Proporcionalidad. Teoría

Transcripción

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2 1.- Proporcionalidad La proporcionalidad es una de las aplicaciones más interesantes y de mayor uso de los números racionales. Vamos a estudiar las diferentes relaciones de proporcionalidad qye pueden existir entre diferentes magnitudes Proporcionalidad directa Existen muchos casos de dos magnitudes relacionadas de forma que al aumentar una, la otra lo hace también en la misma proporción. Por ejemplo: La cantidad de patatas que compramos y lo que tendremos que pagar (a más patatas, más dinero). La distancia que hay desde tu casa al instituto y el tiempo que tardas en ir de un sitio al otro (a mayor distancia, más tiempo). Ejemplo: Cuatro amigos que van al cine deben pagar entre todos 20 para adquirir las entradas. Si en lugar de 4 amigos fueran solo 2, deberían pagar solo 14. Si por el contrario, fueran al cine el triple de amigos (12) tendrían que pagar el triple de dinero (84 ) Precio total ( ) Personas Como se puede ver en la tabla, si dividimos el precio de las entradas entre el número de las personas que van al cine obtenemos siempre una misma cantidad: 28 4 = 14 2 = = 7 Se trata, en este caso, del precio de una sola entrada (7 por entrada). En general, diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un cierto número, la otra resulta multiplicada (o dividida) por el mismo número. Siempre que dividamos dos magnitudes directamente proporcionales obtendremos un mismo número que denominamos constante de proporcionalidad. 2

3 1.2.- Regla de tres simple y proporciones Utilizamos la regla de tres directa cuando tenemos tres valores de dos magnitudes directamente proporcionales. Si dos de los valores, a y b, pertenecen a una misma magnitud y el tercer valor conocido, c, pertenece a la otra, podemos calcular el valor x que corresponde a la segunda magnitud para formar una proporción entre a, b, c y d. El procedimiento es el siguiente: Por ejemplo, podemos calcular cuánto nos costarán 5 kg de naranjas, sabiendo que 2 kg cuestan 2,30 : 2 kg 2,30 5 kg x Solución: por 5 kg de naranjas tendremos que pagar 5, La proporcionalidad inversa La proporcionalidad inversa entre dos magnitudes se produce si, cuando una crece, la otra decrece (o viceversa) en la misma proporción. En este caso, decimos que las dos magnitudes son inversamente proporcionales. Por ejemplo: La velocidad de una moto y el tiempo que tarda en completar un recorrido (a más velocidad, menos tiempo). La cantidad de pintores que pintan una casa y los días que tardarán en acabar la tarea (a más pintores, menos días). El número de niños que comerán un pastel y la porción que le tocará a cada uno (a más niños, menos pastel cada uno). 3

4 Ejemplo: Supongamos que seis pintores pintan una casa en 4 horas. Si el número de pintores se duplica (12 pintores), el tiempo para pintar la casa será la mitad (2 horas). Si, por el contrario, el número de pintores se reduce a una sexta parte (1 pintor) el tiempo que emplearía seria 6 veces el original (24 horas). Pintores Horas empleadas Se puede observar que si multiplicamos en cada caso el número de pintores por las horas nos da siempre la misma cantidad: 6 4 = 12 2 = 24 1 = 24 En este caso, esa cantidad fija es el número de horas que tardaría un solo pintor en completar el trabajo. Siempre que multipliquemos los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales obtendremos una cantidad fija que denominaremos constante de proporcionalidad inversa., La regla de tres inversa Utilizamos la regla de tres inversa cuando tenemos tres valores de dos magnitudes inversamente proporcionales. Si dos de los valores, a y b, pertenecen a una misma magnitud y el tercer valor conocido, c, pertenece a la otra, podemos calcular el valor x que corresponde a la segunda magnitud para formar una proporción entre a, b, c y d. El procedimiento es el siguiente: Por ejemplo, podemos calcular cuánto tardará en llenar un depósito un grifo que mana 8 litros de agua por minuto, sabiendo que un grifo de 18 litros por minuto tarda 12 horas. Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. 18 litros/min 12 h 8 litros/min x h 4

5 Solución: tardaría 27 horas en llenar el depósito. 3.- El porcentaje Un porcentaje, o tanto por ciento, es una forma de expresar una proporción como una fracción de denominador. Corresponde a la proporción entre una cantidad y. Se expresa como un número seguido del símbolo (%). Si calculamos el cociente de la fracción, obtenemos un coeficiente entre 0 y 1. Aplicar un porcentaje r a una cantidad C consiste en multiplicar la cantidad C por: r Por ejemplo, el 15 % de 200 se calcula: = = 30 Ejemplo: Una camiseta que cuesta 35 tiene un descuento del 20 %. Cuánto cuesta la camiseta? Si se le hace una rebaja del 20 %, la camiseta costará el 80 % de 35, es decir: 20 Solución: la camiseta cuesta = = = 28 Ejemplo: El número de suspensos de una clase, que era de 8, se ha incrementado en un 25%. Cuántos suspensos hay ahora? = = = 10 Solución: hay 10 suspensos 5

6 4.- El interés simple Llamamos interés al beneficio que produce una cantidad de dinero invertido, directamente proporcional a la cantidad invertida y al tiempo que dura el depósito. Si colocamos un capital C en un banco durante un año, la entidad nos dará un interés I, que se calcula aplicando un porcentaje r %, llamado rédito, a la cantidad C. Los elementos del interés simple CONCEPTO NOMBRE SÍMBOLO Cantidad prestada Capital C Tiempo del préstamo Tiempo t Beneficio por unidades al año Rédito r Beneficio del préstamo Interés I Si depositamos el capital durante un tiempo t, el total de intereses acumulados se calcula con las siguientes expresiones: Para el tiempo en años: I = C r t Al finalizar el período de tiempo, el banco nos devolverá nuestro capital inicial más los intereses. Ejemplo: Si ingreso en una cuenta bancaria 0 con un interés simple del 2% anual. Cuánto tendré me habrán rentado dentro de 6 años? I = = 120 Solución: tendré 120 euros más 6

7 5.- El interés compuesto El interés compuesto se produce cuando se invierte un capital C, a un tiempo t, a un rédito r % y, al vencer el plazo, los intereses no se retiran, sino que se añaden al capital. Después de esta operación, se calcula un nuevo plazo con el capital inicial más los intereses del plazo anterior. La fórmula del capital final (que se expresa con C f ) corresponde a una progresión geométrica: Ejemplo: en qué cantidad se convertirá un capital de , prestado al 4 % de interés anual, si se mantiene en el banco durante 3 años sin retirar los intereses? C f = (1 + 0,04) 3 = ,04 3 = ,12 Solución: se convertirá en ,12. 7