Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E. TEMA 2

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1 Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E. TEMA 2 1) Un investigador afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye normalmente con media 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%. a) Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta. b) Determine la potencia de ese contraste, si la verdadera media poblacional es 24. (Solución: a) Valor observado=4; /valor crítico/=1 645; la afirmación del investigador es falsa; b) ). 2) Un psicólogo industrial desea estudiar los efectos de la motivación en las ventas de una empresa en particular. De 24 vendedores nuevos que están en entrenamiento, a 12 se les va a pagar por hora de trabajo y a los otros 12 por comisión. Los 24 individuos fueron asignados de manera aleatoria a los dos grupos. Los datos siguientes presentan el volumen de ventas (en miles de dólares) logrado durante el primer mes de trabajo. Salario por hora Comisión Suponiendo normalidad en la variable, existe evidencia de que los incentivos salariales a través de las comisiones, producen un mayor volumen de ventas promedio, a un nivel de significación del 5%?. (Solución: Valor observado=2 75; /valor crítico/=1 717;los incentivos salariales a través de las comisiones producen un mayor volumen de ventas promedio). 1

2 3) Los ingresos del primer empleo de los licenciados en Dirección y Administración de Empresas, en cualquier Universidad, siguen una distribución normal con desviación típica de 3 8 miles de euros. Se toma una muestra aleatoria de 15 licenciados procedentes de la Universidad A, resultando que en su primer empleo sus ingresos medios anuales fueron de euros. Otra muestra independiente de 12 licenciados de la Universidad B dio como resultado unos ingresos medios en el primer empleo de euros. Se pide, con un nivel de confianza del 98%, contrastar la hipótesis de que las medias son iguales frente a la alternativa de que la media de la Universidad A es menor que la de la Universidad B. (Solución: Valor observado= -0 82; /valor crítico/=2 05; la media de la Universidad A no es menor que la de la Universidad B). 4: ORDENADOR) Un funcionario que trabaja en el departamento de colocación de una Universidad quiere determinar si los hombres y las mujeres licenciados en Administración de Empresas reciben, en promedio, diferentes ofertas de salario en su primer trabajo después de licenciarse. El funcionario seleccionó aleatoriamente ocho pares de licenciados en esa disciplina, de manera que las calificaciones, intereses e historial de los integrantes de cada pareja fuesen lo más parecidos posible. La mayor diferencia fue que un miembro de cada pareja era hombre y el otro mujer. La tabla adjunta recoge la mayor oferta salarial que recibió cada miembro de la muestra al terminar su carrera. Pareja Mayor Oferta Salarial (euros) Hombre Mujer Asumiendo que las distribuciones son normales, contrastar la hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales, frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los hombres que para las mujeres, a un nivel de significación del 2 5%. (Solución: Valor observado=2 16; valor crítico =2 365; las medias poblacionales son iguales). 5: ORDENADOR) Una máquina de empaquetado automático deposita en cada paquete una cierta cantidad de determinado producto. Se seleccionan 20 paquetes, se pesa su contenido y se obtienen los siguientes resultados: 49, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 51, 52, 48, 50, 51, 51, 51 A partir de esta información y suponiendo que la variable se distribuye normalmente: a) Verifique si la media de esa variable es 51, con un nivel de confianza del 99%. b) Verifique si la varianza es la unidad, con un nivel de significación del 2%. (Solución: a) Valor observado=-4 898; valor crítico =2 861; la media de la variable no es 51; b) Valor observado=16; valores críticos=7 63 y 36 22; la varianza es la unidad). 2

3 6: ORDENADOR) Para determinar el efecto de dos programas de formación (A y B), una empresa de productos farmacéuticos elige una muestra aleatoria de 10 de sus representantes y los inscribe en el programa A, en tanto que otros 10 de sus representantes elegidos al azar son inscritos en el programa B. Durante el periodo de comparación, los representantes del programa A tienen comisiones promedio por ventas de $, con una desviación típica de $; en tanto que los representantes que participaron en el programa B, tienen comisiones promedio por ventas de $ con una desviación típica de $. Suponiendo normalidad en los datos se pide, con un nivel de confianza del 95%: a) Verifique que las varianzas de los dos programas son iguales. b) Verifique si existen diferencias entre las comisiones para los dos programas. (Solución: a) Valor observado=1 44; valores críticos=0 25 y 4 03; la varianza de los dos programas son iguales; b) Valor observado=0 768; valor crítico =2 101; no existen diferencias entre las comisiones). 7) A partir de dos muestras aleatorias simples independientes de establecimientos comerciales de Málaga y Sevilla se obtiene la siguiente información acerca de las ventas mensuales (en euros) de un determinado producto alimenticio: Málaga Sevilla Media Varianza Tamaño muestral En base a estos resultados y suponiendo normalidad: a) Puede admitirse con un nivel de significación del 1% que las ventas medias en Málaga de este producto fueron inferiores a euros? b) Con un nivel de confianza del 95%, qué puede decir de la hipótesis la varianza de las ventas mensuales en Sevilla ese igual a 1.500? c) Utilizando el mismo nivel de significación del apartado anterior y suponiendo igualdad de varianzas poblacionales existen diferencias significativas entre las ventas de este producto en las dos provincias? (Solución: a) Valor observado= ; valor crítico=-2 457; las ventas medias fueron inferiores a ; b) Valor observado=28; valores críticos=16 04 y 45 74; se acepta la hipótesis planteada; c) Valor observado= ; valor crítico =2; existen diferencias significativas. 8: ORDENADOR) De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados, 378 fueron capaces de decir el precio correcto de un artículo inmediatamente después de ponerlo en el carro. Contrastar, al nivel del 10%, la hipótesis nula de que la mitad de los compradores son capaces de decir el precio correcto frente a la alternativa de que la proporción poblacional es menor de la mitad. (Solución: Valor observado=-1 699; valor crítico =1 28; la proporción es menor de la mitad). 3

4 9) Sometidos a una prueba 100 jóvenes y 200 adultos, resultó que 42 de los jóvenes y 50 de los adultos eran malos conductores. Emplear estos datos y un nivel de significación del 5%, para verificar si el porcentaje de malos conductores entre los jóvenes es un 8% mayor que el porcentaje de malos conductores entre los adultos, frente a la posibilidad de una diferencia aún mayor. (Solución: Valor observado=1 55; valor crítico =1 645; el porcentaje de malos conductores entre los jóvenes es un 8% mayor que entre los adultos). 10) Una revista de gran tirada quiere probar si las mujeres y los hombres tienen distinta memoria visual con respecto a los anuncios. Para ello pone un anuncio en una revista, y pregunta a 200 lectores varones y a 200 lectores mujeres, obteniendo que recuerdan el anuncio 50 hombres y 70 mujeres. Qué puede concluirse al nivel de significación del 10%?. (Solución: Valor observado=-2 182; valor crítico =1 654; los hombre y las mujeres tienen distinta memoria visual). EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 11) Una emisora de televisión por cable anuncia que el periodo medio de espera desde la solicitud hasta la conexión a la red de sus nuevos clientes es de ocho días. La asociación de consumidores desea verificar dicha hipótesis, para lo cual ha tomado una muestra del periodo de espera (en días) de 15 clientes con los siguientes resultados: 11, 8, 10, 13, 8, 10, 12, 12, 8, 10, 11, 7, 10, 7 y 8. Verifique si el periodo medio de espera es igual o diferente a ocho días, explicitando las hipótesis utilizadas (α =0'05). (Solución: Valor observado=3 378; valor crítico =2 145; el periodo medio de espera es diferente a ocho días). 12: ORDENADOR) La duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una compañía resulta ser horas, con una desviación típica de 120 horas. Si µ es la duración media de todos los tubos producidos por la compañía, comprobar la hipótesis µ = horas, contra la hipótesis alternativa de que µ < horas, con niveles de significación de 0'05 y 0'01, y suponiendo normalidad en la variable. (Solución: α=0 05: valor observado:-2 487; valor crítico =1 66; se rechaza H o ; α=0 01: valor observado ; valor crítico =2 364; se rechaza H o.). 13) Un grupo de investigadores canadienses afirma haber descubierto un tipo de alimentación para las gallinas, bajo la cual éstas producen huevos que no aumentan el colesterol en las personas que los consumen. Para comprobar dicha teoría, se seleccionaron al azar 36 personas a las que se les midió su nivel de colesterol habitual (X i ), observando en ellos de nuevo dicho nivel (Y i ), después de una dieta a base de huevos en estudio. Los resultados fueron: 1 36 x = 200 y = 203 ( Di D) 35 i= 1 = 196 Suponiendo normalidad en la variable, contrastar la hipótesis de que los huevos no modifican el colesterol a un nivel de significación del 1%. (Solución: Valor observado= -1 29; valor crítico =2 724; no existen diferencias significativas en los niveles de colesterol). 2 4

5 14) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% apoya el estudio las siguientes hipótesis? a) Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. b) Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto. (Solución: a) Valor observado=-0 927; valor crítico =2 33; se acepta H o ; b) Valor observado=1 129; valor crítico =2 33; se acepta H o ). 15) Se quiere comparar el rendimiento académico en una determinada asignatura de los alumnos de dos Universidades distintas. Elegidas dos muestras aleatorias de cada una de estas Universidades (10 alumnos de la A y 12 de la B), se obtuvieron los siguientes resultados en cuanto a la calificación obtenida en dicha asignatura: Universidad A Universidad B Media 3'8 4'3 Varianza 1'1 1'6 En base a estos resultados y sabiendo que en ambos casos las variables siguen una distribución normal, verifique la hipótesis de igualdad de rendimientos académicos de ambas Universidades, con un nivel de significación del 5 %. (Solución: Valor observado=-0 95; valor crítico =2 086; se acepta la igualdad de rendimientos académicos). 16) Una cooperativa agrícola produce cierto cultivo con fertilizante natural y con abono industrial. En las parcelas donde se emplea fertilizante natural se obtienen plantas de altura normalmente distribuida y varianza 47 cm 2. En los terrenos donde se usa abono industrial la altura de las plantas es normal pero con varianza igual a 39 cm 2. Para comprobar las medias se toma aleatoriamente una muestra de 25 plantas, 11 correspondientes al primer tipo de tierras y 14 al segundo, obteniéndose en las muestras 102 cm y 95 cm de alturas medias, respectivamente. Trabajando con una confianza del 95%, se pide contrastar la hipótesis de que los fertilizantes son igualmente eficaces, frente a la hipótesis alternativa de que es más eficaz el natural. (Solución: Valor observado= 2 635; valor crítico =1 645; los fertilizantes no son igualmente eficaces). 17) La duración de los detergentes líquidos, A y B, en un envase estándar siguen una distribución normal. Con el fin de analizar su eficacia se elige una muestra de 6 familias a las que se les regala el detergente A y otra de 5 familias a las que se le regala el detergente B. Los resultados obtenidos sobre la duración de ambos detergentes son los siguientes: x = 12 días 2 Sx = 16 n x = 6 y = 15días S = 16 ny = 5 2 y Se pregunta si uno de los dos detergentes es más duradero a un nivel de significación de 0'05. (Solución: Valor observado=-1 120; valor crítico =2 262; se acepta que los dos detergentes son iguales de duraderos). 5

6 18) Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas A y B. Deseando estudiar la calidad de los productos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido en materia grasa, obteniéndose los siguientes resultados: x A = A A B B B 0 '305, S = 0 '03, n = 13, x = 0 '308, S = 0 '02, n = 13 Se puede decir que la diferencia de materia grasa media de una granja y otra es significativa a un nivel de confianza del 90%?. Se supone que las variables estudiadas son normales e independientes. (Solución: Valor observado:-0 288; valor crítico =1 711; no hay diferencias significativas en materias grasas medias de una granja y otra). 19) Los errores aleatorios de dos aparatos de medidas siguen las distribuciones, X~N(0, σ x 2 ) Y~N(0, σ y 2 ) De 7 medidas tomadas al azar para cada uno de los dos aparatos se ha obtenido la siguiente información: Σx 2 = 9'57 Σy 2 = 43'87 Se desea saber, con un nivel de significación del 5%: a) Si los dos aparatos tienen igual precisión, medida ésta a través de la varianza. b) Qué puede decir de la hipótesis: la varianza del primer aparato es igual a 1 3?. (Solución: a) Valor observado=0 218; valores críticos=0 20 y 5 00; los aparatos tienen la misma precisión; b) Valor observado=7 36; valores críticos=1 69 y 16 02; se acepta H o ). 20) Un investigador de seguros toma dos muestras aleatorias de pólizas de seguros de vida, 873 de varones y 837 de mujeres, obteniendo que la proporción de varones que contratan un seguro de vida es de 0 28 y de 0 27 la de mujeres que contratan dicha póliza. Con un nivel de significación del 1%, contrastar la hipótesis nula de que la proporción de varones que contratan un seguro de vida es igual al de mujeres. (Solución: Valor observado=0 463; valor crítico =2 575; se acepta H o ). 21) Un empresario está considerando la posibilidad de ampliar su negocio mediante la adquisición de un pequeño bar. El dueño actual del bar afirma que el ingreso diario del establecimiento sigue una distribución normal de media 675 euros y una desviación estándar de 75 euros. Para comprobar si decía la verdad, tomó una muestra de treinta días y ésta reveló un ingreso diario promedio de 625 euros. Utilizando un nivel de significación del 10 %: a) Hay evidencia de que el ingreso diario promedio sea menor del que afirma el presente dueño?. b) Calcule la potencia del contraste si la verdadera media fuera µ = 650. (Solución: a) Valor observado= -3 65; valor crítico =1 28; se rechaza H o ; b) ). 6

7 22) Un proveedor asegura que los artículos por él suministrados son defectuosos en un 1% de los casos. Se realiza una prueba a 200 de sus artículos y resultan defectuosos 3 de ellos. A un nivel de significación del 1% Es falsa o cierta la afirmación del proveedor?. (Solución: Valor observado=0 711; valor crítico =2 575; la afirmación del proveedor es cierta). 22) El Ministerio de Asuntos Sociales, ante la creciente alarma social generada por el precio de la vivienda, encarga un estudio para contrastar con un nivel de confianza del 95% si el precio medio de la vivienda coincide con el declarado por los promotores inmobiliarios. En concreto, se desea contrastar si el precio medio de una vivienda de 90 m 2 es de , tal y como declaran los promotores inmobiliarios, frente a la hipótesis de que es de (cifra aportada por la Oficina de Defensa del Consumidor). Suponiendo normalidad en la distribución de los precios: a) Determine la Región Crítica Óptima. b) Contraste la hipótesis planteada sabiendo que la varianza del precio de las viviendas de 90 m 2 es de y que extraída una muestra aleatoria simple de 100 viviendas de esa superficie se ha obtenido un precio medio de 290. (Solución: a) X C ; b)valor observado=0 9487; valor crítico =1 645; se acepta la afirmación de los o promotores inmobiliarios). 7

8 ANEXO: EJERCICIOS RESUELTOS CON STATGRAPHICS PLUS 5.1. TEMA 2 EJERCICIO 4. Resumen de Procedimiento Datos: HOMBRE-MUJER 8 valores comprendidos desde -610,0 hasta 2150,0 Este procedimiento está destinado a examinar las diferencias significativas entre dos muestras de datos los cuales se ha agrupado en pares. Calculará varias estadísticos y gráficos para las diferencias entre los datos pareados. El procedimiento también incluye pruebas destinadas a determinar si la diferencia media es igual a cero. Para acceder a estos procedimientos diferentes use los botones Opciones Tabulares y Opciones Gráficas en la barra de herramientas del análisis. Resumen Estadístico para HOMBRE-MUJER Frecuencia = 8 Media = 867,5 Varianza = 1,29045E6 Desviación típica = 1135,98 Mínimo = -610,0 Máximo = 2150,0 Rango = 2760,0 Asimetría tipi. = -0,233 Curtosis típificada = -1,18981 Esta tabla muestra el resumen estadístico para HOMBRE-MUJER. Incluye las medidas de tendencia central, medidas de variabilidad y medidas de forma. De particular interés están los coeficientes de asimetría y curtosis estandarizados que pueden utilizarse para determinar si la muestra procede de una distribución normal. Los valores de estos estadísticos fuera del rango de -2 a +2 indican alejamiento significante de normalidad que tendería a invalidar cualquier test estadístico con respecto a la desviación normal. En este caso, el valor del coeficiente de asimetría estandarizado está dentro del rango esperado para los datos de una distribución normal. El valor del coeficiente de curtosis estandarizado está dentro del rango esperado para los datos de una distribución normal. para HOMBRE-MUJER Media muestral = 867,5 Mediana muestral = 1045,0 contraste t Hipótesis nula: media = 0,0 Alternativa: mayor que Estadístico t = 2,15995 P-valor = 0, No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,025. 8

9 EJERCICIO 5. Apartado a) Media de la Muestra = 50,0 Desviación Típica de la Muestra = 0, Tamaño de la Muestra = 20 99,0% intervalo de confianza para la media: 50,0 +/- 0, [49,4129;50,5871] Hipótesis Nula: media = 51,0 Alternativa: no igual Estadístico t calculado = -4,8734 p-valor = 0, Rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,01. Este análisis muestra los resultados de realizar el contraste de hipótesis referente a la media (mu) de una distribución normal. Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: mu = 51,0 Hipótesis Alternativa: mu <> 51,0 Dada una muestra de 20 observaciones con una media de 50,0 y una desviación típica de 0,917663, el estadístico t calculado es igual a -4,8734. Puesto que el p-valor para el test es inferior a 0,01 la hipótesis nula se rechaza para el 99,0% de nivel de confianza. El intervalo de confianza muestra que los valores de mu soportado por los datos se encuentran entre 49,4129 y 50,5871. Apartado b) Desviación Típica de la Muestra = 0, Tamaño de la Muestra = 20 98,0% intervalo de confianza para sigma: [0,664906;1,44784] Hipótesis Nula: desviación típica = 1,0 Alternativa: no igual Estadístico Chi-cuadrado calculado = 16,0 p-valor = 0, No rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,02. Este análisis muestra los resultados de realizar el contraste de hipótesis referente a la desviación típica (sigma) de una distribución normal. Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: sigma = 1,0 Hipótesis Alternativa: sigma <> 1,0 Dada una muestra de 20 observaciones con una desviación típica de 0,917663, el estadístico chi-cuadrado calculado es igual a 16,0. Puesto que el p-valor para el test es superior o igual a 0,02 la hipótesis nula no puede rechazarse para el 98,0% de nivel de confianza. El intervalo de confianza muestra que los valores de sigma soportado por los datos se encuentran entre 0, y 1,

10 EJERCICIO 6. Apartado a) Desviaciones Típicas de la Muestra = 1264,91 y 1054,09 Tamaños de la Muestra = 10 y 10 95,0% intervalo de confianza para el ratio de varianzas: [0,357677;5,79745] Hipótesis Nula: ratio de varianzas = 1,0 Alternativa: no igual Estadístico F calculado = 1,44 p-valor = 0,5957 No rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,05. Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: sigma1/sigma2 = 1,0 Hipótesis Alternativa: sigma1/sigma2 <> 1,0 Dada una muestra de 10 observaciones con una desviación típica de 1264,91 y una segunda muestra de 10 observaciones con una desviación típica de 1054,09, el estadístico F calculado es igual a 1,44. Puesto que el p-valor para el test es superior o igual a 0,05, la hipótesis nula no puede rechazarse para el 95,0% de nivel de confianza. El intervalo de confianza muestra que los valores de sigma1/sigma2 soportado por los datos se encuentran entre 0, y 5, Apartado b) Medias de la Muestra = 5000,0 y 4600,0 Desviaciones Típicas de la Muestra = 1264,91 y 1054,09 Tamaños de la Muestra = 10 y 10 95,0% intervalo de confianza para la diferencia entre medias: 400,0 +/- 1093,92 [-693,916;1493,92] Hipótesis Nula: diferencia entre medias = 0,0 Alternativa: no igual Estadístico t calculado = 0, p-valor = 0, No rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,05. (Se asumen varianzas iguales). Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: mu1-mu2 = 0,0 Hipótesis Alternativa: mu1-mu2 <> 0,0 Dada una muestra de 10 observaciones con una media de 5000,0 y una desviación típica de 1264,91 y una segunda muestra de 10 observaciones con una media de 4600,0 y una desviación típica de 1054,09, el estadístico t calculado es igual a 0, Puesto que el p-valor 10

11 para el test es superior o igual a 0,05, la hipótesis nula no puede rechazarse para el 95,0% de nivel de confianza. El intervalo de confianza muestra que los valores de mu1-mu2 soportado por los datos se encuentran entre -693,916 y 1493,92. NOTA: en la aplicación de este test, se ha asumido que las desviaciones típicas de ambas muestras son iguales. Puede prescindir de esta asunción pulsando el botón derecho del ratón y seleccionando Opciones del Análisis. EJERCICIO Proporción de la Muestra = 0,47 Tamaño de la Muestra = 802 Aproximado 90,0% superior límite de confianza para p: [0,492935] Hipótesis Nula: proporción = 0,5 Alternativa: menor que p-valor = 0, Rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,1. Este análisis muestra los resultados de realizar el contraste de hipótesis referente a la proporción (theta) de una distribución binomial. Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: theta = 0,5 Hipótesis Alternativa: theta < 0,5 En esta muestra de 802 observaciones, la proporción de la muestra es igual a 0,47. Puesto que el p-valor para el test es inferior a 0,1, la hipótesis nula se rechaza para el 90,0% de nivel de confianza. Los límites de confianza muestran que lo valores de theta soportado por los datos son inferiores o igual a 0, EJERCICIO Media de la Muestra = 1570,0 Desviación Típica de la Muestra = 120,6 Tamaño de la Muestra = ,0% superior límite de confianza para la media: 1570,0 + 20,0244 [1590,02] Hipótesis Nula: media = 1600,0 Alternativa: menor que Estadístico t calculado = -2,48756 p-valor = 0, Rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,05. Este análisis muestra los resultados de realizar el contraste de hipótesis referente a la media (mu) de una distribución normal. Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: mu = 1600,0 Hipótesis Alternativa: mu < 1600,0 11

12 Dada una muestra de 100 observaciones con una media de 1570,0 y una desviación típica de 120,6, el estadístico t calculado es igual a -2, Puesto que el p-valor para el test es inferior a 0,05, la hipótesis nula se rechaza para el 95,0% de nivel de confianza. Los límites de confianza muestran que lo valores de mu soportado por los datos son inferiores o iguales a 1590, Hipótesis Nula: media = 1600,0 Alternativa: menor que Estadístico t calculado = -2,48756 p-valor = 0, Rechazar la hipótesis nula para alpha = 0,01. Este análisis muestra los resultados de realizar el contraste de hipótesis referente a la media (mu) de una distribución normal. Las dos hipótesis a considerar son: Hipótesis Nula: mu = 1600,0 Hipótesis Alternativa: mu < 1600,0 Dada una muestra de 100 observaciones con una media de 1570,0 y una desviación típica de 120,6, el estadístico t calculado es igual a -2, Puesto que el p-valor para el test es inferior a 0,01, la hipótesis nula se rechaza para el 99,0% de nivel de confianza. Los límites de confianza muestran que lo valores de mu soportado por los datos son inferiores o iguales a 1598,52. 12