Elementos de Economía Computacional: Aplicaciones Fundamentales

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1 Elementos de Economía Computacional: Aplicaciones Fundamentales J.C.Segura-Ortiz * Programa de Economía, Universidad de La Salle, Bogotá, D.C. jcsegura@lasalle.edu.co 21 de julio de 2011 Resumen Las aplicaciones de Economía Computacional son cada vez más frecuentes en el análisis económico moderno y suelen ser utilizados para ofecer contribuciones a la evaluación ex-ante/ex-post de decisiones de política que involucran agentes cuyas conductas son susceptibles de ser representadas mediante problemas de optimización. Se ofrece una serie de modelos matemáticos, computables, completamente especificados y parametrizados, y la forma de ponerlos en términos de un lenguaje de computadora para obtener sus soluciones numéricas y para adelantar posteriormente ejercicios de contrafactuales simulación utiles al análisis estratégico de política. 1. Presentación En economía computacional la metodología general puede describirse de modo sucinto así: dada una pregunta objetiva sobre el mundo económico real y dada laadopción de una serie de proposiciones teórica que según estimación del analista pueden explicar el comportamiento del sistema a representar, se adopta para ésta una especificación matemática particular y se añaden datos reales para su parametrización numérica; las soluciones son posteriormente generadas por una aplicación de computadora. Luego de obtener la de benchmark, se simulan cambios en los resultados iniciales mediante la introducción de modificaciones en el ambiente económico recreado en el modelo a través de cambios en los valores de los parámetros que caracterizaron la solución inicial. El analista compara los resultados del equilibrio contrafáctico con los del equilibrio de benchmark, y con los resultados de la comparación, concluye y recomienda. * Director CIDES, Centro de Estudios en Economía Social Universidad de La Salle, (Bogotá, D.C.) 1

2 Una amplia oferta de software comercial hace posible tratar con modelos computacionales de diferentes dimensiones; con mayor o menor dificultad paquetes como MatLab, Mathematica o Gauss, entre muchos otros, pueden servir al propósito descrito. Sin embargo, si se quiere flexibilidad, el GAMS, un potente lenguaje desarrollado por economistas matemáticos bajo el auspicio del Banco Mundial a comienzos de los 80s, es una respuesta de amplísimas posibilidades que serán exploradas en este documento. Se introduce el uso del GAMS en economía computacional, parametrizando y resolviendo una serie de ejemplos esenciales en economía que pueden luego ser incorporados y articulados en aplicaciones computables como modelos Aplicados de Equilibrio General (AGE), modelos multisectoriales, modelos de equilibrio parcial, modelos de dinámicos (de naturaleza recursiva o intertemporal) de crecimiento, entre otros. En la siguiente sección se ofrece una introducción al lenguaje GAMS y a los elementos sintácticos que lo constituyen, en el contexto del problema neoclásico de la elección del consumidor. En cualquier caso una introducción bastante popular es provista en Rosenthal (1988) 1 en donde se trata el modelo de tranporte de George Dantzig de modo intuitivo y eficaz en lo que refiere al lenguaje GAMS en la visión de la programación matemática; no obstante, se quiere ambientar la presente introducción a la economía computacional con ejemplos que pueden resultar mucho más familiares al economista tipo. En la tercera sección se presenta el mismo modelo en una versión más compacta que explora el uso de conjuntos; al mismo tiempo el modelo se formula tanto como un Problema No Lineal (NLP 2 ) típico, cuanto como un Sistema no Lineal Restringido (CNS 3 ). La sección cuarta produce un modelo de equilibrio de intercambio puro mientras que la sección quinta trata una economía con producción. Una sección subsiguiente trata modelos multisectoriales del tipo de InsumoProducto de Leontief y de la clase de Equilibrio General Computable. La sección final presenta modelos en los que la dinámica es introducida en forma recursiva y en forma intertemporal. 2. Teoría Económica y Economía Computacional Las aplicaciones de computador para la solución de sistemas numéricos suelen procesar una serie de ordenes que tienen por propósito resolver numéricamente un modelo matemático. Al tratarse de modelos numéricos, la solución debe ser computada y el modelo matemático, que ha de estar perfectamente especificado en sus aspectos teórico, funcional y paramétrico, debe ser puesto en términos que el computador pueda comprender. La economía computacional tiene que ver con la solución numérica de modelos de economía completamente especificados. 1 R. E. Rosenthal (1988). Çhapter 2: A GAMS Tutorial. GAMS: A User s Guide. The Scientific Press, Redwood City, California. 2 Non Linear Program 3 Constrained Non Linear Program 2

3 2.1. El problema del consumidor: especificación teórica Considere el modelo neoclásico de la demanda individual. Se supone que un agente representativo elige una cesta de bienes x = {x 1, x 2,..., x l } que se encuentra en el conjunto de mercancías disponible, que consta de l elementos, es decir, de l mercancías distintas. Si se acepta que cualquier número real puede representar alguna cantidad de mercancía y que al considerar males estos pueden entrar en la cesta de consumo aludiendo al beneficio de su eliminación, la recolección de basuras, por ejemplo, entonces el conjunto de elección del consumidor típico es un conjunto X = R l +. En otros términos, en el modelo presente el conjunto de elección es el de todos los vectores de valor real en el espacio euclideano de l, o lo que es lo mismo, x R l +. Cada mercancía tiene asociado un único precio dado lo cual, un vector de precios es también un vector p = {p 1, p 2,..., p k,..., p l } de R l +. Con un nivel de riqueza predeterminado, M, el consumidor debe elegir un vector de mercancías que no cueste más que su riqueza: l k=1 p kx k M (1) Con su elección, el consumidor busca maximizar su bienestar, representado por una función de valor real, u : R l + = R que convierte vectores de R l + en números reales. La función se supone monotónica creciente y estrictamente cuasicóncava con lo que mayores cantidades de bienes suponen mayores niveles de u, que se conoce como función de utilidad; la cuasiconcavidad estricta garantiza que de existir solución, ésta será única. El problema del consumidor, consistente en maximizar la función de utilidad eligiendo sujeto a la restricción (1) puede ponderse en términos muy generales de la siguiente forma: sujeta a: máx u(x k ) (2) x k R l l k=1 p kx k M (3) La solución de este problema es una cesta óptima de bienes, maximizadora de la utilidad que varía en forma contínua con los precios y con el ingreso, x (p, M) que se denomina función de demanda del consumidor o bien función de demanda Marshalliana del consumidor Especificación Funcional El modelo compuesto por el objetivo (2) y la restricción (3) involucra una especificación teórica que admite una familia completa de soluciones de la forma x (p, M) que dadas las condiciones teóricas que se imponen sobre (2) y (3) debe comportarse según se sugiere en lo teórico. Sin embargo, para hacer de este modelo útil en aplicaciones empíricas, se precisa proporcionar a sus componentes detalle adicional: en particular, la especificación teórica requiere la adopción de formas funcionales precisas y la posterior asignación numérica a los parámetros, 3

4 que son valores predeterminados que, al definir el conjunto de salida, también definen el conjunto de llegada del modelo. El considerar como un todo el modelo propuesto es fácil comprobar que si bien la especificación teórica es suficiente la especificación funcional es incompleta pues aún cuando para la restricción se ha definido teóricamente una combinación lineal entre precios y cantidades, se ha adoptado una forma lineal para la función de presupuesto, de la función de utilidad, solo se sabe que debe ser contínua, monótona y estrictamente cuasicóncava. Sugún se sabe, existe una gran familia de funciones de valor real que cumplen con estas características; la función del tipo Cobb-Douglas es una de ellas. Si se adopta, por ejemplo, esa forma funcional, el problema de maximización puede formularse ahora de la siguiente manera: sujeta a: máx (x) = l u k=1 xα k k k = 1, 2,..., l (4) l k=1 p kx k M (5) El modelo (4)-(5) es una posible especificación funcional que corresponde al modelo teórico (2)-(3); en efecto, la función objetivo pudo haber correspondido, por ejemplo a formas alternativas como las CES, Trascendental Logarítmica, cuasi-lineal, etc., en tanto que la restricción bien podría haber incluido algunos tramos no lineales, caso en el cual, la forma funcional sería perfectamente distinta. La solución analítica del problema (4) (5) implica la construcción de la función de Lagrange usual y la solución del sistema de ecuaciones a que da lugar el conjunto de condiciones rlevantes para óptimo que caracterizan la solución. En el caso Cobb-Douglas, la solución es un vector de demandas de la forma, x k(p, M) = α km p k para todas y cada una de las k = 1,.., l mercancías en x. Note que la solución analítica del problema funcionalmente especificado da lugar a familias de soluciones que dependen de los valores, en el caso Cobb-Douglas presente, de los parámetros α k, p k y M, i.e., cuando el consumidor tiene preferencias que pueden ser representadas por una función del tipo Cobb-Douglas, su demanda por la k-ésima mercancía es una función contínua del precio de la k-ésima mercancía, de la intensidad de su preferencia por ese bien, α k y del nivel de riqueza M Parametrizando el Modelo Aún, el trabajo computable sigue inaccesible: a lo sumo es posible adelantar algun análisis acerca de la orientación en la que la demanda cambia cuando cambian los valores de los parámetros que caracterizan la solución. Pero eso es todo. En ausencia de valores reales, la demanda queda reducida a una forma funcional con características precisas, su elasticidad ingreso es unitaria, su elasticidad precio cruzado, cero pero, por el momemto, muy generales. 4

5 Avanzando a la especificación completa del modelo, una especificación numérica de los parámetros es necesaria. Un modelo matemático está conformado grosso modo por ecuaciones y variables. Las variables, a su vez, pueden ser tenidas en cuenta como exógenas y endógenas. Las variables endógenas son las soluciones del modelo, e.g., las demandas por las k mercancías en el modelo actual en tanto que las variables exógenas son valores predeterminados que definen, tanto el conjunto de elección, el conjunto de salida, cuanto el conjunto de llegada, el rango de soluciones. Una revisión adicional del modelo (4),(5) hace posible identificar una serie de parámetros suceptibles de ser asignados numéricamente: El número de mercancías, l Los precios de las l mercancías, p k, El ingreso del consumidor M, y El juego de parámetros α k que caracterizan las preferencias Cobb-Douglas por el bien k-ésimo. Suponga que el consumidor del ejemplo debe elegir las cantidades de l=3 mercancías, que la riqueza del consumior es M=100, que el precio de cada una de ellas está dado por el vector p = {1, 4, 3}; finalmente, para los exponentes de las mercancías en la función de utilidad se ha elegido el vector α = {0,5, 0,3, 0,2}. Con el valor de ell definido, la especificación funcional del modelo es, finalmente: sujeta a: máx u(x 1, x 2, x 3 ) = x α1 1 xα2 2 xα3 3 (6) p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 M (7) Reemplazando los valores definidos para p, M y α la versión completamente parametrizada del modelo queda, sujeta a: máx u(x 1, x 2, x 3 ) = x 0,5 1 x0,3 2 x0,2 3 (8) x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 100 (9) En la cual se ha cambiado gracias a la monotonía de las preferencias, i.e., gracias a que el modelo teórico garantiza que en el equilibrio, el consumidor ha de gastar toda su riqueza. La solución de papel y lápiz implica construir la función de lagrange correspondiente, L (x 1, x 2, x 3 ; λ) = x 0,5 1 x0,3 2 x0,2 3 λ(x 1 + 4x 2 + 3x 3 100) (10) y resolviendo para (x 1, x 2, x 3 ; λ) el sistema de ecuaciones resultante de las condiciones (de primer orden) que caracterizan el óptimo: 5

6 L = 0,5x 0,5 1 x 0,3 2 x 3 λp 1 = 0 1 (11) L = 0,3x 0,5 1 x 2 x 0,2 3 λp 2 = 0 2 (12) L = 0,2x 0,5 1 x 2 x 0,2 3 λp 3 = 0 3 (13) L λ = x 1 + 4x 2 + 3x = 0 (14) La solución, luego de operar sobre el sistema, como es la costumbre es (x 1, x 2, x 3; λ ) = (50, 7.5,6.6; 0.19) Implementación en GAMS La solución numérica del modelo es viable siempre que sus dimensiones sean tratables. En el caso presente, el problema matemático consiste en encontrar un vector (x 1, x 2, x 3; λ ) tal que el sistema de ecuaciones (11) a (14) sea igual a cero, cuestión que involucra la solución de un sistema de cuatro ecuaciones para cuatro variables. Las condiciones teóricas que se imponen garantizan que existirá solución, unica y estable. Suponga, sin embargo, que el número de mercancías incluidas aumenta a l = 4: las dimensiones sistema de ecuaciones a resolver aumentan y con ello la dificultad para encontrar la solución que, de cualquier modo, puede ser sobrellevada haciendo uso de un computador. El GAMS es un lenguaje de alto nivel, esto es, un lenguaje más próximo al lenguaje humano que al lenguaje de máquina, con el que es posible formular y resolver numéricamente modelos matemáticos como, precisamente, aquél que trata la presente introducción. La implementación computable del modelo exige, como en cualquier otro tipo de lenguaje para la computación técnica, un proceso de declaración de las entidades del modelo y su asignación numérica previo a su utilización. Quiere decir que cualquier parte del modelo no declarada o asignada será desconocida por el procesador que habrá de generar un mensaje de error. Por lo demás, dado el modelo teórico, el lenguaje implementa la especificación numérica y la especificación funcional y lo resuelve haciendo uso métodos numéricos típicos. En el caso que se está tratando, se definen inicialmente los parametros del modelo para, inmediatamente, hacerlos sujetos de asignación numérica. Tratándose en realidad de datos de un modelo, el GAMS ofrece distintas formas de introducción, que incluyen la lectura desde una base de datos externa. Además, los datos pueden ser escalares, vectores o matrices. Por ejemplo, en el caso del modelo del consumo, la lista de parámetros está definida por la lista M=100, e ingreso, p = {1, 4, 3} el vector de precios de las mercancías y α = {0,5, 0,3, 0,2} que es el vector de exponentes en la función de utilidad. Una pieza de código GAMS que define e incorpora estos datos al modelo es la siguiente: 6

7 *--- Elección del Consumidor: Un modelo escalar de tres mercancias *--- Sección 1: Parámetros del Modelo *--- Declaración de Parámetros parameters M Ingreso del Consumidor p1 Precio de la Mercancía 1 p2 Precio de la Mercancía 2 p3 Precio de la Mercancía 3 alpha1 Exponente de la Mercancía 1 en la función de Utilidad alpha2 Exponente de la Mercancía 2 en la función de Utilidad alpha3 Exponente de la Mercancía 3 en la función de Utilidad ; *--- Asignación numérica de los parámetros M = 100.0; p1 = 1.0; p2 = 4.0; p3 = 3.0; alpha1 = 0.5; alpha2 = 0.3; alpha3 = 0.2; display M, p1, p2, p3, alpha1, alpha2, alpha3; Figura 1. Declaración y asignación de parámetros La pieza de código de la Figura 1 contiene dos distintos tipos de acciones. La primera de ellas consiste en declarar la existencia de una serie de parámetros, cuestión que comienza haciendo uso del verbo parameter, seguido de la lista de parámetros a utilizar; no deje de notar que a la declaración de un parámetro sigue una descripción (opcional) que ilustra sobre el rol del parámetro en el modelo. La declaración de los parámetros concluye con el símbolo, ;, al final de la lista. La segunda acción consiste en asignar calor numérico a cada uno de los elementos de la lista de parámetros declarados, lo cual es tan sencillo como poner alpha2 = 0.3; en el caso del exponente de la mercancía 2 en la función de utilidad. Al finalla acción de parametrización se ha reducido a la construcción de una lista de elementos a la que corresponde una serie de valores numéricos. Es de notar aquí que todo comando termina con ;. Además de la forma de entrada de datos (parametrización) propuesta, el GAMS proporciona una variedad de modos que hacen posible tratar de manera flexible vectores, matrices y otros escalares; buena parte del ejemplo en Rosenthal (1988) desarrolla la entrada de distintos tipos de datos. En cuanto hace referencia al modelo que nos ocupa en este ejemplo, es de notar que el parámetro l, que dice el número de mercancías en la economía, no ha sido sujeto de declaración ni de asignación. Esto debido al caracter escalar de la estratégia de modelamiento numérico que hemos adoptado. La versión vectorial, que insume un tratamiento basado en conjuntos, explota el potencial del lenguaje en este campo, que será tratado más adelante adelante en este texto. 7

8 Con la parametrización numérica el modelo de ejemplo ha tornado una especificación funcional tan general como el modelo (6),(7) en una cuya solución numérica es susceptible de ser computada como, precisamente el modelo (8),(9). En particular, se quiere saber cuáles son los valores de x 1, x 2, x 3 que maximizan (8) y que, dados los precios de mercado, no cuestan más que el ingreso del consumidor. Para la especificación de modelo propiamente dicho, se precisa de la declaración de las entidades que lo estructuran y conforman, v.g. variables (endógenas) y ecuaciones. La Figura 2 contiene una pieza de código GAMS que representa el modelo como una relación entre ecuaciones y variables endógenas y exógenas. Al igual que en el proceso de parametrización, es necesario declarar la existencia de una entidad determinada, un parámetro, una variable, una ecuación, antes de ser utilizada. Una lógica mínima exige que las primeras entidades a declarar son las variables endógenas que es lo que se hace al invocar el verbo variables para, a reglón seguido, escribir la lista de las variables de interés junto con su descripción (opcional), finalizando la lista con ;. El conjunto de ecuaciones que estructuran el modelo se introduce en GAMS declarando su existencia y especificando las relaciones funcionales entre variables exógenas (ó parámetros) y variables endógenas que lo estructuran. El conjunto de ordenes entre el verbo equations y el cierre del comando, ; contiene la lista de ecuaciones que el analista quiere introducir y una descripción (opcional) de la misma: en nuestro caso, las ecuaciones a incluir son la función de utilidad (ecuación (8)) y la restricción de presupuesto (ecuación (9)). *--- Sección 2: Especificación del Modelo *--- Definición de variables endógenas variables u Variable objetivo - utilidad x1 Cantidad de Mercancía 1 x2 Cantidad de Mercancía 2 x3 Cantidad de Mercancía 3; *--- Definición Funcional del Modelo equations u_eq Función Objetivo (Ecuación 6 en el texto) m_eq Restricción de Presupuesto (Ecuación 7 en el texto) ; u_eq.. u =e= x1**alpha1*x2**alpha2*x3**alpha3; m_eq.. p1*x1 + p2*x2 + p3*x3 =e= M; model utilidad / u_eq, m_eq /; Figura 2. Especificación Funcional del Modelo 8

9 A la declaración de ecuaciones sigue la especificación funcional, esto es, la expresión que en el modelo analítico (ecuaciones (8) y (9)) tiene cada ecuación. A diferencia de los libres de texto, en el GAMS las ecuaciones no se identifican con números sino con los nombres que han sido sujeto de especificación en la aplicación del comando equations. Como ya resulta habitual, luego de la declaración de las ecuaciones, sigue su especificación funcional, cuestión realmente fácil de lograr, según se puede comprobar en la Figura 2. La sintaxis del lenguaje GAMS busca que la especificación algebráica de una entidad determinada en el modelo sea análoga a la que se presenta en un libro de texto. No obstante hay que tener en cuenta algunas convenciones específicas al GAMS como, entre otras, la forma como se introducen las relaciones entre lados derecho e izquierdo de las ecuaciones del modelo. Así, el símbolo =e= representa al operador binario =, el símbolo =g= al operador, y el simbolo =l= al operador. El modelo comprende un conjunto de ecuaciones estructuralmente coherentes que se recogen mediante la instrucción, model utilidad / u_eq, m_eq /; que literalmente dice: el modelo utilidad consta de las ecuaciones u eq y m eq. El modelo queda formalmente especificado en lenguaje GAMS con estos comandos si bien es preciso tener en mente que el proceso de solución comienza con una evaluación numérica inicial del modelo que en ausencia de una inicialización de las variables endógenas, se obtendrán muy probablemente mensajes de error atinentes a problemas numéricos como la evaluación de una división por cero, por ejemplo. En GAMS, toda variable tiene asociada una base de datos que registra el valor actual de la variable, así como los valores máximo y mínimo entre los cuales la variable puede adoptar valores. El nombre de una variable seguido de los sufijos.lo,.l o.up indica el valor mínimo, el nivel o el valor superior de la misma. Así, si la variable de interés, es x entonces los registros x.lo, x.l o x.up almacenarán los límites inferior y superior entre los cuales la variable puede tomar valores ( x.lo, x.up ) y el valor actual de la variable. Las variables endógenas del modelo actual son los consumos de mercancías que maximizan la utilidad, x1,x2,x3 y su inicialización se logra mediante una asignación simple: *--- Inicializacion de variables endógenas x1.l = 0.01; x2.l = 0.01; x3.l = 0.01; Luego de esta asignación de initial guesses, es posible invocar al solucionador con una orden sencilla e intuitiva: solve utilidad using nlp maximizing u; Que literalmente traduce resuelva el modelo utilidad utilizando un algoritmo para prograbas no lineales, maximizando la variable u, tras de lo 9

10 cual el analista pasa el control al GAMS que ofrece las respuestas, i.e., los valores de las variables endógenas que resuelven el modelo. La salida del proceso computacional es registrada en un archivo de texto que contiene varias partes incluyendo en forma opcional el código completo del modelo y una tabla de referencias cruzadas de parámetros, ecuaciones y variables que ayudan al debugging del programa. Aparte de esta información se resaltan tres bloques de información relevantes: el reporte de estadísticas del modelo, el resumen del proceso de solución y el reporte de respuestas, que incluye el valor final de las ecuaciones y de las variables. En la Figura 3 se presenta el primero de estos reportes: MODEL STATISTICS BLOCKS OF EQUATIONS 2 SINGLE EQUATIONS 2 BLOCKS OF VARIABLES 4 SINGLE VARIABLES 4 NON ZERO ELEMENTS 7 NON LINEAR N-Z 3 DERIVATIVE POOL 9 CONSTANT POOL 18 CODE LENGTH 29 Figura 3. Estadísticas del Modelo Por ser un modelo construido sobre una aproximación escalar (en oposición a vectorial), el número de bloques de ecuaciones es igual al número de ecuaciones individuales, es decir cada ecuación constituye en si misma un bloque de ecuaciones; al mismo tiempo, y por la misma razón, el número de bloques de variables es el mismo número de variables individuales que en este caso son cuatro: la variable objetivo y los tres niveles de consumo. El resto de la información que hace referencia a distintas dimensiones del sistema de ecuaciones a solucionar no es relevante por el momento si bien su discuión aparece en el Manual de Usuario del GAMS. Por su parte, el resumen del proceso de solución aporta una cantidad adicional de datos de interés: S O L V E S U M M A R Y MODEL utilidad OBJECTIVE u TYPE NLP DIRECTION MAXIMIZE SOLVER PATHNLP FROM LINE 55 **** SOLVER STATUS 1 Normal Completion **** MODEL STATUS 2 Locally Optimal **** OBJECTIVE VALUE RESOURCE USAGE, LIMIT ITERATION COUNT, LIMIT EVALUATION ERRORS 0 0 Figura 4. Resumen del Proceso de Solución del Modelo Numérico 10

11 La primera parte de este reporte arroja información sobre el trabajo que acaba de culminar: registra el nombre del modelo, el tipo de modelo, el solucionador utilizado, el nombre de la variable objetivo, la dirección de a optimización (miniminzar, maximizar) y la línea de código donde aparece la orden de solución. La segunda parte comunica que, en el caso presente, el solucionador terminó en frma normal el proceso, que la solución del modelo es, como en el caso de los NLP, localmente óptima (en el caso de la programa ción lineal o LP. el estatus deseable es Globalmente Óptimo, por ejemplo) y el valor final de la variable objetivo. Al final se propocionan algunos datos del esfuerzo relativo del procesador que fué del % (es decir, un modelo de facil solución), del número de iteraciones necesarias para llegar a la solución (5 de 2 mil millones posibles) y el número de errores en la evaluación numérica del proceso, en este caso, ninguno. El examen de los reportes es indispensable porque da cuenta de si el proceso numérico se ha logrado de manera correcta y garantiza que los resultados numéricos del modelo es coherente con las respuestas esperadas desde la proposición teórica que constituye el punto de partida del análisis. Una vez verificado el exito en este particular, resulta procedente ahora examinar las soluciones del modelo: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU u_eq EQU m_eq u_eq m_eq Función Objetivo (Ecuación 6 en el texto) Restricción de Presupuesto (Ecuación 7 en el texto) LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR u -INF INF VAR x1 -INF INF VAR x2 -INF INF VAR x3 -INF INF. u Variable objetivo - utilidad x1 Cantidad de Mercancía 1 x2 Cantidad de Mercancía 2 x3 Cantidad de Mercancía 3 **** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 0 UNBOUNDED 0 ERRORS Figura 5. Soluciones Numéricas del Modelo El reporte de soluciones contiene dos partes: el valor final de las ecuaciones y el valor de las variables de endógenas, que constituyen la solución del modelo. El bloque de ecuaciones reporta el valor de las ecuaciones en el equilibrio. En el 11

12 caso de la función objetivo que es efectivamente la función de utilidad, el valor reportado bajo la columna LEVEL es cero (. ) indicando que el lado izquierdo de la ecuación, que es una variable libre, y el lado izquierdo que es una relación funcional entre variables endógenas y parámetros, resultaron iguales, dadoslos valores finales de las variables de elección. En el caso de la restricción de presupuesto, el valor final de la ecuación es 100, el valor parametrizado del ingreso, indicando que la relación entre precios y cantidades (óptimas) en la función de presupuesto se satisface con igualdad. Bajo la columna MARGINAL se reportan los multiplicadores duales (o de Lagrage) del problema. Note que el de la función objetivo es 1, de modo que la respuesta a la pregunta cuánto cambia la utilidad cuando la utilidad cambia marginalmente? es 1, es decir, el 100 %. El multiplicador dual de la restricción de presupuesto dice que el aumento de una unidad monetaria de ingreso supone un mejoramiento de la utilidad de 0,19. No deje de tener en cuenta que valores marginales iguales a cero en las ecuaciones indican que la restricción asociada no está activa, problema que se origina en un mal proceso de modelaje en cualquiera de sus etapas. La segunda parte del reporte registra los valores de equilibrio de las variables endógenas y el rango en el cual pueden variar, en este caso el intervalo, (, + ). Las últimas lineas al final de este reporte hacen enfasis en que no hubo elementos no óptimos, ninguna solución tiene elementos fuera del conjunto factible, no hubo problemas de acotamiento y, en suma, que no hubo errores. El código completo del programa aparece en la figura a continuación: 2.5. Análisis de Sensibilidad Suponga que quiere saber cómo cambia la demanda del consumidor cuando, por el ejemplo, el ingreso se reduce en $20 mientras que los precios de las mercancías 1 y 3 se reducen a la mitad, un ejercicio de análisis de sensibilidad típico en este modelo. Del modelo teórico se deriva que, por un lado, el consumo no aumenta cuando el ingreso disminuye mientras que las demandas mantienen una relación inversa con los precios, por otro. Sin embargo, una respuesta específica a la pregunta concreta que se ha formulado puede ser difícilmente provista, aún en estos casos elementales, en ausencia de computaciones numéricas con el modelo. Parte de la metodología en Economía Computacional evalúa comparaciones entre los escenarios básico y contrafáctico mediante aplicaciones que involucran cambiar valores de los parámetros que definen la especificidad del modelo. Al efecto del ejercicio contrafactual que se quiere adelantar, simplemente se cambian los valores de los parámetros relevantes mediante una asignación numérica directa. Para el ejercicio planteado, implemente añada el siguiente conjunto de lineas, luego de la invocación del solucionador primaria: 12

13 *--- Valores alternativos de los parámetros M = M*0.8; p1 = p1*0.5; p3 = p3*0.5; solve utilidad using nlp maximizing u; La solución alternativa es la que aparece en la siguiente figura: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU u_eq EQU m_eq u_eq m_eq Función Objetivo (Ecuación 6 en el texto) Restricción de Presupuesto (Ecuación 7 en el texto) LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR u -INF INF VAR x1 -INF INF VAR x2 -INF INF E VAR x3 -INF INF. u Variable objetivo - utilidad x1 Cantidad de Mercancía 1 x2 Cantidad de Mercancía 2 x3 Cantidad de Mercancía 3 **** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 0 UNBOUNDED 0 ERRORS Figura 6. Soluciones Numéricas del Modelo Alternativo Como es el caso en la totalidad de lenguajes para computación técnica, el GAMS ofrece la posibilidad de construir reportes para consolidar la información que se obtiene de los ejercicios computables que el analista adelanta y produce. En principio la construcción de estos resumenes implica almacenar los datos de las soluciones inicial y contrafactual y diseñar una salida que facilite su lectura e interpretación. Un reporte muy sencillo que en forma efectivamente hace posible una comparación entre los resultados básico y contrafactual, o sea, el modelo con una parametrización alternativa se construye definiendo un parámetro en el cual se almacenan los resultados obtenidos, inmediatamente después de cada solución. El despliegue de estos resultados se ofrece a continuación; la construcción del reporte se incluye en el listado completo del programa, al final de esta sección: 13

14 PARAMETER reporte Un Reporte de Resultados Base Alt M p p p x x x u La contrucción de reportes más elaborados es, naturalmente, posible pero el trabajo adicional es proporcional al detalle de que se quiere incluir en estos resúmenes. En efecto, con los datos de la tabla anterior es fácil construir indicadores de bienestar típicos (Variación Equivalente / Variación Compensada) y un sinnúmero de datos a gusto del analista resultando, en adición, posible exportar los datos de salida a archivos de hoja electrónica que pueden facilitar los trabajos de consolidación de la información. El conjunto completo de ordenes se reune en un archivo de texto con extensión GAMS que es susceptible de ser editado con una interfase de usuario como épsilon o cualquier otro de su predilección; en todo caso, la versión de la casa de GAMS incuye el GAMS-IDE (GAMS Interactive Developer Environment) que es una interface de un muy flexible manejo. El codigo GAMS completo, incluida una serie de instrucciones que prepara un reporte post-cómputo para la comparación de los equilibrios inicial y contrafáctico aparece en el apéndice A. 3. El Modelo del Consumidor Revisado La versión del problema del consumidor de la sección previa adopta una aproximación escalar, esto es, que representa las variables endógenas y exógenas del modelo como entidades individuales que no pertenecen en forma explícita a ningún conjunto predefinido. Sin embargo, la discusión teórica del acápite 2.1. establece con claridad que las mercancías hacen en realidad parte de un subconjunto de los reales bien definido con l elementos a los cuales corresponden l precios. En oposición al modelo representado por las ecuaciones (6)-(7) de la sección 2.3. supra, se quiere una representación más compacta como la de las ecuaciones (4)-(5) en la sección 2.2. en las que sumas y productos aparecen como operadores sobre un conjunto específico. Una de las características más apreciadas del GAMS es la flexibilidad de su tratamiento de conjuntos, cuestión que proporciona un gran ahorro de tiempo y energía cuando se trata de representar modelos de grandes dimensiones. En esta sección se introduce el uso de conjuntos en GAMS y junto con la versión NLP en forma vectorial se presenta alternativa de presentación del mismo problema como un CNS (ver nota a pie 3) 14

15 3.1. Modelo del Consumidor en Formato Vectorial Un consumidor representativo elige una cesta de bienes x = {x 1, x 2,..., x l } que se encuentra en el conjunto de mercancías disponible, que consta de l elementos, es decir, de l mercancías. Una primera convención sobre la que se precisa llamar la atención es que en GAMS, la notación de los conjuntos es equivalente a los subindices en el álgebra corriente, si bien constituyen series de elementos sobre los cuales se hacen operaciones. La definición de un conjunto se hace utilizando el verbo set seguido del nombre del conjunto, de una descripción opcional del mismo y de la lista de sus elementos. En el caso de las mercancías del modelo del consumidor, esta orden es: set k Mercancías /1,2,3/; en donde se dice que el conjunto k consta de los elementos 1, 2, 3. Una forma de definir el mismo conjunto es: set k Mercancías /1*3/; que dice que todos los elementos del 1 hasta el 3, están en el conjunto k. La parametrización hace eco de esta nueva circunstancia. En efecto, hay un precio en la restricción presupuestal, y un exponente en la función de utilidad para cada mercancía, i.e., para cada elemento del conjunto recién definido. La siguiente pieza de código muestra la implementación de la definición y asignación de parámetros del modelo: *--- Definición de Conjuntos set k Mercancías /1,2,3/; *--- Declaración y asignación numérica de parámetros. parameter p(k) Precio de la Mercancía k-ésima / / alpha(k) Exponente de la mercancía k en la función de utilidad / / ; scalar M Ingreso del consumidor /100/; Figura 7. Parametrización Vectorial del Modelo Por ejemplo, en el caso del vector de precios, la declaración implica una definición que establece un mapeo unívoco entre precios y mercancías, por lo que los precios, como en el modelo anterior, no son declarados uno a uno, sino 15

16 como un vector con tres elementos, p(k). Los exponentes de cada mercancía en la función de utilidad reciben un tratamiento análogo y se notan alpha(k). A la declaración de cada parámetro sigue una asignación numérica cuya sintáxis exige relacionar con cada elemento del conjunto k el valor del parámetro siendo importante señalar que la lista de valores de cada parámetro y los elementos del conjunto de referencia al que correponden, han de escibirse entre slashes o barras inclidadas;la asignación de estas listas inicia con el verbo parameter y termina con ;. El ingreso, en el esquema marshalliano es un escalar y se declara bajo esa convención utilizando el verbo scalar seguido del nombre del parámetro, una descripción (opcional) del mismo y su valor, entre barras inclinadas. Como es de esperar las variables endógenas del modelo se declaran de acuerdo con sun naturaleza, ya sea esta escalar, como en el caso de la utilidad, o vectorial, en el caso de los elementos de la cesta de consumo que han de maximizar la función objetivo. No deje de observar que la declaración comienza con el verbo variables y termina, como en los casos anteriores con ; *--- Definición de variables endógenas variables u x(k) Variable objetivo - utilidad Demanda de Mercacnía k-ésima; Figura 8. Declaración de Variables Como en el caso escalar, hay cuatro variables: el indicador de utilidad, u y los cuatro elementos del vector x(k), que son los consumos de las tres mercacnías que optimizan el bienestar del consumidor. Las ecuaciones del modelo se formulan aprovechando la notación vectorial. Se pide comparar la formulación a continuación con la del modelo en la versión escalar, y con el modelo (4)-(5): *--- Definición Funcional del Modelo equations u_eq Función Objetivo (Ecuación 4 en el texto) m_eq Restricción de Presupuesto (Ecuación 5 en el texto) ; u_eq.. u =e= prod(k, x(k)**alpha(k)); m_eq.. sum(k, p(k)*x(k)) =e= M; Figura 9. Especificación del Modelo en Versión Vectorial 16

17 No obstante las evidentes diferencias en la definición operacional de las ecuaciones del modelo respecto de la versión escalar, la declaración del modelo a solucionar es idéntica. Por otra parte, la inicialización de las variables, que se ha impuesto como una conveniente ayuda a las computaciones numéricas, resulta más compacta por virtud de la utilización de conjuntos que facilita el lenguaje puesto que la orden, x.l(k) = 0.01; comparada con la serie de asignaciones, x1.l = 0.01; x2.l = 0.01; x3.l = 0.01; es efectivamente mucho más compacta y fácil de implementar: simplemente piense que el número de mercados aumenta a 20 o 30 y que el número de agentes que concurren a los mercados del modelo asciende una o dos decenas. Es de esperarse también que las salidas numéricas sean reportadas en los grupos indicados. De una ojeada a las estadísticas del modelo: MODEL STATISTICS BLOCKS OF EQUATIONS 2 SINGLE EQUATIONS 2 BLOCKS OF VARIABLES 2 SINGLE VARIABLES 4 NON ZERO ELEMENTS 7 NON LINEAR N-Z 3 DERIVATIVE POOL 9 CONSTANT POOL 18 CODE LENGTH 29 Figura 10. Maximización de la Utilidad: Estadísticas del Modelo Vectorial Una diferencia fundamental respecto de la versión escalar del modelo es que si bien hay tantos bloques de ecuaciones cuanto de ecuaciones individuales, las variables aparecen agrupadas de un modo que refleja la estratégia de modelamiento porque si bien se registra que se han declarado en efecto dos bloques de ecuaciones, u y x(k), en realidad en este último grupo hay tres variables, x1, x2, x3, esto es, cuatro variables individuales. En forma paralela, la información numérica sobre los valores finales de las ecuaciones y las variables aparece agrupada en bloques : LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU u_eq EQU m_eq u_eq m_eq Función Objetivo (Ecuación 6 en el texto) Restricción de Presupuesto (Ecuación 7 en el texto) 17

18 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR u -INF INF. u Variable objetivo - utilidad ---- VAR x Demanda de Mercacnía k-ésima LOWER LEVEL UPPER MARGINAL 1 -INF INF. 2 -INF INF. 3 -INF INF. **** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 0 UNBOUNDED 0 ERRORS Figura 11. Soluciones del Modelo en versión Vectorial 3.2. El Modelo del Consumidor como un CNS Es posible especificar el prpblema del consumidor como un CNS o Constrained Non-Linear System, es decir como un sistema de ecuaciones no (necesariamente) lineal. A diferencia de los enfoques LP/NLP que involucran una función objetivo a optimizar dada la elección de un vector del conjunto factible, en el el formato CNS se elige un vector de variables endógenas que satisfaga los requerimientos del probelma. Formalmente, un CNS puede ponerse en la siguiente forma 4 Encontrar x sujeto a: F (x) = 0 l x u G(x) b A la función vectorial F (x) corresponde un vector que puede restringirse a los límites l y u (inferior y superior) y se puede incluir una familia de ecuaciones adicionales G(x) b que contribuirán a la definición del la región factible. El conjunto de ecuaciones (11) a (14) corresponde precisamente a esta descripción del problema CNS y puede ser resuelto utilizando un procesador adecuado. En formulación GAMS del modelo del consumidor en formato CNS la definición de parámetros permanece inalterada respecto del modelo NLP si bien los bloques de variables y de ecuaciones se modifican levemente: la variable u se elimina al tiempo que se incluye una nueva variable llamada lambda que es el CNS 4 GAMS Corp. Model Types Description en 18

19 multiplicador dual que acompaña a la restricción presupuestal en la función de Lagrange; en adición, con la definición funcional del sistema de ecuaciones, se plantean dos bloques de ecuaciones: el que corresponde a las derivadas parciales de la función de Lagrange respecto de las variables de elección, x(k), y el que corresponde a la parcial de la función legrangeana respecto del multiplicador dual, que como es bien sabido, corresponde a la restricción presupuestal del consumidor; en total, cuatro ecuaciones en dos bloques. La siguiente pieza de código muestra la forma como se ha especificado el modelo en esta versión: *--- Definición Funcional del Modelo equations foc_x_eq foc_m_eq foc_x_eq(k).. Función Objetivo (Ecuaciones 11 a 13 en el texto) Restricción de Presupuesto (Ecuación 14 en el texto); (alpha(k)/x(k))*prod(j, x(j)**alpha(j)) =e= lambda*p(k); foc_m_eq.. sum(k, p(k)*x(k)) =e= m; Figura 12. Especificación Funcional como un CNS La ecuación foc m eq corresponde a la derivada direccional L λ que da necesariamente la restricción presupuestal: es un bloque de ecuaciones que comprende exactamente una ecuación. Por su parte la ecuación foc x eq(k) aparece referida al conjunto k, esto es, constituye un bloque de k elementos que son las ecuaciones (11),(12) y (13) en el texto. Se quiere la atención sobre una característica interesante en la formulación de este bloque de ecuaciones, que incluye un índice j al cual no se ha hecho referencia aún. Para comprender L esta definición, considere de nuevo la derivada direccional x k que en el caso Cobb-Douglas es, L x 1 = (α k /x k ) k x α k k = λp k (15) Esta expresión es el producto de dos componentes: el k-vector (α k /x k ), y el producto k xα k k que da la utilidad que reporta un plan de consumo x = {x 1, x 2,..., x l } y que es, por tanto, un escalar. Si el modelista entra la especificación, foc_x_eq(k).. (alpha(k)/x(k))*prod(k, x(k)**alpha(k)) =e= lambda*p(k); deberá obtener dos mensajes de error que notificarán sobre una operación conflictiva con los elementos de un conjunto determinado, y que por esta razón el modelo no puede ser resuelto. 19

20 125 Set is under control already 257 Solve statement not checked because of previous errors Estos errores surgen porque en la ecuación foc x eq(k), que debe operar para cada elemento en el conjunto k hay dos operaciones en conflicto. En primer lugar se debe computar un vector de ratios (alpha(k)/x(k)), operación legal porque denominador y numerador de la expresión tienen k elementos, mientras que en la otra mano, la ecuación debe computar un producto que agrega todos los elementos x(k en un escalar, para todo k en el conjunto de referencia; es decir, el producto señalado, que es una constante (pues aparece en cada una de las condiciones de primer orden), es tratado como una variable, en el control de la ecuación que está determinado por la posición del índice k en el conjunto. Por supuesto, hay una forma de resolver el problema y una posible respuesta para este caso consiste en liberar el índice k del control de la ecuación cuando está computando el producto usando una copia del conjunto k que se ha llamado j en este ejemplo, y que se obtiene introduciendo la orden, alias(k,j) con esta instrucción GAMS crea una copia del conjunto k llamado conjunto j que puede ser utilizado en la solución del progblema. En efecto, al modificar el producto prod(k, x(k)**alpha(k)) para cambiar k por j, el control de la ecuación (qué está definido sobre k desaparece del producto, que ya puede efectuarse sin conflicto, sin que la ecuación como un todo pierda pertinencia. La instrucción que ordena solucionar el modelo es similar a las de los casos anteriores salvo por el hecho de que en los modelos CNS los conceptos de variable y función objetivo carecen de sentido. La instrucción en estos casos es solve <nombre del modelo> using CNS. En nuestro caso particular, si el modelo se ha llamado utilidad, la instrucción es: solve utilidad using CNS; Vale la pena dar una ojeada a los resultados, que arrojan datos interesantes, respecto del caso NLP. En la sección del informe de resultados que se refiere a las estadísicas del modelo se revelan la dimensiones efectivas del modelo: MODEL STATISTICS BLOCKS OF EQUATIONS 2 SINGLE EQUATIONS 4 BLOCKS OF VARIABLES 2 SINGLE VARIABLES 4 NON ZERO ELEMENTS 15 NON LINEAR N-Z 9 DERIVATIVE POOL 10 CONSTANT POOL 18 CODE LENGTH 112 FIXED EQUATIONS 4 FREE VARIABLES 4 Figura 13. Maximización de la Utilidad como un CNS: Estadísticas del Modelo 20

21 Empiece por notar que a los dos bloques de ecuaciones, corresponden en realidad, cuatro ecuaciones individuales: las tres ecuaciones agrupadas en foc x eq(k), más la ecuación de presupuesto. Al mismo tiempo, se han definido dos bloques de ecuaciones que reunen en realidad cuatro variables: los cuatro elementos de x(k) más el ingreso del consumidor, m. Al final, el número de ecuaciones fijas (4) y el número de variables libres (4) señalan un hecho particular a observar cuando se formula un modelo bajo el formato CNS 5 que es el de la necesidad de que el modelo sea cuadrado. En el Resumen de la Solución se registra, además del nombre del modelo, el tipo y el solucionador elegido, el status final de solucionador, que en el caso de un procesamiento exitoso debe ser 1 Normal Completion, y el estatus final del modelo, que de ser resuelto en forma correcta, ha de ser 16 Solved, en oposición a 1 Optimal del caso LP y a 2 Locally Optimal en los modelos NLP. S O L V E S U M M A R Y MODEL utilidad TYPE CNS SOLVER PATH FROM LINE 59 **** SOLVER STATUS 1 Normal Completion **** MODEL STATUS 16 Solved RESOURCE USAGE, LIMIT ITERATION COUNT, LIMIT EVALUATION ERRORS 0 0 Figura 14. Resumen de Solución Finalmente, la forma de presentación de las soluciones numéricas, también varía en relación con los casos en los cuales existen función y variable objetivo: ---- EQU foc_x_eq Función Objetivo (Ecuaciones 11 a 13 en el texto) LOWER LEVEL UPPER LOWER LEVEL UPPER ---- EQU foc_m_eq foc_m_eq Restricción de Presupuesto (Ecuación 14 en el texto) 5 Al igual que en el formato MCP (Mixed Complementarity Program) 21

22 ---- VAR x Demanda de Mercancía k-ésima LOWER LEVEL UPPER 1 -INF INF 2 -INF INF 3 -INF INF LOWER LEVEL UPPER ---- VAR lambda -INF INF Figura 15. Soluciones Numéricas en el Caso CNS Por tratarse de un modelo que adopta una estrategia vectorial, ecuaciones y variables se reportan en bloques. En relación con el conjunto de ecuaciones foc x eq(k), las soluciones satisfacen completamente los requerimientos que las ecuaciones individuales imponen, que es la razon por la cual se reporta cero para cada una de ellas. En cuanto al segundo bloque de ecuaciones (la derivada parcial de la función de Lagrange respecto del multiplicador dual), el valor reportado es el de la constante, que es el ingreso del condumidor. Llama la atención que en el caso CNS las ecuaciones no tienen asociados variables de holgura o multiplicadores duales, en contraste con los formatos LP/NLP que si reportan bajo la columna MARGINAL valores distintos de cero cuando las restricciones están activas. En la solución, los valores de las variables de elección son, por supuesto, idénticas a los de los formatos estudiados previamente mientras que la variable lambda recibe el valor que corresponde al marginal de la ecuacion m eq en la varsión NLP de este mismo modelo (cfr. Figura 11 ) Resolviendo dentro de un Ciclo Suponga que se quieren obtener los niveles demanda por una (o varias) de las mercancías disponibles para distintos sistemas de precios. Una forma de obtener una lista completa de precios y las cantidades demandadas asociadas consiste en resolver en forma iterativa el modelo dentro de un ciclo definido por el analista. La función loop ejecuta un conjunto de intrucciones definidas por el usuario para una serie de valores en un conjunto dado. Considere, por ejemplo, veinte iteraciones en cada una de las cuales el precio de la mercancía de interés se incrementa en un 5 %, el modelo es resuelto y los resultados se almacenan. El procedimiento comienza definiendo el conjunto de iteraciones con el comando set y declarando un nuevo parámetro con el nombre report, que servirá para almacenar los resultados del modelo en cada iteración. Al interior del ciclo, que comienza con el verbo loop, se incluirán instrucciones necesarias para los propósitos definidos. set it Iteraciones /1*20/; 22

23 parameter report Un Reporte de Resultados; loop(it, ); display report; p("1") = p("1")*1.05; solve utilidad using cns; report(it,"p1") = p("1"); report(it,"x1") = x.l("1"); Figura 17. Solución dentro de un Ciclo La primera instrucción dentro del ciclo actualiza el precio de la mercancía 1 en 5 % en tanto que la segunda instrucción resuelve el modelo con la nueva información. Las dos instrucciones siguientes registran la información resultante en el parámetro reporte definido previamente; observe que aún cuando la declaración del reporte no involucró la definición de sus dimensiones, en las instrucciónes dentro del loop se ha definido que el reporte contendrá tres columnas: una primera que registrará el número de la iteración, que es un valor del conjunto it, una segunda segunda registrará el precio en esa iteración, y la tercera el nivel de la demanda por mercancía, dado ese precio, en esa iteración. Finalizado el ciclo, él comando display report despliega la información almacenada en el parámetro: PARAMETER report p1 X