Article received on June 06, 2002; accepted on July 30, 2004

Transcripción

1 Computacón y Sstemas Vol. 8 Núm., pp , CIC-IPN, ISSN 40-4, Impeso en Méxco Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough- Stewat Tpo -3 An Algothm to Solve Fowad Knematcs Gough Stewat -3 Platfoms Resumen J. Gallado-Alvaado, J.M. Rco-Matínez y H. ozco-mendoza Depatamento de Ingeneía Mecánca Insttuto Tecnológco de Celaya 3800 Celaya, Gto., Méxco Tel: + (4)77, Fax: + (4)7979 {gjame,mco,hoaco}@tc.mx Atcle eceved on June 0, 00; accepted on July 30, 004 Un algotmo paa esolve la cnemátca decta, hasta el análss de aceleacón, de una platafoma Gough-Stewat con una topología especal, conocda como tpo -3, es ntoducdo en este tabajo. El análss decto de poscón se lleva a efecto aplcando smple conceptos geométcos que conducen a un sstema no lneal de tes ecuacones con tes ncógntas, el cual se esuelve po medo del método de Newton-Raphson. Las popedades de la foma de Klen, una foma smétca blneal o poducto nteno del álgeba de Le e(3), pemten obtene expesones smples y compactas paa el cálculo de la velocdad angula y de la aceleacón angula de la platafoma móvl con especto a la platafoma fja. Paa este fn, el estado de velocdad, o el go sobe un tonllo (Ball 900), y el estado de aceleacón educda de la platafoma móvl se expesan en foma de tonllos a tavés de cada una de las ses cadenas see del manpulado paalelo. Con la ayuda del pogama de computadoa Maple se esuelve un ejemplo numéco, y los esultados numécos así geneados se valdan con el pogama de análss ADAMS. Palabas Clave: Platafoma paalela, Análss de aceleacón, Foma de Klen, Teoía de tonllos, Cnemátca. Abstact An algothm fo solvng the fowad knematcs, up to the acceleaton analyss, of a Gough Stewat platfom wth a specal topology, namely type -3, s ntoduced n ths wok. The fowad poston analyss s caed out by applyng smple geometc pocedues that leads to a non-lnea system of thee equatons wth thee unknowns, whch s solved by means of the Newton-Raphson method. Aftewads, the popetes of the Klen fom, a blnea symmetc fom o nne poduct of the Le algeba e(3), allow to obtan smple and compact expessons fo the computaton of the angula velocty and the angula acceleaton of the movng platfom wth espect to the fxed platfom. To ths end, the velocty state, o the twst about a scew (Ball 900), and the educed acceleaton state of the movng platfom ae expessed n scew fom though each one of the sx lmbs of the paallel manpulato. Wth the ad of specal softwae lke Maple a numecal example s solved, and the numecal esults so obtaned ae valdated wth the softwae of analyss ADAMS. Keywods: Paallel platfom, Acceleaton Analyss, Klen fom, Scew Theoy, Knematcs. Intoduccón Una platafoma geneal Gough-Stewat se compone de un ógano temnal, denomnado platafoma móvl, y un eslabón base, denomnado platafoma fja, undos po medo de ses cadenas see las cuáles se acconan de manea ndependente. En compaacón con los manpuladoes see, los manpuladoes paalelos poseen una gan gdez en su estuctua y po lo tanto tenen una gan capacdad de caga, po ota pate puesto que no exste acumulacón de eoes sobe la platafoma móvl entonces es posble obtene una mejo pecsón. A cambo de estas ventajas, los manpuladoes paalelos poseen un espaco de tabajo sumamente lmtado. No obstante su pobe dextedad, los manpuladoes paalelos tenen aplcacones nteesantes como lo son los centos de maqunado po contol numéco y los obots camnantes. 3

2 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 En 9 Gough popuso un mecansmo paalelo paa puebas de duabldad en neumátcos sometdos a dfeentes condcones de caga. Posteomente, en 9 Stewat popuso el esquema de un smulado de vuelo basado en un mecansmo paalelo. De esta manea, en la actualdad los manpuladoes paalelos que utlzan aqutectuas semejantes a las popuestas po Gough y Stewat se conocen como platafomas de Gough-Stewat, Melet (999). Algunas de las desventajas de una platafoma geneal Gough-Stewat, es dec de ses gados de lbetad, son las sguentes: El análss decto de poscón, un paso nevtable en el dmensonado mecánco de los componentes del manpulado, es una taea compleja que conduce a cuaenta posbles solucones eales (Raghavan 993; Innocent 998). De esta manea el contolado equee de nfomacón adconal, po medo de sensoes, sobe la ubcacón nstantánea de la platafoma móvl. La pesenca de snguladades locales, D Gegoo (00), es un poblema ecuente que lmta al espaco de tabajo. Como consecuenca del punto anteo, la manpulabldad o dextedad del mecansmo es extemadamente cuestonable A fn de smplfca el análss decto de poscón e ncementa el espaco de tabajo y con ello la dextedad del manpulado, la platafoma Gough-Stewat se puede modfca de tal foma que dos cadenas see o extemdades tengan un pa esféco común, dando luga a lo que se conoce como un manpulado paalelo Gough-Stewat tpo -3. Cabe mencona que con dcho aeglo se consevan los ses gados de lbetad del mecansmo. En Ku (000) se aboda el análss cnemátco de un manpulado Gough-Stewat tpo -3. Sn embago dcho tabajo se lmta al análss decto de poscón y se fundamenta en el cálculo de los ángulos de nclnacón de las extemdades, lo cual dfculta su ntepetacón. El pesente tabajo se enfoca pecsamente al análss cnemátco decto, ncluyendo los análss de velocdad y de aceleacón, de una platafoma Gough-Stewat tpo -3. El análss decto de poscón se esuelve aplcando matces homogéneas de tansfomacón, en combnacón con ecuacones de compatbldad, con lo que se genea un sstema no lneal de tes ecuacones con tes ncógntas el cual se esuelve vía el método de Newton- Raphson. Más aún, a dfeenca de la contbucón de Ku (000), el análss decto de poscón popuesto en la pesente contbucón se fundamenta en el cálculo de las coodenadas, de acuedo a un sstema global de efeenca, de los paes esfécos del manpulado, ello hace supone que se obtene una ntepetacón más claa de los esultados geneados. Una vez que se ha esuelto el análss de poscón, el estado de velocdad de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, se expesa en foma de tonllos nfntesmales a tavés de cada una de las ses cadenas see. La aplcacón sstemátca de la foma de Klen ente una línea en coodenadas de Plucke a lo lago de cada extemdad y el estado de velocdad, escto en foma de tonllos nfntesmales y como un vecto de ses dmensones, conduce a una expesón smple y compacta que pemte obtene el estado de velocdad de la platafoma móvl en témnos de las velocdades genealzadas y de las coodenadas de Plucke de cada una de las ses líneas, sendo de especal nteés el cálculo de la velocdad angula de la platafoma móvl. De manea smla se esuelve el análss decto de aceleacón. Fnalmente, la metodología se mplementó en un pogama de computadoa en Maple, y se aplcó en un ejemplo numéco. Con el objeto de valda los esultados numécos, se geneó un modelo en el pogama de análss dnámco ADAMS. Conceptos Pelmnaes sobe Teoía de Tonllos Un tonllo nfntesmal,, es un vecto de ses dmensones que consta de una componente pmaa, una componente dual, D () = s, dado po s =, s P () = s, y 33

3 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. s donde es un vecto untao a lo lago del eje nstantáneo del tonllo mentas que s es el momento poducdo po s / P el vecto de acuedo a un vecto, el cual nca en un punto punto de efeenca. El pa momento se detemna como h s hs + s / P =, P del eje nstantáneo de tonllo y temna en el donde es el paso del tonllo. El álgeba de Le, e(3), puede consdease como el álgeba de los elementos nfntesmales del gupo Euclídeo, E(3), y es somófca al álgeba de tonllos, fecuentemente denomnada álgeba de motoes, en la que se satsfacen las sguentes opeacones. Sean = ( s, s ), = ( s, s ) y = ( s, s ) elementos del álgeba de Le e(3) y sea además λ R. Entonces. Adcón, + = ( s + s, s + s ).. Multplcacón po un escala, λ = ( λs, λs ). 3. Poducto de Le, s s s s s [ ] = s 3 3. De esta manea, el álgeba de Le, e(3), es un álgeba no conmutatva, no asocatva que satsface la dentdad de Jacob. Más aún, es posble defn dos fomas smétcas blneales o poductos ntenos.. La foma de Kllng,. La foma de Klen, K : e(3) e(3) K( = s s KL, ) : e(3) e(3) KL(, ) = s s + s s donde y denotan, espectvamente, al poducto cuz y al poducto nteno del álgeba vectoal convenconal de tes dmensones. Suponga que un cuepo ígdo posee una velocdad angula ω y que un punto v, fjo al msmo, posee una velocdad ambos vectoes efedos con especto a oto cuepo o sstema de efeenca. Puesto que con ambos vectoes es posble detemna la velocdad de cualque punto del cuepo ígdo, entonces es totalmente azonable defn al estado de velocdad, V, del cuepo ígdo como un vecto de ses dmensones de la sguente manea V = ω. () v La velocdad angula ω se conoce como la componente pmaa mentas que la velocdad se conoce como la componente dual. Más aún, a pncpos del sglo XX Ball (900) defnó al estado de velocdad como el go sobe un tonllo, esto es V = ω. () Suponga ahoa que el cuepo ígdo posee una aceleacón angula α y que el punto posee una aceleacón. Band (947) defnó el estado de aceleacón educda o smplemente, po bevedad, aceleado de un cuepo ígdo, A R, como un vecto de ses dmensones dado po v a 34

4 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 A R = a α ω v, (3) donde, α es la componente pmaa mentas que la composcón a ω v es la componente dual.. Nótese que en las expesones () y (3) las componentes pmaas no dependen de nngún punto en patcula y po lo tanto pueden consdease popedades de los cuepos ígdos. Al contao, las componentes duales dependen del punto de efeenca. Más aún, la componente pmaa del aceleado se obtene de manea decta a pat de la componente pmaa del estado de velocdad, esto es d α = ω. dt Po su pate la deduccón de la componente dual del aceleado, a pat del estado de velocdad, es más elusva. Este pocedmento se aclaa s se toma en cuenta que tanto el estado de velocdad como el de aceleacón educda son vectoes de ses dmensones que satsfacen las condcones de un campo vectoal helcodal, paa detalles consulte Gallado y Rco (998). En un manpulado see el estado de velocdad del ógano temnal, cuepo m, con especto al eslabón base, cuepo 0, puede establecese en témnos de los tonllos nfntesmales asocados a los paes cnemátcos y las velocdades elatvas, ω, como m 0 m + V = ω +. (4) = 0 Po su pate el estado de aceleacón educda del ógano temnal, en témnos de tonllos nfntesmales, vendá dado po donde, el tonllo de Le, L 0 m R m = 0 A = α, () + + +, se detemna a pat de los esultados del análss de velocdad como L L m m + = + = 0 j= + j j+ ω jω j+. () Las expesones (4) y () son las ecuacones fundamentales que pemten esolve el análss cnemátco de manpuladoes see y pueden extendese sn esfuezo consdeable a los análss de velocdad y de aceleacón de cadenas cnemátcas ceadas y po supuesto a los manpuladoes paalelos. Paa nfomacón más detallada de dchas expesones se sugee consulte Rco y Duffy (99). 3 Análss de Poscón El análss nveso de poscón de una platafoma Gough-Stewat es hasta ceto punto una taea tval y po lo tanto no tene sentdo nclulo en la pesente contbucón. Al contao, el análss decto de dcho manpulado es una taea adua que equee de mayo atencón. S ben es ceto que la deduccón de las ecuacones de desplazamento no tene mayoes dfcultades, su solucón es compleja y aún en nuestos días es tema de debate. Al especto, exsten dos pncpales métodos de solucón. El pmeo consste en la aplcacón de una técnca numéca, teatva y po lo tanto apoxmada, como lo es el método de Newton-Raphson. El segundo consste en la fomulacón de un polnomo, con el cuál es posble obtene vaas solucones eales. En Melet (993) se poponen hasta solucones del polnomo. En dcha contbucón se muesta una compaacón del tempo equedo paa obtene una solucón po medo del método de Newton-Raphson y el tempo equedo paa genea las solucones del polnomo. Cuosamente, el tempo de cálculo equedo esultó consdeablemente mayo en el segundo caso. Esto toma sentdo s se econoce que el método de Newton-Raphson convege, s es que 3

5 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. exste la solucón, azonablemente en tes o cuato teacones. Po ota pate, s se econoce que paa fnes páctcos la platafoma móvl ocupa sólo una ubcacón nstantánea, entonces la utlzacón del método de Newton-Raphson en la solucón del análss decto de poscón es una opcón totalmente válda. La solucón completa del polnomo es bastante ecente, data de hace menos de dez años, y se debe a Husty (99). En este tabajo la solucón numéca de las expesones del análss decto de poscón del manpulado bajo estudo se esuelve usando el método de Newton-Raphson y se establece de la sguente manea. Dadas las longtudes de las extemdades del manpulado, detemna la ubcacón, es dec la oentacón y la poscón, de la platafoma móvl con especto a la platafoma fja po medo del cálculo de las coodenadas de los paes esfécos, los cuales se encuentan en la platafoma móvl, del manpulado. Consdee el mecansmo espacal que se muesta en la Fgua. El nco de las extemdades del manpulado se especfca con las coodenadas de las juntas unvesales ( =,,...,) en la platafoma fja, mentas que las dstancas ente los paes esfécos, sobe la platafoma móvl, U se especfcan po medo de las dstancas l j ( =,,34; j = 34,,3). Con estos paámetos y dadas las longtudes de las extemdades del manpulado, expesadas en las coodenadas genealzadas detemna la ubcacón esultante de la platafoma móvl. De la geometía del mecansmo suge nmedatamente que q ( =,...,), se desea de esta manea b j ' = q aj = q j ( aj a j =,34, a j + ' j aj ' j q q aj =. (8) ) (7) Fg.. Platafoma Gough-Stewat tpo -3 Consdee ahoa un sstema global de efeenca y tes sstemas de efeenca locales,, undos a la platafoma fja tal y como se muestan en la Fgua. o j ( j =,34,) XYZ xyz 3

6 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 Fg.. Los cuato sstemas de efeenca Entonces, de acuedo a las ccunfeencas locales, expesadas en sus coespondentes sstemas de efeenca, se obtene que ( y j ) j + ( z ) = b, j =,34, j. (9) Más aún, las coodenadas locales pueden expesase en el sstema global de efeenca po medo de matces homogéneas de tansfomacón como X Y = T Z donde, la j-ésma matz homogénea de tansfomacón, j j x j y j z cual nca en el ogen del sstema global de efeenca, punto local de efeenca, como R =, (0) j T, se detemna de acuedo a un vecto de poscón oj, el, y temna en el ogen del coespondente sstema j j oj T, 0 3 donde, R es la matz de otacón la cual se detemna po el vecto untao u, cuya deccón se defne del punto U al U j j. Más aún, el análss decto de poscón ncluye tes ecuacones de compatbldad dadas po las dstancas ente los paes esfécos. Esto es S S = l. () j Las expesones (9), (0) y () conducen a un sstema no lneal de tes ecuacones con tes ncógntas, { }, las cuales coesponden a las componentes sobe el eje Z de las coodenadas de los paes esfécos. Dcho sstema se esuelve sn mayoes dfcultades aplcando el método de Newton-Raphson. j j z z34,, z 37

7 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. Fnalmente, el análss decto de poscón se completa detemnando las estantes coodenadas de los paes esfécos, po supuesto evaluadas en el sstema global de efeenca, a pat de las expesones (9) y (0). 4 Análss de Velocdad Contao a lo que se ndca en Baon y Angeles (000) en el sentdo de que los análss dectos de poscón y de velocdad de un manpulado geneal Gough-Stewat son taeas complejas. En esta seccón se muesta cómo la foma de Klen pemte esolve de manea smple el análss decto de velocdad. Po supuesto, como un paso necesao paa el análss de aceleacón, tambén se ncluye el análss nveso de velocdad. Cada extemdad se modela como un manpulado see tpo UnvesalPsmatcSphecal, po sus sglas en el doma Inglés, tal y como se muesta en la Fgua 3. Fg. 3. Modelado de una extemdad Nótese que la junta unvesal, tambén conocda como junta Cadan o de Hooke, se descompone en dos paes de evoluta, y, cuyos ejes son otogonales y se ntesectan. Po su pate el pa psmátco se encuenta asocado al tonllo 0 3, mentas que el pa esféco se epesenta medante un conjunto de tes tonllos, { 3 4, 4, }, cuyos ejes se ntesectan y son mutuamente otogonales. Sobe la junta unvesal cabe mencona que según Tsa (00), n Cadan n Hooke nventaon la junta unvesal, sn embago fue Hooke quen populazó su uso en el sglo XVII y po ello es usual desgnala con su nombe. Aplcando la expesón (4), el estado de velocdad de la platafoma móvl, cuepo, con especto a la platafoma móvl puede obtenese a tavés de cualesquea de las cadenas see como donde, la matz de velocdades pasvas mentas que la matz Jacobana J Ω 0 V Ω = =,..., (3) vene dada po [ ω ω ω ω ] T Ω =, 0 q& ω J es el subespaco geneado po [ ] J =. De esta manea, el análss nveso de velocdad, es dec el cálculo de las velocdades pasvas de la -ésma extemdad, vendá dado po Ω = J 0 V. (4) 38

8 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 Es mpotante mencona que una condcón elemental paa que exsta una solucón del análss nveso de velocdad, es el que la matz sea nvetble, es dec que su detemnante sea dfeente de ceo. En caso contao la -ésma J extemdad se encuenta en una snguladad. En dcha confguacón el manpulado pede gados de lbetad y la platafoma móvl se encuenta en un punto mueto, es dec, en eposo a pesa de que las velocdades genealzadas, sean, al menos una, dfeentes de ceo. Suponga que se ntoduce la línea en coodenadas de Plucke a lo lago del eje de la -ésma extemdad sˆ ( sx, sy, sz ) = =. s ( sx, sy, sz ) Entonces, es obvo que dcha línea es ecípoca a todos los tonllos que epesentan los paes de evoluta de la cadena see. Po lo tanto, aplcando la foma de Klen ente y ambos lados de la ecuacón (3), los témnos del lado zquedo, a excepcón del asocado al pa psmátco, de la ecuacón (3) se anulan, de donde q& = KL(, = s v ω s X X X V =,..., + s ) Y v + ω s Y Y Y + s Z v + ω s Po lo tanto, aeglando en foma matcal la expesón () el estado de velocdad de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, se detemna de manea decta en témnos de las velocdades genealzadas como Z Z Z + V = S Q& () donde, la matz de velocdades genealzadas Q vene dada po () mentas que la matz S & = se detemna como [ q q q q q q ] T Q & & & 3 & 4 & & s S = sˆ s sˆ s 3 sˆ 3 s 4 sˆ 4 s sˆ s sˆ T. 0 V Una vez que se detemna el estado de velocdad, la velocdad angula de la platafoma móvl se obtene dectamente como la componente pmaa de dcho estado de velocdad. Es dec P V ω =. (7) ( ) Nótese que una condcón elemental paa que exsta la solucón del análss nveso de velocdad, vía la expesón (), es el que la matz S sea nvetble, es dec, que su detemnante sea dfeente de ceo. En caso contao el manpulado se encuenta en una confguacón sngula povocada po el análss decto de velocdad. Usualmente la condcón de no snguladad se establece calculando el detemnante de la matz S. Sn embago esta opcón dfculta la ntepetacón geométca. Po lo tanto, es ecomendable ecu al concepto de dependenca lneal a fn de elucda la pesenca de esta clase de snguladades. Una beve nspeccón de la matz S evela que el manpulado se encuenta fuea de una postua sngula, asocada al análss decto de velocdad, sempe y cuando se satsfaga la sguente condcón Es dec, que las líneas = λ = 0, λ = 0. (8) geneen con uncdad al vecto ceo de ses dmensones. Po supuesto, es totalmente posble el que el manpulado pueda genea postuas en las que no se satsfagan las condcones de la expesón (8) y po lo tanto éste se encuente en una confguacón sngula. Po ejemplo, s los vectoes untaos s, seán colneales y los escalaes s son coplanaes, vea la Fgua 4, entonces las componentes duales o momentos, λ podán tene valoes abtaos dfeentes de ceo, y con ello se tendá un 39

9 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. nfnto de solucones paa el análss decto de velocdad. Más aún, en dcha poscón la platafoma móvl es ncapaz de esst la accón de fuezas extenas vetcales. Fg. 4. Los vectoes untaos s son coplanaes ta confguacón sngula evdente se pesenta cuando la longtud de al menos una de las extemdades del manpulado se anula, en tal caso la línea de dcha extemdad no estaá defnda de manea únca y con ello el análss decto de velocdad conduce a un nfnto de solucones. Paa mayo nfomacón sobe análss de snguladades en platafomas Gough-Stewat, se sugee consulte Gosseln y Angeles (990), St-nge y Gosseln (000), y D Gegoo (00). Análss de Aceleacón Aplcando la expesón (), el estado de aceleacón educda de la platafoma móvl con especto al eslabón base, en foma de tonllos nfntesmales, puede detemnase a tavés de cualesquea de las cadenas see conectoas como 0 J & Ω + L = AR =, K, (9) donde, la matz de aceleacones pasvas vene dada po Ω & =, mentas que el -ésmo tonllo de Le L [ ω ω ω ω ] T 0 & & q&& 3 & 4 4 & & ω L se detemna como = 0 3 [ 0ω ω + q& + K+ ω ] 3 4 [ ω q& + K+ 4ω + ω ] [ ω3 3ω 4 + 4ω + ω ] [ ω ω + ω ] + [ ω ω =,, K, Po lo tanto el análss nveso de aceleacón, es dec el cálculos de las aceleacones pasvas de la -ésma extemdad del manpulado a pat del estado de aceleacón educda de la platafoma móvl, vendá dado a pat de la expesón (9) po 0 Ω& = J ( A L ), =,, K (0) A contnuacón, y sguendo el pocedmento ndcado en el análss decto de velocdad, se muesta cómo el análss decto de aceleacón, es dec el cálculo de las aceleacones angulaes de la platafoma móvl, puede obtenese de manea sstemátca y con la gan ventaja de pescnd del cálculo de las aceleacones pasvas del manpulado. Aplcando la foma de Klen ente la línea y ambos lados de la expesón (9), con la coespondente cancelacón de témnos se obtene que 0 q& + KL (, L ) = KL (, A R ) =, K, () Po lo tanto, aeglando en foma matcal la expesón (), el estado de aceleacón educda de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, se detemna como 0 A R donde, la matz de aceleacones genealzadas vene dada po = S Q&, () ] 40

10 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 q&& + KL(, q&& + KL(, q&& 3 + KL( 3, Q& = q&& 4 + KL( 4, q&& + KL(, q&& + KL(, L L L4 L L ) ) ) ) ) ) L3 &. Fnalmente, la aceleacón angula de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, se obtene como la componente pmaa del estado de aceleacón educda de la expesón (). Es dec 0 & P( ω = ). (3) A R Nótese como el cálculo de la aceleacón angula de la platafoma móvl, vía la expesón (3), no equee del cálculo de las aceleacones pasvas del manpulado. Sn duda, esto epesenta un consdeable ahoo de tempo de cómputo en el análss de aceleacón. El Algotmo de Análss Cnemátco La fomulacón de las seccones 4 y se mplementó en un pogama de computadoa en Maple, y en la Fgua se muesta su estuctua geneal. Fg.. Secuenca del Algotmo de Análss 4

11 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. Como muesta del estlo de pogamacón selecconado, a contnuacón se popoconan algunos de los lstados de los pocedmentos utlzados. Sí el lecto desea un lstado completo del pogama, favo de solctalo al pme auto. S S Dados dos vectoes de ses dmensones y, el pocedmento Le calcula el poducto de Le esultante ente dchos vectoes. S S Sean y dos vectoes de ses dmensones, con el pocedmento Klen se calcula la foma de Klen esultante ente dchos vectoes Po su pate las coodenadas de Plucke de las líneas untaas se calculan con el pocedmento Lneauntaa. Fnalmente, los tonllos nfntesmales asocados a los paes psmátcos se calculan con el pocedmento Psmatco. 4

12 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 7 Ejemplo Numéco En esta seccón el algotmo de cálculo popuesto se aplca a un ejemplo numéco. Suponga que las coodenadas genealzadas se gen po las funcones peódcas q q q q q q 3 4 = sen( t) = sen( t) = sen( t) = sen( t) = sen( t) =.7 0.0sen( t) de donde, las velocdades y aceleacones genealzadas vendán dadas po q& q&& q& q&& = q& 3 = q&& 3 = q& 4 = q&& 4 = q& = q&& = q& = q&& = 0.0cos( t) = 0.0sen( t) = 0.0cos( t) = 0.0sen( t) Más aún, las coodenadas de las juntas unvesales, expesadas en el sstema global de efeenca, venen dadas po P = (,0,0) P = ( 0., 0.8,0) P 3 = (0., 0.8,0) P = (0.,0.8,0) 4 P = (,0,0) P (4) = ( 0.,0.8,0) Mentas que las dstancas ente los paes esfécos sobe la platafoma móvl se selecconan de tal foma que l = 0.7 j Con dcha nfomacón, se desea detemna la velocdad angula nstantánea y la aceleacón angula nstantánea de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, s se consdea que el tempo t vaía en el ntevalo 0 = t = π segundos con un ncemento t de π / 3 segundos. La Fgua muesta la gáfca del eo, vesus el tempo que dua el movmento del manpulado, que se obtuvo en el análss decto de poscón, esto es la solucón numéca vía el método de Newton-Raphson del sstema no lneal de ecuacones dado en la expesón (). Al especto cabe mencona que el cteo de eo selecconado se ge de la sguente manea ε = 3 f + f + f 3 43

13 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. Fg.. Eo geneado en el análss decto de poscón Po ota pate, es nteesante mencona que sólo se equeon de tes teacones paa cada ubcacón nstantánea de la platafoma móvl. Sn embago, es mpotante mencona que el método de Newton- Raphson, al se una técnca numéca teatva, equee de apoxmacones ncales azonables paa su convegenca. Es evdente que en el tempo ncal no se tene nnguna efeenca sobe la posble ubcacón de la platafoma móvl y po lo tanto es necesao supone un conjunto de apoxmacones ncales a cteo del usuao, esta stuacón se complca s se toma en cuenta que paa un conjunto dado de coodenadas genealzadas exste un total de posbles ubcacones de la platafoma. A fn de gaantza un funconamento apopado del algotmo en su etapa ncal, se ecomenda ealza un esquema del manpulado en su poscón ncal en un pogama de dbujo po computadoa como lo puede se Autocad y con ello seleccona el conjunto de apoxmacones ncales. Una vez que con el algotmo se calcula la ubcacón de la platafoma en su fase ncal, las poscones subsecuentes se detemnan sn mayo poblema tomando como apoxmacón ncal la poscón pecedente coespondente. Es nteesante nota en la Fgua que el compotamento del eo, paa tes teacones con el método de Newton- Raphson, sgue un patón pefectamente defndo y de tpo peódco. Po su pate la Fgua 7 muesta los esultados numécos obtendos con el pogama paa el cálculo de la velocdad angula de la platafoma móvl. Puesto que el movmento de la platafoma se ealza en tes dmensones, convenentemente se optó po gafca la magntud de la velocdad angula vesus el tempo que dua el movmento. Fg. 7. Hstoal de la velocdad angula de la platafoma móvl Nótese que, como ea de espease, de acuedo al tpo de funcones asgnadas a los paes psmátcos, el compotamento de la velocdad angula de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, es de tpo peódco. Fnalmente, los esultados numécos obtendos con el pogama paa el cálculo de la aceleacón angula de la platafoma móvl, con especto a la platafoma fja, se esumen en la Fgua 8. 44

14 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 Fg. 8. Hstoal de la aceleacón angula de la platafoma móvl En la Fgua 8 se apeca que el compotamento de la aceleacón angula de la platafoma tambén es de tpo peódco. Más aún, la aceleacón angula alcanza su valo máxmo cuando su velocdad angula es mínma, un esultado totalmente pedecble peo que vale la pena mencona. Compoba los esultados numécos de esta seccón, po supuesto con un método dfeente al que aquí se popone, sn duda debe de se una taea adua. Po lo tanto, paa cooboa los esultados numécos, se optó po ecu al pogama de análss dnámco ADAMS y en la sguente seccón se esume el pocedmento de análss. 8 Valdacón de Resultados Numécos con ADAMS Con el objeto de vefca los esultados del ejemplo numéco, se geneó un modelo, extemadamente smple, con el pogama de análss dnámco ADAMS y en esta seccón se popoconan, en foma de gáfcas, los esultados obtendos. La platafoma móvl se modeló como un elemento placa mentas que el esto de los eslabones se modelaon como elementos clndo, todos ellos elementos sóldos, y a fn de dale sufcente ealsmo al modelo, los eslabones nfeoes poseen huecos los cuales coesponden al dámeto exteo de los eslabones supeoes, estos huecos se geneaon po medo de smples opeacones boleanas. En la Fgua 9 se muesta el modelo, con la opcón alambe, smplfcado Paa la poscón ncal del mecansmo se utlzaon los esultados obtendos con el algotmo en el análss decto de poscón. Fg. 9. El modelo en ADAMS 4

15 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. Po supuesto el pogama ADAMS posee la sufcente capacdad como paa genea modelos mucho más completos y ealstas. Sn embago, puesto que el objetvo de la pesente seccón es el de valda los esultados numécos obtendos en la seccón peva, como lo son el cálculo de la velocdad angula y de la aceleacón angula de la platafoma móvl, se optó po modela el mecansmo bajo estudo de la manea más smple, tal y como se muesta en la Fgua 9. Po su pate, la Fgua 0 muesta los paes cnemátcos asgnados a cada una de las extemdades o cadenas see del manpulado. La cadena see se une a la platafoma fja po medo de una junta unvesal o de Hooke. El pa psmátco actáa a lo lago de la extemdad y con la flecha se denota su desplazamento tanslaconal ndependente. Fnalmente la -ésma cadena see se une a la platafoma móvl po medo de un pa esféco. El pogama ADAMS admte que se asgnen funcones de desplazamento, de velocdad o de aceleacón a los paes cnemátcos que equea el modelo. Paa este ejemplo en patcula, se asgnaon las funcones de desplazamento ndcadas en la expesón (4), las cuales dependen del tempo. Fg. 0. Paes Cnemátcas de una Extemdad En la Fgua se esume el hstoal de los esultados numécos del cálculo de la velocdad angula. Fg.. Hstoal de la velocdad angula de la platafoma móvl, po medo de ADAMS. Mentas que en la Fgua se esume el hstoal de los esultados numécos del cálculo de la aceleacón angula. 4

16 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 Fg.. Hstoal de la aceleacón angula de la platafoma móvl,po medo de ADAMS. Fnalmente, po favo nótese que los esultados obtendos con el pogama ADAMS concuedan azonablemente con los obtendos con el algotmo popuesto y con ello se compueba su confabldad. 9 Conclusones En este tabajo se popocona un algotmo que pemte calcula el análss cnemátco decto de una platafoma espacal Gough-Stewat tpo -3. Puesto que sólo se equee de una solucón paa el análss decto de poscón del mecansmo, éste se esuelve aplcando el método de Newton-Raphson. Los análss de velocdad y de aceleacón se esuelven aplcando exclusvamente la teoía de tonllos nfntesmales. La foma de Klen, una foma smétca blneal del álgeba de Le e(3), pemtó smplfca consdeablemente la deduccón de las expesones paa el cálculo de la velocdad angula y de la aceleacón angula de la platafoma móvl con especto a la platafoma fja. El algotmo se pobó en un ejemplo numéco y los esultados numécos obtendos se compobaon con el pogama de análss de mecansmos ADAMS. Fnalmente, s ben es ceto que el análss decto de poscón que aquí se popone es váldo sólo paa platafomas tpo -3, al contao los análss de velocdad y de aceleacón, tanto nvesos como dectos, son aplcables paa una platafoma geneal Gough-Stewat. Reconocmentos Los autoes agadecen al Consejo de Cenca y Tecnología del Estado de Guanajuato, Concyteg, y al Consejo del Sstema Naconal de Educacón Tecnológca, Cosnet, el apoyo económco otogado paa la ealzacón de la pesente nvestgacón. De gual foma se agadece al gupo SSC, campus San Mguel de Allende Guanajuato, las facldades otogadas paa la utlzacón del pogama de análss de mecansmos po computadoa ADAMS. Refeencas. Ball, R.S., A Teatse on the Theoy of Scews, Cambdge Unvesty Pess: Cambdge U. K., 900 (Reedcón 998).. Baon, L. y Angeles, J., The dect knematcs of paallel manpulatos unde jont-senso edundancy", IEEE Tansactons on Robotocs and Automaton, Vol., No., 000, pp Band, L., Vecto and Tenso Analyss, John Wley & Sons, New Yok, D Gegoo, R.}, Sngulaty-locus expesson of a class of paallel mechansms", Robotca, Vol. 0, 00, pp Gallado, J. y Rco, J.M., Scew theoy and helcodal felds", Poc. 998 ASME Desgn Engneeng Techncal Confeences, CD-RM, Pape DETC98/MECH Gosseln, C., y Angeles, J., Sngulaty analyss of closed-loop knematc chans", IEEE Tansactons on Robotcs and Automaton, Vol., No. 3, 990, pp Husty, M.L., An algothm fo solvng the dect knematcs of geneal Stewat-Gough platfoms", Mechansm and Machne Theoy, Vol. 3, No. 4, 99, pp

17 J. Gallado, J.M. Rco y H. ozco. 8. Innocent, C., Fowad knematcs n polynomal fom of the geneal Stewat platfom", Poc. 998 ASME Desgn Engneeng Techncal Confeence, CD-RM, Pape DETC98/MECH Ku, D.-M., Fowad knematc analyss of a -3 type Stewat platfom mechansm", IMechE Pat K Jounal of Multbody Dynamcs, Vol. 4, No. K4, pp Melet, J.-P., Paallel Robots, Kluwe Academc Publshes, Melet, J.-P., Dect knematcs of paallel manpulatos", IEEE tansactons on Robotcs and Automaton, Vol. 9, No., 993, pp Raghavan, M., The Stewat platfom of geneal geomety has 40 confguatons", ASME Jounal of Mechancal Desgn, Vol., No., 993, pp Rco, J.M. y Duffy, J., An applcaton of scew algeba to the acceleaton analyss of aeal chans", Mechansm and Machne Theoy, Vol. 3, No. 4, 99, pp Rco, J.M. y Duffy, J., Fowad and nvese acceleaton analyses of n-paallel manpulatos", ASME Jounal of Mechancal Desgn, Vol., 000, pp St-nge, B.M. y Gosseln, C., Sngulaty analyss and epesentaton of the geneal Gough-Stewat platfom", Int. J. Robotcs Reseach, Vol. 9, No. 3, 000, pp Tsa, L.W., Enumeaton of Knematc Stuctues Accodng to Functon, CRC Pess,

18 Un Algotmo paa Resolve la Cnemátca Decta de Platafomas Gough-Stewat Tpo -3 Jame Gallado-Alvaado. btuvo el Título de Ing. Ind. Mecánco y el gado de Maesto en Cencas en Ing. Mecánca ambos en el Insttuto Tecnológco de Celaya en los años 98 y 989 espectvamente, y el gado de Docto en Cencas en Ing. Eléctca en el Insttuto Tecnológco de la Laguna en el año 999. Duante vaos años tabajó en centos de nvestgacón fundados po el CNACYT, como lo son el Cento de Investgacón y Asstenca Técnca del Estado de Queétao y el Insttuto Mexcano de Investgacones en Manufactuas Metal-Mecáncas. A pat del año 993 se ncopoó como Pofeso-Investgado de tempo completo al Depto. de Ing. Mecánca del Insttuto Tecnológco de Celaya. Es membo del Sstema Naconal de Investgadoes, de la Asocacón Mexcana de Robótca y de laintenatonal Fedeaton fo the Theoy of Machnes and Mechansms. Su pncpal áea de nteés es el modelado cnemátco y dnámco de manpuladoes see y paalelo po medo de la teoía de tonllos. José Maía Rco-Matínez. btuvo el Título de Ing. Ind. Mecánco en el Inst. Tecnológco de Celaya en el año 974, el gado de Maesto en Cencas en Ing. Mecánca en el Insttuto Tecnológco y de Estudos Supeoes de Monteey en el año 977 y el gado de Docto en Ingeneía Mecánca en la Unvesdad de Floda en el año 988. A pat de 97 se ncopoó como Pofeso-Investgado de tempo completo al Depto. de Ing. Mecánca del Insttuto Tecnológco de Celaya. Ha ealzado estancas postdoctoales en la Unvesdad de Floda, la Unvesdad Estatal de Azona y la Unvesdad de Calfona en Davs. Es membo del Sstema Naconal de Investgadoes, de la Amecan Socety of Mechancal Engnees y de la Intenatonal Fedeaton fo the Theoy of Machnes and Mechansms. Sus pncpales áeas de nteés compenden la cnemátca y dnámca, teóca y aplcada, así como vbacones mecáncas. Hoaco ozco-mendoza. btuvo el Título de Ing. Ind. Mecánco en el Inst. Tecnológco de Celaya en el año 98, el gado de Maesto en Cencas en Ing. Mecánca en el Insttuto Tecnológco y de Estudos Supeoes de Monteey en el año 983 y el gado de Docto en Ingeneía Mecánca en la Unvesdad de Texas en el año 000. A pat de 983 se ncopoó como Pofeso-Investgado de tempo completo al Depto. de Ing. Mecánca del Insttuto Tecnológco de Celaya. Es membo de la Amecan Socety of Mechancal Engnees. Su pncpal áea de nteés es sstemas dnámcos y contol. 49