Problemas de la matemática aplicada: logros del pasado y retos del futuro.
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- Marcos Torregrosa Botella
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1 Problemas de la matemática aplicada: logros del pasado y retos del futuro. José M. Arrieta Universidad Complutense de Madrid e ICMAT Grupo de Investigación CADEDIF Universidad de Otoño - CDL José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 1 / 62
2 PROBLEMA Sea n N. Si n es par, lo dividimos entre 2. Si n es impar, calculamos el número 3n y volvemos a empezar con el nuevo número. Ejemplo: Problema: Independientemente de dónde empecemos, acaba toda sucesión en 4,2,1? José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 2 / 62
3 DETERMINISMO Y PREDICTIBILIDAD José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 3 / 62
4 CITA de Mario Livio Is God a mathematician? (2009): El mundo no se está quieto. La mayor parte de los objetos que nos rodean están en movimiento o cambian continuamente. Incluso la Tierra bajo nuestros pies, que parece tan firme, está de hecho rotando sobre su eje, girando alrededor del Sol y viajando (junto con éste) alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. El aire que respiramos se compone de billones de moléculas que se mueven sin cesar de forma aleatoria. Al mismo tiempo, las plantas crecen, los materiales radiactivos se desintegran, la temperatura de la atmósfera sube y baja de forma cotidiana además de con cada estación y la expectativa de vida humana no deja de aumentar. Sin embargo, esta agitación cósmica no amilanó a la matemática. Newton y Leibniz introdujeron la rama denominada Cálculo específicamente para poder efectuar un análisis riguroso y una modelización precisa del movimiento y del cambio. En nuestros días, la potencia de esta increíble herramienta que lo abarca todo permite utilizarla para examinar problemas tan dispares como el movimiento de la lanzadera espacial o la propagación de una enfermedad infecciosa. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 4 / 62
5 ... Guiados por los gigantescos avances de Newton y Leibniz, los matemáticos de la Era de la Razón (finales del siglo XVII y siglo XVIII) desarrollaron el cálculo hasta crear la poderosa rama de las ecuaciones diferenciales, de innumerables aplicaciones. Esta nueva arma permitió a los científicos presentar detalladas teorías matemáticas de fenómenos que iban desde la música que produce una cuerda de vioĺın al transporte del calor, desde el movimiento de una peonza al flujo de ĺıquidos y gases. Durante un tiempo, las ecuaciones diferenciales se convirtieron en la herramienta favorita del progreso en física. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 5 / 62
6 Problemas de la época (siglo XVI-XVII): Movimiento planetario. Construcción de lentes. Óptica. Baĺıstica. Resistencia de materiales. Optimización de recursos. Construcción de relojes. Cálculo de áreas, volúmenes, longitudes. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 6 / 62
7 El Cálculo surge de intentar resolver estos (y otros) problemas dinámicos y de naturaleza cambiante. A partir de aquí se da una relación simétrica: el Cálculo resuelve problemas del mundo real y permite el planteamiento de problemas nuevos y más dificiles. A su vez, estas nuevas cuestiones hacen evolucionar al Cálculo en nuevas formas y se crean mas ramas del Cálculo para abordar estos problemas. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 7 / 62
8 Dinámica de fluidos Electro-magnetismo Teoría de la Relatividad Mecánica Cuántica Modelización de fenómenos bológicos, económicos y de las ciencias sociales en general José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 8 / 62
9 ARQUIMEDES ( ac) GALILEO Galilei ( ) Johannes KEPLER ( ) Bonaventura CAVALIERI ( ) Pierre FERMAT ( ) Isaac BARROW ( ) Isaac NEWTON ( ) Gottfried LEIBNIZ ( ) Jacob BERNOULLI ( ) Johann BERNOULLI ( ) Leonhard EULER ( ) Joseph-Louis LAGRANGE ( ) Pierre-Simon LAPLACE ( ) Augustin CAUCHY ( ) Henri POINCARÉ ( ) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 9 / 62
10 Construcción de relojes El Péndulo y la construcción de relojes <0 >0 l m =0 Describimos la posición del péndulo mediante la función θ(t) que expresa el ángulo que forma la masa con la vertical en función del tiempo. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 10 / 62
11 Construcción de relojes El movimiento de la masa del péndulo se rige por la ecuación θ + g l sin(θ) = 0 Es una Ecuación Diferencial de segundo orden (tiene dos derivadas) y es no lineal (sería lineal si fuera θ + g l θ = 0.) Buscamos funciones θ(t) que sean solución de la Ecuación Diferencial. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 11 / 62
12 Construcción de relojes Periodo Supongamos que el péndulo se suelta desde el reposo (sin velocidad inicial) y desde la posición θ 0. Cuál es el movimiento del péndulo?, Cuál es su periodo?, es decir, Cuánto tarda el péndulo en ir desde θ 0 hasta θ 0 y volver?. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 12 / 62
13 Construcción de relojes El periodo T (θ 0 ) depende de la posición inicial θ 0. El gráfico de T (θ 0 ) es de la forma José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 13 / 62
14 Construcción de relojes El periodo T (θ 0 ) depende de la posición inicial θ 0. El gráfico de T (θ 0 ) es de la forma 2 l g T( ) 0 0 José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 13 / 62
15 Construcción de relojes Construcción de relojes En el siglo XVII, Christiann Huygens ( ) se preguntó, qué perfil debería tener una función y = f (x) para que las oscilaciones de un objeto que se deslizase sobre ella tuvieran un periodo independiente de la posición inicial (isocrona). Esta es la base de la construcción del mecanismo del reloj de péndulo. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 14 / 62
16 Construcción de relojes Supongamos por tanto que el perfil de la función y = f (x) es y f(x) x José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 15 / 62
17 Construcción de relojes Y en el año 1690, Jacques Bernoulli encontró la solución: José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 16 / 62
18 Construcción de relojes Y en el año 1690, Jacques Bernoulli encontró la solución: CICLOIDE José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 16 / 62
19 Construcción de relojes José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 17 / 62
20 Construcción de relojes En base a la cicloide, Huygens construyó un mecanismo de reloj de péndulo de forma que la masa seguía la curva de una cicloide: o o o José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 18 / 62
21 Movimiento Planetario Movimiento Planetario Basandose en las observaciones de Tycho Brahe, el astrónomo Johannes Kepler, en sus libros Astronomía nueva (1609) y La armonía del mundo (1619) llegó a enunciar sus tres leyes sobre el movimiento planetario J. Kepler Tycho Brahe José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 19 / 62
22 Las Leyes de Kepler Movimiento Planetario 1 Los planetas se mueven en órbitas eĺıpticas ocupando el Sol uno de los focos de la elipse. 2 El área barrida por un planeta en tiempos iguales es igual. 3 El cuadrado del periodo de revolución es proporcional al cubo de los semiejes mayores de la elipse. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 20 / 62
23 Movimiento Planetario Newton, en sus Principia, resolvió el problema de dos cuerpos, es decir, el movimiento de un planeta bajo la acción gravitatoria del Sol. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 21 / 62
24 Movimiento Planetario y F m r F (0,v) (a,0) x m d 2 r Mm = G dt2 r 2 r r José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 22 / 62
25 Movimiento Planetario Esta Ecuación Diferencial de segundo orden es en realidad un sistema de ecuaciones: { d 2 x x dt = GM 2 d 2 y dt 2 = GM (x 2 +y 2 ) 3/2 y (x 2 +y 2 ) 3/2 Pasando a coordenadas polares, de forma que x = r cos(θ), y = r sin(θ) y escribiendo las ecuaciones en estas dos coordenadas, es decir, describiendo el movimiento del planeta como (r(t), θ(t)), tenemos ẍ = ( r ṙθ 2 ) cos(θ) (2ṙ θ + ṙ θ) sin(θ) ÿ = ( r ṙθ 2 ) sin(θ) + (2ṙ θ + ṙ θ) cos(θ) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 23 / 62
26 Movimiento Planetario Tras varios cálculos se llega a que donde e = a 2 v 2 /GM 1. r(θ) = a2 v 2 /GM 1 + e cos(θ) Pero es conocido que esta es la ecuación de una cónica con uno de sus focos en el origen de coordenadas y de excentricidad e. De forma que 1 si e = 0 es un círculo, 2 si 0 < e < 1 es una elipse, 3 si e = 1 es una parábola, 4 si e > 1 es una hipérbola. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 24 / 62
27 Algunas conclusiones Movimiento Planetario Esto supone un triunfo... Galileo José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 25 / 62
28 Algunas conclusiones Movimiento Planetario Esto supone un triunfo... Galileo de la razón José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 25 / 62
29 Algunas conclusiones Movimiento Planetario Esto supone un triunfo... Galileo de la razón del método científico de Galileo José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 25 / 62
30 Algunas conclusiones Movimiento Planetario Esto supone un triunfo... Galileo de la razón del método científico de Galileo de la mecánica y de la matemática y principalmente del cálculo José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 25 / 62
31 Algunas conclusiones Movimiento Planetario Esto supone un triunfo... Galileo de la razón del método científico de Galileo de la mecánica y de la matemática y principalmente del cálculo del determinismo José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 25 / 62
32 Algunas conclusiones Movimiento Planetario Esto supone un triunfo... Galileo de la razón del método científico de Galileo de la mecánica y de la matemática y principalmente del cálculo del determinismo de la capacidad de predicción (predictibilidad) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 25 / 62
33 Movimiento Planetario Determinismo y predictibilidad de Laplace Fue Pierre-Simon Laplace ( ) (Marqués de Laplace) quien dijo: Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Un intelecto que en un momento dado supiera todas las fuerzas que actúan en la naturaleza y todas las posiciones de todos los elementos que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente capaz para analizar todos estos datos, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente a sus ojos. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 26 / 62
34 EL CUESTIONAMIENTO DE LA PREDICTIBILIDAD José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 27 / 62
35 EL sistema de Lorenz Convección Térmica En los años 60, el meteorólogo y matemático Edward Lorenz ( ), en base a trabajos de Barry Saltzmann y otros, fue capaz de simplificar las ecuaciones del movimiento de un fluido por convección térmica a un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias. x = σx + σy y = xz + rx y z = xy bz σ = 10, r = 24, b =8/3 José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 28 / 62
36 EL sistema de Lorenz José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 29 / 62
37 EL sistema de Lorenz 20 Primera Coordenada, x 1 (t) Segunda Coordenada, x 2 (t) Tercera Coordenada, x 3 (t) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 30 / 62
38 EL sistema de Lorenz José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 31 / 62
39 EL sistema de Lorenz Condicion Inicial José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 32 / 62
40 EL sistema de Lorenz Condicion Inicial José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 33 / 62
41 EL sistema de Lorenz Otra Condicion Inicial Condicion Inicial José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 34 / 62
42 EL sistema de Lorenz Otra Condicion Inicial Condicion Inicial José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 35 / 62
43 EL sistema de Lorenz Qué sucede si tomamos dos condiciones iniciales muy cercanas? José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 36 / 62
44 EL sistema de Lorenz Qué sucede si tomamos dos condiciones iniciales muy cercanas? por ejemplo: x0=(1,1,2) x1=( , 1, ) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 37 / 62
45 EL sistema de Lorenz EFECTO MARIPOSA José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 38 / 62
46 EL sistema de Lorenz Sobre el efecto Mariposa : José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 39 / 62
47 EL sistema de Lorenz Sobre el efecto Mariposa : El término Efecto Mariposa fue acuñado en el título de la conferencia que E. Lorenz impartió el año 1972 en el congreso 139 de la Asociación Americana por el Avance de la Ciencia: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? ( Produce el aleteo de una mariposa de Brasil un tornado en Texas?) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 39 / 62
48 EL sistema de Lorenz Sobre el efecto Mariposa : El término Efecto Mariposa fue acuñado en el título de la conferencia que E. Lorenz impartió el año 1972 en el congreso 139 de la Asociación Americana por el Avance de la Ciencia: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? ( Produce el aleteo de una mariposa de Brasil un tornado en Texas?) consiste en una sensibilidad con respecto a los datos iniciales José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 39 / 62
49 EL sistema de Lorenz Sobre el efecto Mariposa : El término Efecto Mariposa fue acuñado en el título de la conferencia que E. Lorenz impartió el año 1972 en el congreso 139 de la Asociación Americana por el Avance de la Ciencia: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? ( Produce el aleteo de una mariposa de Brasil un tornado en Texas?) consiste en una sensibilidad con respecto a los datos iniciales si bien dos condiciones iniciales distintas terminan dibujando el mismo cuadro, nunca lo hacen de la misma forma por muy cerca que estén las dos condiciones iniciales José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 39 / 62
50 EL sistema de Lorenz Sobre el efecto Mariposa : El término Efecto Mariposa fue acuñado en el título de la conferencia que E. Lorenz impartió el año 1972 en el congreso 139 de la Asociación Americana por el Avance de la Ciencia: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? ( Produce el aleteo de una mariposa de Brasil un tornado en Texas?) consiste en una sensibilidad con respecto a los datos iniciales si bien dos condiciones iniciales distintas terminan dibujando el mismo cuadro, nunca lo hacen de la misma forma por muy cerca que estén las dos condiciones iniciales cuestiona la predicitibilidad de los sistemas deterministas: el intelecto del que habla Laplace deberá conocer perfectamente todos los datos iniciales. En otro caso, no podrá predecir el futuro. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 39 / 62
51 EL sistema de Lorenz El sistema de Lorenz: puso de manifiesto que sistemas deterministas sencillos pueden exhibir un comportamiento dinámico muy complicado (caótico) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 40 / 62
52 EL sistema de Lorenz El sistema de Lorenz: puso de manifiesto que sistemas deterministas sencillos pueden exhibir un comportamiento dinámico muy complicado (caótico) a pesar de su evidente comportamiento numérico caótico no es hasta el año 2001 que Warwick Tucker prueba que realmente es caótico y que el atractor de Lorenz es un atractor extraño, resolviendo así el problema n o 14 de Steven Smale. W. Tucker José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 40 / 62
53 Dinámica de Fluidos Ecuaciones de Navier-Stokes Una de las ecuaciones más importantes y que más desarrollos matemáticos ha producido son las del movimiento de los fluidos: las ecuaciones de Claude-Louis NAVIER ( ) y George G. STOKES ( ) (y sus multiples variantes) C.L. Navier G.G. Stokes José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 41 / 62
54 Dinámica de Fluidos Se obtienen de aplicar la segunda Ley de Newton y la ley de conservación de la masa a las partículas que componen el fluido. Si u(x, y, z, t) es la velocidad del fluido y p(x, y, z, t) es la presión en el punto (x, y, z) del espacio y en el instante t, entonces: u t + ( u ) u ν u = p + f div( u) = 0 José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 42 / 62
55 Dinámica de Fluidos Las ecuaciones de Navier-Stokes tienen las dos siguientes características: Surgen de problemas concretos de dinámica de fluidos y tienen aplicaciones directas a la física, ingeniería, aeronáutica, medicina, etc.. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 43 / 62
56 Dinámica de Fluidos Las ecuaciones de Navier-Stokes tienen las dos siguientes características: Surgen de problemas concretos de dinámica de fluidos y tienen aplicaciones directas a la física, ingeniería, aeronáutica, medicina, etc.. Componen uno de los mayores desafíos matemáticos actuales. Es claro que para resolver los numerosos problemas planteados se necesitan matemáticas de altura. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 43 / 62
57 Dinámica de Fluidos Uno de los problemas del milenio SE SABE QUE: José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 44 / 62
58 Dinámica de Fluidos Uno de los problemas del milenio SE SABE QUE: Dada una función u 0 (x, y, z) C (R 3 ) (la condición inicial) tal que div( u 0 ) = 0, u 0 2 <, R 3 entonces existe T > 0 y una unica función u(t, x, y, z) C ([0, T ] R 3 ) y p(t, x, y, z) C ([0, T ] R 3 ), solución de u t + ( u ) u ν u = p div( u) = 0, u(0, x, y, z) = u 0 (x, y, z) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 44 / 62
59 Dinámica de Fluidos Uno de los problemas del milenio SE SABE QUE: Dada una función u 0 (x, y, z) C (R 3 ) (la condición inicial) tal que div( u 0 ) = 0, u 0 2 <, R 3 entonces existe T > 0 y una unica función u(t, x, y, z) C ([0, T ] R 3 ) y p(t, x, y, z) C ([0, T ] R 3 ), solución de u t + ( u ) u ν u = p div( u) = 0, u(0, x, y, z) = u 0 (x, y, z) EL MILLÓN DE DOLARES: Probar o refutar que T = José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 44 / 62
60 Dinámica de Fluidos Uno de los problemas del milenio A finales de 2013 saltó la noticia que Mukhtarbay Otelbaev (Astana, Kazajistán) había encontrado una demostración de que T =. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 45 / 62
61 Dinámica de Fluidos Uno de los problemas del milenio Para finales de enero de 2014 ya se había encontrado un contraejemplo a uno de los teoremas fundamentales del artículo de Otelbaev. Este obstáculo no se ha podido salvar y la demostración de Otelbaev se da por errónea. Uno de los artífices de este contraejemplo fue Terence Tao (1975-): José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 46 / 62
62 Dinámica de Fluidos Uno de los problemas del milenio Para finales de enero de 2014 ya se había encontrado un contraejemplo a uno de los teoremas fundamentales del artículo de Otelbaev. Este obstáculo no se ha podido salvar y la demostración de Otelbaev se da por errónea. Uno de los artífices de este contraejemplo fue Terence Tao (1975-): José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 47 / 62
63 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 48 / 62
64 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? Eficiencia en los algoritmos para resolver problemas discretos: Cuántas operaciones se necesitan para resolver un cierto problema? José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 48 / 62
65 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? Eficiencia en los algoritmos para resolver problemas discretos: Cuántas operaciones se necesitan para resolver un cierto problema? PROBLEMA DE TIPO P. Un ejemplo: Primer problema: dados N números enteros: a 1, a 2,..., a N, decidir si la suma es nula. Este problema cuesta N operaciones: cada suma es una operación y decidir si la suma es nula o no es otra operación. Es decir, el número de operaciones que hay que hacer para llegar a la respuesta es un polinomio en la variable N (que representa la complejidad del problema). OTRO EJEMPLO: Tenemos N conjuntos de N números enteros cada uno. Decidir si existe algún conjunto que tenga una suma nula cuesta N 2 operaciones. De nuevo, el número de operaciones es un polinomio en N. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 48 / 62
66 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? PROBLEMA DE TIPO NP. Un ejemplo: Problema: Tenemos N números enteros: a 1, a 2,..., a N. Decidir si existe un subconjunto de estos números cuya suma sea nula. Este problema tiene una característica importante: si tenemos un candidato a solución (es decir un subconjunto de estos N números) podemos decidir si es solución o no con no mas de N operaciones. SIN EMBARGO: el mejor algorítmo que tenemos para resolver el problema es: Construir todos los subconjuntos de a 1, a 2,..., a N (en total 2 N ) y comprobar uno a uno si su suma es 0 o no En total necesitamos por lo menos 2 N operaciones, que no es un polinomio en N, sino una función exponencial en N. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 49 / 62
67 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? La pregunta es: Existirá siempre algún algorítmo de forma que el problema se pueda resolver con un coste polinomial en cuanto al número de operaciones? José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 50 / 62
68 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? Otro ejemplo: Problema del Vendedor Viajante. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 51 / 62
69 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? Otro ejemplo: Problema del Vendedor Viajante. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 52 / 62
70 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? Problema del Vendedor Viajante con las capitales de estados de EEUU. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 53 / 62
71 Problemas del milenio Otro problema del milenio: P = NP? Si hay N ciudades, hay en total (N 1)! caminos que pasan por todas las ciudades. Un primer algoritmo es calcular la distancia de todos los caminos: N! operaciones (que es como N N por la fórmula de Stirling). Mediante técnicas de programación dinámica se puede reducir a N 2 2 N operaciones. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 54 / 62
72 Problemas del milenio Otros problema del milenio La conjetura de Poincaré. (Resuelta en 2003 por Grigori Perelman (1966-).) La hipótesis de Riemann. (Los ceros de la función Zeta de Riemann tienen todos parte real =1/2) La conjetura de Hodge. (Problema de geometría algebraica) La teoría cuantica de Yang-Mills. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. (Problema sobre curvas eĺıpticas sobre los racionales) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 55 / 62
73 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Lo digital, la computación está revolucionando la sociedad. No hay descubrimiento actual que no utilice modelos/simulaciones numéricas. (Detección de ondas gravitacionales: el equipo de la Dra. Alicia Sintes de UIB jugó un papel importante en la modelización y computación) Big Data (Datos masivos) Diseño de nuevos materiales. Biotecnología. Biomedicina. Neurociencia computacional Comunicaciones. Internet (Google). Tratamiento de imágenes. Información cuántica José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 56 / 62
74 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Los medios de comunicación se hacen eco de los grandes hitos de la matemática. La conjetura ABC (Shinichi Mochizuki (1969-)) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 57 / 62
75 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada La demostración de las ternas pitagóricas (Marijn Heule, Oliver Kullmann, Victor Marek) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 58 / 62
76 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 59 / 62
77 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Existencia de números gemelos primos. (Yitang Zhang) Conjetura: ĺım inf n (p n+1 p n ) = 2 Yitang Zhang probó: ĺım inf n (p n+1 p n ) Ahora ya se ha bajado a ĺım inf n (p n+1 p n ) 246 José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 60 / 62
78 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Es admirablemente sencillo enunciar problemas de teoría de números, matemática discreta, combinatoria, etc.. para que el público en general lo entienda y aprecie: José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 61 / 62
79 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Es admirablemente sencillo enunciar problemas de teoría de números, matemática discreta, combinatoria, etc.. para que el público en general lo entienda y aprecie: El problema de los cuatro colores: todo mapa se puede colorear con tan sólo 4 colores. El último teorema de Fermat: x n + y n = z n. Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2 se escribe como suma de dos primos. El problema de Collatz ( también conocido como problema de Siracusa, Problema de Kakutani, Problema del granizo, etc...) José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 61 / 62
80 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Un reto importante de la Matemática Aplicada es la DIVULGACIÓN, es decir, SABER EXPLICARSE al gran público. José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 62 / 62
81 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Un reto importante de la Matemática Aplicada es la DIVULGACIÓN, es decir, SABER EXPLICARSE al gran público. Ejemplo: Navier-Stokes vs Conjetura de Collatz José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 62 / 62
82 Problemas del milenio Algunas reflexiones sobre retos de la Matemática Aplicada Un reto importante de la Matemática Aplicada es la DIVULGACIÓN, es decir, SABER EXPLICARSE al gran público. Ejemplo: Navier-Stokes vs Conjetura de Collatz Divulgación: Naukas Gaussianos CienciaXplora Mateaventuras (Clara Grima) Sección MATERIA José M. Arrieta Matemática Aplicada: Logros y retos 62 / 62
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