Emplea funciones polinomiales.

Transcripción

1 Emplea funciones polinomiales. Competencias disciplinares básicas: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales; para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el conteto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y tetos con información relativa a funciones polinomiales. Atributos a desarrollar en el bloque: 4. Epresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Sigue instrucciones y procedimientos de manera refleiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refleiva. 8.. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 0 horas

2 Secuencia didáctica. Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. Actividad: Inicio Desarrolla lo que se pide.. Qué es un polinomio?, proporciona un ejemplo.. Cómo se determina el grado de un polinomio?. Escribe un ejemplo de la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen. 4. Qué significa la pendiente de una recta? 5. Cómo se calcula la pendiente de una recta? 64 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

3 Actividad: (continuación) 6. Qué es la ordenada en el origen? 7. Escribe un ejemplo de una ecuación cuadrática. 8. Cuál es la forma de una ecuación cuadrática? 9. Qué es el vértice en una ecuación cuadrática? 0. Cómo se obtiene el vértice de una ecuación cuadrática a partir de su forma general? Evaluación Actividad: Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce las características de las funciones de grado cero, uno y dos. Determina las características principales de las funciones de grado cero, uno y dos. Muestra interés al realizar la actividad y mostrar sus conocimientos previos. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 65

4 Desarrollo Concepto de función polinomial de una variable. En el bloque se introdujo a las funciones polinomiales, también llamadas funciones polinómicas; la regla de correspondencia que las distingue es: n n n n an an an an... a a a 0 f número no negativo y el grado de ella es n., donde a n, a n-,, a, a 0 son constantes, n es un Características de las funciones polinomiales. Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor eponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:. f 7 es de grado cero, se le conoce como función constante.. f 4 es de grado uno, también conocida como función lineal. es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.. f 5 6 es de grado tres y se le conoce como función cúbica. 4. f es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica. 5. f 4 Las gráficas de cada una de ellas son: f 7 f 4 f 6 6 f() f() f 4 f f() f() f() 66 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

5 El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuártica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. En general, si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales. En esta secuencia se abordarán funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, sus características y la influencia de los parámetros en el trazo de su representación gráfica. Actividad: Completa la siguiente tabla reconociendo el grado y el coeficiente principal. f Función Tipo de función Grado r Coeficiente principal f f 4 5 f 9 6 f f f 4 5 f f 8 8 f Evaluación Actividad: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica las características de las funciones polinomiales. Determina las características de las funciones polinomiales. Muestra interés al realizar la actividad y reconoce la importancia de sus conocimientos previos. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 67

6 Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica. La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es: f a, donde a es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo. Graficar la función 5 f, determinar su dominio y rango. La función también se puede epresar como y 5, por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra a continuación. Su dominio y rango son: f() Dom:, Rango : 5 Ejemplo. 7 Graficar la función g, determinar su dominio y rango. La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale a y.5. g() Su dominio y rango son: Dom:, 7 Rango : 68 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

7 Actividad: Responde lo que se pide.. Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango. h 4 0 L y 4 Dom: Rango : Dom: Rango : Dom: Rango :. Analiza la gráfica que representa la posición de un automóvil y eplica qué ocurre. distancia (km) tiempo (hrs) Evaluación Actividad: Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Traza e interpreta la gráfica de la función constante. Reconoce la función constante, su dominio y rango. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente Escucha la retroalimentación de la actividad con interés y respeta los comentarios de sus compañeros. BLOQUE 69

8 La función lineal. Esta función se vio en Matemáticas y se retomó a fondo en Matemáticas como lugar geométrico, con base en estos conocimientos previos, se analizarán sus parámetros para trazar la gráfica. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es: y m b Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen. Vista como función, se epresa de la siguiente forma. Analizando los parámetros, se tiene que: f m b b es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término independiente. m es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, ésta es el coeficiente de la variable. es la variable independiente. En la siguiente función se visualizan los parámetros antes mencionados. m b f f() m Ordenada en el origen (b) Es la intersección con el eje Y Eisten varios métodos para graficar funciones lineales, como: Sustitución de valores (tablas). Intersección con los ejes coordenados. Parámetros (m y b). En este bloque se considerará el comportamiento paramétrico para bosquejar la gráfica de las funciones, el cual se describe a continuación. Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto. Como se muestra a continuación. 70 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

9 Ejemplo. 4 Trazar la gráfica de la función f. 4 Observando la función, la pendiente es m y la ordenada en el origen es b, la cual proporciona la intersección con el eje Y. f() b Posteriormente se ubica el segundo punto a partir de la pendiente, como se muestra a continuación. 4 Como la pendiente es m, a partir del punto se desplaza unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba, ya que en el cociente de la pendiente, el numerador es el incremento vertical y el denominador es el incremento y y horizontal, dado que la fórmula de pendiente es m. f() Los parámetros dicen mucho del comportamiento gráfico de la función, como es el caso de la pendiente, cuando es mayor que cero y menor que uno, su ángulo de inclinación es mayor que 0 o y menor que 45º; cuando es mayor que uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 80º. Lo anterior se puede comprobar con los siguientes ejemplos. BLOQUE 7

10 Ejemplo. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) f b) f 4 c) f d) f 4 e) f Todas las funciones tienen como ordenada en el origen. f() m 4 m m m m 4 Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la pendiente, entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento, es decir, la recta estará más cerca del eje X, así mismo, entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y. Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa. Ejemplo. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) f 5 b) f 5 4 c) f 5 d) f 4 5 e) f 5 Todas las funciones tienen como ordenada en el origen 5, es decir, cortan al eje Y a la altura de 5. 7 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

11 m m m 4 m m 4 f() En este caso, las pendientes son negativas y las gráficas son decrecientes; entre más grande sea la pendiente el crecimiento es menor, como se observa, la pendiente de m está más cercana al eje X, sin embargo, la 4 pendiente m 4, la cual es menor que la anterior, está más cercana al eje Y. El comportamiento paramétrico que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, dilucidar con anterioridad la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales. El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto es, al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de correspondencia. A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado. Cuando se usan funciones lineales para describir relaciones del mundo real se llama modelación lineal. A continuación se ejemplificará la aplicación de funciones lineales. Ejemplo 4. Un taista cobra 0 pesos por salida y cada 5 pesos por kilómetro recorrido. Calcular: a) El costo de un viaje en kilómetros. b) El costo del viaje si el destino de una persona es a km. c) Graficar el costo del viaje como una función de la distancia recorrida. Es claro en el enunciado del problema, que el cobro del viaje depende de la distancia recorrida y se pueden particularizar algunos casos para visualizar la estructura de la función que lo describe. Si el viaje es de Km, su costo es de 0+5()=5 pesos. Si el viaje es de Km, su costo es de 0+5()=45 pesos. Si el viaje es de 0 Km, su costo es de 0+5(0)=80 pesos. Generalizando: Si el viaje es de Km, su costo es de 0+5() pesos. Por lo tanto, la respuesta al inciso a, es: C 0 5 Donde C() es el costo del viaje en tai en función de la distancia recorrida. BLOQUE 7

12 En el inciso b se solicita un costo en particular que es el de Km, sólo basta sustituir este dato en la función y así encontrar lo que se busca. C Por lo tanto, el costo del viaje cuando se recorren Km es de 90 pesos. Por último, se traza la gráfica de la función, notando que la ordenada en el origen es 0 y la pendiente es 5, esto se puede deducir mejor si se acomoda la función. b 0 Ordenada en el origen m 5 Pendiente C 5 0 m b C Ubicando primero el punto que intersecta al eje Y (ordenada en el origen) y, posteriormente, el punto que se obtiene a partir de la pendiente. La gráfica queda de la siguiente forma: C() Ejemplo 5. La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo. En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde etraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

13 Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 8 horas. Sea p el nivel de polución, medido en partes por millón, y t el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 0 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 5 partes por millón por hora. a) Identificar la pendiente y un punto de la función. b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido. c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido. En el inciso a se solicita la pendiente, la cual corresponde a la razón de cambio que es 5 partes por millón, y el punto que ofrece el problema es de (0, 50), donde la primer coordenada es la hora en la que se mide la polución, la cual corresponde a 50 ppm. En el inciso b se requiere encontrar la función que modela la polución, para ello se retomarán conocimientos de Matemáticas, en los que aprendiste a obtener la ecuación de una recta, dada la pendiente y un punto por donde pasa. Esto se logra con la siguiente fórmula: Sustituyendo los valores se obtiene: y y m y 50 5 y y La polución epresada como función que depende del tiempo se epresa como: p t 5t 00 Al trazar la gráfica de la función, se considera que la intersección con el eje vertical a la altura de 00 y la pendiente 5. Por lo tanto, la gráfica de la función sin restricciones queda: y p(t) La gráfica restringida al problema es considerando sólo de 8 a 8 horas, como se muestra a continuación. t Problema, pag. 56 de Matemáticas IV, Ramírez Margarito. BLOQUE 75

14 Actividad: 4 Desarrolla lo que se pide. I. Realiza la gráfica de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango correspondiente. ) g 4 g() ) k k(). L 5 4 L() 76 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

15 Actividad: 4 (continuación) 5 4) G G() 5) R 5 7 R() 6) F 4 F() BLOQUE 77

16 Actividad: 4 (continuación) III. Completa la siguiente tabla ubicando las diferentes representaciones de las funciones lineales. Representación tabular Representación algebraica Representación gráfica X y f()= y y h()= + h() y h()= G() 78 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

17 Actividad: 4 (continuación) Un autobús viaja desde Hermosillo a Obregón a velocidad constante de 90Km/h. Un pasajero se sube en el cerrito de la virgen al Km 8 de los 5 Km que hay de Hermosillo a Obregón. Construye la tabla. Epresa la función que modela la distancia recorrida por el pasajero con respecto al tiempo. D(t)= D() Evaluación Actividad: 4 Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce los parámetros de la función lineal, su dominio y rango. Autoevaluación Traza la gráfica de la función lineal utilizando parámetros. Epresa sus dudas y corrige sus errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 79

18 La función cuadrática. Como ya se había visto en el bloque, las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado, éstas se epresan en su forma general como: f a b c, con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero ( a 0 ). Sus componentes son: a Término cuadrático b Término lineal c Término independiente Al igual que la ecuación cuadrática, la función cuadrática tiene la misma clasificación. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mitas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura. Funciones Completas: f a b c Clasificación de las funciones cuadráticas Funciones Incompletas Funciones Puras: f Funciones Mitas: f a c a b Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas. En Matemáticas se abordó la parábola como lugar geométrico, conociendo sus elementos. A continuación se visualizarán los elementos principales de la función cuadrática. f() Eje de simetría Raíces o ceros de la función Vértice V(h,k) Cuando la función se iguala a cero, se produce una ecuación y los valores que la satisfacen se llaman raíces de la función. 80 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

19 Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto máimo, como se muestra a continuación. f() f() Vértice V(h,k) Punto Máimo Vértice V(h,k) Punto Mínimo Para observar cómo intervienen los parámetros en los cambios que sufre la gráfica, se tiene que reescribir la forma general de la función cuadrática a la forma estándar, la cual eplicita el vértice y la abertura que tiene la parábola que describe. Forma general de la función cuadrática. Forma estándar de la función cuadrática. f a b c a h k f Donde h y k son las coordenadas del vértice. En los siguientes ejemplos se mostrará los cambios que sufre la gráfica de la función cuadrática. Ejemplo. Comparar las gráficas de las funciones f y g 4, para determinar la transformación que sufre g() con respecto a f(). Al tomar valores y evaluarlos en las funciones, las gráficas quedan de la siguiente forma: f g 4 f() g() f() g() BLOQUE 8

20 Si la función f() se escribe en forma estándar, se tiene: Al compararse con la forma f a h k 0 0 f, se puede deducir que: a h 0 k 0 Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: a= f() El coeficiente principal que es a, es el que determina la abertura de la parábola si se considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están una unidad hacia arriba. Si se realiza el mismo análisis para la función g(), los parámetros se visualizan así: Al compararse con la forma f a h k 4 g, se puede deducir que: a h k 4 Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: Vértice V(h,k)=(0,0) g() Como consecuencia de que el coeficiente principal a es positivo, la parábola se abre hacia arriba y se contrae, debido a que si considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están a tres unidades hacia arriba. a= Vértice V(h,k)=(, 4) 8 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

21 y Mueve la parábola unidades a la derecha 4 g Se contrae y se abre hacia arriba Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo Ejemplo. Graficar la función h 4 5 mediante los parámetros. Analizando los parámetros, se deduce que: a h 4 k 5 Mueve la parábola 4 unidades a la izquierda h 4 5 Se epande y se abre hacia abajo Mueve la parábola 5 unidades hacia arriba El vértice tiene como coordenadas V 4, 5, y a partir de él, recorriendo una unidad a la derecha y a la izquierda, se ubican los puntos de la parábola, media unidad hacia abajo, de este modo se traza la gráfica utilizando parámetros. h() BLOQUE 8

22 Ejemplo. Graficar la función p 6 5 utilizando parámetros. La función es completa y para utilizar los parámetros a, h y k, se debe factorizar el polinomio que la compone, esto se hace mediante el método de completar trinomio cuadrado perfecto, éste se vio en Matemáticas. Los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto son los siguientes.. Se asegura que el coeficiente principal sea, de no ser así, primero se tendría que etraer. En este caso no es necesario, porque el coeficiente principal es.. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal. 6 5 p p p p Se epresa el binomio al cuadrado. p 4 Mueve la parábola unidades a la izquierda 4 p Tiene la abertura normal y se abre hacia arriba Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo p() Ejemplo 4. Determinar si la función t 4 función. tiene un máimo o mínimo, encontrar el punto en cuestión y graficar la Es una función mita y se requiere epresar la forma estándar para poder determinar el vértice y hacia dónde se abre la parábola, aunque se puede adelantar que se abre hacia abajo, debido a que el coeficiente principal es negativo. 84 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

23 Para convertirla a la forma estándar se seguirán los siguientes pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto. t 4. Se etrae el coeficiente principal. t. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal dentro del paréntesis. t t t. Se epresa el binomio al cuadrado. t El vértice es el punto, V y al ser el coeficiente principal, se abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es el punto máimo de la función. Mueve la parábola una unidad a la izquierda. t() t Contrae a la parábola y se abre hacia abajo. Mueve la parábola unidades hacia arriba. La intersección con el eje horizontal es otra información importante en las funciones, éstas se denominas raíces o ceros de la función, para encontrarlas la función debe valer cero, como se muestra a continuación. t 0 La ecuación se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general (ver aneo B), para este caso se utilizará factorización, debido a que es más sencilla En la gráfica puedes ubicar estos dos resultados BLOQUE 85

24 Las opciones que tienen las raíces de una función cuadráticas son tres:. Dos raíces reales, como en el ejemplo anterior, que es cuando la parábola corta al eje X en dos puntos. f(). Una raíz real, esto sucede en el caso que el vértice esté sobre el eje X. f(). Dos raíces imaginarias, sucede cuando la función no corta al eje X. f() Sitios Web recomendados: Este sitio te mostrará el comportamiento de la gráfica de una función cuadrática de acuerdo a sus parámetros. ematicas/transformacion_de_funciones.htm 86 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

25 Actividad: 5 Desarrolla lo que se pide. I. Epresa la función que describe cada una de las siguientes gráficas. ) h() ) Q() ) L() BLOQUE 87

26 Actividad: 5 (continuación) II. Determina el punto máimo o mínimo de cada una de las siguientes funciones, además, encuentra las raíces y dibuja la gráfica correspondiente. ) g g() W 4 ) W() ) J 5 4 J() 88 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

27 Actividad: 5 (continuación) 4) F 9 F() 5) H 6 6 H() BLOQUE 89

28 Actividad: 5 (continuación) 6) L 5 0 L() Evaluación Actividad: 5 Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce los parámetros de las funciones cuadráticas para realizar su gráfica. Autoevaluación Grafica funciones cuadráticas utilizando parámetros. C MC NC Calificación otorgada por el docente Aprecia la facilidad de utilizar parámetros para trazar la gráfica de una función cuadrática. 90 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

29 Actividad: 6 Cierre Resuelve los siguientes problemas.. El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ por unidad y los costos fijos por día son de $0. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica. Cuánto cuesta fabricar 5 juntas de machimbre por día?. El costo de fabricar 0 bolsas de cartón al día es de $.0, mientras que fabricar 0 bolsas del mismo tipo cuesta $,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.. La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 0 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg. Calcular la función que da la dosis del medicamento dependiendo del peso. Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg? BLOQUE 9

30 Actividad: 6 (continuación) 4. Un hortelano posee 50 m de varilla para cercar una parcela rectangular de terreno contigua a un muro. Qué área máima puede cercar de esta manera? 5. Un delfín toma impulso para saltar encima de la superficie del mar siguiendo la función y= +6+ donde y es la distancia al fondo del mar en metros y el tiempo empleado en segundos. a) Calcula cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 0 metros. b) A qué profundidad inicia el ascenso? 6. Antonio encuentra que si su compañía produce artículos diarios, el costo está dado por la función C mínimo?, cuál sería ese costo mínimo?, Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea 7. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función ht 6t 80t 45. a) Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máima? 9 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

31 Actividad: 6 (continuación) b) Cuál es la altura máima alcanzada por la pelota? c) Cuál es la altura del edificio? c) Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo? d) Traza la gráfica de la altura de la pelota al transcurrir el tiempo. 4. En una compañía, la utilidad mensual en miles de dólares, se epresa mediante la función U 4, donde representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden 7 en un mes. a) Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad sea máima? b) Cuál es el monto de la utilidad máima? c) Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna? Evaluación Actividad: 6 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la aplicación de las funciones lineales y cuadráticas. Autoevaluación Aplica las funciones lineales y cuadráticas en situaciones reales. Aprecia la aplicabilidad de las funciones lineales y cudráticas. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 9

32 Secuencia didáctica. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Actividad: Inicio Responde las siguientes preguntas.. Qué características tienen las funciones polinomiales de tercer grado?. Cuál es su nombre común?. Cómo reconoces a una función polinomial de grado cuatro? 4. Cuál es su nombre común? 5. Qué característica tiene el dominio y el rango en cada una de ellas? 6. Bosqueja la gráfica de una función polinomial de grado tres y otra de grado cuatro, en planos cartesianos por separado. Evaluación Actividad: Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica las funciones de grado tres y cuatro. Autoevaluación Determina las características de las funciones de grado tres y cuatro. Muestra interés al realizar la actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente 94 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

33 Desarrollo Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Graficación mediante parámetros. Funciones de grado tres. La forma general de las funciones de grado tres (cúbicas) es f estándar se presenta como f a h k a b c d, con a 0 ; en su forma Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros. En el primer bloque se graficó la función cúbica básica, la cual es: f f() f() Al punto donde la función cambia de concavidad, se le llama punto de infleión (P.I.), que en el caso de la función cúbica base, es el origen. Para graficar una función cúbica utilizando los parámetros de forma estándar, se siguen los siguientes pasos:. Encontrar y graficar el punto de infleión: P.I.(h,k).. A partir del punto de infleión se recorre una unidad a la derecha y si el parámetro a es positivo, se ubica el punto hacia arriba a, de no ser así, se ubica hacia abajo.. Ahora, a partir del punto de infleión, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido contrario del punto que se colocó en el paso, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de infleión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo a unidades y viceversa. 4. Se traza la gráfica de forma suave. A continuación se ejemplificará el procedimiento anterior. Ejemplo. Trazar la gráfica de la función f, utilizando parámetros. El punto de infleión se etrae de la función cúbica, de la misma forma que se etrae el vértice de la función cuadrática. f a h k f BLOQUE 95

34 Por lo tanto, el punto de infleión es P.I.(, ). Además, como el parámetro a=, cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de infleión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráfica. Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto. Para trazar la gráfica se parte del punto de infleión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma. f() f() f() 96 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

35 Ejemplo. Bosqueja la gráfica de la función T 4 5 El punto de infleión es: P.I.( 4, 5). En este caso, a partir del punto de infleión, el segundo punto se situará una unidad a la derecha y media unidad hacia abajo, debido a que el parámetro a ; el tercer punto se situará una unidad a la izquierda y media unidad hacia arriba. Ahora se traza la gráfica considerando que a la derecha del punto de infleión la función es cóncava hacia abajo y que a la izquierda de éste, es cóncava hacia arriba. f() f() Sitios Web recomendados: Este sitio contiene un graficador en línea, el cual te ayudará a comprobar las gráficas de las funciones. BLOQUE 97

36 Funciones de grado cuatro. La forma general de las funciones de grado cuatro (cuárticas) es f 4 forma estándar se presenta como f a h k 4 a b c d e, con a 0 ; en su La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido. La función cuártica base es: 4 f f() f() En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta. Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro a sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro a es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo. Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máimo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro a. Ejemplo. Trazar la gráfica de la función f 4 4 utilizando los parámetros. Como a=, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máimo es P h,k y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación. f() Por lo tanto, el punto máimo es P(, 4). 4 4 f a 4 h k f El segundo punto se ubica una unidad a la derecha del máimo y tres unidades hacia abajo; el tercer punto se encuentra una unidad a la izquierda y de igual forma, tres unidades hacia abajo, como se muestra en la gráfica. 98 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

37 Actividad: Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones, utilizando los parámetros. ) H()= + H() ) R 6 R() ) L L() BLOQUE 99

38 Actividad: (continuación) 4) K K() 5) 4 L 4 L() Evaluación Actividad: Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica los parámetros de las funciones de grado tres y cuatro, para trazar la gráfica. Autoevaluación Grafica funciones de grado tres y cuatro, mediante parámetros. Aprecia la facilidad del trazo de gráficas utilizando parámetros. C MC NC Calificación otorgada por el docente 00 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

39 Graficación de funciones utilizando las raíces o ceros de la función. Trazar gráficas de funciones cúbicas y cuárticas en su forma estándar es sencillo, el problema se presenta cuando están en su forma general, entonces se podría graficar utilizando tablas de valores como se mostró en el primer bloque, aunque es más tardado y posiblemente no daría un panorama completo del comportamiento de la gráfica; para ello, en esta ocasión se abordará otra forma de bosquejar la gráfica de una función, utilizado las raíces de la función y analizando algunas características básicas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. En el siguiente ejemplo se visualizará la intención de este tema. Ejemplo. Bosquejar la gráfica de la función f, mediante las raíces de la función. Como se vio anteriormente, las raíces de la función son precisamente cuando f 0, es decir, cuando 0. Para encontrar la solución a la ecuación cúbica anterior, se requiere de factorizar el polinomio, en este caso, mediante factor común ó 0 Al separar los factores, se obtiene el primer resultado que se busca =0, pero también, se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se requiere resolver utilizando la fórmula general o factorización, debido a su sencillez, se factorizará la ecuación. 0 0 ó 0 Ahora, se requiere analizar algunas características de las funciones cúbicas para poder bosquejar su gráfica.. El coeficiente principal es a=, por lo tanto, la mayor parte de su trayectoria es creciente, parte de a.. Es una función suave, sin ángulos en su trazo.. La función pasa por las raíces encontradas. Por lo tanto, el trazo quedaría más o menos de la siguiente forma. 0 Si se requiere mayor precisión en el trazo, se tiene que epresar una tabla de valores y la gráfica eacta, como se muestra a continuación: f() BLOQUE 0

40 Ejemplo. Bosquejar la gráfica de una función de grado cuatro, cuyas raíces son,, y 4, además, su coeficiente principal es negativo. Primero se colocan los puntos en el plano cartesiano, posteriormente se analiza las características de la función cuártica.. La función cuártica es suave.. Su rango es un subconjunto de los números reales, es decir, no los abarca a todos.. El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, la función se etiende hacia por ambos etremos. 4. Debido al número de raíces y a las tres características anteriores, la función puede tener uno o dos puntos máimos. A continuación se bosqueja la gráfica. Sustituyendo puntos se tiene la gráfica con más detalle, como se muestra a continuación. f() En el ejemplo anterior se puede obtener las raíces a partir de la función, su proceso sería diferente al que hasta ahora has utilizado, debido a que de un inicio no se puede factorizar por factor común para simplificar su solución. Como antes se ha mencionado, el cero o raíz de una función es un valor para el cual f()=0. Por ejemplo, el cero de la función f 4 es =4, porque si se sustituye este valor en la función, ésta será igual a cero. 0 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

41 A continuación se estudiarán algunos teoremas que ayudarán a conocer los ceros de una función de forma más práctica. Teorema del residuo y del factor. Se requiere conocer la división entre polinomios como: 8 entre 5 entre 8 7 entre Si se toma 8 entre y se realiza el algoritmo de la división, ésta resultaría de la siguiente manera: Cociente Divisor 8 Dividendo El resultado se puede escribir como: Residuo El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma: Si un polinomio f() se divide entre el binomio r, donde r es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(r). Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir a en el polinomio. Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación. Si se considera f 8 y se evalúa en =, se obtiene: 8 5 f f f f Esto significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, porque el polinomio evaluado en = resulta 5, como el residuo en la división. Por qué es tan importante este teorema para encontrar las raíces o ceros de una función?, porque si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio. Lo anterior da origen al Teorema del Factor, el cual se enuncia a continuación. 8 8 Si r es una raíz de f() =0, es decir f(r)=0, entonces r es un factor de f(). Recordando la división anterior, no es un factor de 8, porque su residuo fue 5. BLOQUE 0

42 Ahora se retomará el polinomio anterior, pero en esta ocasión se dividirá entre, para comprobar si es factor del polinomio Como el resultado del residuo fue cero, entonces, es factor del polinomio 8, por lo tanto, éste se puede epresar como: En el caso de que el polinomio representara a la función f 8 función. Para comprobar se puede evaluar f y 4 f 8 f 8 f f 0 f. f Ejemplo. Si las raíces de la función polinomial son,,,, determinar dicha función., = y = 4 representarían las raíces de la Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la siguiente manera:,, y 4 f f f 8 Por lo tanto, la ecuación que satisfacen es: Multiplicando los factores queda: La función se epresa: f Aunque éste no es el único resultado, porque la función obtenida se etiende infinitamente hacia arriba, otra forma de función que cumple con las raíces anteriores es: Ésta se pasa por las mismas raíces pero se etiende infinitamente hacia abajo. f Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios, se puede utilizar otro método menos complicado, el cual es la división sintética, la cual es un proceso abreviado del algoritmo de división que se conoce hasta ahora. 04 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

43 División sintética. Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, se utilizará un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma r. Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini). Dividir 5 entre Procedimiento Ejemplo El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. 5 En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio. 5 A la derecha del último elemento del dividendo se escribe r con signo contrario separado, por una línea vertical. 5 5 Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón. El primer término del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo renglón y en la columna dos. Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho resultado en la tercera columna. Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor. Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer renglón es el residuo cte residuo 5 La división se puede escribir como se muestra Ejemplo. Dividir la función f 8 7 entre, utilizando la división sintética BLOQUE 05

44 El cociente de esta división es 8 8, entonces la función dada se puede epresar en términos de sus factores como f 8 8 o bien f 8 8. Ejemplo. Demostrar que completa. 4 y son factores de f Si es factor, entonces la raíz es y el residuo de la división de f() entre es cero., además, escribir la factorización Con ello se ha comprobado que es factor. Ahora, si es factor, la división entre el polinomio resultante 6 y debe tener residuo cero, para ello el divisor es El polinomio resultante es y se puede factorizar, quedando: Por lo tanto, f() se puede epresar como la multiplicación de sus factores A partir de cada factor se obtienen las raíces f f 0 Actividad: Realiza lo que se indica. I. Determina el cociente y el residuo de las divisiones, utilizando división sintética. ) f 5 7 entre 06 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

45 Actividad: (continuación) 4 entre ) f 4 entre ) f 0 0 entre 4) f 8 II. Comprueba los resultados anteriores, evaluando la función. Evaluación Actividad: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica las funciones especiales e inversas de una función. Ejemplifica funciones y sus inversas. Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 07

46 Cuando se tiene información previa de las raíces de una función es sencillo comprobar si lo son o etraer las faltantes, pero cuando se desconocen, se debe recurrir a otros teoremas que ayudarán a calcularlas. Teoremas sobre las raíces de una ecuación. Teorema fundamental del Álgebra. Toda ecuación polinomial de grado n tiene al menos una raíz, real o compleja. Teorema. Todo polinomio de grado n puede ser epresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo: 5 6 se puede factorizar y epresarse como f puede epresarse como g i i. f g. Teorema de las n raíces. Toda función polinomial f()=0 de grado n tiene eactamente n raíces, siempre y cuando considere la multiplicidad de las raíces. Por ejemplo: f 4 tiene dos raíces iguales:, h tiene tres raíces:,,. g 8 tiene cuatro raíces: 0,, i, i, las dos primeras son reales y las otras dos son complejas. Teorema de las raíces racionales. Si el racional irreducible v u es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces u es un factor del término independiente y v es un factor del coeficiente principal. En la siguiente tabla se visualizará el teorema anterior, utilizando las raíces de las funciones de los ejemplos anteriores. Función Coeficiente principal Factores del coeficiente principal Coeficiente del término independiente Factores del término independiente Probables raíces Raíces 4 4 f 4,, h 5 6 6,,, EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

47 f, 6,,, Ejemplo.. Encontrar las raíces de la función polinomial f Basándose en el teorema anterior, las posibles raíces son los cocientes formados por los factores del término independiente entre los factores del coeficiente principal. Esto es: Los factores del término independiente 6, son:,,, 4, 9,, 8, 6. Los factores del coeficiente principal 4, son:,, 4 Las posibles raíces son:,,,,, 4,, 4, 9, 4 9, 9,, 6, 8, 6. 4 Si se prueban las posibilidades con división sintética, se obtiene: Para = Como el residuo es diferente a cero, = no es raíz de la función. Haciendo el mismo procedimiento, pero con =, encontrarás que tampoco es raíz, se requiere ir sustituyendo una a una las posibles raíces. Ahora se sustituirá Como el residuo es cero, es raíz de la función. BLOQUE 09

48 El polinomio que resulta es 4 4 0, ahora se procede a factorizar el polinomio de segundo grado. Por lo tanto, las raíces son: Por lo tanto, las raíces de f son:,, 4. No es necesario seguir probando con los demás valores, ya que el teorema de las n raíces dice que si el grado de la función es, tiene raíces. La gráfica que describe a la función es: f() Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tu aprendizaje. nes/polinomial/funcion_polinomial_5_comparacion.htm nes/polinomial/funcion_polinomial_6_ecuacion.htm nes/polinomial/funcion_polinomial_7_ecuacion.htm ces.html 0 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

49 Actividad: 4 Cierre Realiza lo que se indica.. Encuentra todas las raíces reales, para que escribas la forma factorizada de las siguientes funciones polinomiales. 4 a) f() 64 b) T() 0 8 c) G() d) P() 5 6. Encuentra todos los ceros (reales e imaginarios) de la función F() 6 6. BLOQUE

50 Actividad: 4 (continuación). Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la función f() Bosqueja la gráfica de la función G() 6, utilizando sus raíces. 5. Encontrar los ceros racionales e irracionales de la función: L() Epresa en factores lineales la función de tercer grado H() 6 0. EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

51 Actividad: 4 (continuación) 7. f() es una función de tercer grado cuya gráfica corta al eje X en 4, 0 y, encuentra su regla de correspondencia y bosqueja la gráfica. 8. Se desea hacer una caja de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 0 cm por 0 cm, cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Encontrar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 56 cm. 9. La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 0 m, si el ancho es, el largo + y la altura + metros, cuáles son sus dimensiones? Evaluación Actividad: 4 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la aplicación de las funciones cúbicas y cuárticas. Autoevaluación Aplica las funciones cúbicas y cuárticas en situaciones reales. Aprecia la aplicabilidad de las funciones cúbicas y cuárticas. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE

52 4 EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

53 Emplea funciones racionales. Competencias disciplinares básicas: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el conteto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y tetos con información relativa a funciones racionales. Atributos a desarrollar en el bloque: 4. Epresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Sigue instrucciones y procedimientos de manera refleiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refleiva. 8.. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 07 horas

54 Secuencia didáctica. Funciones racionales. Inicio Actividad: Después de analizar el ejemplo, en equipo, determina el dominio de las siguientes funciones. f f f Función Ceros del denominador Dominio f Dom : 0, 4 f 8 5 f f 4 6 f() 4 64 Evaluación Actividad: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce el dominio de la función racional. Distingue el dominio de la función racional. Muestra interés al realizar la actividad y demostrar sus conocimientos previos. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente 6 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

55 Desarrollo Concepto de función racional. Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma: P f donde P y Q son funciones polinomiales sólo que Q 0. Q A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se encuentra el dominio de algunas funciones racionales, además, se muestra la gráfica de cada una de ellas. Ejemplo. f El dominio de la función es el conjunto de los números reales, menos aquellos valores que indefinan la función, esto es, cuando 0. Para encontrar la solución de la ecuación, se puede utilizar la fórmula general. a b c b 4 4 Con el resultado anterior, se concluye que no eisten números reales que sean solución de la ecuación, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales. Su gráfica se presenta a continuación. b a f() 4ac Ejemplo. f Ahora, el dominio de la función depende de la solución a la ecuación 0, y al despejarla se obtiene. El dominio de la función es: Dom: BLOQUE 4 7

56 La gráfica es: f() Ejemplo. 4 6 f Se requiere resolver la ecuación , lo cual se realiza mediante la fórmula general. a 8 b 6 c 75 b b a 4ac El dominio de la función es: 5 Dom :, 4 La gráfica es: f() 8 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

57 Ejemplo 4. 4 f En este caso el único valor en el cual se indefine la función es 0, por lo que el dominio es: Dom: 0 La gráfica es: f() Ejemplo 5. f 4 Ahora se tiene que resolver la ecuación 4, para ello sólo se requiere despejar Por lo tanto, el dominio son todos los números reales menos el cuatro. Dom: 0 4 La gráfica es: f() BLOQUE 4 9

58 Actividad: Anota en las líneas el dominio de cada una de las gráficas y selecciona la función correspondiente, de la que se ofrece al final. y y Dom: Dom: Dom: y y Dom: Dom: Dom: h k g V 4 Q f 5 4 y y Evaluación Actividad: Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el dominio de la función racional. Autoevaluación Selecciona la gráfica de funciones racionales de acuerdo a su dominio. C MC NC Calificación otorgada por el docente Aprecia la utilidad del dominio en la identificación de gráficas. 0 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

59 Función racional reducible. Dentro de las funciones racionales se encuentran las que son reducibles, es decir, aquellas que tienen factores iguales en el numerador y denominador, de tal manera que se pueden eliminar y mostrar la función simplificada. Para reducir las funciones racionales, se recurre a la factorización, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo. 4 f Es esencial determinar primero el dominio de la función, la cual parte de encontrar los ceros del denominador, el cual, en este caso se convierte en cero cuando =, por lo tanto, el dominio es: Dom: Observando la función, se deduce que el denominador es una diferencia de cuadrados, y se factoriza mediante binomios conjugados. A continuación se muestra la forma en que se reduce la función. Por lo tanto, la función queda: f 4 con f La función reducida es una recta con pendiente uno y ordenada en el origen, su gráfica se muestra a continuación. Se debe dibujar un punto hueco en las coordenadas (, 4), ya que en ese punto se indefine la función racional. f() BLOQUE 4

60 Ejemplo. 4 g El dominio de la función es: Dom: 0 El denominador se puede factorizar por factor común, de la siguiente manera: Por lo tanto, la función queda: 4 g 4 con 0 g 4 La función reducida es una parábola con vértice en (0, 4), sólo que al dibujar el punto correspondiente a éste, debe ser un punto hueco, porque es donde la función se indefine. 4 g() Ejemplo. 8 h El dominio de la función es: Dom: El denominador se puede factorizar por diferencia de cubos como se muestra a continuación: Por lo tanto, la función queda: 8 h 4 con h 4 4 Completando el trinomio cuadrado perfecto en la función cuadrática anterior, se obtiene el vértice. EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

61 h h h 4 La parábola que describe tiene su vértice en el punto (, ) y se abre hacia arriba, también tiene un punto hueco en =; para encontrar la altura, el valor donde se indefine se sustituye en la función reducida. 4 h 4 Por lo tanto, el punto hueco tiene coordenadas (, ) y su gráfica queda: h() Sitios Web recomendados: En este sitio encontrarás ejercicios concernientes a la función racional. Actividad: En equipo, reduce las siguientes funciones racionales. 4 4 ) f 4 BLOQUE 4

62 Actividad: (continuación) ) T ) g ) p 4 5) m ) k Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el método de factorización para reducir una función racional. Coevaluación Establece la función reducida de una función racional. C MC NC Calificación otorgada por el docente Respeta la opinión de sus compañeros y colabora de forma activa en el equipo. 4 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

63 Actividad: 4 Cierre Las gráficas corresponden a las funciones descritas en la actividad anterior. Escribe debajo de cada una de ellas la función racional, la función reducida, el dominio y rango. y y Dom: Dom: Dom: Rango: Rango: Rango: y y y Dom: Dom: Dom: Rango: Rango: Rango: y Evaluación Actividad: 4 Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la gráfica de una función racional, su dominio y rango. Autoevaluación Distingue la gráfica de la función racional, su dominio y rango. Realiza la actividad con entusiasmo. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 4 5

64 Actividad: Secuencia didáctica. Gráficas de funciones racionales. Inicio Resuelve las siguientes ecuaciones. 4 ) 0 ) ) ) Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el método para resolver ecuaciones polinomiales. Aplica diferentes métodos de solución de ecuaciones polinomiales. Muestra interés al realizar la actividad. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente 6 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

65 Desarrollo Para graficar una función racional, se requiere sustituir valores alrededor de las indefiniciones (valores de donde el denominador es cero) y valores etremos (muy grandes y muy pequeños). Por ejemplo, en la función f, tiene su indefinición en =, por lo que se requiere sustituir valores muy cercanos a, también es necesario sustituir valores muy grandes y pequeños, como se muestra en las siguientes tablas. f f f indefinición Con las tablas se puede concluir que:. En la primera se observa que para valores muy cercanos a = por la izquierda, la función tiende a ; y cuando se sustituyen valores muy cercanos a = por la derecha, la función tiende a.. En la segunda tabla se observa que para valores muy pequeños la función se acerca a.. En la tercera tabla se observa que para valores muy grandes, la función se acerca a. Analizando la función se pueden obtener otros datos que ayudan a visualizar la gráfica, por ejemplo:. Si se sustituye la función en =, no se obtiene valor alguno en la función. f 0. Si se realiza el cociente de la función, se tiene: Se puede epresar como: f f no está definido Al sustituirse valores muy grandes o muy pequeños se aproima a cero y la función se acerca a. BLOQUE 4 7

66 Estos dos análisis coinciden, por lo tanto, se puede trazar dos rectas auiliares que acoten estos comportamientos, a estas rectas se les conoce como asíntotas. f() Graficando algunos de los puntos se puede orientar la forma de la función. f() Su gráfica queda de la siguiente manera. f() Para bosquejar la gráfica de una función racional, se requiere conocer dónde están situadas las rectas asíntotas, es por ello que se debe diferenciar los tipos de asíntotas. 8 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

67 Asíntotas de funciones racionales. Una recta es asíntota de una curva (la función racional) si la distancia entre un punto sobre la curva y la recta se aproima a cero a medida que el punto se aleja del origen de coordenadas. En otras palabras, las asíntotas son líneas que nunca tocan a la función pero se encuentran muy cercanas a ella. Asíntotas verticales. Son las rectas auiliares que son paralelas al eje Y, como se muestra en la siguiente gráfica. f() Asíntota vertical La función que describe la gráfica anterior es f 4 y su indefinición es cuando =, la cual la representa precisamente la asíntota vertical, por lo tanto, las asíntotas verticales son las indefiniciones que puede tener una función. La ecuación de la recta es =0. Asíntotas horizontales. Éstas son las rectas auiliares paralelas al eje X. Utilizando la función anterior para determinar las asíntotas horizontales se observa la posición de la misma. f() Asíntota horizontal BLOQUE 4 9

68 Para conocer la posición de la asíntota horizontal, es necesario sustituir valores etremos, es decir, muy grandes o pequeños. Analizando la función, para valores que se acercan a infinito, se deduce lo siguiente: f 4 El término cuando se acerca o tiende a, se aproima a cero, dado que el numerador es y el denominador cada vez es más grande, por lo tanto, el valor de la función cuando ( tiende a ) es 4, por lo que la ecuación de la asíntota horizontal es: f 4 ó y 4 0 y 4 Ahora, si se quiere conocer las asíntotas horizontales de una función de la cual no es tan sencillo visualizar su comportamiento en valores etremos, se tendrá que aplicar el algoritmo de la división y epresar en forma de factores y residuo, como se muestra a continuación. Ejemplo. Epresar la ecuación de la asíntota horizontal de la función f. Por lo tanto, la función se puede epresar como: 0 f f Así que cuando, la función se acerca a, por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es: f ó y y 0 Si se desea visualizar la gráfica, también se considerará la asíntota vertical, la cual es cuando se indefine la función, y esto es, cuando =0. f() 0 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

69 Asíntotas oblicuas. Son rectas auiliares inclinadas y éstas se generan en funciones racionales donde el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. En este caso, al realizar el algoritmo de la división, se obtiene como cociente una recta, esto se verificará con el siguiente ejemplo. Ejemplo. Determinar la ecuación de la asíntota de la función f 4. Al realizar el algoritmo de la división se obtiene: La función se epresa así: Cuando la parte de la función La asíntota oblicua es la función identidad. f 4 se aproima a cero, por lo tanto, la función se convierte en: 4 f También tiene una asíntota vertical, cuando =0, porque es cuando se indefine la función, por lo tanto, su gráfica queda de la siguiente forma: ó y Utiliza un graficador para que compruebes todas las funciones racionales que se han graficado en este bloque. f() BLOQUE 4

70 En resumen, si f() es una función racional, se puede decir que:. La función f() tiene asíntotas verticales en los ceros del denominador.. La función f() tiene asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador.. La función f() tiene asíntotas oblicuas, si el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador. Actividad: Resuelve lo que se pide. I. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de cada una de las funciones y bosqueja la gráfica correspondiente. ) f 4 6 ) g() ) k EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

71 Actividad: (continuación) 4) p() 5) t() II. Escribe la ecuación de una función racional que tenga como asíntota oblicua a la recta y y que además pase por el punto (,). Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Obtiene las asíntotas para bosquejar la gráfica de una función racional. Indica las asíntotas de una función racional. Autoevaluación Aprecia la utilidad de las asíntotas para bosquejar las gráficas de las funciones racionales. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 4

72 Al igual que todas las funciones que se han abordado en este bloque, la función racional tiene aplicaciones importantes en situaciones reales, como el ejemplo que sigue: Ejemplo. Una compañía encontró que la demanda del artículo que vende varía en forma inversamente proporcional al precio del mismo. Cuando el precio del artículo es de $.5, la demanda es de 00 unidades. Epresa la función que describe la demanda del producto dependiendo del precio del artículo. Si D representa la demanda del artículo y p se identifica como el precio, entonces, se tiene la siguiente relación. k D p Donde k es la constante de proporcionalidad y para encontrar su valor se sustituyen los datos que proporciona el problema, es decir, la demanda y el precio quedando como sigue: k 00.5 Despejando k se tiene: La función una vez sustituida la constante queda: k 00.5 k Dp p La gráfica que representa la demanda se muestra a continuación. D(p) p 4 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

73 Actividad: Cierre Resuelve lo que se indica.. El volumen de una solución varía inversamente con su concentración. Un milímetro de una solución tiene una concentración de 40 mg por litro de nitrato de plata. a) Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad. b) Epresa el volumen en función de la concentración de nitrato de plata. c) Cuál es el volumen de la solución cuando la concentración es de 65 mg por litro de nitrato de plata?. Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad. Si se supone que la función racional f (), representa el porcentaje de estas sustancias en una persona, durante una etapa de su enamoramiento, donde representa el número de meses: a) Utiliza una tabla de valores para que traces la gráfica. BLOQUE 4 5

74 Actividad: (continuación) b) Cuál es la cantidad global de estas substancias presentes a los cinco meses? c) Según este modelo, en cuánto tiempo se alcanza la máima producción y cuál es ésta? d) Qué tipo de asíntotas tiene la función?. Para realizar una construcción en una fábrica, cinco obreros la terminan en tres días, Si el tiempo en el que realizan la construcción es inversamente proporcional al número de obreros (considerando que todos trabajan al mismo ritmo), determina lo siguiente: a) Encuentra la constante de proporcionalidad. b) Epresa la función del trabajo realizado, en términos del número de obreros. c) En cuánto tiempo terminarán la misma construcción 7 obreros? 6 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

75 Actividad: (continuación) 4. Una lancha demora 0.5 horas en atravesar un lago con una rapidez promedio de 40 Km/h, qué rapidez promedio necesita la lancha para regresar en 0. horas? 5. Para llenar un estanque con una sola llave de agua se requieren horas, Cuántas llaves del mismo tipo que la primera se requieren para llenar el estanque en horas? 6. El valor de un automóvil se deprecia en proporción inversa a su antigüedad. Si un sedan valía $50,000 cuando tenía años. a) Encuentra la constante de proporcionalidad. BLOQUE 4 7

76 Actividad: (continuación) b) Epresa el valor de un automóvil en función de su antigüedad. c) Cuánto tenga 0 años, cuál será su valor? 7. Si se mantiene fija el área de un terreno rectangular, el largo es inversamente proporcional a su ancho. Si el ancho del terreno es de m y su largo es de 0 m. a) Epresa el ancho en función del largo. b) Si el largo aumenta 6 metros, cuánto mide el ancho? Evaluación Actividad: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la aplicación de las funciones racionales. Autoevaluación Aplica las funciones racionales en situaciones reales. Aprecia la aplicabilidad de las funciones racionales. C MC NC Calificación otorgada por el docente 8 EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

77 Utiliza funciones eponenciales y logarítmicas. Competencias disciplinares básicas: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos eponenciales y logarítmicos aplicando las propiedades de crecimiento y decrecimiento propias de estas funciones, para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos, de su vida cotidiana o escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el conteto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y tetos con información relativa a funciones eponenciales y logarítmicas. Atributos a desarrollar en el bloque: 4. Epresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Sigue instrucciones y procedimientos de manera refleiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refleiva. 8.. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 0 horas

78 Secuencia didáctica. Funciones eponenciales. Actividad: Inicio Desarrolla lo que se pide, en relación con la siguiente epresión y=.. Cuál es su significado?. Calcula los valores correspondientes de y para =,, 4, 0, 0,,,, /, /4, /4, /.. Es posible encontrar algún valor de para el cual y resulte negativa? Justifica tu respuesta. 4. Es posible encontrar algún valor de para el cual y sea igual a 40? 5. Puede representarse gráficamente la epresión? Justifica tu respuesta. 6. Es posible encontrar valores de que hagan que y resulte mayor que 40, que 400, que 4000? Eplica tu respuesta. 7. Conoces un fenómeno o situación que se pueda representar mediante esta función? Descríbelo. Evaluación Actividad: Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce algunas características de las funciones eponenciales. Autoevaluación Deduce algunas características de las funciones eponenciales. Muestra interés al realizar la actividad y mostrar sus conocimientos previos. C MC NC Calificación otorgada por el docente 40 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

79 Desarrollo La aparición de las funciones eponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de poblaciones humanas, con colonias de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina y la química, entre otras disciplinas. Un ejemplo de la aplicación de las funciones eponenciales se presenta en la división celular que tiene lugar en el vientre materno, cuando se gesta un ser humano. El núcleo del espermatozoide de un hombre se fusiona con el óvulo de la mujer dando origen a una célula llamada cigoto, la cual se divide en dos células y luego en cuatro, posteriormente en ocho y así sucesivamente continúa desarrollándose hasta el nacimiento de un nuevo ser humano; por otro lado, también el crecimiento bacteriológico presenta crecimiento eponencial. Otro ejemplo se encuentra en la forma en que se reproduce la marea roja, la cual la forma billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad, afectando con ello a muchas especies marinas. Concepto de función eponencial. La función eponencial es una función trascendente cuya forma es: f b donde a b se le denomina base y es una constante positiva diferente de, y a la variable se le denomina eponente. En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene: f Ab donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando =0 se tiene: f f f Ab A 0 A La definición de la función eponencial eige que la base siempre sea positiva y diferente de uno, porque en el caso contrario, al tener como base, se obtendría la función constante igual al coeficiente, como se muestra a continuación. f Ab f A Si la base fuese negativa, se tendrían valores sin sentido en los números reales, como el siguiente. La función eponencial f A 9 9 no eiste en los números reales f b presenta las siguientes características:. Su dominio son todos los números reales.. En todos los casos la función pasa por el punto (0, ).. Los valores de la función siempre son positivos para cualquier valor de. 4. Siempre es creciente si b>, y siempre es decreciente si 0<b<. 5. El eje X se convierte en una asíntota. BLOQUE 5 4

80 Para visualizar todo lo anterior, en el mismo plano cartesiano, se grafica algunas funciones eponenciales. f f f 4 f 4 f f 5 f 6 f 4 f() f f f f f f f UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

81 f 4 f() f 5 f f f f f 6 Actividad: Desarrolla lo que se pide. I. Utiliza la calculadora para completar la tabla; con los valores obtenidos en ella, traza la gráfica de las funciones, determina su dominio y rango f f() BLOQUE 5 4

82 Actividad: (continuación) f f f f() f() f() 44 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

83 Actividad: (continuación) II. Resuelve las siguientes ecuaciones (utiliza la calculadora para que verifiques los resultados). ) ) 4 ) 4 64 Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Dibuja la gráfica de funciones eponenciales. Escribe los valores que pertenecen a la gráfica de funciones eponenciales. Autoevaluación Aprecia la utilidad de la calculadora para encontrar valores de funciones eponenciales. C MC NC Calificación otorgada por el docente Variación eponencial. El siguiente ejemplo se puede modelar a través de una función eponencial. Ejemplo. Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de 0 mg y la cantidad que queda en el cuerpo se disminuye el 80 % cada hora. Para que el fármaco haga efecto en el cuerpo, debe haber por lo menos mg del mismo. Determinar cuándo quedan sólo mg. Con una tabla se puede visualizar la función, al ir presentando algunos datos que cumplen con el comportamiento del medicamento en el cuerpo. Tiempo transcurrido (hrs) Cantidad de medicamento (mg) BLOQUE 5 45

84 Para obtener las cantidades anteriores se realizaron las siguientes operaciones. Tiempo Cantidad de medicamento 0 0 0(0.80)=8 0(0.80)(0.80)=6.4 0(0.80)(0.80)(0.80)=5. 4 0(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)= (0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)= (0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)= (0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)= (0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=.6777 Por lo tanto, la cantidad de medicamento en el cuerpo al transcurrir el tiempo se puede epresar como: t 00.8 t C Según los datos obtenidos, cuando han transcurrido 7 horas se acerca a la cantidad de mg en el cuerpo, es por ello que la dosis para la administración de este medicamento tiene que ser 0 mg cada 7 horas. Para encontrar el tiempo eacto en el cual el cuerpo se tendrán mg del medicamento en el cuerpo, se requiere conocer la solución de ecuaciones eponenciales y logarítmicas, la cual se eplicará al finalizar de este bloque. Factor y tasa de crecimiento. El factor de crecimiento es el factor constante por el cual se multiplica cada valor en un patrón de crecimiento eponencial, para obtener el siguiente valor. El factor de crecimiento es la base en una ecuación eponencial; por ejemplo, en el problema anterior, el factor de crecimiento es 0.8, debido a que es el valor que se multiplica tantas veces como el tiempo transcurre. Ahora, se presentará el siguiente ejemplo para obtener la tasa de crecimiento. Ejemplo. En un salón de clases, un alumno se enferma de gripe y contagia a cuatro de sus compañeros en una semana. A la siguiente semana hay 6 contagiados en cinco salones. A las tres semanas, el virus lo tienen 64 personas de la escuela. En cuatro semanas cuántas personas se habrán contagiado de gripe? Para obtener el modelo del problema se presentan los siguientes valores. Tiempo (semana) Número de personas contagiados Al dividir dos resultados consecutivos, siempre da como resultado 4, es por ello que el factor de crecimiento es 4, por lo tanto, la función que modela esta situación es: t N t 4 En cuatro semanas se tendrán 56 contagiados N 4 Una tasa se identifica como un porcentaje de aumento o disminución de un valor inicial y se puede epresar como un porcentaje. El término tasa es comúnmente utilizado en matemáticas financieras, en el cálculo del interés compuesto. 46 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

85 La tasa de crecimiento se deduce mediante la siguiente fórmula: Tasa decrecimient o La razón de crecimiento =Tasa de crecimiento 00%. Valorfinal del periodo Valorinicial del periodo Valorinicial del periodo Si se considera el ejemplo anterior para encontrar la tasa de crecimiento, tomando en cuenta los dos primeros valores, se obtiene: 4 Tasa decrecimient o f Ab, de la cual, tomando los dos primeros valores, se obtiene: Si se desea generalizar, se considera la función Ab Ab Tasa decrecimient o 0 Ab Ab A A Ab A b Por lo tanto, se concluye que si la tasa de crecimiento se denota como r, ésta se puede epresar como: 0 También se puede visualizar la base como: r b b r De la misma forma se puede determinar la tasa de decrecimiento, la cual es: b r En ambos casos el crecimiento se da por periodos de tiempo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. V t 600.0, calcular: Si el valor de un objeto está dado por t a) La tasa de crecimiento. b) El valor del objeto al cabo de un año. En la función se reconoce la base, la cual es b=.0, por lo tanto, la tasa de crecimiento es: r.0 r 0.0 La tasa de crecimiento es 0.0, es decir, el valor del objeto crece a razón del 0%. En cuanto al valor al transcurrir un año, éste se obtiene al sustituir t= en la función. El valor del objeto es $660 al transcurrir un año V V BLOQUE 5 47

86 Actividad: Desarrolla lo que se pide.. Escribe una función eponencial, cuyo valor inicial es igual a 4 y el factor de crecimiento es igual a.. Si la tasa de crecimiento de una función eponencial es igual a 0.5, entonces el factor de crecimiento es igual a:. Si se invierten $5,000 en una cuenta bancaria, al 0% de interés anual durante tres años, cuál es el monto que se genera en ese periodo? 4. Un niño deposita $500 en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de 6% compuesto anual capitalizado semanalmente. Cuánto tendrá en la cuenta después de un año? 5. El precio de un automóvil nuevo se incrementa cada año en.7%. Si actualmente un automóvil cuesta $5 000: a) Escribe una función mediante la cual obtengas el precio del automóvil como función del número t de años transcurridos. b) Cuánto costará un auto último modelo dentro de 6 años? 6. Se sabe que el organismo elimina la nicotina a una razón de 40% cada hora. Una persona que fuma un cigarro, después de horas tiene en su cuerpo 5 mg de nicotina. a) Escribe una función que dé la cantidad de nicotina en función del número t de horas después de haber fumado un cigarro. b) Cuánta nicotina tiene en su cuerpo esa persona después de horas? 48 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

87 Evaluación Actividad: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la tasa y factor de crecimiento para dar solución a problemas reales. Autoevaluación Aplica la función eponencial para resolver problemas de la vida real. Epresa sus dudas y corrige sus errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente El número e. Caracterización e importancia. Al igual que y, el número e es un número irracional. Su descubrimiento se le atribuye a Leonhard Euler, quien en su artículo Introductio in Analysin Infinitourm en 748, demostró que: e......!!! Dando como resultado aproimado e =.78888, el cual se puede obtener con una calculadora científica. Observa con cuidado las siguientes figuras para que localices dónde se ubica la función e. Notarás que se encuentra de color amarillo, lo cual significa que para activarla tienes que oprimir primero la tecla Shift. Prueba con e para que compruebes el valor del número de Euler. El número e se emplea como base de los logaritmos naturales y es importante, porque participa en muchas situaciones que modelan planteamientos de tipo eponencial. Ejemplos: kt ) En ocasiones, los psicólogos utilizan la función Lt A e, para medir el nivel de aprendizaje en un determinado tiempo t, donde L(t) es la cantidad aprendida en el tiempo t; A es la cantidad por aprender; y k es el nivel de aprendizaje. rt o donde M 0 es el monto inicial, T(t) es el monto a pagar transcurrido el tiempo t ; r es la tasa de interés compuesto y e es el rendimiento sobre una inversión durante t años, a una tasa de interés de 00% compuesto continuamente. ) La epresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente es Tt M (e ) Función eponencial natural. La función eponencial natural es aquella que tiene como base el número e y se representa mediante la función: f k A e Si k>0, la función es creciente y si k<0, la función es decreciente. En finanzas, cuando una cierta cantidad de dinero (C 0 ) se capitaliza continuamente, se emplea la función eponencial natural para determinar el monto total (C), al cabo de un cierto tiempo (t) con una tasa de interés (r). La epresión queda como sigue: t C C r t 0 e BLOQUE 5 49

88 Ejemplo Si son invertidos $000 a una tasa anual del 7% capitalizado continuamente, cuál será el monto al final de años? Se sustituye la función continua de capitalización continua. Donde: C 0 =000 r=0.07 t= Se tiene como resultado: t C C r t 0 e r t C0e 000 e C t C C Al cabo de tres años, se tiene un capital de $.68. En la siguiente tabla se concentran las fórmulas eplicadas anteriormente. Función eponencial Función eponencial natural Forma general Forma aplicada para comportamiento de decrecimiento Forma aplicada para comportamiento de crecimiento f Ab Pt P t Pt P t 0 r 0 r f A e k P rt t P 0 e P rt t P 0 e Condiciones P: Valor final. P 0 : Valor inicial. r: tasa de crecimiento o decrecimiento por periodos. t: tiempo transcurrido. P: Valor final. P 0 : Valor inicial. r: tasa de crecimiento o decrecimiento continuo. t: tiempo transcurrido. Ejemplo. Un banco paga 8% anual de interés, si se deposita la cantidad de $5 000, calcular: a) Cuánto dinero habrá después de 0 años si se capitaliza anualmente? b) Cuánto dinero habrá después de 0 años si se capitaliza continuamente? En este caso se presentan los dos tipos de funciones; en el inciso a) se utiliza la función con crecimiento por periodo, y en el inciso b) el crecimiento es continuo. Para dar respuesta al inciso a) C t C 0 r se utiliza la fórmula t C es el capital final. C 0 =5,000 r=0.08 t=0, donde: t C0 r 5, ,97. C t C 0 C 0 0 Al final de 0 años, habrá $5,97. en el banco. 50 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

89 Para darle respuesta al inciso b) se utiliza la fórmula C rt t C 0 e, donde: C es el capital final. C 0 =5,000 r=0.08 t=0 rt C0e ,000 e 0 55,68. 5 C t C 0 C 0 Al final de 0 años, el monto total será de habrá $55,68.5 en el banco. Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples aplicaciones de la función eponencial y logarítmica. h/naturaleza/aplicacionesdelaeponencial/aplicaciones.htm Actividad: 4 Cierre Plantea y resuelve los siguientes problemas, utilizando la función correspondiente.. Una población crece a razón de 6% anual; si actualmente hay 750 habitantes: a) Escribe la función de la cantidad de habitantes al transcurrir los años. b) Cuántos habitantes habrá después de 5 años?. La masa de una sustancia radiactiva se desintegra en.7% cada hora; si inicialmente hay 6.57 Kg. de esta sustancia: a) Escribe la función de la masa de la sustancia al transcurrir las horas. b) Qué cantidad de sustancia habrá después de una semana? BLOQUE 5 5

90 Actividad: 4 (continuación). Una colonia de roedores crece a razón de 7% mensual; si actualmente hay 798 roedores: a) Escribe la función de la cantidad de roedores al transcurrir los meses. b) Cuántos roedores habrá después de 0 meses? 4. Una enfermedad contagiosa se propaga en.5% mensual, si inicialmente hay 67 enfermos: a) Escribe la función de la cantidad de enfermos al transcurrir los meses. b) Cuántos enfermos habrá después de un año? 5. Un banco paga un interés de % anual, si se desea tener $50,000 dentro de años: a) Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es continua? b) Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es anual? 6. Se sabe que el número de bacterias crece en forma eponencial diariamente de acuerdo con la función t P. t P 0, si actualmente hay 7,000: a) Cuántas bacterias habrá dentro de 6 días? b) Cuántas bacterias habrás dentro de 9 días? 5 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

91 Actividad: 4 (continuación) 7. Se sabe que el número de ratones de una colonia crece en forma eponencial anualmente, de acuerdo con la función t P t P0., si actualmente hay 5,700 ratones: a) Cuántos ratones habrá dentro de año y medio? b) Cuántos ratones habrá dentro de 4 años? 8. El uranio se desintegra de acuerdo con la función eponencial t M t M0 0. 7, donde t se mide en horas, si inicialmente hay 00 gramos de uranio, qué cantidad de uranio habrá después de 6 horas? 9. Las células cancerosas de un tumor crecen en forma eponencial diariamente de acuerdo con la función t P. t P 0 5. Cuando se descubre este tumor se calcula que hay 5,000 células cancerosas. a) Cuántas células cancerosas habrá después de días? b) Cuántas células cancerosas habrá después de 8 días? Evaluación Actividad: 4 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Aplica la función eponencial para resolver problemas de la vida real. Indica la función eponencial que da solución a problemas de la vida cotidiana. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente Se interesa en la aplicabilidad de las funciones eponenciales y comparte los resultados con el grupo, en la retroalimentación. BLOQUE 5 5

92 Secuencia didáctica. Función logarítmica. Actividad: Inicio Utiliza la calculadora para encontrar los siguientes valores. 0 ) 5 ) ) 8 4 4) e 5 5) e 6) log 4.5 7) log ) ln 5 9) ln 56. 0) log Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce las funciones de la calculadora, para obtener valores tanto con eponentes como con logaritmos. Utiliza la calculadora para obtener valores con eponentes o con logaritmos. Muestra interés al realizar la actividad. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente 54 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

93 Desarrollo Durante tu trayecto académico has resuelto ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, entre otras, pero no se te habían presentado ecuaciones cuya variable se encontrara en el eponente, es decir, ecuaciones eponenciales, como por ejemplo: a) 64 b) 4 c) Comúnmente en los despejes de ecuaciones se requiere pasar dividiendo, un término que está multiplicando, así como se pasa restando un término que se está sumando, esto es porque se utiliza la operación inversa para llevar a cabo los despejes. En este caso, como la variable está en el eponente, no se puede ni multiplicar, ni dividir o potenciar la ecuación para etraer la variable. Se requiere aplicar la función inversa de la función eponencial y ésta es la función logarítmica. A continuación se te presenta el concepto de logaritmo. Concepto de logaritmo. El logaritmo base b es el inverso de la ecuación eponencial de base b. log N b N si N y b son positivos y b. b Lo cual permite ir de la representación eponencial a la logarítmica y viceversa. Ejemplo. Convertir la a su forma logarítmica. Observando la ecuación eponencial anterior, se tiene: b=7 N=6807 Siguiendo la definición se tiene que: log Ejemplo. Convertir la log a su forma eponencial. b=8 N=644 =6 6 log BLOQUE 5 55

94 Actividad: Resuelve lo que se solicita. I. Convierte cada una de las epresiones eponenciales a la forma logarítmica. ) 8 ) 5 0 ) ) 9 5) ) y II. Escribe las epresiones siguientes en forma eponencial. ) log 0 0 ) log 0 0 ) log 6 6 4) log 5 5) log 6 6 6) log y Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la trasformación de la notación eponencial a la notación logarítmica y viceversa. Autoevaluación Realiza transformaciones de la notación eponencial a la notación algebraica. Muestra interés al realizar la actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente 56 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

95 Notarás que tu calculadora proporciona únicamente los logaritmos base 0 y base e, en el caso del logaritmo base 0, la notación que más se utiliza para nombrarlo es únicamente log y para el logaritmo base e se utiliza ln, como se muestra a continuación. log 0 log log e ln A continuación se proporciona un listado de propiedades que facilitan, en mucho de los casos, la solución de ecuaciones tanto logarítmicas como eponenciales, las cuales se abordarán al finalizar el bloque. También dentro de este listado se encuentra el cambio de base, es decir, la forma de calcular el logaritmo de cualquier base. Propiedades de los logaritmos. logm. log b M logb. logb MN logb M logb N. M logb logb M logb N N 4. n logb M nlogb M Actividad: Utiliza la calculadora para encontrar el valor de los siguientes logaritmos. ) log 4 ) log 0.00 ) log ) log e 5) log e 6) ln 6 7) ln 8) log 8 9) log ) log 05 4 Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Selecciona las teclas adecuadas de la calculadora para obtener el valor del logaritmo. Autoevaluación Escoge las teclas adecuadas de la calculadora para obtener el valor del logaritmo. Aprecia la tecnología como herramienta de apoyo a su aprendizaje. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 5 57

96 Concepto de función logarítmica. La función logarítmica de base b es la inversa de la función Eponencial de base b, esto es: y log b El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función eponencial, implica que la acción que una de ellas realiza sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir: logb b Gráfica de la función logarítmica. Dentro de las funciones logarítmicas, se tienen dos comportamientos diferentes, de acuerdo al valor de la base b. I. Cuando b las funciones tienen las siguientes propiedades:. Su dominio son los números reales positivos.. Rango son los números reales.. Son funciones continuas y crecientes en todo su dominio. 4. Sus gráficas pasan por los puntos (, 0) y (b, ). 5. La recta =0 es una asíntota vertical. 6. La función es negativa para los valores de menores que. 7. La función es positiva para valores de mayores que. Para visualizar todo lo anterior, se grafica en el mismo plano cartesiano algunas funciones logarítmicas base 0, debido a que es la función que proporciona la calculadora, además de la función base e. Posteriormente se proporcionarán algunas propiedades de los logaritmos, dentro de las cuales eiste una que permite calcular el logaritmo de cualquier base b y f log f loge ln f log0 log f() f log f ln f log 58 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

97 II. Cuando 0 b las funciones tienen las siguientes propiedades: 8. Su dominio son los números reales positivos. 9. Rango son los números reales. 0. Son funciones continuas y decrecientes en todo su dominio.. Sus gráficas pasan por los puntos (, 0) y (b, ).. La recta =0 es una asíntota vertical.. La función es negativa para los valores de mayores que. 4. La función es positiva para valores de menores que. A continuación se visualiza tres funciones con 0 b. f log f log f log f() f f log 0 log f log Por el hecho de ser la función logarítmica inversa de la función eponencial, se desprenden algunas propiedades.. log b b. y logb b y. log b 0 4. log b b BLOQUE 5 59

98 Actividad: 4 Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango. f ln f() f ln f() f log f() 60 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

99 Actividad: 4 (continuación) f ln( ) f() log f f() Evaluación Actividad: 4 Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Construye la gráfica de funciones logarítmicas. Identifica la gráfica de funciones logarítmicas. Autoevaluación Aprecia la utilidad de la calculadora en la gráfica de funciones logarítmicas. C MC NC Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples aplicaciones de la función logarítmica BLOQUE 5 6

100 Ecuaciones eponenciales y logarítmicas. A continuación se presenta la solución de algunas ecuaciones tanto logarítmicas y eponenciales. Por comodidad se utiliza el logaritmo base 0 ó base e, los cuales son los que ofrecen directamente las calculadoras. Ejemplo. Soluciona la ecuación Hay dos formas de resolverlo, una es transformando la ecuación eponencial a su forma logarítmica utilizando la definición, y la otra opción es aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación y se utilizan las propiedades de logaritmos. Las siguientes tablas presentan las dos formas de solucionar la ecuación. Utilizando la definición Descripción del proceso 04 4 Ecuación original. log04 4 Se aplica la definición. log4 log04 Se aplica la propiedad del cambio de logaritmo. logm log b M logb 0. Mediante la calculadora se realiza la división. Utilizando propiedades. Descripción del proceso 04 4 Ecuación original. log04 log4 Se aplica el logaritmo base 0 a ambos lados. log04 log4 Se aplica la propiedad: n logb M nlogb M log4 Se despeja la variable. log04 0. Mediante la calculadora se realiza la división. Ejemplo. Resolver la ecuación 4. Como notarás, la ecuación tiene en ambos miembros la variable como eponente, debido a esto, conviene utilizar las propiedades para que sea más sencilla su solución. Primero se aplica logaritmo base 0 a ambos lados de la ecuación. 4 log4 log 6 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

101 Posteriormente, se bajan los eponentes como coeficientes en cada uno de los logaritmos. log4 log A continuación se quita el paréntesis del lado izquierdo de la ecuación. log4 log4 log Se pasan las variables de lado derecho y se factoriza por factor común, para poder despejar la variable y encontrar su valor. Ejemplo. Resolver la ecuación log log 0. log4 log log4 log4 log log4 log4 log 4.89 Como se observa en la ecuación, hay una diferencia de logaritmos y se puede unificar ya que eiste una propiedad para hacerlo, como se muestra a continuación. log log 0 log 0 Ahora se transforma el logaritmo como ecuación eponencial, utilizando la definición (recordando que la base del logaritmo es 0), como se muestra a continuación. 0 0 Como cualquier ecuación, se puede comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original y corroborando que se cumple la igualdad. log4 log log log log log log log log BLOQUE 5 6

102 Ejemplo 4. 48/ t La fórmula P 7e representa la producción P de cierta especie de árboles (en millones de pies cúbicos por acre) para un bosque que cuenta con t años. Encontrar el tiempo que se necesita para tener una producción de: a).4 millones cúbicos de árboles. b) millones cúbicos de árboles. Para dar respuesta a cada uno de estos incisos se sustituye en la función la cantidad de árboles que se espera producir, como se muestra a continuación. Ahora se despeja la función eponencial. 48/ t.4 7e. 48 / t e 7 48 / t 0. e Ahora se aplica el logaritmo natural como se muestra a continuación. t lne 48 / ln 0. Como el logaritmo natural es la función inversa de la función eponencial natural, queda: Por último se despeja el tiempo. ln 0. 48/ t 48 t ln 0. t 9.8 Tienen que pasar aproimadamente 9.8 años para producir.4 millones cúbicos de árboles. Ahora se sigue el mismo procedimiento para dar respuesta al inciso b). t lne 48 / ln t 8. Tienen que pasar aproimadamente 8. años para producir millones cúbicos de árboles. 7e e e ln / t 48 / t 48 / t 48 t ln / t 64 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

103 Actividad: 5 Resuelve las siguientes ecuaciones. ) 4 ) 4 0 ) log log 0 log6 4) log 4 5) log log6 log 6) 6 Evaluación Actividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Selecciona las propiedades adecuadas de los logaritmos para resolver ecuaciones. Autoevaluación Resuelve ecuaciones logarítmicas y eponenciales. Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 5 65

104 Actividad: 6 Cierre Resuelve los siguientes problemas.. A unos estudiantes de física se les aplicó un eamen, posteriormente se les aplicó eámenes mensuales equivalentes al original, para medir el nivel memorístico que poseen. La calificación promedio del grupo se obtiene mediante la función: C(t) 80 7 logt 0 t donde C(t) es la calificación promedio que se obtiene a partir del eamen aplicado en el tiempo t. a) Cuál fue la calificación promedio en el eamen original (t=0)? b) Cuál fue la calificación promedio después de 6 meses?. La relación entre el número de decibeles y la intensidad del sonido I en watts por metro cuadrado está dado por: 0 log 6 0 a) Simplifica la fórmula mediante las propiedades de los logaritmos. b) Determina el número de decibeles de un sonido con una intensidad igual a cuadrado. 0 0 watts por metro. La presión atmosférica p disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio 0.45h se relaciona con la altura h en kilómetros mediante la fórmula p 760e. A qué altura se tiene una presión de 50 mm de Hg? 66 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

105 Actividad: 6 (continuación) 4. Los químicos usan un número denotado PH para describir cuantitativamente la acidez de ciertas soluciones. Por definición su fórmula es PH logh, donde H, es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. Calcula el valor del PH de las siguientes soluciones dados sus correspondientes H : a) Vinagre: H b) Zanahoria: H 0 5. El número de miligramos en el flujo sanguíneo de cierto medicamento suministrado por vía intramuscular se modela mediante la función 0.4t N 5e Si se considera que al llegar a miligramos se debe administrar nuevamente el medicamento, cuánto tiempo transcurre entre la aplicación de las inyecciones? BLOQUE 5 67

106 Actividad: 6 (continuación) 6. En un cultivo de bacterias, la función que modela su crecimiento es B = 5,000 cuánto tiempo la población se duplicará? e 0. 4t, en 7. La ecuación f da las ventas totales en días después del lanzamiento de un nuevo juego de video. En cuál día se vendieron 6000 juegos? Evaluación Actividad: 6 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la aplicación de las funciones logarítmicas. Autoevaluación Aplica las funciones logarítmicas en situaciones reales. Aprecia la aplicabilidad de las funciones logarítmicas. C MC NC Calificación otorgada por el docente 68 UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

107 Emplea funciones periódicas. Competencias disciplinares básicas: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta eperimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos periódicos aplicando las propiedades de las funciones senoidales para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos senodidales, en el conteto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y tetos con información relativa a funciones polinomiales. Atributos a desarrollar en el bloque: 4. Epresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Sigue instrucciones y procedimientos de manera refleiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refleiva. 8.. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 09 horas

108 Secuencia didáctica. Funciones senoidales. Actividad: Desarrolla lo que se pide. Inicio. Cómo se define el seno de un ángulo agudo?. Cómo se define el coseno de un ángulo agudo?. Utiliza la calculadora para obtener las siguientes cantidades: o a) sen 50 o b) cos 45 o c) tan 5 d) sen e) cos f) sen g) cos Evaluación Actividad: Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce las definiciones de las funciones seno y coseno. Autoevaluación Calcula el valor de las funciones trigonométricas de ángulos agudos. Muestra interés al realizar la actividad y mostrar sus conocimientos previos. C MC NC Calificación otorgada por el docente 70 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

109 Desarrollo En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrón predecible, por ejemplo: el hecho de que en regiones de climas templados, el consumo de energía eléctrica se eleva en verano y desciende en invierno; el número de turistas que visitan las playas de Méico aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el resto del año; el precio de venta de las frutas en temporada de verano disminuye y aumenta en invierno. Así como estos ejemplos, hay otros que pueden ser modelados con funciones periódicas, las cuales son aquellas que repiten el mismo valor en intervalos regulares de la variable. Una función f() es periódica si eiste un número p, tal que, pueda hacer f(+p)=f(), para todas las ; al número p se le llama periodo. Debido a que las funciones seno y coseno repiten sus valores con un patrón regular, éstas son consideradas funciones periódicas, las cuales se construyen mediante las razones trigonométricas de seno y coseno, respectivamente. La razón trigonométrica seno, es la comparación por división entre el cateto opuesto y la hipotenusa de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. La razón trigonométrica coseno, es la comparación por división entre el cateto adyacente y la hipotenusa de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. En la asignatura de Matemáticas se abordó la definición geométrica de función seno y coseno, la cual se construye con el círculo unitario, como se muestra en las siguientes figuras. En esta gráfica, se observa cómo los segmentos verticales (cateto opuesto), corresponden al valor del seno del ángulo A, debido a que la hipotenusa en cada triángulo es de longitud. y sen A A - En la función coseno, la longitud de los segmentos horizontales (cateto adyacente) corresponde al valor del coseno del ángulo A, por ello, en la figura el círculo unitario se voltea 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj, para que el segmento correspondiente al cateto adyacente de los triángulos rectángulos coincida con la altura del valor de la función, como se muestra en la siguiente figura: cos A y A - BLOQUE 6 7

110 En esta asignatura se desarrollarán las funciones senoidales, seno y coseno, como relación funcional entre dos conjuntos pertenecientes a los números reales. Concepto de las funciones senoidales. Son las funciones que están formadas por las razones trigonométricas seno o coseno. Las epresadas en su forma estándar son: f a sen b c d a cosb c d f Los valores que se sustituyen de son los números reales, y para construir la gráfica de las funciones mediante tablas de valores, se sustituirán múltiplos y submúltiplos de, debido a que son los que determinan los cambios importantes en el comportamiento de las funciones senoidales, como se mostró en la definición geométrica de las mismas. Para la obtención de valores de las funciones senoidales de números reales con una calculadora, se requiere usar el modo radián. En el bloque se graficó la función seno y se visualizó su forma, utilizando tablas de valores, como se presenta a continuación. f() sen f() 0 Su dominio y su rango son: Dom : :, Rango, f() cos Su dominio y su rango son: Dom : :, Rango, 7 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

111 Características de las funciones seonidales. Amplitud. Es la mitad de la diferencia entre los valores máimo y mínimo de la función. Periodo (P). Es el intervalo en el cual la función no se repite, o bien, el intervalo que hay entre dos máimos o dos mínimos. Frecuencia. Es la medida que se utiliza generalmente para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. Línea base. Es la línea horizontal que se encuentra en el punto medio de oscilación, es decir, está en la mitad de la diferencia entre los valores máimo y mínimo de la función. f()=sen() Amplitud Línea base Periodo (P) El comportamiento que tienen la función seno y coseno, en un periodo, se describe en la siguiente tabla. Variable Función seno Función coseno 0< < Creciente de 0 a. Decreciente de a 0. Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o Tiene un máimo en. punto de infleión. < < Decreciente de a 0. Decreciente de 0 a. Está en 0, el cual es el punto de equilibrio, en la línea base, también es un punto de infleión, es decir, donde cambia de Tiene un mínimo en concavidad. < < Decreciente de 0 a. Creciente de a 0. Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o Tiene un mínimo en punto de infleión. < < Creciente de a 0. Decreciente de a 0. Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o punto de infleión. Creciente de 0 a. BLOQUE 6 7

112 Ejemplo. Graficar la función f 4sen en el intervalo de, 0. Primero se verifica que la calculadora se encuentre en el modo radian, si no puedes cambiar el modo, pregunta a tu profesor. Posteriormente se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de dentro del intervalo solicitado, como se muestra a continuación. f() 4sen Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se traza la función, recordando que es una curva suave. Si se compara f a sen b c d con la función 4sen f, se tiene: a 4 b c 0 d 0 Con ello, por lo pronto, se puede deducir que a proporciona la amplitud de la función, debido a que la separación entre la línea base y el punto máimo o mínimo de la función es cuatro. Otra forma de visualizar la amplitud, es obteniendo la mitad de la separación entre el punto máimo y mínimo, la cual daría 8/=4. En cuanto a los parámetros b c y d, se visualizarán en los ejemplos posteriores. 74 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

113 Ejemplo. Graficar la función g sen en el intervalo de, 0. Se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de dentro del intervalo solicitado, sólo que en esta ocasión, se deben tomar más valores, debido a que el argumento de la función se multiplicó por, así que se tomarán los siguiente valores. g() sen Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se tiene la siguiente gráfica. g() Se observa en la gráfica que se presentan tres periodos dentro del intervalo de 0,, el cual es el periodo de la función seno original, por lo tanto, si se compara f a sen b c d g sen, se tiene: con la función a b c 0 d 0 BLOQUE 6 75

114 Con lo anterior, se concluye que b proporciona la frecuencia de la función la cual es, esto es, la función se repite tres veces en el periodo original de longitud. Para obtener el periodo de esta función, se divide el periodo original entre la frecuencia, como sigue: P En la gráfica se visualiza como sigue: P Actividad: Desarrolla lo que se pide. I. Coloca en el paréntesis la letra de la gráfica que corresponde a cada una de las funciones. ( ) f sen ( ) f cos ( ) f sen 4cos 4sen cos 4 ( ) f sen ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f cos A. f() B. f() C. f() D. f() 76 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

115 Actividad: (continuación) E. f() F. f() G. f() H. f() II. Encuentra el periodo de cada una de las funciones anteriores. ) sen f P= ) cos f P= ) sen f P= 4) sen f P= 5) 4cos f P= 6) 4sen f P= 7) cos4 f P= 8) f cos P= Evaluación Actividad: Producto: Reactivos de relación. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la amplitud, frecuencia y periodo de funciones senoidales. Autoevaluación Obtiene el periodo y distingue la amplitud y frecuencia de funciones senoidales. Epresa sus dudas y corrige sus errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 6 77

116 Actividad: En equipo, investiga cómo está relacionada la frecuencia de onda de los aparatos, antenas, luz solar, entre otros con la salud del ser humano, escribe tu investigación en una cuartilla, coméntala en el grupo y escribe la conclusión grupal en el siguiente espacio. Evaluación Actividad: Producto: Conclusión grupal Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Sintentiza la información recabada sobre las repercusiones que tiene la frecuencia de onda en la salud del individuo. Indaga sobre las repercusiones que tienen la frecuencia de onda en la salud de los individuos. Coevaluación Escucha con interés a sus compañeros y comparte los resultados de su investigación. C MC NC Calificación otorgada por el docente 78 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

117 Ejemplo. Graficar la función t cos en el intervalo de 5,. Al observar la función, se tiene que: a b c d 0 Como la frecuencia la determina el parámetro b y éste es, entonces se puede completar la tabla con los valores usuales en el intervalo de, 5 h cos Al ubicar los puntos en el plano cartesiano y trazar la curva de forma suave, se obtiene: t() f cos h cos Ahora, comparando esta gráfica con la función coseno original, se observa cómo eiste un desplazamiento a la derecha de unidades. BLOQUE 6 79

118 Otro aspecto que se puede concluir de este ejemplo es que al desplazarse la función coseno unidades a la derecha, coincide en todos sus puntos con la función seno original, como se muestra en las siguientes gráficas: f() t() Así observamos una de las principales razones de por qué a las funciones seno y coseno se les denomina senoidales, porque el coseno puede ser transformada en coseno, aplicándosele el desplazamiento correspondiente. Ejemplo 4. Graficar la función h cos. sen cos Como el argumento de la función coseno no ha sido modificado, los valores a sustituir son los mismos que los de la función coseno original, como se muestra a continuación. h cos 0 Ubicando los puntos en el plano cartesiano se obtiene la siguiente gráfica: 80 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

119 h() Si se grafican la función original f cos y h cos desplazamiento de la línea base, dos unidades hacia abajo. en el mismo plano cartesiano, se observa un Los parámetros que se tienen en la función h cos, son: a b c 0 d Por lo tanto, el parámetro d desplaza a la función hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de su signo. Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, para que refuerces tus conocimientos de funciones senoidales. trigonometricas_vcc/seno_construccion.htm BLOQUE 6 8

120 Cierre Actividad: 4 Completa la tabla describiendo cómo cambia la gráfica de cada una de las funciones dadas, en comparación con la gráfica de la función f()=cos() de acuerdo a los parámetros que éstas poseen. Función a b c d J() cos G() cos 4 t() cos h() cos 5 V() cos U() cos 4 M() 5cos 8 Evaluación Actividad: 4 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Indica los cambios que sufre una función senoidal, de acuerdo a sus parámetros. Describe cómo influyen los parámetros en las gráficas de las funciones senoidales. Realiza la actividad con entusiasmo y epresa sus dudas. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente 8 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

121 Actividad: Secuencia didáctica. Graficación paramétrica de funciones senoidales. Desarrolla lo que se pide. Inicio I. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a la descripción de cada una de las funciones dadas. Función Descripción f() 4cos A. La amplitud es, su periodo es y se desplaza unidades a la derecha. ( ) ( ) f() cos 4 B. La amplitud es, su periodo es y se desplaza unidades a la derecha. ( ) f() cos ( ) f() cos4 C. La amplitud es, su periodo es unidades a la derecha. D. La amplitud es 4, su periodo es y se desplaza 4 y se desplaza ( ) f() cos 4 unidades a la derecha. E. La amplitud es, su periodo es y se desplaza 4 unidades a la derecha. II. Escribe en la línea la palabra derecha o izquierda, para que el enunciado resulte válido. y se traslada unidades horizontalmente a la, ésta coincidirá con la gráfica de la función y sen.. Si la gráfica de cos. Si la gráfica de sen y se traslada unidades horizontalmente a la, ésta coincidirá con la gráfica de la función y cos. Evaluación Actividad: Producto: Reactivos de relacionar y completar. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce las características de las funciones senoidales. Escoge la amplitud, periodo y desplazamiento de las funciones senoidales. Se interesa por recuperar sus conocimientos previos. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 6 8

122 Desarrollo Graficación mediante parámetros. En esta secuencia aprenderás a bosquejar las gráficas de las funciones senoidales, utilizando únicamente el análisis sen f cos como base. de sus parámetros, para ello, se utilizarán las funciones f y A continuación se mostrará un análisis de las gráficas de las funciones base, para obtener una metodología para el trazado de otras funciones senoidales. La gráfica de la función f sen es: f(), por lo tanto, la función corta al eje X en los etremos del intervalo, 0,0,,0 y,0. El periodo de la función es medio del mismo, como se ve en la gráfica, por lo tanto se ubican los puntos 0 y en el punto f() Posteriormente, se ubican los puntos máimo y mínimo en el primer y tercer cuarto del periodo, a la altura de y, respectivamente, debido a que la amplitud es (a=), obteniéndose con ello, su máimo en, y su mínimo en,. f() Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave. 84 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

123 f() Se sabe que el dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto, la curva anterior se repite infinitamente tanto a la derecha como a la izquierda, de la manera siguiente: f() Ahora se analizará la función f cos, la cual tiene la siguiente gráfica: f() El periodo de la función es, pero en esta ocasión, inicia a la altura de, es decir que en los etremos del intervalo 0, la función vale, y en el punto medio del intervalo su valor es, por lo tanto, los máimos de la función en este periodo se ubican en los puntos 0, y,. Su punto mínimo se encuentra en,. En el primer y tercer cuarto del periodo la función corta al eje X, por lo tanto, las intersecciones se ubican en los puntos, 0 y, 0. Se ubican los puntos mencionados en el plano cartesiano, como se muestra a continuación. BLOQUE 6 85

124 f() Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave. f() Cuando se repite el periodo a lo largo de los números reales se obtiene la función. f() Ahora, se mostrarán varios ejemplos en los que se variarán los parámetros y utilizando las funciones bases, se bosquejarán las gráficas correspondientes. Ejemplo. Graficar la función g cos 4 Los parámetros son:. a, por lo tanto, su amplitud es. b, esto significa que la frecuencia es, por lo tanto, su periodo es: P. b c, desplaza a la función, unidades a la derecha. d 4, desplaza a línea base, 4 unidades hacia abajo. 86 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

125 Si se traza la función base f cos y se toman en cuenta los parámetros de la función g(), se puede bosquejar su gráfica, como se muestra a continuación. Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la gráfica completa. g() Ejemplo. Graficar la función h sen 6. Primero se factoriza la función en el argumento, para visualizar sin problemas el parámetro c. h sen 6 sen h Los parámetros son: a, por lo tanto, su amplitud es. b, esto significa que la frecuencia es, por lo tanto, su periodo es: P b c, desplaza a la función, unidades a la izquierda. d, desplaza a línea base, unidad hacia arriba. BLOQUE 6 87

126 Si se traza la función base f sen y se toman en cuenta los parámetros de la función h(), se puede bosquejar su gráfica, como se muestra a continuación. h() Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la gráfica completa. h() Las aplicaciones más usuales son las utilizadas en Física sobre la velocidad y frecuencia de onda de emisión solar, electromagnéticas y de sonido, entre otras. La siguiente imagen muestra la forma en que se transforma la energía solar en energía eléctrica continua. 88 EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

127 A continuación se presenta un ejemplo del movimiento ondulatorio, de los más utilizados en Física. Ejemplo. Un pescador observa que el corcho de la caña realiza 40 oscilaciones por minuto, debidas a unas olas cuyas crestas están separadas 60 cm. Con qué velocidad se propaga la onda? La velocidad con la que se propaga una onda está dada mediante la siguiente fórmula: Donde: v f es la longitud de onda, esto es, la separación que hay entre dos máimos o dos mínimos consecutivos. f es la frecuencia de onda. De acuerdo a los datos que proporciona al problema, se obtiene que: 60 cm 0.6m f 40 min Por lo tanto, la velocidad es de: v f v 0.6 m 40 min m m v min s Aplicaciones como la anterior se abordan en la asignatura de Física y con mayor profundidad a niveles superiores. Ahora se planteará un problema del análisis de gráficas. Ejemplo. Los científicos consideran que la temperatura anual en ciertos lugares es periódica. La temperatura promedio en una región geográfica determinada y en una estación dada, fluctúa con el tiempo: de frío pasa a cálido y, posteriormente, regresa al frío. La gráfica muestra una descripción idealizada de la temperatura en grados Celsius para los últimos miles de años, en un lugar a la misma latitud de Anchorage, Alaska. Temperatura ( o C) Años a) Determinar las temperaturas más alta y baja. b) Encontrar la amplitud. c) Determinar el periodo de la función. BLOQUE 6 89