Inferencia estadística Selectividad CCSS MasMates.com Colecciones de ejercicios

Transcripción

1 1. [ANDA] [SEP-B] a) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm, con un nivel de confianza del 98%. b) Dada la población {10,12,17}, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales. 2. [ANDA] [SEP-A] En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de martalidad de esa especie. Para ello se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos y tomando como nivel de significación 0.015, se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis H 0 : p 0.4, donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco? 3. [ANDA] [JUN-B] Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80, 83, 87, 95, 86, 92, 85, 83, 84, 95. Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. a) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación = b) Con los datos de esta muestra, qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación? 4. [ANDA] [JUN-A] Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%: a) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera. b) Calcule el error cometido en el intervalo anterior. 5. [ARAG] [SEP-B] La temperatura durante los meses de verano en una ciudad sigue una distribución normal con una desviacióntípica de 5º. Elegida una muestra y con un nivel de confianza del 98%, se obtiene el intervalo (25º,30º). Calcule la media y eltamaño de la muestra elegida. Detalle los pasos realizados para obtener los resultados. 6. [ARAG] [JUN-B] El consumo bimestral de energía eléctrica de una población de 100 personas se distribuye normalmente con una media de 59 Kwh y una desviación típica de 6 Kwh. Calcule el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 97%. Detalle los pasos realizados para obtener los resultados. 7. [ASTU] [SEP-B] Antes de la puesta en marcha de un plan de prevención de riesgos laborales, el tiempo medio perdido por bajas laborales era de 30 horas al año. Para comprobar si el plan ha sido efectivo se tomó una muestra aleatoria de 225 trabajadores, obteniéndose que el tiempo medio perdido por bajas laborales fue de 27 horas al año. Si el tiempo anual perdido por trabajadoren accidentes laborales sigue una distribución normal con desviación típica 10, a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el plan no ha dado los resultados esperados, frente a que, como parece, la media ha bajado de las 30 horas. b) A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(4'5) = 1, F(1'96) = 0'975, F(1'64) = 0'95, F(0'95) = 0'83, F(0'05) = 0'52.) 8. [ASTU] [JUN-B] En las pasadas elecciones el porcentaje de participación fue del 75%. Después de emitir un spot para fomentar la participación en las próximas elecciones, se realiza una encuesta seleccionando al azar a 3025 personas del censo electoral, de las cuales 2541 dicen que irán a votar y el resto responden que no lo harán. a) Plantea un test para contrastar que el spot no ha surtido el efecto esperado, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho, tal como parecen indicar los datos. b) A qué conclusión se llega con el contraste anterior a un nivel de significación del 4%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(11'43) = 1, F(2'05) = 0'98, F(1'75) = 0'96, F(0'96) = 0'83, F(0'04) = 0'52.) Página 1 de 5

2 9. [C-LE] [SEP-A] Una panadería fabrica panes cuyos pesos tienen una distribución normal con media µ y desviación típica. a) Calcula la desviación típica, si µ = 250 g y el 90% de los panes pesa más de 245 g. b) Suponemos ahora µ desconocido. Obtén un intervalo de confianza al 95% para µ si = 3 y la media muestral basada en una muestra de tamaño n = 16 resultó ser 251 g. 10. [C-LE] [JUN-B] Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con media µ y desviación típica = 1. a) Suponiendo que µ = 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al mercado, qué proporción de latas salen efectivamente al mercado? b) Suponiendo que se desconoce µ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación, obteniéndose un media muestral de gramos. Determina un intervalo de confianza al 95% para µ. 11. [C-LE] [JUN-B] Una caja tiene 12 bombones, de los cuales 2 son de chocolate blanco y el resto de chocolate negro. Si se cogen 4 bombones al azar y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que los 4 sean de chocolate negro. 12. [C-MA] [SEP-B] La compañía suministradora de gas desea estimar el consumo medio de gas por hogar en una determinada ciudad, realizando una encuesta a 400 viviendas elegidas aleatoriamente de la ciudad. Se ha obtenido un consumo medio de 800 m 3 se sabe que el consumo de gas se distribuye segun una normal de desviación típica 50 m 3. a) Encontrar el intervalo de confianza al 95% para la media de consumo de gas por hogar en la ciudad. c) Crees que será válido el intervalo de confianza obtenido, si hubieramos elegido las 400 viviendas más próximas al encuestador? 13. [C-MA] [SEP-A] Para determinar como influye la practica diaria de deporte en el peso se ha realizado un estudio sobre 100 hombres que practican deporte de forma diaria. Obteniéndose una media de 65 kilos y suponemos que el peso en la población de personas que practican deporte se distribuye según una normal con una desviación típica de 2 kilos. a) Encontrar el intervalo de confianza al 95% para la media de peso de las personas que practican deporte. c) Si quisieramos un intervalo de confianza de menor ancho, qué opciones tendríamos?. Razona tu respuesta. 14. [C-MA] [JUN-B] Un Ayuntamiento va a realizar una encuesta para averiguar si los ciudadanos estan a favor de las ultimasmedidas en relación a las fiestas que se han tomado. Se ha preguntado a 100 vecinos elegidos de forma aleatoria entre todos los ciudadanos, obteniendo una media de 7.5 puntos de satisfacción y sabemos que las puntuaciones se distribuyen segun una normal de desviación típica 1. a) Encontrar el intervalo de confianza al 97.8% para la media de satisfacción. b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. c) Crees que será válido el intervalo de confianza obtenido, si hubieramos elegido a los primeros 100 vecinos que contesten la encuesta en el horario 10 a 14?. Razona tu respuesta. 15. [C-MA] [JUN-A] Para efectuar un control de calidad sobre la duración en horas de un componente electrónico se elige una muestra aleatoria de 36 componentes obteniéndose una duración media de 40 horas. Sabiendo que la duración de estos componentes electrónicos se distribuye según una normal con una desviación típica de 10 horas. a) Encontrar el intervalo de confianza al 97% para la duración media de las componentes electrónicas. c) Si quisieramos un intervalo de confianza de menor ancho, qué opciones tendríamos? Razona tu respuesta. 16. [CANA] [SEP-B] En su propaganda, un fabricante asegura que las bombillas que fabrica tienen una duración media de al menos 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas. a) Plantear el contraste, para decidir si se acepta la información del fabricante. b) Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%? c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, se aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%? Página 2 de 5

3 17. [CANA] [SEP-B] En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. a) Con una confianza del 99%, estima en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería delinstituto. b) Con una confianza del 99%, cuál es el error máximo cometido con la estimación que nos da la muestra? c) Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 6% y con una confianza del 99%? 18. [CANA] [SEP-A] Para una muestra de 625 jóvenes menores de 19 años se obtuvo una media muestral de 178 miligramos de colesterol por decilitro de sangre, con una desviación típica de 45 miligramos de colesterol por decilitro de sangre. a) Si se afirma que el índice de colesterol medio en sangre, para jóvenes menores de 19 años, es como máximo 170 miligramos por decilitro, los datos anteriores permitirían aceptar dicha afirmación con una significación del 1%? b) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del colesterol por decilitro de sangre en la población de jóvenes menores de 19 años. 19. [CANA] [JUN-B] En una muestra de 576 estudiantes universitarios, 400 van a clase en transporte público. a) A partir de los datos recogidos para la muestra, se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la proporción de universitarios que van a clase en transporte público es, al menos, igual a 2/3? b) Con una confianza del 98%, determinar un intervalo de confianza para la proporción de universitarios que van a clase en transporte público. 20. [CANA] [JUN-B] Tras un estudio realizado para 49 televidentes menores de 16 años, se concluyó, con un nivel de confianza del 99%, que la media de horas a la semana dedicadas a ver programas de animación era un valor del intervalo [9,11]. a) Cuál es la media muestral de horas a la semana que los televidentes menores de 16 años dedican a ver programas deanimación? b) Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 95%? c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, [9.5, 10.5]), qué nivel de confianza tendremos en este intervalo? 21. [CANA] [JUN-A] Se quiere estimar el tiempo medio que emplean los estudiantes en llegar desde su domicilio al instituto. Encuestados 60 alumnos se obtuvo un tiempo medio de 23 minutos con una desviación típica de 7 minutos. a) Obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio con una confianza del 90%. b) Qué tamaño muestral sería necesario tomar para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1.5 minutos y con una confianza del 98%. 22. [EXTR] [SEP-A] Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos deportistas sigueuna distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas se obtiene una media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. Se puede rechazar a un nivel de significación de 0.01 que el número medio de pulsaciones por minuto es 45? Justificar la respuesta. 23. [EXTR] [JUN-A] En una amplia población constituida por pequeñas y medianas empresas españolas se selecciona una muestra aleatoria de 180 empresas. Sabiendo que en la muestra seleccionada hay 9 empresas extremeñas, determinar justificando la respuesta: a) El intervalo de confianza al 99% para el porcentaje de empresas extremeñas en esa población. b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos que dicho porcentaje es un 5%. 24. [MADR] [SEP-B] Para estimar la media de una población con distribución normal de desviación típica igual a 5, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 100, con la que se ha obtenido el intervalo de confianza (173.42,175.56) para dicha media poblacional. a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada. b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido. 25. [MADR] [SEP-A] Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 320. Se toma unamuestra aleatoria simple de 36 elementos. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual que 50. Página 3 de 5

4 b) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la media de la distribución normal, si la media muestral es igual a [MADR] [JUN-B] Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 10 céntimos de euro. Una muestra aleatoria simple de tamaño 256 proporciona un precio medio del kilo de patatas igual a 19 céntimos de euro. a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el precio medio de un kilo de patatas en la región. b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99% sin aumentar el error de la estimación. Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse? 27. [MADR] [JUN-A] Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por una cierta empresa, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 0,5 kg. Una muestra aleatoria simple de 9 rollos ha dado un peso medio de 10,3 kg. a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los rollos de cable que produce dicha empresa. b) Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que 0,2 kg, con probabilidad igual a 0,98? 28. [MURC] [SEP-B] Se está observando la asistencia anual a congresos de los profesionales de la medicina. Se sabe que la variable aleatoria es normal con desviación típica igual a 4 veces por año. Se toma una muestra de 70 profesionales de la medicina cuya asistencia media es de 3 veces por año. Dar un intervalo de confianza al 98% para la media de la asistencia anual a congresos de todos los profesionales de medicina. 29. [MURC] [SEP-A] Se sabe que el precio de los libros de bachiller es una variable aleatoria normal con media 38.2 euros ydesviación típica de 5.25 euros. Una muestra aleatoria simple de 16 libros de Química de distintas editoriales tiene un preciomedio de 42.3 euros. Se quiere decidir si existe diferencia significativa entre la media del precio de los libros de Química y lamedia del precio de los libros de bachiller en general con un nivel de significación = [MURC] [JUN-B] Se sabe que las calificaciones de los alumnos de segundo de bachiller en matemáticas es una variable aleatoria normal de media 5.5 y varianza Se extrae una muestra aleatoria de 81 alumnos que cursan el bachiller bilingüe obteniéndose una media muestral de 6.8 puntos en las calificaciones de dichos alumnos en la asignatura de matemáticas. Se quiere decidir si existe una diferencia significativa entre la media de las calificaciones en matemáticas de los alumnos del bachiller bilingüe y la media de las calificaciones en matemáticas de los alumnos de segundo de bachiller en general con un nivel de significación = [MURC] [JUN-A] A una muestra aleatoria de 100 alumnos de segundo de bachillerato se les hizo una prueba de madurez, obteniendo una media muestral de 205 puntos. Suponiendo que la puntuación obtenida en la prueba de madurez es una variable aleatoria normal, entre qué límites se encuentra la madurez media de los alumnos de segundo de bachillerato con un nivel de confianza de 0.99 si la varianza de la población es de 576? 32. [RIOJ] [SEP] La edad de los trabajadores de una región sigue una distribución normal de media 40 años y desviación típica 7años. a) Tomamos una muestra de 36 trabajadores. Calcula la probabilidad de que la edad media de la muestra esté entre 38 y 42 años. b) Calcula el intervalo característico correspondiente a una probabilidad del 90% para las medias de muestras de tamaño 36. c) Calcula el tamaño que deben tener las muestras para que el intervalo calculado en el apartado anterior tenga la mitad de longitud (manteniendo el 90% de probabilidad). 33. [RIOJ] [JUN] Se supone que el consumo mensual de agua por habitante en una determinada ciudad sigue una distribución normal con una desviación típica de 300 litros. a) Una muestra aleatoria de 100 habitantes nos aporta un consumo mensual medio de 1000 litros. Calcula un intervalo deconfianza para la media poblacional con 95% de probabilidad. b) A diferencia del apartado anterior, suponemos conocido que la media de consumo por habitante es de 990 litros. Calcula la probabilidad de que una muestra de 100 habitantes arroje un consumo medio entre 950 y 1040 litros. Página 4 de 5

5 Soluciones 1. a) 803 b) 13; 2'08 2. no se puede afirmar 3. a) (-,85'4) b) se acepta la hipótesis 4. (0'202,0'27); 0' '5; (57'698,60'302) 7. a) H 0 : 30; H 1 : < 30 b) ha bajado 8. a) H 0 : p 0'75; H 1 : p > 0'75 b) ha surtido efecto 9. 3'9; (249'53,252'47) '44%; (89'858,90'642) 11. 0' a) (795'1,804'9) 13. a) (64'608,65'392) c) aumentar n 14. a) (7'271,7'729) 15. a) (36'38,43'62) c) aumentar n 16. a) H 0 : 1600; H 1 : < 1600 b) no c) si 17. a) (0'106,0'294) b) 0'094 c) a) no b) (174'472,181'528) 19. a) no b) (0'645,0'735) 20. a) 10 b) (9'24,10'76) c) 80'3% 21. (21'53,24'487); no 23. (0'008,0'092); 4'2% 24. 0'55; 0' '3472; (4715'47,4924'53) 26. (17'775,20'225); (10'026,10'574); (1'89,4'11) 29. existe diferencia 30. existe diferencia 31. (198'82,211'18) 32. 0'9128; (38'081,41'919); (941'2,1058'8); 0'8607 Página 5 de 5