Fundamentos de Robótica

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1 Fundamentos de Robótica Cuaterniones Ricardo-Franco Mendoza-Garcia Escuela Universitaria de Ingeniería Mecánica Universidad de Tarapacá Arica, Chile June 9, 2014 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

2 Outline Outline 1 Introducción 2 Números Complejos Definición Operaciones El plano complejo Rotores 3 Cuaterniones 4 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

3 Introducción Outline 1 Introducción 2 Números Complejos Definición Operaciones El plano complejo Rotores 3 Cuaterniones 4 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

4 Introducción Introducción Los cuaterniones permiten representar rotaciones con menos parámetros que las matrices de rotación. También permiten la representación de traslaciones. Debido a que su manejo computacional demanda menos memoria que las matrices de transformación homogéneas, son una herramienta matemática común en la implementación de algoritmos de control de robots. Aunque son más abstractos que las transformaciones, son relativamente fáciles de entender remarcando sus analogías con números complejos. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

5 Outline 1 Introducción 2 Números Complejos Definición Operaciones El plano complejo Rotores 3 Cuaterniones 4 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

6 Definición Definición El conjunto de números complejos, C, se define como: z = a + bi; a, b R; i 2 = 1 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

7 Operaciones Suma (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i Resta (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 )i Multiplicación por un escalar λ(a + bi) λa + λbi R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

8 Operaciones Multiplicación de números complejos z 1 = (a 1 + b 1 i) z 2 = (a 2 + b 2 i) z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 a 2 i + b 1 b 2 i 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 )i Cuadrado de un número complejo z = (a + bi) z 2 = (a + bi)(a + bi) = (a 2 b 2 ) + 2abi R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

9 Operaciones Conjugado de un número complejo (z ) z = (a + bi) z = (a bi) La multiplicación de un complejo por su conjugado da un resultado especial: Multiplicación de un complejo por su conjugado z = (a + bi) z = (a bi) zz = (a + bi)(a bi) = a 2 abi + abi + b 2 = a 2 + b 2 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

10 Operaciones Valor absoluto de un número complejo z = (a + bi) z = zz = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

11 Operaciones Cociente de dos números complejos z 1 = (a 1 + b 1 i) z 2 = (a 2 + b 2 i) z 1 = a 1 + b 1 i z 2 a 2 + b 2 i = (a 1 + b 1 i)(a 2 b 2 i) (a 2 + b 2 i)(a 2 b 2 i) = a 1a 2 a 1 b 2 i + b 1 a 2 i b 1 b 2 i 2 a b2 2 = a 1a 2 + b 1 b 2 a b2 2 + b 1a 2 a 1 b 2 a2 2 + i b2 2 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

12 Operaciones Potencias de i i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = ii 2 = i i 4 = i 2 i 2 = 1 i 5 = ii 4 = i i 6 = ii 5 = i 2 = 1 Luego, se repite un patrón: (1, i, 1, i, 1,... ) R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

13 Operaciones... y un patrón similar se repite al incrementar potencias negativas: Potencias de i i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 Luego, se repite un patrón: (1, i, 1, i, 1,... ) R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

14 El plano complejo El plano cartesiano Se repite un patrón similar rotando en sentido anti-horario: (x, y, x, y, x,... ) R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

15 El plano complejo El plano complejo Se repiten las potencias de i" girando en sentido anti-horario: (1, i, 1, i, 1,... ) R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

16 El plano complejo Ejemplo de rotación: p = 2 + i q = p i resulta en: p = 2 + i q = pi = (2 + i)i = 2i + i 2 = 1 + 2i s = r i resulta en: r = 2 i s = ri = ( 2 i)i = 2i i 2 = 1 2i... luego se repite la secuencia. r = q i resulta en: q = 1 + 2i r = qi = ( 1 + 2i)i = i + 2i 2 = 2 i t = s i resulta en: s = 1 2i t = si = (1 2i)i = i 2i 2 = 2 + i R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

17 El plano complejo El plano complejo R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

18 Rotores Rotores Se pueden hacer rotaciones arbitrarias, θ, mediante la multiplicación por un número complejo: q = cos θ + i sin θ... p = a + bi q = cos θ + i sin θ pq = (a + bi)(cos θ + i sin θ) a + b i = a cos θ b sin θ + (a sin θ + b cos θ)i O mediante representación matricial... [... a b ] [ ] [ ] cos θ sin θ a b b a = sin θ cos θ b a R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

19 Cuaterniones Outline 1 Introducción 2 Números Complejos Definición Operaciones El plano complejo Rotores 3 Cuaterniones 4 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

20 Cuaterniones Definiciones Los cuaterniones están compuestos de 4 elementos: uno real, q 0, y tres imaginarios, q 1, q 2 y q 3. La parte imaginaria se puede considerar un vector 3D. Para rotar vectores 3D utilizando cuaterniones, se utiliza el siguiente rotor:... aplicado de la siguiente forma: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

21 Cuaterniones Definiciones Una rotación Q 1 seguida de una rotación Q 2 se compone simplemente como:,... en ese orden. La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

22 Cuaterniones Definiciones Además: Traslación seguida de rotación: Rotación seguida de traslación: Con Q y p definidos con respecto al sistema de referencia móvil. Traslación seguida de rotación: Rotación seguida de traslación: Con Q y p definidos con respecto al sistema de referencia fijo. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

23 Cuaterniones Ejemplo R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

24 Referencias Outline 1 Introducción 2 Números Complejos Definición Operaciones El plano complejo Rotores 3 Cuaterniones 4 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25

25 Referencias Bibliografía Barrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007, Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, / 25