Análisis teórico-numérico para la estimación de las propiedades elásticas en materiales compuestos unidireccionales utilizando micromecánica

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1 Tea Aa Materiales: Materiales copuestos. Análisis teórico-nuérico para la estiación de las propiedades elásticas en ateriales copuestos unidireccionales utilizando icroecánica López-Santos F., Ledesa-Orozco Elías R., A. Hernández-Pérez Universidad de Guanajuato.División de Ingenierías Capus Irapuato-Salaanca. Carretera Salaanca-alle de Santiago k , C.P., Counidad de Palo Blanco, Salaanca,Gto., México. *López-Santos Francisco. Dirección de correo electrónico: R E S U M E N Este trabajo presenta un análisis teórico-nuérico para la estiación de las propiedades elásticas de una láina de aterial copuesto, ibra de vidrio/epoxi, con ibras unidireccionales. Los ódulos de elasticidad longitudinal y transversal a la ibra, E y E ; los ódulos cortantes en el plano y uera del plano, G y G 3, y la razón de Poisson en el plano, ν, son evaluados para dierentes volúenes de ibra,, ediante odelos icroecánicos teóricos y un odelo nuérico, basado en el étodo de eleento inito (FEM). El sotware coercial ANSYS, es utilizado para realizar el análisis nuérico. Los resultados teóricos y nuéricos son presentados y coparados con valores reportados en la literatura, lo cual perite discernir sobre la pertinencia de cada odelo en la deterinación de la propiedad elástica de interés. Palabras Clave: Propiedad elástica, Laina, Unidireccional, oluen de ibra, En el plano, Fuera del plano. A B S T R A C T This paper presents a theoretical-nuerical analysis or the estiation o the elastic properties o a lainate o coposite aterial, glass iber/epoxy, with unidirectional ibers. The longitudinal and transversal Young s oduli, E y E ; the inplane and out-plane shear oduli, G y G 3, and the Poisson's ration, ν, are evaluated or dierent iber volues,, using analytical icroechanical odels and a nuerical odel, based on the inite eleent ethod (FEM). Coercial ANSYS sotware is used to peror nuerical analysis. The theoretical and nuerical results are presented and copared with values reported in the literature, which allows to deterine the relevance o each odel in the elastic property o interest. Keywords: Elastic property, Lainate, Unidirectional, Fiber volue, In-plane, Out-plane.. Introducción Los ateriales copuestos utilizan las propiedades, icroestructura e interacción de sus constituyentes para ejorar su coportaiento ecánico a grandes escalas. Un aterial copuesto es la cobinación de dos o ás ateriales distintos para orar un nuevo aterial con propiedades ejoradas. Actualente, los ateriales copuestos son reeridos a ateriales que contienen ibras resistentes, ibras continuas o discontinuas, ebebidas en un aterial ás débil o atriz. La atriz antiene el arreglo geoétrico de las ibras y les transite la carga actuante en el coponente, abricado con el aterial copuesto. Un aterial copuesto tiene la característica de ser heterogéneo y anisotrópico. Para ateriales heterogéneos coo los ateriales copuestos, un aplio núero de propiedades son requeridos y la deterinación experiental de estas propiedades es un proceso caro y tedioso []. Adeás, las propiedades cabian coo una unción de la racción de voluen del reuerzo. Una alternativa o al enos un copleento a la experientación, es usar técnicas de hoogeneización para predecir las propiedades elásticas del copuesto en térinos de las propiedades elásticas de los constituyentes, atriz y ibra. Dado que los odelos son basados en un odelado ás o enos exacto de la ISSN MM 35 Derechos Reservados 7, SOMIM

2 icroestructura, estos son llaados odelos icroecánicos y las técnicas utilizadas para aproxiar los valores de las propiedades elásticas son llaados técnicas o étodos icroecánicos []. Los odelos icroecánicos pueden ser clasiicados en epíricos (enoque de la ecánica de ateriales) [3,4], coo la regla de ezclas (ROM) [5] y la inversa de la regla de ezclas (IROM) [6]; seiepíricos, coo la regla de ezclas odiicada (MROM) [7], Halpin-Tsai (H-T) [8], Chais [9] y el odelo de esuerzos de paráetro dividido (SPP) []; analíticos, coo el odelo de ensable de cilindros concéntricos (CCA) [], icroestructura periódica (PMM) [] y el étodo de celdas (MOC) [] y odelos nuéricos. El objetivo de este trabajo es presentar un análisis teóriconuérico para la estiación de las propiedades elásticas de una láina de aterial copuesto, ibra de vidrio/epoxi, con ibras unidireccionales, para dierentes volúenes de ibra,. Dicho análisis, se realiza utilizando diversos odelos icroecánicos y un odelo nuérico, con la inalidad de veriicar su eicacia para deterinar las propiedades elásticas. Los resultados teóricos y nuéricos son presentados y coparados con valores reportados en la literatura, se presenta adeás una discusión sobre qué odelo es ás adecuado para estiar una propiedad elástica especiica.. Material.. Estructura Una láina de aterial copuesto unidireccional (UD) es un producto seiterinado (reuerzo ás resina), en la cual ibras de reuerzo son colocadas paralelas una respecto de otra en una dirección particular y representa una capa delgada cuasi bidiensional, Figura. El sistea coordenado x, y, z, es colocado de tal anera que las ibras están orientadas en el eje x, la dirección transversal a las ibras en el eje y, y el espesor de la láina en la dirección z. [3]... Materiales constitutivos Para este estudio la láina de aterial copuesto está constituida por ibras de vidrio coo reuerzo, el cual tiene un coportaiento isotrópico y resina epoxi coo atriz, la cual tabién tiene propiedades isotrópicas. La tabla, uestra las propiedades ecánicas de cada uno de los constituyentes. Tabla Propiedades ecánicas de los ateriales constitutivos []. Modulo elástico E (GPa) Razón de Poisson ν Fibra de idrio (reuerzo) 3.4. Epoxi (Matriz) Consideraciones del aterial Utilizando icroecánica, la cobinación de dos ateriales isotrópicos (ibra y atriz) es representada coo un aterial equivalente hoogéneo y anisotrópico. En general los ateriales copuestos UDs presentan propiedades ortotrópicas en la esoescala (a nivel de láina). Para este caso, el aterial exhibe propiedades isotrópicas en un plano transversal a las ibras (isas propiedades en el plano y-z, Figura ), la respuesta eectiva es transversalente isotrópica en la esoescala [3]. Por lo anterior, la rigidez del aterial equivalente queda representada por cinco propiedades elásticas: ódulo de elasticidad en la dirección de la ibra, E ; ódulo de elasticidad transversal a la dirección de la ibra, E ; ódulo cortante en el plano, G ; ódulo cortante uera del plano, G 3 y la razón de Poisson en el plano, ν []. 3. Modelos analíticos Existen varios enoques para la deterinación de las propiedades elásticas en ateriales copuestos UDs, cada uno presentando dierente nivel de coplejidad y exactitud, según la propiedad elástica buscada. Para este estudio se uestra una orulación para la deterinación de cada una de las propiedades elásticas; la orulación copleta para cada uno de los odelos icroecánicos utilizados en este estudio puede ser revisada en las reerencias citadas en la tabla. 3.. Módulo de elasticidad longitudinal Figura Estructura de una láina de aterial copuesto unidireccional. El ódulo longitudinal o ódulo de elasticidad en la dirección de la ibra, puede ser predicho uy bien ediante la regla de ezclas (ROM). La principal consideración en esta orulación es que la deoración tanto en la ibra coo en la atriz son las isas. Esto iplica que la unión entre ibra y atriz sea perecta, Figura. ISSN MM 36 Derechos Reservados 7, SOMIM

3 A A (6b) Para el aterial equivalente hoogéneo E (7) Relacionando (3) con (6) Figura oluen de eleento representativo (RE) sujeto a deoración longitudinal uniore []. De la deinición de deoración L L () Dado que tanto la ibra coo la atriz son isotrópicas y elásticas, sus leyes esuerzo-deoración son E (a) E E E (8) Sabiendo que, + =, entonces la regla de ezclas se expresa coo E E E( ) (9) Que puede reescribirse coo E E ( E ) () E (b) El esuerzo proedio σ actua en toda el área del RE, cuya expresión es A A A (3) La carga total aplicada es 3.. Módulo de elasticidad transversal En la deterinación del ódulo en la dirección transversal a las ibras, la principal consideración es que el esuerzo es el iso en la ibra y la atriz, esta consideración es necesaria para antener la condición de equilibrio en la dirección transversal. Nuevaente, esta consideración iplica que la unión entre ibra y atriz sea perecta, Figura 3. P A A A (4) Entonces ( ) E E (5) Donde, racción de voluen de ibra y, racción de voluen de atriz, están dadas por A (6a) A Figura 3 oluen de eleento representativo (RE) sujeto a esuerzo uniore transversal []. Dado que se asue que la ibra y la atriz son ateriales elástico lineales, las deoraciones en la ibra y la atriz son ISSN MM 37 Derechos Reservados 7, SOMIM

4 (a) E (b) E Estas deoraciones actúan sobre una porción del RE, ε sobre W, y ε sobre W, ientras la deoración proedio ε actúa sobre el ancho entero W. la elongación total es W W W () Cancelando W y utilizando la ley de Hooke para los constituyentes, los cuales son isotrópicos (3) E E Dado que el esuerzo es el iso en la ibra y la atriz (σ = σ = σ ) (4) E E Entonces utilizando la ley de Hooke para el aterial equivalente (σ = E ε ), el ódulo transversal está dado por (5) E E E La ecuación (5) es conocida coo la inversa de la regla de ezclas (IROM). Una ejor predicción puede ser obtenida con la orulación seiepírica de Halpin-Tsai [8] curva con los resultados de una solución analítica. El valor ζ =, generalente da buen ajuste para el caso de ibras cuadradas o circulares Razón de Poisson en el plano La razón de Poisson es deinida coo el enos cociente de la deoración resultante sobre la deoración aplicada, coo sigue j ij (8) i Esto es, en una prueba en la cual la carga es aplicada en la dirección i, la deoración es inducida por el eecto de Poisson en la dirección j. La ecánica de ateriales perite establecer una ecuación de regla de ezclas para la razón de Poisson en el plano, coo (9) Dado que la razón de Poisson de la atriz y las ibras no son uy dierentes, la ecuación (9) predice un valor adecuado para el copuesto Módulo cortante en el plano El esuerzo cortante en el plano σ 6 = τ = τ, deora al copuesto coo en la Figura 4, el odelo de la ecánica de ateriales establece una ecuación de inversa de la regla de ezclas (IROM) [6] para el ódulo cortante en el plano () G G G La inversa de la regla de ezclas puede ser reescrita coo () G G G E E (6) Donde ( E / E) ( E / E ) (7) Donde ζ es un paráetro epírico obtenido por ajuste de Figura 4 Distinción entre esuerzo cortante plano e intralainar, (a) cortante, σ 6, en el plano; (b) Esuerzo cortante intralainar, σ 4 []. ISSN MM 38 Derechos Reservados 7, SOMIM

5 Si las ibras son ás rígidas que la atriz (G G ), el ódulo cortante en el plano puede ser aproxiado por G G () La IROM da una aproxiación, pero no es exacta en la predicción del ódulo cortante en el plano. El odelo de cilindros concéntricos ensablados (CCA) [], da una ejor aproxiación G G ( ) ( ) G / G ( ) ( ) G / G 3.5. Módulo cortante uera del plano (3) El esuerzo cortante uera del plano (intralainar) σ 4 = τ 3 = τ 3 actúa a través del espesor del copuesto, coo se uestra en la Figura 4 (b). el ódulo cortante intralainar puede ser estiado utilizando la técnica de esuerzo seiepírico de paráetro dividido (SPP) [], coo Analíticos Ensablaje de cilindros concéntricos (CCA) [] Microestructura periódica (PMM) [] Método de celdas (MOC) [] 4. Modelo nuérico 4.. Modelo El odelo nuérico está basado en un étodo de hoogeneización nuérica para ateriales copuestos con estructura periódica []. Se considera que las ibras son cilíndricas y largas ebebidas en un atriz elástica y ordenadas periódicaente en un arreglo cuadrado. Debido a este arreglo, es posible deinir tres tipos de coniguraciones para un voluen de eleento representativo, Figura 5. Las ibras están alineadas con el eje x e igualente espaciadas (a =a 3). G 3 G 4 ( ) 4 ( ) G / G (4) Donde 34 G / G 4 4( ) 3.6. Modelos icroecánicos (5) Los odelos icroecánicos teóricos considerados en este estudio se presentan en la tabla, la orulación copleta utilizada para cada odelo puede veriicarse en cada una de las reerencias citadas. Figura 5 Tres posibles representaciones del eleento de voluen representativo (RE) para el aterial copuesto con un arreglo cuadrado periódico de ibras []. En este estudio se considera la representación hexagonal para el arreglo de las ibras en el aterial copuesto, coo se uestra en la Figura 6. Los paráetros a, a y a 3, representan la longitud del aterial, la distancia entre ibras en la dirección transversal y la distancia entre ibras a través del espesor respectivaente. Tabla Modelos icroecánicos teóricos considerados en el análisis. Modelo Reerencia Epíricos Regla de ezclas (ROM) [5] Regla de ezclas inversa (IROM) [6] Seiepíricos Regla de ezclas odiicada (MROM) [7] Halpin-Tsai (H-T) [8] Chais [9] Esuerzos de paráetros divididos (SPP) [] Figura 6 Material copuesto con arreglo hexagonal []. ISSN MM 39 Derechos Reservados 7, SOMIM

6 La sección transversal del copuesto se obtiene intersecando con un plano ortogonal al eje de las ibras, coo se uestra en la Figura 7, la cual, claraente uestra una estructura periódica. 4.. Materiales constitutivos El aterial considerado para las ibras de reuerzo es ibra de vidrio, el cual tiene un coportaiento isotrópico y resina epoxi para la atriz, la cual tabién tiene propiedades isotrópicas. Las propiedades ecánicas son ostradas en la tabla Eleento El eleento seleccionado es SOLID 86, que es un eleento sólido 3D de alto orden con nodos que exhiben un coportaiento de desplazaiento cuadrático. Cada nodo tiene tres grados de libertad y traslaciones en las direcciones x, y y z. Figura 7 Sección transversal del aterial copuesto []. Debido a esta periodicidad, el eleento de voluen representativo (RE) tridiensional ostrado en la igura 8, se utiliza para el análisis de eleento inito Malla El odelo con la alla se uestra en la Figura. Figura Malla del odelo. Figura 8 Eleento de voluen representativo []. Debido a la sietría del RE y la sietría de las condiciones de rontera, solo un octavo del RE es necesaria para realizar el análisis. Considerando la parte rontal superior derecha para análisis, Figura Condiciones de rontera y carga Para deterinar las propiedades elásticas del aterial copuesto UD, se requiere obtener inicialente las coponentes de la atriz elástica C del copuesto; entonces, el RE es soetido a una deoración proedio [4]. Seis coponentes de deoración ij, son aplicadas por iponer las siguientes condiciones de rontera en las coponentes de desplazaiento.,,,, u a x x u a x x a (6) i 3 i 3 i Con las condiciones: a x a y a3 x3 a3 Figura 9 Un octavo del RE. Hay que notar que el odelo tiene orientada las ibras en la dirección del eje z, el cual corresponde al eje x en las ecuaciones.,,,, u x a x u x a x a (7) i 3 i 3 i Con las condiciones: a x a y a3 x3 a3,,,, u x x a u x x a a (8) i 3 i 3 3 i3 Con las condiciones: a x a y a x a. ISSN MM 4 Derechos Reservados 7, SOMIM

7 El superíndice indica una deoración aplicada, ientras una barra indica un voluen proedio. Adeás, a ij es el desplazaiento necesario para iponer una deoración ij sobre una distancia a j, Figura 8. Las coponentes de la atriz de rigidez C son deterinadas resolviendo seis odelos elásticos del RE sujeto a las condiciones de rontera (6-8), donde solo una coponente de la deoración es dierente de cero para cada problea. Por ejeplo, para deterinar las coponentes C i de la ecuación (3), con i,,3, una deoración se aplica para extender al RE en la dirección de la ibra (dirección x ) y ; esto se logra aplicando condiciones de sietría en los planos x =, x =, x 3= e iponiendo un desplazaiento uniore en el plano x =a, Figura. C C C C C C 3 3 C C3 C 3 4 / / ( C C3) 4 C C (3) Donde el eje está alineado con la ibra y la barra superior indica el proedio calculado en el RE. Una vez que las coponentes de la atriz de rigidez C, son conocidos, las cinco propiedades elásticas del aterial hoogeneizado pueden ser calculadas coo sigue 3 E C C / C C (3a) 3 C / C C (3b) / E C C C3 C C C3 CC C (3c) C / C C / C C C (3d) Figura Planos sobre los que se aplican las condiciones de rontera Deterinación de las propiedades elásticas. Para el aterial copuesto hoogéneo la relación entre los esuerzos proedio y las deoraciones es C (9) Una vez que las condiciones de rontera son aplicadas, se aplica un valor unitario de deoración, se resuelve el odelo y entonces es posible deterinar el capo de esuerzo σ α, los cuales dan los proedios requeridos para la atriz elástica, una coluna a la vez, coo C x, x, x3 d (3) Con ε β = y donde α, β=..6. Los esuerzos y las deoraciones proedio están relacionados a través de la atriz de rigidez C, para un aterial transversalente isotrópico, coo G C (3e) 66 El Módulo cortante en el plano transversal G 3 puede ser obtenido coo sigue E G3 C44 / C C3 5. Resultados 3 (33) Los valores de las constantes elásticas deterinadas para cada uno de los odelos icroecánicos analizados y los valores deterinados con el odelo nuérico, son coparados con los valores reportados en la literatura [], para el étodo de celdas (MOC), Figuras 3.-3., págs. 3,3, y que se reproducen coo reerencia. Las Figuras -5, uestran los resultados obtenidos para cada uno de los odelos teóricos analizados y para el odelo nuérico. 5.. Módulo elástico longitudinal De la Figura, puede notarse que todos los odelos investigados concuerdan bien con los valores de reerencia (MOC). Cabe encionar que los odelos ROM, MROM, H-T y Chais coparten la isa orulación para E. ISSN MM 4 Derechos Reservados 7, SOMIM

8 Figura Predicciones teóricas y nuérica para E coo unción de. 5.. Módulo elástico transversal La predicción del ódulo elástico transversal E, en contraste con E, uestra un cabio iportante en los odelos investigados; en esta propiedad puede notarse el potencial de odelar con eleento inito (FEM), el cual concuerda bien con los datos de reerencia. Los odelos teóricos que ejor se ajustan a los resultados de reerencia (MOC), son Chais y SPP. Figura 3 Predicciones teóricas y nuérica para ν coo unción de Modulo cortante en el plano Para esta propiedad, G, existe un coportaiento siilar a E. Los resultados nuéricos (FEM) concuerdan bien con los datos de reerencia. Los odelos teóricos que ejor se ajustan a los resultados de reerencia (MOC), son H-T, SPP y PMM. Figura Predicciones teóricas y nuérica para E coo unción de Razón de Poisson en el plano Para esta propiedad, ν, todos los odelos ajustan bien, debido al orden de agnitud puede notarse una ligera desviación entre odelos. Puede notarse tabién que hay odelos que coparten exactaente la isa orulación para esta propiedad, ROM, MROM y Chais, el odelo nuérico (FEM) concuerda con CCA, Halpin-Tsai y PMM. Figura 4 Predicciones teóricas y nuérica para G coo unción de Modulo cortante uera del plano Aunque no todos los odelos predicen esta propiedad, G 3, puede observarse que FEM predice con buena exactitud los valores reportados. El odelo teórico que ejor predice esta propiedad es Chais. ISSN MM 4 Derechos Reservados 7, SOMIM

9 No todos los odelos predicen el ódulo cortante uera del plano G 3; FEM concuerda con buena exactitud con los valores reportados. El odelo teórico que ejor predice esta propiedad es Chais. E depende linealente de y de las propiedades de los ateriales constituyentes. Para E, las ibras no contribuyen de anera iportante a la rigidez en la dirección transversal del aterial copuesto, siendo la propiedad de la atriz la que predoina. Para la predicción de G y G 3, los odelos teóricos uestran que se han requerido actores de ajuste seiepíricos para auentar el nivel de exactitud en la predicción. Figura 5 Predicciones teóricas y nuérica para G 3 coo unción de. 6. Conclusiones Se realizó un análisis teórico-nuérico para la estiación de las propiedades elásticas de una láina unidireccional de aterial copuesto, ibra de vidrio/epoxi. Las propiedades elásticas ueron evaluadas para dierentes volúenes de ibra,, ediante odelos icroecánicos teóricos y un odelo nuérico, basado en el étodo de eleento inito (FEM). Los resultados teóricos y nuéricos ueron presentados y coparados con valores reportados en la literatura, lo cual peritió discernir sobre que odelos son ás adecuados para deterinar una propiedad especiica. Por lo anterior, puede concluirse lo siguiente: En la estiación del ódulo elástico longitudinal E, todos los odelos concuerdan de buena anera, por lo que cualquiera de ellos puede predecir adecuadaente dicha propiedad. La predicción del ódulo elástico transversal E, uestra un cabio iportante en los odelos investigados; para esta propiedad puede notarse el potencial de odelar con eleento inito (FEM), el cual concuerda bien con los valores de reerencia. Los odelos teóricos que ejor concuerdan son Chais y SPP Para deterinar la razón de Poisson ν, todos los odelos concuerdan adecuadaente, aunque debido al orden de agnitud se aprecia una ligera desviación. Puede notarse, que hay odelos que coparten la isa orulación para esta propiedad, ROM, MROM y Chais, el odelo nuérico (FEM) concuerda con CCA, Halpin-Tsai y PMM. Para odulo cortante en el plano G, el resultado nuérico (FEM) concuerda bien con los valores de reerencia (MOC). Los odelos teóricos que ejor se ajustan son H-T, SPP y PMM. REFERENCIAS [] E. J. Barbero, Introduction to Coposite aterials Design (Second Edition). CRC Press (). [] E. J. Barbero, Finite eleent analysis o coposite aterials using ANSYS. CRC press (3). [3] R. M. Jones, Mechanics o Coposite Materials. Taylor and Francis, Washington, D.C. (975). [4] I. M. Daniel and O. Ishai, Engineering Mechanics o Coposite Materials (Second Edition). Oxord University Press, UK, (7). [5] D. Gay, Coposite aterials: design and applications. CRC press (4). [6] J. Aboudi, Mechanics o coposite aterials: a uniied icroechanical approach, Elsevier 9 (3). [7] L. P. Kollár, G. S. Springer, Mechanics o coposite structures. Cabridge university press (3). [8] J.C. Halpin, J.L. Kardos, The Halpin-Tsai equations: A review, Polyer Engineering and Science 6 (976) 5. [9] C.C. Chais, Mechanics o coposite aterials: past, present, and uture. J Copos Technol Res ASTM (989). [] S. W. Tsai, H. T. Hahn, Introduction to Coposite Materials. Technoic, Lancaster, PA (98). [] Z. Hashin, B. W. Rosen, The elastic oduli o iberreinorced aterials. Journal o applied echanics 3(964). [] J. Aboudi, M.A. Steven, B.A. Bednarcyk. Microechanics o coposite aterials: a generalized ultiscale analysis approach. Butterworth-Heineann (). [3] C.T. Herakovich, Mechanics o ibrous coposites, New York: John Wiley & Sons, Inc. (998). [4] Y.M. Tarnolpolsky, T. Kincis, Static Test Methods or Coposites, an Nostrand Reinhold Copany, New York (98). [5] ANSYS release.. ISSN MM 43 Derechos Reservados 7, SOMIM