UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA PERIODO: 2014-B

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1 UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA PERIODO: 2014-B Asignatura: Métodos Numéricos Código: Semestre: VIII Descripción: Teórica Profesor: Héctor Andrés Granada Díaz Intensidad Horaria por actividad académica y número de créditos Presencial por semana Individual por semana Total Semestre N. Créditos MISIÓN INSTITUCIONAL La Universidad del Tolima es una institución de educación superior de carácter público que fomenta el desarrollo de capacidades humanas para la formación integral permanente, apoyada en valores éticos de tolerancia, respeto y convivencia mediante la búsqueda incesante del saber, la producción y la apropiación y divulgación del conocimiento en los diversos campos de la ciencia, el arte y la cultura, desde una perspectiva inter y transdisciplinar, como aporte al bienestar de la sociedad, al ambiente y al desarrollo sustentable de la región, la Nación y el mundo. PRESENTACIÓN DE LA PROPUESTA ACADÉMICA DE ASIGNATURA La propuesta académica de la asignatura de Métodos Numéricos busca desarrollar competencias interpretativas, argumentativas y propositivas en los estudiantes del programa de matemáticas con énfasis en estadística, en el análisis, la solución, planteamiento, demostración y deducción de los métodos numéricos clásicos aplicados a diversos problemas de las matemáticas. El trabajo de los estudiantes se realizará de forma autónoma desarrollando destrezas, habilidades y capacidades humanas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales para que posteriormente le posibiliten un avance claro y preciso de su conocimiento aplicable en cursos posteriores de su saber específico. 1

2 JUSTIFICACIÓN En diversos problemas de matemáticas que pueden provenir de diversas ramas como el análisis, álgebra, topología, lógica, sistemas dinámicos entre otras se hace necesario el uso de un ordenador. Es aquí donde se hace relevante el estudio del cálculo y la computación científica a través del análisis numérico y los métodos numéricos que ofrecen herramientas para el análisis, la implementación y la aplicación de algoritmos que puedan resolver de manera confiable y eficiente el problema matemático. Análisis Numérico. PRERREQUISITOS OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA OBJETIVO GENERAL: Introducir al estudiante en el estudio de la computación científica enfatizando en el análisis de error y en la implementación de algoritmos que permitan resolver el problema de los valores propios bajo tópicos del álgebra lineal, implementar métodos de interpolación que ajusten y aproximen funciones, aplicar técnicas numéricas para aproximar la derivada y la integral de una función, resolver numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y diferenciales parciales de tipo parabólico. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Conceptuales (Saber) (a) Resaltar la importancia de los métodos numéricos en la solución de problemas aplicados. (b) Implementar los métodos numéricos con el software MATLAB. (c) Identificar cuando se puede utilizar cada método numérico. (d) Justificar con conceptos los argumentos que se llevan a cabo en las demostraciones de los teoremas referentes a los métodos numéricos. (e) Interpretar los resultados obtenidos del ordenador. (f) Analizar bajo teoría del error la convergencia y eficiencia de los métodos numéricos. (g) Abstraer las propiedades más relevantes de cada método numérico. (h) Analizar e interpretar los resultados obtenidos del ordenador. 2

3 2. Procedimentales (Saber Hacer) (a) Aplicar teoremas de convergencia y de la teoría del error en los métodos numéricos. (b) Aplicar los métodos numéricos en la solución de problemas. (c) Comprobar la eficiencia de los métodos numéricos. (d) Calcular soluciones de sistemas de ecuaciones. (e) Programar en el software MATLAB los métodos numéricos. (f) Formular hipótesis y plantear conjeturas. (g) Definir diferentes tipos de problemas. (h) Proponer algoritmos. (i) Explorar ejemplos y contraejemplos. (j) Demostrar la validez de teoremas y proposiciones. (k) Utilizar el software MATLAB para facilitar actividades que conllevan a la solución de problemas. 3. Actitudinales (Ser) (a) Percibir la matemática como una disciplina que responde a las necesidades de resolver problemas prácticos y teóricos formando así buenos hábitos de trabajo y estudio. (b) Valorar el desempeño individual y autónomo de las tareas para conseguir los objetivos. (c) Generar interés por elestudio de los métodos numéricos y sus aplicaciones. (d) Reflexionar sobre cómo los conocimientos adquiridos en la asignatura de métodos numéricos dinamizan el conocimiento. (e) Reforzar los conocimientos necesarios para abordar adecuadamente los conceptos que se estudian en la asignatura. (f) Promover la creatividad, imaginación, confianza, honestidad, el respeto, la solidaridad, la seguridad, la inventiva, liderazgo, responsabilidad, tolerancia, autoestima, la crítica y la excelencia como valores fuente del desempeño académico. 3

4 COMPETENCIAS Y ACCIONES A DESARROLLAR 1. COMPETENCIAS: (a) Interpretativas (b) Argumentativas (c) Propositivas (d) Programáticas. 2. ACCIONES Y HABILIDADES: (a) Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. (b) Capacidad para aplicar los conocimientos en la práctica. (c) Capacidad para organizar y planificar el tiempo. (d) Conocimientos sobre el área de estudio y la profesión. (e) Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente. (f) Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de diversas fuentes. (g) Capacidad crítica y autocrítica. (h) Capacidad para actuar en nuevas situaciones. (i) Capacidad creativa. (j) Capacidad para identificar, planear y resolver problemas. (k) Capacidad para tomar decisiones. (l) Capacidad de trabajo en equipo. (m) Habilidades interpersonales. (n) Capacidad de motivar y conducir hacia metas comunes. (o) Habilidad para trabajar en forma autónoma. (p) Compromiso ético. (q) Compromiso con la calidad. (r) Capacidad de investigación. 4

5 Estas competencias y acciones se llevarán a cabo mediante el planteamiento, diseño y desarrollo de una situación problemática, planteada desde el quehacer profesional como un proyecto de investigación en el aula y así fomentar el espíritu científico e investigativo. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS QUE CONTRIBUYEN AL LOGRO DE LOS OBJETIVOS Y DE LAS COMPETENCIAS En el desarrollo del curso se tendrán presente las siguientes estrategias metodológicas: De acompañamiento directo al estudiante: 1. Exposición magistral. 2. Desarrollo de talleres o ejercicios de aplicación. 3. Desarrollo de técnicas de trabajo grupal. 4. Asesoría directa a los estudiantes. 5. Lectura e interpretación dirigida de textos de referencia bibliográfica. De trabajo independiente del estudiante: 1. Revisión de lecturas complementarias e investigación bibliografica. 2. Solución de problemas propuestos en forma individual y/o grupal. 3. Consulta e investigación, organización de información, análisis de temas específicos. 4. Consultas a través de Internet. 5. Realización de un proyecto de aula. 6. Implementación de los métodos numéricos en MATLAB. RECURSOS Instalaciones de la Universidad del Tolima, Sala de computo de estadística, computadoras personales, Internet y software MATLAB. 5

6 EVALUACIÓN Los procesos de evaluación se realizarán según el cronograma y la normativa de la Universidad del Tolima, del cual quedará acta mediante el acuerdo pedagógico. Sin embargo se propone la siguiente forma de evaluar: 1. Tres evaluaciones parciales escritas con nota cuantitativa (20% cada uno) 2. Seguimiento mediante talleres y trabajos escritos (10%) 3. Presentación y sustentación del proyecto Investigativo de aula (30%) CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA 1. TÓPICOS DEL ÁLGEBRA LINEAL 1.1. Problema de los valores propios de una matriz: el método de la potencia Los teoremas de Schur y Gershgorin Factorizaciones Ortogonales y problemas de mínimos cuadrados Descomposición en valores singulares y seudoinversas Algoritmo QR de Francis para el problema de los valores propios. 2. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES 2.1. Interpolación polinomial: Newton y Lagrange Convergencia de los polinomios de Interpolación Diferencias divididas Interpolación de Hermite Interpolación de Splines Series de Taylor Mejor Aproximación: Teoria de Chebyshev Aproximación adaptativa. 3. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Diferenciación numérica y extrapolación de Richardson. 6

7 3.2. Integración numérica basada en Interpolación: (Polinomial, Trapecio, Simpson) Cuadratura Gaussiana Integración de Romberg Cuadratura adaptativa. 4. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES OR- DINARIAS 4.1. Existencia y unicidad de soluciones Método de la serie de Taylor Métodos de Runge Kutta Métodos Multipaso Sistemas y ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior Problemas de frontera: Método del disparo y Método de diferencias finitas Ecuaciones rígidas. 5. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PAR- CIALES BÁSICA 5.1. Ecuaciones parabólicas: (Métodos explícitos e implícitos) Problemas sin dependencia temporal: Métodos de diferencias finitas Método de mallas múltiples. BIBLIOGRAFÍA 1. D. Kincaid, W. Cheney. Análisis Numérico. Las matemáticas del cálculo científico. Addison, Wesley Iberoamericana, Numerical Analysis: An Introduction L. Elden, L. Wittmeyer-Koch Academic Press, John.H. Mathews, Kurtis D. Fink, Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, Madrid

8 COMPLEMENTARIA 1. W. Allen Smith. Análisis numérico. Prentice Hall, Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Análisis numérico. Grupo Editorial Iberoamérica, Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, Análisis numérico para ingenieros. McGraw Hill, Soichiro Nakamura. Análisis numérico y visualización gráfica con MAT- LAB. Prentice Hall, Lee W. Johnson, R.Dean Riess, Numerical Analysis, Addison-Wesley Educational Publishers Inc,