ft Fs Fseds Fs () fte () dt s RC Discontinuidad en t=t 0 integral inversión f( t0 2

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1 3. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE RESPUESTA FORZADA A UNA SEÑAL COMPLEJA Señal expnencial cmpleja x() = e =σ jω ( ) = ( τ) ( τ) τ= ( τ) τ ( τ) τ= ( τ) τ= ( ) y h x d h e d e h e d H e H( función de ranferencia del iema LIT evaluar RF H () he () d Repuea permanene enidal = jω H( jω ) TFTC TRANSFORMADA BILATERAL Siema n cauale exien para d valr de { } F() = L f() f() e d RC Variable de Laplace = σ j ω Región de cnvergencia valre que garanizan exiencia de F( Tranfrmada invera inegral de inverión Nación imbólica f() F( TRANSFORMADA UNILATERAL () = L { σ j ()} () σ j f F Fed Siema cauale l exien para F () fe () d RC límie inferir pible dicninuidad de f() en = f( ) f( ) Dicninuidad en = inegral inverión f( ) = ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

2 3.EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE SEÑALES ELEMENTALES Señal impul uniari x() = δ() X () = δ () e d= δ () d= δ(), Señal ecalón uniari x() = u() Re X () = ue () d= e d= e = u (), {} > Señal rampa uniaria x() = r() = u() e Re X() = u() e d = e d = ( ) = r(), {} > a Señal expnencial caual x() = e u() a cmplej real a ( a) a () = () = =, { } > Re X e ue d e d e a a a Señal enidal caual x() = en(ω ) u() jω jω a x () = e u () e u () e j j a ω ω X () = = en( ω ), {} > j jω j jω ω ω Re SEÑALES CAUSALES, ANTICAUSALES Y NO CAUSALES Señale cauale TUL TBL RC eablece diferencia enre caualidad Señal n caual = eñal caual eñal anicaual EJEMPLO 3.: Tranfrmada de Laplace de eñal caual, anicaual y n caual. RC ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

3 3.EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE REGIÓN DE CONVERGENCIA Facr de cnvergencia de la TL: e σ σ jω X () = xe () e d Función de rden expnencial α x() e α < M Cndicine uficiene para exiencia de la TLU < < T x() abluamene inegrable > T x() rden expnencial α x() e x() T x () d< α < M T Inegral de TL cnverge ablua y unifrmemene Re{}>α Diferencia en TL de eñale cauale y anicauale: - cambi de ign X ( = X ( ejempl 3. A C - RC idenifica ip de caualidad decribe cmpleamene la TL Frma general de la RC: j ω j ω j ω σ σ σ σ σ σ σ Caual Anicaual N caual ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-3]

4 3.EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TABLA DE PARES DE TRANSFORMADAS Tabla 3. Pare de ranfrmada fundamenale N. x(), > X ( ) RC T δ () T u () Re {} > T3 Re {} > T4 n n! n Re {} T5 T6 en( ω ) T7 c( ) a T8 e en( ω ) a T9 e c( ) a e a ω ω ω ω ( a) ω a ( a) ω ω ω Re {} > a Re {} > Re {} > Re Re {} {} > a > a MATEMÁTICA SIMBÓLICA DE MATLAB PARA TL Señale cauale Declarar variable imbólica ym Funcine epeciale inerna - eñal ecalón uniari u() u = ym('heaviide()') - eñal impul uniari δ() d = ym('dirac()') Evaluar ranfrmada de Laplace X = laplace(x) Simplificar y mejrar preenación implify(x, imple(x, facr(x, prey(x ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-4]

5 3.EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 3.: TL uand maemáica imbólica. Verificar T, T5, T6 y T9. EDU» u=ym('heaviide()'); EDU» U=laplace(u) U = / EDU» ym a w EDU» x=exp(-a*); EDU» X=laplace(x) X = /(a) EDU» prey(x EDU» x=in(w*); EDU» X=laplace(x) X = w/(^w^) a EDU» prey(x w w EDU» x3=exp(-a*)*c(w*); EDU» X3=laplace(x3) X3 = (a)/((a)^w^) EDU» prey(x3 a ( a) w Sugerencia: Eudiar ejempl 5.. a 5..3 y 5.3. Relver prblema 5. y 5. ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-5]

6 3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL PROPÓSITO faciliar evaluación de X( eñale cmpleja P: Linealidad a. Prduc pr una cnane y() = Kx() Y() = K X() RCy = RCx b. Cmbinación lineal y() = a x () a x () Y() = a X () a X () RCy = RCx RCx P: Deplazamien real y( ) = x( ) u( ), < x( ), > Y( = x( ) u( ) e d x( ) u( ) = Y( = x( ) e d =τ, d = dτ, = τ= Y x e d e x e d e X ( τ ) τ ( ) = ( τ ) = ( τ ) = ( ) x( ) u( ) e X( RCy = RCx Cuar iuacine diferene x() = en( ω ) en(ω) u() en[ω( )] u() (a) (b) en(ω) u( ) en[ω( )] u( ) (c) (d) ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-6]

7 3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL a. y () = en( ωu )() Y() = ω ω T6 b. = ω = ω ω ω ω y( ) en[( ( )] u( ) [ en( ) c( ) c( ) en( )] u( ) ω ωc( ω) en( ω) Y( = c( ω) en( ω ) = ω ω ω c. y() = en( ω)( u ) Y() = en( ω) e d ω ω ( ) ( ) Y( = e e d = ( j ) ( j ) jω jω e e j j jω jω ωc( ω ) en( ω) Y( = e ω d. y () = en[ ω( )]( u ) Y() = e ω ω demrad a P3: Deplazamien cmplej y() = e x() a ( a) () = () = () = ( ) Y e x e d x e d X a a e x() X( a) RCy = RCx a EJEMPLO 3.3: Prpiedade de linealidad y deplazamien cmplej para evaluar TL. Verificación uand maemáica imbólica de MATLAB EDU» ym EDU» u=ym('heaviide()'); y=*u; EDU» Y=laplace(y) Y = / EDU» y=*exp(-); EDU» Y=laplace(y) Y = /(^ EDU» Y=YY Y = //(^ ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-7]

8 3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL EDU» Y=implify(Y Y = (5**^)//(^ EDU» Y=facr(Y; prey(y ( ) ( ) ( EJEMPLO 3.4: Prpiedad de deplazamien real. Ca epecial EJEMPLO 3.5: Prpiedad de deplazamien real. Tranfrmada de un pul enidal. Sugerencia: Eudiar ejempl 5.5. a (Sliman) Relver ejempl 3.4 uand maemáica imbólica. P4: Ecalamien en el dmini- y() = x( a) ( / a) τ ( ) = ( ) =τ/ ( ) = ( τ) τ= ( / ) Y x a e d a Y x e d X a a a x( a) X( / a) RCy = RCx a a P5: Muliplicación pr y() = x() d d X() = x() e d x() e d [ x() ] e d d d = = d x() X() d RCy= RCx derivada en dmini- P6: Derivada en dmini- a. Primera derivada dx() y() = = x'() d ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-8]

9 3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL Y( = x'( ) e d inegrand pr pare u= e dv = x'( ) d du = ( e d X ( ) = xe ( ) xe ( ) d v = x() Y( = limx( ) e x( ) X( = X( x( ) dx() d exiencia TL= X( x( ) RCy RCx b. Segunda derivada en dmini- N d x() c. Derivada de rden-n N d Aplicación lución de ED dx () d X ( ) x( ) x'( ) N N N ( ) ( ) ( ) X x = EJEMPLO 3.6: Repuea impul uilizand TL. Ejempl.9. P7: Inegral definida y() = x() τ dτ P6a y'( ) = x( ), y() = Y( = X( Y( = X ( ) x( τ) dτ X( RCy = RCx Re { } > P8: Cnvlución y() = h() x() ( ) ( ) ( ) Y = h τ x τ dτ e d = h( τ) x( τ) e d dτ τ ( ) ( ) ( ) ( ) λτ Y h x e d d h( ) e τ d x( ) e λ λ= τ = τ λ λ τ= τ τ λ dλ X( ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-9]

10 3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL h() x() H() X() ROCy = ROCh ROCx Na: Pueden exiir reulad diferene en la ROC de cnvlución. P9: Terema del valr inicial x( ) = lim x( ) P6a x'( ) e d = X( x( ) evaluand para lim x'( ) e d = lim X( x( ) lim X( x( ) = = x( ) = lim x( ) = lim X( Cndición: que exia el límie P: Terema del valr final x( ) = lim x( ) P6a x'( ) e d = X( x( ) evaluand para LI lim x'( ) e d = x'( ) d = lim x'( ) d = lim x( ) x( ) LD lim X( x ( ) x( ) = lim x( ) = lim X( Cndición que exia el límie y X( ea analíica X( analíica Re{raíce denminadr X(} < EJEMPLO 3.7: Terema del valr inicial y final. Cncep de función analíica. Función epecial de MATLAB evaluar x() y x() a parir de X( [x,xinf]=viyvf(nx,dx ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

11 3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL TRANSFORMADA DE SEÑALES PERIÓDICAS x = x x x = x x T u T x T u T p( ) () () 3() () ( )( ) ( )( ) T T Xp( = X( [ e e ] Xp( = X( T e EJEMPLO 3.8: TL de eñal periódica. Onda enidal recificada de media nda. TABLA DE PROPIEDADES Y TEOREMAS Tabla 3. Prpiedade de la ranfrmada de Laplace N. y() Y( ) RCy P ax() ax() ax( ax( RCx RCx x( ) u( ) e X( P RCx a P3 e x() X ( a ) RCx a P4 x( a ) P5 x() ( ) P6a P6b P7 dx() d dx () d x( τ) dτ X ( / a) a RCx a d X d RCx X( x ( ) RCx X x x ( ) ( ) '( ) RCx X ( ) RCx Re {} > P8 h () x () H( X( RCh RCx P9 x( ) = lim x( ) lim X ( ) P x( ) = lim x( ) lim X( X( analíica Sugerencia: Eudiar ejempl 5.5. a 5.5.7, 5.5.9, 5.5.5, Relver prblema 5.4 y 5. ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

12 3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE MÉTODOS PARA OBTENER LA TRANSFORMADA INVERSA N( plinmi rden m Función racinal cmpleja Y( = D( plinmi rden n - fracción imprpia m n - fracción prpia m < n - fracción imprpia dividir Pl y cer de fraccinal racinal m n Y ( Y ( C = i p - cer de Y( valre de para Y(= raíce de N( = - pl de Y( valre de para Y(= raíce de D( = Méd:. Tabla de pare de ranfrmada y prpiedade. Fraccine parciale pl reale cmplej imple 3. Suiución pl reale múliple y pl cmplej cnjugad EJEMPLO 3.9: Tabla de pare de ranfrmada para evaluar TIL. Fracción caual imprpia Méd de fraccine parciale FP prpia y nrmalizada m N( bm b b b X ( ) = = an =, m< n n D ( ) a a a m m n n Ca : Pl reale imple erema de expanión de Heaviide N( N( X( = = D( ( p = )( p ) ( pn) p p n p N( ( p ) ( p ) N( ( p ) = ( p ) = D ( ) p p D ( ) = n n p = ( i N( pi ) D( = p i i reidu del pl p de X( i n ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

13 3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Expreión alerna: [ i ] [ ] ( p ) ( ) / ( ) ( ) i N d d p N i = lim = i = lim pi D ( ) pi d/ d D ( ) = i N( D'( ) = p i Facr ípic i i i e x() e e n e p = i T 5 p p p p n lución eable? p < i expnencial decreciene EJEMPLO 3.: Méd de FP. Ca : pl reale imple (diferene EDU» ym EDU» y=3/4-(/3)*exp(-)-(5/)*exp(-4*) EDU» Y=facr(laplace(y)) Y = (*3)//(/(4) Ca : Pl cmplej cnjugad imple: p = α jω p * =α jω * N( N( X ( ) = = = X( D( ( p)( p *) D( p p * X ( Frma ípica ( j )( j ) ( ) α ω α ω = α ω T8 T9 ca N( N( p) N( p) = = = = C jd ( p *) D( ( p p *) D( p ) jωd( p ) = p - lución expandida: X ( x ( ) ( ) x = e e = C jd e C jd e = e C cω D enω * * ( ) ( ) () p p α ( ) j ω α ( ) j ω α - lución agrupada ( ) C cω D enω = Aen( ωθ ) ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-3]

14 3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE α Prblema: cnruir lución x () = Ae en( ωθ ) calcular A y θ C = ( A/) enθ N( p) A A = = C jd = en θ j c θ D= ( A/) cθ jωd( p) N( p) A A = j enθ j cθ = A( cθ jenθ ) = A θ ωd( p) N( A θ= ω ( ) D = p - lución eable? =Re { p } α < cilación amriguada EJEMPLO 3.: Méd de FP. Ca y : pl reale y pl cmplej cnjugad. Slución agrupada y lución expandida. Ca 3. Pl reale múliple pl p e repie -vece N( N( A A A A X ( ) = = = X ( D( ( p) D( p ( p) ( p) ( p) X ( érmin N( ( p) = A( p) A( p) A ( p) A ( p) X( D ( ) N( N( A = ( p) = D ( ) D( = p = p d N( 3 ( p) A( )( p) A( )( p) A d = D( ( p) X( ( p) X( ' d N( d N( A = ( p) d D( d D ( = p = p ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-4]

15 3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Generalizand: i d N( Ai = i =,,, r i ( i)! d D( = p Facr ípic en x () T4 A A ( p ) ( )! e p EJEMPLO 3.: Méd de FP cn pl reale imple y múliple. Méd de uiución: pl reale múliple y cmplej cnjugad - evaluar X( para (m ) valre numéric de pi. - relver (m ) ecuacine lineale imulánea. EJEMPLO 3.3: Méd de uiución. Pl reale múliple y cmplej cnjugad. D ca pc cmune: - X( n e fracción prpia efecuar la diviión - X( incluye facr de la frma e ara en x() P EJEMPLO 3.4: Tranfrmada invera de ca pc cmune. Tarea. TRANSFORMADA INVERSA USANDO MATLAB Función para decmpición en FP [R,p,C] = reidue(ny,dy num,den rden decendene de pencia piiva de R arregl cn l reidu de cada pl p arregl cn l pl de X( C arregl que l exie cuand X( n e prpia m n ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-5]

16 3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Inerpreación de reulad: N( X( = = D( R R R j R j C( p p p ( p ) m n C ) = = ( C plinmi en Función para recnruir X( [ny,deny] = reidue(r,p,c) j j EJEMPLO 3.5: FP uand MATLAB. Ejempl 3.. EDU» ny=[ 3]; dy=[ 5 4 ]; EDU» frma ra EDU» [R,p,C]=reidue(nY,dY, frma R = -5/ p = -4 C = [] -/3-3/4 Función de maemáica imbólica para FP YFP = diff(in(y) Función de maemáica imbólica para TIL x = ilaplace(x EJEMPLO 3.6: FP y TIL uand maemáica imbólica de MATLAB. Ejempl 3.. EDU» ym EDU» Y=(*3)/(^35*^4* EDU» YFP=diff(in(Y); prey(yfp) 3/4 / - 5/ / EDU» y=ilaplace(y y = 3/4-5/*exp(-4*)-/3*exp(-) Sugerencia: Eudiar ejempl 5.6. a Eudiar apéndice D y u ejempl Relver prblema 5. ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-6]

17 3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER LA ED Mdel fundamenal de un iema LIT relación E S x() SISTEMA LIT y() n d y( ) a d n n n d y( ) dy( ) a a y( ) = x( ) d n d Slución de ED evaluar repuea dinámica del iema Prcedimien general:. Nrmalizar la ED a n =. Tranfrmar ED al dmini- P6 ecuación algebraica 3. Relver la ecuación algebraica Y( 4. Obener la TIL de Y( y() abla, FP uiución EJEMPLO 3.7: Slución cmplea y cmpnene de una ED uand T.L. Ejempl.4. COMPONENTES DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED USANDO TL Repuea naural y repuea frzada y() = y RN () y RF () - repuea naural l c.i. x() = - repuea frzada l x() c.i.= Repuea raniria y repuea permanene y()=y RT ()y RP () - repuea raniria pl del iema en Y( - repuea permanene pl de la enrada en Y( EJEMPLO 3.8: Cmpnene de la lución de una ED de rden-. Ejempl 3.7. ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-7]

18 3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES SOLUCIÓN DE UNA ED USANDO MATLAB Slución imbólica función dlve() - ímbl para indicar derivada Dy, Dy, D3y,... - una la cadena cn la cndicine iniciale y(), Dy(),... EJEMPLO 3.9: Slución de una ED de rden- uand maemáica imbólica. Ejempl 3.6. Slución cmplea y(): EDU» y=dlve('*dy6*dy4*y=,y()=-, Dy()=') y = 5/3/*exp(-*)-5*exp(-) Repuea naural y RN (): EDU» yrn=dlve('*dy6*dy4*y=,y()=-, Dy()=') yrn = -exp(-*) Repuea frzada y RF (): EDU» yrf=dlve('*dy6*dy4*y=,y()=, Dy()=') yrf = 5/5/*exp(-*)-5*exp(-) Sugerencia: Eudiar ejempl 5.8. Relver prblema 5. Relver prblema 5. uand maemáica imbólica ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-8]

19 3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE RESPUESTA IMPULSO Mdel del iema LIT en el dmini- rep RF δ() SISTEMA LIT (rep) h() x() h() y() y () = h () x () Relver ED para c.i.= x()=δ() X(= EJEMPLO 3.: Repuea impul uand TL. Ejempl.. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Mdel del iema LIT en el dmini- Fundamen: P8 abla 3. h () x () H() X() x() h() y() X( H( Y( Y() = H() X() Definición de función de ranferencia: H( Y() H () H () h () X () rep Relación enre la TL de la alida y la TL de la enrada, aumiend que el iema e encuenra en rep ( c.i.= ). La FT e la ranfrmada de Laplace de la repuea impul. EJEMPLO 3.: FT a parir de la ED. Repuea frzada ecalón. Ejempl.9. ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-9]

20 3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Prpiedade de la FT: P. La FT e la ranfrmada de Laplace de la repuea impul P. E pible recnruir la ED a parir de la FT Y( N( H( = = D( Y( = N( X( X( D( P3. Cmpnene del iema mdelad pr una FT blque EJEMPLO 3.: ED a parir de la función de ranferencia. Decmpición direca. Limiacine del mdel de FT:. Siema en rep repuea frzada. Siema cn una enrada y una alida SISO 3. Siema lineale ANÁLISIS DE CIRCUITOS USANDO FT FT circui en rep c.i.= repuea frzada Cmpnene del circui RLC en el dmini- diagrama ranfrmad - fuene de vlaje v() v() i() V( I( - fuene de crriene i() i() v() I( V( - reiencia R hm R i() v () = R i () V() = R I() R I( v() V( ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

21 3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE - inducancia L henri L i() L I( L Li( ) I( i( )/ v() V( V( di i( ) v () = L V() = L I() i() I() V() d = L - capaciancia C faradi / C i() C I( / C v( )/ I( v() Cv( ) V( V( dv v( ) i ( ) = C I ( ) = CV( Cv( ) V( = I ( ) d C - anuland fuene de c.i. repuea frzada EJEMPLO 3.3: Repuea de un circui RLC uand Laplace. EJEMPLO 3.4: FT de un circui T (cuadripl). Mdel para repuea frzada. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Siema de cnrl de laz cerrad realimenación (feedbac) R( E( G c ( M( G p ( Y( H( ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

22 3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Cmpnene del iema de cnrl repreenad pr u FT - prce plana: G p ( - cnrladr: G c ( - blque de realimenación: H( ranmir-medidr Señale del iema de cnrl - variable cnrlada: y() prpói del iema de cnrl - eñal de referencia: r() valr deead de la v.c. e pin - eñal de errr: e() exaciud del iema de cnrl - eñal de cnrl: m() acción de cnrl Función de ranferencia de laz cerrad (FTLC) T( - definición T ( ) Y( R( - expreión de T( Y( = G( E( = G( [ R( H( Y( ] Agrupand érmin de Y( G ( ) GH ( ) ( ) Y ( ) = G ( ) R ( ) T ( ) = GH ( ) ( ) [ ] EJEMPLO 3.5: FT de laz cerrad uniari de iema de cnrl. Repuea ecalón. ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD EN EL DOMINIO- En el dmini- h () d< Eabilidad en el dmini- ca de pl imple - iema caual pl de H( en el SPI Re { p } < C h () = Ce u () H() =, {} > max( { p}) n n p = = p Re Re ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-]

23 3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE - iema anicaual pl de H( en el SPD Re { p } > C h () = Ce u( ) H() =, {} < min( { p}) n n p = = p Re Re j ω j ω σ σ Caual-eable Anicaual-eable - iema n caual cmpnene caual y cmpnene anicaual Eabilidad y RC - RC n puede incluir pl - RC debe incluir el eje-jω - pl en el exrem de la RC Un iema caual eable iene d u pl en el emi-plan izquierd. Un iema anicaual eable iene d u pl en el emi-plan derech. Para que un iema ea eable la RC debe incluir el eje-jω Na: Se biene el mim reulad para pl múliple. EJEMPLO 3.6: Idenificar caualidad y evaluar caualidad a parir de FT y RC. Sugerencia: Eudiar ejempl 5.8. a Relver prblema 5. a 5.9 ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-3]