Modelos Estocásticos. Breve introducción

Transcripción

1 Modelos Estocásticos Breve introducción

2 Definición Se denomina estocástico (del latín stochasticus: "hábil en hacer conjeturas") a un sistema cuyo comportamiento es intrínsecamente no determinístico: no se puede predecir con exactitud cuál será el próximo valor que arrojará el sistema El comportamiento de un sistema estocástico puede ser el resultado conjunto de la acción de elementos predecibles y elementos aleatorios.

3 Por qué los fenómenos son estocásticos? Las variables en sí son perturbadas o siguen comportamientos estocásticos Los parámetros del sistema son perturbados de forma estocástica Si tuviéramos conocimiento completo del sistema, seguirían existiendo variables aleatorias?... o variables determinísticas?. El movimiento de la hormiga es aleatorio??

4 Para qué simular fenómenos estocásticos? Estimar las características de la respuesta de un sistema probabilístico: asumiendo que el mismo es estacionario (clasificación fenomenológica de las señales) Encontrar la dispersión de la distribución tendencia central probar una probabilidad nula

5 Sistemas intrínsecamente probabilísticos Ej.Modelos de Markov: la dinámica del sistema puede darse sólo en determ. estados, la transición es probabilística Simulación de fenómenos estocásticos Agregar aleatoriedad a un modelo determinístico (parámetros y/o variables de estado)

6 Métodos Monte Carlo Una clase de algoritmos computacionales que se basan en repetir muestreo aleatorio calcular los resultados Guerra naval! AGs? Permiten simular sistemas físicos y/o matemáticos complejos: sistemas con muchos grados de libertad acoplados (fluidos) sistemas inherentemente estocásticos estructuras celulares o macromoleculares canales de membrana

7 Métodos Monte Carlo Todos poseen el siguiente conjunto de pasos: 1. Definir el dominio de las posibles entradas 2. Generar entradas de forma aleatoria usando una determinada distribución de probabilidades 3. Generar el cómputo determinístico de los resultados 4. Superponer los resultados de los cómputos individuales para obterner el resultado final x Juego Guerra Naval

8 Monte Carlo: método de fuerza bruta Ejemplo clásico: Área debajo de una curva. Dada un área A fácil de medir, que contiene una curva f(x) difícil de integrar, se puede calcular el área debajo de la curva mediante la generación N veces de dos números aleatorios (x, y) que representen las coordenadas. Se cuentan los puntos por encima y por debajo de la curva. y f(x) Este argumento se puede aplicar también a volúmenes. El error del cálculo es proporcional a: 1/ N x f ( x) dx A n o de puntosbajo la curva o n de puntos

9 Monte Carlo: método de la fuerza bruta Aplicado a modelización: Múltiples objetos con dinámicas aleatorias Cuando necesitamos estimar las características probabilísticas de la respuesta del modelo (por ej. tendencia central y dispersión de distribución) EEG, secuencias de Bases, etc.

10 Variables pseudoaleatorias Generación de Series de Números Aleatorios Rol preponderante en el proceso de simulación. Para simular necesitamos de números aleatorios como semillas para generar muestras de V.A. Características de un generador : 1. Distribución Uniforme. pdf 2. NO Correlación Serial. v Las computadoras son Sistemas Determinísticos

11 Generación de Series de Números Aleatorios X i+1 =(ax i +c) mod m Tabla de Nros. aleatorios Fenómenos Físicos Procedimientos Matemáticos Números Aleatorios Validación de Series de NA Variables U(0,1) Variables Aleatorias

12 Series de Nros. Aleatorios ideales 1. Distribución Uniforme. Cualquier número que pertenezca al rango de interés debe tener la misma probabilidad de resultar sorteado. 2. NO Correlación Serial. La aparición de un número en la secuencia, no afecta la probabilidad de que aparezca otro (o el mismo) número.

13 Ejemplo La sucesión 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5... es uniforme pero está correlacionada. Si dos sucesiones están negativamente correlacionadas, entonces que x i y y i sean grandes es un evento poco probable Existen Tests que verifican las condiciones de uniformidad y correlación serial...

14 Series de Números Aleatorios TOUR DE COMPUTABILIDAD Y ALLÍ TENEMOS NUESTRO GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS NUEVE NUEVE NUEVE NUEVE NUEVE NUEVE ESTÁ SEGURO QUE SON ALEATO- RIOS? ESE ES EL PROBLEMA CON LA ALEATORIE- DAD: NUNCA SE PUEDE ESTAR SEGURO. Colección DIEHARD de tests de aleatoriedad (George Marsaglia, Otros tests de aleatoriedad y generadores alternativos de números aleatorios (

15 Series de números aleatorios número aleatorio. serie de números aleatorios Una sucesión de números es aleatoria si no puede reproducirse eficientemente mediante un programa más corto que la propia serie Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables en tiempo razonable puede distinguir entre la serie y una sucesión verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda fiel para decidir cuál es cuál

16 Serie de Números Aleatorios Son números que deben cumplir los requisitos de espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro.

17 Propiedades deseables de un Generador de Nro. Aleatorio 1. Uniformemente distribuidos. 2. Estadísticamente independientes (no correlación). 3. Periodo largo (sin repetición). 4. Reproducibles y mutables. 5. Sencillo en su implementación. 6. Portabilidad. 7. Método rápido de generación. 8. Poca memoria para la generación.

18 Mecanismos de generación Tablas de números aleatorios RAND (1955), 100,000 números aleatorios (ruido electrónico) Fenómenos físicos Ruido blanco producido por circuitos electrónicos Recuento de partículas emitidas Lanzamiento de monedas Rueda de la fortuna Procedimientos matemáticos Se usan algoritmos para la generación de números aparentemente aleatorios, se entrega una semilla y se generan los sucesores mediante una función 1. Uniformemente distribuidos. 2. Estadísticamente independientes. 1. Periodo largo (sin repetición). 1. Reproducibles y mutables. 2. Sencillo en su implementación. 3. Portabilidad. 1. Método rápido de generación. 2. Poca memoria para la generación.

19 Otros números aleatorios naturales Otra opción es el uso de observaciones del mundo real en la generación de números al azar. Ejemplos: Uso de la temperatura dentro de la computadora: Decide un límite de temperatura T. Si la temperatura actual es mayor que T, la salida es uno. Si la temperatura es menor o igual a T, la salida es cero. Uso del reloj de la computadora: Toma el último dígito D de la hora actual. Disco rígido Si D es par, la salida es cero. Si D es impar, la salida es uno....

20 Números aleatorios Existen algoritmos para generar números pseudo-aleatorios, es decir, que parecen como si hubieran sido generados totalmente al azar, aunque no lo son. Un ejemplo: X t+1 = X t 2 mod Un ejemplo más simple (aritmética entera): X t+1 = (a X t + c) mod m generador lineal congruencial (GLC) de Lehmer, 1948 En computadoras IBM a=314, 159, 269; c=453, 806, 245; m= Con m= genera enteros de hasta 32 bits Si se mantienen las constantes las secuencias son correlacionadas

21 Una secuencia de ejemplo Asignamos en el método de Lehmer X 0 = 6, a = 21, c = 3 y m = 100: X 1 = (21 * 6 + 3) mod 100 = 129 mod 100 = 29 Secuencia generada: 6, 29, 12, 55, 58, 21, 44, 27, 70, 73, 36, 59, 42, 85, 88, 51, 74, 57, 0, 3, 66, 89, 72, 15, 18, 81, 4, 87, 30, 33, 96, 19, 2, 45, 48, 11, 34, 17, 60, 63, 26, 49, 32, 75, 78, 41, 64, 47, 90, 93, 56, 79, 62, 5, 8, 71, 94, 77, 20, 23, 86, 9, 92, 35, 38, 1, 24, 7, 50, 53, 16, 39, 22, 65, 68, 31, 54, 37, 80, 83, 46, 69, 52, 95, 98, 61, 84, 67, 10, 13, 76, 99, 82, 25, 28, 91, 14, 97, 40, 43 Está combinación nos da números de 0 a 99 y después vuelve a repetir la misma secuencia. Es un algoritmo muy simple por lo cual repite bastante rápidamente. Existen otros muy buenos con cuales no se puede predecir con facilidad qué número es el siguiente habiendo observado los anteriores.

22 Números aleatorios: distribución uniforme 0 x 1 P(x)dx = dx Es el generador básico de números aleatorios. Todos los lenguajes de programación cuentan con uno de estos generadores: Ej. FORTRAN: iseed=1.. x=ran(iseed) Normalmente están basados en generadores lineales congruenciales (GLC)..

23 Método de la inversa de la curva de acumulación No funciona para la distribución normal Método de Box-Muller para Distribuc. Normal Standard z z 1 2 2ln( U 1 ) cos(2 U 2ln( U ) sin(2 U ) ) y sz m

24 Números aleatorios: inversa de la curva de acumulación Con esta configuración de ejes, supongamos que queremos generar números aleatorios que sigan una densidad de probabilidad P(y), que tiene asociada una probabilidad acumulada F(y) (Fig. Numerical Recipes ) si F(y) es invertible, entonces el número aleatorio y=f 1 (x). Por lo tanto, se generan números aleatorios x bajo una distribución uniforme, y se transforman en números aleatorios y bajo la distribución P(y).

25 Método de la Inversa de la Curva de Acumulación 1. Determinar la pdf de x: (f(x)) 2. Integrar para obtener la cdf: (F(x)) Determinar la constante de integración (conociendo F(x)=1 o F(x)=0 u otro) 3. Hacer que F(x) tome valores de distribución uniforme (U(0,1)) 4. Invertir F(x) y obtener x (los valores según la distribución buscada)

26 Ejemplo de método de transformación Ángulo de giro en Insectos 1/ 4 1/ cdf C 0.5 F U 0,1 1/ 4 1/ pdf Distribución tipo Wrapped Cauchy ρ distribución de concentrac. ~ σ ϴ ángulo promedio > Clustering con escarabajos cdf

27 Ejemplo Modelización estocástica de compuertas de canales iónicos

28 Modelo Matemático por En cada instante: 1) Para cada canal: Unidad abierta MonteCarlo α n β n Unidad cerrada 2) Se cuentan todos los N o y los N c 3) 4) 5) g g g k Na L g g k g L N N Na o tot 3 m h 4 dm dt dh dt (1 m) m (1 h) h h m h m α m (v) = 0.1(45+v)/(1-e -((45+v)/10) ), β m (v) = 4e -((70+v)/18), α n (v) = 0.01(v+60)/(1-e -((60+v)/10) ), β n (v) = 0.125e -((70+v)/80) α h (v) = 0.07 e -((70+v)/20), β h (v) = 1/(1+e -((40+v)/10) ) 6) I ap ( t) C m dv dt g K t vt E g t vt E g vt K Na Na L E L

29 Bibliografía Modeling Biological Systems. Principles and applications, J. Haefner, Springer, Computational Cell Biology, Ch. P. Fall, Springer, Numerical recipes Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery, Cambridge University Press, Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications G. S. Fishman, Springer, Mathematical Modeling of Complex Biological Systems, A. Bellouquid M. Dellitala, Birkhauser, "Computer Modelling of Complex Biological Systems", S. Sitharama Iyengar, CRC Press.