Los números naturales

Transcripción

1 1 Los números naturales 1. Sistema de numeración decimal Con las cifras y, y sin repetirlas, forma dos números distintos de dos cifras y ordénalos de menor a mayor. < P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 6 : 68 C = ; R = 6 1 Descompón los números siguientes: a) 8 b) 7 c) 09 d) 6 0 a) D + 8 U b) C + D + 7 U c) UM + C + 9 U d) DM + 6 UM + D + U Escribe el mayor número posible con tres cifras. 999 Escribe dos números con las mismas cifras, pero que tengan un valor distinto. Respuesta abierta. Por ejemplo: y A P L I C A L A T E O R Í A Haz la descomposición de los siguientes números: a) Cuatro mil doscientos treinta. b) Doce mil cuatrocientos sesenta y dos. c) Quinientos seis mil cuarenta y ocho. d) Un millón doscientas cincuenta mil. Haz un dibujo de una recta y representa los siete primeros números naturales a) UM + C + D b) 1 DM + UM + C + 6 D + U c) CM + 6 UM + D + 8 U d) 1 UMILLON + CM + DM 6 Ordena los siguientes números de menor a mayor:, 0, 17,, 10 y 8 8 < 17 < < < 0 < 10 8 SOLUCIONARIO

2 . Suma, resta y multiplicación Efectúa mentalmente la suma y la resta de los siguientes números de dos cifras, de la forma indicada: a) + 7 = = = 79 b) 6 + c) + d) 9 + e) 7 = 0 7 = 7 = 16 f) 67 g) 7 8 h) 9 6 a) 79 b) 89 c) 67 d) 9 e) 16 f) g) h) 8 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 7 Aplica la propiedad asociativa y la conmutativa para sumar mentalmente: a) b) a) b) 80 8 Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) b) c) 7 9 d) a) 90 b) 601 c) 08 d) : 9 C = 1 76; R = Una familia gasta en un año en pagar la hipoteca de la casa, 7 9 en manutención, 9 en ropa, 8 en transportes y en otras cosas. Calcula el gasto total de la familia. Gasta: = 1 Un carpintero compró rollos de chapa de 10 m cada rollo. Si ha gastado 1 71 m, cuántos metros le quedan? = 69 m A P L I C A L A T E O R Í A 9 Efectúa: a) 78 7 b) c) 6 d) a) b) 19 1 c) d) Calcula: a) b) c) d) a) 9 00 b) c) d) Dos vehículos parten a las 9 de la mañana desde un mismo punto, con velocidades de 8 km/h y 67 km/h, respectivamente. Después de tres horas, qué distancia hay entre ambos vehículos? (8 67) = 1 km UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 8

3 . División Multiplica mentalmente por de la siguiente manera: a) = : 10 = 1 10 = 10 b) 6 c) 78 d) 16 P I E N S A Y C A L C U L A a) 10 b) 0 c) 90 d) 680 Carné calculista : 7 C = 1 ; R = 8 A P L I C A L A T E O R Í A 1 Haz las siguientes divisiones e indica si son enteras o exactas: a) 0 : 1 b) 10 : 7 18 Haz las siguientes operaciones: a) + 8 : b) 0 : + c) 1 + (0 + 1) d) (0 ) (0 1) : a) Cociente = 18. Resto = 6. Entera. b) Cociente = 1. Exacta. 1 Calcula de dos formas: a) 6 ( + ) b) (8 + 7) a) 6 9 = ; = + 0 = b) 1 = 7; = 0 + = 7 16 Efectúa mentalmente: a) + ( ) b) (8 ) : a) b) a) b) 1 c) 190 d) Un cierto número dividido por da de cociente 8 y de resto 1. Halla dicho número = 16 7 Cuántos días se tardará en llenar un depósito de 6 16 litros con un grifo que arroja 1 8 litros por día? 6 16 : 1 8 = días 17 Calcula: a) + + : 1 b) 0 + (10 + ) c) : + d) (1 ) + (1 ) a) 19 b) 10 c) 17 d) 70 1 Si un coche ha recorrido 60 km en 7 horas, cuál ha sido su velocidad media? 60 : 7 = 90 km/h 86 SOLUCIONARIO

4 . Resolución de problemas a) Sonia tiene más dinero que Óscar y menos que Alba. Quién tiene más dinero de los tres? b) Si Meli tiene más dinero que Sonia, pero menos que Alba, tiene Meli más dinero que Óscar? a) Alba. b) Sí. P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 01 : 79 C = 8; R = 9 Ernesto tiene en el banco 0 ahorrados. Por su cumpleaños le dan y se compra libros a 1 cada libro. Cuánto dinero tiene en total? A P L I C A L A T E O R Í A Una ferretería compra bobinas de cable, de 00 m cada una, a el metro. A cuánto debe vender el metro si quiere ganar 800? = 6 ( ) : ( 00) = /m Una librería compra una remesa de 0 libros a 10 cada uno. Cuánto gana por la venta de los libros si los vende a 1 cada uno? 0 (1 10) = 10 Un almacenista compra 00 cajas de tomates, de 10 kg cada caja, por 00, y el transporte le cuesta 600. Durante el trayecto se caen unas cuantas cajas y se echan a perder 00 kg de tomates. A cuánto debe vender el kilo para ganar 900? ( ) : ( ) = = : 00 = /kg UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 87

5 Ejercicios y problemas 1. Sistema de numeración decimal 6 Descompón los números siguientes: a) 07 b) 16 0 c) 09 d) 0 1 a) C + 7U b) 1DM + 6UM + C + D c) UM + D + 9U d) CM + DM + C + D + 1U. Suma, resta y multiplicación Aplica la propiedad asociativa y la conmutativa para sumar mentalmente: a) b) c) d) a) b) 80 c) 60 d) 0 7 Escribe el número menor y el número mayor que puede formarse con las cifras, 6 y 7, sin repetir ninguna. 67 y 76 Calcula el resultado de las siguientes sumas: a) b) c) d) Representa en una recta los cinco primeros números pares. 9 Representa en una recta los cinco primeros números impares a) 8 b) 7 c) d) 7 97 Haz las siguientes restas: a) 7 b) c) d) a) 1 b) 7 60 c) 10 d) Ordena de menor a mayor los siguientes números: 1,, 7, 1, 10 y < 1 < 1 < 7 < < 10 Observa la siguiente serie, 8, 11, 1, Calcula el término que se pide en cada caso: a) El término quinto. b) El término séptimo. c) El término noveno. d) El término décimo. a) 17 b) c) 9 d) Realiza las siguientes multiplicaciones: a) 7 b) 1 1 c) d) a) 8 11 b) 8 87 c) 016 d) Multiplica mentalmente: a) b) c) d) a) b) 070 c) d) SOLUCIONARIO

6 . División 7 Haz las siguientes divisiones e indica si son enteras o exactas: a) 8 : b) 89 : 68 c) 8 70 : 18 d) 9 10 : a) Cociente =. Resto = 10. Entera. b) Cociente = 1. Resto = 1. Entera. c) Cociente = 68. Exacta. d) Cociente = 1. Exacta. 8 Calcula aplicando la propiedad distributiva: a) ( + ) b) (7 + ) c) (6 + 9) d) 8 (9 + ) a) = 1 b) = 0 c) 0 + = 7 d) 7 + = 96 9 Calcula mentalmente: a) + b) 8 : c) : 1 d) a) 8 b) 6 c) d) 0 0 Calcula: a) 1 : + b) 7 ( 1) + (1 ) c) : d) 0 : : + a) b) 78 c) d) 60. Resolución de problemas 1 Tres amigos han reunido 1 00 y se han gastado en un viaje 6. Cuánto dinero queda para cada uno después del viaje? (100 6) : = 1 De un silo que contenía 1 toneladas de trigo se han sacado 1 sacos de 1 kilos cada uno. Cuántos kilos de trigo quedan en el silo? = 7 77 kg Una persona gana a la semana y gasta al mes 90 en alimentación, 79 en vestuario y en otros gastos. Cuánto ahorra en un mes si cada mes tiene semanas? ( ) = 686 Se vendieron 0 camisetas a 10 cada una. Qué beneficio se obtuvo si las camisetas se compraron a 7 cada una? 0 (10 7) = 10 Un comerciante compró 1 1 lectores de CD a 1 cada uno. Si obtuvo un beneficio de 0 0, halla el precio de venta de cada lector. ( ) : 11 = 0 Para ampliar 6 Escribe un número con unidades, centenas y unidades de millar. 0 7 Escribe el mayor número posible con cuatro cifras sin repetir ninguna cifra. Y si se pueden repetir las cifras? Sin repetir: Con repetición: UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 89

7 Ejercicios y problemas 8 El límite de velocidad en una autovía es de 10 km/h. Si x es la velocidad de un coche, expresa con los signos <, =, > cuál no debe ser la velocidad del coche. x > 10 km/h 9 Calcula tres términos más de cada una de las series siguientes: a) 1,,, 7, b), 7, 1, 17, c), 6, 1,, d) 1,,, 8, 16, a) 9, 11, 1 b), 7, c) 8, 96, 19 d), 6, 18 0 Calcula el término vigésimo de la serie siguiente:,, 6, 8, 0 1 Calcula mentalmente: a) + 99 b) + 7 c) + 6 d) a) 1 b) 100 c) 00 d) 00 Calcula el resultado de las siguientes sumas: a) b) c) d) a) 9 78 b) 19 0 c) d) Haz las siguientes restas: a) 7 8 b) c) d) a) 116 b) c) d) 6 6 Realiza las multiplicaciones: a) 7 1 b) 1 10 c) 87 6 d) a) 71 0 b) 7 7 c) d) Halla el cociente entero y el resto: a) 1 80 : b) 6 19 : 8 c) 8 7 : 807 d) 79 0 : 0 a) Cociente = 6. Resto = 190 b) Cociente =. Resto = 7 c) Cociente = 10. Resto = 19 d) Cociente = 7. Resto = 90 6 Calcula aplicando la propiedad distributiva: a) 9 (0 + 0) b) 7 (0 0) c) ( + + 6) d) ( + ) a) = = 60 b) = = 70 c) = = 6 d) + = = 7 Haz de dos formas las operaciones siguientes: a) 6 (10 + ) b) 9 (1 ) c) (6 + ) d) (8 ) a) 6 1 = 90; = = 90 b) 9 10 = 90; = 1 = 90 c) 11 = ; 6 + = = d) = ; 8 = 0 1 = 90 SOLUCIONARIO

8 8 Calcula: a) : 6 b) 8 1 : + c) : 10 d) 00 : : 10 + a) b) 6 c) d) 1 9 Calcula: a) (1 : + ) + b) ( 1 + 1) + (1 : ) c) 16 + (6 0 : ) + d) 0 a) b) c) 0 d) 00 Con calculadora 60 Calcula: a) : b) : + c) : 10 d) 0 : : 8 + a) 8 b) 7 c) 06 d) Calcula: a) (1 : + ) + 1 b) ( ) + (16 : ) c) ( : ) + 1 d) 0 0 e) 10 : + 8 a) 19 b) 71 c) d) 60 e) Problemas 6 Ruth tiene CD y, tres amigos suyos tienen, respectivamente,, y 8 CD más que Ruth. Cuántos CD tiene cada uno?, 7, 9 y CD respectivamente. 6 El menor de hermanos tiene 1 años, y cada uno le lleva años al que le sigue. Cuántos años suman entre los cuatro? = 60 años. 6 Si en una división exacta el divisor es 9 y el cociente 8, cuál es el dividendo? 8 9 = Si al dividir un número entre 19 el cociente es el doble del divisor, cuál es el dividendo? Cociente: 8; Dividendo = 19 8 = 7 Al multiplicar dos números obtenemos 8. Si uno de los factores es 7, cuál es el otro factor? 8 : 7 = 1 Pedro vendió un videojuego antiguo por 19 para comprar otro. Perdió 17. Cuánto costó inicialmente el videojuego? = 6 UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 91

9 Ejercicios y problemas 68 Se han repartido unos chubasqueros entre los 0 chicos y chicas de un campamento y han sobrado 1. Cuántos chubasqueros harían falta para que cada joven tuviera uno más? 0 1 = chubasqueros ( ) = Un comerciante compró 1 00 pantalones a cada uno. Si obtuvo un beneficio de 00, a cuánto los vendió? 69 Un establecimiento ganó 7 0 y espera ganar más el próximo año y más el siguiente. Cuánto espera ganar en los tres años? ( ) : 100 = = Para comprar un televisor de 0 me faltan 16. Cuánto dinero tengo? 0 16 = 8 71 La suma de dos números es 8, y el número mayor es 61. Cuál es el número menor? 8 61 = Un almacenista compra 00 kg de naranjas, que le llegan en dos envíos. En el primero le mandan 890 kg, y en el segundo, 8 kg más que en el primero. Le ha llegado toda la mercancía? 00 ( ) = 1 kg No. Faltan 1 kg 7 7 Para un trabajo de plástica compramos docenas de lápices de colores. Si cada lápiz cuesta céntimos, cuánto deberemos pagar? 1 = 00 céntimos = Un agricultor desea comprar 10 naranjos de regadío que cuestan 70 cada uno. Ha vendido de otra finca 8 olivos a 10 y 6 olivos a 17. Cuánto le falta para poder comprar los naranjos que él quiere? Para profundizar Cómo varía la diferencia de una resta si aumentamos el minuendo y el sustraendo en 1 unidades? No varía. Cómo varía el resultado de multiplicar 1 si el 1 lo multiplicamos por? Y si multiplicamos el 1 por y el por? 1 = 60 (1 ) = 0 El resultado queda multiplicado por (1 ) ( ) = 60 El resultado queda multiplicado por = 6 Cuál es el menor número que debe añadirse al dividendo de una división entera para que sea exacta? La diferencia entre el divisor y el resto. Un comerciante ha comprado mercancía por valor de 1 0. Si la hubiese vendido por más de lo que ha vendido, habría ganado Por cuánto la ha vendido? = 1 9 SOLUCIONARIO

10 80 Una herencia se reparte entre herederos y cada uno percibe Cuánto recibiría cada uno si fuesen solo herederos? 8 Un chico compra camisas a cada una. Cuántas camisas se hubiese podido comprar si le hubiesen costado 1 menos cada una? 18 7 : = 0 9 : ( 1) = 7 camisas. 81 Un librero compró 0 libros a 0 cada uno.vendió 0 libros a 18 cada uno. A cuánto tiene que vender los restantes libros para no perder dinero? ( ) : 10 = UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 9

11 Aplica tus competencias 8 Calcula cuántos euros son millardos. Resuelto en el libro del alumnado. 8 Calcula cuántos euros son: a) 8 millardos. b) 60 millardos. c) millardos. d) millardos. a) b) c) = 1 billón de d) = 10 billones de 8 86 Una empresa factura 78 millardos y tiene millardos de gastos. Cuánto le queda de beneficio? 78 = millardos. El señor García ha comprado 70 latas de melva a la lata y las quiere vender a. Como no las vende, decide ofertar latas por 8. Pierde dinero el señor García? Cuánto gana? No. 70 : 8 70 = 80 9 SOLUCIONARIO

12 Comprueba lo que sabes 1 Escribe la jerarquía de las operaciones y pon un ejemplo. Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con números naturales, se debe seguir un orden: a) Efectuar las operaciones entre paréntesis. b) Hacer las multiplicaciones y las divisiones. c) Realizar las sumas y las restas. d) Si las operaciones tienen la misma jerarquía, se empieza por la izquierda. Ejemplo: + = + 1 = 1 Cuántas centenas de euro hay en ? : 100 = centenas de euro. Un cierto número dividido por da de cociente 8 y de resto 1. Halla dicho número = Efectúa mentalmente: a) (8 ) b) (16 + 8) : 8 a) 1 b) 6 7 Realiza la siguiente operación: ( 1 + 1) + 7 (1 : ) Tres amigos han reunido 1 00 y se han gastado en un viaje 6. Cuánto dinero queda para cada uno después del viaje? (100 6) : = 1 Para comprar un ordenador portátil repartimos el pago en tres mensualidades de 79 más 6 de gastos de administración. Cuánto pagamos en total por el ordenador? = Calcula: a) 8 07 b) 176 : a) b) 68 UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 9

13 Windows Derive Paso a paso 87 Calcula: Calcula: Calcula: Resuelto en el libro del alumnado. 88 (7 + 7) 8 Resuelto en el libro del alumnado : : 7 Resuelto en el libro del alumnado. Escribe la expresión numérica que corresponde al siguiente enunciado y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris: 90 Al producto de 6 por 97 le restamos el número Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: 91 El dueño de una tienda compra 10 cajas de refrescos, con 1 botes cada una, y paga 6 por cada caja. Si en la tienda vende cada bote de refresco a, cuánto gana al vender todos los botes? Resuelto en el libro del alumnado. 9 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 9 Calcula: a) b) c) 60 (67 + 8) d) 6 06 (6 79) a) 69 b) 7 c) 09 d) 688 a) 196 b) 11 c) 189 d) Calcula: a) b) : 89 + c) ( ) d) ( 78 98) Calcula: a) 68 7 b) 78 : 68 c) : 1 d) 91 : 1 87 a) 6 61 b) 0 c) 7 0 d) SOLUCIONARIO

14 Linux/Windows Escribe la expresión numérica que corresponde a los siguientes enunciados y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris: 96 Al producto de 86 por 789 le sumamos el número = Multiplicamos el número 17 0 por 9 y lo dividimos entre : = Calcula el coste de la compra de cajas de aceite. Cada caja contiene 1 botellas y cada botella cuesta 1 = 1 60 Un comerciante compra enciclopedias en CD-ROM a 6 y las vende a 97. Si compra 600, vende y regala el resto, cuánto gana? = 16 0 Plantea los siguientes problemas y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: 98 Hemos comprado un televisor por 61, un frigorífico por y un ordenador por 1. Hemos entregado un talón por el importe total. Si en el banco teníamos 6, cuánto dinero nos queda? 6 ( ) = 1 UNIDAD 1. LOS NÚMEROS NATURALES 97

15 Divisibilidad 1. Múltiplos y divisores Calcula mentalmente e indica, de las siguientes divisiones, cuáles son exactas o enteras: a) 1 : b) 8 : 6 c) 10 : 7 d) 00 : 100 P I E N S A Y C A L C U L A a). Exacta. b) Cociente =. Resto =. Entera. c) 0. Exacta. d). Exacta. Carné calculista : 8 C = 1 6; R = 9 Escribe: a) Cinco múltiplos de b) Cinco múltiplos de c) Cinco múltiplos de 6 d) Cinco múltiplos de a) 0,,, 6 y 8 b) 0,, 10, 1 y 0 c) 0, 6, 1, 18 y d) 0,, 6, 9 y 1 Añade tres términos a cada una de las siguientes series: a), 8, 1, 16, b) 8, 16,,, c) 1,, 6, 8, d) 1, 6, 9, 1, a) 0, y 8 b) 0, 8 y 6 c) 60, 7 y 8 d) 1, 186 y 17 De los siguientes números, indica cuáles son múltiplos de 1: 7,, 8, 98, A P L I C A L A T E O R Í A Es 1 0 divisible por 8? Y por 1? Y por? Sí. No. Sí. 6 Encuentra un número que sea múltiplo de, y = 0 7 Escribe un número que solo tenga dos divisores. Cualquier número primo. Por ejemplo el 8 Escribe todos los divisores de: a) 1 b) 0 c) d) 0 7, y 98 Calcula todos los múltiplos de comprendidos entre 10 y 7 17, 00,, 0, 7, 00, y 0 a) D(1) = {1,,,, 6, 1} b) D(0) = {1,,,, 10, 0} c) D() = {1,, 7, } d) D(0) = {1,,,, 8, 10, 0, 0} 98 SOLUCIONARIO

16 . Números primos y compuestos Fíjate en el ejemplo y escribe los siguientes números como producto de factores: 60 = 6 10 = = a) 1 b) 81 P I E N S A Y C A L C U L A a) 1 = b) 81 = = Carné calculista 9 Señala los números primos y compuestos de la siguiente lista: 7, 1, 1,, 1, Primos: 7, 1, 1 y Compuestos: 1 y 8 7 : 9 C = 66; R = 0 1 A P L I C A L A T E O R Í A Haz la criba de Eratóstenes: copia los números naturales del al 100.Tacha los múltiplos de, excepto el a partir de =, tacha los múltiplos de excepto el a partir de = 9, sigue con el y el 7. Los números que quedan sin tachar son los primos menores que Entre los números, 0, 6, 7, 81, señala: a) Los divisibles por b) Los divisibles por c) Los divisibles por a), 0 y 7 b), 0, 7 y 81 c) 0 y Calcula qué cifra debe valer la letra x en el número x para que dicho número sea divisible: a) por b) por y por c) por d) por y por a) 0,,, 6 y 8 b) 0 c) 1, y 7 d) 1 Descompón en factores primos los números de cada apartado: a) 8, 0, 6, 7, 96 b) 10, 00, 7, 0, 6 a) 8 = 7 0 = 6 = 7 7 = 96 = b) 10 = 00 = 7 = 19 0 = 6 = UNIDAD. DIVISIBILIDAD 99

17 . Máximo común divisor Tenemos 8 litros de naranjada y 1 litros de cola para hacer una fiesta, y queremos llevarlos en recipientes que tengan el mismo número de litros y que sean lo más grandes posible. De cuántos litros tienen que ser los recipientes? Es posible llevarlo en recipientes de 1 litro? Y de litros? Es posible llevarlo en recipientes de litros? Y de litros? En recipientes de litros. Sí. Sí. No. Sí. P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista : 6 C = 9; R = 1 Calcula mentalmente el máximo común divisor de los siguientes números: a) y 6 b) y 6 c) y 7 d) 1 y 1 a) b) c) 1 d) 1 Halla mentalmente: a) M.C.D. (1, 1) b) M.C.D. (0, 0) c) M.C.D. (10, 1) d) M.C.D. (, 1) a) b) 10 c) d) 1 16 Calcula mentalmente: a) M.C.D. (7, 1) b) M.C.D. (1, 1) c) M.C.D. (, 16) d) M.C.D. (9, 1) a) 1 b) 7 c) d) 17 Halla: a) M.C.D. (0, 60) b) M.C.D. (7, 10) c) M.C.D. (7, 108) d) M.C.D. (16, 17) a) 10 b) 1 c) 6 d) 1 18 Calcula: a) M.C.D. (, 6, 8) b) M.C.D. (0, 10, ) c) M.C.D. (10,, 1) d) M.C.D. (6, 1, 0) a) b) c) 1 d) 19 Calcula: a) M.C.D. (0,, ) b) M.C.D. (98, 16, 10) a) b) 1 A P L I C A L A T E O R Í A 100 SOLUCIONARIO

18 . Mínimo común múltiplo Óscar y Sonia están montando en los cars de un parque de atracciones. Sonia tarda minutos en dar una vuelta a la pista y Óscar, 6 minutos. Si salen los dos juntos de la meta, cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en la meta? Completa la tabla para dar la respuesta. Minutos que tarda Sonia Minutos que tarda Óscar 1ª vuelta 6 ª vuelta 8 1 P I E N S A Y C A L C U L A ª vuelta ª vuelta ª vuelta 6ª vuelta Minutos que tarda Sonia Minutos que tarda Óscar 1ª vuelta 6 ª vuelta 8 1 ª vuelta 1 18 ª vuelta 16 ª vuelta 0 0 6ª vuelta 6 Cada 1 minutos. Carné calculista 0 Calcula mentalmente el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 6 y 8 b) 6 y 9 c) y d) y 6 a) b) 18 c) 1 d) 6 1 Calcula mentalmente: a) m.c.m. (0, 0) b) m.c.m. (6, 1) c) m.c.m. (, 9) d) m.c.m. (1, 1) a) 0 b) 0 c) 6 d) Calcula: a) m.c.m. (, 1) b) m.c.m. (18, 7) c) m.c.m. (16, 0) d) m.c.m. (1, ) a) 60 b) c) 80 d) 7 08 : 9 C = 1 ; R = 1 Halla: a) m.c.m. (6, 80) b) m.c.m. (10, 10) c) m.c.m. (10, 10) d) m.c.m. (10, 0) e) m.c.m. (1, ) a) 0 b) 10 c) 1 90 d) 1 0 e) 67 Calcula: a) m.c.m. (,, ) b) m.c.m. (,, 10) c) m.c.m. (, 1, 0) d) m.c.m. (, 1, ) e) m.c.m. (, 8, 18) a) 0 b) 10 c) 60 d) 00 e) 7 A P L I C A L A T E O R Í A UNIDAD. DIVISIBILIDAD 101

19 Ejercicios y problemas 1. Múltiplos y divisores Completa en tu cuaderno con la palabra «múltiplo» o «divisor»: a) es de 8 b) 1 es de c) es de 1 d) es de a) Divisor. b) Múltiplo. c) Divisor. d) Múltiplo. 9 Calcula todos los múltiplos de 1 comprendidos entre 100 y , 10, 1 y 1 0 Encuentra un número que sea múltiplo de: a) y b) 7 y 9 c), y 7 d), 8 y 11 a) 1 b) 6 c) 70 d) 0 6 Calcula mentalmente: a) Cuatro múltiplos de 7 b) Cuatro múltiplos de 1 c) Cuatro múltiplos de d) Cuatro múltiplos de 1 Encuentra un número que tenga como divisores a,, 6 y 1 m.c. m.(,, 6, 1) = 1 a) 0, 7, 1 y 8 b) 0, 1, y 6 c) 0,, 0 y 7 d) 0,, 8 y 1 7 De los números siguientes: 7, 108, 09, 8, 770 a) Cuáles son múltiplos de 9? b) Cuáles son múltiplos de? c) Cuáles son múltiplos de? d) Cuáles son múltiplos de 7? a) 7, 108 y 8 b) 7, 108 y 770 c) 8 y 770 d) 770 Escribe todos los divisores de 1, 18, y 0 D(1) = {1,,, 1} D(18) = {1,,, 6, 9, 18} D() = {1,, } D(0) = {1,,,, 6, 10, 1, 0}. Números primos y compuestos De los siguientes números, indica los primos y los compuestos: Primos: 1 y 7 Compuestos:, 161, 60, 8, 0 y 8 De los siguientes números:, 7, 8 1, 1 a) Cuáles son divisores de 1? b) Cuáles son divisores de? c) Cuáles son divisores de? d) Cuáles son divisores de 10? a) y 7 b), 8 y 1 c) 8 d), 7 y 1 De los siguientes números, señala los compuestos y exprésalos como producto de dos factores distintos de 1 y de él mismo: = 1 8 = 19 = = 7 1 = 10 SOLUCIONARIO

20 Escribe los números primos comprendidos entre 60 y 7 Halla mentalmente la descomposición factorial de: a) 0 b) 0 c) 6 d) 61, 67, 71 y 7 6 Indica si son primos entre sí los números: a) y b) 6 y 1 c) y 6 d) 7 y 0 a) Sí. b) No. c) No. d) Sí. 7 Escribe dos números primos entre sí que sean compuestos. Por ejemplo: 1 y 8 Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por tres: , 1 y 7 9 Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por cinco: , 60 y 10 a) b) c) d) Haz la descomposición factorial de: a) 10 b) 6 c) 0 d) 900 a) b) 8 c) 7 d). Máximo común divisor Calcula mentalmente el M.C.D. de: a) 6 y 8 b) 6 y 1 c) y 1 d) 7 y 1 a) b) c) 1 d) 7 Halla el M.C.D. de: a) y b) 70 y 10 c) y 10 d) 7 y 10 a) 8 b) c) 6 d) 7 6 Calcula el M.C.D. de: a) 96 y 70 b) 6 y c) 0 y 70 d) 0 y Escribe cuáles de los siguientes números son divisibles por dos: a) 6 b) c) 60 d) 0 16, y 00 1 Descompón en factores primos mentalmente: a) 8 b) 16 c) d) 6 a) b) c) d) 6. Mínimo común múltiplo 7 Calcula mentalmente el m.c.m. de: a) 6 y 8 b) y 1 c) y 6 d) 8 y 1 e) 0 y 0 a) b) 1 c) 1 d) e) 60 UNIDAD. DIVISIBILIDAD 10

21 Ejercicios y problemas 8 Halla el m.c.m. de: a) 16 y 0 b) 18 y 1 c) y d) 10 y 180 e) 10 y 0 a) 80 b) 16 c) 70 d) 900 e) Calcula el m.c.m. de: a) 96 y 1 b) 90 y 0 c) 0 y 700 d) 60 y 00 e) 0 y 0 a) 1 06 b) 0 c) 6 00 d) 600 e) Calcula el m.c.m. de: a) 17, 0 y 60 b) 1, 18 y 0 c) 00, 00 y 00 d) 10, 60 y 100 e) 90, 80 y a) 00 b) 180 c) 000 d) 600 e) 70 Para ampliar 1 Completa en tu cuaderno las siguientes expresiones con «es divisor» o «no es divisor»: a) 18 de b) 0 de 10 c) de 90 d) 80 de a) Es divisor. b) Es divisor. c) Es divisor. d) No es divisor. Encuentra todos los múltiplos de, comprendidos entre 0 y 8 6, 88, 1, 6 y 60 Halla mentalmente la descomposición factorial de: a) 10 b) 1 c) 18 d) a) b) c) d) Completa en tu cuaderno las siguientes expresiones con «es múltiplo» o «no es múltiplo»: a) 60 de 1 b) 1 de c) 00 de 9 d) 00 de 60 6 Calcula la descomposición factorial de: a) b) 0 c) 600 d) 1 1 a) 7 b) c) d) 7 a) Es múltiplo. b) Es múltiplo. c) No es múltiplo. d) Es múltiplo. Escribe todos los divisores de: a) b) 0 c) d) 70 D() = {1,,,, 6, 8, 1, } D(0) = {1,,,, 8, 10, 0, 0} D() = {1,,, 9, 1, } D(70) = {1,,, 7, 10, 1,, 70} 7 De los números siguientes: 0, 6, 7, 0,,, 80 señala los que son divisibles: a) por y por b) por y por c) por y por a) 0 y 80 b) 0, 0 y 80 c) 7, 0 y SOLUCIONARIO

22 8 Escribe un número que sea divisible por dos y por tres. Por ejemplo 6 9 Halla el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 0 y 1100 b) 67 y 79 c) 00 y 100 d) 160 y 10 a) M.C.D.(0, 1 100) = 0 m.c.m.(0, 1 100) = 1 00 b) M.C.D.(67,79) = 9 m.c.m.(67,79) = 9 00 c) M.C.D.(00, 1 00) = 00 m.c.m.(00, 1 00) = 1 00 d) M.C.D.(1 60, 1 0) = 90 m.c.m.(1 60, 1 0) = Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 8, 1 y 0 b), y 90 c) 60, 80 y 10 d) 98, 9 y 1 a) M.C.D.(8, 1, 0) = m.c.m.(8, 1, 0) = 10 b) M.C.D.(,, 90) = m.c.m.(,, 90) = 0 c) M.C.D.(60, 80, 10) = 0 m.c.m.(60, 80, 10) = 0 d) M.C.D.(98, 9, 1) = 9 m.c.m.(98, 9, 1) = 8 Problemas 61 Dos barcos salen de un puerto un determinado día. El primero vuelve cada días, y el segundo, cada 6. Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez? m.c.m.(18, 0) = 90 días. m.c.m.(, 6) = 7 días. 6 En un taller tienen que hacer piezas de metal con forma de rectángulo de 1 cm de superficie. El largo y el ancho deben ser unidades enteras. Cuántas piezas distintas se pueden hacer? Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado día; a partir de ese día Alba vuelve cada 18 días, y Sonia, cada 0. Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez? 6 6 El equipo de fútbol del centro escolar entrena una de cada tardes y el de balonmano lo hace una de cada. Coinciden en el centro un martes. Cuándo volverán a coincidir si no contamos sábados y domingos? m.c.m.(, ) = 6 A los 6 días después. El miércoles de la semana siguiente. Un frutero tiene 60 kg de manzanas y kg de peras, y las quiere distribuir en bolsas de un número entero de kilos e igual peso. Con cuántos kilos, como máximo, puede llenar cada bolsa? UNIDAD. DIVISIBILIDAD 10

23 Ejercicios y problemas M.C.D.(60, ) = kg 66 Se podrían dividir tres varillas de 0 cm, cm y 0 cm, en trozos de cm de longitud, sin que sobre ni falte nada entre cada varilla? Cuál es la mayor longitud en la que podríamos dividir las varillas? No. M.C.D.(0,, 0) = La mayor longitud es cm 71 Tenemos tres rollos de tela de m, m y m, para hacer vestidos. Queremos cortarlos en trozos que tengan un número entero de metros e igual longitud. Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar? M.C.D.(,, ) = m 7 Busca el valor de la letra B para que el número B6 sea divisible por. Busca todas las soluciones. Los dígitos: 1,,,,, 6, 7, 8 y 9 Para profundizar 67 Leemos un libro de 1 en 1 páginas, y sobra 1 página; si lo leemos de 1 en 1, también sobra 1 página. Calcula el menor número de páginas que puede tener dicho libro. m.c.m.(1, 1) + 1 = 61 páginas. 7 Halla el valor de la letra C para que el número 7C sea divisible: a) por y por b) por y por c) por, y a) 0 y 6 b) 0 c) 0 68 Si un número es múltiplo de 1, también lo es de? Intenta encontrar una regla general. Sí. Si un número a es múltiplo de otro número b y éste, a su vez, es múltiplo de otro número c, entonces, a es múltiplo de c Si un número divide a, también dividirá a 1? Intenta encontrar una regla general. No. Por ejemplo, 8 divide a pero no divide a 1 Reemplaza la letra A por un dígito para que el número A8 sea divisible por. Busca todas las soluciones., y Un cometa aparece en la Tierra cada 160 años, y otro cada 10 años. Si aparecieron juntos en 1988, cuándo volverán a hacerlo al mismo tiempo por primera vez? m.c.m.(160, 10) = 8 En el año 8 Cuánto pueden valer las letras A y B para que el número AB sea divisible entre? A cualquier valor y B = 0,,, 6 y 8 Busca todos los posibles valores de A para que el número A sea múltiplo de: a) y b) y c) y a) b) 0 c) No hay solución. 106 SOLUCIONARIO

24 Aplica tus competencias 77 Debemos recorrer una distancia de 1 70 km, y el vehículo que usamos puede recorrer tramos de 0 km sin repostar combustible. Podemos hacer el recorrido en un número exacto de tramos? No, porque 1 70 no es múltiplo de 0 78 Puedo comprar con un billete de 0 un número exacto de garrafas de cada una? Sí. 0 : = 10 garrafas. Comprueba lo que sabes 1 Escribe el criterio de divisibilidad para saber cuándo un número es divisible por y pon un ejemplo. Un número es divisible por si la suma de sus cifras es múltiplo de Ejemplo El número 6 es divisible por porque = 1 que es múltiplo de Calcula los cuatro primeros múltiplos de 1 0, 1, 0 y Haz la descomposición factorial de 0 6 Calcula el M.C.D.(7, 108) 6 7 Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado día; a partir de ese día Alba vuelve cada 18 días, y Sonia, cada 0. Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez? m.c.m.(18, 0) = 90 días. Calcula los divisores de D() = {1,,, 9, 1, } Escribe los números primos comprendidos entre 10 y 0 11, 1, 17, 19, y 9 8 En una tienda disponen de 1 figuritas de cristal y 1 de metal. Desean hacer paquetes para regalar a los clientes, con el mismo número de figuras y con la mayor cantidad posible. Cuántos paquetes tienen que hacer y con cuántas figuritas? M.C.D.(1, 1) = paquetes de figuras de cristal. paquetes de figuras de metal. UNIDAD. DIVISIBILIDAD 107

25 Windows Derive Paso a paso 79 Haz la descomposición factorial de: 10 8 Halla el m.c.m. de: y 60 Resuelto en el libro del alumnado. 80 Halla todos los divisores de: 18 Resuelto en el libro del alumnado. 81 Clasifica en primos o compuestos los siguientes números: a) 91 b) 0 Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris. 8 Dos barcos salen de un puerto un determinado día. El primero vuelve cada días, y el segundo, cada 6. Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez? Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 8 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. 8 Halla el M.C.D. de: 0 y 70 Resuelto en el libro del alumnado. Practica 86 Haz la descomposición factorial de: a) 600 b) 1 07 c) 888 d) Halla todos los divisores de: a) 6 b) 8 c) 6 d) 96 a) b) 67 c) 7 d) 7 a) D(6) = {1,,,, 6, 9, 1, 18, 6} b) D(8) = {1,,,, 6, 8, 1, 16,, 8} c) D(6) = {1,,, 8, 16,, 6} d) D(96) = {1,,,, 6, 8, 1, 16,,, 8, 96} 108 SOLUCIONARIO

26 Linux/Windows 88 Clasifica en primos y compuestos los siguientes números: a) 87 b) 1 c) 1 d) 7 a) D(87) = {1, 87} Primo. b) D( 1) = {1,, 97, 1} Compuesto. c) D( 1) = {1, 11, 1, 17, 1, 187, 1, 1} Compuesto. d)d( 7) = {1, 7} Primo. 89 Halla: a) M.C.D.(90, 900) b) M.C.D.(0, 79) c) M.C.D.(180, 76, ) d) M.C.D.(1 0, 1 6, 016) a) 0 b) 7 c) 1 d) Halla: a) m.c.m.(10, 60) b) m.c.m.(0, 80) c) m.c.m.(0,, 68) d) m.c.m.(0, 600, 960) a) 1 60 b) 7 60 c) d) 800 Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: 91 Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado día; a partir de ese día Alba vuelve cada 18 días, y Sonia, cada 0. Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez? m.c.m.(18, 0) = 90 días Un frutero tiene 60 kg de manzanas y kg de peras, y las quiere distribuir en bolsas de un número entero de kilos e igual peso. Con cuántos kilos, como máximo, puede llenar cada bolsa? M.C.D.(60, ) = kg Leemos un libro de 1 en 1 páginas y sobra 1 página; si lo leemos de 1 en 1, también sobra 1 página. Calcula el menor número de páginas que puede tener dicho libro. m.c.m.(1, 1) + 1 = 61 páginas. Tenemos tres rollos de tela de m, m y m, para hacer vestidos. Queremos cortarlos en trozos que tengan un número entero de metros e igual longitud. Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar? M.C.D.(,, ) = m Un cometa aparece en la Tierra cada 160 años, y otro, cada 10 años. Si aparecieron juntos en 1988, cuándo volverán a hacerlo al mismo tiempo por primera vez? m.c.m.(160, 10) = 8 En el año 8 UNIDAD. DIVISIBILIDAD 109

27 Los números enteros 1. Los números negativos a) Alejandro ha dejado el coche en el segundo sótano de un aparcamiento subterráneo. Al volver por el coche, ve los botones 0, 1 y en el ascensor. En qué botón tiene que pulsar? b) La temperatura del congelador de casa pasa de C a C. Ha aumentado o disminuido la temperatura? Cuánto? a) b) Ha disminuido 7 C P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 70 : 7 C = 1 ; R = 7 1 Asigna un número, positivo o negativo, a cada una de las situaciones siguientes: a) Estamos en el segundo sótano. b) La temperatura del agua es ahora de 7 C c) Pedro debe a Luis. d) He ahorrado 1 a) b) + 7 C c) d) + 1 Describe una situación real a la que se le pueda asignar el número: a) b) 1 a) C bajo cero. b) 1 metros de profundidad. Escribe matemáticamente lo que reflejan los siguientes enunciados y calcula el resultado: a) Tenía 10 y he pagado 0 b) Subí plantas, y luego he bajado 6 plantas. c) Mi padre me dio y gasté 6 d) Estábamos a C y ha bajado la temperatura C a) 10 0 = 100 b) 6 = c) 6 = 1 d) = Escribe cinco números enteros que no sean naturales. 1,,, y A P L I C A L A T E O R Í A 110 SOLUCIONARIO

28 . Representación gráfica de los números enteros Ordena de menor a mayor las temperaturas de las distintas ciudades que aparecen en el mapa. P I E N S A Y C A L C U L A 6 < < < < < < 6 < 10 < 1 < 1 < 1 < 18 Carné calculista 9 08 : C = 867; R = 1 Representa en una recta los números enteros: 6,6,0,, 8 A P L I C A L A T E O R Í A Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor: a), 0,,,, 7, 7, 1 b),,, 1, 10, 1, Calcula el valor absoluto de los números:, 0, 6,, 8, 9, 9, 1 a) 7 < < < 1 < 0 < < < 7 b) 1 < < < < 8 < 10 < 1 =, 0 = 0, 6 = 6, =, 8 = 8, 9 = 9, 9 = 9, 1 = 1 7 Halla los números enteros correspondientes a los puntos representados en la siguiente recta:, 1, y El valor absoluto de un número es 6. Qué número puede ser? El 6 o el 6 Escribe dos números que tengan el mismo valor absoluto. Por ejemplo: y UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 111

29 . Suma y resta Observa la tabla siguiente y calcula mentalmente: P I E N S A Y C A L C U L A Pedro está en la casilla y avanza a la derecha casillas. Termina en la casilla Silvia está en la casilla 6 y avanza a la izquierda 8 casillas. Termina en la casilla Natalia está en la casilla y avanza a la derecha casillas. Termina en la casilla Belén está en la casilla 1 y avanza a la izquierda casillas. Termina en la casilla Termina en la casilla Termina en la casilla Termina en la casilla Termina en la casilla 6 Carné calculista 7 90 : 9 C = 1 869; R = 1 A P L I C A L A T E O R Í A 11 Efectúa mentalmente las siguientes operaciones: 1 Quita los paréntesis y calcula: a) 7 + a) 10 + ( ) + ( ) b) + ( 6) b) 10 + ( 8) ( 1) + c) c) 8 + ( + ) ( + 6) d) 9 + ( ) d) ( ) ( + 1) ( ) a) 1 b) 9 c) d) 6 a) 1 b) 18 c) 6 d) 0 1 Calcula mentalmente: 1 Efectúa las siguientes operaciones: a) 7 a) b) 8 ( 6) b) c) 0 ( 8) c) d) 7 ( ) d) a) b) c) 8 d) 10 a) b) 6 c) d) 11 SOLUCIONARIO

30 . Multiplicación y división Recuerda que una multiplicación es una suma de sumandos iguales: a veces a b = b + + b Es decir: = Fíjate en el dibujo y, partiendo de la casilla a b, señala la casilla final del resultado de las siguientes multiplicaciones: a b Con a Sumar a veces en el sentido que indica b Con b Ir hacia la derecha. Con ( a) Sumar a veces en el sentido contrario que indica b Con ( b) Ir hacia la izquierda. a) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) a) 6 b) 6 c) 6 d) 6 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 09 : 78 C = ; R = 7 1 Efectúa mentalmente las siguientes operaciones: a) 6 b) ( 7) c) 8 ( ) d) ( 9) 1 a) 0 b) 1 c) d) 108 A P L I C A L A T E O R Í A 18 Efectúa las siguientes operaciones: a) : b) : c) [ + ( )] d) 7 ( 8) : a) 10 b) c) 0 d) 16 Calcula mentalmente: a) 18 : 9 b) 8 : ( ) c) 1 : ( ) d) 6 : 1 a) b) 1 c) d) 17 Calcula mentalmente: a) ( + 8) b) ( + 6) c) 6(7 ) d) ( ) a) 0 b) 6 c) 18 d) 6 19 Calcula: a) 1 ( ) b) + 0 : [ (8 9)] c) ( + ) [ (1 8)] d) + [7 ( )] a) 1 b) 9 c) 16 d) 6 0 Calcula mentalmente el valor de k: a) k ( 8) = b) 1 k = 8 c) 6 : k = 9 d) k : ( ) = 16 a) b) c) 7 d) 6 UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 11

31 Ejercicios y problemas 1. Los números negativos 1 Asigna un número, positivo o negativo, a cada una de las situaciones siguientes: a) Gané 0 b) El termómetro indica C bajo cero. c) Juan tiene que pagar una factura de 8 d) Me han regalado 1 a) + 0 b) C c) 8 d) +1 Escribe los cinco números enteros negativos que tengan menor valor absoluto. 1,,, y 6 Escribe cuatro números enteros que no sean naturales. 9, 1, 0 y Expresa matemáticamente los siguientes enunciados y calcula el resultado: a) Tengo 0 y me regalan 10 b) La temperatura era de 1 C y ha bajado C c) En el banco tengo 0 y han pagado un recibo de 8 d) El avión volaba a 000 m y ha ascendido 1 00 m. Representación gráfica de los números enteros a) = 0 b) 1 = 8 C c) 0 8 = d) = 00 m 7 Representa en una recta los números enteros:, 6, 0,, 0 6 Escribe matemáticamente los siguientes enunciados: a) He ganado cada día durante días. b) He pagado cada día durante días. c) Me dieron cada día durante días y después gasté 6 d) Pedí prestado 8 y gané 6 8 Calcula el valor absoluto de los números enteros siguientes:,, 6, 0, =, =, 6 = 6, 0 = 0, = a) b) ( ) c) 6 d) Describe una situación real que se le pueda asignar el número: a) 1 b) 6 a) Debo 1 b) Estoy en la sexta planta del sótano. 9 Calcula el valor absoluto de: a) 7 b) a) 7 b) 0 El valor absoluto de un número es 1. Qué número puede ser? 1 o 1 11 SOLUCIONARIO

32 1 Ordena los siguientes números de menor a mayor: a), 0,, 1, 7,, 9 b), 7,,0,, 8, 1 c) 8, 0, 7,,, 6, 6, d) 1,,, 1, 10, 11, 9 a) 0 < 1 < < < < 7 < 9 b) 8 < 7 < < < < 1 < 0 c) 7 < 6 < < < 0 < < 6 < 8 d) 1 < 11 < < 1 < < 9 < 10 Escribe el opuesto de los siguientes números: a) 7 b) 8 c) d) 16 a) 7 b) 8 c) d) 16. Suma y resta Efectúa mentalmente las siguientes sumas: a) b) 1 + ( 6) c) 1 + ( 0) d) 19 + ( 9) a) 17 b) 18 c) d) 10 Calcula mentalmente: a) b) + 0 c) + ( 1) d) + ( 6) 6 Realiza las siguientes operaciones: a) + b) + c) d) 9 6 e) f ) a) b) c) 1 d) e) 1 f) 1 7 Quita los paréntesis y calcula: a) 0 + ( 1) + 8 ( 9) b) 1 + ( 7) ( 10) + 6 c) ( 6) + 8 ( ) ( 7) d) ( 1) ( 8) + ( 7) a) b) 1 c) d) 0 8 Quita los paréntesis y calcula: a) [ ( 9)] b) 10 ( 7) ( ) + c) ( 6) ( ) [ ( )] + 1 d) ( ) [ ( 7)] ( ) [ ( )] a) 11 b) c) d) a) 6 b) c) 0 d) 1 Haz las siguientes restas: a) 17 1 b) 9 ( ) c) ( 1) d) 17 ( ) a) b) c) 0 d) 9 Efectúa las siguientes operaciones: a) b) c) d) a) b) 7 c) d) UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 11

33 Ejercicios y problemas 0 Quita los paréntesis y calcula: a) + 9 ( 8 + ) b) (8 + ) c) 6 [ (1 + )] ( + 1) d) + + [ ( )] a) b) 17 c) 0 d). Multiplicación y división 1 Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 7 b) ( 6) c) 7 ( 6) d) 9 a) 8 b) 0 c) d) 7 Multiplica: a) ( 1) b) 7 c) ( ) ( 0) d) 8 ( ) ( 6) a) b) 10 c) 0 d) 19 Calcula: a) 16 : b) : ( 7) c) : ( ) d) 7 : 9 Divide: a) 18 : : b) 70 : ( 10) : 9 c) 6 : 8 : d) 10 : ( 1) : ( ) a) b) 8 c) d) Calcula: a) (7 + 9) b) 6(1 + 8) c) 8(19 1) d) (1 ) a) 80 b) 10 c) 6 d) 8 6 Calcula: a) : b) : 6 c) : 9 d) 8 : + a) 1 b) c) 81 d) 0 7 Efectúa las siguientes operaciones: a) : b) + 1 : c) 0 + : 1 d) : a) b) c) 9 d) 8 a) 1 b) 1 c) 1 d) 116 SOLUCIONARIO

34 Para ampliar 8 Escribe tres números enteros que sean: Calcula: a) Menores que 1 y mayores que 7 a) b) Menores que y mayores que b) 1 + c) Menores que y mayores que 9 c) d) Menores que 0 y mayores que 6 d) a) 8, 9 y 10 b) 1, 0 y 1 c) 7, 6 y d), y 9 Escribe tres números enteros que sean: a) Menores o iguales que 0 b) Menores o iguales que c) Mayores o iguales que d) Menores o iguales que 1 a), 1 y 0 b), y c), y d) 1, 0 y Haz la representación gráfica y escribe todos los números enteros que sean: a) Mayores que y menores que 6 b) Mayores que 6 y menores que c) Mayores que y menores que d) Mayores que y menores que 0 a) b) c) d) Haz la representación gráfica y escribe todos los números enteros tales que: a) Su valor absoluto sea menor que b) Su valor absoluto sea menor que a) b) a) 7 b) 19 c) 1 d) 10 Efectúa las siguientes operaciones: a) b) c) + 1 d) a) 1 b) 1 c) 81 d) Calcula: a) + 1 ( ) + 8 : b) ( 9) + 16 : 8 c) : : d) 0 : (6 8) ( ) + 6 : a) 18 b) 19 c) 9 d) Efectúa: a) + ( ) + : b) ( + ) ( ) c) 7 ( + 7) 6 ( ) d) ( + ) ( + ) a) 0 b) 16 c) 11 d) UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 117

35 Ejercicios y problemas 6 Calcula: a) 1 (9 + + ) b) + 0 : (6 ) + [ (8 9)] c) (6 + ) [ ( ) (1 8)] d) ( + ) [6 (1 )] a) 1 b) 1 c) 16 d) 1 7 Calcula mentalmente el valor de k: a) k ( ) = 8 b) k = 10 c) 7 : k = d) k : ( 8) = 7 Con calculadora 8 Calcula: a) 10 [ (90 1) + ] b) : (6 ) [1 (8 9)] c) 7 (6 + ) [ (1 8)] d) (7 + ) [6 (18 7)] a) 167 b) 111 c) 870 d) 1 a) 7 b) c) d) 6 Problemas 9 La temperatura más alta medida en un congelador ha sido de C bajo cero y la más baja, de 6 C bajo cero. Cuál es la diferencia entre las temperaturas? ( 6) = ºC 61 En un almacén tuvieron 00 de beneficio en el primer mes, perdieron 87 en el segundo mes y ganaron 800 en el tercer mes. Tuvieron ganancias o pérdidas durante el trimestre? A cuánto ascendieron? = 6 Ganancias de 6 60 Un avión vuela a m de altura. Sube m para evitar una tormenta y luego desciende hasta los 600 m. Cuántos metros ha descendido el avión? 600 ( ) = 6 00 Desciende: 6 00 m 6 Hemos comprado 100 acciones de una empresa a un precio de. Pasados tres meses, el valor de cada acción es de 19. A cuánto asciende la pérdida? (19 ) 100 = 00 Pérdida: SOLUCIONARIO

36 6 Cuántos años transcurren desde a. C. a 1967 d.c.? ( ) = años. 6 Salí de mi piso y bajé plantas para buscar a mi amigo Juan. Subimos pisos hasta la casa de Inés, que vive en el 9º. En qué piso vivo? 9 + = 8 En el 8º 6 Aristóteles nació en el año 8 a.c. y vivió 6 años. En qué año murió? = 0 En el 0 a.c. Para profundizar Puede haber tres números que tengan el mismo valor absoluto? No. Entre un número entero positivo y otro negativo, hay tres números enteros. Cuáles son los números? Busca todas las soluciones. Del 1 al : 0, 1 y Del al : 1, 0 y 1 Del al 1:, 1 y Hemos comprado un camión congelador que estaba, al ponerlo en marcha, a C. Al cabo de horas estaba a 7 C. Cuántos grados bajó cada hora? ( 7 ) : = 8 ºC Bajó 8 ºC cada hora. Un termómetro marca 1 C después de haber subido 7 C y bajado C. Cuál era la temperatura inicial? = 8 ºC En la siguiente tabla se indican las temperaturas que se han registrado en algunas ciudades. a) En qué ciudad hizo más frío? b) En qué ciudad hizo menos frío? c) Cuál es la diferencia de temperatura entre esas dos ciudades? a) En Praga. b) En Sevilla. c) 10 ( 8) = 18 C Ciudad C Praga 8 Amsterdan Francfort 0 Madrid 7 Sevilla 10 UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 119

37 Aplica tus competencias La cuenta corriente 71 Julio ha consultado en un cajero automático los últimos movimientos de su cuenta corriente y ha obtenido el siguiente resguardo: **CAJERO AUT.** REF FECHA 10/07 HORA :1 OPERACIÓN 6 TARJETA NUM. ****** **** ** Consulta últimos movimientos en c/c FECHA CONCEPTO IMPORTE 10/07 Saldo c/c 09/07 Disp. Caj. 01 0/07 Compra T. 0 0/07 Disp. Caj. 10 9/06 Haberes 8 + 1/06 Recibo 0/06 Pago Tarjeta 8 01/06 Saldo c/c 10 a) Cuál es el saldo que le queda a 10/07? b) Cuánto ha gastado? a) = 890 b) = Ha gastado 10 SOLUCIONARIO

38 Comprueba lo que sabes 1 Escribe la regla de los signos y pon un ejemplo de cada caso. Representa en la recta los siguientes números y ordénalos de menor a mayor:, 6, 0, 1,, 7, 7 Multiplicación Regla Ejemplo (+) (+) = + = 1 ( ) ( ) = + ( ) = 1 (+) ( ) = 6 ( 7) = ( ) (+) = 7 = División Regla Ejemplo (+) : (+) = + 1 : = ( ) : ( ) = + 1 : ( ) = (+) : ( ) = : ( 7) = 6 ( ) : (+) = : 7 = 7 < < < 1 < 0 < < 6 Calcula: a) b) a) b) Calcula: ( + ) ( 7) 7 Calcula: ( + ) ( + ) Expresa matemáticamente los siguientes enunciados y halla el resultado: a) Tenía en el banco y me han cobrado un recibo de 86 b) La temperatura es de C bajo cero y ha subido C c) Mi hermana gastó y yo gasté 7 d)estaba buceando a m del nivel del mar y he descendido 1 m más. a) 86 = 1 b) + = 1 C c) 7 = d) 1 = m Salí de mi piso y bajé plantas a buscar a mi amigo Juan. Subimos pisos hasta la casa de Inés, que vive en el 9º. En qué piso vivo? 9 + = 8 En el 8 Efectúa: a) ( ) b) 6 : ( 8) : a) 0 b) UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 11

39 Windows Derive Paso a paso 7 Calcula: Resuelto en el libro del alumnado. 76 El número 8 menos 876 lo multiplicamos por el número Resuelto en el libro del alumnado. 7 Calcula: Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris. Resuelto en el libro del alumnado. 7 Calcula: Calcula: : ( 6) : 78 Resuelto en el libro del alumnado. 7 (0 678) 9 Resuelto en el libro del alumnado. 77 Hemos comprado un camión congelador que estaba, al ponerlo en marcha, a C. Al cabo de horas estaba a 7 C. Cuántos grados bajó cada hora? Resuelto en el libro del alumnado. 78 Un globo asciende 0 m, luego baja 18 m y vuelve a subir 10 m. A qué altura se encuentra? Resuelto en el libro del alumnado. Escribe la expresión numérica correspondiente al siguiente enunciado y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris. 79 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 80 Calcula: a) b) c) 76 ( 6 + 6) d) ( 8 000) 81 Calcula: a) 9 67 b) 71 1 : ( 76) c) : ( 0) d) 0 : ( 87) 67 a) b) c) 1 96 d) a) 1 b) 9 c) d) 6 1 SOLUCIONARIO

40 Linux/Windows 8 Calcula: a) 87 ( 76) b) : c) ( + 76) d) ( ) 87 a) 898 b) 1 c) 100 d) Escribe la expresión numérica correspondiente a los siguientes enunciados y halla el resultado: 8 Al producto de 9 por 8 le restamos 60 9 ( 8) 60 = El número 68 lo multiplicamos por 7 y lo dividimos entre : ( 78) = 088 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: 8 Un avión vuela a m de altura, y un submarino está a 8 m. Qué diferencia de altura hay entre ellos? ( 8) = m 86 Un avión baja 6 m en segundos. Cuánto ha descendido cada segundo? Hemos comprado acciones de una empresa a cada acción y las hemos vendido por 7. Cuánto hemos ganado o perdido? 7 = 900 Se han perdido: 900 En una cuenta corriente con 10 de saldo se han producido los siguientes movimientos: Se ha ingresado una nómina de 189 Se ha descontado el recibo de la luz de 1 Se ha descontado un gasto de tarjeta de 6 Qué saldo queda en cuenta? = 7 Saldo: 7 Un comercio ha cerrado los cuatro trimestres con el siguiente balance: 1 er trimestre: beneficio de 68 /mes trimestre: pérdidas de 79 /mes er trimestre: pérdidas de /mes trimestre: beneficio de 1 00 /mes Cuál es el balance final? = 01 Balance: 01 6 : = 1 m/s 87 Hemos comprado 0 kg de marisco a 9 el kilo, se han estropeado 1 kg y hemos vendido el resto a. Cuánto hemos ganado o perdido? (0 1) 0 9 = 0 Se han perdido: 0 91 David sale de su casa con 180. Se compra una revista que le cuesta y dos camisas cuyo importe es de cada una. Se encuentra con su padre, que le regala 17. Con cuánto dinero vuelve a casa? = 1 Con 1 UNIDAD. LOS NÚMEROS ENTEROS 1

41 Las fracciones 1. Concepto de fracción Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una? P I E N S A Y C A L C U L A 1/ Carné calculista 6 0 : 79 C = 8; R = 6 A P L I C A L A T E O R Í A 1 Qué fracción de figura está coloreada en cada caso? a) b) Calcula: a) / de 18 b) /7 de a) 1/ b) / a) 18 : = 1 b) : 7 = 0 Dibuja un cuadrado y representa en él / Clasifica las siguientes fracciones: /, /, / / Fracción propia. / Fracción impropia. / Fracción igual a la unidad. Representa 7/ utilizando círculos. 6 Introduce en la calculadora impropia. 19 ab/c = como fracción 1 SOLUCIONARIO

42 A P L I C A L A T E O R Í A 7 Escribe la fracción correspondiente a los siguientes puntos: 9 Tenemos una docena de huevos y gastamos los / para hacer una tortilla. Cuántos huevos quedan? 1 / 1/ 7/ Gastamos: 1 = 1 : = 9 Quedan: 1 9 = 8 Representa en la recta los siguientes números: ,,,,, Fracciones equivalentes Expresa la fracción de tarta que le corresponde a cada una. A cuál de las dos le corresponde mayor parte? P I E N S A Y C A L C U L A 1/ y /6, a ambas les corresponde la misma cantidad. Carné calculista 7 90 : 9 C = 1 869; R = 1 10 Calcula mentalmente el número que falta para que las fracciones siguientes sean equivalentes: 6 1 a) = b) = 8 6 a) b) De las siguientes fracciones, di cuáles son equivalentes:,,,, /6 = / = 10/1 8/10 = / A P L I C A L A T E O R Í A UNIDAD. LAS FRACCIONES 1

43 1 Obtén fracciones equivalentes a / por amplificación. / = 6/8 = 9/1 = 1/16 = 1/0 = 18/ 1 Reduce a mínimo común denominador las fracciones:,, m.c.m.(, 6, 8) = / = 18/ /6 = 0/ 7/8 = 1/ 1 Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: a) b) c) d) 1 Simplifica las fracciones siguientes para obtener la fracción irreducible correspondiente: a) b) c) d) a) / b) / c) / d) / 16 Ana, María y Pedro compran un refresco cada uno. A los 10 minutos, le queda la mitad a Ana, los tres cuartos a María y un tercio a Pedro. Ordena, de menor a mayor a los tres amigos, según la cantidad que les queda. 1 < 1 < Pedro < Ana < María A P L I C A L A T E O R Í A / < / < / < /. Suma y resta de fracciones Calcula mentalmente el número de cuadrados que pintarías en la figura de la derecha y expresa la fracción correspondiente. P I E N S A Y C A L C U L A + + = Carné calculista cuadrados pintados. La fracción es 0 67 : 9 C = 88; R = 9 16 SOLUCIONARIO

44 A P L I C A L A T E O R Í A 17 Calcula mentalmente: 1 1 a) 1 + b) 1 1 Realiza mentalmente las siguientes operaciones: a) + b) 6 a) / b) 1/ 18 Opera mentalmente las siguientes fracciones: 7 6 a) + + b) + + a) 1/ b) 11/ 19 Realiza las siguientes operaciones: a) + b) a) 19/ b) 0 0 Opera las siguientes fracciones: a) + b) a) /1 b) 11/ 11 0 a) 17/ b) 19/6 Calcula la fracción opuesta de cada una de las siguientes fracciones y haz la comprobación: a) b) a) /, comprobación: / + ( /) = 0 b) /, comprobación: / + / = 0 Realiza las siguientes operaciones: 16 7 a) + b) a) 9/10 b) 91/ En una botella de un litro vacía, echamos / de agua y luego 1/. Cuánto falta para llenarse? 1 (/ + 1/) = 1/ Multiplicación y división de fracciones En la figura de la derecha, rellena de verde la fracción que se indica en los cuadros verdes de la izquierda y calcula mentalmente la fracción correspondiente del total. 1 P I E N S A Y C A L C U L A /8 Carné calculista 6 1 : 7 C = 1 768; R = UNIDAD. LAS FRACCIONES 17

45 Realiza las siguientes multiplicaciones: a) b) c) d) 6 e) 10 f ) ( 1) 8 a) 0/1 b) 1/7 c) 16/ d) 1/ e) f) 16 6 Calcula la fracción inversa de cada una de las siguientes fracciones y haz la comprobación: 1 a) b) c) d) 7 6 a) 7/, comprobación: /7 7/ = 1 b) /, comprobación: / ( /) = 1 c) 1/, comprobación: 1/ = 1 d) 6, comprobación: 1/6 ( 6) = 1 8 Realiza las siguientes operaciones: 6 a) 7 : b) : 6 c) : ( 9) a) / b) 1/8 c) /1 9 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) + : b) ( ) c) ( ) : d) ( : ) a) 9/7 b) 17/8 c) 1/ d) 99/16 A P L I C A L A T E O R Í A Haz las siguientes divisiones: a) : b) : c) : Compramos 100 litros de refresco a el litro, los envasamos en botes de 1/ de litro y los vendemos a 1. Cuánto dinero ganaremos? a) 16/ b) 7/0 c) 9/10 Ganamos: = SOLUCIONARIO

46 Ejercicios y problemas 1. Concepto de fracción 1 Qué fracción de figura está coloreada en cada caso? a) b) a) / b) / 6 Indica si las siguientes fracciones son mayores, menores o iguales que la unidad: 8 a) b) c) d) 7 a) Menor. b) Mayor. c) Igual. d) Mayor. Dibuja un triángulo equilátero y representa en él 1/ 7 Introduce en la calculadora las siguientes fracciones: 6 1 a) b) c) d) 7 a) ab/c = b) 6 ab/c = 6 c) 1 ab/c = 1 d) ab/c 7 = 7 Representa 7/ utilizando cuadrados. 8 Clasifica las siguientes fracciones como positivas o negativas: 7 a) b) c) d) 6 Calcula: a) / de 80 b) 7/ de 1 a) 80 : = 60 b) 1 : 7 = 17 Clasifica las siguientes fracciones como propias o impropias: a) b) c) d) 9 8 a) Propia. b) Impropia. c) Impropia. d) Propia. a) Negativa. b) Negativa. c) Positiva. d) Negativa. 9 Escribe la fracción correspondiente a los siguientes puntos: Representa en una recta las siguientes fracciones: 7 a) b) c) d) / / / / / 0 1 / 7/ 1 UNIDAD. LAS FRACCIONES 19

47 Ejercicios y problemas 1 Representa en una recta las siguientes fracciones: a) b) c) d) Simplifica las siguientes fracciones para obtener la fracción irreducible correspondiente: 0 8 a) b) c) d) a) / b) / c) 1/ d) /. Fracciones equivalentes Calcula mentalmente el número que falta para que las fracciones sean equivalentes: 0 a) = b) = 1 7 a) b) De las siguientes fracciones, di cuáles son equivalentes: 6 10,,,, /8 = /; 10/ = / = /10 Obtén fracciones equivalentes a / por amplificación. / = /6 = 6/9 = 8/1 = 10/1 = 1/18 Reduce a mínimo común denominador las fracciones: 7,, 6 m.c.m. (,, 6) = 1 / = 8/1; 7/ = 1/1; /6 = 10/1. Suma y resta de fracciones 8 Calcula mentalmente: 1 1 a) 1 b) + a) 1/ b) / 9 Opera mentalmente las siguientes fracciones: 9 6 a) + + b) a) 17/ b) 0 Realiza las siguientes operaciones: a) + b) a) /1 b) 1/ 1 Opera las siguientes fracciones: 7 17 a) + b) a) /8 b) 1/ Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: 6 6 a) b) c) d) 7 7 6/7 < / < / < 6/7 Realiza las siguientes operaciones: 7 7 a) + b) 9 a) / b) 8/ 10 SOLUCIONARIO

48 Ejercicios y problemas Calcula la fracción opuesta de cada una de las siguientes fracciones y haz la comprobación: 1 a) b) c) d) 7 6 a) /, comprobación: / + ( /) = 0 b) /7, comprobación: /7 + /7 = 0 c), comprobación: + = 0 d) 1/6, comprobación: 1/6 + ( 1/6) = 0 Realiza las siguientes operaciones: 1 1 a) b) a) 9/ b) 1/6. Multiplicación y división de fracciones Multiplica las siguientes fracciones: a) b) c) a) 1/0 b) 0/7 c) 8/ 1 6 Realiza las siguientes operaciones: a) 9 b) c) ( 6) 1 8 Haz las siguientes divisiones: a) : b) : c) : ( ) 8 9 a) 9/10 b) /8 c) 7/ 9 Realiza las siguientes operaciones: 7 1 a) 1 : b) : c) 18 : 8 a) 96/7 b) 1/10 c) 7/ 60 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) + : b) + : a) 9/10 b) 1/0 61 Realiza las siguientes operaciones combinadas: 1 a) ( ) ( + 7 b) 7 + ) : a) 161/108 b) 7/8 a) 1/ b) 0 c) 7 Calcula la fracción inversa de cada una de las siguientes y haz la comprobación: 1 a) b) c) d) 7 6 a) /, comprobación: / / = 1 b) 7/, comprobación: /7 ( 7/) = 1 c) 1/, comprobación: ( 1/) = 1 d) 6, comprobación: 1/6 6 = 1 UNIDAD. LAS FRACCIONES 11

49 Ejercicios y problemas Para ampliar 6 Escribe tres fracciones de cada uno de los siguientes tipos: a) Negativas. b) Comprendidas entre cero y uno. c) Iguales a la unidad. d) Impropias. 68 Opera y simplifica: a) + b) 8 8 a) 97/ b) 61/7 9 a) /, /, 7/9 b) 1/, /, 7/9 c) /, /, 7/7 d) /, 7/, 9/8 69 Realiza las siguientes operaciones: a) ( ) b) ( + ) : 6 Escribe una fracción comprendida entre los siguientes números: a) Entre 0 y 1 b) Entre y c) Entre 1 y 0 d) Entre y 1 a) 1/ b) / c) 1/ d) / 6 Realiza las siguientes operaciones: 7 a) + 6 b) 8 1 a) 9/8 b) 18/6 6 Realiza las siguientes operaciones: a) ( + ) b) ( + ) + a) 9/ b) 6/6 66 Realiza las siguientes operaciones: a) b) 9 6 a) 1 b) 17/ a) 1/1 b) 6/7 70 Calcula: a) ( + ) ( 1 ) b) ( ) ( + : 1 8 ) a) 9/0 b) 10/ 71 Haz las operaciones siguientes: 1 10 a) : ( ) b) + ( ) a) 97/0 b) 19/6 Tenemos 10 cajas de refresco de botellas cada una y gastamos los /. Cuántas botellas nos quedan? Gastamos: 10 / = 1 botellas. Quedan: 0 1 = 96 botellas. 67 Realiza las siguientes operaciones: 9 1 a) b) : 1 a) /8 b) / Qué fracción de un año representa? a) Un semestre b) Un trimestre a) 1/ b) 1/ 1 SOLUCIONARIO

50 Ejercicios y problemas 7 En una botella de dos litros vacía echamos / de litro, y luego 1/. Cuánto queda para llenarse? (/ + 1/) = 1/6 79 Realiza mentalmente las siguientes operaciones: 1 a) 1 + b) 1 c) + d) 1 7 Calcula mentalmente: 6 a) + + b) a) 11/7 b) 16/9 76 a) / b) /1 77 Calcula mentalmente: 1 6 a) + b) Calcula: 1 1 a) + b) c) d) 1 0 a) /6 b) 10/9 c) 1/6 d) 1/ 8 9 a) / b) 1/ c) 11/ d) / 80 Calcula mentalmente: 10 a) + b) 1 7 c) + d) 9 a) 17/ b) /7 c) /9 d) / 81 Realiza las siguientes operaciones: 1 a) + b) c) 1 d) a) 7/9 b) 9/0 c) 7/1 d) /7 78 Calcula: a) + b) c) d) a) 9/ b) 1/18 c) 7/16 d) /18 8 Multiplica: 8 6 a) b) c) d) 1 1 a) / b) 8/ c) 7/9 d) / UNIDAD. LAS FRACCIONES 1

51 Ejercicios y problemas 8 Calcula mentalmente: a) 7 b) c) 8 d) Calcula: 1 1 a) : : b) : : c) : : d) : 10 : 8 a) 6 b) c) d) 1 a) b) 1/6 c) 0 d) 1/9 8 Calcula: 7 a) b) c) 6 d) 7 8 a) 8/7 b) 7/ c) 9/7 d) / 8 Calcula: a) : b) : c) : d) : a) 9/ b) / c) 7 d) /1 86 Efectúa: 6 a) :10 b) : 6 c) : d) : 9 7 a) 1/ b) /10 c) 9/ d) 7/ 88 Calcula: 7 a) ( + 1) 1 ( b) 1) ( ) 1 7 c) ( ) ( ) ( ) d) a) 0/ b) /1 c) 1/ d) 1 89 Efectúa: a) + : b) : c) : d) + : a) 1/10 b) 8/ c) /1 d) 1/ 90 Calcula: 1 a) ( ) ( : ) ( b) : 9 1) 1 c) ( ) ( ) ( ) : d) : a) 1/ b) / c) 6 d) /6 1 SOLUCIONARIO

52 Ejercicios y problemas 91 Efectúa: a) : : b) + : c) : d) + : a) 11/1 b) 71/70 c) 1/ d) / 9 Realiza las siguientes operaciones: 1 7 a) ( ) b) 1 + c) + ( + ) d) a) / b) 1/1 c) 7/8 d) 1/6 9 Realiza las siguientes operaciones: 1 7 a) ( + ) b) + ( 1) c) ( + ) d) : Efectúa: 1 a) ( + ) ( ) b) ( + 1) ( 1 7 ) 1 1 c) ( ) ( : ) 1 d) ( ) ( ) : a) 11/9 b) /1 c) d) / 96 Realiza las siguientes operaciones: a) ( ) b) ( 1) + 1 c) : ( ) d) 1 ( ) : a) / b) 9/10 c) / d) 7/ a) 9/ b) 6/ c) 1/1 d) 7/ 9 Calcula: 1 a) ( ) : ( b) ) : c) : ( ) d) ( ) : a) 1/ b) 1/ c) 7/ d) 1/ Calcula: 1 a) ( + 1) ( + ) : b) 1 + ( ) + 1 ( : 1 6 ) c) : ( 7 6 ) 7 1 d) : 8 a) 10/7 b) c) /7 d) 1/ UNIDAD. LAS FRACCIONES 1

53 Ejercicios y problemas 98 Calcula: 1 a) + ( 1) ( : 1 1 ) b) ( ) ( ) 1 c) + 1 : ( 9 6 ) 1 9 d) : Calcula: 1 1 a) ( 1 ) ( + ) : 1 b) : ( ) ( 1 8 1) c) + : ( ) 1 7 d) 1 + : a) 7/ b) /1 c) 0/9 d) 8/7 99 Calcula: 1 a) ( ) : ( + ) 1 b) : ( ) 1 1 ( ) c) : + : ( ) d) + : 10 1 a) /7 b) /1 c) 7/8 d) 1 a) 6/7 b) /0 c) / d) / 101 Calcula: a) : ( + 1) ( ) b) + ( ) ( 1 1 : ) 1 1 c) + 1 : ( 6 ) 9 d) ( ) : a) /1 b) 11/10 c) 11/1 d) / Con calculadora 10 Calcula: 7 a) + b) c) d) : a) /9 b) 7/16 c) 0/1 d) 100/6 16 SOLUCIONARIO

54 Ejercicios y problemas 10 Calcula: a) + b) c) ( + ) d) ( 7) : a) 1/0 b) 197/ c) 619/10 d) 7/ Calcula: a) ( ) 7 : 6 ( ) b) ( + ) ( 10 : 07) 7 c) ( + ) ( ) d) ( + ) ( 1) a) 99/8 b) /1 c) 1/0 d) / Problemas 10 Un camión puede cargar kg y lleva / de la carga. Cuántos kilos lleva? / = 800 kg 109 Compramos una garrafa de litros de agua y gastamos tres litros y cuarto. Cuánto le queda? ( + 1/) = 7/ = 1 litro y / 106 Un autocar de plazas lleva los 7/9 de las plazas ocupadas. Cuántas plazas quedan libres? /9 = 1 plazas libres. 107 Un grifo llena los / de un depósito en una hora, y otro grifo, los /7. Cuánto queda para llenarse? 110 Un depósito de agua tiene 600 litros de capacidad y está lleno. Gastamos 1/ y luego 1/ de lo que queda. Cuántos litros quedan en el depósito? (1/ + / 1/) = 00 litros. 1 (/ + /7) = 11/ 108 Calcula el tiempo transcurrido desde las nueve y media de la mañana hasta las doce y cuarto de la misma mañana / (9 + 1/) = 11/ = h y / 111 Una ciudad tiene habitantes; los /8 tienen menos de 0 años, y de éstos los / son estudiantes. Cuántos estudiantes menores de 0 años tiene dicha ciudad? /8 / = estudiantes son menores de 0 años. UNIDAD. LAS FRACCIONES 17

55 Ejercicios y problemas 11 El suelo de un almacén tiene 1 00 m de superficie. Luis pinta un día 1/, y otro día, 1/; su compañero Juan pinta el resto. Si pagan a el metro cuadrado, cuánto cobra cada uno? Luis pinta: 100(1/ + 1/) = 700 m Luis cobra: 700 = 100 Juan pinta: = 00 m Juan cobra: 00 = Una caja contiene 0 bombones.teresa se comió los /, y Ana, 1/. Cuántos bombones quedan en la caja? Entre Teresa y Ana se han comido: 0(/ + 1/) = 6 bombones. Quedan: 0 6 = 1 bombones. 11 Un libro tiene 0 páginas. El primer día leemos 1/; el segundo, 1/6; el tercero, 1/8. Cuántas páginas quedan sin leer? Hemos leído: 0(1/ + 1/6 + 1/8) = 118 páginas. Quedan sin leer: = 1 páginas. 11 Sonia tiene una paga mensual de 1. El sábado se gasta 1/ y el domingo 1/. Cuánto dinero le queda para el resto de la semana? Gasta 1(1/ + 1/) = 10 Le queda: 1 10 = cuesta 0, cada pino y cada olivo 7, cuánto dinero cuestan todos los árboles? Palmeras: 600 1/ = 00 palmeras. Pinos: 600 1/ = 00 pinos. Olivos: 600 ( ) = 100 olivos. Cuestan: = 7600 El depósito de gasolina de un coche contiene 60 litros y gasta / en hacer un trayecto. Si el litro de gasolina cuesta a 0,8, cuánto ha gastado en el trayecto? Ha gastado: 60 / 0,8 = En una clase de 0 alumnos, aprueban las Matemáticas los /, y 1/ de éstos obtienen sobresaliente. Cuántos alumnos han obtenido sobresaliente? Obtienen sobresaliente: 0 / 1/ = alumnos. Una familia gana al año. Gasta en comida /10, en ropa 1/8, en transporte 1/1 y en otras cosas 000. Cuánto ahorra al año? Gasta: (/10 + 1/8 + 1/1) = 1 10 Ahorra: = En una clase de 0 alumnos, 1/ son chicos, y el resto, chicas. De las chicas, 1/ son morenas. Cuántas chicas morenas hay en la clase? 0 / 1/ = 10 chicas morenas. Para profundizar 117 Plantamos en un parque 600 árboles: 1/ son palmeras, 1/ pinos y el resto, olivos. Si cada palmera 11 Un poste de teléfonos tiene bajo tierra 1/ de su longitud. Si la longitud del poste sobre el suelo es de m, cuánto mide el poste en total? Si bajo tierra tiene 1/, entonces sobre el suelo tiene / Para hallar la altura sobre el suelo se multiplica la longitud del poste por /, por tanto, para hallar la altura del poste se divide la altura sobre el suelo entre / : / = m 18 SOLUCIONARIO

56 Aplica tus competencias 1 Calcula cuánto valen cuarto y mitad de gambas, si el kilo cuesta Resuelto en el libro del alumnado. 1 Calcula cuánto valen mitad de cuarto de chirlas si el kilo cuesta = Comprueba lo que sabes 1 Cuándo son equivalentes dos fracciones? Pon un ejemplo. Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad. Para comprobarlo se aplica la regla de los productos cruzados que dice: Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados son iguales. Ejemplo 6 = 8 = 6, es decir, = 8 Simplifica /7 Representa en una recta las fracciones 1,, Calcula 7 + 1/ / 1 1/ / Calcula 1 6 6/ Calcula ( ) ( : ) 17/11 1 Un depósito de gasolina tiene litros de capacidad y está lleno. Gastamos /8, y luego 1/6. Cuántos litros quedan en el depósito? Se han gastado: 0 000(/8 + 1/6) = 16 0 litros. Quedan: = 1 70 litros. Compramos 100 litros de refresco a el litro, lo envasamos en botes de 1/ de litro y los vendemos a 1. Cuánto dinero ganaremos? Ganancias: = UNIDAD. LAS FRACCIONES 19

57 Windows Derive Paso a paso 1 Simplifica la siguiente fracción: 1 18 Resuelto en el libro del alumnado Calcula: Calcula: Calcula: : Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 18 Calcula: ( ) + Resuelto en el libro del alumnado. Escribe la expresión numérica correspondiente al siguiente enunciado y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris: 19 Calcula los / de 1 9 Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: 10 Carlos se gasta el sábado en golosinas un tercio de la paga. El domingo va al cine con los amigos, gastándose dos quintos de lo que le queda. Qué fracción de la paga le queda para el resto de la semana? Resuelto en el libro del alumnado. 11 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. 7 6 Practica 1 1 Simplifica las siguientes fracciones: a) 18 b) 7 0 a) 8/1 b) / Calcula: a) 7 + b) a) 7/1 b) / Calcula: a) 6 7 b) 6 : ( 9) 8 c) ( 1) d) : 6 a) 1/ b) /1 c) 16 d) 1/8 10 SOLUCIONARIO

58 Linux/Windows 1 16 Calcula: a) 6 b) : 7 Calcula: 6 a) ( ) : b) ( : ) a) 1/ b) 99/16 Escribe la expresión numérica correspondiente a los siguientes enunciados y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris. 17 a) 16/ b) 9/ Calcula los 7/18 de Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris En un hospital hemos comprado un bidón de alcohol de 1 76 litros. Los envasamos en botellas de / Cuántas botellas llenaremos? 1 76 : / = botellas. Hemos comprado litros de colonia a el litro. Los envasamos en frascos de 1/8 de litro, que vendemos a 7 cada uno. Cuánto dinero ganaremos si cada frasco nos cuesta 7? Nº de frascos: : 1/8 = 1 1 frascos. Ganancias: 1 1(7 7) = 79 7/ = Divide entre 17/8 : 17/8 = 170 UNIDAD. LAS FRACCIONES 11

59 Los números decimales 1. Números decimales Escribe la fracción y calcula mentalmente el número decimal de la cantidad correspondiente: a) Una botella con medio litro = 1/ = 0, b) Una botella con un cuarto de litro. c) Una botella con un quinto de litro. d) Una botella con tres cuartos de litro. a) 1/ = 0, b) 1/ = 0, c) 1/ = 0, d) / = 0,7 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 1. Completa en tu cuaderno: a) unidades =... centésimas b) milésimas =... unidades a) 00 b) 0,0. Haz la descomposición decimal de los siguientes números: a), b), c) 7,80 d) 8, a) D U b) c) d) D D D 8 U U 7 U d d d 8 d 6 70 : 7 C = 1 77; R = 7 c c c c m m m m. Convierte las siguientes fracciones decimales en números decimales: a) b) 7 c) d) 8 0 a) 0,7 b), c) 16, d),1. Ordena de menor a mayor:,; 1,7; 0,; 0, 1,7 < 0, < 0, <, A P L I C A L A T E O R Í A. Convierte los siguientes números decimales exactos en fracción: a) 0, b),7 c) 0, d), a) 1/ b) 11/ c) 11/0 d) 16/ 1 SOLUCIONARIO

60 6. Representa en la recta los siguientes números decimales: a) 0, b) 1,7 c), d),, 1,7 0, Escribe un número decimal que esté comprendido entre cada uno de los pares siguientes: a) Entre, y,6 b) Entre,8 y,6 c) Entre 7, y 7,6 d) Entre 8, y 8,, 8. Calcula los valores absolutos siguientes: a), b),87 c) 0,0 d) 0,0 a), b),87 c) 0,0 d) 0,0 A P L I C A L A T E O R Í A a), b), c) 7, d) 8,. Suma, resta y multiplicación Plantea y resuelve mentalmente las siguientes situaciones: a) Teníamos 1, kg de arroz y compramos, kg. Cuántos kilos de arroz tenemos? b) De una garrafa de litros hemos gastado, litros. Cuánto queda? c) Tenemos 10 botellas de agua de 1, litros cada una. Cuántos litros de agua tenemos? a) 1, +, = kg b), = 1, litros c) 10 1, = 1 litros P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista : = 9 Suma los siguientes números decimales: a), + 7,8 b) 16, + 7,8 + 8,967 c), + 80,76 d) 0,00 + 7, + 99,1 a),07 b) 18,017 c) 88,06 d) 106, 10 Resta los siguientes números decimales: a) 8,7 67,1 b) 8,,7 c) 8,7 97, d),67 0,8 a) 16,1 b),0 c) 76,66 d) 1,987 A P L I C A L A T E O R Í A UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 1

61 11 Multiplica los siguientes números decimales: a), 7, b),9 8, c),89 0, d) 0, ,0 a) 9, b) 00,76 c) 71, d) 0, Multiplica mentalmente los siguientes números: a) 7, 100 b) 0,06 10 c) 6, d) 0, a) 7 b) 0,6 c) d) 8,76 1 Para hacer una paella utilizamos los siguientes ingredientes: 0, kg de arroz, 0, kg de calamares, 0, kg de chirlas y 0,7 kg de gambas. Cuánto pesan los ingredientes? 0, + 0, + 0, + 0,7 = 1,7 kg 1 Halla el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden,7 m y 6,8 m (,7 + 6,8) = m 16 A P L I C A L A T E O R Í A Compramos 100 bolsas de patatas fritas, que pesan 0, kg cada una. Cuántos kilos pesan? 1 Multiplica mentalmente los siguientes números: a) 8,19 0,01 b),6 0,001 c) 69, 0,0001 d) 0,0 0, , = kg a) 0,0819 b) 0,6 c) 0,069 d) 0,00. División y operaciones combinadas Calcula mentalmente el resultado de las siguientes operaciones: a) 0 : 10 b) 000 : 100 c) + d) ( + ) P I E N S A Y C A L C U L A a) b) 0 c) 1 d) 0 Carné calculista 17 Haz las siguientes divisiones obteniendo dos decimales: a) 1 : 8 b) 1 : 7 c) : 11 d) : 1 a),87 b) 1,8 c) 1,6 d) 0, : 9 C = 61; R = 0 18 Efectúa las siguientes divisiones obteniendo dos decimales: a) 8, : 9 b) 6,8 : c),9 : 17 d) 87, : 7 a) 9,7 b) 7,60 c) 0, d) 1,9 A P L I C A L A T E O R Í A 1 SOLUCIONARIO

62 19 Efectúa las siguientes divisiones obteniendo dos decimales: a) 87, : 6, b) 7, : 0,0 c) 0,8 :, d) 8, :,7 a) 10, b) 0 c) 0,1 d),0 0 Divide mentalmente los siguientes números: a) 78, : 100 b) 0,0 : 10 c) 76, : d), : a) 7,8 b) 0,00 c) 0,0076 d) 0,0 1 Divide mentalmente los siguientes números: a) 7, : 0,01 b) 0,006 : 0,001 c), : 0,0001 d) 678, : 0,1 a) 7 b),6 c) 000 d) 6 78 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a), +, 7,8 b) 6, : 6,, c),(6, + 6,98) d) (,6 0,8) : 1, a) b),6 c) 0,96 d) 7,6 Un almacenista compra 1 00 litros de refresco y lo envasa en botellas de 1, litros. Cuántas botellas llenará? 1 00 : 1, = 800 botellas de 1, litros Un coche con litros de gasolina recorre 8 km. Si el litro de gasolina cuesta 0,91, cuánto gasta en gasolina cada kilómetro? 0,91 : 8 = 0,09 Para la fiesta de fin de curso, los 8 alumnos y alumnas de una clase compraron 0 litros de refresco a 1, el litro, 1, kg de patatas fritas a,7 el kilo y adornos para la clase por 8,. Cuánto tuvo que pagar cada uno? (0 1, + 1,,7 + 8,) : 8 =,1 A P L I C A L A T E O R Í A. Aproximaciones y problemas Haz una estimación del número de habitantes de: a) España. b) La comunidad autónoma en la que vives. c) Tu pueblo o ciudad. a) millones. b) Por ejemplo Andalucía, 8 millones. c) habitantes. Carné calculista 9 ( 7 ) = 6 8 P I E N S A Y C A L C U L A UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 1

63 6 Haz una estimación del resultado de las siguientes operaciones, y luego calcula su valor exacto con la calculadora para verificar el resultado: a) 1,9 +,0 b) 18,78,8 c),98 + 1,0 +,89 d) 1,89 78,0 a) 1 + = 6, calculadora: 6 b) 19 6 = 1, calculadora: 1,9 c) = 7, calculadora: 7,89 d) = 8, calculadora: 7,8 7 Redondea mentalmente a dos decimales los siguientes números: a),7688 b),8 c),876 d),096 e) 0,997 f),001 a),77 b), c),87 d),10 e) 1,00 f),00 8 Haz una estimación del resultado de las siguientes operaciones, y luego calcula su valor exacto con la calculadora para verificar el resultado: a) 8,9 7,1 b),88,9 c) 6,87 10,1 d),0 :,98 e),1,0 f) 1,1 :,0 a) 9 7 = 6, calculadora: 6,10 b) = 1, calculadora: 1,68 c) 7 10 = 70, calculadora: 77,0 d) : = 9, calculadora: 9,0 e) = 9, calculadora: 9,06 f) 1 : =, calculadora:, Realiza las siguientes operaciones y redondea a dos decimales los resultados: a) 688, , b),89 9,8 c) 6,6, d),6 :, a) 1,97 b) 6,07 c),91 d) 8, Entre tres personas organizan una empresa a partes iguales. El primer año obtienen de beneficios. Cuánto le corresponde a cada uno? Da el resultado aproximando a euros enteros : = 1 El perímetro de un triángulo equilátero mide,9 m. Calcula la longitud de cada lado redondeando el resultado a dos decimales.,9 : = 11,97 m Antonio compra una finca por y la divide en siete parcelas. Si desea vender las parcelas y ganar con cada una 0, a qué precio deberá vender cada una? : 7 = 09,71 09, = 7,71 A P L I C A L A T E O R Í A 16 SOLUCIONARIO

64 Ejercicios y problemas 1. Números decimales Completa en tu cuaderno: a) 7 unidades =... milésimas. b) 8 centésimas =... unidades. a) b) 8, Haz la descomposición decimal de los siguientes números: a) 0,67 b) 6,806 c) 6,0 d) 8,90 a) D U b) c) d) D D 6 D U 6 U U 8 d 6 d 8 d d 9 Convierte las siguientes fracciones decimales en números decimales: a) b) c) d) 8 0 a) 1, b) 0,6 c),08 d) 1,8 c 7 c c c m m 6 m m Representa en una recta los siguientes números decimales: a) 0,7 b), c), d) 1,7, 1,7 1 Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales:,; 1,7; 0, y 0, 1,7 < 0, < 0, <, 0 0,7, 1 Escribe un número decimal que esté comprendido entre cada uno de los pares siguientes: a) Entre 7, y 8, b) Entre 11,6 y 11,8 c) Entre 1, y 1, d) Entre, y,66 a) 7, 6 b) 11, 7 c) 1, d),6 1 Calcula los valores absolutos siguientes: a), b) 1,8 c) 0,011 d) 0, Convierte los siguientes números decimales exactos en fracción: a) 0,7 b) 7, c) 0, d) 6, a) / b) 9/ c) 6/ d) / Escribe a qué números decimales corresponden los puntos de la siguiente recta: , 7 0, 6 0, 1,8 a), b) 1,8 c) 0,011 d) 0,01. Suma, resta y multiplicación Suma los siguientes números decimales: a) 6, + 6,8 b) 76, + 8,98 c),67 + 8,9 + 6,0 d) 0, ,06 + 6,7 a) 01, b) 911, c) 69,01 d) 9,817 UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 17

65 Ejercicios y problemas Resta los siguientes números decimales: a) 9,678,08 b), 17,6 c),0 80,8 d),001 0,9 a) 1,98 b),98 c) 6, d),066 Multiplica los siguientes números decimales: a) 7,8,06 b) 88,09 7, c) 7,06 0,0 d) 0,001 7, a) 1,871 b) 6,07 c),8 d) 0,009 Multiplica mentalmente los siguientes números: a) 1,0 10 b),6 100 c) 8, d) 0, a) 10, b) 60 c) 8 00,6 d) 9,87 6 Multiplica mentalmente los siguientes números: a) 8, 0,1 b) 7,86 0,01 c) 60,87 0,001 d) 0, 0,0001 a) 8, b) 0,0786 c) 0,06087 d) 0,0000. División y operaciones combinadas 8 9 Efectúa las siguientes divisiones obteniendo dos decimales: a) 90, : 6 b) 60, : 7 c) 6,07 : d) 67,1 : 7 a) 1,08 b) 11,91 c) 1,7 d),9 Efectúa las siguientes divisiones obteniendo dos decimales: a) 9, : 7, b) 91,6 : 0,07 c) 0,670 :, d)11,0 : 6, a) 19,1 b) 1 08,7 c) 0,1 d) 1,77 0 Divide mentalmente los siguientes números: a),0 : 10 b) 0,99 : 100 c), : d) 0,0 : a),0 b) 0,0099 c) 0,0 d) 0,000 1 Divide mentalmente los siguientes números: a), : 0,1 b) 0,0876 : 0,01 c) 88,0 : 0,001 d) 6,7 : 0,0001 a), b) 8,76 c) d) Haz las siguientes divisiones obteniendo dos decimales: a) 88 : 7 b) 6 : c) 78 : d) 9 : 17 a) 1,7 b) 1,0 c),9 d) 0, Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) 7, +,8 9, b) 0,0 :,8 1, c),(, ,) d) (6, 1,) :, a),1 b), c),6 d) 17,1 18 SOLUCIONARIO

66 . Aproximaciones y problemas Haz una estimación del resultado de las siguientes operaciones y luego calcula su valor exacto con la calculadora para verificar el resultado: a),9 + 17,11 b) 88,97,108 c) 1,79 +,18 d),9,1 a) =, calculadora:,0 b) 89 = 66, calculadora: 6,86 c) 1 + = 6, calculadora:,918 d) =, calculadora:,79 Redondea mentalmente los siguientes números a dos decimales: a) 77,76 b) 1,8977 c) 609,66 d),999 a) 77,76 b) 1,90 c) 609,67 d) 6,00 Haz una estimación del resultado de las siguientes operaciones y luego calcula su valor exacto con la calculadora para verificar el resultado: a) 6,87 6,0 b),98,97 c),0 : 10,9 d) 18,0 :,98 a) 7 6 =, calculadora: 1,6 b) = 1, calculadora: 11,806 c) : 11 =, calculadora:,07 d) 18 : 6 =, calculadora:, Realiza las siguientes operaciones y redondea a dos decimales los resultados. Comprueba el resultado con la calculadora: a) 876,09 +, b), 18,806 c) 7, 9,7 d) 7,0 : 7,0 a) 910, b), c) 70, d) 8,1 Un grupo de 7 amigos compra 1 refrescos a 0,9 y unos frutos secos por 8,. Cuánto tiene que pagar cada uno? (1 0,9 + 8,7) : 7 =,6 Para ampliar 8 Completa en tu cuaderno: a) 6 unidades =... décimas. b) décimas =... centésimas. c) 7 centésimas =... unidades. d) 8 milésimas =... unidades. a) 60 b) 0 c),7 d) 0,08 9 b) c) d) Haz la descomposición decimal de los siguientes números: a) 8, b) 0, c) 0,6 d),0 a) D U 8 D U d d D U d 6 D U d c c c c m m m m UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 19

67 Ejercicios y problemas 60 Expresa como número decimal las siguientes fracciones: 1 a) b) c) d) a) 0, b) 0,7 c) 0,1 d) 0, Escribe como fracción decimal los números: a), b),08 c) 0, d),87 a) / b) 10/ c) 11/0 d) 1/8 66 Efectúa las siguientes multiplicaciones: a),8 0, b) 1, 0,6 c) 7,7,8 d) 0,7 0, a) 17,7 b) 80,97 c) 109,6 d) 0, Multiplica mentalmente: a), b) 1,7 100 c) 0, d) 0,0 10 a) 0 b) 1 7 c) 0 d) 0, 6 Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales:,; 0,; 0,7 y,6 0,7 < 0, <, <,6 6 Escribe un decimal que esté comprendido entre: a) 6, y 6,7 b), y,7 c), y,6 d) 0,1 y 0, a) 6,6 b),6 c), d) 0,1 6 Calcula: a) 1,6 + 0,7 b) 8, + 68, +, c) 0,6 +,1 d),7 + 7,8 +,1 a) 1,9 b) 19, c),7 d) 8, 6 Haz las siguientes sumas: a), +,01 + 1,00 b) 0,07 + 0,6 + 0,07 c) 00,8 +,7 + 1,1 d), , + 1,0 a) 78,6 b) 0,67 c) 7,7 d),0 68 Calcula mentalmente: a), 0,1 b), 0,01 c) 0,0 0,0001 d),7 0,001 a) 0, b) 0, c) 0,00000 d) 0,7 69 Calcula: a),98 0,7 b), 01, c) 0,07 0,0 d) 0, a),8 b) 97,817 c) 0,007 d) 9 70 Divide obteniendo dos decimales: a) 8 : b) 98 : 1 c) 7 : d) 97 : 6 a) 1,6 b) 8,16 c) 78,8 d) 1,11 71 Divide obteniendo dos decimales: a) 1,6 : 1 b) 67, : 8 c) 08,6 : 69 d) 86,7 : 6 a) 9,68 b) 7,6 c) 7,7 d),1 10 SOLUCIONARIO

68 7 Divide obteniendo dos decimales: a) 78 :, b) 8 : 0,0 c) 8 01 : 1, d) 69 : 01,6 a) 118,6 b) 9160 c) 9,70 d),96 7 Divide obteniendo dos decimales: a) 9,68 :, b), : 0,7 c) 0,68 : 0, d) 0,1 : 0, a) 17, b) 60,66 c), d) 0,7 7 Divide obteniendo dos decimales: a) 8, : 1 b) 0 :, c) 1,17 :, d) 0, : a) 69,6 b) 100 c) 8,71 d) 0,07 7 Divide mentalmente por la unidad seguida de ceros: a) 18, : b) 0,00 : 100 c) 0,1 : 10 d) 7, : a) 0,18 b) 0,0000 c) 0,01 d) 0,07 Con calculadora 76 Calcula: a), , 0,6 b) 19,87 (8, 6,98) a) 17,7 b) 9, 77 Calcula: a) 7,, +, : 1,8 b) 96, (,7 + 0,08) 11, a) 6 1,8 b) 8,8 78 Calcula:,68 + 7, a),7 1,, :,6 + 1, b),77 +, a) 7,70777 b),1660 Problemas 79 David compró bolígrafos a 0, cada uno, cuadernos a 1, cada unidad y una caja de lápices de colores a,1. Pagó con 8. Cuánto le devolvieron? Ha gastado: 0, + 1, +,1 = 7, Le devuelven: 8 7, = 0,7 80 Necesitamos listones de madera de 0, m de longitud. Cuántos listones de m de longitud deberemos encargar? Listones: 0, : = 6 : = 1 listones. UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 11

69 Ejercicios y problemas 81 Hemos comprado acciones de una empresa por un valor de 11 99,, a un precio de 1,88 cada una. Cuántas acciones hemos comprado? 1199, : 1,88 = 86 acciones. 8 Un grifo atascado gotea 0,0 litros cada minuto. Cuántos litros de agua se perderán en un día? 0,0 60 = 60,8 litros. 8 Un coche tiene un gasto medio de,7 litros de gasolina cada 100 km circulando por ciudad y carretera. Si el precio de la gasolina está a 0,9 /l, cuánto gastará en km?,7 : 100 0,9 = 8,0 = 8,06 8 El perímetro de un cuadrado es de 7,6 cm. Cuánto mide el lado? Para profundizar Un comerciante compra 68 litros de leche a 0, cada litro. A cuánto debe vender cada litro para ganar 1,8? Le cuesta: 68 0, = 07,6 (07,6 + 1,8) : 68 = 0,6 el litro. El lado de un hexágono regular mide 6, cm. Cuánto mide el perímetro? 6 6, = 8, cm 90 Reflexiona y completa en tu cuaderno: a) Multiplicar un número por 0, es lo mismo que dividir entre b) Multiplicar un número por 0, es lo mismo que dividir entre c) Multiplicar un número por 0,1 es lo mismo que dividir entre 7,6 : = 9, cm Deseamos comprar una parcela de regadío que mide m por m. Si el metro cuadrado vale 0,6, cuánto necesitamos para pagar la parcela? 0,6 = 6 07 Un grifo llenó un depósito de 7 10 litros en 8 horas. Cuántos litros arrojaba el grifo cada minuto? Caudal: 7 10 : (8 60) = 16, litros/minuto. Una familia ha comprado en la tienda litros de agua mineral a 0,8 cada litro, litros de aceite a, el litro, 18 botellas de refresco a 1,0 la botella y 1 cajas de leche a 7,9 la caja. Cuánto ha pagado? 0,8 +, , ,9 = 18,9 a) b) c) Ayúdate de la calculadora y halla la operación escondida en las siguientes expresiones: a), 1, =,7 b), 1, =, c) (0,,) = 8 d), (,,) = 11 a) + b) + y c) + y d) y 1 SOLUCIONARIO

70 Aplica tus competencias 9 Calcula el descuento en unos pantalones que costaban 8,6 y los rebajan un % 9 Calcula el descuento en un vestido que costaba 6, y que rebajan un 18% Resuelto en el libro del alumnado. 6, 0,18 = 11,79 9 Calcula el descuento en unos zapatos que costaban, y que rebajan un 0%, 0, = 10,68 Comprueba lo que sabes 1 Qué es redondear y cómo se hace? Pon un ejemplo. Redondear un número consiste en aproximarlo mediante otro de forma que si la primera cifra que suprimimos es: a) 0, 1,, o, la cifra redondeada no varía. b), 6, 7, 8 o 9, la cifra redondeada aumenta en uno. Ejemplos: redondea a dos decimales los siguientes números. a) 6,86 6,8 b),89,8 c),7, d) 8,69 8,7 Descompón el siguiente número decimal: 70,6 D 7 U d 6 c m 6 7 Calcula, , 60,9 187,186 Efectúa la siguiente división obteniendo en el cociente un decimal: 1,7 :,0 1, Calcula (87,,08) 7, 78,06 Un coche en 1 km gasta, litros de gasolina. Cuántos litros consume cada 100 km?, : = 8, litros en 100 km Representa en una recta los números decimales: 0,7; 0,;,; 1, 1, 0, 1 0 0,7, 1 8 Un comerciante compra 68 litros de leche a 0, cada litro. A cuánto debe vender cada litro para ganar 1,8? Le cuesta: 68 0, = 07,6 (07,6 + 1,8) : 68 = 0,6 el litro. UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 1

71 Windows Derive Paso a paso Convierte la siguiente fracción decimal en número decimal: 7 8 Resuelto en el libro del alumnado. Convierte el siguiente número decimal en fracción decimal: 7, Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: Calcula: 6, + 0,8 +, Resuelto en el libro del alumnado. (,1 0,7) : 1,7 +,8 Escribe la expresión numérica correspondiente al siguiente enunciado y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris: 99 Multiplica, por la suma de 9,78 y 7,0 Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: 100 Un grupo de alumnos que van a ir de excursión compran por 7,8 una caja de botes de refresco, y encarga bocadillos, por los que paga,6. Cuánto tiene que pagar cada uno? Resuelto en el libro del alumnado. 101 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 10 Convierte las siguientes fracciones decimales en números decimales: a) b) c) 7 d) a),87 b) 9,1 c),776 d) 19,7 10 Convierte los siguientes números decimales en fracciones decimales: a) 0,1 b) 7, c),18 d),6 a) 1/8 b) 17/0 c) 61/1 d) 91/ 1 SOLUCIONARIO

72 Linux/Windows 10 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) 7, +,8 9, b) 0,0 :,8 1, a),1 b), 10 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a),(, ,) b) (6, 1,) :, a),6 b) 17,1 Escribe la expresión numérica correspondiente a los siguientes enunciados y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris: 106 Al producto de 8,6 por,789 le sumamos 78, 8,6, , = 78,9 107 Multiplica 6,87 por la suma de,06 y,78 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: Hemos comprado sillas por 6, cada una, y una mesa por 81,. Hemos entregado un talón por el importe total. Si en el banco teníamos 89,, cuánto nos queda ahora? 89, ( 6, + 81,) = 100,7 Compramos 19 litros de aceite por 190, y lo envasamos en botellas de 1, litros. Si queremos ganar 87,, calcula el precio de venta de cada botella. Nº de botellas: 19 : 1, = 86 botellas. ( ,) : 86 =, la botella. Una modista compra, para hacer vestidos, 110 m de tela por 1 7. En cada vestido emplea,7 metros, y vende cada uno a 118,7. Cuánto gana? Nº de vestidos: 110 :,7 = 0 vestidos. Gana: 0 118,7 1 7 = 01 6,87(,06 +,78) = 90, Divide entre,67 la diferencia que se obtiene al restar de 678,0 el número 0,67 (678,0 0,67) :,67 = 0,6199 UNIDAD. LOS NÚMEROS DECIMALES 1

73 6 Potencias y raíz cuadrada 1. Potencias Completa la siguiente tabla en tu cuaderno: P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 708,1 : 7 C = 9,; R = 0,1 1 Calcula mentalmente el resultado de las siguientes potencias: a) b) ( ) c) d) ( ) a) 9 b) 9 c) 7 d) 7 Calcula mentalmente: a) 0 b) 1 7 c) ( 1) 8 d) ( 1) 9 a) 0 b) 1 c) 1 d) 1 Calcula: a) b) ( ) c) d) ( ) a) 1 b) 1 c) 6 d) 6 Escribe en forma de potencia: a) b) 7 ( 7) c) d) ( ) ( ) a) b) ( 7) c) 7 d) ( ) A P L I C A L A T E O R Í A Calcula mentalmente: a) 10 b) 10 6 c) ( 10) d) ( 10) a) 100 b) c) 1000 d) Calcula: a) b) 0, c) 1 d), a) 6 b) 0, c) 7 d) 1, SOLUCIONARIO

74 7 Escribe los cuadrados perfectos menores o iguales que 100 y que sean pares. 0,, 16, 6, 6 y Escribe los cubos perfectos menores o iguales que 00 y que sean pares. 0, 8 y 6 9 Escribe los siguientes números en notación científica: a) b) 0,0007 a), 10 b), Pasa a notación decimal los siguientes números expresados en notación científica: a),6 10 b) 7,9 10 a) 600 b) 0,0079 Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo lado mide 7 m. Calcula el precio de venta sabiendo que el metro cuadrado vale = A P L I C A L A T E O R Í A. Propiedades de las potencias Si en cada lata hay un tomate, cuántos tomates hay en total? P I E N S A Y C A L C U L A = 1 Carné calculista 1 Calcula mentalmente: a) 7 0 b) 9 1 c) ( 6) 1 d) ( 8) 0 a) 1 b) 9 c) 6 d) 1 1 : = 7 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) b) 7 8 :7 c) ( ) d) a) 9 b) 7 c) 8 d) Aplica la potencia de un producto o de un cociente: a) ( ) b) (7 : ) c) ( 7 1) d) ( : 11) 7 a) b) 7 : c) 7 1 d) 7 :11 7 A P L I C A L A T E O R Í A UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 17

75 A P L I C A L A T E O R Í A 1 Aplicando la potencia de un producto o de un cociente, escribe como una sola potencia: 17 Sustituye los puntos por uno de los signos = o en las siguientes expresiones: a) 8 7 a) b) : b) ( 7) c) c) (7 ) 7 d) 11 6 :1 6 d) (9 ) 6 a) (8 7) b) ( : ) c) ( ) d) (11 : 1) 6 a) = b) c) d) = 16 Sustituye los puntos por uno de los signos = o en las siguientes expresiones: 18 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) a) x x b) ( ) b) x 6 :x c) ( + ) + c) (x ) d) ( + ) 9 d) x x x a) b) = c) d) = a) x 7 b) x c) x 6 d) x 10. Raíz cuadrada Completa la siguiente tabla en tu cuaderno: P I E N S A Y C A L C U L A Número Cuadrado perfecto Número 1 Cuadrado perfecto Carné calculista 9, :,8 C = 79,17; R = 0, SOLUCIONARIO

76 19 Calcula mentalmente la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos: a) b) 9 c) 0 d) 1 a) ± b) ±7 c) 0 d) ±1 Realiza las siguientes operaciones: a) ( ) 81 b) : 16 a) 1 b) 9 A P L I C A L A T E O R Í A 0 Calcula la raíz cuadrada entera por defecto de: a) b) c) 17 d) 90 a) 7 b) c) d) 9 Sustituye los puntos por uno de los signos = o en las siguientes expresiones: a) b) c) Calcula la raíz cuadrada entera por exceso de: a) b) 87 c) 1 d) 60 a) 7 b) 10 c) d) 8 Utiliza la calculadora para hallar la raíz cuadrada de: a) 61 b) 1 c) 7 91 d) a) 19 b) 1 c) 89 d) 8 a) b) = c) Plantea un problema donde se vea la interpretación geométrica de la raíz cuadrada de 6 Hallar la longitud del lado de un solar cuadrado de área 6 m. Procedimiento de la raíz cuadrada Completa la siguiente tabla en tu cuaderno: Número Raíz cuadrada entera P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista Número Raíz cuadrada entera 6 9 : 7 ( ) = UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 19

77 6 Halla la raíz cuadrada entera de 7 0 y haz la comprobación. 86 Comprobación: = Halla la raíz cuadrada entera de y haz la comprobación. 89 Comprobación: = Halla la raíz cuadrada entera de los siguientes números y comprueba el resultado con la calculadora: a) 69 b) 6 c) 7 d) 6 0 a) Comprobación: + 0 = 69 b) 78 Comprobación: = 6 c) 1 Comprobación: = 7 d) 79 Comprobación: = Halla la raíz cuadrada con dos decimales, de los siguientes números: a) b) c) 61 d) 1 a), b),79 c) 7,81 d) 11, Halla la raíz cuadrada de los siguientes números, con dos decimales, y comprueba el resultado con la calculadora: a) 7, b) 1,87 c),7 d) 7,017 a),7 Comprobación:,7 + 0,071 = 7, b),7 Comprobación:,7 + 0,016 = 1,87 c),1 Comprobación:,1 + 0,0109 =,7 d) 6,89 Comprobación: 6,89 + 0,096 = 7,017 Un tablero de 1,8 m de madera tiene forma de cuadrado. Halla la medida del lado redondeando los centímetros. 1,8 = 1,6 m A P L I C A L A T E O R Í A 160 SOLUCIONARIO

78 Ejercicios y problemas 1. Potencias Calcula mentalmente el resultado de las siguientes potencias: a) b) ( ) c) d) ( ) e) 0 7 f) 1 9 g) ( 1) h) ( 1) 6 i) 10 j) 10 k) ( 10) l) ( 10) 7 a) 16 b) 16 c) d) e) 0 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1000 j) k) 100 l) Escribe en forma de potencia: a) b) ( ) c) d) 7 ( 7) ( 7) a) b) ( ) c) 6 d) ( 7) Calcula: a) 6 b) ( 6) c) 6 d) ( 6) e) 7 f) 0,7 g) h), a) 16 b) 16 c) 1 96 d) 1 96 e) 79 f) 0,6 g) 87 h) 10,608 8 Pasa a notación decimal los siguientes números expresados en notación científica: a), b),08 10 a) b) 0,008 9 Halla utilizando la calculadora: a) 10 b) 7,0 10, c) 7 0 d), : (, ) a) b), c) 7, d), Propiedades de las potencias 0 Calcula mentalmente: a) 1 0 b) 1 c) ( 18) 1 d) ( ) 0 a) 1 b) c) 18 d) 1 1 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 6 b) 6 9 :6 c) ( ) d) Calcula los cuadrados perfectos menores o iguales que 100 y que sean impares. a) 9 b) 6 c) 1 d) 7 9 1, 9,, 9 y Calcula los cubos perfectos menores o iguales que 00 y que sean impares. 1, 7 y 1 Escribe en notación científica los siguientes números: a) b) 0,000 a) 1, 10 8 b),0 10 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x x b) x 7 :x c) (x ) d) x x x 6 a) x 9 b) x c) x 1 d) x 1 Aplica la potencia de un producto o de un cociente: a) ( ) b) ( : 7) c) ( 7 11) d) ( : ) a) b) :7 c) 7 11 d) : UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 161

79 Ejercicios y problemas Aplicando la potencia de un producto o de un cociente, escribe como una sola potencia: a) 7 b) :7 c) d) 1 :17 a) ( 7) b) ( : 7) c) ( 7) 6 d) (1 : 17) Sustituye los puntos por uno de los signos = o en las siguientes expresiones: a) 7 7 b) ( ) c) ( + 7) + 7 d) ( + ) 7 e) f) ( ) g) (11 ) 11 h) ( ) 1 a) b) = c) d) = e) = f) g) h) =. Raíz cuadrada 6 Calcula mentalmente la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos: a) 16 b) 6 c) 9 d) 81 a) ± b) ±6 c) ±7 d) ±9 9 Calcula la raíz cuadrada entera por exceso de: a) 7 b) c) 6 d) 67 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 0 Realiza las siguientes operaciones: a) (9 + ) 6 b) 81 : (6 ) c) d) ( + ) : 9 16 a) 1 9 b) 1 c) d) Sustituye los puntos por uno de los signos = o en las siguientes expresiones: a) + + b) + 0 c) d) a) b) = c) d) = 7 Cuántas raíces cuadradas tienen los siguientes números? a) 9 b) c) 0 d) 6. Procedimiento de la raíz cuadrada Halla la raíz cuadrada entera de 09 y de 76 0, y haz la comprobación. a) Dos. b) Ninguna. c) Una. d) Dos. 7. Comprobación: = Comprobación: = Calcula la raíz cuadrada entera por defecto de: a) 1 b) c) 7 d) 6 a) b) c) 7 d) 8 Halla la raíz cuadrada entera de: a) 607 b) 87 c) d) a) b) 7 c) 18 d) SOLUCIONARIO

80 Halla la raíz cuadrada de los siguientes números, con dos decimales, y comprueba el resultado con la calculadora: a) 7 b) c) 6 d) 7 e), f),8 g) 7,08 h) 9,890 a),6. Comprobación:,6 + 0,00 = 7 b),7. Comprobación:,7 + 0,0 = c) 7,8. Comprobación: 7,8 + 0,096 = 6 d) 1,71. Comprobación: 1,71 + 0,199 = 7 e),0. Comprobación:,0 + 0,01 =, f),88. Comprobación:,88 + 0,06 =,8 g),68. Comprobación:,68 + 0,06 = 7,08 h) 9,68. Comprobación: 9,68 + 0,1879 = 9,890 Para ampliar Escribe los cuadrados perfectos menores que 100 0, 1,, 9, 16,, 6, 9, 6 y 81 6 Escribe los cubos perfectos menores que 100 0, 1, 8, 7 y 6 7 Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes casos: a) x = 8 b) = x c) x = 1 d) x = a) x = b) x = 81 c) x = d) x = 8 Calcula: a) + + b) ( ) + c) ( ) + ( ) 6 d) 10 6 ( 10) + 10 a) 68 b) 8 c) 70 d) Calcula: 7 a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) a) /9 b) 9/16 c) 8/1 d) 7/8 60 Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes casos: a) x = ±7 b) 81 = x c) 0 = x d) x = ±1 a) x = 9 b) x = ± 9 c) x = 0 d) x = 1 61 Calcula: a) b) c) : d) ( ) : 6 a) b) 1 c) d) 1 6 Calcula: a) b) c) d) : a) 109 b) c) 0 d) UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 16

81 Ejercicios y problemas 6 Completa la siguiente tabla de potencias en tu cuaderno: Con calculadora a n a p = 0 n =, n 0 a n :a p = 1 n = (a n ) p = a 0 =, a 0 (a b) n = a 1 = (a : b) n = a n a p = a n + p 0 n = 0, n 0 a n :a p = a n p 1 n = 1 (a n ) p = a np a 0 = 1, a 0 (a b) n = a n b n a 1 = a (a : b) n = a n :b n 6 Utiliza la calculadora para hallar la raíz cuadrada de: a) 9 b) 0 c) 7 69 d) 71 1 a) b) c) 87 d) Utiliza la calculadora para hallar la raíz cuadrada de los siguientes números redondeando el resultado a dos decimales: a), b) 8,9 c) 6,01 d) 670,8 a) 1,8 b) 9,16 c) 1,6 d) 7,0 Realiza las siguientes operaciones con la calculadora y redondea los resultados a dos decimales: a) + 88 b) c) 8 96 : 7 7 d) ( ) : a),9 b) 8,8 c) 1,16 d) 7, Problemas 67 En una tienda compran una docena de huevos. Escribe en forma de potencia el número total de huevos y halla cuántos son. 70 Un tablero de ajedrez tiene 8 filas y 8 columnas. Expresa en forma de potencia el número total de cuadrados que tiene, y halla el resultado. 1 1 = 1 huevos. 8 = 6 cuadrados. 68 Óscar tiene una caja en forma de cubo llena de canicas. La caja tiene de largo 8 canicas, de ancho otras 8 canicas y de alto 8 también. Escribe en forma de potencia el número total de canicas y calcula el resultado. 8 = 1 canicas. 71 Una finca tiene forma de cuadrado, y su área mide 169 m. Cuánto mide el perímetro? Lado: 169 = 1 m Perímetro: 1 = m 69 Tenemos cajas de melocotones, y cada caja tiene melocotones. Escribe en forma de potencia el número total de melocotones y calcúlalo. = 76 melocotones. 7 Escribe en forma de potencia el número de abuelos que tiene cada persona, y calcula el resultado. = abuelos. 16 SOLUCIONARIO

82 Ejercicios y problemas 7 Una pared de un cuarto de baño es cuadrada y tiene en total 1 azulejos cuadrados. Si cada azulejo mide cm, cuánto mide de longitud la pared? 1 = 00 cm = m 7 Escribe en forma de potencia el número de bisabuelos que tiene cada persona, y calcula el resultado. = 8 bisabuelos. 7 Los padres de David tienen una casa de campo con una parcela cuadrada de m de superficie. Cuánto mide cada lado? = 100 m 76 Dejamos caer una pelota desde 1 m de altura. Cada bote sube de alto los / del anterior. Escribe en forma de potencia la altura que alcanzará al tercer bote, y halla el resultado. 1 (/) = 7/6 = 0, m 77 Un libro de matemáticas mide de grosor 1, 10 m y tiene 80 páginas. Calcula el grosor de cada hoja en metros y notación científica. 1, 10 : 10 = 1,07 10 m 80 Queremos poner baldosas en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben 1 baldosas. Si cada baldosa cuesta 1,, cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos? 1 1, = 16 Para profundizar En qué cifras puede terminar un cuadrado perfecto? 0, 1,,, 6 y 9 Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 7 y da 1 de resto = 7 En una caja grande hay cajas pequeñas con un par de calcetines cada una. La caja grande tiene de largo, de ancho y de alto 10 cajas pequeñas, y cada par de calcetines se vende a 10. Expresa en forma de potencia el valor de los calcetines y halla el resultado. 10 = La suma de los cuadrados de dos números es 1. Si uno de los números es 1, cuál es el otro número? Calcula en notación científica el número de segundos que tiene un año bisiesto =, segundos. Un cine tiene igual número de filas que de columnas. Venden todas las entradas para una sesión, obteniendo 67. Si han vendido cada entrada a, cuántas filas tiene el cine? 67 : = 1 filas. 1 1 = = 17 8 En un cajón hay cajas, en cada caja hay paquetes y en cada paquete hay pañuelos. Expresa en forma de potencia el número de pañuelos y halla el resultado. = 1 pañuelos. UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 16

83 Ejercicios y problemas 86 Un terreno cuadrado tiene de área 6 m. Cuánto mide su perímetro? Lado = 6 = m Perímetro = = 100 m 88 Una empresa tiene trabajadores que durante meses trabajan semanas al mes. Cada semana trabajan días, y cada día trabajan horas. Si cobran a la hora, expresa en forma de potencia el gasto de la empresa por este trabajo y halla el resultado. 87 Plantamos de nogales una finca cuadrada; en cada fila y en cada columna hay 1 nogales igualmente separados. Si cada nogal cuesta 1, escribe en forma de potencia lo que cuestan todos los nogales. 6 = = 7 Aplica tus competencias Contando baldosas 89 Tenemos una habitación cuadrada de, m de lado y queremos alicatarla con baldosas de cm de lado. Cuántas baldosas tenemos que comprar? 90 Tenemos una habitación cuadrada de m de lado y queremos alicatarla con baldosas de cm de lado. Cuántas baldosas tenemos que comprar? : 0, = = 6 baldosas. 91 Tenemos una habitación cuadrada de,18 m de lado y queremos alicatarla con baldosas de 0 cm de lado. Cuántas baldosas tenemos que comprar? Resuelto en el libro del alumnado.,18 : 0, = 10,6 11 = 11 baldosas. 166 SOLUCIONARIO

84 Comprueba lo que sabes 1 Escribe la fórmula de la propiedad del producto de dos potencias de la misma base y pon un ejemplo. a n a p = a n + p Ejemplo: = 7 Escribe los cuadrados perfectos menores que 100 0, 1,, 9, 16,, 6, 9, 6 y 81 Calcula las siguientes potencias: a) 6 b) ( ) c) d) 1, a) 6 b) 1 c) 1 d),7 6 7 Realiza las siguientes operaciones: a) ( + 7 ) 6 b) 81 : (6 ) c) d) ( 9 + ) : 16 a) 6 b) 1 c) d) Calcula la raíz cuadrada entera de 7 Raíz = 1 y resto = 8 Una finca tiene forma de cuadrado, y su área mide 169 m. Cuánto mide el perímetro? Lado: 169 = 1 m Perímetro: 1 = m Expresa el resultado en forma de una sola potencia, utilizando las propiedades de las potencias: a) 6 b) 8 : c) ( ) d) a) 9 b) c) 0 d) Para embalar calcetines, introducimos cada par en una caja pequeña de forma cúbica. A su vez, introducimos en cajas mayores las cajas pequeñas, de forma que caben 6 cajas de calcetines en el fondo de la caja grande y 6 cajas en cada columna. Escribe en forma de potencia el número total de cajas de calcetines. Si cada caja de calcetines cuesta, cuál será el valor de la caja grande que contiene las cajas pequeñas con los pares de calcetines? Nº total de calcetines: 6 = 16 Valor: 16 = UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 167

85 Windows Derive Paso a paso 9 Calcula: Calcula: Calcula: Resuelto en el libro del alumnado. 9 1, Resuelto en el libro del alumnado. 9 7, , Resuelto en el libro del alumnado. 96 Calcula: 8 1,7 Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: La arista de un cubo mide 8 m. Escribe en forma de potencia su volumen y halla el resultado. Resuelto en el libro del alumnado. Una finca cuadrada tiene 78 m de extensión. Calcula el coste de vallarla si un metro de valla cuesta,7 9 Calcula: 8, Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 99 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. 168 SOLUCIONARIO

86 Linux/Windows Practica 100 Calcula las siguientes potencias: a) 6 b) ( ) 1 c) 87, 7 d) ( 0,) 10 a) b) c), d) 9, Calcula: a) b) c) d) 167, a) 1,116 b) c) 7,96 d) 1,96189 Escribe la expresión numérica correspondiente a los siguientes enunciados y halla el resultado utilizando DERIVE o Wiris: 10 El número 97,8 elevado al cuadrado menos 17,6 al cubo. 97,8 17,6 = 011, El número 67 al cuadrado menos su raíz cuadrada =, Calcula un número sabiendo que su raíz cuadrada es 7, 7, = 6, Calcula: a), + 7,7 b), + 7,7 c), 7, d) (, + 7, ) 8,6 a) 17,8971 b), c), d), Calcula: a) 7, , 10 b), 10 1 : (9,7 10 ) c) (, ) d) 7,8 10 a), 10 1 b), c) 6, d) 8, Calcula un número sabiendo que su cuadrado es 10,6 10,6 =, Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: Queremos vender los pinos de una finca que tiene 8 filas y 8 columnas, al precio de 8 cada pino. Expresa en forma de potencia el valor de los pinos y halla el resultado. 8 = 1 9 Calcula el valor del terrazo de un salón cuadrado, que tiene de superficie 169 m, sabiendo que el terrazo es cuadrado, mide 0 cm de lado y que cada uno cuesta : 0, 1 = UNIDAD 6. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 169

87 7 Sistema métrico decimal 1. El euro Queremos comprar tres libros cuyos precios son,, 16 y 8,. Calcula mentalmente y contesta si con 0 podemos comprar los tres libros. Sí. Sobra un euro. P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 7 068, : 8 C = 6,1; R = 0, 1 Señala en la siguiente lista aquellos términos que son magnitudes: a) Longitud b) Bondad c) Masa d) Felicidad a) Sí b) No c) Sí d) No a) Longitud. b) Capacidad. c) Masa. d) Longitud. A P L I C A L A T E O R Í A Cuántos céntimos son monedas de? Indica cuáles de los siguientes términos son magnitudes: a) Volumen b) Tiempo c) Inocencia d) Deseo a) Sí b) Sí c) No d) No Expresa en cada caso la magnitud que utilizarías para medir: a) El cercado de una finca. b) El agua de una botella. c) El peso de una barra de pan. d) La distancia entre tu casa y la de tu amigo. 100 = 800 céntimos. 6 A cuántas monedas de cts. equivalen monedas de? 100 : = 10 monedas. Tienes monedas de 0 cts. de euro, de 0 cts., 8 de cts. y de 1 cént. Cuántos euros tienes? ( ) : 100 =, SOLUCIONARIO

88 7 Juan tiene ahorrados billetes de 10 y 1 monedas de. Por su cumpleaños, sus abuelos le regalan billetes de. Cuántos euros reúne? = 79 8 A P L I C A L A T E O R Í A Teresa ha comprado en la papelería un lápiz de 6 cts. y un cuaderno de 1,. Si ha pagado con una moneda de y otra de 0 cts., cuánto le han devuelto?, (0,06 + 1,) = 0,6 = 6 céntimos.. Unidades de longitud Para atar un paquete se necesitan 7 cm de cuerda. Calcula mentalmente cuántos metros de cuerda se necesitarán para atar 10 paquetes iguales. Exprésalo en metros. P I E N S A Y C A L C U L A 7 10 = 70 cm = 7, m Carné calculista 9 : 8 = Calcula mentalmente y expresa en metros: a) 000 mm b)1 dm c) hm d) 0,1 km a) m b) 0,1 m c) 00 m d) 100 m 10 Transforma las siguientes unidades: a) km =... m b) hm =... dam c) dm =... mm d) 8 dam =... km a) 000 m b) 0 dam c) 00 mm d) 0,8 km 11 Completa las igualdades: a) m =... cm b) 1 m =.... dam c) cm =.... m d) 100 hm =.... m a) 00 cm b) 1, dam c), m d) m 1 1 El grosor de un libro que tiene 106 hojas es de 1 cm. Expresa en micras el grosor de cada hoja. 1 : 106 = 9, 10 cm = 9, µ A P L I C A L A T E O R Í A La distancia de la Tierra al Sol es de una U.A. Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? (Recuerda que la velocidad de la luz es de km/s). t = 1, 10 8 = segundos = 8 minutos 0 segundos. UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 171

89 . Unidades de masa y capacidad Calcula mentalmente cuántos vasos de refresco de 0 mililitros puedes llenar con una botella de 1, litros. 6 vasos. P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 67 : 0,7 C = 1 06,8; R = 0,001 1 Calcula mentalmente y expresa en gramos: a) 000 mg b) dg c) hg d) 0, kg a) 00 cg b) 1 dal c) 0,000 hg d) 000 l A P L I C A L A T E O R Í A a) g b) 0, g c) 00 g d) 00 g 1 Transforma las siguientes unidades: a) kl =... l b) hl =... dl c) 6 dl =... l d) 78 dal =... kl a) 000 l b) 000 dl c),6 l d) 0,78 kl En un almacén han envasado 70 hl de agua mineral en garrafas de litros. Cuántas garrafas han envasado? : =1 00 garrafas. Expresa en kilolitros el líquido que ingiere, en un año bisiesto, una persona que bebe litros diarios. Bebe: 66 : 1000 = 1,098 kl Un almacenista lleva tm de patatas al mercado, donde le pagan 0, el kg. Cuánto cobra? Cobra: , = Completa las igualdades: a) g =.. cg b) 10 l =.. dal c) mg =.. hg d) 0 hl =.. l 0 Cuánto vale un jamón de 7 kg si el kilo cuesta 1? Vale: 7 1 = 8 17 SOLUCIONARIO

90 . Unidades de superficie Calcula mentalmente el área de las siguientes figuras. Cada cuadradito es una unidad. P I E N S A Y C A L C U L A 18 u, 9 u, 1 u, 18 u Carné calculista 7 ( ) = Calcula mentalmente y expresa en m : a) hm b) dm c) 0 dam d) 0,0 km Completa las igualdades: a) ha =... ca b)10 a =... ha c) 78 ca =... a d) 0 ha =... a A P L I C A L A T E O R Í A a) m b) 0,0 m c) 000 m d) m a) ca b) 0,1 ha c),78 a d) 000 a Transforma las siguientes unidades: a) 67 m =... dam b) dm =... m c) 6 mm =... dm d) 8 dam =... cm Una finca de, ha vale Cuánto vale el metro cuadrado de superficie? : :, = 9,1 /m a),67 dam b), m c) 0,06 dm d) cm Un tablero de madera de m 60 dm 80 mm se divide en cuatro partes iguales. Cuánto mide cada parte? + 0,6 + 0,00008 =,60008 m,60008 : = 0,600 m UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 17

91 Ejercicios y problemas 1. El euro 6 Expresa en cada caso la magnitud que utilizarías para medir: a) La extensión de una cancha de baloncesto. b) El agua de un pantano. c) El peso de un león. d) Tu habitación. a) Superficie. b) Capacidad. c) Masa. d) Superficie. 7 Señala la unidad de magnitud que consideres más oportuna para medir: a) La superficie de una hoja de papel. b) La altura de un árbol. c) La cantidad de agua que cabe en un recipiente pequeño. d) Lo que pesas. a) cm b) m c) cl d) kg 8 Compraste un ordenador por 1 0, y, al cabo de un año, lo vendiste por 601,0 menos. Por cuánto lo vendiste? 10, 601,0 = 901, ( ) = 1 60 Cinco herederos se reparten una herencia y cada uno percibe 61. Cuánto habría percibido cada uno si hubiesen sido tres herederos? 61 : = Hemos comprado dos garrafas de aceite por 7 y sabemos que una tiene dos litros más que la otra. Cuánto cuesta cada garrafa si se ha pagado a, el litro? 7 :, = 1 litros. litros y 7 litros. La de litros:, = 11, Y la de 7 litros: 7, = 1,7. Unidades de longitud Calcula mentalmente y expresa en metros: a) 000 mm b) dm c) hm d) 0,01 km a) m b) 0, m c) 00 m d) 10 m Si ahorras 1,6 cada día, cuánto ahorrarás en un mes de 0 días? 1,6 0 = 78,6 Por cuánto hay que vender un terreno que costó 1 0,1 para ganar 8 600? 10, = 0 10,1 Un comerciante compró mercancía por valor de Si la hubiese vendido por 1 00 más, habría ganado 00. Calcula por cuánto vendió la mercancía. Completa las siguientes igualdades: a) hm = m b) m = km c),07 km = dm d) 6,7 dam = cm a) 00 m b) 0,0 km c) dm d) 6 70 cm 6 Completa las siguientes igualdades: a) cm = dm b) 16 mm = m c), dm = dam d) 16, m = mm a) 0, dm b) 0,16 m c) 0, dam d) mm 17 SOLUCIONARIO

92 7 Ordena las siguientes cantidades de menor a mayor: a) 78 m b), hm c) 0,0 km d) mm a) 78 m b), hm = 0 m c) 0,0 km = m d) mm = 7,8 m 0,0 km <, hm < mm < 78 m Completa las igualdades con la calculadora: a) U.A. = km b), años luz = km c), km = años luz d), km = U.A. a) 1, 10 8 = km b), 9, =, km c), : (9, ) =,1797 años luz d), : (1, 10 8 ) = 17, U.A. 8 Completa: a) hm = m = cm b), m = dam = mm c) 7,0 km = dam = m d) 6, hm = m = cm a) hm = 00 m = cm b), m = 0, dam = 00 mm c) 7,0 km = 70 dam = 7 00 m d) 6, hm = 6 m = 6 00 cm 9 España tiene aproximadamente 000 km de costa. Expresa esta longitud en metros y en notación científica. 000 km = m = 10 6 m 0 Las dimensiones máximas de un campo de fútbol son 119 m de largo por 91 m de ancho. Expresa estas medidas en decámetros y hectómetros. 11,9 dam por 9,1 dam 1,19 hm por 0,91 hm Completa: a) 0,0 mm = µ b), µ = mm c) 17,8 mµ = mm d) 0,00 mm = mµ a) 0 µ b) 0,00 mm c) 0, mm d) 00 mµ. Unidades de masa y capacidad Calcula mentalmente y expresa en gramos: a) 00 mg b) 0 dg c) hg d) 0,8 dag a) 0, g b) g c) 00 g d) 8 g Transforma las siguientes unidades: a) hg = g b) 0 g = kg c) 96,7 kg = hg d),8 dag = cg a) 00 g b) 0, kg c) 967 hg d) 80 cg 1 Un nadador hace largos en una piscina olímpica que tiene 0 m de largo. Sobrepasa el kilómetro nadando?, en cuánto? Hace: 0 = 1 00 m Sobrepasa el kilómetro en 00 m 6 Completa las igualdades en tu cuaderno: a) cg = dag b) 80 dag = kg c) 1 cg = hg d) 0 g = mg a) 0, dag b) 8, kg c) 0,01 hg d) mg UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 17

93 Ejercicios y problemas 7 Ordena las siguientes cantidades de menor a mayor: a) 78 dag b),7 hg c) 0,07 kg d) mg a) 78 dag = 780 g b),7 hg = 70 g c) 0,07 kg = 7 g d) mg = 7,8 g 0,07 kg < mg <,7 hg < 78 dag 8 Completa en tu cuaderno: a), hg = g = cg b) g = dag = dg c) 78, kg = hg = g d) 6, hg = g = mg a), hg = 0 g = 000 cg b) g = 0, dag = 0 dg c) 78, kg = 78, hg = 78 0 g d) 6, hg = 60 g = mg a) 8 dal = 80 l b),8 hl = 80 l c) 8 l d) 80 ml =,8 l 80 ml <,8 hl < 8 l < 8 dal Completa en tu cuaderno: a) 7, hl = dl = ml b) 7 l = dl = cl c) 8, kl = dal = l d) 6,0 dal = l = ml a) 7 00 dl = ml b) 70 dl = 700 cl c) 8 dal = 8 0 l d) 60, l = ml Has metido en un bote 1 bolsas de caramelos de 1 g cada una. Expresa en kilos el peso de todos los caramelos. 9 Calcula mentalmente y expresa en litros: a) 0 cl b) 000 ml c) 8,7 hl d) 0,0 kl 1 1 = 100 g = 1, kg a), l b) l c) 870 l d) 0 l 0 Transforma las siguientes unidades: a) hl = l b) 0 l = kl c) 6, kl = dal d),8 dal = dl a) 00 l b) 0,0 kl c) 60 dal d) 8 dl 1 Completa en tu cuaderno las igualdades: a) cl = dal b) 70 dal = hl c) 8 cl = l d), l = ml a) 0, dal b) 7 hl c) 8, l d) 00 ml Ordena las siguientes cantidades de menor a mayor: a) 8 dal b),8 hl c) 8 l d) 80 ml 6 Un antibiótico viene en una caja con sobres de 00 mg cada uno. Si el médico te receta la caja entera, cuántos gramos de antibiótico tienes que tomar? 00 = mg = 1 g En época de restricciones de agua, hemos puesto dentro de la cisterna del inodoro una botella de 1, litros. Cuánto ahorraremos en agua durante 90 días si se usa la cisterna una media de 0 veces al día? Expresa en kilolitros el resultado. 1, 0 90 = 700 l =,7 kl. Unidades de superficie 7 Calcula mentalmente y expresa en m : a) 00 dam b) 00 dm c) 00 cm d) 0,08 hm 176 SOLUCIONARIO

94 a) m b) m c) 0,0 m d) 800 m 8 Transforma las siguientes unidades: a) 1 0 m = hm b) 1 dm = m c) 70 mm = m d) 67 dam = dm a) 0,10 hm b) 1, m c) 0,007 m d) dm 61 Completa en tu cuaderno: a) 1, hm = m = cm b) 6,7 m = dam = dm c) 8, km = hm = m d) 16, hm = m = mm a) m = cm b) 0,67 dam = 670 dm c) 8 hm = m d) m = mm 9 Completa las igualdades en tu cuaderno: a) ha = ca b)1 a = ha c) 00 ca = a d) 0 ha = a 6 Transforma las siguientes unidades: a) 1 a = ca b) 0, ha = ca c) 00 a = ha d) 0,00 ha = a a) ca b) 0,1 ha c) a d) 000 a 60 Ordena las siguientes cantidades de menor a mayor: a) 17 dam b) 1,7 hm c) 0, km d) mm a) 17 dam = m b) 1,7 hm = m c) 0, km = 17 m d) mm = 0,017 m mm < 0, km < 1,7 hm < 17 dam a) 1 00 ca b) 000 ca c) ha d) 0, a 6 6 Disponemos de 900 dm de lona y necesitamos 1, m para hacer una tienda de campaña. Cuántas tiendas podríamos hacer? 900 : 100 : 1, = tiendas. El ayuntamiento ha cedido ha 8 a para hacer un parque. Cuántos metros cuadrados tendrá el parque? = 800 m Para ampliar 6 Di la magnitud y la unidad que consideres más oportuna para expresar las siguientes cantidades: a) La longitud de un lápiz. b) El suelo de una habitación. c) El agua que hay en un bidón. d) Los terrenos de tu municipio. a) Longitud en cm b) Superficie en m c) Capacidad en litros d) Superficie en ha 66 En el mercado gasté,1 en manzanas,,7 en azúcar, 17, en carne y 6, en pescado. Cuánto dinero gasté en total?,1 +,7 + 17, + 6, =, UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 177

95 Ejercicios y problemas 67 Pagué una chaqueta que cuesta 10, con un billete de 00. Cuánto me tuvieron que devolver? 00 10, = 97,6 68 Quiero hacer una colección sobre deporte de la que se vende semanalmente un fascículo y un CD. Si la colección tiene fascículos y el precio de cada uno es de 7,, cuál es el precio de la colección completa? 7, = 7, b) 06,7 m = km = cm c) 7 00 a = ha = ca d) 0,00 ha = a = ca a) 60 dam = dm b) 0,00067 km = cm c) 7 ha = ca d) 0, a = 0 ca 71 Suma kl dal 9 l con 8 hl dal l = 91 litros. 69 Transforma las siguientes unidades: a) hl = l = dl b) m = hm = cm c) 68, kg = dag = cg d) 8, dal = kl = = ml a) 00 l = 000 dl b) 0, hm = 00 cm c) 6 80 dag = cg d) 0,08 kl = 8 00 ml 7 Calcula 1 kg menos hg 67 cg 1,0067 = 7,99 kg 7 Multiplica seis por km dam m 0 cm 6, = 19, m = 19, km 7 Divide dam m cm entre cinco. 70 Completa en tu cuaderno: a) 6, hm = dam = dm,0 : = 60,06 m Problemas 7 76 Sofía tiene kg dag de bombones, y Marta, kg dag. Cuánto tienen entre las dos?,0 +,0 =,06 kg Diego tiene que caminar todos los días hm 7 dam m para ir desde su casa al centro donde estudia. Cuántos metros anda al día haciendo el recorrido de ida y vuelta? ( ) = m Se desea colocar rodapié de madera en una habitación de, m de largo por,6 de ancho. Cuántos metros de rodapié se necesitan si hay una puerta de 80 cm de ancho en la habitación? (, +,6) 0,8 = 1,8 m En una bañera con capacidad de litros hay hl 9 dal 9 l. Cuánto falta para llenarla? ( ) = 118 litros. 178 SOLUCIONARIO

96 79 Una excavadora hace en condiciones normales dam 1 m de zanja en una jornada. Cuánto hará en días? (0 + 1) = 160 m 80 Un carpintero tiene que hacer los 6 marcos para las puertas de una casa. Cada hueco de puerta tiene 10 cm de alto por 80 cm de ancho. Calcula cuántos metros de madera necesita para hacer los marcos. 6 (,1 + 0,8) = 0 m 81 Andrés pesa el doble que Susana, y ésta 1 kg más que María, que pesa kg. Cuánto pesan entre los tres? María: kg Susana: + 1 = kg Andrés: = 88 kg Total: = 16 kg 8 Cuántos kilos pesan l de agua destilada? kg Cuánto kilos pesan 000 ml de agua destilada? 000 : 1000 = kg 87 Cuánto pesa una caja con una docena de botellas de agua destilada de un litro y medio, si el recipiente de cada botella pesa 70 g y el cartón de la caja 1 00 g? 1(1, + 0,07) + 1, = 0,0 kg Para hacer un contenedor se han empleado 1, chapas de hierro de, m cada una. Si el precio del metro cuadrado de hierro vale 8, cuánto ha costado el contenedor? 1,, 8 = Una fábrica compra litros de leche a 0, el litro y los vende a 0,7 cada uno. Entre transporte y otros gastos invierte 00. Cuánto ha ganado? 89 La superficie de un olivar es de 1 ha a. Si se plantaron los olivos de forma que cada uno necesitaba 9 m, cuántos olivos hay en el olivar? 0 000(0,7 0,) 00 = 00 ( ) : 9 = 00 olivos. 8 En una perfumería disponen de litros de agua de colonia. Cuántos frascos de 0 ml se pueden llenar? 90 Para atravesar la Vía Láctea se necesitan años viajando a la velocidad de la luz. Qué anchura tiene la Vía Láctea? 000 : 0 = 0 frascos = =, km de ancho. Para profundizar 8 Un frasco de perfume de 10 ml cuesta,. Calcula cuánto vale el litro de perfume : 10, = 79,17 91 La Galaxia M 100 está a 60 millones de años luz. Cuánto tiempo necesitaríamos para llegar a ella viajando a la velocidad de la luz? Tiempo = 60 millones de años. UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 179

97 Aplica tus competencias 9 La densidad del petróleo es 0,8 kg/dm. Cuánto pesan litros de petróleo? Resuelto en el libro del alumnado. 9 Se sabe que el metro cuadrado de baldosas sale a, y el metro de rodapié a,8. Calcula cuánto costará poner las baldosas y el rodapié en la casa del dibujo., 9 Calcula cuánto pesan 60 litros de aceite sabiendo que su densidad es 0,9 kg/l Dormitorio Dormitorio 60 0,9 = kg 1 m Baño 0,8 m Cocina Salón Dormitorio,, Baldosas: 70,8, =,6 Rodapié: 66,8 = 8,8 180 SOLUCIONARIO

98 Comprueba lo que sabes 1 Escribe los múltiplos y submúltiplos del metro. Pon un ejemplo de cómo se pasa de kilómetros a centímetros. Nombre Abreviatura Cantidad de metros kilómetro km m Múltiplos hectómetro hm 100 m decámetro dam 10 m metro m 1 m decímetro dm 0,1 m Submúltiplos centímetro cm 0,01 m milímetro mm 0,001 m Ejemplo: km = cm Transforma las unidades: a) 8 m = cm = hm b) 0,006 kg =. g = dg c) dal = l = ml d) 1 mm = dm = m a) 800 cm = 0,8 hm b) 6 g = 60 dg c) 0 l = ml d) 0,1 dm = 0,01 m Completa: a) 8 m = cm = hm b) dam = a = ha c) 8 mm = m = dam d) 8 ha = km = m a) cm = 0,008 hm b) a = 0, ha c) 0,008 m = 0,00008 dam d) 0,8 km = m 6 7 Luis gasta 0 dal 0 dl en regar cada día. Cuántos litros gasta en días? Gasto en un día: 0 dal 0 dl = 00 litros + litros = 0 litros. Gasto en días: 0 = 0 litros. Con 90 kg de harina, cuántos paquetes de 0 g podemos hacer? N de paquetes : : 0 = 60 paquetes. Un carpintero tiene que hacer los 6 marcos para las puertas de una casa. Cada hueco de puerta tiene 10 cm de alto por 80 cm de ancho. Calcula cuántos metros de madera necesita para hacer los marcos. Longitud de cada puerta: = 00 cm = m Longitud por el total de puertas: 6 = 0 m España tiene aproximadamente 000 km de costa. Expresa esta longitud en metros y en notación científica. 000 km = m = 10 6 m 8 Un comerciante compra 0 kg de naranjas por 00, que envasa en bolsas de kg. Si vende cada bolsa a 7,, cuánto ganará con cada kilo? Gana en cada kilo: Precio del kg de la venta precio del kg de la compra. Gana en cada kilo: 7, : 00 : 0 = 0,7 /kg UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 181

99 Windows Derive Paso a paso Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: 9 Cuánto dinero son billetes de 00, de 100, de 0 y 6 de 0? Resuelto en el libro del alumnado. 98 En un almacén han envasado litros de agua en botellas de 1, litros. El agua se ha pagado a 0, el litro y se ha vendido cada botella a 1,. Los gastos de transporte y las botellas han costado Calcula el beneficio. Resuelto en el libro del alumnado. 96 Hemos comprado,7 m de tela a 1,0 el metro. Cuánto hemos pagado? 99 Un agricultor ha vendido 6 0 kg de garbanzos a 1,8 el kilo. Si invirtió para ello 00, calcula el beneficio que ha obtenido. Resuelto en el libro del alumnado. 97 Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, y la velocidad de la luz es de km/s. Calcula en notación científica cuántos kilómetros son un año luz. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 100 Queremos vender una finca de ha por Calcula el precio del metro cuadrado. Resuelto en el libro del alumnado. 101 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. 18 SOLUCIONARIO

100 Linux/Windows Practica Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: 10 Ana tiene billetes de 0, de, monedas de 0 cts., de 0 cts. y 6 de cts. Cuánto dinero tiene Ana? , + 0, + 6 0,0 = = 97,,7 :,76 = 11,8 kg/l 108 Vamos al mercado y compramos, kg de melocotones a 1,6 el kg,,7 kg de plátanos a 1, el kg y lechugas a 0,86 cada una. Si pagamos con un billete de 0, cuánto nos tienen que devolver? 10 Juan va a la papelería y compra bolígrafos a 8 cts. cada uno y cuadernos a 1,6 cada uno. Si lleva un billete de 10, cuánto le tienen que devolver? 10 ( 0,8 + 1,6) = 1,97 10 Hemos comprado 0 m de cable por 87 y lo hemos vendido a 1, el metro. Calcula el beneficio. 0 1, 87 = Si el Ecuador mide km, a qué velocidad gira un punto situado en el Ecuador? : = 1 666,66 km/h 0 (, 1,6 +,7 1, + 0,86) = 9, 109 Una fábrica compra litros de leche a 0, el litro y los vende a 0,7 cada uno. Entre transporte y otros gastos invierte 00. Cuánto ha ganado? 0 000(0,7 0,) 00 = La distancia media que hay desde Plutón al Sol es de 9, U.A. Una U.A. es la distancia media que hay desde La Tierra al Sol, que es de 1, 10 8 km. Calcula la distancia que hay desde Plutón al Sol en kilómetros y notación científica. 9, 1, 10 8 =, km Si la densidad es igual a la masa dividida por el volumen, calcula la densidad del plomo sabiendo que un trozo de,7 kg ocupa un volumen de,76 litros. 110 Un constructor compra una parcela de hectáreas que le cuesta Se gasta en urbanizarla, y pierde 1 hectárea entre calles y aceras. El terreno que le queda lo divide en parcelas. Si quiere ganar , a qué precio tiene que vender el metro cuadrado de parcela? ( ) : = = 7, /m UNIDAD 7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 18

101 8 Proporcionalidad 1. Razón y proporción Calcula mentalmente la velocidad media a la que fue un ciclista que recorrió 10 km en horas. En qué unidades expresarías la velocidad? 10 : = 0 km/h P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 1 0,7 : 8, C =,61; R = 0,0197 Calcula mentalmente las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado: a), kg de pescado cuestan 10 b) Un coche recorre 00 km en horas. c) 7, m de tela cuestan 1 d), kg de fruta se consumen en días. e) Un grifo vierte 1 litros de agua cada 10 minutos. a) 10 :, = /kg. Es el precio por kg b) 00 : = 100 km/h. Es la velocidad media. c) 1 : 7, = /m. Es el precio por metro. d), : = 1, kg/día. Es el consumo medio por día. e) 1 : 10 = 1, l/minuto. Es el caudal medio por minuto. Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado: a) Una habitación mide,8 m, y otra, 1, m b) Juan pesa 66 kg, y María, kg c) Un tren va a 17 km/h, y otro, a 1 km/h d) Un vaso contiene 00 ml, y otro, 0 ml e) Un coche cuesta 1 000, y otro, a) La habitación grande es,8 : 1, = veces mayor. b)juan pesa 66 : = 1, veces lo de María. c) Un tren va 17 : 1 = 1, veces más rápido que el otro. d)un vaso es 00 : 0 = 1, veces más grande que el otro. e)un coche es : = 1, veces más caro que el otro. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno, para que formen proporción, las siguientes razones: a) = 9 7 b) 7 = 9 c) = 1, d) = 0,7 18 1,8, 1 a) 1 b) c) 1 d) 7 A P L I C A L A T E O R Í A 18 SOLUCIONARIO

102 Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de proporcionalidad: 6 11 a) b) c) d) 1, 0, 0, 6 1,1 11 = = y = =, 1, 0, 0, 11 Calcula el cuarto proporcional en: x 6 0, 7,8 a) = b) = 7, x, x,,6 c) = d) x =,1,,8 a) 1 b),6 c) 7 d) 1,7 A P L I C A L A T E O R Í A. Proporcionalidad directa Tres amigos tienen que repartirse 10. Calcula mentalmente cuánto le corresponde a cada amigo. 0 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 6. Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales? a) El número de hojas de un libro y su peso. b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer 00 km c) El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una valla. d) El lado de un cuadrado y su perímetro. a) y d) : = Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales: 8. Una máquina hace 00 tornillos en horas. Cuánto tiempo necesitará para hacer 900 tornillos? Nº tornillos (D) Tiempo (h) x 00 = x = 1 horas 900 x A P L I C A L A T E O R Í A 9. Compramos kg de higos a 8,76. Cuánto costarán 8 kg? Magnitud A Magnitud B 0 Magnitud A Magnitud B Peso (kg) (D) Dinero ( ) 8,76 8 x 8,76 = x =,6 8 x UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 18

103 10. Una caldera consume 100 litros de gas en 8 horas. Cuánto gastará en horas? Tiempo (h) (D) Volumen (l) x = x = 6, litros x 11. Un grifo hace subir el nivel de un depósito 1,6 cm en horas. Cuánto subirá el nivel en horas y media? Tiempo (h) (D) Longitud (cm) 1,6, x 1,6 = x =,1 cm, x 1. Por la impresión de 10 carteles para una fiesta nos han cobrado 67,. Cuánto nos costará imprimir 0 carteles? Nº carteles (D) Dinero ( ) 10 67, 0 x 10 6,7 = x = x 1. En un campamento con chicos, compran para desayunar un bollo para cada uno y pagan,. Al aumentar en chicos el campamento, cuánto pagarán por el total de bollos? Nº bollos (D) Dinero ( ), 77 x, = x =, 77 x A P L I C A L A T E O R Í A. Proporcionalidad inversa Cinco agricultores recogen una cosecha en horas. Cuánto tardará un solo agricultor en recoger la cosecha? P I E N S A Y C A L C U L A = 0 horas. Carné calculista 87 : 7, C = 78,6; R = 0,0 186 SOLUCIONARIO

104 1 Qué magnitudes de las siguientes son inversamente proporcionales? a) La altura de un árbol y su edad. b) La velocidad de un ciclista y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. c) El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra. d) Las longitudes de los lados de un rectángulo de 0 cm de área. b), c) y d) 1 Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales. Por ejemplo: El tiempo que un número de trabajadores tardan en hacer una obra. El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. La velocidad y el tiempo empleado en recorrer un espacio Una piscina se llena en 1 horas con un grifo que arroja 10 litros de agua al minuto. Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que arroja 0 litros por minuto? Caudal (l/mín) (I) Tiempo (h) x 0 1 = x = 7, horas 10 x Un rectángulo tiene 1 m de base y 7 m de altura. Otro rectángulo con la misma área tiene m de base. Cuánto tiene de altura? Longitud base (m) (I) Longitud altura (h) 1 7 x 7 = x = 16,8 m 1 x A P L I C A L A T E O R Í A 16 Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean inversamente proporcionales: 19 Siete obreros tardan 9 horas en hacer una obra. Cuánto tardarán obreros? Magnitud A Magnitud B Magnitud A Magnitud B Nº obreros (I) Tiempo (h) 7 9 x 9 = x = 1 horas 7 x. Porcentajes Si de cada fajo de billetes tomas 0, calcula mentalmente cuántos euros coges. Escribe la fracción que representa el número de euros que has cogido, y simplifícala. 60 y son 60/00 = 1/ del total. Carné calculista 1 ( + ) = 9 P I E N S A Y C A L C U L A UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 187

105 0 Calcula: a) 16% de 0 b) % de 79 c) 7,% de 600 d) 1,% de 80 Jorge compra unos deportivos que cuestan 6,, y le descuentan el 0%. Cuánto paga? 6, 0,7 =,7 A P L I C A L A T E O R Í A a) 0 0,16 = 7 b) 79 0, = 198 c) 600 0,07 = d) 80 0,1 = 10 1 En una clase de alumnos, el % son chicos. Calcula el número de chicos y de chicas. Nº chicos = 0, = 6 6 chicos y 19 chicas. Inés quiere comprar a plazos un ordenador que cuesta Por pagarlo a plazos, le suben un 1%. Cuánto pagará en total? ,1 = 1 La factura del hotel de las vacaciones ascendía a 1,. Calcula el total añadiendo el 16% de IVA 1, 1,16 = 1 9,7 En un pueblo, 1 00 personas se dedican a la agricultura. Este número de personas corresponde al 0% de la población. Cuántos habitantes hay en total? 6 Por un televisor nos han descontado,09, que supone un 1% del precio inicial. Cuál era el precio inicial del televisor? 100 : 0, = 00 habitantes.,09 : 0,1 = 60,6 188 SOLUCIONARIO

106 Ejercicios y problemas 1. Razón y proporción 7 Calcula las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado: a), kg de manzanas cuestan 8, b) Un ciclista recorre km en 7 horas. c) 1 litros de aceite cuestan, d) Se han gastado litros de agua en 7 días. a) 8, :, = 1, /kg. Es el precio del kilo. b) : 7 = 6 km/h. Es la velocidad media. c), : 1 =, /l. Es el precio por litro. d) : 7 = 7, l/día. Es el consumo medio por día. 0 Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de proporcionalidad:,,1 1, a) b) c) d) 1 8,,9,1 1, = = 0,7 y = = 0, Calcula el cuarto proporcional en: x 1 x a) = b) = , 10,8 c) = d) = 7, x x 9,9 7 8 Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado: a) Un coche tiene 180 CV, y otro, 1 CV b) Jaime tiene 60 libros, y Ruth, 0 libros. c) Un atleta ha recorrido la prueba en,8 minutos, y otro, en minutos. d) Una caja de fresas tiene 70 g, y otra, 00 g a) El primer coche tiene una potencia 180 : 1 = 1, veces mayor que el segundo. b) Jaime tiene 60 : 0 = 1, veces los libros de Ruth. c) El primer atleta ha invertido,8 : = 1,07 veces el tiempo del segundo. d) La primera caja pesa 70 : 00 = 1, veces el peso de la segunda. 9 Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno las siguientes razones para que formen proporción: 6 a) = b) =,,1 c) = d),7 = 8, a) 8 b) 6 c) 7, d) 1, a) b) 0 c) 8,8 d). Proporcionalidad directa Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y cuáles no guardan relación de proporcionalidad? a) El número de galletas de una caja y su peso. b) El peso de una persona y su edad. c) El número de habitantes de un municipio y su consumo de agua. d) La longitud de una circunferencia y su radio. a) Sí. b) No. c) Sí. d) Sí. Escribe dos magnitudes que sean directamente proporcionales. La longitud del lado de un cuadrado y la longitud de su perímetro. La cantidad de kilos de naranjas y el dinero que se paga por ellas. UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 189

107 Ejercicios y problemas Completa en tu cuaderno la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales: 8 Por una compra de 70,, en el supermercado nos han dado 6 papeletas para un sorteo. Cuántas papeletas nos habrían dado por una compra de 9? Magnitud A 1 Magnitud B 8 Magnitud A 1 Magnitud B Dinero ( ) (D) Nº papeletas 70, 6 9 x 70, 6 = x = 8 papeletas 9 x Fabio ha dedicado 7 horas a ayudar a su padre, que le ha dado como recompensa. Cuánto le habría dado por 1 horas? Tiempo (h) (D) Dinero ( ) 7 1 x 7 = x = 7 1 x 6 7 Los padres de Concha han comprado 1, kg de pescado por 18,6. Cuánto habrán pagado por,7 kg? Peso (kg) (D) Dinero ( ) 1, 18,6,7 x 1, 18,6 = x =,6,7 x Un coche consume 7,8 litros de gasolina cada 100 km. Cuánto gastará en 0 km? Longitud (km) (D) Capacidad (l) 100 7,8 0 x 100 7,8 = x =,1 litros 0 x 9 0 Por el revelado de 6 fotografías nos han cobrado 11,. Cuánto costará revelar 8 fotografías? Nº fotografias (D) Dinero ( ) 6 11, 8 x 6 11, = x = 1,6 8 x En una granja se han recogido 60 kg de patatas en días. Si se trabaja de forma uniforme, cuántos kilos se recogerán en 1 días? Tiempo (días) (D) Peso (kg) 60 1 x 60 = x = 8 0 kg 1 x. Proporcionalidad inversa 1 Cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales? a) El número de gallinas de un corral y el número de días que dura una cantidad de pienso. b) El número de horas que funciona una máquina, y su consumo eléctrico. c) La cantidad de agua que arroja un grifo por minuto, y el tiempo que tarda en llenar un depósito. d) El área de un triángulo y su perímetro. a) y c) 190 SOLUCIONARIO

108 Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales. El número de trabajadores y el tiempo que tardan en hacer una obra. La velocidad que se lleva y el tiempo empleado en recorrer un espacio. Caudal (l/min) (I) Tiempo (h) x 0 = x =,7 horas = h minutos 180 x Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean inversamente proporcionales: 6 Magnitud A Magnitud B, Magnitud A Magnitud B 10 6, 1, Una parcela en forma de romboide tiene 0 m de largo y 9 de ancho. Cuánto medirá de ancho otra parcela que tiene igual área y 1 m de largo? Longitud (m) (I) Longitud (m) x 1 9 = x = 1 m 0 x Cinco alumnos, que trabajan al mismo ritmo, tardan 8 horas en hacer un trabajo de Ciencias Sociales. Cuánto tardarán alumnos? Nº alumnos (I) Tiempo (h) 8 x x = x = 10 horas 8 Un depósito se llena en horas con un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si el grifo arroja 0 litros por minuto?. Porcentajes 7 Calcula mentalmente: a) El 0% de 1000 b) El 10% de 0 c) El % de 80 d) El 0% de 700 a) 00 b) c) 10 d) 0 8 Calcula: a) El 1% de 00 b) El 8% de 90 c) El 6,% de 100 d) El 0,% de 9 a) 00 0,1 = 67 b) 90 0,8 = 16, c) ,06 = 806 d) 9 0,00 = 1, Álvaro se quiere comprar una cazadora de 90. Si le hacen el 1% de descuento, cuánto tendrá que pagar? 90 0,8 = 76, En un pueblo de 800 habitantes, el 7% de la población trabaja en una central eléctrica y el 1% se dedica a la pesca. Calcula el número de personas que trabajan en la central y en la pesca. En la central: 800 0,07 = 6 personas En la pesca: 800 0,1 = 76 personas A la madre de Ana le han rebajado 1, por la compra de una batería de cocina. Si el descuento era del 1%, cuánto costaba la batería? 1, : 0,1 = 10 UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 191

109 Ejercicios y problemas En un paquete de galletas de 0 g se afirma que 0 g son gratis. Cuál es el porcentaje del peso que no pagamos? Rocío tiene una colección de CD, y sus padres le regalan un 8% más de los CD que tiene. Cuántos tiene en total? 0 : 0 = 0, 0% 1,08 = 7 CD Para ampliar Calcula el cuarto proporcional en: x 1 x a) = b) =, 8 1, 1,6 0,7,8, c) = d) =,8 x x 6 a) 9, b), c) 11, d) 0,87 7 Completa en tu cuaderno las tablas para que los pares de números sean inversamente proporcionales: Halla la constante de proporcionalidad directa o inversa en los siguientes casos: a) Hemos comprado,6 kg de fruta por 8, b) En hacer cierto número de tornillos, 8 máquinas han tardado días. c) Un coche ha recorrido 0 km en horas. d) Un grifo arroja 60 litros en minutos. a) 8, :,6 = 1, b) 8 = c) 0 : = 10 d) 60 : = , ,7 1 1, 7, 8 Calcula mentalmente: a) El 10% de 0 b) El 0% de 00 c) El % de 00 d) El 0% de 80 a) b) 100 c) 7 d) 10 6 Completa en tu cuaderno las tablas para que los pares de números sean directamente proporcionales: Calcula: a) El 1% de 89 b) El 8% de 1 0 c) El 7,% de 80 d) El 0,% de 000 a) 89 0,1 = 1, b) 1 0 0,8 = 1 06, c) 80 0,07 = 6 d) 000 0,00 = Completa en tu cuaderno: a) El 0% de es 0 b) El % de es 0 c) El 10% de es d) El 0% de es 10 a) 0 : 0, = 0 b) 0 : 0, = 10 c) : 0,1 = 0 d) 10 : 0, = 0 19 SOLUCIONARIO

110 Problemas 61 Por días de trabajo me han pagado 0. Cuánto cobraré por 1 días? Tiempo (días) (D) Dinero ( ) 0 1 x 0 = x = 81, 1 x 6 Dos obreros hacen una zanja en 10 días. Cuánto tardarán obreros? Nº obreros (I) Tiempo (días) 10 x 10 = x = días x 6 Una persona escribe en un ordenador 00 caracteres en 0 minutos. Cuántos caracteres escribirá en 0 minutos? Tiempo (min) (D) Nº caracteres x 0 00 = x = 6 0 caracteres 0 x Tres camiones cisterna tardan 1 días en transportar el agua de un depósito. Cuánto tardarán 9 camiones iguales? Nº camiones (I) Tiempo (días) 1 9 x 9 1 = x = días x Una máquina envasa 0 paquetes de azúcar en 0 minutos. Cuántos paquetes envasará en horas y media? Tiempo (min) (D) Nº paquetes x 0 0 = x = 1 70 paquetes 10 x Si 0 litros de aceite pesan 16 kg, cuánto pesarán 80 litros? Volumen (l) (D) Peso (kg) x 0 16 = x = 78 kg 80 x 6 Un sastre necesita 0,7 m de tela para hacer trajes. Cuántos metros necesitará para hacer 1 trajes? 68 Un panadero hace 10 kg de pan con 90 kg de harina. Cuántos kilos de harina se necesitan para hacer 10 kg de pan? Nº trajes (D) Longitud (m) 0,7 1 x 0,7 = x = 96,6 m 1 x Peso (kg) (D) Peso (kg) x = x = 11, kg 10 x UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 19

111 Ejercicios y problemas 69 En una carpintería regalan, por cada 1 m de moldura, 8 clavos para ponerla. Cuántos clavos nos darán si compramos 7 metros de moldura? Longitud (m) (D) Nº clavos x 1 8 = x = 8 clavos 7 x 70 Media docena de alumnos tardan 1 horas en maquetar la revista del centro. Cuánto tardarán alumnos en hacer el mismo trabajo si todos trabajan por igual? Nº alumnos (I) Tiempo (h) 6 1 x 1 = x =, horas 6 x 71 Un conductor de camiones invierte horas y media en hacer un recorrido de 0 km. En las mismas condiciones, cuánto invertirá en recorrer 0 km? Longitud (km) (D) Tiempo (h) 0, 0 x 0, = x = 6 horas 0 x 7 En una excursión, 6 amigos llevan alimentos para 1 días, pero se encuentran con dos amigos que deciden unirse al grupo. Para cuántos días tendrán alimentos? A Daniel le dan 0 de paga, y sus padres deciden subirle el 1%. Cuál será la paga de Daniel? 0 1,1 = Una película de vídeo cuesta 1. Si nos descuentan un 1%, cuánto pagaremos? 1 0,8 = 17,8 En un parque natural se han plantado 00 árboles. Si se seca el 7% durante el primer año, cuántos árboles hay que volver a plantar? 00 0,07 = 17 árboles Una chaqueta costaba 77,, y he pagado 7,9. Qué porcentaje de descuento se ha realizado? 7,9 : 77, = 0,7 Se ha pagado el 7% y se ha descontado el % Por unos pantalones y una camisa me han cobrado 0. Si me hicieron un descuento del 1%, cuánto costaba la ropa? 0 : 0,8 = 0 Para profundizar 78 El año pasado pagábamos el kilo de pan a,. Qué porcentaje ha subido si ahora lo pagamos a,?, :, = 1,0 Se ha subido un % Nº amigos (I) Tiempo (días) x 8 1 = x = 9 días 6 x 79 Por un kilogramo de harina hemos pagado 0,78. Si hemos pagado la harina un % más cara que el año pasado, a cuánto estaba el kilo de harina el año pasado? 0,78 : 1,0 = 0,7 19 SOLUCIONARIO

112 80 Hemos comprado kg de manzanas y hemos pagado,. Cuánto nos costarán kg de manzanas? 8 He comprado un cuarto de jamón y 00 g de queso por,6. Si el jamón está a 9,68 /kg, cuánto cuesta el kilo de queso? Peso (kg) (D) Dinero ( ), x, = x = 1, x 81 En un supermercado ofrecen un paquete de botellas de refresco por 9, con la siguiente oferta:, que significa que pagas dos paquetes y te llevas tres. Una persona se lleva 18 paquetes. Cuánto tuvo que pagar? Nº paquetes (D) Dinero ( ) x 18 = x = x Coste del jamón: 9,68 0, =, Coste del queso:,6, = 0,9 Coste del kilo de queso: 0,9 =,7 8 Un padre decide repartir 6 de paga entre sus hijos, y desea hacerlo proporcionalmente a sus edades, que son 8, 1 y 16 años. Cuánto le corresponderá a cada uno? La suma de las edades es: = 6 A cada año le corresponde 1. Luego, le corresponden: 8, 1 y 16 respectivamente. UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 19

113 Aplica tus competencias 8 Calcula mentalmente: a) % de 100 b) 10% de 00 c) 0% de d) 0% de 00 a) b) 0 c) 7 d) 10 8 En las rebajas de temporada, le aplican un descuento del 0% a un abrigo que costaba 0. Calcula mentalmente cuánto descuentan al precio del abrigo. 0 : = Un libro que costaba 0 ha subido un 10%. Cuánto ha subido su precio? 0 : 10 = Un coche que costó ha perdido el 0% de su valor. Cuánto ha perdido? : = De la producción de 000 kg de patatas se ha perdido el %. Cuántos kilos se han perdido? 000 : = 00 kg 196 SOLUCIONARIO

114 Comprueba lo que sabes 1 Define qué son magnitudes directamente proporcionales y pon un ejemplo. Una caldera consume 100 litros de gas en 8 horas. Cuánto gastará en horas? Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: a) Al aumentar una cantidad de una de ellas en el doble, triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentado de igual forma. b) Al disminuir una cantidad de una de ellas en la mitad, un tercio, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuido de la misma forma. En una pastelería venden cajas de bombones del mismo peso a 6 la caja. Las magnitudes Nº de cajas y coste son directamente proporcionales. Nº de cajas 1 Coste ( ) Calcula el cuarto proporcional en: a) x = 6 b), = 1,8 6,6 x a) 7 b), Tiempo (h) (D) Capacidad (l) x = x = 6, litros x 6 7 Tres alumnos han trasladado unos libros de la biblioteca en horas. Cuánto hubiesen tardado 8 alumnos? Nº alumnos (I) Tiempo (h) 8 x 8 = x = 1, horas x Un depósito se llena en horas con un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si el grifo arroja 0 litros por minuto? Calcula: a) El 1% de 600 b) El 0,% de 90 a) 600 0,1 = 90 b) 90 0,00 =,7 Completa en tu cuaderno: a) El 18% de es 0 b) El 1% de es 180 a) 0 : 0,18 = 800 b) 180 : 0,1 = 1 00 Caudal (l/mín) (I) Tiempo (h) x 0 = x =,7 horas = h min 180 x 8 Por un aparato de radio pagamos 7,6. Si nos han hecho un 1% de descuento, cuál era el precio inicial de la radio? 7,6 : 0,8 = 9 UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 197

115 Windows Derive Paso a paso Calcula el cuarto proporcional en:, Resuelto en el libro del alumnado. = 1, x Si kg de melocotones cuestan 7,, cuánto costarán 1, kg? Resuelto en el libro del alumnado. Un coche recorre la distancia que hay entre dos ciudades en h a una velocidad de 60 km/h. Si la velocidad aumenta a 7 km/h, cuánto tardará? Resuelto en el libro del alumnado Hemos pagado a 11,18 el kilogramo de carne, que ha subido un %. A cuánto estaba el kilogramo antes de la subida? Resuelto en el libro del alumnado. En un taller facturan por el arreglo de un coche 10, y aumentan un 16% de IVA. A cuánto asciende la factura total? Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. 9 Unos pantalones tienen un precio de 7, y tienen una rebaja del 1%. Calcula lo que se paga por los pantalones. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 96 Calcula el cuarto proporcional a) x = 6 b) 0, = 7,8 7, x c), = x d), =,6,1, x,8 a) 1 b),6 c) 7 d) 1,7 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: 97 Una piscina se llena en horas con un grifo que arroja 60 litros de agua por minuto. Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que arroja litros por minuto? = x = 10 horas 60 x 198 SOLUCIONARIO

116 Linux/Windows 98 En un almacén compran 1 kg de higos por 87,. Cuánto cuestan 8 kg? 10 Inés compra unas botas de montaña que cuestan 98, y le descuentan el 7,%. Cuánto paga? 1 = 87, x = 0 8 x 99 Una caldera consume, litros de gas en 0 días. Cuánto gastará en 9 días?, = 0 x = 7 78,7 litros. x Hemos comprado 1 kg de melocotones por 17. Cuánto costarán 7 kg? 1 = 17 x = 7 x 101 En un taller tienen máquinas haciendo tornillos para una empresa durante 96 días. Cuántos días tardarían en hacer el trabajo 6 máquinas? 6 = 96 x = 6 días x 98 0,9 = 7, En una compra a plazos de 7, nos suben el precio un 1%. Cuánto pagaremos en total? 7, 1,1 = 98,6 En el recibo del seguro del coche aparecen: cantidad total, 901, ; cantidad a abonar, 79,. Qué porcentaje de descuento han hecho? 79, : 901, = 0,8 8% es lo que se paga, 18% es el descuento. Por un frigorífico nos han descontado 7,16, que suponen un 1,%. Cuál era el precio inicial del frigorífico? 7,16 : 0,1 = 601,8 10 En una población de 00 personas, el 8% son varones. Calcula el número de varones. 00 0,8 = 8 90 varones UNIDAD 8. PROPORCIONALIDAD 199

117 9 Ecuaciones de primer grado 1. El lenguaje algebraico Calcula el resultado de las siguientes expresiones: a) Tenía y me han dado 7. Cuántos euros tengo? b) En un rectángulo, un lado mide x metros y el otro lado mide metros más. Cuánto mide el lado mayor? a) 1 b) x + P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 0, : 7,6 C =,9; R = 0,08 1 Escribe en lenguaje numérico las siguientes expresiones y calcula el resultado: a) María tiene 1 libros y su primo Juan tiene el triple. Cuántos libros tiene Juan? b) Un tren lleva una velocidad media de 90 km/h. Cuánto recorrerá en horas? a) 1 = 7 libros b) 90 = 0 km Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) Tenía x y me han dado. Cuántos euros tengo ahora? b) El lado de un cuadrado mide x metros. Cuánto mide el perímetro? a) x + b) x En las siguientes expresiones algebraicas, escribe la variable, los términos literales e independientes y los coeficientes. a) x + 7 b) y + c) x d) 8n 1 a) b) c) d) Variable Términos x y x n A P L I C A L A T E O R Í A Coeficientes Literal x Independiente 7 7 Literal y Independiente Literal x 1 Independiente Literal 8n 8 Independiente SOLUCIONARIO

118 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) x 9 para x = b) x + 10 para x = c) n para n = 7, d) a + para a = 6 A P L I C A L A T E O R Í A Dadas las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución: a) x + = 1, x =, x = 6 b) x + 7 =, x = 1, x = a) 6 b) c) 0 d) 7 En las siguientes ecuaciones, escribe el 1 er miembro, el y la variable. a) x = b) x + 7 = 8x c) 6n = n + d) z + 1 = 9 7z a) b) c) d) 1 er miembro x º miembro Variable x x + 7 8x x 6n n + n z z z a) x = 6 b) x = 1 7 Escribe la ecuación que resulta de la siguiente expresión y comprueba que x = es la solución. Tenía x, me han dado el doble de lo que tenía y 7 más; ahora tengo 19 x + x + 7 = 19. Comprobación x = = 19. Ecuaciones equivalentes Por qué número tienes que sustituir los puntos suspensivos para que se verifique la igualdad? a) + = 8 b) = c) = d) = 6 8 a) b) 7 c) 7 d) 8 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 8 7 : + 6 = De las siguientes ecuaciones, di cuáles son de 1 er grado con una incógnita y por qué las otras no lo son: a) x + 7x = 0 b) 9x + y = 1 c) x + 7 = 8 d) x x + x = 9 A P L I C A L A T E O R Í A De las siguientes ecuaciones, cuáles son equivalentes? a) x + 7 = 17 b) x 1 = c) x + 9 = 1 d) x + = 0 a) Es de 1 er grado con una incógnita. b) Tiene dos incógnitas. c) Es de 1 er grado con una incógnita. d) Es de grado con una incógnita. a) x = b) x = c) x = d) x = Son equivalentes a) y d); b) y c) UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 01

119 10 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 7x + 1 = 6x + 8 b) x 6 = x + x c) 7 x = 6x + d) x x = x a) x = b) x = c) x = 1 d) x = Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + = b) x 1 = c) x = d) x + 7 = e) x = 6 f) x/ = 9 g) 7x = 6 h) x/ = 8 a) x = 1 b) x = c) x = 8 d) x = e) x = f) x = 18 g) x = 6/7 h) x = 0 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 8x + 9 = + 6x + b) 7x 6 = x + 1 x c) x = 8x + 1 d) + x + = 6x a) x = / b) x = 7/ c) x = 9/ d) x = 7/ 1 Antonio tenía x y su abuela le da el doble de lo que tenía. Si se gasta le quedan. Cuánto dinero tenía Antonio? x + x = x = A P L I C A L A T E O R Í A. Resolución de ecuaciones de 1 er grado con una incógnita Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + = 7 b) x = c) x = d) x = 6 e) Cuánto vale la x del dibujo? P I E N S A Y C A L C U L A a) x = b) x = c) x = 7 d) x = 0 e) x = kg Carné calculista 7, : 0,8 C = 68,1; R = 0,06 0 SOLUCIONARIO

120 1 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + = b) x = 1 c) 7x = 1 x d) = a) x = b) x = c) x = d) x = 0 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x a) + = 6 x x 9 b) = 8 a) x = / b) x = A P L I C A L A T E O R Í A 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + (x 1) = x 1 b) (x ) = x + 7 a) x = 1/ b) x = 1 16 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7x (x + ) = x b) 7x + 9 x = (x 1) + a) x = / b) x = / 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 11 x a) = x x 1 b) + = + a) x = / b) x = / Resuelve las siguientes ecuaciones: x x + a) = 6 x x 7 x b) = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x ) = (x 1) b) (x + ) = (x 1) a) x = 1 b) x = / a) x = / b) x = 18 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x + 1) x = 8 (x ) b) x (x 1) (x + ) = 1 (x + ) a) x = 1 b) x = 7/ 19 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 1 1 x a) + = b) = 6 a) x = 6 b) x = 1/ 1 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 6 x a) = 9 9 x 1 x 7 b) + = x + 8 a) x = b) x = / Resuelve las siguientes ecuaciones: x x a) x = 6 1 x 1 19 x + b) x = 6 8 a) x = / b) x = 1/ UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0

121 . Resolución de problemas de ecuaciones Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas: a) Halla dos números sabiendo que uno es unidades mayor que el otro y que entre los dos suman 1 b) Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 9 a) y 7 b) y 6 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 6 7 Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas: a) Óscar tiene más que su hermana Sonia.Si entre los dos tienen 16, cuánto dinero tiene cada uno? b) Si Alba tiene más que su primo Carlos y entre los dos tienen 1, cuánto dinero tiene cada uno? c) Marta tiene el doble de dinero que su hermano Luis y entre los dos tienen 1. Cuánto dinero tiene cada uno? d) Julia tiene el triple de dinero que su prima María. Si entre las dos tienen 16, cuánto dinero tiene cada una? a) Óscar tiene 9 y Sonia 7 b) Alba tiene 8 y Carlos c) Marta tiene 10 y Luis d) Julia tiene 1 y María Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 7 1 er número = x º número = x + 1 x + x + 1 = 7 x = 8 Los números son 8 y 9 Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad es igual a 9 Número = x x + x/ = 9 x = 6 El número es 6 ( ) = Susana tiene el doble de dinero que su primo Tomás. Si entre los dos tienen 70,, cuánto dinero tiene cada uno? Dinero de Tomás: x Dinero de Susana: x x + x = 70, x =, Susana tiene 6,8 y Tomás, A P L I C A L A T E O R Í A En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 6 m más que el desigual. Si el perímetro mide 6 m, cuánto mide cada lado? x x + 6 Lado desigual = x x + (x + 6) = 6 x = 8 El lado desigual mide 8 m y los iguales 1 m cada uno. Calcula las dimensiones de un campo de fútbol, sabiendo que el largo es el doble del ancho y que el perímetro mide 9 m x x Ancho = x Largo = x x + x = 9 x = 9 El ancho mide 9 m y el largo 98 m 0 SOLUCIONARIO

122 Ejercicios y problemas 1. El lenguaje algebraico 1 Escribe en lenguaje numérico las siguientes expresiones y calcula el resultado: a) Jorge tiene 8 y su primo Antonio tiene más. Cuántos euros tiene Antonio? b) Si Luisa tiene 17 canicas y su prima Sonia tiene el doble, cuántas canicas tiene Sonia? c) Un coche lleva una velocidad media de 110 km/h. Cuánto recorrerá en horas? d) En un cuadrado el lado mide 1 m. Cuánto mide su perímetro? a) 8 + = 10 b) 17 = canicas c) 110 = 0 km d) 1 = 8 m Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) Tenía x y me han dado. Cuántos euros tengo? b) Isabel tiene x libros y su hermana Marta el doble. Cuántos libros tiene Marta? c) Un lado de un triángulo equilátero mide x metros. Cuánto mide el perímetro? d) Si compro x kg de manzanas a 1, el kilo, cuánto tendré que pagar? a) x + b) x c) x d) 1,x a) b) c) d) Halla mentalmente el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) x 7 para x = b) y + 1 para y = 1 c) m para m =, d) z + para z = a) 8 b) 17 c) 9 d) 11 Variable Términos Coeficientes Literal 6x 6 x Independiente Literal z z Independiente 7 7 Literal x x Independiente Literal 1m 1 m Independiente En las siguientes ecuaciones, escribe el 1 er miembro, el y la variable: a) 7(x ) = x b) y y = (y ) c) 9m + = m + m d) (z + 1) + = 7 z En las siguientes expresiones algebraicas, escribe la variable, los términos literales e independientes y los coeficientes. a) 6x b) z + 7 c) x + d) 1m 11 1 er miembro º miembro Variable a) 7(x ) x x b) y y (y ) y c) 9m + m + m m d) (z + 1) + 7 z z UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0

123 Ejercicios y problemas 6 Dada las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución. a) x =, x = 1, x = 7 b) x + 1 =, x =, x = c) x + = 8, x = 1, x = d) x = 6, x = 0, x = a) x = 7 b) x = c) x = 1 d) x = 7 Escribe la ecuación que resulta de la siguiente expresión y comprueba que x = es la solución: tenía x plátanos, me han dado el doble de los que tenía y cinco más; ahora tengo 1 plátanos. x + x + = = 1. Ecuaciones equivalentes 8 De las siguientes ecuaciones, di cuáles son de 1 er grado con una incógnita y por qué las otras no lo son: a) x + 7x = x b) 7x y = c) x + 8 = 6x 9 d) x x + 6x 8 = 0 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + x = x + 7 b) x = 1 + x c) 8 x = 6x + 6 d) x x = x 1 a) x = b) x = 6 c) x = d) x = 9 1 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x = 0 b) x/7 = c) x = d) x/ = 7 a) x = b) x = 1 b) x = / d) x = 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9x + 10 = + 7x + b) x 7 = x 1 9x c) x = x + 9 d) 1 + 7x = x a) x = 1 b) x = c) x = d) x = 1 Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 1 a) Es de 1 er grado con una incógnita. b) Tiene dos incógnitas. c) Es de 1 er grado con una incógnita. d) Es de er grado. 9 De las siguientes ecuaciones, cuáles son equivalentes? a) x + = b) x 1 = c) x = 7 d) 7x = a) x = 1 b) x = c) x = d) x = 1 Son equivalentes a) y d); b) y c) 1 er número = x, º número = x x + x = 1 x = 7 Los números son 7 y 1. Resolución de ecuaciones de 1 er grado con una incógnita Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + = 7 b) x = x c) x = 1 d) = 6 a) x = b) x = c) x = d) x = 1 06 SOLUCIONARIO

124 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + (x 1) = x + 18 b) 1 (x + 1) = x + 1 a) x = b) x = 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x + ) = x 17 b) x + 7x = (x 6) 1 a) x = 1 b) x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7x (x ) = (x ) 6 b) (x + 1) = (x ) a) x = b) x = 8 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9x (x 1) = (x + ) b) 7x + (x ) (x + 1) = 7(x + ) a) x = 17/ b) x = 8 9 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 1 a) + = x 17 b) = 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 7 x 1 a) + = x 7x x 7 b) = + a) x = / b) x = / Resuelve las siguientes ecuaciones: x x + 1 a) + = x x x b) = a) x = 1 b) x = 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x a) + = 6 x x + 7x 1 1 b) = + 6 a) x = 7/6 b) x = /7 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 6x a) x = 6 x 1 x + b) x = 8 a) x = 11/6 b) x = 1/ a) x = b) x = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: 7x x 11 a) = 6 x x b) = a) x = 1 b) x =. Resolución de problemas de ecuaciones Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas: a) Juan tiene libros más que su prima Susana. Si entre los dos tienen 1 libros cuántos libros tiene cada uno? b) Si Ana tiene más que su amigo Luis y entre los dos tienen 11, cuánto dinero tiene cada uno? UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 07

125 Ejercicios y problemas c) Si Sonia tiene el doble de dinero que su hermano Antonio y entre los dos tienen 9, cuánto dinero tiene cada uno? d) Entre Manolo y Marta reúnen 0. Si Manolo tiene el triple de dinero que su prima Marta, cuánto dinero tiene cada uno? a) Juan tiene 7 libros y Susana libros. b) Ana tiene 7 y Luis tiene c) Sonia tiene 6 y Antonio tiene d) Manolo 1 y Marta tiene Silvia gasta la mitad de su paga en el cine y un sexto en golosinas. Si aún le quedan, cuánto le han dado de paga? Paga de Silvia = x x/ + x/6 + = x x = 1 En un jardín, entre sauces, palmeras y pinos hay 91 árboles. Si el número de palmeras es el doble que el de sauces y el de pinos el doble que el de palmeras, cuántos árboles hay de cada clase? 6 9 Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 61 1 er número = x º número = x + 1 x + x + 1 = 61 x = 0 Los números son 0 y Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad, más su tercera parte es igual a Número = x x + x/ + x/ = x = 1 Juan tiene 1 más que su prima Ana. Si entre los dos tienen 6, cuánto dinero tiene cada uno? Dinero de Ana = x Dinero de Juan = x + 1 x + x + 1 = 6 x =, Ana tiene,. Juan tiene 7, Sara tiene el doble de dinero que su primo Alfonso. Si entre los dos tienen,6, cuánto dinero tiene cada uno? Dinero de Alfonso = x Dinero de Sara = x x + x =,6 x = 8, Alfonso tiene 8,. Sara tiene 16, Nº de sauces = x Nº de palmeras = x Nº de pinos = x x + x + x = 91 x = 1 Sauces: 1. Palmeras: 6. Pinos: Calcula tres números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 1 er número = x º número = x + 1 er número = x + x + x x + = x = 1 Los números son: 1, 1 y 16 Cada lado de un triángulo mide m más que el anterior. Si el perímetro mide 7, m, cuánto mide cada uno de los lados? x x + 10 x + x + x + + x + 10 = 7, x = 7, m Los lados miden: 7, m, 1, m y 17, m El perímetro de un rectángulo mide 6 m. El lado mayor mide m más que el menor. Cuánto mide cada lado? x x + x + (x + ) = 6 x = m Los lados miden m y 8 m 08 SOLUCIONARIO

126 Para ampliar 6 Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas: a) Halla dos números sabiendo que uno es unidades mayor que el otro y que entre los dos suman 19 b) Halla dos números decimales sabiendo que uno es una unidad mayor que el otro y que entre los dos suman 6 a) 7 y 1 b), y, 66 Escribe el texto de un problema que se resuelva mediante la siguiente ecuación: x + = 8 Si a la edad de Juan le sumamos, obtenemos 8. Cuál es la edad de Juan? 67 Escribe el texto de un problema que se resuelva mediante la siguiente ecuación: x + x = 1 Ana tiene el doble de dinero que Sonia y entre las dos tienen 1. Cuánto dinero tiene cada una? 68 Despeja la incógnita x en las siguientes ecuaciones: a) x + a = b b) x a = b c) ax = b d) x/a = b a) x = b a b) x = a + b c) x = b/a d) x = ab 69 Despeja la incógnita x en las siguientes ecuaciones: a c a x a) = b) = b x b c a b x b c) = d) = x c a c a) x = bc/a b) x = ac/b c) x = ac/b d) x = ab/c 70 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x 1) (6x + 1) = (x + 1) 1 b) 7(x 1) (x + ) = (x + ) (x + 1) a) x = b) x = 1/ 71 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x a) + + = 6 x x x x b) + + = 6 a) x = b) x = 8 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x + 7 a) + x = x 7x + 1 b) + = x 6 8 a) x = 1 b) x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 1 x x x a) + = 6 x 1 x + x 7x + b) + = 6 a) x = 7/ b) x = / 11 UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 09

127 Ejercicios y problemas 7 Halla dos números sabiendo que uno es unidades mayor que el otro y que entre ambos suman 10 Número menor = x Número mayor = x + x + x + = 10 x = 0 Los números son 0 y 7 El triple de un número menos 7 es igual a 8. Cuál es el número? Número = x x 7 = 8 x = 1 76 Halla dos números sabiendo que uno es veces mayor que el otro y que entre los dos suman Número menor = x Número mayor = x x + x = x = 7 Los números son 7 y Halla un número sabiendo que la mitad de dicho número más su tercera parte, más su cuarta parte es igual a 6 Número = x x/ + x/ + x/ = 6 x = Halla un número sabiendo que el cuádruple de dicho número más su cuarta parte es igual a Número = x x + x/ = x = 8 Problemas 79 Compré una camisa y una chaqueta por 7.La chaqueta costó 1 más que la camisa. Cuánto costó cada prenda? Precio de la camisa = x Precio de la chaqueta = x + 1 x + x + 1 = 7 x = 0 La camisa costó 0 La chaqueta costó 81 Halla tres números enteros consecutivos que sumen 7 1 er número = x º número = x + 1 er número = x + x + x x + = 7 x = Los números son, y 80 Reparte 800 entre María y Juan, de forma que María reciba 00 más que Juan. Dinero de Juan = x Dinero de María = x + 00 x + x + 00 = 800 x = 00 Juan recibe 00 ; María recibe 00 8 Un número más el doble de dicho número, más la mitad del mismo número suman 11. Calcula el número. Número = x x + x + x/ = 11 x = 10 SOLUCIONARIO

128 8 Los lados de un romboide se diferencian en 7, m. Si el perímetro mide 11 m, cuánto mide cada lado? x + 7, x + (x + 7,) = 11 x = Los lados miden: m y, m Un número entero más el doble del siguiente es igual a 71. Calcula el número. 1 er número = x º número = x + 1 x + (x + 1) = 71 x = En un centro escolar hay 17 chicas más que chicos, y en total hay 1087 alumnos. Cuántos son chicos y cuántos son chicas? Nº de chicos = x Nº de chicas = x + 17 x + x + 17 = 1087 x = Chicos: y chicas: El perímetro del siguiente triángulo mide 7 m. Cuánto mide cada lado? x Nº de personas en coche = x Nº de personas en autobús = 10x x + 10x = x = El coche lleva: personas. El autobús lleva: 0 personas Una parcela de forma rectangular mide 1 metros más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 170 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho. x + 1 x + (x + 1) = 170 x = De ancha mide m y de larga 0 m Antonio, Santiago y Paloma son guardias de seguridad que han cobrado 1 07 por hacer un trabajo. Santiago ha trabajado la mitad de días que Antonio, y Paloma el doble de días que Antonio. Cuánto ha cobrado cada uno? Dinero de Antonio = x Dinero de Santiago = x/ Dinero de Paloma = x x + x/ + x = 107 x = 0 Antonio cobra: 0 ; Santiago cobra: 11 ; Paloma cobra: 60 x x x Tenemos 11 naranjas repartidas en cajas. La mediana tiene naranjas más que la pequeña, y la mayor tiene 7 más que la mediana. Cuántas naranjas tiene cada caja? x + x x + = 7 x = 8 Los lados miden: 8 m, 9 m y 10 m 87 x + Un autobús transporta 10 veces más personas que un coche. Si entre los dos llevan personas, cuántas personas lleva cada uno? Nº de naranjas en caja pequeña = x Nº de naranjas en caja mediana = x Nº de naranjas en caja grade = x + 7 x + x + x + 7 = 11 x = 7 naranjas. La caja mediana tiene 7 naranjas. La caja pequeña tiene naranjas. La caja grande tiene naranjas. UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 11

129 Ejercicios y problemas 91 En un corral, entre conejos y gallinas, hay cabezas y 160 patas. Cuántos conejos y gallinas hay en el corral? Nº de gallinas = x Nº de conejos = x x + ( x) = 160 x = 0 Hay 0 gallinas y conejos. 9 9 Alba tiene 1 cromos más que su hermana María. Si entre las dos tienen 67 cromos, cuántos cromos tiene cada una? Nº de cromos de María = x Nº de cromos de Alba = x + 1 x + x + 1 = 67 x = 7 Alba tiene 0 cromos. María tiene 7 cromos. 9 Calcula tres números pares consecutivos cuya suma sea 1 er número = x º número = x + er número = x + x + x + + x + = x = 6 Los números son: 1, 1 y 16 Los tres ángulos de un triángulo son números enteros consecutivos. Cuánto mide cada uno? x + Para profundizar Compré un pantalón, unos zapatos y una corbata por 7. Los zapatos costaron el doble que la corbata, y el pantalón igual que los zapatos más la corbata. Cuánto costó cada cosa? Precio de la corbata = x Precio de los zapatos = x Precio de los pantalones = x + x x + x + x + x = 7 x = 1 La corbata costó: 1 Los zapatos costaron: El pantalón costó: 6 Reparte 7 entre Óscar, Sonia y Alba, de forma que Sonia reciba el doble que Óscar y Alba el doble que Sonia. Dinero de Oscar = x Dinero de Sonia = x Dinero de Alba = x x + x + x = 7 x = 8 Óscar 8, Sonia 16 y Alba 8 Halla cuatro números enteros consecutivos que sumen 1 1 er número = x º número = x + 1 er número = x + º número = x + x + x x + + x + = 1 x = 7 Los números son: 7, 8, 9 y 0 x x + 1 x + x + 1 x + = 180 x = 9 Los ángulos miden 9, 60 y Un número más el triple de dicho número menos la tercera parte del mismo número hacen. Calcula dicho número. Número = x x + x x/ = x = 9 1 SOLUCIONARIO

130 Ejercicios y problemas 99 Reparte 8 bombones entre Marta, Juan y Luis, de forma que a Juan le corresponda la mitad que a Marta y a Luis la mitad que a Juan. Nº de bombones de Marta = x Nº de bombones de Juan = x/ Nº de bombones de Luis = x/ x + x/ + x/ = 8 x = 16 Marta 16, Juan 8 y Luis 10 Calcula tres números impares consecutivos cuya suma sea 7 1 er número = x + 1 º número = x + er número = x + x x + + x + = 7 x = 8 Los números son 17, 19 y Una parcela de forma rectangular mide el doble de largo que de ancho. Si el perímetro mide 70 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho. 10 Pablo leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y, al día siguiente, una tercera parte. Si aún le quedan por leer 7 páginas, cuántas páginas tiene el libro? x x Nº de páginas = x x/ + x/ + 7 = x x = 180 páginas. (x + x) = 70 x = La parcela mide de ancho m y de largo 90 m En un aparcamiento, entre coches y motos, hay 6 vehículos y 190 ruedas sin contar las de repuesto. Cuántos coches y motos hay? Nº de motos = x Nº de coches = 6 x x + (6 x) = 190 x = Hay motos y 0 coches. Juana tiene menos que Ana, y ésta tiene menos que Antonio. Si entre los tres tienen 0, cuánto tiene cada uno? Álvaro escala una montaña en días. El primer día asciende un tercio del total, el segundo otro tercio, el tercero asciende la mitad de lo que le queda, y el cuarto sube 00 m. Qué altura tiene la montaña? Altura de la montaña = x x/ + x/ + x/ = x x = m La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 6 cm. Sabiendo que el lado del triángulo y el del cuadrado son iguales, cuánto mide el lado? Dinero de Antonio = x Dinero de Ana = x Dinero de Juana = x 10 x + x + x 10 = 0 x = 1 Juana tiene, Ana tiene 10 y Antonio, 1 x + x = 6 x = 8 cm x x x x UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1

131 Ejercicios y problemas 107 Roberto tiene el triple de años que su hijo Julio; David, el hijo pequeño, tiene la mitad de años que Julio, y entre los tres suman 6 años. Qué edad tiene cada uno? Edad de Julio = x Edad de David = x/ Edad de Roberto = x x + x + x/ = 6 x = 1 Roberto tiene años. Julio tiene 1 años. David tiene 7 años Con el dinero que tengo más la mitad de lo que tengo, más la mitad de la mitad de lo que tengo, más un euro, tendría 6. Cuánto dinero tengo? Dinero = x x + x/ + x/ + 1 = 6 x = 6 Cristina compró bulbos de nardos.al crecer, se partieron en dos y obtuvo el doble de bulbos. El otoño siguiente volvió a plantarlos, y de nuevo todos los bulbos se partieron en dos. Cuántos bulbos compró, si ese otoño tuvo en su jardín 100 nardos? Nº de bulbos = x x = 100 x = bulbos de nardos. Aplica tus competencias 110 Calcula el tiempo que tarda un tren de alta velocidad en recorrer 600 km a una velocidad de 0 km/h Resuelto en el libro del alumnado. 11 Un coche tarda horas en recorrer 90 km. Qué velocidad media lleva? 90 = v v = 118 km/h 111 Calcula el espacio que recorre en 6 horas un avión que tiene una velocidad media de 80 km/h e = 80 6 = 100 km 1 SOLUCIONARIO

132 Comprueba lo que sabes 1 Qué es el valor numérico de una expresión algebraica? Pon un ejemplo. El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir en la expresión algebraica la variable por un número y realizar las operaciones. Ejemplo Halla el valor numérico de la expresión 7x para x = 7 = 1 = 16 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) Sonia tiene x y su madre le da el triple de lo que tiene. Cuántos euros tendrá? b)el lado menor de un rectángulo mide x metros y el mayor mide metros más. Cuánto mide el perímetro? a) x + x = x b) x + (x + ) = x + x + 10 = x Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + x = 6 b) x + = x 7x a) x = b) x = Entre Pedro y Óscar tienen 67,, y Pedro tiene el doble que Óscar. Cuánto dinero tiene cada uno? Dinero de Óscar = x Dinero de Pedro = x x + x = 67, x =, Óscar tiene, y Pedro tiene En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 6 m más que el desigual. Si el perímetro mide 6 m, cuánto mide cada lado? Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones y di cuáles son equivalentes: a) x + = 8 b) x 1 = c) x = 6 d) x = a) x = b) x = 6 c) x = d) x = 6 a) y c) son equivalentes, y también b) y d) x + (x + 6) = 6 x = 8 El lado desigual mide 8 m y, cada uno de los iguales, 1 m 8 Calcula las dimensiones de un campo de baloncesto cuyo perímetro mide m y de largo mide el triple del ancho. x x + 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7x (x + ) = 8x 9 b) x (x 7) = (x + 1) 1 a) x = 1/ b) x = x (x + x) = x = 6, De ancho mide 6, m y de largo 19, m x UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1

133 Windows Derive Paso a paso 11 Calcula el valor numérico de la expresión x x + 7 Para x = 8 Resuelto en el libro del alumnado. 11 Resuelve la siguiente ecuación: x x = 1x + 8 Resuelto en el libro del alumnado. 11 Resuelve la siguiente ecuación: 7 (x ) = x + 6 Resuelto en el libro del alumnado Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: Entre Ana y Julio tienen 800, y Ana tiene el triple que Julio. Cuánto dinero tiene cada uno? Resuelto en el libro del alumnado. Los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos. Si el perímetro mide m, cuánto mide cada lado? Resuelto en el libro del alumnado. 119 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. 116 Resuelve la siguiente ecuación: x x 1 = x + Resuelto en el libro del alumnado. 10 Practica 10 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para el valor que se indica: a) x 9x + 8 para x = b) 7x + x para x = a) 107 b) 7 11 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 8x + 9 = + 6x + b) + x + = 6x a) / b) 7/ 16 SOLUCIONARIO

134 Linux/Windows 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x ) = (x 1) b) (x + ) = (x 1) a) / b) 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 7 = + x b) x x = 6x a) / b) 11/6 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: 1 Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea Cada lado de un triángulo mide m más que el anterior. Si el perímetro mide 79 m, cuánto mide cada lado? x + x + + x + 6 = 79 x = 70 Los lados miden 70 m, 9 m y 116 m El lado mayor de un romboide mide 7 m más que el menor. Si el perímetro mide 71 m, cuánto mide cada lado? (x + x + 7) = 71 x = 10 El lado menor mide 10 m y el mayor 07 m Una parcela rectangular mide m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 100 m, calcula las dimensiones de la parcela. (x + x + ) = 100 x =, m De ancho mide, m y de largo 7, m x + x + 1 = 9 x = 67 Los números son 67 y 68 1 Sonia tiene canicas más que Ismael y entre los dos tienen 9. Cuántas tienen cada uno? x + x + = 9 x = 10 Ismael tiene 10 canicas y Sonia 17 UNIDAD 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 17

135 10 Elementos en el plano 1. Elementos básicos en el plano Dibuja una recta y contesta a las siguientes preguntas: a) La recta tiene principio? b) La recta tiene fin? c) Lo que has dibujado, es una recta o la representación de una recta? P I E N S A Y C A L C U L A r a) No b) No c) No es una recta, es una representación de una recta. Carné calculista 9 07 : C = 1 87; R = 1 Escribe tres ejemplos reales que representen intuitivamente un punto. a) La cabeza de un alfiler. b) Un grano de arena. c) Una mota de polvo. A P L I C A L A T E O R Í A Dibuja tres puntos A, B y C que estén en línea recta. A B C Dibuja un segmento de, cm de longitud. Representa un punto A y cinco rectas que pasen por ese punto. Cuántas rectas pasan por el punto A?, cm Por el punto A pasan infinitas rectas. A Dados los dos puntos siguientes, dibuja el segmento que los une, y mide la distancia que hay entre ellos. A A B cm B 0 SOLUCIONARIO

136 6 Cuántos puntos pueden tener en común dos rectas distintas? Haz un dibujo para cada una de las posibilidades. a) Si son secantes, uno. A r s 8 Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las tres en punto? A P L I C A L A T E O R Í A b) Si son paralelas, ninguno. 9 Mide los ángulos del siguiente triángulo rectángulo. Cuánto suman entre todos ellos? r s C 7 Dibuja un ángulo de 60 A B 60 El ángulo A mide 90, el B mide 0 y el C mide 0 La suma es: = 180. Operaciones con ángulos Haz mentalmente: a) Reduce a grados y minutos 7 b) Reduce a minutos y segundos 8 a) 7 = 1 1 b) 8 = 1 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista ( ) + 1 = Opera mentalmente los siguientes ángulos: a) b) c) (10 0 ) d) (60 ) : 6 a) 6 b) 0 1 c) 0 d) 10 7 A P L I C A L A T E O R Í A 11 Realiza las siguientes operaciones: a) b) ( 1 ) 8 c) d) (16 ) : a) 19 1 b) c) 9 9 d) UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO 1

137 1 Realiza las siguientes operaciones: a) + 68 b) (1 7 8 ) 7 c) d) (7 18 ) : 6 a) b) c) d) 1 1 Si en un triángulo isósceles el ángulo desigual mide, cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos? (180 ) : = A P L I C A L A T E O R Í A. Clasificación de los ángulos Haz una estimación de la medida del siguiente ángulo y luego mídelo con el transportador: P I E N S A Y C A L C U L A El ángulo mide 60 Carné calculista : 90 C = 961; R = 10 1 Dibuja un ángulo recto. 17 A P L I C A L A T E O R Í A En el siguiente dibujo, cuánto vale el ángulo coloreado de rojo? Dibuja un ángulo convexo y agudo = 1 18 Dibuja un triángulo rectángulo. Cuánto suman las medidas de los dos ángulos agudos? 16 Dibuja un ángulo cóncavo y mayor de 70 C A Los ángulos agudos suman 90 B SOLUCIONARIO

138 19 Dibuja un cuadrado y sus diagonales. Cómo son los ángulos que forman las diagonales? A P L I C A L A T E O R Í A D C B 0 A 90 Los ángulos que forman las diagonales son rectos y cada uno mide 90 Si un ángulo agudo de un rombo mide 60, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo. B Los ángulos contiguos de un rombo son suplementarios. Si un ángulo agudo de un romboide mide, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo. A = Si un ángulo obtuso de un rombo mide 1, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo. 180 = 1 Si un ángulo de un romboide mide 78 8, cuánto mide el ángulo contiguo? ' " = Dibuja un rombo y marca dos ángulos contiguos. Los ángulos contiguos de un rombo, cómo son, complementarios o suplementarios? 78 ' 8" = 101. Rectas paralelas cortadas por una secante En las rectas secantes del dibujo, señala todos los ángulos que sean iguales y todos los que sean suplementarios. P I E N S A Y C A L C U L A t 1 = y = Cada uno de los dos primeros con cada uno de los dos segundos son suplementarios. Carné calculista 1 : 1 = r 1 UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO

139 Dibuja dos rectas secantes que formen un ángulo de 0. Calcula mentalmente cuánto mide cada uno de los otros ángulos que forman. 8 A P L I C A L A T E O R Í A Dibuja dos ángulos que tengan los lados paralelos, y un lado en el mismo sentido y el otro en sentido contrario. Cómo son estos ángulos? 10 B α O A El ángulo opuesto por el vértice mide 0 y los otros dos 10 cada uno. Son suplementarios. B' 180º α α A' O' 6 En el siguiente dibujo tenemos dos rectas paralelas cortadas por una secante. Si el ángulo 1 mide 60, halla el valor del resto de los ángulos. r s t 9 Dibuja dos ángulos agudos que tengan los lados perpendiculares. Cómo son estos ángulos? O B' α B α A' A O' 1 = = = 7 = 60 = = 6 = 8 = 10 Iguales. 7 En el siguiente triángulo hemos dibujado una recta paralela a uno de los lados. Halla la medida de los ángulos 1, y r = = 70 = 180 ( + 70 ) = 7 SOLUCIONARIO

140 Ejercicios y problemas 1. Elementos básicos en el plano 6 Dibuja dos rectas perpendiculares. 0 Dibuja una recta y un punto que no esté en ella. A r 90 r 1 Representa una recta. r 7 s Dibuja tres puntos A, B y C que no estén en línea recta, y las rectas que pasan por cada dos de ellos: a) Cuántas rectas hay? b) Cómo son las rectas, secantes o paralelas? Representa dos puntos A y B, y dibuja la recta que pasa por ellos. A B A r B s t C a) Hay tres rectas. b) Las rectas son secantes dos a dos. Dibuja un segmento de, cm de longitud. 8 Dibuja un ángulo y escribe en él todos sus elementos. A, cm B Dibuja dos puntos A y B, y el segmento que hay entre ellos. Vértice O Lado OB Ángulo Lado OA 9 Define qué es un ángulo de un minuto. A B Un ángulo de un minuto es el ángulo que resulta de dividir un ángulo de 1 en 60 partes iguales. Dados los dos puntos siguientes, dibuja el segmento que los une, y mide la distancia que hay entre ellos. A B A, cm B 0 Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las nueve horas en punto? UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO

141 Ejercicios y problemas 1 Dibuja un ángulo de 0 6 Realiza las siguientes operaciones: A a) b) c) (18 1 ) 7 d) (11 1 ) : O 0 B a) b) 6 Mide el siguiente ángulo: c) 18 7 d) Si la suma de los ángulos de un triángulo es 180, cuánto mide cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero? Mide 6 Dibuja un rectángulo y mide cada uno de sus ángulos. Cuánto suman entre todos ellos? 180 : = 60 8 Si un triángulo es isósceles y el ángulo desigual mide, cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos? (180 ) : = Entre todos suman: 90 = 60 9 Si un ángulo de un triángulo mide y otro mide, cuánto mide el tercer ángulo?. Operaciones con ángulos Opera mentalmente los siguientes ángulos: a) b) c) (10 10 ) 6 d) (7 ) : 180 ( + ) = Cuánto mide el ángulo pintado de rojo en el siguiente rombo? a) 60 b) 0 1 c) 61 d) Realiza las siguientes operaciones a) + 68 b) c) ( 7 ) d) (1 6 ) : 8 a) b) c) d) = SOLUCIONARIO

142 . Clasificación de los ángulos 1 Dibuja un ángulo agudo. 7 En el siguiente dibujo, cuánto vale el ángulo coloreado de rojo? 18 ' '' Dibuja un ángulo llano = Dibuja dos ángulos opuestos por el vértice. Dibuja un ángulo convexo y agudo. Dibuja un ángulo convexo y obtuso. 9 Dibuja un triángulo rectángulo. Los ángulos agudos, cómo son, complementarios o suplementarios? C Dibuja dos ángulos complementarios. A B Los ángulos agudos son complementarios porque entre ambos suman 90 6 En el siguiente dibujo, calcula mentalmente cuánto vale el ángulo coloreado de rojo. 60 Cómo son los ángulos de un cuadrado? Cuánto mide cada uno de ellos? = Los ángulos de un cuadrado son rectos. Cada uno mide 90 UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO 7

143 Ejercicios y problemas 61 Cuánto mide cada uno de los ángulos de un rectángulo? Si un ángulo obtuso de un romboide mide 10, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo Si un ángulo agudo de un rombo mide, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo = = 1 6 Si un ángulo obtuso de un rombo mide 10, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo.. Rectas paralelas cortadas por una secante 66 Dibuja dos rectas secantes que formen un ángulo de 60. Calcula mentalmente cuánto mide cada uno de los otros ángulos que forman = 60 El ángulo opuesto por el vértice mide 60 Cada uno de los otros: = 10 6 Si un ángulo agudo de un romboide mide 80, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo = Dos rectas secantes forman un ángulo de Cuánto mide cada uno de los otros ángulos que forman? El ángulo opuesto por el vértice mide Cada uno de los otros: = SOLUCIONARIO

144 68 En el siguiente dibujo tenemos dos rectas paralelas cortadas por una secante. Si el ángulo 1 mide 0, halla el valor del resto de los ángulos. 70 Dibuja dos ángulos que tengan los lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido. Cómo son estos ángulos? t s r O α B A O' α B' A' 1 = = = 7 = 0 = = 6 = 8 = 10 Son iguales. 71 Dibuja dos ángulos que sean suplementarios y que tengan sus lados perpendiculares. 69 En el siguiente triángulo hemos dibujado una recta paralela a uno de los lados. Halla la medida de los ángulos 1, y B' α 1 r O B β α A O' A' = 0 = 80 = 180 ( ) = 70 Para ampliar 7 7 Escribe tres ejemplos reales que representen intuitivamente una recta. a) Un hilo de coser completamente estirado. b) Una cuerda completamente estirada. c) Un cable completamente estirado. Dibuja dos rectas paralelas. r s 7 7 Define qué es un ángulo de un segundo. Un ángulo de un segundo es el ángulo que resulta de dividir un ángulo de 1 en 60 partes iguales. Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las seis en punto? UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO 9

145 Ejercicios y problemas 76 Mide los ángulos del siguiente triángulo isósceles. Cuánto suman entre todos ellos? 79 Si un triángulo es isósceles y, uno de los ángulos iguales mide 7, cuánto mide el ángulo desigual? 0 6' 1 = 0 = 70 = = Mide los ángulos del siguiente rombo. Cuánto suman entre todos ellos? 180 (7 ) = ' Si un ángulo de un triángulo mide y otro mide 6, cuánto mide el tercero? 180 ( + 6 ) = Cuánto mide el ángulo pintado de rojo del siguiente romboide? 10 El de arriba y el de abajo miden 70 El de la derecha y el de la izquierda = = 7 8 Dibuja un ángulo cóncavo y menor de Si un triángulo es rectángulo e isósceles, cuánto mide cada uno de sus ángulos agudos? 8 Dibuja dos ángulos suplementarios. 90 : = 90 0 SOLUCIONARIO

146 8 Un triángulo es rectángulo, y uno de los ángulos agudos mide. Cuánto mide cada uno de los otros ángulos? 1 = = = 7 = = 6 = 8 Cada uno de los primeros con cada uno de los segundos son suplementarios. 90 El ángulo recto 90 El otro ángulo agudo: 90 = 88 Dibuja un rectángulo y sus diagonales. Cómo son los ángulos que forman las diagonales? 8 Si un ángulo agudo de un rombo mide 60, calcula mentalmente cuánto mide el ángulo contiguo. 60 Los angulos opuestos por el vértice son iguales y los contiguos son suplementarios Dibuja dos ángulos que sean iguales y que tengan sus lados perpendiculares = Dibuja un romboide y marca dos ángulos contiguos. Cómo son, complementarios o suplementarios? B' B A' O α α A B O' A Son suplementarios porque suman En el siguiente dibujo tenemos dos rectas paralelas cortadas por una secante. Indica los ángulos que son iguales y los que son suplementarios. r s t Con calculadora 90 Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) (7 6 6 ) 1 d) ( ) : 1 a) 19 0 b) c) d) UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO 1

147 Ejercicios y problemas 91 Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 8 1, cuánto mide el otro? 9 Si un ángulo agudo de un romboide mide 67 1, cuánto mide el ángulo contiguo? = = 11 6 Problemas 9 Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las dos en punto? 60 : 1 = 60 9 Dibuja un cuadrilátero cualquiera y traza una diagonal. Cuántos triángulos se forman? Cuánto suman los ángulos de un cuadrilátero? a) Paralelos. b) Paralelas. c) Ángulos rectos. d) Perpendiculares. 96 Dos aviones salen del mismo aeropuerto; uno va hacia el Norte, y otro, hacia el Este. Dibuja la trayectoria de ambos aviones. Qué ángulo forman? Norte Este Un ángulo recto, es decir, de 90 Se forman dos triángulos = Si un ángulo de un triángulo mide 7 y otro mide el doble, calcula cuánto mide el tercero. 9 En el siguiente dibujo consideramos los alambres y las estacas como rectas. a) Cómo son entre sí los alambres? b) Cómo son entre sí las estacas? c) Qué ángulo forman los alambres con respecto a las estacas? d) Cómo son los alambres con respecto a las estacas? 180 ( 7 ) = Cuánto mide un ángulo central de un hexágono regular? : 6 = 60 SOLUCIONARIO

148 99 En el siguiente dibujo, cuánto vale el ángulo coloreado de rojo? 10 Cuánto mide el ángulo pintado de rojo del siguiente pentágono? = En el siguiente dibujo, cuánto vale el ángulo coloreado de rojo? 0 60 : : = 6 10 Si dos rectas secantes forman un ángulo de 16 7, cuánto mide cada uno de los otros ángulos que forman? 1' " 16 ' 7" Si un ángulo de un romboide mide 10, cuánto mide el ángulo contiguo? = 7 1 Mide los ángulos del siguiente romboide. Cuánto suman entre todos? El opuesto por el vértice mide igual 16 7 Los otros son suplementarios y mide cada uno: = 1 10 En el siguiente triángulo hemos dibujado una recta paralela a uno de los lados. Halla la medida de los ángulos 1, y r 1 Los ángulos miden: 110, 70, 110 y = = = 8 = 180 ( + 8 ) = UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO

149 Ejercicios y problemas Para profundizar 106 Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 8 horas en punto? 7 60 : 1 = Dibuja una recta r y un punto A exterior a ella. Cuántas rectas pasan por el punto A que sean paralelas a la recta dada? Dibújalas. Por el punto A solo pasa una recta paralela a r,la recta s A 1 s r Ángulo central: 60 : = = 108 Suma de los ángulos interiores: 108 = Si un ángulo de un triángulo mide 100 y otro mide la mitad, calcula cuánto mide el tercer ángulo. 100 : = ( ) = Dibuja un rectángulo y sus diagonales. Si uno de los ángulos que forman las diagonales mide 8, cuánto mide cada uno de los otros ángulos que forman las diagonales? 108 Dos barcos salen del mismo puerto; uno va hacia el Norte, y otro, hacia el Noroeste. Dibuja la trayectoria de ambos barcos. Qué ángulo forman? ' 8'' Forman Norte Noroeste Oeste El ángulo opuesto por el vértice: 8 Cada uno de los otros dos: = Dibuja un romboide y sus diagonales. Si uno de los ángulos que forman las diagonales mide 118, cuánto mide cada uno de los otros ángulos? 109 Mide el ángulo interior marcado en el siguiente pentágono regular. Cuánto suman todos los ángulos interiores? 61 1' 7'' 118 ' '' El ángulo opuesto por el vértice: 118 Cada uno de los otros dos: = SOLUCIONARIO

150 11 Cuánto mide el ángulo pintado de rojo del siguiente hexágono? 11 Si dos rectas secantes forman un ángulo de 7, cuánto mide cada uno de los otros ángulos que forman? ' 7'' 60 : 6 : = 0 El ángulo opuesto por el vértice mide 7 Cada uno de los otros mide: = UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO

151 Aplica tus competencias 11 Calcula la pendiente que tiene una carretera que en 0 m de longitud sube una altura de 6 m Resuelto en el libro del alumnado. 116 Calcula la pendiente que tiene una carretera que cada m de longitud sube una altura de m Pendiente: = 0,16 = 16% Calcula los metros de desnivel que tiene una cuesta con una pendiente del 1%, si en horizontal tiene una longitud de 7 m x = 0,1 x = 0,1 7 = 10, m 7 Calcula la longitud en horizontal de una carretera que tiene un desnivel del 9% y sube 18 m de altura. 18 = 0,09 x = 18 = 00 m x 0,09 6 SOLUCIONARIO

152 Comprueba lo que sabes 1 Define ángulos complementarios. Pon un ejemplo y dibújalos. Cuáles de los siguientes ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante son iguales? Dos ángulos son complementarios si entre los dos suman 90, es decir, un ángulo recto. Ejemplo t r s = = = 7 = = 6 = 8 Mide el siguiente ángulo con el transportador: 6 Dibuja dos ángulos agudos que tengan los lados perpendiculares. B A' B' El ángulo mide 0 Realiza las siguientes operaciones: a) b) (1 ) 6 a) b) Un triángulo es rectángulo, y uno de los ángulos agudos mide. Cuánto mide cada uno de los otros ángulos? 90 O α α A O' El ángulo recto 90 El otro ángulo agudo: 90 = Calcula el ángulo suplementario del ángulo 68 8 Dibuja un rombo en el que uno de los ángulos mida 60. Cuánto medirá cada uno de los otros ángulos? 111 6' 1" 68 ' " = El opuesto mide: 60 Cada uno de los otros dos: = 10 UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO 7

153 Windows Cabri Paso a paso 119 Dibuja un punto A Resuelto en el libro del alumnado. 10 Dibuja una recta r Resuelto en el libro del alumnado. 1 1 Dibuja un segmento AB de,7 cm Resuelto en el libro del alumnado. Dibuja dos rectas paralelas, r y s Resuelto en el libro del alumnado. 11 Dibuja un segmento AB y mide su longitud. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 1 Dibuja dos rectas perpendiculares, r y s Resuelto en el libro del alumnado. 1 Dibuja un ángulo, márcalo y mide su amplitud. 17 Dibuja un ángulo llano, divídelo en dos por una semirrecta, mide cada uno de ellos y comprueba que son suplementarios sumándolos. Arrastra el lado del medio para ver que siguen siendo suplementarios. Resuelto en el libro del alumnado. 16 Dibuja un ángulo de Resuelto en el libro del alumnado = 180 a) Dibuja la recta horizontal. b) Dibuja una semirrecta que tenga el origen en la recta dada. c) Marca y mide los ángulos. d) Suma los dos ángulos. Geometría dinámica: interactividad e) Arrastra el lado formado por la semirrecta y observa que los ángulos son suplementarios. 8 SOLUCIONARIO

154 Linux/Windows GeoGebra 18 Dibuja dos rectas paralelas, r y s, cortadas por una secante t. Mide todos los ángulos que forman y comprueba que unos son iguales y otros suplementarios. Arrastra cada una de las rectas y verás cómo se sigue verificando la igualdad de ángulos. r s t a) Dibuja la recta r b) Dibuja la recta paralela s c) Dibuja la recta secante t d) Marca y mide todos los ángulos que se forman. Geometría dinámica: interactividad e) Arrastra cada una de las rectas y observa que unos ángulos son iguales y los otros suplementarios. 19 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. UNIDAD 10. ELEMENTOS EN EL PLANO 9

155 l: lado 1 Los polígonos y la circunferencia 1. Polígonos Calcula cuánto mide el ángulo central marcado en los siguientes polígonos: P I E N S A Y C A L C U L A B R l: lado B C B C D C D A R R B? R? R R? R R? R C A D A E A l: lado l: lado F E 60 : = : = : = 7 60 : 6 = 60 Carné calculista 6,067 :,7 C = 9,8; R = 0,06 1 Calcula la apotema de un hexágono regular de cm de lado. a a + = a + = 16 a = 1 a = 1 =,6 cm Calcula la apotema en un octógono regular cuyo radio mide 6 cm y cuyo lado tiene,6 cm a cm cm 6 cm, cm a +, = 6 a +,9 = 6 a = 0,71 a = 0,71 =, cm Calcula el ángulo central de los siguientes polígonos: a) Heptágono regular. b) Eneágono regular. c) Decágono regular. d) Dodecágono regular. a) 60 : 7 = 1 b) 60 : 9 = 0 c) 60 : 10 = 6 d) 60 : 1 = 0 A P L I C A L A T E O R Í A 8 SOLUCIONARIO

156 Divide una circunferencia de cm de radio en seis partes iguales y dibuja el hexágono inscrito. Calcula su apotema. cm a cm 1, cm Apotema: a + 1, = a +, = 9 a = 6,7 a = 6,7 =,6 cm 6 Dibuja un cuadrado inscrito en una circunferencia de cm de radio. Calcula su lado. cm cm a a = + = 18 a = 18 =, cm A P L I C A L A T E O R Í A Divide en tres partes iguales una circunferencia y dibuja el triángulo correspondiente. Qué tipo de triángulo es? 7 Dibuja un octógono inscrito en una circunferencia de cm de radio. Comprueba con la regla que el lado mide, cm, y calcula la apotema., cm a cm 1,1 cm Triángulo equilátero. Apotema: a + 1,1 = a + 1, = 9 a = 7,677 a = 7,677 =,77 cm. Cuadriláteros Nombra los siguientes polígonos: P I E N S A Y C A L C U L A B C B C B A C A D A D Un rectángulo, un trapecio rectángulo y un rombo. Carné calculista ( ) + 9 = 17 D UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 9

157 8 Construye un cuadrado de cm de lado. Calcula la longitud de la diagonal. cm a = + = 18 a= 18 =, cm D cm 1 Dibuja un romboide sabiendo que uno de sus lados mide cm y sus diagonales miden cm y cm a) Se dibuja la diagonal AC y su punto medio O b) Con centro en A se traza un arco de radio cm c) Con centro en O se traza un arco de radio 1, cm d) El punto de intersección es B y se une con C e) Se trazan paralelas y se obtiene D B A P L I C A L A T E O R Í A 9 Construye un rectángulo cuya diagonal mida cm, y uno de los lados, cm. Calcula la longitud del otro lado. A 1, cm O, cm, cm D C cm cm b b + = b + 9 = b = 16 b = 16 = cm 1 cm En un trapecio isósceles los lados iguales miden cm. Sabiendo que sus bases miden 10 cm y 6 cm, calcula su altura. a b = 6 cm a + = a = 1 a = 1 =,8 cm 10 Dibuja un rombo cuyas diagonales midan cm y cm. Cuánto vale el lado? cm B = 10 cm a =, + 1 = 7, a= 7, =,69 cm 11 a, cm 1 cm El lado de un rombo mide cm, y una diagonal 7 cm. Calcula la longitud de la otra diagonal. 1 Construye un trapecio cuyas bases midan 6 cm y cm y cuyos lados tengan cm y, cm. (Recuerda que un trapecio se descompone en un triángulo y un paralelogramo). a) Se dibuja la base mayor AD y se señala el punto E b) Sobre ED se dibuja el triángulo de lados cm,, cm y cm. Se obtiene C c) Se trazan paralelas y se obtiene B B cm C d/ cm, cm (d/) +, = (d/) =,7 d/ =,7 = 1,9 d = 1,9 =,88 cm A cm cm E cm cm, cm D 60 SOLUCIONARIO

158 . Circunferencia Calcula la longitud de la cuerda AB de la circunferencia. P I E N S A Y C A L C U L A B A cm cm O AM = = 16 = AB = = 8 cm Carné calculista 9 67 : 9 C = 19; R = Dibuja una circunferencia, una recta exterior, una recta tangente y una recta secante. t R Dibuja una circunferencia de cm de radio y traza dos cuerdas que estén, respectivamente, a cm y cm del centro. O s r r: exterior s: secante t: tangente 17 Una circunferencia de radio cm tiene una cuerda de 6 cm de longitud. A qué distancia se encuentra del centro? cm cm d + = d + 9 = 16 d = 7 d = 7 =,6 cm 18 Dibuja dos circunferencias que sean: a) Secantes. b) Interiores. d R = cm A P L I C A L A T E O R Í A 1 cm cm 1 O a) b) P O' O Q O' O UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 61

159 19 Traza y di qué posición relativa tienen una circunferencia de cm de radio y otra de 6 cm de radio, de forma que sus centros estén a: a) 10 cm b) cm c) 8 cm d) 1 cm c) Secantes. cm O' 8 cm 1 6 cm O A P L I C A L A T E O R Í A a) Tangentes exteriores. d) Interiores. cm 6 cm O O' 1 10 cm cm 1 cm O' O 6 cm b) Tangentes interiores. cm O' cm 6 cm O 0 Dibuja un ángulo de 70 y su bisectriz. Dibuja una circunferencia que tenga tangentes a los lados del ángulo. O 70. Círculo y ángulos en la circunferencia Compara los tres ángulos. Encuentras alguna relación? A A A P I E N S A Y C A L C U L A B? B? Son iguales porque abarcan el mismo arco. Carné calculista 6 C ( ) 1 = 1 C B? C 6 SOLUCIONARIO

160 1 Dibuja un círculo de cm de radio. Dibuja un segmento circular de cm de radio de forma que la cuerda tenga cm A P L I C A L A T E O R Í A cm d cm cm Dibuja un arco de circunferencia de, cm de radio y cuyo ángulo central sea de 60 Construye una corona circular cuyos radios midan 1,9 cm y 1, cm 60, cm 1,9 cm 1, cm 6 Dibuja un trapecio circular cuyos radios midan, cm y 1, cm y cuyo ángulo central sea de 7 Construye un sector circular de 1, cm de radio y cuyo ángulo central sea de 90 1, cm, cm 7 1, cm UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 6

161 A P L I C A L A T E O R Í A 7 Construye un ángulo de 0 inscrito en una circunferencia. 9 Dibuja tres triángulos rectángulos cuya hipotenusa mida, cm, inscritos en una semicircunferencia. A A' A'' O 0 60 B O, cm C 8 Calcula la amplitud del ángulo en cada caso: a) A b) A B? O 108 C B 68 O? C a) ABC = 108 : = b) AOC = 68 = 16 6 SOLUCIONARIO

162 Ejercicios y problemas 1. Polígonos 0 Dibuja un hexágono regular de 1,7 cm de lado. Calcula la apotema en un octógono regular cuyo radio mide 8 cm, y el lado, 6,1 cm 6,1 1,7 cm a 8 1,7 cm a +,06 = 8 a = 6,6 a =,6 = 7,9 cm 1 Construye un cuadrado y un octógono regular inscritos en una circunferencia. Calcula el lado de un pentágono de m de radio y, m de apotema., m m x x +, = x =, x =, = 1,8 Lado = x = 1,8 =,6 m Calcula la apotema de un triángulo equilátero de 6,9 cm de lado y cm de radio. 6 Calcula el radio de un heptágono cuya apotema mide, cm y cuyo lado mide, cm C A a 6,9 B, cm, cm a +,7 = a =,96 a =,96 = 1,99 cm R =, +,6 =,7 R = 7,7 = 6,1 cm Calcula la apotema de un hexágono regular de 6 cm de lado. cm a + = 6 a = 7 a = 7 =, cm a 6 cm 7 Calcula el ángulo central de los siguientes polígonos: a) Triángulo equilátero. b) Cuadrado. c) Pentágono regular. d) Hexágono regular. a) 60 : = 10 b) 60 : = 90 c) 60 : = 7 d) 60 : 6 = 60 UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 6

163 Ejercicios y problemas. Cuadriláteros 8 Construye un cuadrado de cm de lado. Calcula la longitud de la diagonal. Construye un paralelogramo que tenga todos los lados iguales, de cm, y que dos lados formen un ángulo de D C D = + = 18 D = 18 =, cm 9 Construye un rectángulo cuya diagonal mida, cm, y uno de los lados,, cm. Halla el otro lado. D cm cm Es un rombo. A El lado de un rombo mide 8 cm, y una diagonal, cm. Calcula la longitud de la otra diagonal. cm cm B 8 cm D/ cm, cm b, cm (D/) + = 8 (D/) = 60 D/ = 60 = 7,7 cm D = 7,7 = 1, cm b +, =, b = 1 b = 1 =,7 cm 0 Calcula la longitud del lado del rectángulo que falta en la figura. B C En un trapecio isósceles, los lados iguales miden 8 cm y sus bases miden 16 cm y 6 cm. Calcula su altura. b = 6 cm 8 cm cm 8 cma A D AD + = 8 AD = AD = = 7, cm a + = 8 a = 9 a= 9 = 6, cm cm B = 16 cm Calcula la longitud del lado AB en el siguiente trapecio isósceles: 1 Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 6 cm y cm. Cuánto vale el lado? B, cm C a = + 1, = 11, a = 11, =, cm 1, cm a cm cm A 10, cm AB = + = AB = = cm D 66 SOLUCIONARIO

164 6 Construye un trapecio cuyos lados midan 6 cm, cm,, cm y cm, respectivamente. B, cm C 9 Dibuja una circunferencia de 1, cm de radio y traza una cuerda que esté a una distancia de 0, cm del centro. 7 A cm a) Se dibuja la base mayor y se señala el punto E b) Sobre ED se dibuja el triángulo de lados, cm; cm y cm. Se obtiene C c) Se trazan paralelas y se obtiene B Dibuja un romboide sabiendo que uno de sus lados mide cm y sus diagonales 6 cm y cm, respectivamente. A cm cm E 6 cm B cm cm cm O a) Se dibuja la diagonal AC y su punto medio O b) Con centro en A se traza un arco de radio cm c) Con centro en O se traza un arco de radio cm d) El punto de intersección es B y se une B con C e) Se trazan paralelas y se obtiene D D, cm cm C D 0 Una cuerda está a 6 cm de distancia del centro de una circunferencia de 8 cm de radio. Halla la longitud de la cuerda. A O 1, cm 0, cm O O 6 cm 8 cm 8 cm 6 cm c + 6 = 8 c = 8 c= 8 =,9 cm Cuerda:,9 = 10,8 cm 1 Dibuja dos circunferencias que sean: a) Tangentes exteriores. b) Tangentes interiores. c B. Circunferencia 8 Dibuja una circunferencia de cm de radio y una recta tangente con respecto a ella. a) O' t O R = cm b) O' O UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 67

165 Ejercicios y problemas Traza y di qué posición relativa tienen una circunferencia de cm de radio y otra de 1 cm de radio, de forma que sus centros estén a: a) cm b) 1 cm c) 0, cm d) cm. Círculo y ángulos en la circunferencia Dibuja un círculo de cm de radio. cm a) Tangentes exteriores. O cm cm 1 1 cm O' Dibuja un arco de circunferencia de 1, cm de radio y cuyo ángulo central sea de 70 b)tangentes interiores. cm 70 1, cm O 1 cm 1 cm O' Construye un sector circular de 1, cm de radio y cuyo ángulo central mida 60 c) Interiores. cm 60 1, cm 0, 1 cm O O' 6 Dibuja un segmento circular de 1,8 cm de radio y de forma que la cuerda tenga, cm d) Secantes. A cm O cm 1 cm O' O, cm R = 1,8 cm B 68 SOLUCIONARIO

166 7 Construye una corona circular cuyos radios midan, cm y 1, cm 9 Construye un ángulo de 60 inscrito en una circunferencia. 1, cm O, cm Calcula la amplitud del ángulo que forman las dos diagonales del pentágono: α 8 Dibuja un trapecio circular cuyos radios midan 1, cm y 1 cm y cuyo ángulo central sea de 0 1 cm 1, cm 0 O α 7 El ángulo central correspondiente mide: 60 : = 7 El ángulo α inscrito mide la mitad: α = 7 : = 6 Para ampliar 61 Calcula la apotema de un cuadrado de 16 m de lado. 6 Calcula la apotema de un octógono regular cuyo radio mide,7 cm y el lado mide,6 cm a 16 m Es la mitad del lado: 8 m,7 cm a 1,8 cm a + 1,8 =,7 a = 18,8 a= 18,8 =, cm 6 Calcula la apotema de un hexágono regular de 7 cm de lado. 7 cm a, cm a +, = 7 a = 6,7 a= 6,7 = 6,06 cm 6 Calcula la apotema de un pentágono regular de cm de radio y,7 cm de lado. cm a,6 cm a +,6 = a = 10, a= 10, =, cm UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 69

167 Ejercicios y problemas 6 Calcula el lado de un pentágono regular de,7 m de radio y, m de apotema. 68 La diagonal de un rombo mide cm, y el lado, cm. Cuánto mide la otra diagonal?, cm,7 cm x cm D/ cm x +, =,7 x = 10,77 x= 10,77 =,8 cm Lado =,8 = 6,6 cm 66 Construye un rectángulo cuya diagonal mida, cm, y uno de los lados,, cm (D/) + = (D/) + = 9 (D/) = D/ = =, cm D =, =,8 cm 69 Construye un paralelogramo cuyos lados midan cm y cm, y una diagonal mida cm, cm, cm cm B cm A cm C 67 Dibuja un rombo cuyas diagonales midan cm y cm. Cuánto vale el lado? 70 D En un trapecio isósceles las bases miden 1 cm y 8 cm. Si la altura es de cm, calcula la longitud de los lados iguales. a 1, cm b = 8 cm, cm cm a =, + 1, = 8, B = 1 cm a= 8, =,9 cm l = + = 9 l = 9 =,9 cm 70 SOLUCIONARIO

168 Problemas 71 Calcula la altura del siguiente trapecio: cm 7 Dibuja una recta que esté a cm de distancia del centro de una circunferencia de cm de radio. Cómo es la recta? a cm r 8 cm O cm a cm cm a + = a + 9 = a = 16 a= 16 = cm Es una recta tangente. 7 Dibuja un romboide sabiendo que uno de sus lados mide cm, y sus diagonales, cm y cm, respectivamente. 7 Una cuerda está a cm de distancia del centro de una circunferencia de 9 cm de radio. Halla la longitud de la cuerda. A cm B cm O, cm, cm C x x cm 9 cm x + = 9 x = 6 a= 6 = 8,06 cm Longitud de la cuerda: 8,06 = 16,1 cm a) Se dibuja la diagonal AC de cm y su punto medio O b) Con centro en A se traza un arco de radio cm c) Con centro en O se traza un arco de radio cm d) El punto de intersección es B y se une con C e) Se trazan paralelas y se obtiene D D 76 Traza y di qué posición relativa tienen una circunferencia de 6 cm de radio y otra de cm de radio, de forma que sus centros estén a: a) cm b) cm c) 0 cm d) 10 cm 7 Traza una cuerda que esté a 1, cm del centro de una circunferencia de, cm de radio. a) Interiores. A, cm 1, cm O B 6 cm O cm 1 cm O' UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 71

169 Ejercicios y problemas b) Secantes. B A, cm 1, cm 6 cm O cm O 1 cm O' c) Concéntricas. 6 cm 79 Construye un ángulo inscrito en una circunferencia de 10 cm O' 10 d) Exteriores. 80 Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado de, cm de lado. 6 cm O 10 cm 1 cm O' D, cm, cm D =, +, = 6 D = 6 = 6 D = 6 cm, R = cm 77 Construye un sector circular de 1, cm de radio y cuyo ángulo central mida 0 81 Calcula la apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de cm de radio, si el lado del triángulo mide 8,66 cm cm, cm a 8,66 cm a = +, = 6, = =, cm O 0 1, cm 78 Dibuja un segmento circular de 1, cm de radio, de forma que la cuerda tenga, cm Para profundizar 8 El lado de un triángulo equilátero mide 6 cm. Calcula: a) La altura. b) La apotema. c) El radio. 7 SOLUCIONARIO

170 R h a cm 6 cm h + = 6 h = 7 a) h = 7 =, cm b) a =,/ = 1,7 cm c) R =, / =,7 cm 86 Copia el siguiente diagrama en tu cuaderno y haz un dibujo de cada cuadrilátero. Escribe al lado sus propiedades. Paralelogramos Rectángulos 8 El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de 0 cm. Halla el diámetro de la circunferencia. Rombos Cuadrados Romboides D cm cm L = 0/ = cm D = + = 0 D = 0 = 7,07 cm Paralelogramos Rectángulos 8 El perímetro de un hexágono regular mide cm. Calcula el diámetro de la circunferencia circunscrita. Rombos Cuadrados 8 7 cm 7 cm Lado = /6 = 7 cm Radio = 7 cm Diámetro = 1 cm Dado un hexágono de cm de lado, calcula el radio, la apotema y el lado del triángulo rojo de la figura. R = cm a = R/ =, cm x +, = x = 18,7 x = 18,7 =, cm Lado = x =, = 8,6 cm a x R Romboides Los paralelogramos son cuadriláteros con los lados opuestos paralelos que tienen las siguientes propiedades generales: Tienen iguales sus lados opuestos. Tienen iguales sus ángulos opuestos. Dos ángulos consecutivos son suplementarios. Las diagonales se cortan en su punto medio. Cuadrado: tiene los cuatro lados y ángulos iguales. Tiene la propiedad de que sus diagonales son iguales y perpendiculares. Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos.tiene la propiedad de que sus diagonales son iguales. Rombo: tiene los cuatro lados iguales.tiene la propiedad de que sus diagonales son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos. El cuadrado es un rectángulo y un rombo a la vez porque verifica las condiciones que los definen. Romboide: tiene los lados paralelos y, los lados y ángulos contiguos desiguales. El romboide es un paralelogramo que no es ni cuadrado, ni rectángulo, ni rombo. UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 7

171 Aplica tus competencias 87 Dibuja un mosaico cuyo motivo mínimo sea un triángulo. (Recuerda que con dos triángulos iguales construyes un paralelogramo). 89 Se puede hacer un mosaico solo con pentágonos regulares? No, no completan el plano. 88 Dibuja un mosaico cuyo motivo mínimo sea un cuadrilátero. 7 SOLUCIONARIO

172 Comprueba lo que sabes 1 Define «cuadrilátero». Escribe la clasificación y dibuja un ejemplo de cada uno. Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Tienen cuatro vértices, dos diagonales y cuatro ángulos. Sus cuatro ángulos suman 60 Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos Trapecios c a c a d b B Trapezoides b c d b a) Tangentes exteriores. O b)tangentes interiores. cm cm 1 cm O 1 cm 1 cm 1 cm O' O' a Calcula el ángulo α en cada caso. Justifica la respuesta. C c) Interiores. cm B α O 100 0, 1 cm O O' A C A B α d) Secantes. B 60 O α O cm a) 100 : = 0 b) 60 = 10 c) 180 : = 90 A Traza y di qué posición relativa tienen una circunferencia de cm de radio y otra de 1, cm de radio, de forma que sus centros estén a: a) cm b) 1 cm c) 0, cm d) cm C En una circunferencia de 9 cm de radio, se tiene una cuerda de 1 cm de longitud. Calcula la distancia de la cuerda al centro de la circunferencia. d 6 cm 9 cm O cm 1 cm O' d + 6 = 9 d = d = = 6,71 cm UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 7

173 Ejercicios y problemas Calcula la apotema de un hexágono regular de 6 cm de lado. 7 El lado de un rombo mide 10 cm y una diagonal 16 cm. Calcula la longitud de la otra diagonal. d/ 10 cm 8 cm a 6 cm cm a + = 6 a + 9 = 6 a = 7 a = 7 =, cm (d/) + 8 = 10 (d/) + 6 = 100 (d/) = 6 d/ = 6 = 6 cm d = 6 = 1 cm 6 El lado de un cuadrado mide cm. Dibuja el cuadrado y calcula la longitud de la diagonal. 8 Calcula la longitud de la altura del trapecio rectángulo de la figura: B 10 cm C a 10 cm d cm A d = + = 8 d = 8 =,8 cm a + 6 = 10 a + 6 = 100 a = 6 a = 6 = 8 cm 16 cm D cm 76 SOLUCIONARIO

174 Windows Cabri Linux/Windows GeoGebra Paso a paso 90 Dibuja un polígono irregular de lados. 9 Construye un cuadrado de lado cm Resuelto en el libro del alumnado. 91 Dibuja un pentágono regular, la circunferencia circunscrita y todos sus elementos. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 9 Dibuja un rectángulo. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 9 Dibuja una circunferencia y todos sus elementos. 97 Construye una corona circular de radios, cm y cm Resuelto en el libro del alumnado. 9 Dibuja un círculo de cm de radio. Resuelto en el libro del alumnado. 96 Construye un ángulo inscrito en una circunferencia y comprueba que es la mitad del ángulo central. Resuelto en el libro del alumnado. 98 Guárdala con el nombre de Corona Edita las medidas de los radios y modifícalas, verás cómo cambia de tamaño., cm, cm Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. UNIDAD 1. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA 77

175 1 Perímetros y áreas 1. Perímetro y área de los polígonos (I) Halla mentalmente el perímetro y el área de un rectángulo que mide 60 m de largo y 0 m de alto. Perímetro: (60 + 0) = 00 m Área = 60 0 = 00 m P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista : 860 C = 88; R = 70 Calcula mentalmente el área de un triángulo en el que la base mide 8 m, y la altura, m A P L I C A L A T E O R Í A Calcula mentalmente el área de un rectángulo cuyos lados miden 8 m y 6 m h = m a = 6 m b = 8 m b h A = A = 8 : = 0 m A = b a A = 8 6 = 8 m b = 8 m Calcula mentalmente el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 1 m Calcula el área de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden m y 16 m P = a P = 1 = 8 m a = 1 m b c A = A = 16 : = 176 m b = m c = 16 m 78 SOLUCIONARIO

176 Una parcela tiene forma de triángulo, y sus lados miden 9 m, 11 m y 1 m. Calcula su área. 7 A P L I C A L A T E O R Í A Un libro tiene 7 páginas. Cada hoja mide 1 cm de base y 9 cm de altura. Qué superficie ocupa el libro si arrancamos las hojas y colocamos unas al lado de otras? b = 11 m c = 9 m P = = m Semiperímetro: p = : = 16 m A = p(p a) (p b) (p c) A = 16 7 = 0 = 7, m 6 a = 1 m Un cuadrado mide 8 m de perímetro. Cuánto mide el lado? a = 9 cm b = 1 cm A hoja = b a A hoja = 1 9 = 609 cm A = 7 : 609 = 8 8 cm = 8,8 m a = 8 : = 1 m a. Perímetro y área de los polígonos (II) P I E N S A Y C A L C U L A Calcula, mentalmente o contando, el área de las siguientes figuras. Cada cuadrado pequeño es una unidad. D = 8 cm d = cm a = cm b = cm a = cm b = 6 cm B = 7 cm Área del rombo: 8 : = 16 u Área del romboide: 6 = 18 u Área del trapecio: (7 + ) : = 0 u Carné calculista 7 8 : = UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 79

177 A P L I C A L A T E O R Í A 8 Calcula mentalmente el perímetro de un rombo cuyo lado mide 6, m 11 Las diagonales de un rombo miden 1,6 cm y 9,8 cm. Calcula su perímetro y su área. a,9 cm P = a P = 6, = 6 m a = 6, m 7, cm Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 7, +,9 = 77, = 8,79 cm P = a P = 8,79 =,16 cm 9 Calcula mentalmente el área de un romboide cuya base mide 9 m, y la altura, 7 m D d A = A = 1,6 9,8 : = 71, cm a = 7 m b = 9 m A = b a A = 9 7 = 6 m 1 En un trapecio rectángulo, las bases miden 1, m y 8, m y la altura mide 6, m. Calcula su perímetro y su área. 10 Calcula mentalmente el perímetro de un trapecio isósceles en el que las bases miden 8 m y 7 m y los lados iguales miden m b = 7 m b = 8, m c a = 6, m m B = 1, m c = + 6, =, = 7,8 m d = 6, m c = m B = 8 m P = B + b + c P = = m P = B + c + b + d P = 1, + 8, + 6, + 7,8 =,8 m B + b A = a A = (1, + 8,) : 6, = 6,1 m 80 SOLUCIONARIO

178 1 Halla el perímetro y el área de un hexágono regular en el que el lado mide 8,6 m A P L I C A L A T E O R Í A 8,6 m a 8,6 m, m P = n l P = 6 8,6 = 1,6 m a +, = 8,6 a =,7 a =,7 = 7, m P a A = A = 1,6 7, : = 19,1 m. Longitudes y áreas en la circunferencia y el círculo (I) Si la longitud de la circunferencia mayor de una rueda es de, m, calcula mentalmente cuántas vueltas dará para recorrer: a) 1 dam b) 1 hm c) 1 km a) 10 m :, m = vueltas. b) 100 m :, m = 0 vueltas. c) m :, m = 00 vueltas. P I E N S A Y C A L C U L A 1 Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide, m 1 A P L I C A L A T E O R Í A Calcula la longitud de un arco de circunferencia de 7,8 m de radio y de 1 de amplitud. R =, m 1 R = 7,8 m L = πr L =,1, =,97 m πr L = nº 60 L =,1 7,8 : 60 1 = 17,01 m UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 81

179 A P L I C A L A T E O R Í A 16 Calcula el radio de una circunferencia que mide,8 m de longitud. 18 La tapa de un bote de melocotones mide 7,68 cm de circunferencia. Cuánto mide el radio de la tapa? R R L R = π R =,8 : (,1) =,7 m 17 En el Giro de Italia una etapa tiene 1 km, y las ruedas de una bicicleta tienen de radio cm. Cuántas vueltas da cada rueda? L R = π R = 7,68 : (,1) = 6 cm 19 Un arco de 60 mide m. Calcula el radio. R = cm 60 m Contorno de la rueda: L = πr L =,1 = 19,8 cm Nº de vueltas: : 19,8 = vueltas. Longitud de la circunferencia: 60 L = L Arco n L = 60 : 60 = 6 = 18 m L R = π R = 18 : (,1) = 1,97 m 8 SOLUCIONARIO

180 . Longitudes y áreas en la circunferencia y el círculo (II) P I E N S A Y C A L C U L A Calcula, mentalmente o contando por aproximación, el área de las siguientes figuras. Cada cuadrado pequeño es una unidad. R = cm R = cm 90 R = cm R = cm Área del círculo aproximadamente: = 7, debe ser un poco más 80 u Área del sector aproximadamente: 80 : = 0 u Área de la corona circular aproximadamente: 80 0 = 0 u Carné calculista 0 Calcula el área de un círculo de 6,7 cm de radio. 1 6 ( + ) + = A P L I C A L A T E O R Í A Calcula el área del siguiente segmento circular coloreado de azul: R R = 1, cm A = πr A =,1 6,7 = 10,9 cm 1 Calcula el área de un sector circular de 1, m de radio y 16 de amplitud. A = A Sector A Triángulo πr R A = n 60 A =,1 1, : 1, : = 0,6 cm 16 R = 1, m πr A = n 60 A =,1 1, : =,87 m UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 8

181 A P L I C A L A T E O R Í A Calcula el área de una corona circular cuyos radios miden cm y 7 cm Calcula el área de la siguiente zona amarilla: r = 1, cm r = m R = 7 m R = cm A = π (R r ) A =,1 (7 ) = 7,6 cm A = πr πr A =,1,1 1, =, cm 8 SOLUCIONARIO

182 Ejercicios y problemas 1. Perímetro y áreas de los polígonos (I) Calcula mentalmente el área de un cuadrado cuyo lado mide 7 m Área: 7 = 9 m 0 Calcula el área coloreada de verde: mm a = cm 6 Calcula mentalmente el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden m y 7 m Perímetro: ( + 7) = m 7 Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 1 m y 0 m c = 1 m a = = 6 a= 6 = m P = a + b + c P = = 60 m a b = 0 m A =, 1, =,6 cm. Perímetro y áreas de los polígonos (II) 1 Calcula mentalmente el área de un rombo cuyas diagonales miden 9 m y m D d A = A = 9 : =, m Calcula mentalmente el perímetro de un romboide cuyos lados miden 7 m y m P = (7 + ) = m b = cm 8 9 Un ganadero tiene un prado cuadrado de m de lado y quiere ponerle tres filas de alambre alrededor. Cada metro de alambre cuesta 1,8. Cuánto le costará el alambre que necesita? Precio = 1,8 = 18, Un campo de fútbol mide de largo 10 m y de ancho 6 m. Queremos reponer el césped, que cuesta /m. Cuánto tenemos que pagar? 10 m Precio = 10 6 = m Calcula mentalmente el área de un trapecio cuyas bases miden, m y, m, y la altura, m B + b, +, A = a A = = 10 m Calcula mentalmente el perímetro de un decágono regular en el que el lado mide 1 m P = n l P = 10 1 = 10 m Calcula el área del rombo del siguiente dibujo, y el área azul comprendida entre el rectángulo y el rombo. Cuál es mayor? Por qué? b = cm a = cm UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 8

183 Ejercicios y problemas Área rombo: : = cm Área azul: = cm Son iguales, porque las dos diagonales del rombo y los lados del rombo dividen al rectángulo en ocho triángulos rectángulos iguales, cuatro quedan dentro del rombo y cuatro fuera. 8 Calcula la longitud de un arco de circunferencia de, m de radio y de 6 de amplitud. 6 R =, m 6 Halla el área del trapecio rectángulo del siguiente dibujo: b = 8 m c = m πr L = n 60 L =,1, : 60 6 =,8 m B = 11 m 9 Calcula la longitud del arco rojo del siguiente dibujo: b = 8 m R = 1, cm a c = m B = 11 m m a + = a + 9 = a = 16 a = 16 = m B + b A = a A = (11 + 8) : = 8 m. Longitudes y áreas en la circunferencia y el círculo (I) 7 Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide, m 90 R = 1, cm πr L = n 60 L =,1 1, : = 1,88 cm. Longitudes y áreas en la circunferencia y el círculo (II) R =, m L = πr L =,1, = 17,8 m 0 Calcula el área de un semicírculo de, cm de radio. R =, cm πr A = A =,1, : =, cm 86 SOLUCIONARIO

184 1 Calcula el área de un sector circular de 7, cm de radio y 7 de amplitud. Calcula el área de la zona coloreada de amarillo de la siguiente figura: cm 7 R = 7, m πr A = n 60 A = A Cuadrado A Círculo A = a πr A =,1 1, = 1,9 cm A =,1 7, : 60 7 =,01 cm Calcula el área de una corona circular cuyos diámetros miden 1 cm y 16 cm Calcula el área de la zona coloreada de azul de la siguiente figura: r = 6 cm R = 8 cm cm A = π (R r ) A =,1 (8 6 ) = 87,9 cm A = A Semicírculo A Círculo A = πr / πr A =,1 1, :,1 0,7 = 1,77 cm El área de un círculo mide cm. Cuánto mide el radio? 6 Calcula el área de la zona sombreada de la siguiente figura: R cm A R = π R = :,1 =,8 cm A = A Círculo : A = πr : A =,1 : = 6,8 cm UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 87

185 Ejercicios y problemas Para ampliar 7 Las bases de un triángulo y de un rectángulo son iguales. Si tienen la misma área, qué relación hay entre las alturas? 1 Un romboide y un rectángulo tienen la misma base y la misma altura. Cómo son sus áreas? Cuál tiene mayor perímetro? La altura del triángulo tiene que ser el doble que la del rectángulo. a a 8 El área de un cuadrado mide m. Cuánto mide su lado? b Sus áreas son iguales. El romboide tiene mayor perímetro. b a Calcular el área de la siguiente figura: a a = = 1 m 9 cm cm cm 9 El perímetro de un rectángulo mide 7,6 m. Si la base mide 1, m, cuánto mide la altura? x cm a cm a = (7,6 1,) : = 8,6 m 0 En un rombo se conoce un lado, que mide m, y una diagonal, que mide 6 m. Calcula su área. b = 1, cm x + = x + 9 = x = 16 x = 16 = cm Área del trapecio: (9 + ) : = cm Área del rectángulo: = 1 cm Área total: + 1 = 6 cm D/ m m En un trapecio isósceles las bases miden 16,7 m y 11, m y la altura mide 8, m. Calcula su perímetro y su área. (D/) + = (D/) = 16 D/ 16 = m D = = 8 m D d A = A = 8 6 : = m c b = 11, m a = 8, m c B = 16,7 m,7 m 88 SOLUCIONARIO

186 c = 8, +,7 = 79, c = 79, = 8,9 m P = B + b + c P = 16,7 + 11, + 8,9 =,8 m B + b A = a A = (16,7 + 11,) : 8, =119 m El perímetro de un pentágono regular mide 7,8 m. Calcula cuánto mide el lado. 7 Las ruedas delanteras de un tractor miden 70 cm de diámetro, y las traseras, 1, m. Si el tractor recorre km, cuántas vueltas habrán dado las ruedas delanteras?, y las traseras? Ruedas delanteras: L =,1 0, =,0 m Nº de vueltas: 000 :,0 = 11 6 Ruedas traseras: L =,1 0,7 =,71 m Nº de vueltas: 000 :,71 = 08 8 El área de un círculo mide 1 m. Cuánto mide el radio? P = n l l = P : n l = 7,8 : = 1,16 m Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 7, cm l R = 7, cm R = 1 :,1 =0,6 m = 6 cm 9 Calcula el área coloreada de verde de la siguiente figura: a =, cm A = a πr A =,,1 1, = 1, cm L = πr L =,1 7, =, m 6 Calcula la longitud del arco de una circunferencia de 1, cm de radio y de 0 de amplitud. 60 Comprueba una generalización del teorema de Pitágoras. Calcula las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos y comprueba que la suma de éstas es igual a la del semicírculo construido sobre la hipotenusa. 0 c = m a = m R = 1, m πr L = nº 60 L =,1 1, : 60 0 =,17 cm b = m,1 1, : +,1 : = 9,81 m,1, : = 9,81 m UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 89

187 Ejercicios y problemas Con calculadora 61 Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 8, cm, y un cateto, 6,7 cm 6 Queremos construir una cometa cuyas diagonales midan 9 cm y 6 cm. Halla su área. a = 8, cm b = 6,7 cm c d = 6 D = 9 c = 8, 6,7 =, cm P = a + b + c P = 8, + 6,7 +, = 0, cm 6 Calcula el área de un triángulo en el que los lados miden, m,,7 m y,8 m D d A = A = 9 6 : = 087, cm c =,7 m b =, m 66 Calcula el radio de una circunferencia cuya longitud mide 86,7 cm a =,8 m Perímetro:, +,7 +,8 = 8 m Semiperímetro: p = 1 m A = p(p a)(p b)(p c) A = 1 17, 1, 8, = 00,0 m R 6 Calcula el lado de un cuadrado que tiene,7 m de área. Redondea el resultado a dos decimales. R = 86,7 : (,1) = 1,81 cm a =,7 =,1 m a 67 Calcula la longitud de un arco de circunferencia de 11, cm de radio y de de amplitud. 6 El área de un rectángulo mide 1, m. Si la base mide, m, cuánto mide la altura? b =, m c = A : b c = 1, :, = 1, m c R = 11, cm πr L = nº 60 L =,1 11, : 60 = 8,79 cm 90 SOLUCIONARIO

188 68 Calcula el área de un círculo de, m de radio. R =, m 70 El área de un círculo mide 7, cm. Cuánto mide el radio? R A = πr A =,1, = 1 76,69 m R = 7, :,1 =,88 cm 69 Calcula el área de un sector circular de 17,8 cm de radio y 16 de amplitud. 71 Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de cm de radio. Cuál sería el área si el cuadrado estuviese circunscrito a la circunferencia? 16 R = 17,8 cm πr A = nº 60 A =,1 17,8 : = 0,6 cm cm a 6 cm cm a = + = 18 cm Área del cuadrado pequeño: ( 18 ) = 18 cm Área del cuadrado circunscrito: 6 = 6 cm Vemos que sería el doble. Problemas 7 Halla el área de un triángulo equilátero en el que el lado mide m 7 La vela de un barco es de lona y tiene forma de triángulo rectángulo; sus catetos miden 10 m y 18 m. El metro cuadrado de lona vale 18,. Cuánto cuesta la lona para hacer la vela? h m 18 m 1 m h + 1 = h = h= = 0,78 m b h A = A = 0,78 : = 9,6 m 10 m Coste: : 18, = 1 66 UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 91

189 Ejercicios y problemas 7 El perímetro de una parcela cuadrangular mide 6 m, y esta se vende a 1 el m. Cuánto vale la finca? 78 Una pieza de tela para hacer un abrigo tiene forma de romboide; la base mide 8 cm, y el área, 97 cm. Cuánto mide de alto? a = 6 : = 1 m Coste: 1 1 = 90 a a = 97 : 8 = cm a b = 8 cm 7 Calcula el área del cuadrado amarillo del dibujo siguiente: 79 Un tablero de aglomerado tiene forma de trapecio isósceles; las bases miden 1, m y 8 cm, y la altura, 6 cm. Queremos ponerle todo el canto de cinta, que cuesta, 1, el metro. Cuántos metros tendremos que comprar y cuánto costarán? b =, cm b = 8 cm Área: 1, = 1,6 cm Tenemos una finca de forma rectangular que mide m de largo y 7 m de ancho. Queremos ponerle una valla para cercarla, que cuesta a 1 el metro. Cuánto cuesta cercarla? b = m Coste: ( + 7) 1 = a = 7 m Calcula el perímetro de un rombo en el que las diagonales miden 18 m y 1 m c = 6 + = 80 c = 80 = 69,6 cm P = B + b + c P = ,6 = 9,8 cm =,9 m Compraremos:,6 m Coste:,6 1, =, 80 Una mesa tiene forma de hexágono regular cuyo lado mide 1, m, y tiene una sola pata. La madera de la pata cuesta, y el metro cuadrado de la madera para construir la parte hexagonal,. Cuánto cuesta la madera para hacer la mesa? B = 1 cm 6 cm 1, m c cm 6 m 9 m a a = = 117 a = 117 = 10,8 m P = a P = 10,8 = =,8 m a a + 0,6 = 1, a = 1,08 a = 1,08 = 1,0 m p a A = A = 6 1, 1,0 : =,7 m Coste:,7 + = 6,96 1, m 0,6 m 9 SOLUCIONARIO

190 81 El hilo de cobre de una bobina de, cm de radio tiene 0 vueltas. Si el metro de hilo cuesta 1,7, cuánto cuesta el hilo? R =, m A = πr Coste:,1 1, 8 =, 8 Halla el área del siguiente corazón: 1, cm L = πr Coste:,1 0,0 0 1,7 = 18,68 h cm 8 La rueda de una bicicleta mide 80 cm de diámetro, la catalina 16 cm de diámetro y el piñón 8 cm. Por cada vuelta que dan los pedales, cuántos metros recorre la bicicleta? Por una vuelta de los pedales, el piñón da dos; luego la rueda también da dos.,1 0, =,0 m h + 1, = h = 6,7 h = 6,7 =,6 cm Área:,6 : +,1 0,7 =,67 cm 86 Calcula el área de la siguiente figura: 9 cm 6 cm 8 El tronco de un árbol mide 1 m de circunferencia. Cuánto mide el diámetro? L = πr Diámetro: 1 :,1 = 0, m = cm 8 R = 1 m La base de una tienda de campaña es de lona y tiene forma circular; su diámetro mide, m. Si el metro cuadrado de lona vale 8, cuánto cuesta la lona de la base? Área:,1(9 6 ) : = 70,6 cm Para profudizar 87 Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden 7, cm cada uno, y el desigual,, cm 7, cm h 7, cm,7 cm b =, cm h +,7 = 7, h = 8,96 h = 8,96 = 7 cm b h A = A =, 7 : = = 18,9 cm UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 9

191 Ejercicios y problemas 88 Calcula el área del triángulo equilátero verde del dibujo siguiente: 91 Halla el área de un rombo en el que una de las diagonales mide 1,6 m y el perímetro,, m a = 10,6 m 6, m 89 Una clase es cuadrada y el lado mide 7 m. Si en la clase hay 8 alumnos, qué superficie le corresponde a cada alumno? 8 cm El lado del triángulo pequeño mide cm h + 1 = h = h = = 1,7 cm b h A = A = 1,7 : = 1,7 cm h cm 1 cm a =, : = 10,6 m (D/) + 6, = 10,6 (D/) = 7,67 D/ = 7,67 = 8, m D = 8, = 17,0 m D d A = A = 17,0 1,6 : = 107, m 9 Un jardín tiene forma de romboide, cuya base mide 1 m y cuya altura mide 7, m. Queremos ponerle césped, que cuesta a 8, /m. Cuánto tenemos que pagar? D/ a = 7, m 7 : 8 = 1,7 m a = 7 b = 1 m Coste: 1 7, 8, = 6 90 Tenemos un cuadro de forma rectangular en el que la base mide 1, m y la altura 60 cm. Queremos ponerle dos listones en la parte trasera, uno en cada diagonal, para reforzarlo. El metro de listón cuesta a,7, y por ponerlo cobran,. Cuánto cuesta reforzarlo? 9 Las bases de un trapecio isósceles miden 18 m y 1 m, y cada uno de los dos lados iguales, 10 m. Calcula su perímetro y su área. b = 1 m a c = 10 m d b = 1 cm d = = 19 d = 19 = 18,6 cm = 1,9 m Coste: 1,9,7 +, = 1,1 a = 60 cm B = 18 m m P = B + b + c P = = 0 m a + = 10 a = 91 a = 91 = 9, m B + b A = a A = (18 + 1) : 9, = 1,1 m 9 SOLUCIONARIO

192 9 Queremos poner un terrazo con forma hexagonal en el suelo de una habitación que mide, m de largo por, m de ancho. Cada baldosa hexagonal mide 0 cm de lado y cuesta,. Cuánto costará poner el suelo de terrazo si el albañil cobra 10 y entre arena y cemento se gastan 6? Se supone que, al cortar las baldosas, estas se aprovechan íntegramente. 96 Un bote de tomate mide 1 cm de alto y 6 cm de diámetro. Calcula el área de una pegatina que llene toda la superficie lateral. a = 1 cm La figura que se obtiene es un rectángulo. A = b a A =,1 1 = 6,08 cm 97 El callejón de una plaza de toros tiene un diámetro interior de 60 m y un diámetro exterior de 6 m. Calcula el área del callejón. 0 m a 0 m a + 10 = 0 a = 00 a = 00 = 17, cm p a A = A = , : = 109, cm Área de la habitación:,, =,6 m Nº de baldosas: 6 00 : 1 09, = 8 baldosas Coste: 8, = 70, 9 La rueda de una bicicleta tiene 80 cm de diámetro, y cada cm tiene un radio que cuesta 1,. Cuánto cuestan los radios de la bicicleta? 10 m A = π (R r ) A =,1 (1 0 ) = 191, m 98 callejón 6 m Calcular el área de la figura comprendida entre el hexágono y la circunferencia. L = πr L =,1 0 = 1, cm Nº de radios: 1, : = 0 Coste: 0 1, = 60 1, cm UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 9

193 Ejercicios y problemas 100 Calcula el área sombreada de la siguiente figura: a 1, cm cm 0,7 cm a + 0,7 = 1, a + 0,6 =, a = 1,69 a = 1,69 = 1,0 cm A = A Círculo A Hexágono A =,1 1, 6 1, : 1, = 1, cm cm cm a a 99 Calcula el área coloreada de verde de la siguiente figura: a = + = 0 a = 0 cm A = A Cuadrado mayor A Cuadrado menor A = 10 ( 0) = = 0 cm 101 Calcula el área de la siguiente estrella: cm 8 cm cm d 8 cm Área: + : = 16 cm cm d = + = 8 d = 8 =,8 cm Radio mayor:,8 : = 1, cm Radio menor: 1 cm A = π (R r ) A =,1(1, 1 ) =,19 cm 10 Calcula el área sombreada de la siguiente figura: Área:,1,1 = = 7,68 cm cm 96 SOLUCIONARIO

194 Aplica tus competencias 10 Calcula el área del siguiente trapezoide, conociendo las medidas que se dan en la figura: A 17, m Resuelto en el libro del alumnado. D 7,7 m 7 m, m C,6 m B 10 Calcula el área de la siguiente parcela, conociendo las medidas que se dan en la figura: E,1 m 7,8 m,9 m 0,6 m A C 6,9 m 6,1 m Hay que calcular el área de los tres triángulos aplicando la fórmula de Herón. Triángulo ABC: Semiperímetro: 17,9 : = 6,9 m Área = 6,9 1,7, 7,8 = 6,7 m Triángulo AEC: Semiperímetro: 86,6 : =, m Área =, 9, 11,,7 = 1,68 m Triángulo ECD: Semiperímetro: 118,6 : = 9, m Área = 9,, 1,, = 70,6 m Área total = 6,7 + 1, ,6 = = 1118,99 m D 1, m B UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 97

195 Comprueba lo que sabes 1 Cuál es el área del trapecio? Pon un ejemplo. a = + = 1 a = 1 = 6, m El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura. B + b A = a Ejemplo: Calcula el área de un trapecio en el que las bases miden 8, m;, y la altura,6 m b =, m P = a P = 6, =,6 m D d A = = 8 10 : = 0 m Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular en el que el lado mide 6, m a =,6 m a 6, m B = 8, m B + b A = a 8, +, A =,6 = 6, m, m Perímetro: 6 6, = 8, m Apotema: a +, = 6, a + 10, = 0,96 a = 0,7 a = 0,7 =, m Área = 6 6, :, = 106,7 m Calcula el área de un triángulo en el que la base mide,8 cm, y la altura,, cm Calcula la longitud de un arco de circunferencia de, m de radio y 6 de amplitud. b h A =,8, A = =, cm h =, m b =,8 cm Calcula el perímetro y el área de un rombo en el que las diagonales miden 8 m y 10 m 6 R =, m πr L = nº 60 L =,1, : 60 6 =,8 m m m a 6 Calcula el área de una corona circular cuyos radios miden, cm y, cm Área =,1 (,, ) = 8,61 cm 98 SOLUCIONARIO

196 7 La rueda de una bicicleta tiene 7 cm de diámetro. Cuántas vueltas tiene que dar para recorrer 1 km? 8 Calcula el área de la figura de la derecha. Nº de vueltas: : (,1 0,7) = vueltas.,6 cm Área =,6 +,1 1, : = 9,1 cm,6 cm UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 99

197 Windows Cabri Paso a paso 10 Dibuja un triángulo y una altura. Mide la base, la altura y el área. Comprueba con la calculadora de CABRI la fórmula del área. Arrastra un vértice y comprueba que se sigue verificando la igualdad. Resuelto en el libro del alumnado. 106 Dibuja dos rectas paralelas y construye un triángulo que tenga la base en una de ellas y el tercer vértice en la otra. Mide el área del triángulo. Arrastra el vértice C de la recta s sobre ella y verás que el área no varía, porque el triángulo sigue teniendo la misma base y la misma altura. Resuelto en el libro del alumnado Dibuja un cuadrado de cm de lado y calcula el perímetro y el área. Resuelto en el libro del alumnado. Dibuja un rectángulo cuyos lados midan 7 cm y cm, y calcula el perímetro y el área. Resuelto en el libro del alumnado. Dibuja un pentágono regular. Mide el lado, la apotema y el área. Comprueba con la calculadora de CABRI la fórmula del área. Arrastra un vértice y comprueba cómo se sigue verificando la igualdad. Resuelto en el libro del alumnado. 00 SOLUCIONARIO

198 Linux/Windows GeoGebra Practica 110 Calcula el valor de π. Para ello dibuja una circunferencia y un diámetro y mide el diámetro y la longitud de la circunferencia. Mediante la calculadora de CABRI, divide la longitud de la circunferencia entre el diámetro. Resuelto en el libro del alumnado. 111 Dibuja un círculo de, cm de radio. Mide el radio y el área. Comprueba la fórmula del área con la calculadora de CABRI. Resuelto en el libro del alumnado. 11 Dibuja una corona circular cuyo radio mayor mida,8 cm, y de radio menor, 1,77 cm. Mide los radios y las áreas de los dos círculos. Calcula mediante la calculadora de CABRI el área de la corona circular restando la medida de las dos áreas y aplicando la fórmula. R =,8 cm r = 1,77 cm Área grande =,1 cm Área pequeña = 9,79 cm Diferencia = 1, cm Guárdalo como Corona Geometría dinámica: interactividad Edita la medida de los radios. Modifícalas y verás cómo cambia de tamaño. a) Dibuja las dos circunferencias. b) Haz el resto de los apartados. 11 Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. UNIDAD 1. PERÍMETROS Y ÁREAS 01

199 1 Tablas y gráficas 1. Coordenadas cartesianas P I E N S A Y C A L C U L A Los puntos del gráfico se corresponden con las personas del dibujo. Di qué persona se corresponde con cada punto. Altura (cm) Y B A C D E Peso (kg) X A: Inés. B: Juan. C: Susana. D: Antonio. E: Manuel. Carné calculista 9 69 : 7 C = 1; R = 7 1 Une mediante segmentos los siguientes puntos en orden alfabético. Qué se obtiene? Halla las coordenadas de todos los puntos del gráfico. M L K J I H G Y F E O N C D B A X M L K J I H G A P L I C A L A T E O R Í A Y O A N B C X E D F 0 SOLUCIONARIO

200 Se obtiene el mapa de España. A(6, ); B(, ); C(, 1); D(, 1); E(1, ); F(0, ); G( 1, ); H(, ); I(, ); J(, ); K(, ); L(, ); M(, ); N(, ); O(, ) A P L I C A L A T E O R Í A Interpreta los siguientes puntos del gráfico: Y Relación: edad-peso Antonio 70 6 Dibuja en unos ejes coordenados los siguientes puntos y únelos en orden alfabético: A(0, 0), B(, 0), C(, ), D(, ), E(, 0), F(0, 0), G(0, ), H(0, 6), I(, ), J(0, ) Qué figura se obtiene? Se obtiene un barco. I E D Y H G J A F C B X Peso (kg) María Alba Tiempo (años) a) Quién tiene más edad? b) Quién es el más joven? c) Quién es el que más pesa? d) Quién es el que pesa menos? e) Cuánto pesa María? f) Cuántos años tiene Alba? a) Antonio. b) María. c) Antonio. d) Alba. e) kg f) 1 años. X. Interpretación y lectura de gráficas Dinero ( ) Y Paga de Ana L M X J V S D Tiempo (días) X El gráfico de la izquierda representa la evolución del dinero de la paga de Ana durante la última semana. a) Le dan la paga el viernes y no se gasta nada. Cuánto le dan de paga? b) Qué día de la semana es el que más dinero tiene? Cuánto? c) Qué día de la semana es el que menos dinero tiene? Cuánto? d) Cuánto dinero tiene cuando empieza la semana? e) Cuánto dinero tiene cuando termina la semana? f ) Cuánto ha ahorrado esta semana? a) 10 b) El viernes, 1 c) El jueves, d) e) 6 f) 1 Carné calculista + 7 : = 9 P I E N S A Y C A L C U L A UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 0

201 Dada la gráfica del crecimiento de una planta en las primeras semanas de vida: a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Es creciente o decreciente? c) Cuánto mide la planta a las 6 semanas? Longitud (dm) a) Es una gráfica de líneas. b) Creciente. c) dm 0 Crecimiento de una planta Y X Tiempo (semanas) Cuáles de las siguientes relaciones son de puntos y cuáles de líneas? a) El coste de harina en función del número de kilos. b) El número de ruedas de coches en función del número de coches. c) El perímetro de un cuadrado en función de lo que mide el lado. 6 A P L I C A L A T E O R Í A Dada la gráfica de los beneficios de una empresa: Dinero (millones ) Y Empresa Luna X Tiempo (años) a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) En qué momento alcanza los máximos y cuál es el mayor de ellos? c) En qué momento alcanza los mínimos y cuál es el menor de ellos? d) Durante qué años han crecido los beneficios? e) Durante qué años han decrecido los beneficios? a) De líneas. b) En los años: y 1. El mayor de ellos lo alcanza en el año 1 y es 6 millones de c) En los años: 0 y 8. El menor de ellos lo alcanza en el año cero y es 0 d) Del 0 al y del 8 al 1 e) Del al 8 a) De líneas. b) De puntos. c) De líneas.. Tablas de frecuencias a) Qué información se recoge en la tabla adjunta? b) Qué significan los números de la segunda columna? c) Cuántos coches se han observado? a) El número de coches según el color. b) El número de coches de cada color. c) = 10 coches. Carné calculista 19,7 : 7, C = 68,9; R = 0,0 P I E N S A Y C A L C U L A Colores Nº de coches Rojo Blanco 0 Gris 0 Azul 1 06 SOLUCIONARIO

202 7 8 Pon un ejemplo de carácter estadístico cualitativo y otro cuantitativo. Carácter cualitativo: el color de pelo. Carácter cuantitativo: el número de hermanos. Los goles que ha conseguido por partido un equipo escolar durante los últimos partidos, han sido: 1,, 1, 1, 1,, 1,,, 1,,,,,,,,,,,,,,, : a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas. c) Calcula la media y la moda. a) Carácter cuantitativo discreto. b) Tabla de frecuencias: Nº de goles n i f i x i n i 1 6 0, ,0 0 0,0 1 0,08 8 0,08 10 Total 1,00 9 c) Moda: Media: x = 9 : =,6 9 Se ha lanzado un dado 0 veces, obteniéndose los siguientes resultados:, 6,,,,,,,,, 1, 1,, 1,,,,, 6,, 1,,, 6,,,,,,, 6,,,,,,, 6,, : a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas. c) Calcula la media y la moda. a) Carácter cuantitativo discreto. b) Tabla de frecuencias: c) La moda: La media: x = 1 : 0 =,6 A P L I C A L A T E O R Í A x i n i f i x i n i 1 0, , , 7 8 0,00 8 0, ,1 0 Total 0 1, Gráficos estadísticos a) Qué representa el gráfico adjunto? b) Qué deporte es el más practicado? Cuántos alumnos y alumnas lo practican? a) El número de personas que practican atletismo, baloncesto, fútbol y natación. b) Fútbol. Lo practican 1 alumnos y alumnas. Carné calculista ( ) + = 1 9 Frecuencia Atletismo P I E N S A Y C A L C U L A Deportes Baloncesto Fútbol Natación UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 07

203 10 Se ha realizado un estudio para determinar el tipo de refresco que más consume un grupo de jóvenes, y los resultados han sido: Representa la información en un diagrama de barras e interprétalo. Tipo de refresco Naranja Limón Cola Frutas tropicales Frecuencias Consumo de refrescos Nº de jóvenes Haz un diagrama de sectores con la siguiente información: 60 : 0 = 1 Día Nublado Nubes y claros Lluvia Sol A P L I C A L A T E O R Í A Día Nº días Grados del sector Nublado 1 = 8 Nubes y claros = 96 Lluvia 1 = 60 Sol = 16 Suma 0 60 Nublado Nº de días Naranja Limón Cola Frutas Tipo de refresco El refresco más vendido es el de Cola. Sol Nubes y claros Lluvia 11 Haz un pictograma que represente el número de coches vendidos en un concesionario: Tiempo (años) Nº de coches Los siguientes datos son el número de CD vendidos en una tienda durante el mes de junio: 77, 70, 60, 70, 88, 71, 61, 77, 8, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 6, 8, 66, 71, 7, 88,7, 7, 8, 7, 8, 76, 81, 79, 86 Haz un diagrama de tallo y hojas que represente esta información. = = 10 coches Tallo Hojas SOLUCIONARIO

204 Ejercicios y problemas 1. Coordenadas cartesianas 1 Marca con un punto y una letra cada punto de la circunferencia que tenga coordenadas enteras. Escríbelas. Y 16 Los puntos del gráfico se corresponden con las personas del dibujo: Y D A B X Altura (m) E C Edad (años) X E(, ) F(, ) G(, 0) Y D(0, ) C(, ) B(, ) X A(, 0) 1 Dibuja en unos ejes coordenados los siguientes puntos, únelos en orden alfabético y el último con el primero: A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) a) Qué figura se obtiene? b) Calcula el área de la figura obtenida. H(, ) I(, ) J(0, ) K(, ) L(, ) a) Un rectángulo. b) Área = 8 = unidades cuadradas. Y B(, ) A(, ) C(, ) D(, ) X Di qué persona se corresponde con cada punto. A = Miguel. B = Ana. C = Isabel. D = Luis. E = César.. Interpretación y lectura de gráficas 17 Dada la gráfica de la compra de cocos: Dinero ( ) Y Compra de cocos X Nº de cocos a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Es creciente o decreciente? c) Cuánto cuestan cocos? UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 09

205 Ejercicios y problemas d) Cuánto cuesta un coco? e) Cuánto cuestan 8 cocos? a) Es de puntos. b) Creciente. c) d) 0, e) 18 Dada la gráfica de los gastos de la empresa Sol: Dinero (millones de ) Y Empresa Sol Tiempo (años) X. Tablas de frecuencias 0 Clasifica los siguientes caracteres en cualitativos o cuantitativos: a) El color de pelo. b) El número de bombillas defectuosas. c) El modelo de coches preferido. d) El número de libros leídos. a) Cualitativo. b) Cuantitativo. c) Cualitativo. d) Cuantitativo. a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Es creciente o decreciente? c) Halla los gastos a los años. d) Halla los gastos a los 8 años. a) Es de líneas. b) Decreciente. c) millones de d) millones de 1 Se ha estudiado el tipo de películas que le gusta a un grupo de jóvenes, obteniéndose los siguientes resultados: Tipo de películas Novela Aventuras Ciencia ficción Poesía Nº de jóvenes Dada la gráfica de la compra de huevos: Coste ( ) Y Compra de huevos 1 X 1 6 Nº de docenas a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Es creciente o decreciente? c) Cuánto cuestan cuatro docenas de huevos? d) Cuánto cuesta una docena de huevos? a) Es de puntos. b) Creciente. c) d) 0,7 a) Clasifica el carácter estudiado. b) Se pueden calcular la media y la moda? a) Cualitativo. b) La media no se puede calcular porque el carácter es cualitativo. La moda si se puede calcular y es películas de aventuras. En una encuesta sobre el número de televisores que tienen en el hogar, se han obtenido las siguientes respuestas: 1,, 1,,,, 1,, 1,,,,, 1, 1,, 1, 1,, a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Calcula la media y la moda. 10 SOLUCIONARIO

206 a) Cuantitativo continuo. b) x i n i f i x i n i 1 8 0,0 8 0, 10 0,0 1 0, ,0 Total 0 1,00 c) Media: x = =,1 0 Moda: 1 a) Cuantitativo continuo. b) Tablas de frecuencias x i n i f i x i n i 1 0,16 6 0, 1 9 0, , Total 1, c) Media: x = =,68 Moda: Se ha estudiado el número de DVD vendidos en una tienda, obteniéndose los siguientes resultados: 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,,,, a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Calcula la media y la moda. a) Cuantitativo continuo. b) x i n i f i x i n i , , , ,1 16 0,10 88 Total 0 1, c) Media: x = = 19,7 0 Moda: 0. Gráficos estadísticos El número de enfermos de gripe en un centro escolar ha sido durante el último curso: Haz un diagrama de barras que represente esta información. Frecuencias 1º º 16 1º º º 11 º 18 Enfermos de gripe 1º B 9 º º 1º B º B Curso º B 1 El número de barras de pan consumidas durante días por una familia es: 1,,,,,,, 1, 1,,,,,,,,,,,,,,, 1, a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Calcula la media y la moda. 6 Representa en un diagrama de sectores el beneficio de cuatro tiendas de una misma cadena en el último mes: Tienda A B C D Beneficio ( 1 000) UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 11

207 Ejercicios y problemas 60 /90 = Tienda Beneficio Grados ( 1000) del sector A 0 0 = 80 B = 100 C 1 1 = 60 D 0 0 = 10 Total D A 8 Haz un diagrama de tallo y hojas, para representar los datos del número de melones que se venden en una frutería: 1, 1, 16, 17, 17, 18, 19, 0, 0, 1, 1,,,,, 7, 0, 0, 1, 1,,,,,,, 7, 8, 9, 0 Tallo Hojas C B 9 Haz la tabla de frecuencias correspondiente al siguiente diagrama de barras, en el que se recoge la distribución del número de veces que van al cine en un mes un grupo de personas: Visitas al cine 1 1 Frecuencias Haz un pictograma para representar las canicas que tienen los siguientes alumnos y alumnas: Alumnos/as Nº de canicas Juan 0 Rocío 0 Belén 0 Antonio Nº de veces Juan Rocío Belén Antonio = 10 canicas Nº de veces Frecuencias que va al cine en un mes Total 1 SOLUCIONARIO

208 Para ampliar 0 1 Interpreta los siguientes puntos del gráfico, en el que se relaciona la antigüedad de los coches y su velocidad máxima: a) Describe la edad y la velocidad máxima de cada coche. b) Cuál es el más antiguo? c) Cuál es el más nuevo? d) Cuál es el que más velocidad alcanza? e) Cuál es el que menos velocidad alcanza? f) Cuáles tienen la misma antigüedad? a) Tabla Velocidad (km/h) b) Seat. c) BMW. d) Mercedes. e) Seat. f) Renault y Mercedes. Y BMW Coches Mercedes Opel Renault Seat X Tiempo (años) BMW Renault Mercedes Opel Seat Tiempo (años) Velocidad (km/h) La gráfica siguiente representa el espacio que recorre Jorge para ir de casa al colegio y el tiempo que emplea en el recorrido: 800 Y Ida al colegio a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Cuánto recorre en los primeros minutos? c) Cuánto tiempo está esperando a su amigo Óscar? d) Cuánto recorren en los dos últimos minutos? e) Cuándo va más rápido, en los tres primeros minutos o en los dos últimos? a) De líneas. b) 00 m c) minutos. d) 600 m e) En los dos últimos. Se han recogido las pulsaciones por minuto que tienen una serie de personas después de hacer una actividad física en el siguiente diagrama de tallo y hojas: a) Cuántas personas tienen menos de 160 pulsaciones? b) Cuántas personas tienen entre 10 y 180 pulsaciones? c) A cuántas personas se les ha hecho el estudio? a) 6 personas. b) 9 personas. c) 0 personas. Tallo Hojas Longitud (m) X Tiempo (min) Las temperaturas que ha marcado un termómetro durante los días de una semana en grados centígrados han sido: Mínima Máxima UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 1

209 Ejercicios y problemas a) Calcula la temperatura mínima media. b) Calcula la temperatura máxima media. Haz un pictograma sobre el número de CD que tienen amigos: Media de la mínimas = : 7 = 0, C Media de máximas = 91 : 7 = 1 C En una encuesta sobre el número de coches que tienen unas familias, se han obtenido las siguientes respuestas: 1, 1,, 1,,, 1,, 1,, 1,,,, 1, 1,, 1,,, 1, 1, 1,, a) Clasifica el caráter estudiado. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Calcula la media y la moda. Nombre Óscar Sonia Ismael Luisa Alba Nº de CD Óscar Sonia Ismael Luisa Alba = 0 CD a) Cuantitativo continuo. b) x i n i f i x i n i 1 1 0, , 16 0,1 9 0,08 8 Total 1,00 c) Media: x = = 1,8 Moda: 1 Problemas 6 La siguiente gráfica representa la velocidad (en km/h) de un vagón de una montaña rusa en función del tiempo que tarda en dar una vuelta completa: Velocidad (km/h) Y 10 Montaña rusa X Tiempo (s) a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Interpreta el tramo de 0 s a s c) Interpreta el tramo de s a 1 s d) Interpreta el tramo de 1 s a 0 s e) Interpreta el tramo de s a 0 s f) Interpreta el tramo de s a 60 s g) Cuándo lleva el vagón la velocidad máxima? h) Cuándo lleva la mínima? a) Líneas. b) La velocidad aumenta. c) La velocidad permanece constante. 1 SOLUCIONARIO

210 d) La velocidad aumenta. e) La velocidad aumenta hasta el segundo 0 y luego disminuye. f) La velocidad disminuye hasta que se para. g) En el segundo 0 h) En los segundos 0 y 60 7 En un laboratorio asistido por ordenador se calienta un trozo de hielo y se obtiene la siguiente gráfica, que relaciona la temperatura con el tiempo: Temperatura (ºC) 100 ºC 7 ºC 0 ºC ºC 0 ºC Calentamiento del agua, H O Y 1 6 Tiempo (min) a) Haz una tabla de valores. b) Cuánto aumenta la temperatura en el primer minuto? c) Cuánto aumenta la temperatura en el segundo minuto? Qué explicación le das? d) Cuánto aumenta la temperatura entre el tercer y cuarto minuto? e) Cuánto aumenta la temperatura en el quinto minuto? Qué explicación le das? f) Cuánto aumenta la temperatura en el sexto minuto? a) Tiempo (min) Temper. ºC 1, b) 1, C c) 0 C, es el punto de fusión del hielo. d) 100 C e) 0 C, es el punto de evaporización del agua. f) 0 C, sigue el punto de evaporización del agua. X 8 9 Dada la gráfica de la temperatura de un día en Jaén: Temperatura (ºC) Y Jaén X Tiempo (h) a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) A qué hora alcanza el máximo? c) A qué hora alcanza el mínimo? d) Durante qué horas sube la temperatura? e) Durante qué horas baja la temperatura? a) Líneas. b) 16 h c) h d) De las h a las 16 h e) De las 0 h a las h y de las 16 h a las h Dada la gráfica de la temperatura del agua cuando hacemos café: Temperatura (ºC) Y Haciendo café Tiempo (min) a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Interpreta el tramo de 0 a minutos. c) Interpreta el tramo de a 6 minutos. d) Interpreta el tramo a partir de los 6 minutos. e) Si el café se toma a los 1 minutos de empezar a hacerlo, a qué temperatura se toma? a) Líneas. b) La temperatura aumenta. c) La temperatura permanece constante mientras está hirviendo. d) El café se deja enfriar. e) 0 C X UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 1

211 Ejercicios y problemas 0 Las edades de los componentes de un club juvenil de ajedrez son las siguientes: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17 a) Haz una tabla de frecuencias. b) Calcula la media. c) Haz un diagrama de barras. a) Tabla de frecuencias Frecuencias Muy mala Mala Película Regular Valoración Buena Muy buena x i n i f i x i n i 1 0, , , , ,10 68 Total 0 1,00 96 Haz un pictograma sobre el número de alumnos de un colegio. Etapa Nº de alumnos Primaria 00 ESO 00 Bachillerato 10 Para representar a 100 alumnos utiliza el símbolo 96 b) Media: x = = 1,9 0 c) Club juvenil de ajedrez 18 Frecuencia Edad Primaria ESO Bachillerato = 100 Se ha realizado un estudio sobre el número de bicicletas que se han alquilado en una playa durante 0 días, obteniéndose estos datos: 0, 0,,,,,,,,,,,,,, 8, 8, 8, 0, 0 a) Haz una tabla de frecuencias. b) Calcula la media. 1 Haz un diagrama de barras sobre la opinión de 0 personas sobre una película, representada en la siguiente tabla: Opinión Nº de personas Muy mala 6 Mala 8 Regular 1 Buena 10 Muy buena a) x i n i f i x i n i 0 0, , , , ,10 80 Total 0 1, b) Media: x = =, SOLUCIONARIO

212 El siguiente diagrama de barras recoge el consumo de leche de una familia durante un trimestre. Haz la tabla de frecuencias correspondiente y representa esta información en un diagrama de sectores. Y A (, ) Capacidad (litros) Consumo de leche Enero Febrero Marzo Tiempo (meses) 6 La siguiente gráfica representa el movimiento de un coche. X 60 : 10 = Mes Litros Grados del sector Enero = 1 Febrero = 10 Marzo 0 0 = 10 Total Marzo Febrero Enero Longitud (km) Y Viaje en coche X 1 Tiempo (h) a) Cuántos kilómetros recorrió en la primera hora? A qué velocidad iba? b) A qué hora se detiene a descansar y cuánto tiempo está parado? c) Cuántos kilómetros recorrió en la última hora? A qué velocidad iba? a) 100 km. La velocidad es: v = 100 km/h b) Se detiene a las dos horas y media, y está parado una hora. c) 100 : / = 66,67 km e iba a 66,67 km/h Para profundizar 7 Dada la gráfica del coste de un aparcamiento: Dibuja los ejes coordenados en la siguiente cuadrícula: 8 Y Aparcamiento A (, ) Dinero ( ) 6 1 X Tiempo (h) UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 17

213 Ejercicios y problemas a) Es una gráfica de puntos o de líneas? b) Interpreta el tramo de 0 a 1 hora. c) Si tenemos el coche aparcado horas, cuánto pagamos? d) Si tenemos el coche aparcado horas y un minuto, cuánto pagamos? e) Si tenemos el coche aparcado horas y 9 minutos, cuánto pagamos? a) Líneas. b) El coste es constante 1, c) d), e), 18 SOLUCIONARIO

214 Aplica tus competencias 8 Analiza la evolución del salario mínimo interprofesional en España: Tiempo (años) Salario ( /mes) , , , , , 000,80 Los dos gráficos recogen los mismos datos. 0,00,00 0,00 1,00 10,00 0,00 00,00 9,00 90,00 8,00 80,00 7,00 Evolución del salario mínimo interprofesional ,00 0,00 00,00 80,00 60,00 0,00 0,00 00,00 Evolución del salario mínimo interprofesional a) Dan la misma sensación de subida del salario los dos gráficos? b) Qué diferencias hay? a) No. b) En el primer gráfico los salarios comienzan en 7 y en el segundo en 00 con lo que da menos sensación de crecimiento. UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 19

215 Comprueba lo que sabes 1 Define las coordenadas de un punto. Pon un ejemplo. Las coordenadas de un punto es un par de valores (x, y). La abscisa es el valor x y la ordenada el valor y Ejemplo: A (, ) Y 60 : 0 = 1 Día Nº días Grados del sector Nublado 1 = 8 Nubes y claros = 96 Lluvia 1 = 60 Sol = 16 Total 0 60 Nublado X Sol Nubes y claros Lluvia La gráfica siguiente representa el crecimiento de Sonia: Longitud (cm) Y Crecimiento de Sonia X Tiempo (años) a) Es creciente o decreciente? b) Cuánto medía a los 1 años? Y a los? a) Creciente. b) A los 1 años, 10 cm y a los años, 17 cm Haz un diagrama de sectores con la siguiente información: Día Nº de días Nublado Nubes y claros 8 Lluvia Sol 1 Dados los siguientes datos:,, 1,,,,, 1, 6,, 6,,, 1,,,,,,,,, 6,,,,,,, 1 a) Haz una tabla de frecuencias absolutas. b) Calcula la media y la moda. a) Tabla Números (x i ) Frecuencia (n i ) x i n i Total 0 10 b) Parámetros 10 Media = =, 0 Moda = 0 SOLUCIONARIO

216 En el gráfico siguiente tenemos representada la compra que hemos realizado: cuántos kilos hemos comprado de cada producto y cuánto ha costado? Dinero ( ) 8 6 Y Compra de frutas 1 Higos Plátanos Uvas Peras Naranjas X Peso (kg) Producto Plátanos Higos Uvas Naranjas Peras Total Peso (kg), 1, 16 Coste ( ) UNIDAD 1. TABLAS Y GRÁFICAS 1

217 Windows Excel Paso a paso 9 En la siguiente tabla se recoge el número de libros que ha leído un grupo de alumnos. 0 Las notas de Matemáticas han sido: Obtén la media y la moda, si es posible. Haz el diagrama de barras correspondiente. Resuelto en el libro del alumnado. 1 Obtén la media y la moda, si es posible. Haz el diagrama de sectores correspondiente. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Para conocer el índice de natalidad de las familias que tienen a sus hijos en el Instituto, se les ha preguntado a los alumnos de una clase por el número de hermanos que son. Se han obtenido los siguientes resultados: Representa la información en un diagrama de barras y obtén la media y la moda si es posible. Valores: x i Frecuencias: n i 1 11 N de familias N de hijos por familia 1 N de hijos 7 x i n i x i n i Suma 0 60 Media Moda 1 Se ha realizado un estudio para determinar el tipo de refresco que más consume un grupo de jóvenes, y los resultados han sido: Tipo de refresco Naranja Nº de jóvenes 0 Limón Cola Frutas tropicales 1 SOLUCIONARIO