INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN VALUACIÓN DE PROYECTOS PARA EMPRESAS EN AMBIENTES DE ALTA VOLATILIDAD: EL CASO DE UNA EMPRESA MEXICANA DEDICADA A LA EXTRACCIÓN DE PLATA EN EL ESTADO DE ZACATECAS ( ). T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÌA FINANCIERA) P R E S E N T A: ASTRID LÓPEZ MEJÍA. MÉXICO D.F; DICIEMBRE DE 2011.

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4 AGRADECIMIETOS. En primer lugar debo de agradecer a Dios, por la maravillosa familia que engo y la hermosa vida que he enido a su lado. Al Insiuo Poliécnico Nacional por brindarme la oporunidad de esudiar en sus aulas, con especial cariño a la Escuela Superior de Economía y odos los que forman pare de ella gracias. A mi mamá Virginia Mejía, por el gran ejemplo que siempre ha sido para mí, pero sobre odo por el apoyo incondicional que siempre me ha brindado, por odos los consejos y esas noches de desvelo cuidándome y animándome a seguir adelane. A mi papá Cayeano Reyes, que a su manera muy paricular siempre ha esado apoyándome y siniéndose orgulloso de su hija. Para mi familia en especial a mi abuela Senorina Ríos que siempre esuvo ahí para cuidarme, pero sobre odo por darme su amor incondicional. A mis íos Guadalupe Mejía y Miguel Ángel Mejía, por ser pare de mi vida y hacer cada día de esa único y especial. A odos mis profesores de la maesría, por comparir su conocimieno y por su paciencia al imparir clases. Al Dr. Salvador Cruz le agradezco su amisad, el comparir su conocimieno para la elaboración de ese rabajo y por la paciencia que siempre me ha enido pero sobre odo por confiar en mí y claro por la frase que jamás olvidare y que es la que más he escuchado durane esos dos años Y la esis? Dónde esá?, Ya la erminase?; Apúrae! Al Dr. Humbero Ríos, por su guía durane la elaboración de ese rabajo, por sus consejos y su incondicional apoyo durane esa eapa de mi vida.

5 Al Dr. Francisco Venegas, porque desde que me dio clases en la licenciaura me enseño que el aprender no iene que ser aburrido y complicado; sino que puede y debe ser diverido. Al Dr. Francisco López, por apoyarme con las herramienas necesarias para la elaboración de ese rabajo de invesigación. A la Dra. Alicia Bazare, gracias por su invaluable ayuda, sus consejos; por esar ahí siempre con una sonrisa para alenarnos a seguir adelane y por brindarnos un espacio en el cual podemos rabajar. Al M.C. Hécor Allier, por su consane apoyo, comprensión y su gran amisad durane esos años. Para Aruro Marínez, gracias por ayudarme a enender el significado de la frase Sólo con el corazón se puede ver bien, lo esencial es invisible para los ojos, que aparece en el libro El Principio. Y por úlimo pero no menos imporane quiero agradecerles a mis amigos, con la siguiene frase del libro Persona Normal La familia que e ocó en suere es imporane, la familia que consruirás es más imporane Los amigos son la familia que elegise; a ellos, respeo, amor a raudales, palabras de oro, lealad absolua, confianza. Si das ú palabra es como si dieras ú vida, es más imporane que cualquier conrao. Esperando que exprese odo lo que usedes significan para mí gracias, Maribel, Samanha, Paricia Aleyda, Paricia Macías, Ana Lilia, Ocavio, Luis y con un especial cariño para Ángeles, Marcela y Ma. Teresa. En los momenos de crisis, sólo la imaginación es más imporane que el conocimieno. Alber Einsein.

6 ÍNDICE ÍNDICE... I Siglas y Abreviauras.... III Glosario.... IV Índice de cuadros y gráficas.... VII Resumen.... VIII Absrac.... IX Inroducción... X Capíulo I. Méodos radicionales de valuación de proyecos El valor presene neo (VPN) o valor acual neo (VAN), sus venajas y limiaciones Tasa Inerna de Reorno o asa inerna de renabilidad (TIR), venajas y limiaciones Tiempo de Recuperación de Inversión (TRI) o Periodo de Recuperación de Inversión (PRI), venajas y limiaciones Anualidad equivalene o méodo del Valor Anual Equivalene (VAE), venajas y limiaciones Valor Económico Agregado (EVA), venajas y limiaciones Reorno Sobre la Inversión (ROI) o Rendimieno del Acivo (ROA), venajas y limiaciones Capíulo II. La valuación de un proyeco minero usando Flujos de Efecivo Desconados y opciones reales Problema de Opimización Dinámica Esocásica (PODE) que enfrena el accionisa del proyeco minero Los supuesos del análisis y sus implicaciones Las opciones reales como resulado de las condiciones de primer orden del PODE Opciones reales I

7 Capíulo III. Valuación empírica del proyeco Análisis de los flujos de efecivo Ajuse de ARMA y pronósicos Consrucción de las asas de descueno Cálculo del valor de las opciones reales Conclusiones Apéndice I. Cálculo de Iô Apéndice II. Simulación Mone Carlo Bibliografía II

8 Siglas y Abreviauras. ARMA: AuoRegressive Moving Average Model / Modelo Auoregresivo de Media Móviles. BDS: Brock Decher y Scheinkman CAE: Coso Anual Equivalene. CAPM: Capial Asses Pricing Model / Modelo de Precios de Acivos de Capial. CPO: Condiciones de Primer Orden. DCF: Discouned Cash Flow / Flujos de Efecivo Desconados. DF: Dickey-Fuller DW: Durbin-Wason. EDE: Ecuación Diferencial Esocásica. EP: Economic Profi / Uilidad Económica. EVA: Economic Value Added / Valor Económico Agregado. JB: Jarque-Bera KPSS: Kwiakowski Phillips Schmid - Shin NPV o VPN: Ne Presen Value / Valor Presene Neo. PODE: Problema de Opimización Dinámica Esocásica. PRI: Periodo de Recuperación de Inversión. ROA: Reurn on Asses / Rendimieno del Acivo. ROI: Reurn on Invesmen / Reorno Sobre la Inversión. ROV: Real Opcion Value / Valoración de Opciones Reales. TIR: Tasa Inerna de Reorno o Tasa Inerna de Renabilidad. TMAR: Tasa Mínima de Renabilidad Exigida. TREMA: Tasa de Recuperación Mínima Araciva. TRI: Tiempo de Recuperación de Inversión. UODI: Uilidad Operaiva Después de Impuesos. VAE: Anualidad Equivalene o Méodo del Valor Anual Equivalene. VAN: Valor Acual Neo. WACC: Weighed Average Capial Cos / Tasa Ponderada de Cosos de Capial. III

9 Glosario. Acreedores: Se aplica a la persona que iene derecho a pedir que se cumpla una obligación, específicamene que se le pague una deuda. Algorimo: Conjuno finio de reglas que dan una secuencia de operaciones para resolver odos los problemas de un ipo dado. De forma más sencilla, podemos decir que un algorimo es un conjuno de pasos que nos permie obener un dao. Bono: Un bono es una obligación financiera conraída por el inversionisa; ora definición para un bono es un cerificado de deuda es decir una promesa de pago fuura documenada en un papel y que deermina el mono, plazo, moneda y secuencia de pagos. Cálculo esocásico: Modelo maemáico en el que la ley de probabilidad que da la evolución de un sisema depende del iempo. Calibración: Es el procedimieno de comparación enre lo que indica un insrumeno y lo que debiera indicar de acuerdo a un parón de referencia con un valor conocido. Carera de inversiones: Es el conjuno de acivos financieros en los cuales se inviere. Una carera de inversiones, en general, esá compuesa por una combinación de algunos insrumenos financieros como son: acciones, depósios a plazo, efecivo, monedas inernacionales, bonos, bienes raíces, fondos muuos enre oros. Commodiies: Es cualquier produco desinado a uso comercial, su significado original se refiere a maerias primas a granel, eso es producos cuyo valor esa dado por el derecho que posee el propieario sobre el produco, para comerciar con el y no solamene por el derecho que iene de usarlos. IV

10 Coso marginal: Es el incremeno que sufre el coso cuando se incremena la producción en una unidad, es decir, el incremeno del coso oal que supone la producción adicional de una unidad de un deerminado bien. Desconar: El proceso de deducir una asa de inerés a una suma de capial deerminada para enconrar el valor presene de esa suma cuando la misma es pagable a fuuro. Disribución normal esándar aleaoria: Es una disribución de probabilidad de variable coninua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad iene una forma acampanada y es simérica respeco de un deerminado parámero. Esa curva se conoce como campana de Gauss. EBIT: Magniud microeconómica que equivale al beneficio anes de inereses e impuesos. Empíricamene: Es un resulado inmediao de la experiencia, que solo se funda en la observación de los hechos. Esacionalidad: Caracerísica que presenan algunas variables económicas por las cual flucúan regularmene a lo largo del Tiempo. El vocablo proviene de esación pues es con el cambio de esaciones que se manifiesa con más claridad ese comporamieno. Esraegia Corporaiva: Es aquella que esá relacionada con el objeivo y alcance global de la organización para saisfacer las expecaivas de los propiearios y oros ineresados en la organización. Exracción: Se refiere al aco de sacar algo que se encuenra hundido, inmerso o sepulado en alguna ora cosa o lugar. Ingreso marginal: Variación que experimena el ingreso oal ane la vena de una unidad adicional. V

11 Mercado financiero perfeco: Consise en rasladar a los mercados financieros el concepo de compeencia perfeca, es decir que exise liberad de enrada y salida, el precio es fijado fuera del mercado. Opimo: se emplea cuando se quiere dar cuena de aquello que resula ser muy bueno, que no puede ser mejor de lo que es. Premio al Riesgo: Diferencia enre la asa requerida de rendimieno sobre un acivo arriesgado y específico y la asa de rendimieno sobre un acivo libre de riesgos, con la misma vida esperada. Racionalidad: Es una capacidad humana que permie pensar, evaluar y acuar de acuerdo a cieros principios, para saisfacer algún objeivo o finalidad. Subyacene: El acivo sobre el que se emien una opción, unos fuuros, un swap u oros derivados Tasa de descueno: Tasa uilizada para calcular el valor acual de los flujos de caja fuuros. Valor inrínseco: Valor que se oorga a cada acción cuando se calcula el valor de una empresa omando como indicadores su acividad económica, su evolución, expecaivas, crecimieno, ec. Varianza: Es aquella medida de dispersión que osena una variable aleaoria respeco a su esperanza. Volailidad: Siuación en la que el precio de un acivo financiero esá expueso a flucuaciones exremas, durane un coro período. VI

12 Índice de cuadros y gráficas. Cuadros. Cuadro1. Decisión de la Inversión en base al Valor Presene Neo. 3 Cuadro 2. Decisión de la Inversión usando la Tasa Inerna de Reorno. 5 Cuadro 3. Decisión de la Inversión usando el Valor Anual Equivalene. 11 Cuadro 4. Daos del modelo ARMA (1,1) 34 Cuadro 5. Prueba KPPS. 36 Cuadro 6.. Prueba BDS. 36 Cuadro 7. Valuación de Opciones Reales. 40 Gráficas Gráfica 1. Flujos de Efecivo. 32 Gráfica 2. Flujos esimados. 33 Gráfica 3. Prueba Jarque-Bera. 37 VII

13 Resumen. En la década de los 70`s, se desarrollo el análisis de opciones, que poseriormene le daría paso al méodo de opciones reales, el cual es una alernaiva para eviar los errores que presenan los méodos radicionales de valuación de proyecos de inversión. En un inicio el méodo de opciones reales se aplicaba en acivos no financieros o reales, poseriormene fue uilizado como una alernaiva a los méodos radicionales de valuación de proyecos de inversión, siendo su caracerísica principal el incorporar la flexibilidad e inceridumbre; como elemenos que agregan valor al proyeco. El objeivo del rabajo de invesigación es demosrar que las opciones reales son un buen méodo para valuar el proyeco de inversión de una minera dedicada a la exracción de plaa, ya que ese méodo provee de un valor moneario a la flexibilidad de decisión en la planeación, y por ello medir de una manera mas precisa el riesgo al que se enfrenan los inversionisas. Para ese rabajo se uilizaron daos de la minera de Grupo Peñoles del 31 de marzo del 2000 hasa el día 30 de sepiembre de Poseriormene se realizó una proyección de 5 años de los flujos de efecivo, ya que es el iempo necesario para poder observar los resulados obenidos del proyeco de inversión. Uilizando herramienas como un modelo economérico ARMA, para poseriormene hacer uso del Méodo de Simulación Mone Carlo y calcular el valor de las opciones reales. Obeniendo resulados favorables para la invesigación, ya que las opciones reales resularon ser un buen méodo para valuar los proyecos de inversión para empresas en ambienes de ala volailidad. VIII

14 Absrac. In he 70`s, he analysis opions was developed which, laer, would give way o real opions mehod, his is an alernaive mehod o preven bugs in radiional mehods for valuaing invesmen projecs. In he beginning he real opions mehod was applied o non-financial or real asses, was subsequenly used as an alernaive o radiional mehods for evaluae invesmen projecs, and is main characerisic is o incorporae flexibiliy and uncerainy as facors ha add value o he projec. The aim of his research is o demonsrae ha real opions are a good mehod o value he invesmen projec of a silver exracion mine firm, because his mehod provides a moneary value on planning flexibiliy decisions, and herefore o measure more accuraely he risk faced by invesors. For his work we used mining Peñoles daa from March 31, 2000 o Sepember 30, Then here was made a 5-year cash flows forecas, as i is he ime required o observe he resuls of he invesmen projec. Using ools as an ARMA economeric model, and hen o use he Mone Carlo simulaion mehod o calculae he real opions value. Favorable resuls in his research were obained, because real opions proved o be a good mehod for valuing invesmen projecs for companies in high volailiy environmens. IX

15 Inroducción La minería es una de las acividades económicas de mayor radición en México, es pracicada desde la época prehispánica y fue una fuene de expansión regional durane la colonia. Durane la paz porfiriana se convirió en uno de los escenarios de las ensiones sociales y a la posre en una de las causas que inciaron la Revolución de Acualmene, es una fuene imporane de enrada de divisas. La minería ha esado presene en el desarrollo del país como un facor de modernización y avance al suminisrar insumos a prácicamene a odas las indusrias, enre las que desacan las de la consrucción, mealúrgica, siderúrgica, química y elecrónica. Enre las múliples ciudades que fueron fundadas cerca de las zonas mineras, en la medida en que las expediciones en busca de meales preciosos se fueron desplazando de las cosas hacia el nore y cenro del país, se encuenran Hidalgo, Durango, Chihuahua, Guanajuao, Salillo, San Luis Poosí y Zacaecas, enre oras. Por lo menos diez disrios mineros de México, en disinos periodos, ocuparon los primeros lugares de producción de plaa, dos de ellos han sobrepasado la producción de un billón de onzas roy de plaa 1, esos son: Hidalgo del Parral, en Chihuahua y Pachuca, en Hidalgo. Durane el periodo enero-mayo de 2010, el índice del volumen físico de la producción minero mealúrgica regisró una variación posiiva de 15.5 % respeco a 2009, debido a los incremenos en los niveles de producción de la wollasonia 57.5%, plomo 53.3%, dolomia 51.6%, grafio 49%, plaa 47.1%, diaomia 41.8 %, oro 39.9%, coque 39.6%, feldespao 20.7 % y fierro 20.5%. 1 Calderón Hinojosa, Felipe, Cuaro Informe de Gobierno, Economía y Generadora de Empleo, p.p Palacio Legislaivo de San Lázaro, a los 10 días del mes de marzo de X

16 El comporamieno de los precios inernacionales de los principales meales fue al alza durane los cinco primeros meses de 2010, desacando los incremenos del cobre en un 88.4%, molibdeno 87.2%, zinc 75.6 %, plomo 71.7%, dolomia 57.9%, manganeso 48.6%, plaa 35.2% y oro 25%. El desempeño del mercado inernacional de los meales y minerales fue influenciado fundamenalmene por el incremeno en la demanda de esos. En los úlimos años se ha abiero una nueva eapa para que la minería mexicana pueda enfrenar con éxio los reos de un mercado cambiane y alamene compeiivo. Se raa, en esencia, de propiciar una mayor paricipación de los secores privado y social en la acividad, al iempo que se ofrecen condiciones de seguridad jurídica y reglas claras, enre las que se encuenran las de proección al ambiene, que permien asegurar la recuperación de inversiones alamene inensivas en capial. En visa de la imporancia de la minería para el desarrollo de algunas regiones del país, es necesario valuar correca e inegralmene los proyecos de inversión a realizarse en esa rama indusrial. Un proyeco minero resula difícil de valuar dada la volailidad mosrada por la canidad de mineral exraída, además de la volailidad de su precio. Eso es especialmene ciero en el caso de los proyecos relacionados con commodiies como la plaa. Tal y como se mencionó en párrafos aneriores, la exracción de plaa es un proyeco inensivo en capial que generalmene es desarrollado en varias eapas, durane las cuales el precio del meal variará en gran medida, por lo que el supueso de flujos de efecivo consanes para la empresa disa de ser apegado a la realidad. XI

17 En ese enorno de volailidad, la indusria exraciva no puede apegarse a la valuación radicional de proyecos basada en el Valor Presene Neo (VPN).La poca pracicidad de ese méodo radica ano en los supuesos de flujos, e inversiones, fijas como en el ignorar el valor que añaden al proyeco las opciones de esraegia corporaiva que, usualmene, son valuadas mediane opciones reales, una explicación más amplia se encuenra en, Trigeorgis, L (1996) y Dixi, A. K. y R. S. Pindyck (2000). El objeivo de ese rabajo de invesigación, es demosrar que el uso de opciones reales proporciona daos más precisos; sobre la valuación de proyecos de inversión, en donde se presena una ala volailidad, ya que oma en cuena la flexibilidad de las decisiones corporaivas. El rabajo de invesigación se divide en res capíulos; en el primer capiulo se describen los méodos radicionales de valuación de proyecos, así como sus venajas y limiaciones, esos son; Valor Presene Neo (VPN), Tasa Inerna de Reorno (TIR), Tiempo de Recuperación de Inversión (TRI), Valor Anual Equivalene (VAE), Valor Económico Agregado (EVA) y Reorno Sobre la Inversión (ROI). En el segundo capiulo, se describe eóricamene la valuación del proyeco minero, usando los Flujos de Efecivo Desconados (DCF) y la Valoración de Opciones Reales (ROV). En el ercer capiulo, se realiza una valuación empírica del proyeco, uilizando los flujos de efecivo de la empresa, un modelo ARMA y sus pronósicos, las asas de descueno, y se calcula el valor de las opciones reales. Por ulimo se mencionan las conclusiones, que se obuvieron del rabajo de invesigación. XII

18 Capíulo I Méodos radicionales de valuación de proyecos. Los méodos radicionales de valuación de proyecos son uilizados por las empresas por la eficiencia que habían venido demosrando hasa ahora en la oma de decisiones en ambienes esáicos, así como sus venajas y desvenajas en su uso para la valuación de proyecos de inversión. En 2009, Valencia y Gándara mencionan que exisen diversas écnicas para analizar la viabilidad de los proyecos de inversión, a coninuación se mencionan algunos de los méodos más usados. 1.1 El valor presene neo (VPN) o valor acual neo (VAN), sus venajas y limiaciones. El méodo más uilizado para la valuación de proyecos de inversión es el VPN, el cual proviene de la expresión en inglés Ne Presen Value; consise en calcular el valor presene de un deerminado número de flujos de caja fuuros, originados por una inversión durane el periodo de exisencia del proyeco. Es decir, se raa de desconar al momeno acual odos los flujos de caja fuuros del proyeco. Lo que es lo mismo, acualizarlos mediane una asa. Poseriormene, se le resa el valor inicial de la inversión y el valor obenido es el VPN del proyeco. Para mayor información véase Ross, Weserfield (2003) Mediane el uso del crierio de inversión del VPN, un proyeco nuevo o una esraegia nueva es acepada o se rechaza, el día de hoy, si el VPN > 0 ó si el VPN < 0, respecivamene. Cuando un proyeco es acepado bajo ese crierio, los planes de inversión ya no pueden ser modificados, es decir, la inversión realizada es definiiva, no puede efecuarse ningún cambio. 1

19 Para las empresas es de suma imporancia omar la decisión correca al elegir las inversiones que le generen un mayor beneficio; una posible alernaiva para realizar esa elección es omar en cuena el comporamieno del mercado, pueso que solo se oma en cuena la ofera y demanda que se genera; aun que no es suficiene para que los inversionisas omen una decisión adecuada. Por eso, cuando se realiza la valuación de un proyeco de inversión, se hace la previsión de los flujos de caja, es decir de los flujos que se generan en un fuuro. Si las empresas poseen varios proyecos de inversión ienden a examinar las diferenes alernaivas para elegir un proyeco usando el VPN correspondiene con cada proyeco, por lo general omando la alernaiva con el valor más alo. Pero no siempre es así, exisen ocasiones en las que las empresas no escogen el proyeco que posee el valor, más alo, eso se debe a razones an diferenes como la imagen, la esraegia corporaiva, u oras que resulan imporanes para la empresa. Para calcular el VPN se uiliza la siguiene fórmula: VPN = n Y 1i i 1i 1 1 n E I 0, (1.1) donde: Y: Represena el flujo de ingresos del proyeco. E: Sus egresos. I0: La inversión inicial en el momeno cero de la evaluación. I: Es la asa de descueno. 2

20 Noa: El subíndice en los ingresos y egresos sólo explica la posibilidad de que exisan valores diferenes en el flujo de caja del proyeco. Aunque es posible aplicar direcamene la ecuación (1.1), la operación se puede simplificar mediane: VPN= - I 0 (1.2) Lo que es equivalene a VPN= - I 0 donde: (1.3) BN : Represena el beneficio neo del flujo en el período. Obviamene, BN puede omar un valor posiivo o negaivo. A coninuación se presena un cuadro donde se resumen las disinas inerpreaciones del VPN: Cuadro 1. Decisión de la Inversión en base al Valor Presene Neo. VPN Concepo Valor para la empresa Decisión La inversión produciría Si el VPN de un proyeco es ganancias por encima de Posiivo, el proyeco Crea Valor. la renabilidad exigida ( r ) VPN > 0 VPN = 0 VPN < 0 La inversión produciría ganancias por debajo de la renabilidad exigida ( r ) La inversión no produciría ni ganancias ni pérdidas Si el VPN de un proyeco es Cero, el Proyeco No Crea ni Desruye Valor. Si el VPN de un proyeco es Negaivo, el proyeco Desruye Valor. Elaboración propia, con información del manual de finanzas empresariales, Valoración de proyecos de inversión producivos El proyeco puede aceparse Dado que el proyeco no agrega valor moneario por encima de la renabilidad exigida (r), la decisión debería basarse en oros crierios, como la obención de un mejor posicionamieno en el mercado u oros facores. El proyeco debería rechazarse 3

21 Las principales venajas del VPN son: Es sencillo de aplicar, ya que para calcularlo se usan operaciones ariméicas simples. Toma en cuena el valor del dinero en el iempo. Da como resulado la decisión de acepación o rechazo de un proyeco. Traslada los flujos de caja fuuros a un valor acual (una misma fecha). Las principales limiaciones que iene la uilización del VPN son: El principal problema, es el de la valoración del acivo que se creará al efecuar la inversión (una fábrica, un barco, ec.). El VPN supone que los flujos que salen del proyeco se reinvieren con el mismo valor del capial exigido por el mismo, lo cual no puede ser ciero. Presena dificulades para esablecer la asa de inerés apropiada para realizar el descueno. 1.2 Tasa Inerna de Reorno o asa inerna de renabilidad (TIR), venajas y limiaciones. La asa inerna de reorno o asa inerna de renabilidad (TIR) de una inversión, es la asa con la cual el VPN es igual a cero ese es calculado con el flujo de caja o cash flow anual rayendo odas las canidades fuuras de flujos posiivos y negaivos a valor presene, para más dealles véase Gallardo, Juan (1998). 4

22 La función de la TIR es servir como un indicador de renabilidad de un proyeco, mosrando cuál sería la asa de inerés más ala proporcionándole al empresario la información necesaria para rechazar o acepar el proyeco de inversión. Al efecuar la comparación de la TIR con la asa de inerés de mercado, se usa una regla básica para la oma de decisiones, a coninuación se muesra el uso de dicha regla en el siguiene cuadro. Cuadro 2. Decisión de la Inversión usando la Tasa Inerna de Reorno. Concepo Ecuación Decisión Si la TIR es mayor que la asa de TIR > i Se debe realizar el proyeco de inversión. mercado (i). Si la TIR es menor que la asa de TIR < i No se debe realizar el proyeco de inversión. mercado (i). Si la TIR es igual que la asa de mercado (i). TIR = i En ese caso, al inversionisa le resula indiferene realizar o no el proyeco de inversión. Elaboración propia, con información de Anzil, Federico 2005, Crierios de Decisión Texos de Análisis Económico disponible en Como ya se ha mencionado aneriormene la TIR es una herramiena de oma de decisiones de inversión; que se usa para conocer la facibilidad de las diferenes opciones de inversión que iene una empresa. Exisen oras definiciones de la asa inerna de reorno como la asa de descueno que iguala la suma del valor presene de los gasos con la suma del valor presene de los ingresos previsos. A coninuación se muesra como se puede calcular la TIR aplicando la siguiene ecuación: + I 0, (1.4) 5

23 donde: r es la asa de reorno. Al simplificar y agrupar los érminos, se obiene lo siguiene: - I 0 = 0, (1.5) Que equivale a: I 0 = 0 (1.6) Comparando esa ecuación con la 1.3, se puede observar que son equivalenes al hacer el VPN igual a cero y deerminar la asa que le permie al flujo acualizado ser cero. La asa calculada se compara con la asa de descueno de la empresa. Si la TIR es igual o mayor que ésa, el proyeco debe aceparse y si es menor, debe rechazarse. El flujo de caja de un proyeco adopa una esrucura al, que más de una asa inerna de reorno puede uilizarse para resolver la ecuación 1.6, eso se conoce como asas inernas de reorno múliples. El número máximo de asas diferenes será igual al número de cambios de signo que enga el flujo del proyeco, aunque eso no es condicionane del número de asas inernas de reorno calculables. 6

24 Las principales venajas de la TIR son: Toma en cuena odos los flujos de caja. Mide la renabilidad de los proyecos de inversión (coso de oporunidad). Tiene en cuena el valor del dinero en cada momeno. Ofrece una asa de rendimieno fácilmene comprensible. Sus principales limiaciones son: Presena dificulad al realizar su cálculo. Supone que los flujos de caja son reinveridos y refinanciados con la misma TIR. Es inconsisene ya que las inversiones pueden ser simples eso es que engan una única TIR o pueden ser múliples, quiere decir que exise más de una asa por lo que pueden ser inconsisenes. 1.3 Tiempo de Recuperación de Inversión (TRI) o Periodo de Recuperación de Inversión (PRI), venajas y limiaciones. Es uno de los méodos que en el coro plazo puede ser preferido por algunos empresarios cuando se evalúan los proyecos de inversión dada su facilidad de cálculo y aplicación. Eso es que mide la liquidez y el riesgo relaivo que presena el proyeco, ya que permie anicipar los evenos en el coro plazo, para mayor información consule Gallardo, Juan (1998) Se debe resalar que la TIR es solo un insrumeno financiero y que al igual que el VPN y la TIR, sirve para mejorar el proceso de oma de decisiones. 7

25 Ese méodo es una forma de evaluar en que periodo se recupera la inversión inicial considerando una asa mínima de renabilidad exigida (TMAR) y desconados los pagos fuuros, el objeivo es enconrar en que periodo del proyeco se llega a recuperar la inversión con los flujos que se generan en cada uno de los años, eso resula de dividir los cosos y los ingresos esperados. La TRI a pesar de no ser un indicador de renabilidad muesra al inversionisa el iempo aproximado de recuperación de la inversión a lo largo de la duración del proyeco. Mienras más coro sea ese periodo de recuperación más aracivo se puede volver el proyeco, debido a que esos recursos pueden ser usados para generar oro proyeco. Si los flujos fueran idénicos y consanes en cada período, el cálculo se simplificaría usando la siguiene formula: PR = (1.7) donde: PR, es el período de recuperación, que indica el número de períodos necesarios para recuperar la inversión inicial I o, cuando los beneficios generados en el proyeco en cada período son BN. Si el flujo difiere enre períodos, el cálculo se realiza deerminando por suma acumulada el número de períodos que se necesian para recuperar la inversión 8

26 Las principales venajas de la TRI son: Es un méodo muy úil para realizar inversiones en siuaciones de inceridumbre y ese méodo proporciona el iempo mínimo necesario para recuperar la inversión. Es un méodo fácil de calcular. Las principales limiaciones de la TRI son: No oma en cuena los flujos de efecivo después del propio periodo de recuperación. Ignora las ganancias poseriores al período de recuperación, implicando que la acepación del proyeco ese dada por un facor de liquidez más que de renabilidad. 1.4 Anualidad equivalene o méodo del Valor Anual Equivalene (VAE), venajas y limiaciones. El méodo de anualidad equivalene consise en expresar el valor acual neo como un flujo de caja al dividirlo por el valor presene de la anualidad, es decir, converir en una anualidad con pagos iguales odos los ingresos y gasos que ocurren. Cuando la anualidad resula posiiva, se recomienda que se acepe el proyeco de inversión, y viceversa durane un período deerminado, para mayor información consular Brealey, Myers y Allen (2006). El méodo ambién es conocido como el Coso Anual Equivalene (CAE) consise en uilizar los ingresos y gasos, que se generan durane un período por poseer y operar un acivo y esos son converidos a una anualidad equivalene uniforme. 9

27 Para ése méodo es necesario uilizar una asa de inerés mayor que el coso de capial a esa asa se le denomina TREMA (Tasa de Recuperación Mínima Araciva). De esa manera, no exise ningún riesgo en acepar proyecos con anualidades cercanas a cero, ya que en esa siuación significaría que el rendimieno obenido es exacamene igual al mínimo requerido. Además, el uilizar como valor de la asa de descueno (i),la TREMA iene la venaja de ser esablecida muy fácilmene, porque en ella se pueden considerar facores como: 1. El riesgo que represena un deerminado proyeco. 2. La disponibilidad de dinero de la empresa. 3. La asa de inflación prevaleciene en la economía nacional. La formula uilizada es:,%,,%,,%, (1.8) donde: A: Anualidad equivalene p: Inversión inicial S : Flujo de efecivo neo del año F: Valor de rescae n: Número de años de vida del proyeco i: Tasa de recuperación Mínima araciva (TREMA) 10

28 También, la formula puede ser represenada de ora forma, si se hace uso de la idenidad:,%,, %, % (1.9) Si además se supone que los flujos de efecivo neos de odos los años son iguales la ecuación se ransforma en:,%,% (1.10) Por lo ano, si: Cuadro 3. Decisión de la Inversión usando el Valor Anual Equivalene. Concepo Formula Decisión Cuando la VAE, es mayor o igual a cero: Si la VAE, es menor que cero : VAE 0 Se acepar el proyeco de inversión. VAE < 0 Se rechaza el proyeco de inversión Elaboración propia, con información de Gallardo, Juan, Preparación y evaluación de proyecos, México, McGraw Hill, 1998, pp Valor Económico Agregado (EVA), venajas y limiaciones. Alfred Marshall fue el primero que expresó una noción de EVA, en 1980, en su libro The Principles of Economics. Poseriormene Peer Drucker, se aproxima al concepo de creación de valor, en el arículo que escribe para Harvard Business Review. 11

29 Tomando en cuena esos anecedenes, se puede llegar a la conclusión de que anes de que apareciera formalmene el concepo de EVA, ya exisían aproximaciones hacia ese méodo, aunque fue hasa hace poco iempo que la compañía consulora esadounidense Sern Sewar & Co., quienes desarrollaron la meodología del EVA y la paenaron como una marca regisrada, dieron un concepo general basado en la eoría financiera y económica. Las iniciales EVA, proviene de la palabra en inglés Economic Value Added o en español Valor Económico Agregado, ambién es llamado Economic Profi (EP) o uilidad económica en español, ese érmino es uilizado por la empresa consulora Mc Kinsey & Co. Eso se debe simplemene a que cada consulora ha desarrollado su propio concepo, aunque odos hablan de ideas similares. En general el méodo EVA supone que el éxio de una empresa se relaciona direcamene, con la generación de valor económico. El EVA o EP, es el produco que se obiene de la diferencia enre la renabilidad de sus acivos y el coso de capial requerido para adquirir los acivos, es decir, que a odos los ingresos operacionales se les deducen la oalidad de los gasos operacionales, los impuesos y el coso de oporunidad del capial y se obiene el EVA. El EVA se incremenará cuando el capial fresco se inviera en proyecos con ganancias superiores al coso oal del capial o si el capial pueda ser reorienado o exraído de áreas de negocios que no proporciona un reorno acepable. Por el conrario, disminuirá cuando la adminisración dirija fondos a financiar proyecos con ganancias menores al coso de capial o pase por alo el fondeo de proyecos con ganancias aparenemene mayores al mismo. 12

30 Es decir el EVA, es el resulado que se obiene una vez que se cubrieron odos los gasos y la renabilidad mínima esperada por los accionisas.los componenes básicos del EVA son la uilidad de operación, el capial inverido y el coso de capial promedio ponderado, a coninuación se da una breve explicación: La uilidad de operación.-se usa para el cálculo del EVA es la Uilidad Operaiva Después de Impuesos (UODI), que incluye los ingresos de operación, sin inereses ganados, dividendos y oros ingresos exraordinarios; los gasos incurridos en la operación de la empresa, incluyendo depreciaciones e impuesos, sin omar en cuena inereses a cargo u oros gasos exraordinarios. En ése méodo es imporane eliminar la depreciación de la uilidad operaiva. El capial inverido.- Son los acivos fijos más el capial de rabajo operaivo y oros acivos; ora forma de llegar al capial inverido es mediane la deuda de coro y largo plazo con coso más el capial conable. El capial de rabajo operaivo no oma en cuena los pasivos con coso ni pasivos diferidos de impuesos a coro plazo. El coso de capial promedio ponderado.- Ése se obiene de dos fuenes: deuda con acreedores, sujea a inereses, y el capial de los accionisas. Tano el promedio ponderado del coso de la deuda después de impuesos como el coso del capial propio conforman el coso de capial promedio ponderado. 13

31 Los méodos para calcular el EVA son: Méodo Spread (exensión) (1.11) donde: r: Tasa de rendimieno sobre el capial inverido. CCPP: Coso de capial promedio ponderado. CI: Capial inverido al inicio. La fórmula para obener la asa de reorno del capial inverido es: (1.12) Méodo Residual: (1.13) donde: UODI: Uilidad operaiva después de impuesos CI: Capial inverido al inicio CCPP: Coso de capial promedio ponderado Venajas del EVA: Provee una medición para la creación de riqueza que alinea las meas de los adminisradores de las divisiones o planas con las meas de la compañía. Permie deerminar si las inversiones de capial esán generando un rendimieno mayor a su coso. 14

32 Permie idenificar a los generadores de valor en la empresa. Los adminisradores que son compensados en función del EVA oman acciones consisenes con la generación de valor. Combina el desempeño operaivo con el financiero en un repore inegrado que permie omar decisiones adecuadas. Desvenajas del EVA: No es comparable cuando exisen diferencias en los amaños de las planas o divisiones; por ejemplo, una gran plana o división puede ener un EVA alo una pequeño plana un EVA bajo. Es un cálculo que depende de los méodos de la conabilidad financiera para la realización de los ingresos y el reconocimieno de los gasos. Eso puede moivar a los adminisradores a manipular esos números. Sobre enfaiza la necesidad de generar resulados inmediaos; por lo ano, eso desinceniva a los adminisradores para inverir en producos innovadores o procesos ecnológicos que generan resulados en el largo plazo. 1.6 Reorno Sobre la Inversión (ROI) o Rendimieno del Acivo (ROA), venajas y limiaciones. El significado de las siglas ROI, provienen de las palabras en inglés Reurn on Invesmen; y en español es el Reorno Sobre la Inversión; ambién se le conoce con el nombre de Reurn on Asses (ROA) y en español como Rendimieno o Reorno del Acivo. El cual es un indicador financiero que mide la renabilidad de una inversión, es decir, la asa de variación que sufre el mono de una inversión o capial al converirse en uilidades o beneficios. El 15

33 porcenaje de ganancia obenido, es una asa real, es decir, sin inflación, para mayor información véase Ross, Weserfield, (2003). Ese méodo es ampliamene uilizado en el análisis de las enidades financieras, ya que puede medir la renabilidad de los acivos o lo que es lo mismo su capacidad para generar valor, y así obener un beneficio. Uilizando el ROI, después de varios años se puede medir si el amaño de una empresa es proporcional al aumeno de la renabilidad, o si es por el conrario que ese crecimieno de la renabilidad, implica un deerioro para la empresa. La fórmula para calcular el ROI esa dada por: (1.14) El ROI puede ser usado para evaluar una empresa en marcha: si el ROI es menor o igual que cero, significa que los inversionisas esá perdiendo dinero; y mienras más alo sea el ROI, significa que más eficiene es la empresa al usar el capial para generar uilidades. Principalmene, el ROI se usa al momeno de evaluar un proyeco de inversión: si el ROI es menor o igual que cero, significa que el proyeco o fuuro negocio no es facible; y mienras mayor sea el ROI, significa que un mayor porcenaje del capial se va a recuperar al ser inverido en el proyeco. Asimismo, el ROI permie comparar diferenes proyecos de inversión, aquel que enga un mayor ROI será el más renable y, por ano, el más aracivo. 16

34 Finalmene, debemos señalar que el ROI, debido sobre odo a su simplicidad, es uno de los principales indicadores uilizados en la evaluación de un proyeco de inversión; sin embargo, debemos ener en cuena que ese indicador no oma en cuena el valor del dinero en el iempo, por lo que al momeno de evaluar un proyeco, siempre es recomendable uilizarlo juno a oros indicadores financieros, ales como el VPN y la TIR. Los méodos radicionales de valuación de proyecos que se mencionan aneriormene y que se han venido uilizando por las empresas por su facilidad y eficiencia no ienen el mismo comporamieno cuando esos proyecos se encuenran en ambienes de ala volailidad ya que son méodos resringidos a siuaciones esáicas que no permien valuar adecuadamene los proyecos y por lo ano la oma de decisiones no podría ser la adecuada; sin embargo en ese rabajo de invesigación para poder realizar la valuación del proyeco de inversión de la minera se uilizara el méodo de opciones reales que se desarrollara en el siguiene capíulo. 17

35 Capíulo II La valuación de un proyeco minero usando Flujos de Efecivo Desconados y opciones reales. Franco Modigliani y Meron Miller en su arículo The Cos of Capial, Corporaion Finance and he Theory of Invesmen, publicado en American Economic Review en 1958; mencionan Que el valor de la empresa desampalacada es el mismo que el de la empresa apalancada ; siempre y cuando exisa la irrelevancia de la esrucura de capial, es decir, que la empresa se encuenre en un ambiene donde no exisan los impuesos, los cosos de quiebra y asimerías de información. En 1964 aparece el méodo Capial Asse Pricing Model mejor conocido como CAPM; en español Modelo de Precios de Acivos de Capial, propueso de manera independiene por Jack Treynor (1962), William Sharpe (1964), Jonh Linner (1965) y Jan Mossin (1966). Ese modelo sirve para calcular el precio de un acivo o una carera de inversiones, para acivos individuales se uiliza la reca denominada Securiy Marke Line (SML), esa represena el reorno esperado de odos los acivos de un mercado en función del riesgo no diversificable. La línea SML permie calcular la proporción de riesgo a recompensa, para cualquier acivo en el mercado. La relación de equilibrio que describe el CAPM es: (2.1) donde: E(r i ) es la asa de rendimieno esperada de capial sobre el acivo i. β im es el bea (canidad de riesgo con respeco al Porafolio de Mercado), o ambién 18

36 , (2.2) donde: (r m ) Rendimieno del mercado. es el exceso de renabilidad del porafolio de mercado. (r f ) Rendimieno de un acivo libre de riesgo El CAPM, inegra el riesgo de mercado no diversificable a la valuación de acivos al desconar los flujos obenidos de la empresa, con una asa adecuada, eso es, que los flujos de efecivo anes de inereses e impuesos, se les aplicaría la asa esperada, que se obuvo del CAPM; y los flujos operaivos después de inereses e impuesos, se les aplica una asa ponderada de coso de capial (WACC Weighed Average Capial Cos), que a su vez uiliza la asa del CAPM juno a la asa de deuda, en la esrucura de capial. La WACC, es la asa de descueno que debe uilizarse para desconar los flujos de fondos operaivos, para valuar una empresa se uiliza ese méodo porque se puede omar a los fondos como capial propio como de erceros, y la WACC permie ponderar los cosos de cada una de las fuenes de capial; a coninuación se muesra su formula: (2.3) donde: Ke: Tasa de coso de oporunidad de los accionisas. CAA: Capial aporado por los accionisas D: Deuda financiera conraída 19

37 Kd: Coso de la deuda financiera T: Tasa de impueso a las ganancias Aplicando los méodos mencionados aneriormene, se pueden hacer la valuación de los flujos de un proyeco, usando el méodo de Flujos de Efecivo Desconados por sus siglas en inglés DCF (Discouned Cash Flow), en el que se obiene un esimado de los flujos fuuros del proyeco, basándose en los esados financieros pro-forma, y usando algunos supuesos sobre el comporamieno de la empresa. Al obener los flujos, el que se encuenra en el iempo cero es la inversión inicial de la empresa; y esos flujos son desconados con una asa adecuada (WACC). En los úlimos años, el ema de la valuación de empresas ha enido gran imporancia, ya que juega un papel esencial, para la oma de decisiones oporunas en relación con alianzas esraégicas, apore de capial, enre oras. Saavedra, M (2007), menciona que El modelo de flujo de efecivo desconado, oma en cuena que el valor de la empresa esa dado por el efecivo disponible, que espera generar en el fuuro, desconado a una asa que refleja los riesgos de la empresa. Oros auores como Nelson, J (2000) dice que el DFC se compone de dos variables: los flujos de efecivo fuuros y la asa de descueno, ambién menciona que la asa de descueno, va a reflejar el riesgo de inverir en un proyeco; por lo que los inversionisas piden alos rendimienos cuando el riesgo es grande. Por ora pare López (2000) considera que Una caracerísica del méodo DFC es que combina la información financiera con la información del mercado de capiales Al respeco, Fernández (2008) menciona que el méodo DFC deermina el valor de la empresa a ravés de la esimación de los flujos de efecivo que generará en el fuuro para poseriormene desconarlos, a una asa apropiada según el riesgo de los flujos. También menciona que en la acualidad, se recurre al uso del méodo de DFC, por que es el único méodo de valuación 20

38 concepualmene correco que es cada vez mas uilizado por las empresas, ya que dicho méodo las considera como generadoras de flujos, y por lo ano sus acciones y su deuda son valuadas como oros acivos financieros. Aneriormene era común que las empresas valuaran sus proyecos de inversión uilizando las cifras que obenían de los libros conables; con el iempo fueron apareciendo nuevas écnicas como la del Valor Acual Neo (VAN) y la Tasa Inerna de Reorno (TIR), que forman pare del méodo de valuación de Flujo de Caja Desconado (DFC); y es considerado el méodo más compleo para la valuación de proyecos. En la acualidad se uiliza la écnica denominada Real Opcion Value o en español Valoración de Opciones Reales (ROV), las opciones reales son diferenes a las opciones financieras. La mayoría de las empresas uilizan el méodo DCF para valorar las inversiones poenciales; ese méodo siempre ha sido de gran uilidad, la preguna es si se podría aplicar la écnica ROV en conjuno con el méodo DCF; ya que así se podría proporcionar un valor más cercano a la realidad, reflejando la inceridumbre y la variabilidad que se presena; la écnica ROV refleja valores adicionales en los proyecos, que probablemene sean omiidos cuando solo se uiliza el méodo DCF. Por lo que se dice que la écnica ROV no preende desplazar al méodo DCF, sino que complemenarse con ese ya que el ROV uiliza el méodo DFC como una de sus herramienas. 2.1 Problema de Opimización Dinámica Esocásica (PODE) que enfrena el accionisa del proyeco minero. Las mineras dependen de los cambios de las economías locales, ya que sus gasos y sus beneficios obedecen al enorno macroeconómico y a las decisiones esraégicas que se lleven acabo en la empresa. Esas úlimas 21

39 suponen ser racionales y poseen la información adecuada para poder resolver el problema de maximización que se presena en un ambiene inciero. Para la solución del problema de opimización dinámica que se planea en la invesigación; se pare del supueso de que el rendimieno del proyeco de la minera, podrá ser modelado como un movimieno geomérico browniano con endencia. El valor presene esperado, F, en el iempo, de un proyeco a ravés del cálculo de los flujos de efecivo desconados puede describirse como: u F E se d u, (2.4) donde: s : Represena el flujo de efecivo esperado durane el desarrollo del proyeco en el iempo s. : Es la asa de descueno apropiada según el secor y grado de apalancamieno del proyeco. : Sigma álgebra es oda la información relevane disponible en el iempo. Se propone agregar al valor del proyeco, F, que es el valor de la prima del, riesgo el cual se preende modelar como una opción real. Para explicar esa aproximación, se supone que exise un inversionisa, adverso al riesgo, de vida infinia que iene acceso a un bono libre de riesgo crédio, B, cuyo rendimieno, es decir el cambio porcenual esá dado por la siguiene ecuación: db r d, B (2.5) 22

40 donde: r :Es la asa de inerés libre de riesgo de incumplimieno que paga el bono. Ese inversionisa ambién iene acceso a un acivo riesgoso, i.e., el proyeco, F, cuyo rendimieno esá dado por un proceso de difusión de la forma: F F 1 df d d W F, (2.6) donde: F : Es el rendimieno medio esperado del proyeco, F que es la volailidad insanánea del proyeco W : Es un movimieno browniano, es decir, W1 N(0, ), en cuyo caso se 1 EdW 0yVardW d. cumple que 1 1 Aquí es cuando de forma naural, se da la necesidad de modelar el valor de la empresa como un derivado, pueso, que el inversionisa debe vender el acivo riesgoso a cambio de un precio de indemnización, K, el cual, en el peor de los casos, es deerminado unilaeralmene por el propio comprador. Se puede decir que lo que se describió en el párrafo anerior es la descripción de una posición cora en una opción de compra, F,, en la que sólo fala especificar el plazo de vencimieno y la forma de ejercicio, i.e., las condiciones de fronera; ambas caracerísicas deerminan el ipo de opción analizada. En el caso de los acivo que provienen de la nauraleza es casi impredecible el momeno en que ocurre del aco de auoridad por pare de los acreedores que hace necesaria la modelación a ravés de opciones americanas, por lo que es posible suponer que el porafolio del inversionisa esá conformado por posiciones largas en un bono, B, que paga una asa libre de riesgo y en el acivo riesgoso, F, además de una posición cora en una opción de compra sobre dicho acivo,, eso es: 23

41 a( 1F 2 3B), (2.7) donde i represena la proporción de riqueza que el inversionisa asigna a cada acivo en su porafolio. Pariendo del supueso de que solo se iene una fecha de vencimieno, en donde se decide si se ejerce o no la opción de compra del acivo, se permie converir una opción de compra americana (se puede ejercer en cualquier momeno) en una opción de compra europea (fecha concrea de vencimieno); lo que simplifica el problema de opimización para el accionisa del proyeco minero. La nauraleza no financiera del subyacene hace necesaria la aplicación de la meodología de opciones reales para su valuación, para mayores dealles consular Abel (1983), Trigeorgis (1996), Dixi y Pindyck (2000). La meodología de opciones reales esá basada en uilizar la ecnología de opciones financieras en proyecos de inversión donde su aplicación depende del comporamieno que enga un proyeco principal que hace las veces de subyacene. Tomando en cuena lo anerior, la posición y ipo de opción esán esablecidas por la nauraleza del proyeco a esudiar, en el caso paricular del riesgo de propiedad. Como se mencionó aneriormene, se raa de una posición cora en una opción de compra es decir una opción real de cierre. La nauraleza inciera de la opción, i.e., por su nauraleza de derivado, conduce a uilizar el cálculo de Iô en la formulación de la ecuación diferencial esocásica que rige la prima. Aplicando las reglas del cálculo esocásico al rendimieno de la opción europea de compra, se obiene: d d d W1,, (2.8) 24

42 Y es la ecuación diferencial esocásica (EDE) que represena el rendimieno de la opción real de cierre que modela el riesgo. En ese caso se dice que: F F FF 2 FF 2 y 1 F. F (2.9) Para erminar el planeamieno del problema de opimización dinámica esocásica (PODE), se necesia esablecer la función de beneficios que refleje las preferencias crecienes a asas decrecienes por los beneficios que presena el acivo analizado. Para eso se propone una función de beneficios: BF,, /, la cual se supone cóncava en concordancia con agenes adversos al riesgo Los supuesos del análisis y sus implicaciones. Después de haber obenido las ecuaciones diferenciales que modelan los rendimienos de los acivos a los que puede ener acceso el inversionisa, se encuenra en posición de modelar el rendimieno de su riqueza, a, esá dada por la siguiene ecuación diferencial esocásica (EDE): da adf a d a 1 db d. (2.10) Para enconrar la solución al problema, de maximizar la ecuación (2.4) sujea a la ecuación (2.10), es necesario esablecer las endencias ópimas de cada uno de los acivos a los que iene acceso el inversionisa, así como el beneficio esperado ópimo. Para ello se iene que planear la maximización del valor esperado de los beneficios del inversionisa desconados WACC por la asa apropiada,, sujeo a la resricción presupuesal de su riqueza, eso es: 25

43 u Maximizar E e du s. a. da adf a d a 1 d B (2.11) donde: Ε, es, sigma álgebra que represena oda la información relevane disponible hasa el iempo. Para resolver ese problema, se recurre a la función de valor, para más dealles véase Chiang, A 1992: s J a, maxe e ds. (2.11 a) A parir de la cual se obiene la siguiene ecuación: d s s Ja, maxe e ds e d s. d (2.12) Al observar que el segundo sumando denro de la esperanza se puede observar que es la misma funcional, J, evaluada un insane después del puno de parida. El primer sumando se aproxima a su valor usando la diferencial de Fréche y se aplica el eorema del valor medio de la inegral en el primer sumando, con lo que se obiene la siguiene ecuación: s 0 max E, 1, Jaaa e J JaarFr1r2 F12 d a 2 d o J a dw a F (2.13) Tomando las esperanzas, y dividiendo sobre d y poseriormene se usa el límie cuando d iende a cero, se obiene: 26

44 , 1, 2 s 0 max J a 2 2 e J aa Jaar F r r F a (2.14) Poseriormene, se propone como candidao de solución la función separable J a, ( a / ) e. Después de realizar algunas susiuciones, se puede obener un Hamiloniano como el que a coninuación se muesra: a 0 max, 1, a a rf r1 r2 F1 2 a 2. (2.15) Las opciones reales como resulado de las condiciones de primer orden del PODE. Al derivar la expresión con respeco de cada una de las variables de decisión,, y, se obiene el siguiene sisema de ecuaciones para las 1 2 condiciones de primer orden (CPO): H 1 1 0: a 0, H 0: a Fra 1F1 2F 0, 1 H 0: a r a 1F (2.16) Al usar las dos úlimas ecuaciones, se puede decir que los premios al riesgo de los acivos del porafolio son iguales, es decir: r F r. (2.16 a) F Se susiuyen la media y la varianza del derivado; en ese caso de la opción real, dadas en las ecuaciones (2.6) y (2.8), se obiene la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Black-Scholes (1973), Para más dealles véase Venegas-Marínez (2008). 27

45 0. F 2F 2 Fr F 2 F r (2.17) La ecuación anerior modela el riesgo del acivo. Uilizando los supuesos anes mencionados, las condiciones de fronera de la opción real son: max F K,0 y T por: T 0, 0. La solución de la ecuación 2.17 esá dada T rt 1 2 FN d Ke N d 2 F ln r F 2 T K F T d d d T, (2.18) En ese caso el valor del proyeco minero,, esá referido como función del valor del proyeco original, F, el valor de la indemnización, K, la asa libre de riesgo de incumplimieno, r, la volailidad del proyeco original, 2 F, y el iempo que iene el inversionisa para omar la decisión, T. Una vez esablecida, la ecuación usando los supuesos anes mencionados, se uiliza la solución de Black-Scholes como una aproximación para el valor del riesgo de propiedad que enfrenan los inversionisas de una empresa, lo que represena una posible expropiación, se puede esablecer la sensibilidad de ese riesgo ane cambios en sus facores. Quizás, el más imporane de esos facores es la inversión K, que se deberá de pagar para acceder al proyeco y que puede ser esablecida de forma unilaeral dependiendo del proyeco. Un facor que se debe de considerar es la volailidad del subyacene, i.e., del proyeco original, la cual se represena mediane ()/ F., se puede 28

46 observar una relación posiiva enre la volailidad del proyeco original, F, y el valor de la opción en una posición larga, (), es decir, 0. Inviriendo el signo dada la posición cora, se iene que: 0, lo que significa que a mayor volailidad en el proyeco; aumenan los incenivos, aumenando con ello la probabilidad de ejercicio de la opción real. Resula imporane hacer noar que la solución a la ecuación (2.17) esá dada por la fórmula de Black-Scholes, la cual es válida si se iene con una esrucura de plazos plana, mercados compleos, divisibilidad perfeca del subyacene y normalidad en la disribución de los rendimienos del acivo subyacene. 2.3 Opciones reales. En el año de 1977 el profesor Sewar Mayers, uilizo por primera vez el érmino de opciones reales, asimismo Black y Scholes (1973) y Meron (1973a), aplicaron el concepo de opciones reales a las opciones financieras, las cuales dependen de la inceridumbre que presena el proyeco. Para mayores dealles véase Venegas -Marínez (2008). Las opciones reales aplican la meodología de las opciones financieras a la valoración de inversiones empresariales. Los proyecos de inversión presenan inceridumbre y ciero margen de flexibilidad; las opciones reales se uilizan en proyecos de inversión empresariales flexibles como i.e abandonar o vender el proyeco de inversión anes de erminar o prolongar la vida del proyeco. El méodo basado en opciones reales permie conocer la flexibilidad de las decisiones de la empresa sin que se afece la probabilidad de que ocurran los evenos, ya que permie obener probabilidades neurales al riesgo. 29

47 No obsane, la valoración de proyecos de inversión, uilizando opciones reales, supone una complejidad analíica mayor de la que presenan los méodos clásicos. Desde que Myers(1977) menciona la imporancia de las opciones reales en el valor de la empresa, se han presenado diversos rabajos en donde se inroduce el valor de las opciones reales de las empresas como un pare imporane en el valor de sus acivos. Así el acivo oal de la empresa se compone de dos elemenos básicos: inversiones ejecuadas en funcionamieno (que oma el valor de los acivos angibles e inangibles que iene acualmene la empresa) y las oporunidades fuuras de inversión (opciones reales). Cabe señalar que cuando se habla de opciones reales, y se presena el caso de una pérdida por el incumplimieno de las expecaivas, no se perderá la oalidad del proyeco de inversión, sino sólo la prima (inversión inicial) correspondiene a la opción o el elemeno de inversión. El méodo de opciones reales se ha exendido en las empresas que operan en ambienes de ala inceridumbre, muchos economisas opinan que las opciones reales ayudan a hacer frene a la inceridumbre con racionalidad y prudencia, i.e como en el caso de enrar en mercados inernacionales, en los cuales resula muy difícil predecir el resulado que se obendrá en los proyecos. El éxio obenido con la aplicación de la eoría de opciones reales, se basa en el grado de aciero a la hora de elaborar el análisis sobre los diferenes facores y las endencias que presena la inceridumbre. 30

48 Es necesario mencionar que una opción real es similar a una opción americana, pues los proyecos son ejecuables en cualquier puno en el iempo, no sólo al final del periodo de valuación del proyeco. Para mayor información consular Bhaacharya, (1978). 31

49 Capíulo III Valuación empírica del proyeco. 3.1 Análisis de los flujos de efecivo. Las empresas elaboran un repore de sus venas y gasos generados, en base a esos daos, obienen un diferencial que les permie conocer la uilidad obenida durane ese periodo, a eso se le conoce como flujos de efecivo. Los flujos de efecivo le permien a la empresa, omar decisiones sobre las inversiones, implemenar las medidas necesarias para el adecuado manejo de los recursos de los propiearios, además de ser un indicador imporane de la liquidez de la empresa. El valor de los acivos y de la deuda se obiene calculando el valor acual de los flujos, desconados a diferenes asas que reflejan el riesgo, de esa forma se ven reflejados los fondos generados por las operaciones de la empresa para los inversionisas. A coninuación se presena los flujos de la empresa minera durane el periodo del 31 de marzo de 2000 al 30 de sepiembre de Gráfica 1. Flujos de Efecivo. Elaboración propia con daos de Economaica. 32

50 En la gráfica 1 se muesran los flujos derivados anes de impuesos, el resulado operaivo del EBIT. Se puede observar que los flujos que presena la empresa durane el año 2000 son negaivos, eso se debe a que un año anes hubo una huelga en la minera, y eso represeno pérdidas para la empresa, pero a parir del año 2001 hasa el año 2010 presena flujos posiivos, los cuales reflejan la esabilidad que ha enido grupo peñoles durane dicho periodo. A parir del análisis de los flujos mencionados aneriormene, se realizo una proyección de 5 años, con el objeivo de verificar si la empresa seguía presenando la misma esabilidad o se había presenado algún cambio. A coninuación se muesra una gráfica en la cual se puede observar que los flujos pronosicados se comporan de manera esable, proporcionándole a la empresa minera la esabilidad necesaria para poder seguir operando. Gráfica 2. Flujos esimados. Elaboración propia con daos de Economaica. 33

51 3.2 Ajuse de ARMA y pronósicos. Los modelos ARMA, son comúnmene uilizados para series de iempo, respeco a esos exisen diversas ideas algunas muy viejas y oras recienes, en ese caso se uso la serie de iempo de los flujos de efecivo que presena la empresa minera del año 2000 al Primero se modela el proceso aurorregresivo (AR) donde, se obuvo un AR(1), se dice que la serie sigue un proceso auorregresivo de primer orden, el valor de los flujos en el iempo depende de su valor en el periodo anerior y de un érmino aleaorio. Mienras que los procesos de medias móviles MA, esablecen una relación de dependencia enre la variable que se modela y el ruido blanco e. En ese caso como sólo exise un reardo de la variable de ruido blanco será un proceso de media móvil de primer orden, o MA(1). En ese rabajo los daos presenaron caracerísicas de AR(1) y MA(1), al mismo iempo y por lo ano resula ser un modelo ARMA (1,1), eso significa que exise un érmino auorregresivo, uno de media móvil y un ermino consane. Poseriormene se realizo un pronósico de 5 años de los flujos de efecivo de la empresa minera. A coninuación se muesra un cuadro con los daos más significaivos del modelo y su inerpreación. Cuadro 4. Daos del modelo ARMA (1,1) Fuene: Elaboración propia con los daos obenidos de Eviewa. 34

52 La prueba Durbin Wason (DW) es usada para deecar la presencia de auocorrelación en los modelos de regresión, la principal caracerísica que presena es que la varianza es finia y por lo ano se raa de un proceso no explosivo. En ese caso se puede observar que no exise auocorrelación, ya que la relación enre los residuos será inermedia, por lo que el valor del esadísico ambién presenará un valor inermedio, además de que el valor esa denro de los parámeros esablecidos. Dado que se habla de un modelo de series de iempo, el ener un valor de en el coeficiene de bondad de ajuse es considerado acepable. La serie no presena endencia, observando que en primeras diferencias es esacionaria, una demosración formal esá dada por medio de la prueba de raíz uniaria de Dickey-Fuller (DF), en l a cual se observa que el modelo no presena raíces uniarias comprobando así que la serie es esacionaria. Lo mencionado aneriormene se basa en las hipóesis que presena la prueba, la primera es la hipóesis nula que dice que exise raíz uniaria es decir que la serie de iempo no es esacionaria, y la hipóesis alernaiva que la serie de iempo no iene raíz uniaria, por lo que será esacionaria. A coninuación se muesra la prueba de esacionariedad Kwiakowski Phillips Schmid - Shin (KPSS). En esa prueba los auores propusieron conrasar como hipóesis nula la idea de esacionalidad con endencias, esa es la principal diferencia que exise con las oras pruebas de raíces uniarias. La prueba KPPS, es muy úil ya que refleja si la serie es fraccionalmene inegrada, en el cuadro 5 se observa que el valor de la prueba es menor que el de los res esadísicos, por lo que se acepa la hipóesis nula de que exise esacionariedad en la serie. 35

53 Cuadro 5. Prueba KPPS. Elaboración propia con daos de EViews. Poseriormene se realizo la prueba de independencia de residuos Brock Decher y Scheinkman (BDS), en 1987 e implemenada en 1996 por LeBaron, basada en un es esadísico sobre la hipóesis nula que dice, que una serie emporal es Independiene e Idénica Disribuida ( i.i.d.). Comprueba que los residuos no esán relacionados en ningún nivel de inmersión, eso es una norma de orden p aproximada mediane una parición del inervalo analizado, y que por ano, ienen la misma disribución de probabilidad. La meodología consise en realizar la prueba sobre los residuos de la serie ajusada con el mejor reardo de un proceso auorregresivo, de esa manera se planea la idea de analizar la no linealidad. En el cuadro 6 se puede observar que los residuos cumplen con el supueso de ser independienes e idénicamene disribuidos. Cuadro 6. Prueba BDS Elaboración propia con daos de EViws 36

54 La prueba de Jarque Bera (JB), muesra si la asimería y la curosis coinciden con una disribución normal, en ese caso se puede observar en la gráfica 3 que la serie no cumple con el supueso de normalidad, pues el esadísico cae en la zona de rechazo de la hipóesis nula (normalidad). Gráfica 3. Prueba Jarque-Bera. Elaboración propia con daos de EViws. 3.3 Consrucción de las asas de descueno. El Modelo de Valoración del Precio de los Acivos Financieros o Capial Asse Procing Model, conocido como CAPM, es una de las herramienas más uilizadas en el ámbio financiero, ya que sirve para calcular la asa de reorno requerida para un deerminado acivo. La eoría económica de la empresa dice que solo se debe de operar en el puno donde el ingreso marginal sea exacamene igual al coso marginal. Por lo que si se aplica ese principio al supueso de capial, se debe de considerar la asa de rendimieno de la inversión, como el ingreso marginal; mienras que el coso marginal se considera equivalene al coso promedio ponderado de capial, ambién conocido como WACC. En base a lo referido aneriormene, la empresa solo debería inverir en aquellos proyecos en donde la asa de rendimieno sea igual a su coso de capial o sea superior a ese. 37