Diseño geodésico II. II semestre, Ing. José Francisco Valverde Calderón Sitio web:

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1 Diseño geodésico II II semestre, 2014 Ing. alderón Sitio web:

2 Capítulo 1 Redes geodésicas verticales regionales 1.1 Amojonamiento y configuración

3 Consideraciones para el establecimiento de una red vertical: Distancias entre nodos principales (orden de la red) Orden de las nivelaciones exactitud instrumental Instrumentación requerimientos para exactitud buscada Topografía buscar pendientes mas suaves Controles cierres de la nivelación (metodología) Monumentación estabilidad, permanencia en el tiempo Correcciones refracción, curvatura terrestre Mediciones gravimétricas calculo de números geopotenciales Mediciones GPS ubicación, enlace con el sistema geométrico Personal disponible cuadrilla de al menos cuatro personas* Equipo depende de la exactitud de la nivelación Seguridad (personal, equipo, marcas de referencia) DATUM VERTICAL MAREÓGRAFOS DATUM VERTICAL DATUM VERTICAL GLOBAL

4 Configuración de la red Normativa técnica exactitudes, instrumental a utilizar, métodos de reducción y corrección de las observaciones, orden de las nivelaciones, modelo de ajuste, etc. Términos de referencia (contrataciones para densificar la red nacional o para proyectos concretos): exactitudes, instrumental a utilizar, métodos de reducción y corrección de las observaciones, orden de las nivelaciones, modelo de ajuste, etc. Trazado preliminar(por carreteras, vías férreas, túneles). Es común en las redes de nivelación definir líneas que definen cuadriláteros, en los cuales NO se miden las diagonales. Se requiere de cartografía ACTUALIZADA donde se indique el estado de los caminos y sus calidades. Selección de los puntos de control. Búsqueda e identificación de puntos con gravedad conocida SELECCIÓN DEL DATUM CERO ALTIMÉTRICO.

5 Configuración de la red

6 Distancias entre nodos principales Las redes de nivelación comúnmente se configuran para formar cuadriláteros o polígonos. Los vértices se denominan nodos. Es importante definir en la planificación de los trabajos las distancias entre los nodos principales de la red base. Posteriormente se define en las densificación las distancias de los nodos secundarios. Comúnmente estas distancias están definidas por el orden de la nivelación, dada por la autoridad competente en cada país o región.

7 Líneas de nivelación de la red vertical oficial de Costa Rica Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

8 Topografía La topografía es un elemento condicionante en la configuración de la red. Se recomienda topografías (pendientes) suaves para establecer las líneas de nivelación. Líneas de nivelación con pendientes fuertes implica un gasto mayor de tiempo. Es común que las líneas de nivelación se lleven a lo largo de autopistas o vías férreas. Es necesario tener en cuenta que se requieren mediciones gravimétricas, por lo que se requiere que los sitios estén libres de vibraciones, etc.

9 Monumentación Fuentes de inestabilidad vertical: Orígenes en la sub-superficie: Movimientos de la corteza. Cavernas y minas. Bombeo (por extracción de petróleo, agua u otros elementos). Sobre o cerca de la superficie: Vandalismo. Interacciones humanas. Clima (nevadas, tormentas, etc) Contracción o inflación por cambios en la propiedades de los suelos. Inestabilidades por deslizamientos o consolidación del suelo. Erosión.

10 Variaciones verticales Cinchona, 2009 Sámara, 2012

11 Variaciones verticales

12 Monumentación Movimientos intrínsecos al monumento: Selección de materiales adecuados para la construcción. Consideraciones para la selección de un sitio: Seguridad: minimizar posibilidades de destrucción o daños al mojón. Utilidad. Estabilidad: geología, consideraciones estructurales. Ambientes corrosivos: acides del suelo o aéreas cercanas. Instalación: Manteniendo buenas relaciones públicas. Consideraciones especiales en la intersección de líneas (para el ajuste) Instalación en rocas o estructuras. Marca clase A**. Marca clase B**. Marcas misceláneas**. **Según las normas usadas por el NGS.

13 Monumentación Monumento tipo A Tomado de: NOAA Manual NOS 1_Geodetic Bench Mark, 1978

14 Monumentación Tomado de: NOAA Manual NOS 3_Geodetic Levelling, 1981

15 Monumentación

16 Monumentación Tomado de: NOAA Manual NOS 3_Geodetic Levelling, 1981

17 Monumentación BN 374, Barva BN 374A, Barva BN 316, San Rafael

18 Monumentación BN sobre el rio Pacuare, Limón

19 Monumentación BN en el templo católico de Quepos BN en la entrada del muelle a Quepos

20 Nivelación en Quepos

21 Orden de las nivelaciones Tomado de: NOAA Manual NOS 3_Geodetic Levelling, 1981

22 Orden de las nivelaciones FGCS Specifications and Procedures to Incorporate electronic Digital/Bar-Code Leveling Systems

23 Correcciones Correcciones principalmente por curvatura de la Tierra y por refracción. Comúnmente ambas de aplican de forma conjunta. Correcciones gravimétricas, cuando se quiere derivar alturas ortométricas o normales. Refracción

24 Correcciones Curvatura terrestre

25 Acceso a la información

26 Acceso a la información

27 Mantenimiento Tomado de: NOAA Manual NOS 3_Geodetic Levelling, 1981

28 1.2 Datum vertical

29 Para la definición univoca de un punto, se requiere definir tres coordenadas para el mismo: (ϕ, λ, h) en un sistema de coordenadas elipsoidal. (E,N)+(H) referido a una proyección cartográfica y a un geoide(o nivel de referencia). (X, Y, Z) en un sistema de coordenadas geocéntrico tridimensional. (e,n,u)enunsistemalocal. Para la geodesia clásica, determinar h no era posible por observación. Con el uso de los métodos GNSS y su naturaleza tridimensional, se hizo posible determinar h. Enlageodesiaclásica(N,E)setratabaporseparadoaH. Comúnmente la redes 2D eran independientes de las redes 1D. Hoy en día, con mediciones GNSS, de puede determinar (X, Y, Z) o (ϕ, λ, h), con lo cual se podría pensar que la problemática del posicionamiento 3D esta resuelto.

30 Esto NO es cierto, por cuanto h (derivada de (X, Y, Z), es una altura geométricaynotienerelaciónconelcampodegravedaddetierra. La geodesia debe definir un sistema de alturas que tenga un significado físico, es decir, tenga relación con el campo de gravedad. LosequiposseorientansegúnelcampodegravedaddelaTierra. Definir el datum vertical sigue siendo una tarea de la geodesia. DATUM VERTICAL: nivel de referencia para los sistemas de alturas, accesiblealconocerlaalturadealmenosunpunto En la geodesia clásica, el datum vertical estaba definido por el nivel mediodelmar,definidocomoelpromediodemareasenunaestación mareográficas, en la cual se realizaron (comúnmente y al menos) lecturas por 18,6 años, que corresponde con el periodo lunar.

31 Datum vertical de Costa Rica Normativa referente al datum vertical en Costa Rica

32 Monitoreo del nivel del mar

33 Monitoreo del nivel del mar Estaciones mareográficasen Costa Rica /map.php

34 Monitoreo del nivel del mar

35 Datum vertical de Costa Rica Mareógrafos en Costa Rica

36 Datum vertical de Costa Rica Tomado del cartel de la licitación publica N 2013LN , promovida por el Registro Nacional para la delimitación de la ZMT en el litoral Caribe

37 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo del registro de la nivelación oficial efectuada en Costa Rica Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

38 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo de circuito de nivelación efectuado en Costa Rica Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

39 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo de circuito de nivelación efectuado en Costa Rica Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

40 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo de circuito de nivelación efectuado en Costa Rica Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

41 41

42 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo del registro del mareógrafo en Limón Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

43 Datum vertical de Costa Rica Tomado de:

44 Datum vertical de Costa Rica

45 Datum vertical de Costa Rica Tomado de:

46 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo del registro del mareógrafo en Puntarenas Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

47 Datum vertical de Costa Rica Ejemplo del registro del mareógrafo en Quepos Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

48 Datum vertical de Costa Rica

49 Datum vertical de Costa Rica

50 Datum vertical de Costa Rica Diferencias entre los registros mareográficos Facilitado por el Instituto Geográfico Nacional

51 El nivel del mar observado se puede considerar como la suma de tres componentes: Nivel medio del mar + Marea + Residuales meteorológicos Cada una de estas partes responde a procesos físicos separados Las variaciones de cada componente son independientes de las otras El nivel medio del mar es un plano el cual se define a partir de las observaciones horarias del nivel del mar en un lugar determinado. La marea el es movimiento ascendente y descendente del nivel del mar. Es la manifestación de las fuerzas de atracción que el Sol y la Luna (y otros cuerpos) ejercen sobre la Tierra. A esta se le conoce como marea gravitacional Hay otros tipos de marea mas débiles, originadas por variaciones de la presión atmosférica y vientos (estos corresponden con el componente residual). Planos de referencia de mareas: son aquellos planos que se infieren a partir del ascenso y descenso periódico del nivel del mar.

52 Planos de mareas Planos principales Nivel medio del mar Pleamar Bajamar

53 Mareas El factor predominante sobre las mareas es la atracción gravitacional provocadasporelsolylaluna.

54 Mareas Relación entre las fases de la luna, la posición de la Tierra con respecto al Sol y la Luna y las amplitud de las mareas..

55 Mareas Nivel medio del mar: se calcula con base a la observación horaria de la alturadelamarea El método mas simple es determinar el promedio aritmético simple Se pueden usar también filtros para eliminar el efecto del oleaje y las mareas, por ejemplo, en caso de tormentas Conbasealosdatosrecolectados,se puede estimarunniveldelmardiario, semanal, mensual y anual

56 Mareas Golfo de Vizcaya Parrsboro, Nueva Escocia

57 Mareas Mareógrafo en Anchorage, Alaska Tomado de:

58 Mareas Tomado de:

59 Mareas Tomado de:

60 Carga por mareas

61 Datum vertical Geoide: Superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre, idealizado como los mares en reposo, proyectados bajo las masas continentales. El vector de gravedad es perpendicular a la superficie equipotencial y su magnitud depende de la densidad(aplicación geofísica) del terreno. El geoide es una superficie equipotencial, donde W es constante. La líneas que cortan de forma normal a las superficies de nivel se llaman Líneas de plomada. n n GM a V ( r, θ, λ ) 1 Pnm (cos ) Cnm cos m Snm sin m r n 0 r θ λ λ = + + = m= 0 GM es el producto de G por la masa de la Tierra, a es el semieje mayor del elipsoide, (r, φ, λ) es la distancia al satélite, la latitud y longitud respectivamente., Cnm, Snm son los coeficientes armónicos esféricos de grado l y orden m; Pnm son las funciones asociadas de Legendre de grado n y orden m.

62 Propiedades de las S.N La falta de paralelismo de la S.Nproducen que la altura de un punto dependadelcaminoqueserecorra(hb dn) Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica

63 Campo de gravedad normal Además,alelipsoidenormalse le asociaunamasamyunarotación,con una velocidad angular ω. El elipsoide normal posee masa y rotación Geoide Elipsoide normal

64 Datum vertical Nota: el gráfico muestra un esquema conceptual ideal, no quiere decir que siempre las superficies mostradas son paralelas o que ese es el comportamiento de las normales!! h H N H O ζ N Terreno Geoide Cuasi-Geoide Elipsoide Para aprovechar las ventajas del posicionamiento GNSS en las aplicaciones prácticas, se requiere determinar el geoide (cuasi-geoide), de forma que: H O = h-n H N = h-ζ

65 Determinación del geoide H O N = H = C g C γ Teluroide: superficie cuyos puntos en los que el potencial normal (U) es igual al potencial de gravedad real(w) en la superficie. Por tanto: W(P)=U(Q)yW(P 0 )=U(Q 0 ) Interpretación geométrica: Altura ortométrica: Distancia vertical desde el Geoide alpuntop Altura normal: Distancia vertical desde el elipsoide de referencia al punto Q. La gravedad normal se puede calcular con base a fórmulas, sin la necesidad de tener que formular hipótesis. Laalturaanómala ζeslaalturasobreelteluriode. Representa la medida geométrica de las diferencias entre las superficies delpotencialrealenlasuperficieyelmismopotencialdelatierranormal

66 Determinación del geoide Lo mas conveniente es que las alturas se midan al punto P (en la superficie), tal y como ocurre con H y no a un punto teórico (en este caso Q)enelinteriordelacorteza. Las alturas normales se trasladan hacia arriba hasta la superficie topográfica. Sedefineunanuevasuperficie,queeselcuasi-geoide,lacualseelevaen el valor de la altura anómala sobre el elipsoide. Nótese que la ondulación del geoide es la distancia entre dos superficies deidénticopotencialu0=w0. La altura anómala es la distancia entre dos superficies de igual potencial UQ=WP. La relación entre estas cantidades también la da la ecuación de Bruns: N = ( ) T P γ 0 0 ζ = ( ) T P γ Q

67 La integral de Stokes Si se conoce el valor de la anomalías de gravedad, se puede determinar el potencial anómalo T de la siguiente forma: R T ( r, θ, λ) = S( r, ψ ) gdσ 4π σ ψ S( r, ) = + 3 cos 5 3ln l r r r + 2r 2 2R R Rl R r R cos 1 ψ ψ En el geoide, r = R, por lo que se tiene: R T = S( ψ ) gd 4π σ σ

68 La integral de Stokes 1 ψ ψ 2 ψ S( ψ ) = 6sin + 1 5cosψ 3cosψ ln sin + sin sin( ψ / 2) Considerando la ecuación de Bruns: N = T γ R N = g S( ψ ) d 4 πγ σ σ

69 La integral de Stokes La anterior fórmula se conoce como INTEGRAL DE STOKES o FÓRMULA DE STOKES. Fue publicada por Gabriel Stokes en Se le considera una de las fórmulas mas importante de la geodesia física ya que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La integral de Stokes asume además que los datos de anomalías de gravedad están distribuidos sobre todo la superficie de frontera: asume distribución global de los datos. Sin embargo, las mediciones son realizadas a nivel local y con alta resolución, o sea que solamente se tiene información de alta frecuencia del potencial anómalo. Para incluir información de baja frecuencia (o de longitud de onda larga)sedebehacerusodelatécnicaderemoveryrestaurar.

70 La integral de Stokes Para evaluar la integral de Stokes, considerando que no se dispone de datos de anomalías para cada punto del geoide se puede proceder de la siguiente forma: n 1 m 1 ϕ λr N = g ϕ, λ cos ϕ S ϕ, λ, ϕ, λ ( ) ( ) g r n m n P P n m 4πγ n= 0 m= 0 Donde g r es la anomalía de gravedad y S es la función de Stokes, definida como: 1 S s s s s s s ( ϕ,,, ) 6 1 5( ) 3( ) ln ( 2 ) P λp ϕn λ m = + + s ϕ ϕ λp λ = sin + sin cosϕp sinϕ P 2

71 Teoría de Molodensky Hay dos grandes obstáculos en el concepto geodésico clásico : La definición del geoide no es completamente rigurosa; el valor el potencial en el geoide no se conoce** El proceso de remover el efecto de las masas fuera del geoide esta basado en hipótesis concernientes a la distribución de densidades dentro de la Tierra. La idea básica de Molodensky es que nousa (y porno tantobusca) el geoide. En su lugar, usa la superficie topográfica de la Tierra como superficie de referencia. Por tanto no se debe asumir nada acerca de la estructura interna de la Tierra. Para referir las alturas, definió una superficie que no tiene significado físico, la cual no se separa demasiado del geoide y a la que llamó CUASI-GEOIDE

72 Teoría de Molodensky Esto le trajo a Molodensky varios adversarios por su teoría. Esto debido a que el geoide es la mas real y concreta superficie quesepuedeusar. El Teluroide: Teluriode significa terrenal, terrestre. Es definido como un lugar de las alturas normales H* medida a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, La diferencia entre la altura elipsoidal y la altura normal es llamada Altura anómala. Es importante no olvidar que al formular el Teluroide o el cuasigeoide no se postula ninguna hipótesis. Ambas superficies son puramente convencionales(matemáticas)

73 El calculo del teluriode viene dado por la ecuación: Donde: G = g G 0 R R T = ( G... ) ( ) 0 + G1 + S ψ dσ 4 h h π Σ Teoría de Molodensky 2 P 0 2 sin 1 gdσσ π Σ l0 l ψ = R 1 h h G GρR P dσ = l σ 0 Que representa la corrección de terreno T R R = = gs ( ) d + G1S ( ) d 4 4 ζ ψ σ ψ σ γ πγ πγ σ La teoría de Molodensky conduce a una solución directa del problema de valores de frontera sobre la superficie terrestre, sin la necesidad de formular hipótesis. σ

74 Comparación de enfoques Solución clásica: Problema de Stokes (1849) Ondulaciones del Geoide (Geoide) Solución moderna : Problema de Molodensky (1945) Alturas anómalas (Cuasi-Geoide) Potencial anómalo: 1 T = S ( ψ ) gdσ π R 4 Tierra Potencial anómalo 1 T = S ( ψ )( g + G1 ) dσ π R 4 Tierra

75 Comparación de enfoques Solución clásica: Problema de Stokes (1849) Ondulaciones del Geoide (Geoide) Solución moderna : Problema de Molodensky (1945) Alturas anómalas (Cuasi-Geoide) Anomalías gravimétricas: Anomalías gravimétricas: g = g γ = g + C C +... g = gp γ Q P Q Ter AL B P en el geoide, Q en el elipsoide P en el terreno, Q en el teluriode

76 Comparación de enfoques Solución clásica: Problema de Stokes (1849) Solución moderna : Problema de Molodensky (1945) Anomalías gravimétricas: Reducciones de gravedad Hipótesis sobre las distribución interna de masas de la Tierra Gradiente vertical de la gravedad Influencia de la topografía Reducciones de gravedad: Ninguna reducción, ninguna hipótesis

77 Comparación de enfoques Solución clásica: Problema de Stokes (1849) ( ψ ) 1 T = S ( ψ ) gdσ 4π R σ 1 ψ ψ 2 ψ S ( ψ ) = 6sin + 1 5cosψ 3cosψ ln sin + sin sin / Solución moderna : Problema de Molodensky (1945) 1 T = S ( )( g + G + G +...) d 4 ψ 1 2 σ π R σ 1 ψ ψ 2 ψ S ( ψ ) = 6sin + 1 5cosψ 3cosψ ln sin + sin sin / ( ψ ) lo = ψ 2R sin 2 G R 2 h h 1 3 2π l σ o P gdσ La solución incluye solo el primer termino de la solución de Molodensky

78 Comparación de enfoques El geoide y el cuasi-geoide son idénticos en las zonas marinas. Acá son materializados por la superficie equipotencial del campo de gravedad que coincide con la superficie no perturbaba da de mar. En las áreas continentales, el geoide y el cuasi-geoide se diferencian en: g γ N ζ = = H N H O γ Con: g = gravedad media a lo largo de la línea de plomada, entre el geoide yelpuntodecalculo γ = gravedad normal a lo largo de la línea de plomada, entre el elipsoide y el teluriode o el cuasi-geoide y el punto de calculo en la superficie terrestre.

79 Datum vertical Un inconveniente en países con varias costas, es que se pueden tener varios mareógrafos. Cual de debe utilizar como referencia? Es tarea de la geodesia moderna el establecer un sistema de referencia vertical global, el cual se basa en conceptos físicos y geométricos. Se debe definir una superficie de referencia vertical W 0, el cual, junto con una superficie de referencia geométrico, cumpla la relación H = h N a nivel milimétrico.

80 Datum vertical Discrepancias en los datum verticales en Europa Tomado de: Sanchez, III Escuela SIRGAS en Sistemas de Referencia

81 Sistema de referencia Vertical Global Definición: Un sistema de alturas que suporte alturas físicas y geométricas globalmente con exactitud relativamejorque10-9 m. Recordarqueh=H+N=H*+ξ. Componentes geométricos y físicos deben ser especificados. Componentes geométrico: ITRS y superficie de nivel. aow 0,J 2, ω, GM. Seguir las convenciones del IERS. Coordenadas: hydh/dt;h=0enlasuperficie delelipsoide. Realización: Relacionado al ITRF y al elipsoide convencional. Constantes del elipsoide, W 0, U 0, sistemas de mareas deben ser consistentes con las convenciones físicas.

82 Sistema de referencia Vertical Global Componentes físicos: W 0 =constante (convención). Coordenadas: C=W 0 W,dC/dt(W i nosepuedemedirdeformaabsoluta). Este valor derivado de nivelaciones y mediciones gravimétricas. Realización: ConvertirCaHoH*. Seleccionar unvalorglobalparaw 0. DeterminarvaloreslocalesdeW oj. ConectarW 0j conw 0. W 0,W oj (quasi-geoides). W 0 -W oj Los pasos de arriba pueden ser realizados simultáneamente: Solución a BVP. Zero tide system(requerimientos para los BVP). Definición de un sistema de referencia vertical convencional (CVRS): Un CVRS es definidos por el conjunto de todas las convenciones, algoritmos y constantes que proveeelorigenyescaladeesesistemaysuevoluciónconeltiempo.

83 Marco de referencia vertical Definición: Un MR vertical es la realización de un sistema de referencia vertical mediante un conjunto de puntos (estaciones) con números geopotenciales precisos y coordenadas geocéntricas referidas al sistema de referencia terrestre convencional. Datum vertical: Una superficie equipotencial con un valor convencional W 0 del potencial gravitacional de la Tierra. Las alturas son definidas con respecto a esta superficie. Realización: Mediante la combinación de datos de gravedad y observaciones geodésicas. W 0 puedeserobtenidode: Parámetroselipsoidales(W 0 =U 0 )ocalculado/asignadoaunmareógrafo. O desde un modelo de geopotencial global mas altimetría. OdesdelasoluciónaunBVPgeodésico.

84 Marco de referencia vertical W p puedeserobtenidode: CualquieradelassolucionesalasBVPparaTp: W p =U p +T p O desde nivelación mas gravedad(dado Wo): Cp=W 0 W p = gdn O incluso desde nivelación GNSS: Tp=γN p = γ(h p -H p )

85 Errores del EGM08 Tomado de: The Contribution of Global Gravitational Models to the Definition of a World Height System, Pavlis, N. 2010

86 Esfuerzos para la estimación de Wo Tomado de:

87 Valores publicados de Wo Tomado de:

88 Nivelación Esta serie de lecturas forman un circuito Se esperaría que la suma algebraica de las diferencias de altura parciales sea cero. Sin embargo, esto no es cierto, aun cuando las observaciones se hubieran efectuado sin ningún tipo de error. Por ello, la teoría detrás de la nivelación es mas complicado que efectuar lecturas de espalda y frente. Falta de paralelismo en las superficies equipotenciales del campo de gravedad real de la Tierra

89 Nivelación P P n n ' H O i i P δ n 0 A A

90 Nivelación Entre los puntos A y B, la distancia es grande, por lo que no es posible efectuar la nivelación desde una sola estación. Es implica que la de n niveladas entre A y B no será igual a la diferencia de altura ortométrica HA y HB, que por definición es la distanciaalo largo de lalíneadeplomadaentreelgeoideyelpuntoenelterreno. Esto quiere decir que la distancia se debe medir a lo largo de la línea de plomada y al realizar la nivelación la distancia NO se toma desde una sola normal sino que se toma desde diferentes normales. Si las superficies equipotenciales fueran paralelas esto no seria problema, peroenelcampodegravedadrealestonosecumple. Conclusión: El motivo de esto es que los incrementos de altura niveladas δn, es distinto al incremento δnb de HB, esto debido a la falta del paralelismo entre las superficies equipotenciales del campo de gravedad real. Al combinar las metodologías de nivelación con mediciones de gravedad, estas proporcionan diferencias de potencial, las cuales son cantidades físicas.

91 Números Geopotenciales Asumamos que O es un punto sobre el geoide y que A es un punto cualquiera, conectado con O mediante una línea de nivelación. Recordemos que: W W g δ n B A A partir de la anterior fórmula, se puede escribir la diferencia de potencialoyacomo: A B = A O g dn = W W = C O A La anterior fórmula representa la diferencia de potencial entre el geoideyelpuntoa. Al valor de C se le conoce como NÚMERO GEOPOTENCIAL.

92 Números Geopotenciales Propiedades: Son valores únicos, a cada punto en la Tierra le corresponde una única cota geopotencial. Se obtienen a partir de mediciones realizadas sobre la superficie terrestre: gravedad y nivelaciones. No dependen del camino recorrido(la integral de línea si es cero). Su valor es constante sobre la misma superficie equipotencial. El valor numérico en u.g.p es del mismo orden de magnitud que la altura sobre el geoide(aprox. 2% menor que la correspondiente altitud). Requerimientos para el calculo de números geopotenciales: Diferencias de nivel observadas (dn) libres de errores sistemáticos (refracción, errores de escala en las miras, etc). Longitud de los circuitos de nivelación, con el fin de poder pesar las observaciones. Fechas de las nivelaciones, con el fin de tratar de estimar y tomar en cuenta movimientos verticales de la corteza terrestre. Valores de gravedad real en los puntos nivelados

93 Números Geopotenciales

94 Números Geopotenciales Ahorabien,sepuededefinirlaalturadeBdelasiguienteforma: W W H = 0 B H = B B g B g m m Donde: H B =númerogeopotencialdeb. g m =gravedadmediaentrew 0 yw B. La diferencia W 0 -W B es constante, de allí que la altura de B depende del valor de g m utilizado, asi, en función de su estimación, se habla de diferentes tipos de alturas físicas(ya que dependen de la gravedad): Dinámicas Ortométricas Normales C

95 Alturas ortométricas La altura ortométrica es la distancia vertical entre el geoide y la superficie, medida a lo largo de la vertical o línea de plomada. Esto implica conocer el valor de la gravedad en cada punto del geoide. Pero como esto no es posible, se trabaja con un valor de gravedad promedio. Además, como no se puede medir sobre el geoide, se efectúan nivelaciones.

96 Alturas ortométricas g m g H + g H + g H g H C 1 H i i P = = = P H1 + H2 + H Hi HO H 0 gdh

97 Alturas ortométricas Aunque dos puntos estén en la misma superficie equipotencial, tendrán alturas distintas y su diferencia es proporcional a la variación deg m. Como g m no se puede medir de forma directa, es necesaria la formulación de hipótesis sobre la distribución de masas a lo interno de la Tierra (densidad) y sobre el gradiente vertical de la gravedad ( g/ H). Como g m solo se puede determinar de forma aproximada, dependiendo de la hipótesis definida, la altura ortométrica de un punto noesúnica. Cada hipótesis para determinar g m conduce a diferentes sistemas de alturas ortométricas y por cada uno de estos sistemas, se requiere de una realización diferente del geoide.

98 Alturas normales Supóngasequeelcampodegravedad delatierraes igualalcampode gravedad real de la Tierra, es decir: W = U, g = γ, T = 0 Si con esa hipótesis se calcularan alturas ortométricas, se les llamara ALTURASNORMALES ysedenotanporh N oh* Se cumple entonces: H N = C γ

99 Alturas normales Como se observa, el valor de la gravedad media en este caso es la gravedad normal a lo largo de la línea de plomada teórica, entre el cuasigeoide y la superficie terrestre. Lamagnituddelascorrecciónvadesdelosmmalosdm. A la distancia entre el elipsoide y el cuasigeoide se le llama altura anómala o ζ. Tienen la ventaja de que no se requiere la formulación de hipótesis. Las alturas normales son determinadas de forma univoca. Su precisión depende de: A) La calidad de las diferencias de nivel medidas. B) La calidad de la gravedad medida o interpolada C) La determinación de la latitud del punto D)Laprecisióndelafórmuladelagravedadteórica.

100 Resumen Las alturas ortométricas son geométricamente interpretables y se relacionan con las alturas sobre el elipsoide a partir del geoide. Estas solo se pueden determinar de forma aproximada, dado el conocimiento inexacto de la gravedad a lo largo de la línea de plomada. Las diferentes formulaciones para el calculo de g m conducen a diferentes geoides, los cuales se conocen como cogeoides. Es necesario usar la misma hipótesis para el calculo de las alturas ortométricas y del geoide. Aun cuando las alturas ortométricas se pudiesen determinar con mayor precisión, el conocimiento sobre los datos requeridos en la formulación de las hipótesis cambia permanentemente. La consecuencia es que con cada cambio, se debería calcular un nuevo geoide. Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica

101 Resumen Lo anterior implica que las alturas ortométricas tienen poca validez en el tiempo, por lo que no se pueden asumir como sistema de referencia. Las alturas normales son estimables sin la introducción de hipótesis. Las alturas normales se relacionan con las alturas sobre el elipsoide mediante la altura anómala. La superficie de referencia es el cuasigeoide, el cual no es una superficie equipotencial. Este inconveniente se presenta solo en las áreas continentales, por cuanto, en el océano y las áreas costeras, el geoide y el cuasigeoide son iguales. Desde este punto de vista, las alturas ortométricas no tienen ventajas sobre las normales, dado que la aproximación al geoide (el cogeoide), tampoco es una superficie equipotencial. Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica