Generadores de Números Aleatorios-Pruebas. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

Transcripción

1 Generadores de Números Aleatorios-Pruebas Jorge Eduardo Ortiz Triviño

2 Contenido: Qué entendemos por secuencia de números aleatorios? Cómo se generan n. aleatorios Generadores congruenciales lineales Propiedades de los GCL Otros tipos de generadores De Tausworthe ( feedback shift register ) Barajados (??) ( shuffled ) Pruebas para generadores de números aletorios.

3 Validación de Generadores Congruenciales Finalmente la fase de validación se basa en ciertas propiedades estadísticas que deben cumplirse a la salida de los generadores de n aleatorios. Los Test empíricos que veremos a continuación son genéricos y pueden usarse en la evaluación de generadores de n aleatorios, en generadores de variables aleatorias y en la modelación de entradas de modelos de simulación. La mayoría de los Test se encuentran disponibles en paquetes estadísticos comerciales. SAS, Statistica, etc.

4 Validación de N os Aleatorios 1) Test Este es un test de Bondad de Ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso apoyo en la aceptación. Dada una muestra X 1, X,..., X n de una F x (x) desconocida. Se desea contrastar. H o : F x (x) = F o (x) v/s H 1 : F x (x) F o (x)

5 Validación de N os Aleatorios Efectuando una partición del soporte de X en k subconjuntos I 1, I,..., I k : I X I I i i j k f i ei ~ i1 ei asint ( k1) f i : frecuencia absoluta del subconjunto i-ésimo (I i ) e i : número de observaciones esperadas en I i bajo H o

6 Validación de N os Aleatorios Obs: 1) Este Test considera aleatoridad de F o = U(0,1) ) Este Test también permite contrastar la uniformidad S-dimensional de X 1 = (u 1, u,..., u s ); X = (u s+1, u s+,..., u s );... X n = (u (n-1)s+1,..., u ns ) en F o = [0,1] s [Distribución uniforme en el hipercubo]

7 ) Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S) Sea F o una función de distribución continua y sea F n la función de distribución empírica de la muestra. Bajo H o : F x (x) = F o (x) se espera que F n se aproxime a F o D n = Sup F n (x) - F o (x) x R La distribución exacta de D n está tabulada para valores n 40 y distintos niveles de significación. Para muestras grandes se utiliza la distribución asintótica de D n dada por lim n P( Validación de N os Aleatorios nd n z) L( z) 1 i1 ( 1) i1 e i z

8 Test de Kolmogorov - Smirnov Obs: En el caso particular de aleatoridad se considera X (1) < X () <... < X (n) estadísticos de orden F o (X (i) ) = X (i) ^ F n (X (i) ) = i/n D n = máx 1in i máx X ( i) ; X ( i) n i 1 n

9 Validación de N os Aleatorios 3) Test de Rachas Dada la sucesión de n observaciones construimos la sucesión de símbolos binarios definida por 1 0 si si X X i i X X i1 i1 Definimos racha creciente (decreciente) de longitud L a un grupo seguido de L números 1(+) ó números 0(-). Contando el número de rachas. Bajo aleatoridad de la muestra se espera que su distribución asintótica sea normal: N n 1 16n 9 ; 3 90

10 Ejemplo: Considere la siguiente secuencia de 0 números aleatrorios L=14 E[L]= 13, V[L]=3.3 Z = (14-13) / 3. 3 Z = 0.55 comparado con el valor crítico N ( 13 ;3.3) El supesto de independencia no puede ser rechazado

11 Test de Rachas Test de Rachas por encima y debajo de la mediana. Se cuentan el número de observaciones que se sitúan a un mismo lado de la mediana. La distribución asintótica del número de rachas bajo aleatoridad es normal: N n 1 ; n

12 Test Serial 4) Test Serial Este Test se usa para contrastar el grado de aleatoriedad entre números aleatorios sucesivos de una secuencia. [Extensión del test Chi-Cuadrado] Sea X 1 = (u 1,..., u k ) X = (u k+1,..., u k )... X n = (u (n-1)k+1,..., u nk ) Consideremos la n (k-úplas). Se desea contrastar que X 1, X,..., X n son v.a.i.i.d. uniformemente distribuidas en el hipercubo k- dimensional unitario.

13 Test Serial Dividiendo el hipercubo r k en hipercubos elementales de volumen 1/r k y sea V j1, j,..., jk el número de k-úplas que caen dentro del elemento usando la estadística : j j i i 1 ; i 1,,..., k j 1, r r r,..., y k r n j 1, j r,..., j k 1 V n j,,..., ~ 1 j j k k k ( r 1) gl r

14 Test Serial Caso Especial (k=) X 1 = (u 1, u ) X = (u 3, u 4 )... X n/ = (u (n-1), u n ) Particularmente el eje X e Y en r subintervalos de igual longitud, generando r -cubos del mismo tamaño. El número de pares esperado por cubo es n r

15 Test Serial Sea n ij : el número de pares en el cuadrado (i, j) i = 1,r j =1,r Entonces la estadística y r r r n n ~ ij n ( ( 1) ) r gl i 1 j 1 r

16 Validación de N os Aleatorios Otros Test son: Test de Permutaciones Test de Poker Test de Dependencia Test de longitud de rachas etc.