Introducción. Descripción del conjunto de números racionales LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES. Figura 1.

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1 LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES Descripción del conjunto de números racionales Introducción Observa la animación donde se consume una pizza por fracciones, y se presentan algunos tips para que puedas identificar aspectos de los números racionales. Figura. Niño Las matemáticas nacieron en las antiguas civilizaciones que poblaron la tierra. Las necesidades sociales y económicas en cada comunidad impulsaron el desarrollo del pensamiento matemático y sus aplicaciones. En casi todos los pueblos surgió un sistema de numeración que permitió contar los objetos, pero el desarrollo del concepto de número fue muy lento. Transcurrieron muchos siglos desde el momento en que los números se utilizaron para contar hasta que se pudieron escribir. Las ramas de las matemáticas que primero se desarrollaron fueron la aritmética y la geometría, a pesar de que en algunos casos, la aritmética se limitaba al arte de contar, y la geometría a medir tierras y trazar fronteras. 6 6 Los antiguos chinos utilizaron un sistema de numeración decimal y multiplicativo. En cambio los romanos utilizaron un sistema aditivo y acumulativo. En Egipto existió la tendencia a utilizar las matemáticas en la solución de problemas prácticos cotidianos: dividir porciones de alimentos Figura. Sistema de numeración decimal

2 entre hombres o animales; calcular la cantidad de ladrillos para construir una edificación o el número de hombres necesarios para transportar un bloque pesado. La egipcia fue la primera gran civilización que utilizó las fracciones y el cálculo con fracciones, las cuales no surgieron de la división de los números naturales, sino del proceso de medición que combina la aritmética con la geometría. La geometría nació en Egipto y más tarde fue transmitida a los griegos. La medición de los cuerpos sólidos: pirámides, cubos y esferas, fue hecha probablemente por medios experimentales, más que por cálculo matemático. Pero los más importantes descubrimientos en geometría son obra de los griegos. Con ellos el mundo pasó de los intentos por resolver problemas prácticos de aritmética y geometría, a la construcción de las más audaces y afortunadas estructuras teóricas. Los antiguos afirmaban que Tales, que vivió en la primera mitad del siglo VI A.C, aprendió la geometría en Egipto (Escobar, O. 0). Objetivos de aprendizaje Identificar las propiedades del conjunto de números racionales Determinar las características del conjunto de los números racionales. Actividad Definición y elementos de los números racionales A partir de la anterior animación y el siguiente diagrama sobre el conjunto de los números racionales Q, responde los siguientes interrogantes: N Z Q Figura. Conjunto de los racionales. Qué conjuntos numéricos están dentro del conjunto de los racionales?

3 . Escribe dentro de la gráfica, al menos cuatro elementos diferentes para cada uno de los conjuntos N Z Q. Si tienes un tira de papel como esta, y la doblas a la mitad, qué número obtienes? Si la vuelves a doblar a la mitad, qué número obtienes? Cuántas veces puedes seguir doblando el papel? Ahora piensa en la recta numérica, cuantos números racionales hay en un segmento de unidad, por ejemplo entre el tres y cuatro? 0 0 Figura.Segmento. De acuerdo al signo o la posición en la que se encuentren con respecto al cero, sobre la recta numérica, los racionales pueden ser?. Teniendo en cuenta el comportamiento de los números enteros en la recta numérica: Un número racional que esté a la derecha del cero, y más alejado de este, cómo es con respecto a los demás números? En igual sentido, un número que esté a la izquierda del cero y más alejado de este, cómo es con respecto a los números que están a la derecha de él? 6. Retomando la animación de los niños comiendo pizza: Un número racional se puede representar en qué formas? y

4 7. De acuerdo a las preguntas anteriores: Enuncia cuatro características de los números racionales. Por último, y teniendo en cuentas las preguntas anteriores: Da una definición del conjunto de los números racionales Actividad Ubicación de los números racionales en sobre la recta numérica. Observa la animación de la actividad y luego resuelve el siguiente ejercicio: Figura. Recta

5 Ejercicio Teniendo en cuenta la animación de la actividad, ubica los siguientes números racionales sobre la recta. Recuerda que el denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador el número de partes que se toman. Para ello, escribe el número en el lugar exacto que le corresponde sobre la recta /7 9/ -/ -7/ 6/,, -/ Figura 6. Ubicación en la recta Actividad Transformación de los números racionales Lee las siguientes oraciones y luego resuelve los ejercicios: a) Deme un octavo de pintura. b) Necesito un cuarto de galon de gasolina. c) Media libra de arroz. d) Un cuarto de pulgada. e) Compraré cuatro kilos y medio de papa. f) He caminado un tercio del recorrido Ejercicio A qué conjunto numérico pertenecen los números que representan las oraciones? Ejercicio Escribe el número específico que representa cada oración a) b) c) d) e) f)

6 Ahora observa la animación de la actividad y resuelve los ejercicios Figura 7. Ciclista Ejercicio De acuerdo a la animación de la actividad, y a la clasificación de los decimales, realiza las operaciones e indica qué tipo de decimales son (da el resultado con tres decimales) Tipo de decimal: Tipo de decimal: Tipo de decimal: Tipo de decimal: Tipo de decimal: Tipo de decimal: Posteriormente indica que características tienen los números que calculaste.. 6

7 . _. _. _ 6. Ejercicio Transformar de decimal a fraccionarios los siguientes valores; simplifícalos hasta donde sea posible 0, ; 0, ; 0, Actividad Racionales equivalentes Si los racionales que se presentan en la imagen son equivalentes, resuelve las siguientes preguntas y ejercicios: 6 0 Figura. Equivalencias 7

8 Pregunta De acuerdo a la imagen anterior, cómo es cada racional y la torta que representa, con respecto a los demás racionales de la imagen? Pregunta Completa la siguiente oración en la que se da una definición de los racionales equivalentes, para ello usa las siguientes palabras: misma, diferentes, fracciones Racionales equivalentes son aquellas que representan una cantidad a pesar de que se escriben con números Ejercicio Multiplica en cruz los siguientes racionales, y observa el resultado de cada multiplicación e Indica cuál par de racionales es equivalente, encerrando con un círculo rojo aquellos que sí lo son. 6 6 Ejercicio Si en un cultivo de flores, las rosas ocupan del total del cultivo, indica: Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes al área que cubre el cultivo de rosas? Marca con una x en los recuadros las que NO lo son, y con un chulo las que SÍ los son: Figura 9. Flores

9 Actividad Amplificación y simplificación Observa detenidamente el diagrama y resuelve los ejercicios Fracción original 6 6 Amplificación Simplificación Figura 0. Ampliación y simplificación Ejercicio De acuerdo a la imagen de ampliación y simplificación, define cada proceso y descríbelo: Ampliación: Simplificación: Qué relación tienen entre sí, las fracciones resultantes del proceso de amplificación y simplificación? 9

10 Ejercicio Ejercicio de amplificación Piensas dividir la torta para tu fiesta en ocho porciones iguales, y repartir solo la mitad entre tus cuatro invitados, dando a cada uno de ellos la misma cantidad. Pero si el número de invitados se duplica, ello te obliga a dividir la torta de otra forma. Encuentra, por medio de la amplificación, la fracción equivalente que te permita dar un pedazo de torta igual a cada uno, y que solo implique la repartición de la mitad de la misma. División inicial Figura. Torta 0

11 Ejercicio Ejercicio de simplificación Una granja está dividida en doce corrales iguales, de los cuales nueve están destinados para gallinas. Debido a que hoy se vendió una tercera parte de las gallinas, el granjero desea reducir el número de corrales y así brindar a las gallinas corrales más amplios, pero sin cambiar el área total que sumaban los doce anteriores, ni la proporción del área total que se usaba para las gallinas. Encuentra, por medio de la simplificación, la fracción equivalente que le permita lograr su deseo Figura. Galpón

12 Actividad 6 Compara números racionales en sus diversas presentaciones Teniendo en cuenta las preguntas que resolviste en la primera actividad, y la posición de los números racionales sobre la recta numérica, resuelve las siguientes preguntas: - -, - -,,, Figura. Regla Preguntas. Es mayor -, que -,? :. Es menor -/ que -/? :. Es mayor / que /? :. Es mayor, que -.? :. Es mayor -/ que /? : Ahora observa las imágenes y completa las oraciones con las palabras: mayor o menor Figura. Fracciones Figura. Fracciones Figura 6. Fracciones Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la de denominador Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la de numerador Si las dos fracciones tienen diferente numerador y denominador, un camino para saber cuál es mayor, es utilizar el Mínimo común múltiplo (m.c.m).

13 Ejemplo: Si deseas comparar las fracciones: y, considera los siguientes pasos:. Saca el mínimo común múltiplo de los denominadores ( y ), para lo cual puedes multiplicar ambos números, si ninguno de los dos contiene al otro un número exacto de veces. En este caso el m.c.m es. Luego divide el m.c.m por cada uno de los denominadores de las fracciones, así:. Después multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el número obtenido en el paso anterior, así: 6 Después de ver el ejemplo compara / y / y socializa tu resultado en clase 6, 7 6,7 6,9 6, 9. Para comparar decimales: Compara las cifras del número de la izquierda, con las cifras del número de la derecha, y al final indica cuál de los dos números es menor que el otro. Para ello usa los signos de y < Figura 7. Fracciones Actividad 7 Ubica y ordena números racionales De acuerdo a la actividad anterior, ubica los siguientes números sobre la recta numérica (escríbelos sobre la recta) 6 6 -, 0,7 0, Figura. Regla Luego ordénalos de mayor a menor en los recuadros, de tal forma que se cumpla la relación planteada: es > es > es > es > es >

14 El conjunto de los números racionales Es Sus números tienen caracteristicas como Aquel que contiene los números fraccionarios, los decimales (positivos y negativos), y los números enteros Estar representados por fracciones Las cuales pueden ser Entre dos números positivos, el mayor es el que esté mas alejado del cero Son infinitos Se pueden representar con una recta Fracciones decimales Fracciones comunes Se pueden obtener de ellas Estan representados por decimales Los cules pueden ser No poseen un consecutivo fijo Entre dos números negativos, el mayor es el que esté más cercano al cero Equivalentes Y a ellas se pueden llegar através de Finitos Infinitos Que se dividen en La amplificacion La simplificación Periódicos puros Periodicos Mixtos

15 Actividad Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales, utiliza para ellos el signo <: 0, ; 7 ; ; ;, ; ; 0, 9 9 Actividad Transformar a fraccionario o decimal los siguientes números, luego simplifica cada fracción, si es posible. 6,97, Actividad Soluciona la siguiente situacion problema Un grupo de estudiantes decide realizar un taller de matemáticas de ejercicios: El primero decide hacer / El segundo piensa en hacer / El tercero dice hacer /6 El cuarto se decide por / Y entre los deciden que si falta algo lo hará un miembro. Cual hizo más ejercicios?

16 Figura. Niño Lista de figuras Figura. Sistema de numeración decimal Figura. Conjunto de los racionales Figura. Segmento Figura. Recta Figura 6. Ubicación en la recta Figura 7. Ciclista Figura. Equivalencias Figura 9. Flores Figura 0. Ampliación y simplificación Figura. Torta Figura. Galpón Figura. Regla Figura. Fracciones Figura. Fracciones Figura 6. Fracciones Figura 7. Fracciones Figura. Regla Lista Referencias Escobar, O. (s.f.). es.slideshare.net. Recuperado el 9 de Agosto de 0, tomado de ge.slidesharecdn.com/numerosracionales 6