de Femi. II Ditibució de Boe-Eitei: Gafique la ditibució de Boe-Eitei: ( ε ε µ ep kbt e fució de la eegía ε del ivel e coideació. E paticula: i. Demuete que u deivada e etictamete egativa. ii. Etudie el límite ε >> µ y compáelo co el mimo límite de la ditibució de Femi-Diac. iii. Qué ucede i ε µ? iv. Paa qué ago de eegía ε la fució toma valoe mayoe que? Ejecicio N o Dipeió de Ocupació (Reif 9.8, Kittel.6 y.7. a Demuete que, tato e el eemble caóico como e el eemble ga caóico, la fluctuació e el úmeo de ocupació de u etado de ua patícula, co eegía ε, puede ecibie como: ( β ε NOTA: La difeecia ete u eemble y oto e qué catidade e coidea cotate al hace la deivada pacial. b Aplique el eultado de la pate ateio e el eemble ga caóico (e deci, itema e cotacto témico y difuivo a tempeatua T y potecial químico µ a la difeete etadítica paa obtee lo iguiete eultado paa la dipeió elativa del úmeo de ocupació, que e itepetaá: i. Mawell-Boltzma: ii. Boe-Eitei: ( ( +.. V /

3 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. iii. Femi-Diac: (. c Coidee ahoa el itema e el eemble caóico (itema e cotacto témico co ua fuete de tempeatua T peo co úmeo de patícula totale N cotate. i. Demuete que la dipeió elativa del úmeo de ocupació calculada ateiomete debe e coegida po el facto multiplicativo α +, iedo α µβ. β ε k µt B ii. Demuete que e el cao de la etadítica de Mawell-Boltzma: α que e mucho meo que e el límite cláico. β ε N iii. Demuete que e el cao de la etadítica de Boe-Eitei y Femi- α ( ± Diac: m, que e ambo cao e depeciable a β ε ( ± meo que el itema eté ceca de T 0K. d Cómo e la dipeió e el úmeo de patícula paa la etadítica de Plack? Ejecicio N o Etopía de Etadítica (Reif 9.: a Demuete que la etopía S de u ga ideal de Femi (ga de femioe o iteactuate puede ecibie e fució de, el úmeo medio de patícula e el etado de ua patícula, como: [ l + ( l( ] S k B NOTA: Ete eultado puede obteee a pati de la epeió de la etopía e el G eemble gad caóico: S iedo G el ga potecial que e T obtiee a pati de la ga uma ζ po G k B T lζ ; o tambié a pati de la etopía de Jaye (Ejecicio N o 6 del Páctico III. b Demuete que el eultado imila paa u ga ideal de Boe (ga de booe o iteactuate e: [ l ( + l( ] S k B + e Halle el límite de amba epeioe e el cao cláico (< > <<. V /

4 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 Pate B: Ejecicio Páctico: Ejecicio N o 4 Do patícula co te ivele (Reif 9.: Coidee u itema fomado po do patícula cada ua de la cuale puede eta e cualquiea de te etado cuático de eegía epectiva 0, ε y ε. El itema etá e cotacto co u foco témico a tempeatua T. a Eciba la fució de patició Z i la patícula obedece la etadítica cláica de Mawell-Boltzma y o coideada ditiguible. b Repita la pate a paa patícula cláica iditiguible. c Cuál e la epeió de Z i la patícula o booe (obedece la etadítica de Boe-Eitei? d Cuál e la epeió de Z i la patícula o femioe (obedece la etadítica de Femi-Diac? Ejecicio N o 5 Peió de Gae Ideale (Reif 9.5 y 9.6: Coidee u ga ideal de N patícula o elativita débilmete iteactiva e equilibio a tempeatua aboluta T e u ecipiete cúbico de aita L (volume V L. a Cada uo de lo etado cuático de eta patícula tiee ua eegía ciética ε (V que depede de V. Cómo e la depedecia ε (V? b Detemie la cotibució a la peió P del ga de ua patícula e ee etado e fució de ε y V. SUGERENCIA: Recuede que la peió e la fueza geealizada del volume po lo que e geeal puede ecibie: P ε V c Utilice el eultado ateio paa demota que la peió P de cualquie ga ideal de patícula débilmete iteactiva etá iempe elacioado co la eegía ciética total media E po la epeió: E P V idepedietemete de que el ga obedezca la etadítica de Femi-Diac, Boe-Eitei o Mawell-Boltzma. d Po qué e difeete ete eultado de la elació válida paa u ga de fotoe? E P V V 4/

5 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. SUGERENCIA: Coidee lo que ucede e el cao de u ga ultaelativita co epecto de eegía ε chk. e Utilice agumeto de teoía ciética emicláica paa calcula P a pati de la tafeecia de la catidad de movimieto eultate de lo impacto moleculae co ua paed. Demuete que el eultado aí obteido e compatible co el deducido e la pate c e todo lo cao (idepediete de la etadítica. f Cotiuado el azoamieto egú líea imilae utilizada ateiomete: i. Calcule la dipeió ( P de la peió del ga y demuete que, co toda geealidad etá elacioado diectamete co la dipeió ( E de la eegía total del ga. ii. Utilizado la epeioe de E y ( E e témio de la fució de patició Z, epee P y ( P e fució de Z. Demuete que: ( P k BT V iii. E el cao de ete ga e el límite cláico, calcule eplícitamete que la dipeió elativa de la peió e: ( P P N P T Ejecicio N o 6 Ecuació TdS del ga de fotoe (Reif 9.0: Aplique la ecuació TdS d E + P dv a u ga de fotoe, ecibiedo E V u, iedo u ( T la deidad media de eegía del campo de adiació, que e idepediete del volume V, y u P e la peió de adiació. a Coideado a S como fució de T y V, detemie la deivada paciale de S epecto a ua y ota vaiable. b Igualado la deivada eguda cuzada obtega ua ecuació difeecial u T. paa ( c Itege dicha ecuació paa obtee la ecuació de Stefa-Boltzma. V 5/

6 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 Ejecicio N o 7 Ga ideal de Femi a T 0 K. a (Reif 9.6 U ga ideal de Femi etá e epoo e el ceo aboluto y tiee ua eegía de Femi µ ε F. La maa de cada patícula e m. Si v epeeta la velocidad de ua molécula, detemie v y v. b (Reif 9.7 Coidee u ga de N electoe e u volume V e el ceo aboluto. i. Calcule la eegía media total E de ete ga. ii. Epee E e fució de la eegía de Femi µ ε F. iii. Demuete que E e popiamete ua magitud eteiva, peo que paa u volume fijo V, E o e popocioal al úmeo N de patícula del ecipiete. Cómo e eplica ete último eultado a pea del hecho que o hay iteacció potecial ete la patícula? c (Reif 9.8 y Kittel 4.4 Detemie la elació ete la peió media P y el volume de u ga ideal de Femi paa T 0 K: i. Calculala po la elació geeal la pate ateio. ii. Calculala a pati de lo eultado del Ejecicio N o 5. P E V co E obteido e iii. Utilice el eultado paa calcula e foma apoimada la peió e atmófea que ejece lo electoe de coducció e el cobe obe la ed ólida que lo cofia deto del volume del metal. iv. Calcule el coeficiete de compeibilidad iotemo: T α T V V P T. Ejecicio N o 8 (* Reducció de la Dimeioalidad. a (Kittel 4. Coidee u ga de electoe libe que poee N electoe ubicado e u volume V a ua tempeatua T 0 K. Demuete que la deidad de etado de ua patícula a la eegía de Femi µ ε F puede ecibie como: D ( ε N F. ε F b (Kittel 4.a Demuete que la deidad eegética de etado de ua patícula paa ua patícula libe de maa m moviédoe e ua líea ecta de lago L (caja uidimeioal e: D γl π m εh ( ε V 6/

7 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. iedo γ la degeeació de pi. c (Kittel 4.b Demuete que la deidad eegética de etado de ua patícula paa ua patícula libe de maa m moviédoe e ua upeficie de áea L (caja bidimeioal e: idepediete de la eegía ε. D γml πh ( ε d (Kittel 4.5 Calcule la depedecia del potecial químico co la tempeatua paa lo iguiete gae de Femi, e el límite k BT << εf : i. N patícula moviédoe e u volume V (itema tidimeioal de la pate a. NOTA: Calcule apoimadamete hata egudo ode e k εb T F. Obeve que el potecial químico dimiuye co la tempeatua. Jutifique cualitativamete. APLICACIÓN NUMÉRICA: La eegía de Femi paa el Alumiio a 0 K e.7 ev. Hata qué tempeatua el potecial químico difiee de ete valo e meo de 0.%? ii. N patícula moviédoe e ua ecta de lago L (itema uidimeioal de la pate b. NOTA: Calcule apoimadamete hata egudo ode e k εb T F. Obeve que el potecial químico aumeta co la tempeatua. Jutifique cualitativamete. iii. N patícula moviédoe e ua upeficie de áea L bidimeioal de la pate c. (itema NOTA: E ete cao el cálculo e puede hace e foma eacta. Aumeta o dimiuye el potecial químico co la tempeatua? e Compae la depedecia co la tempeatua T del calo epecífico a volume cotate e el cao bidimeioal paa do gae ideale de N patícula: u ga de Femi y u ga de Boe. Ejecicio N o 9 Equilibio de Electoe y Emiió Temióica. a (Reif 9. La eegía má baja poible de u electó de coducció de u metal etá a V 0 po debajo de la eegía de u electó libe e el ifiito. Lo electoe de coducció tiee ua eegía de Femi (o potecial químico µ ε F. La eegía míima eceaia paa etae u electó del metal e etoce Ф V 0 µ y e le llama fució tabajo del metal. La figua mueta eta elacioe e u diagama de eegía fete a la poició epacial del electó. V 7/

8 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 Coidee u ga de electoe afuea del metal e equilibio temodiámico co lo electoe del metal a la tempeatua T. Po la ditibució de Femi-Diac, la deidad de lo electoe e el eteio del metal e muy pequeña a toda la tempeatua e que k B T << Ф. Igualado lo poteciale químico paa lo electoe fuea y deto del metal detemie el úmeo medio de electoe po uidad de volume eteio al metal. b (Reif 9.5 Eciba ua epeió paa f k d k, úmeo medio de electoe de coducció po uidad de volume que etá deto del metal y que tiee ua diecció paticula de oietació de pi, y u vecto de oda k (o catidad de movimieto p h k, ituado e el itevalo ete k y k+ d k. Utilice ete eultado y azoamieto ciético detallado paa calcula cuáto electoe deto del metal choca po uidad de áea de u upeficie y po uidad de tiempo co la eegía uficiete paa emege del metal. Supoga que ua facció de lo electoe e efleja y etocede i ali del metal. Ejecicio N o 0 (* Etadítica de Potadoe e Semicoductoe Itíeco. U emicoducto e u mateial e que lo ivele dipoible de eegía paa lo electoe moviédoe e el iteio del mimo e epaa e do bada de eegía. La bada de coducció tiee valoe de eegía E (de ua patícula mayoe que u valo míimo E c y ceca del mimo obedece la elació de p dipeió E Ec + *, mieta que e la m c bada de valecia lo valoe de E o meoe que u valo máimo E v (< E c y ceca del mimo p obedece la elació de dipeió E Ev *. m E eta elacioe de dipeió p v h k e puede coidea la catidad de movimieto de lo electoe, iedo k el vecto de oda ujeto a la mima codicioe de bode de oda plaa moviédoe e ua caja de volume V (que puede upoee cúbica. La cotate m c * y m v * e deomia maa efectiva. Si la eegía E e tal que E v < E < E c o eite etado pemitido, y e dice que el emicoducto tiee ua egió de eegía pohibida E G E c E v. E v E c E E G p h k V 8/

9 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. a Demuete que la deidade de etado (po uidad de volume e ua y ota bada puede ecibie como: g g c v ( E π π m h * c m h E E v ( E E E * b Supoiedo que el potecial químico tiee u valo de eegía que e ecueta e el iteio de la egió de eegía pohibida (y que dita de lo bode de la bada de coducció y de valecia má de k B T, demuete que la deidad (po uidad de volume 0 de electoe e la bada de coducció puede ecibie como: 0 m * c c F ( T k T ep B πh kbt v c E E c Paa la bada de valecia, e que la ocupació de etado electóico e gade, e defie el cocepto de hueco. U hueco e la auecia de u electó, po lo tato la pobabilidad de que e u detemiado ivel eegético haya u hueco e f, iedo f la pobabilidad de que ee ivel eté ocupado po u electó. Ecuete la deidad (po uidad de volume p 0 de hueco e la bada de valecia. d E u emicoducto itíeco la deidade de electoe e la bada de coducció y hueco e la bada de valecia o iguale. Ecuete el valo del potecial químico paa u emicoducto itíeco dicutiedo u depedecia co la tempeatua T, y la elació ete m v * y m c *. Ejecicio N o (* Temodiámica del Sólido de Debye (Reif 0. y 0.: a Utilice la apoimació de Debye paa obtee la iguiete fucioe temodiámica e fució de la tempeatua aboluta T epeádola e témio de la fució: D( y y de la tempeatua de Debye θ y D y d e 0 hω k i. F k B T l Z, dode Z e la fució de patició. ii. Eegía media <E>. iii. Etopía S. b Calcule la fució D(y e lo límite y >> e y <<. ma B. V 9/

10 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 c Emplee lo eultado de la pate b paa epea la fucioe temodiámica calculada e la pate a e lo cao límite cuado T << θ D y cuado T >> θ D. Pate C: Ejecicio Adicioale: Ejecicio N o Etadítica de Ditibució de doble ocupació (Kittel 9.4: Imagie ua ueva mecáica etadítica e la que la poibilidade de ocupa u etado cuático de patícula imple ea 0, y. Lo valoe de la eegía aociada co eta ocupacioe eá 0, ε y ε, epectivamete. a Deduzca ua epeió paa el valo epeado del úmeo de ocupació, cuado el itema coepodiete a ete etado etá e cotacto témico y difuivo co ua fuete a tempeatua T y potecial químico µ. b Volviedo a la mecáica cuática odiaia: deduzca ua epeió paa el valo epeado del úmeo de ocupació de u ivel eegético que etá doblemete degeeado; e deci, do etado tiee la mima eegía ε. Si ambo etado etá ocupado la eegía total e ε. c Compae lo eultado de la pate ateioe ete í y co el eultado coepodiete del Ejecicio N o 5 del Páctico III. Ejecicio N o Gae Ideale Diatómico: Ua molécula diatómica tiee, ademá de lo gado de libetad de talació (de u ceto de maa, gado iteo de otació (ve Ejecicio N o 9 del Páctico IV y gado iteo de vibació (que e puede modela po u ocilado amóico uidimeioal. a (Reif 9.7 Si a tempeatua ambiete T 0, pácticamete paa toda la molécula diatómica la epaació ete lo ivele eegético de otació e pequeña compaada co k B T 0, mieta que ete lo ivele eegético de vibació e gade compaada co k B T 0, cuál e el calo epecífico al úmeo de patícula a volume cotate de u ga diatómico a la tempeatua? b (Reif 9.8 Supoga N molécula del ga ao HD (H po átomo de hidógeo de maa m y D po átomo de deuteio de maa M e itoduce e ua botella y e matiee a ua tempeatua T hata que e etablece u completo equilibio. La botella cotedá etoce molécula de H y D ademá de cieto úmeo de molécula de HD. Calcule la elació /N e fució de T, m, M y ω 0, que e la fecuecia agula de vibació de la molécula de HD, upoiedo que T e apoimadamete la tempeatua ambiete de foma que lo gado de libetad de otació de la molécula puede coideae como cláico, mieta que h ω 0 >> k B T, de foma que toda la molécula etá eecialmete e u etado de vibació má bajo. V 0/

11 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. SUGERENCIA: El equilibio difuivo e la eacció química: HD H + D V / e etablece igualado lo poteciale químico podeado po lo coeficiete etequiomético epectivo: µ HD µ H + µ D (ve Ejecicio N o 0 del Páctico IV. Ejecicio N o 4 Capacidad Témica de u Cuepo Nego (Reif 9.: U ólido dieléctico tiee u ídice de efacció 0, que puede upoee cotate hata la fecuecia ifaoja. Compae la cotibució a u capacidad témica a volume cotate, de la adiació de cuepo ego, a tempeatua ambiete, co la cotibució coepodiete de lo átomo de la ed (upoiedo eta atiface la ley de Dulog y Petit. Ejecicio N o 5 Paamagetimo de Metale de Coducció (Reif 9.: U metal tiee electoe de coducció po uidad de volume, co cada electó co u pi ½ y u mometo magético aociado µ m. El metal etá a 0 K y e coloca e u campo magético H. La eegía total de lo electoe de coducció e peecia del campo H tiee que e ta pequeña como ea poible. Utilizado ete hecho detemie ua epeió eplícita paa la uceptibilidad paamagética debida a lo mometo magético de pi de lo electoe de coducció. Ejecicio N o 6 Cotate de Güeie (Reif 0.4 y 0.5: La eegía aociada a lo modo de vibació de u ólido de N átomo e: N E,,... Nη+ h ω dode η e la eegía de ligació po átomo e el ólido a T 0 K, y ω o la fecuecia de modo omal. Eto paámeto η y ω depede e geeal del volume V del ólido. La depedecia de eta última e el volume e puede epea globalmete a tavé del paámeto de Güeie γ defiido como: V dθd γ. θ dv D a Utilice la apoimació de Debye paa halla la ecuació de etado del ólido; eto e, halle la peió <P> e fució de V y T. b Cuále o lo cao límite válido cuado T << θ D y cuado T >> θ D? c Supoiedo γ e cotate (idepediete de la tempeatua, demuete que el coeficiete de dilatació témica α etá elacioado γ po la elació: C α κγ V V e que C V e la capacidad caloífica del ólido y κ u compeibilidad.

12 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Cuo 0 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Eame Febeo de 00 de Febeo de 00 Ejecicio N o Ga e u Pozo de Potecial Amóico. U itema cláico de N patícula ditiguible o-iteactuate de maa m etá ubicado e u pozo de potecial amóico tidimeioal: U C ( + y + z dode C e ua cotate elática co dimeioe de eegía po logitud al cuadado (o equivaletemete eegía po uidad de volume a la /. a Ecuete la fució de patició y la eegía libe de Helmhotlz de ete itema. b Coideado C como u paámeto eteo, ecuete la fueza temodiámica cojugada X C de ete paámeto. Ecuete la ecuació de etado de ete itema. c Ecuete la etopía, la eegía itea y la capacidad témica a paámeto C cotate. ε d Ecibiedo la cotate elática como C ecuete la fueza V geealizada X V y compaado co la ecuació de etado de u ga ideal e u ecipiete de paede ígida itepete V como u volume efectivo paa ete itema. e Ecibiedo la etopía e fució de ete volume efectivo dicuta i la mima e eteiva o o. Ejecicio N o Ga de Fotoe Uidimeioal. Coidee ua líea de tamiió de logitud L, e que la oda electomagética atiface la ecuació de oda uidimeioal: c E E t dode E e ua compoete del campo eléctico. Ete itema puede coideae que etadíticamete coepode a u ga de fotoe uidimeioal, ubicado e la logitud L, a ua tempeatua T. Tega e cueta que eite do polaizacioe difeete (oda taveale y do dieccioe de popagació (olamete. V /

13 Páctico V Femi-Diac, Boe-Eitei y Mawell-Boltzma. a Ecuete la deidad de etado de ua patícula (icluyedo toda la degeeacioe. Cuál e u depedecia co la eegía? b Calcule y boqueje la ditibució epectal de ( ν 0 deidad lieal de eegía ( u U dν ( ν almaceada e el campo electomagético y ν la fecuecia. L u T u eegía paa la T, iedo U la eegía total c Ecuete la depedecia de la capacidad témica de ete ga de fotoe co la tempeatua T. d Cómo e elacioa la fueza geealizada aociada al lago de la cavidad co la deidad lieal de eegía u? Algua elacioe que puede e de utilidad: ( ep + + ( + m N N i i 0 0 d ep ep ( ( m m + m + + ( α + d d l π α [ + ep( ] V /