9. ESTABILIDAD DE SISTEMAS

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1 9. ESTBILIDD DE SISTEMS Para el análii del comortamiento dinámico de itema, eecialmente en el cao de lo no lineale de difícil olución matemática, la naturaleza etable o inetable de u reueta e uede determinar mediante alguno rocedimiento como la contrucción de un Diagrama de Fae. En ete caítulo e lantea el modelo de un reactor de mezcla comleta adiabático cuya etabilidad e analiza or lo método numérico emleado en lo cao anteriore y mediante la contrucción de u diagrama de fae. Se incluye, ademá, el análii del comortamiento del reactor en etado etacionario. 9.1 DIGRMS DE FSE Para un itema con do variable de etado, el diagrama de fae e el conjunto de curva que rereentan a una variable de etado en función de la otra, cada una de ella ara una condición inicial diferente. El diagrama de fae ermite determinar ara un conjunto diferente de condicione iniciale i el itema e etable o inetable, e decir, i converge a una condicione finale en etado etacionario. Etabilidad de itema con do variable de etado El modelo matemático de un itema con do variable de etado y cuya ecuacione diferenciale no incluyen la variable tiemo en u miembro derecho e uede rereentar de la iguiente manera: x & 1( t) = f1( x1, x ) (9.1a) x & t) = f ( x, ) (9.1b) ( 1 x Se entie or Punto de Equilibrio, todo aquello unto del itema ara lo cuale x & t) = x& 0 (9.) 1 ( = La do funcione f 1 ( x1, x ) = 0 y f ( x1, x ) = 0 e llaman Línea de Fae y dividen el lano carteiano en cuatro arte

2 148 Una trayectoria del itema de ecuacione (9.1a) y (9.1b) e el conjunto de unto {( x t), x ( t) ) R x ( t) x ( t) on olución del itema de ecuacione ara t [ t, ]} 1( 1 o t1 Una trayectoria e llama etable i, ara de equilibrio t, x ( ) y x ( ) convergen en el unto 1 t t Etabilidad de itema lineale Para un itema lineal con variacione nula en u variable de entrada el modelo en la forma del eacio de lo etado e reduce a la ecuación matricial X & = X (9.1) La caracterítica de etabilidad de un itema lineal e ueden analizar mediante la determinación de lo valore roio de la matriz, que e obtienen reolvio la ecuación que reulta al igualar a cero el determinante de la matriz λ I, e decir que: det( λ I ) = 0 (9.) Sio λ, lo valore roio de la matriz. Para un itema con do variable de alida, e tiene que λ 11 1 λ I = (9.a) 1 λ det( λ I ) = λ ( 11 + ) λ (9.b) Lo valore roio on la raíce de la ecuación de egundo grado

3 149 λ + ) λ + = 0 (9.c) ( ó λ ( Traza ) λ + det( ) = 0 (9.d) Si lo valore roio de la matriz on número reale el diagrama de fae e nodal y i dicho valore on número comlejo conjugado el diagrama de fae e en eiral. En un diagrama de fae nodal la trayectoria de fae e acercan o e alejan al unto de equilibrio tangencialmente a la línea de fae y ete e oberva como un recetor (nodo etable) o una fuente (nodo inetable) de trayectoria de fae. Si la trayectoria de fae e acercan y e alejan in converger en el unto de equilibrio (nodo inetable), ete e conidera como un unto de illa. En un diagrama de fae en eiral la trayectoria de fae lo hacen decribio curva en eiral. Un reumen que muetre la relación entre la naturaleza de lo valore roio de la matriz y el comortamiento del itema e el iguiente: 1. Si λ 1 y λ on número reale Comortamiento Nodal Si 1 0 λ < 0 Nodo Etable (Recetor) Si 1 0 λ > 0 Nodo Inetable (Silla) Si 1 0 λ > 0 Nodo Inetable (Fuente). Si λ 1 y λ on comleja conjugada Comortamiento en Eiral Si Re( λ 1 ) < 0 Nodo Etable (Recetor) Si Re( λ 1 ) > 0 Nodo Inetable (Fuente) 9. RECTOR DE MEZCL COMPLET DIBTICO La reaccione química on exotérmica o otérmica y, or lo tanto, requieren que ea energía e remueva o e añada al reactor ara mantener una temeratura contante. La reaccione exotérmica on la má intereante ara el etudio debido a lo oible roblema de eguridad cauado or u aumento ráido de temeratura y la oibilidad de un comortamiento ingular tale como múltile etado etacionario (ara un mimo valor de la variable de entrada ueden obtenere vario oible valore ara la variable de alida)

4 150 En ete módulo e conidera un reactor de mezcla comleta como el que e muetra en la figura 9.1 y e etudia una reacción exotérmica irreverible de una cinética de rimer orden del tio B y e analiza un comortamiento muy intereante que uede reentare con eta encilla reacción K 1 F, C f (t) F J, T j (t) C T F J, T ji (t) F, C (t) Figura 9.1 Reactor de Mezcla Comleta diabático En la figura 9.1 e ve que e alimenta y e remueve una corriente de un fluido en forma continua a travé del reactor. Como el reactor e de mezcla comleta, e conidera que la corriente de alida reenta la mima concentración y temeratura que la maa reaccionante dentro del reactor. En forma imilar, a travé de la camia que cubre al reactor e alimenta y decarga una corriente fluida. Se aume que el fluido que circula or la camia e encuentra erfectamente mezclado y a una temeratura menor que la del reactor. Entonce, la energía e tranfiere dede el reactor hata la camia a travé de u arede, removiéndoe el calor generado en la reacción. Modelo No Lineal Dominio Tiemo Por imlificación, e aume que la temeratura de enfriamiento en la camia uede maniulare directamente de tal manera que no e requiera el balance de energía en la camia. demá, e incluyen la iguiente conideracione: mezclado erfecto, volumen contante y arámetro contante. El modelo e lantea con un balance global de materia, un balance del comonente y un balance de energía a travé del reactor aí: Un balance global de materia a travé del reactor:

5 151 ( Vρ ) d dt = F in ρ F ρ (9.3) in out Si e aume que la denidad e contante, entonce: F = F F (9.4) in out = Un balance de materia del comonente en el reactor: V ( C ) d dt = FC FC rv (9.5) f Sio r, la velocidad de reacción or unidad de volumen Un balance de energía a travé del reactor: dt Vρ C = FρC ( T f T ) + ( H ) rv U( T T j ) (9.6) dt Sio ( H ) rv la raidez de energía liberada en la reacción El modelo dinámico e reume a la ecuacione (9.5) y (9.6) y, ademá, la ecuación de velocidad de reacción or unidad de volumen la que e reumen aí: dc dt F = f1 ( C, T ) = ( C f C ) r (9.7) V dt dt = f ( C F, T ) = ( T V H U T ) + ( ) r ρc VρC ( T T f j ) (9.8) E r = ko ex C (9.9) RT

6 15 La ecuacione (9.7), (9.8) y (9.9) on no lineale orque incluyen término no lineale como el roducto del flujo or la concentración y el exonencial de la temeratura. nálii en etado etacionario La ecuacione (9.7) a (9.9) e ueden combinar y reducir el itema a do ecuacione algebraica no lineale en función de la concentración de y la temeratura en el reactor, ara calcular eta variable en condicione de etado etacionario aí: F E C T C f C ko C V RT 1 (, ) = 0 = ( ) ex (9.10) f f ( C F, T ) = 0 = ( T V H T ) + ( ) k ρc E ex RT f o j VρC C U ( T T ) (9.11) La olución analítica del itema de ecuacione (9.10) y (9.11) e comlejo debido a u no linealidad. Para el cálculo de la concentración de y la temeratura en el reactor en etado etacionario, el itema de ecuacione e define en el archivo reactor1.m y e alic el comando folve de Matlab al archivo olreactor1.m con lo iguiente arámetro: F/V, h -1 1 T f, ºC 5 k o, h *3600 C f, kgmol/m 3 10 ( H ), kcal/kgmol 5960 U/V, kcal/(m 3 -ºC-h) 150 E, kcal/kgmol T j, ºC 5 ρ C, kcal/(m 3 -ºC) 500 R, kcal/(kgmol-k) l ecoger valore iniciale ara la olución numérica de un itema de ecuacione e imortante tener una viión del oible rango de olucione. Por ejemlo, como la concentración de e 10 kgmol/m 3 y la reacción conume, el rango oible ara la concentración de e 0 < C < 10. También e fácil motrar un límite inferior ara la temeratura de 98 K, que ocurriría i no hubiera reacción, orque la temeratura del alimento y la camia on 98 K. Se oberva, también, que deberían correlacionare la concentración de con la temeratura. Si la concentración de

7 153 e alta, ignifica que no ha ocurrido mucha reacción de manera que e ha liberado muy oca energía or la reacción y or lo tanto la temeratura no erá muy diferente con reecto a la de la camia y el reactor. Se oberva en la Tabla 9.1, que la condicione iniciale que e fijen ara la olución del itema muetran diferente reultado ara la concentración de y la temeratura en etado etacionario. El cao número uno e de alta concentración y baja temeratura, el número do de concentración y temeratura intermedia y el cao tre de baja concentración y alta temeratura Tabla 9.1 Condicione iniciale y Solucione del Sitema de Ecuacione NUMERO CONDICIONES INICLES SOLUCION C, kgmol/m 3 T, K C, kgmol/m 3 T, K nálii en etado dinámico Modelo No Lineal Dominio Tiemo La olución del modelo no lineal en el dominio del tiemo e reenta a continuación ara lo tre cao enayado egún lo muetra la tabla 1 y oteriormente e muetra el análii de la reueta mediante el diagrama de fae correondiente. Enayo 1 (lta Concentración Baja Temeratura) La figura (9.) muetra la reueta dinámica del itema ara la concentración de y la temeratura en el reactor ara el enayo 1 de la Tabla 9.1. En ete, la condicione iniciale on muy róxima al etado etacionario de baja temeratura y la gráfica muetran que la variable de etado convergen al etado etacionario de baja temeratura, e decir, kgmol/m 3 y 311. K Enayo (Concentración y Temeratura Intermedia) La figura (9.3) y (9.4) muetran la reueta dinámica del itema ara la concentración de y la temeratura en el reactor ara el enayo de la Tabla 9.1. Si

8 154 la condicione iniciale on muy róxima al etado etacionario de temeratura intermedia. Se obervan en dicha gráfica que cuando la condicione iniciale on 5 kgmol/m 3 y 35 K el itema converge en el etado de baja temeratura y alta concentración, e decir, en kgmol/m 3 y 311. K, mientra que cuando la condicione iniciale on de 5 kgmol/m 3 y 350 K el itema converge en el etado de alta temeratura y baja concentración, e decir, en.359 kgmol/m3 y K Si e dearrollan mucha imulacione con condicione iniciale róxima al etado etacionario de temeratura intermedia, e encuentra que la temeratura iemre converge o al etado etacionario de baja temeratura o al de alta, ero no al intermedio. Eto indica que el etado intermediario de temeratura e inetable Figura 9. Reueta del Reactor diabático (Cao 1) Enayo 3 ( Baja Concentración y lta Temeratura) La figura (9.5) muetra la reueta dinámica del itema ara la concentración de y la temeratura en el reactor ara el enayo 3 de la Tabla 9.1. En ete, la condicione iniciale on muy róxima al etado etacionario de alta temeratura y la gráfica muetran que la variable de etado convergen al etado etacionario de alta temeratura, e decir,.359 kgmol/m 3 y K

9 155 Figura 9.3 Reueta de un Reactor diabático (Cao ) Figura 9.4 Reueta de un Reactor diabático (Cao )

10 156 Figura 9.5 Reueta del Reactor diabático (Cao 3) nálii en etado dinámico Diagrama de Fae La Figura (9.6) muetra el diagrama de fae generado con el archivo olreactor.m, que a u vez reuelve el itema de ecuacione diferenciale codificado con Matlab en el archivo reactor.m. Se muetran lo tre etado etacionario; do etable (alta y baja temeratura) eñalado con equeño círculo y uno inetable (temeratura intermedia), eñalado con una equeña cruz. Se oberva que a condicione iniciale de baja concentracione (0.5 kgmol/m 3 ) y temeratura relativamente baja o intermedia ( K) toda la trayectoria de fae convergen al etado etacionario de baja temeratura. Cuando la temeratura inicial e aumenta or encima de 365 K, la trayectoria de fae convergen al etado etacionario de alta temeratura. Por otra arte, a condicione iniciale con alta concentración (10 kgmol/m 3 ) y baja temeratura ( K), la trayectoria de fae convergen al etado etacionario de baja temeratura. Cuando la temeratura inicial e aumenta or encima de 35 K, la trayectoria de fae convergen al etado etacionario de alta temeratura. También e oberva que cuando la temeratura inicial e aumenta, aroximadamente, a valore mayore que 340 K, ocurre un obrealto de temeratura a ma de 45 K ante de que el itema converja al etado etacionario de alta temeratura. No e oberva en la Figura (9.6), que a temeratura iniciale

11 157 mayore ueden ocurrir obrealto a temeratura mayore que 500 K ante de la convergencia al etado etacionario de alta temeratura. Eto odría er la caua de otenciale roblema de eguridad i, or ejemlo, ocurren alguna reaccione de decomoición a temeratura alta. El análii del comortamiento de un itema mediante un diagrama de fae no ermite eñalar condicione iniciale roblema. Figura 9.6 Diagrama de fae del Reactor diabático Se oberva, ademá, que ara ninguna condición inicial la trayectoria de fae no convergen en el etado etacionario de temeratura intermedia debido a que e un etado inetable. En la iguiente ección e determinan lo valore roio de la matriz del modelo linearizado y e verificarán con la naturaleza de u valore el carácter etable de la condicione etacionaria de baja y alta temeratura y el nodo de illa que correonde a la condicione de temeratura intermedia. Debería obervare que uede utilizare un control or retroalimentación ara oerar el reactor en una condicione etacionaria de temeratura intermedia. El controlador mediría la temeratura en el reactor y maniularía la temeratura en el fluído de enfriamiento que e mueve or la camia (o el flujo) ara mantener el etado etacionario en la temeratura intermedia. También, odría utilizare un controlador or retroalimentación ara aegurare que no ocurra un gran obrealto de temeratura a artir de cierta condicione iniciale.

12 158 Modelo Lineal Dominio Tiemo Eacio de lo Etado Lo miembro derecho de la ecuacione (9.7) y (9.8) on funcione no lineale de la variable concentración de en el reactor y en el alimento, la temeratura del alimento, en el reactor y en la camia. Por lo tanto, e ueden exrear aí: dc dt = B T (9.1) 11 C + 1T + B11C f + B1T f + 13 j dt dt = B T (9.13) 1 C + T + B1C f + BT f + 3 j Sio, f F 1 11 = = k ; C V f = = C k ; T 1 ' 1 1 f ( H ) = = k ; C ρc f = C B = F V U VρC ( H ) + C ρc k ' f1 F f1 f1 B11 = = ; B 1 = = 0 ; B 13 = = 0 ; C V f T f T j f B 1 = = 0; C f B f = T F = V ; f B f U 3 = = ; T j VρC E k ko ex RT = k ' k E E E = = k = o ex k T RT RT RT F k V = ( H ) k ρc F V U VρC C k ' ( H ) + C ρc ' kc F V B = 0 0 F V 0 U Vρ C P

13 159 1 C = D = nálii de la etabilidad del Reactor en el Eacio de lo Etado Para el análii de etabilidad en el eacio de lo etado e calculan lo valore roio de la matriz corrio el archivo reactor3.m ara cada uno de lo cao enayado anteriormente aí: Cao 1 Para una condición inicial en etado etacionario con una concentración de kgmol/m 3 y una temeratura de 38. ºC, la matriz y lo valore roio on: = Lambda = Como ambo valore roio on negativo, la condición etacionaria de baja temeratura e etable, lo que etá de acuerdo con lo reultado anteriore Cao Para una condición inicial en etado etacionario con una concentración de kgmol/m 3 y una temeratura de 66.1 ºC, la matriz y lo valore roio on: =

14 160 lambda = Como un valor roio e negativo y el otro e oitivo, entonce e verifica que la condición etacionaria de temeratura intermedia e inetable Cao 3 Para una condición inicial en etado etacionario con una concentración de.359 kgmol/m 3 y una temeratura de 95.1 ºC, la matriz y lo valore roio on: = Lambda = i i Como lo valore roio on número comlejo conjugado con arte real negativa, e verifica que la condición etacionaria de alta temeratura e etable. 9.3 COMPORTMIENTO MULTIPLE EN ESTDO ESTCIONRIO El objetivo de eta ección e determinar cómo ueden urgir lo múltile etado etacionario en un modelo no lineal como el que e etudia en eta lección. También e muetra cómo e generan la curva de entrada y alida en etado etacionario que muetren, or ejemlo, cómo varía la temeratura en el reactor en etado etacionario con la variación de la temeratura en la camia en etado etacionario.

15 161 Curva de Calor removido y de Calor generado La ecuación (9.10) ermite deducir una ecuación ara calcular la concentración de en el reactor en etado etacionario en función de la temeratura del reactor que e: C = F V F C f V + k o ex E RT (9.14) La ecuación (9.11) uede arreglare en la iguiente forma: F ( T V T f U ) + VρC ( T T j H ) = k C ρ o ex E RT C (9.15) Si ambo miembro e multilican or Vρ C, e halla que: E F ρ C ( T T f ) + U ( T T j ) = HVko ex C RT (9.16) El miembro de la izquierda exrea la energía total removida en el reactor mediante el flujo y el intercambio de calor y el miembro derecho exrea la energía generada en la reacción. Se uede ecribir como ecuación ara el calor total removido la iguiente: Q = [ UT Fρ C T ] + [ U + FρC ] T (9.17) removido j f La ecuación (9.17) e lineal con reecto a la temeratura en el reactor en etado etacionario, io la iente de la línea la uma [ U + FρC ] y el interceto con el eje de la ordenada la uma [ UT j FρC T f ]. Lo cambio que e roduzcan en la temeratura de la camia o del alimento deviarán el interecto ero no a la iente. Lo cambio que ocurran en U o F afectarán tanto a la iente como al interecto.

16 16 l coniderar el término que exrea el calor liberado odemo ecribir la iguiente ecuación: Q generado E = ( H ) Vko ex C RT (9.18) De tal manera que combinando la ecuación (9.18) con la (9.14) e obtiene la iguiente ecuación que al graficarla muetra una curva en forma de S ara el calor generado en función de la temeratura del reactor. Q generado E k o ex C RT = ( H ) V (9.19) F E + k o ex V RT artir de la ecuación (9.16) e ve que una olución en etado etacionario exite cuando e tiene una interección entre la curva de calor generado y calor removido Efecto de lo Parámetro de Dieño Si la iente de la curva de calor removido e mayor que la máxima iente de la curva de generación de calor, olamente e oible una interección. Cuando e modifica la temeratura de la camia o del alimento, la línea de calor removido e devían a la izquierda o a la derecha, de tal manera que la interección uede er a alta o baja temeratura deio del valor de la temeratura de la camia o alimentación. Mientra la iente de la curva de calor removido e menor que la máxima iente de la curva de calor generado, iemre habrá la oibilidad de tre intereccione con el ajute adecuado de la temeratura de la camia o del alimento. (Interecto). Si e modifica la temeratura de la camia o del alimento, la línea de calor removido e devía a la derecha o a la izquierda, donde olamente ocurrirá una interección (o a baja o a alta temeratura)

17 163 nálii de la etabilidad en el Reactor En la Figura 9.7 e ueronen varia gráfica lineale oible de calor removido con la curva de calor generado en forma de S obtenida con el archivo reactor4.m codificado con Matlab Figura 9.7 Calor Removido o Generado veru Temeratura en el Reactor La línea interecta la curva de calor generado a baja temeratura; la línea B la interecta a una baja temeratura y e tangente a una alta temeratura; la línea C interecta a baja, intermedia y alta temeratura; la línea D e tangente a una baja temeratura e interecta a una alta temeratura; y la línea E tiene olamente una interección a alta temeratura. La línea, B, C, D y E e baan toda en lo mimo arámetro del itema con exceción de la temeratura de alimentación que e aumenta al delazare dede la línea hata la E, con valore reectivamente de 0, 5, 15, 1 y 30 ºC y el flujo de alimento con un valor de 60 m 3 /h. Ete aumento ocaiona cambio en el interecto in modificar la iente de la línea de calor removido. Se oberva en la Figura 9.7 que el balance de energía en etado etacionario e cumle en la condicione de oeración 3, 5 y 7, e decir, hay tre etado

18 164 etacionario. Mediante un imle razonamiento fíico e uede analizar cada uno de lo tre etado etacionario de la iguiente manera: Para la oeración etacionaria a baja temeratura (Punto 3), i e erturban la condicione de oeración a una temeratura ma fría, e decir, T3 δt, e genera ma calor que el que e remueve en el reactor y, or lo tanto, la temeratura comienza a aumentar hacia el valor de la temeratura en el unto 3, e decir, T 3. Si la erturbación e a una condición ma caliente, e decir, T3 + δt, e remueve ma calor que el e genera en el reactor y, or lo tanto, la temeratura comienza a diminuir hacia la temeratura en el unto 3. En reumen, la interección de baja temeratura T 3 e una condición de oeración etable Para la oeración etacionaria a temeratura intermedia (Punto 5), i e erturban la condicione de oeración a una temeratura ma fría, e decir, T5 δt, e genera meno calor que el que e remueve en el reactor y, or lo tanto, la temeratura comienza a diminuir hacia el valor de la temeratura en el unto 3, e decir, T 3. Si la erturbación e a una condición ma caliente, e decir, T5 + δt, e genera ma calor que el e genera en el reactor y, or lo tanto, la temeratura comienza a aumentar hacia la temeratura en el unto 7, e decir, T 7. En reumen, la interección de temeratura intermedia T 5 e una condición de oeración inetable Para la oeración etacionaria a alta temeratura (Punto 7), el razonamiento fíico e imilar al de la oeración etacionaria a baja temeratura. E decir, la interección de temeratura intermedia T 7 e una condición de oeración etable Curva de entrada y alida en etado etacionario Se uede utilizar la Figura 9.7 ara contruir el diagrama de entrada y alida en etado etacionario que e muetra en la Figura 9.8, io la variable de entrada la temeratura del alimento y la variable de alida la temeratura en el reactor. Se oberva que la Figura 9.8 exhibe un comortamiento de hitérei. El término hitérei e utiliza ara indicar que el comortamiento e diferente deio del entido en que la variable de entrada cambian. Por ejemlo, i e comienza con una temeratura del alimento baja, el reactor oera a baja temeratura (Punto 1). Cuando e aumenta la temeratura del alimento la temeratura del reactor e aumenta (Punto y 3) hata llegar a un límite de temeratura baja (Punto 4). Si la temeratura del alimento e ligeramente aumentada aun ma, ucede un alto en la temeratura del reactor (Ignición) a una alta temeratura (Punto 8) y i a artir de

19 165 ete unto e aumenta aun ma la temeratura de la camia ocurre un ligero aumento en la temeratura del reactor. Figura 9.8. Temeratura en el Reactor veru Temeratura del limento Contrata el comortamiento decrito en el árrafo anterior (comenzando a una baja temeratura) con el que e oberva en el cao de comenzar a una alta temeratura en el alimento. Si e comienza a una alta temeratura en el alimento (Punto 9) la temeratura del reactor e alta y diminuye con la diminución de la temeratura del alimento. l movere a una temeratura ligeramente inferior al límite de alta temeratura (Punto 6), la temeratura del reactor cae (Extinción) a una baja temeratura (Punto ). Má diminución en la temeratura del alimento ocaiona equeña diminucione en la temeratura del reactor.. Ete comortamiento de hitérei dicutido anteriormente e también conocido como comortamiento de Ignición+Extinción. Se oberva que la región entre lo unto 4 y 6 on de un comortamiento inetable orque el reactor no arece oerar en eta región (al meno en etado etacionario). La Figura 9.8 e contruye con lo archivo reactor5.m y olreactor5.m, que reuelven el itema de ecuacione en u forma no lineal y que aarecen al final del caítulo. La Figura (9.9) y (9.10) también muetran la variación de la temeratura en el reactor determinada en una forma ma encilla con el archivo reactor6.m. Para contruir la figura (9.9) e fija la

20 166 temeratura en la camia y e calcula la temeratura en el alimento ara un intervalo de temeratura en el reactor de la iguiente forma: T f = T U( T + T c ) ( H ) Vk FρC o ex E RT C (9.0) Figura 9.9 Temeratura en el Reactor veru Temeratura en el limento Para contruir la figura (9.10) e fija la temeratura en el alimento y e calcula la temeratura en la camia ara un intervalo de temeratura en el reactor de la iguiente forma: T c = T FρC + ( T T f ) ( H ) Vk U o ex E RT C (9.1)

21 167 Figura 9.10 Temeratura en el Reactor veru Temeratura en la Camia La Figura (9.11) muetra la variación de la temeratura en el reactor con el cambio en la temeratura de la camia ara diferente valore de la velocidad eacio Figura Reueta del Reactor en función de la Velocidad Eacio

22 168 Se oberva, en ete cao, que el comortamiento del reactor en cuanto a la variación de u temeratura con la variación de la temeratura del alimento o de la camia e un ejemlo de un cúide catatrófica orque i e analiza eta variación ara un cambio en la velocidad eacio e encuentra que cuando eta velocidad aumenta, el comortamiento en etado etacionario del reactor cambia de una reueta monotónica a un comortamiento de múltile etado etacionario. La Figura (9.11) e contruye con el archivo olreactor7.m y muetra el comortamiento del reactor ara velocidade eacio de 0.01, 0.05, 0.15, 0.0, 0.40, 1.0 y 1.5 min -1. Para baja velocidade eacio la reueta del reactor e monotónica y ara velocidade eacio mayore o iguale que 0.40 min -1 la reueta e bifurcada nálii de entrada y alida en el dominio de Lalace El código del archivo reactor3.m dearrolla la función de tranferencia del reactor en forma matricial conocio la matrice, B y C del modelo exreado en la forma del eacio de lo etado de acuerdo a la exreión (8.1). 1 G( ) = C( I ) B (8.1) Lo reultado ara la función de tranferencia de la concentración y temeratura en el reactor con reecto a la temeratura en la camia on la iguiente C ( ) T ( ) j = = ( )( ) T ( ) T ( ) j = ( ) = ( )( ) Se halla que la función de tranferencia ara la concentración e la de un itema de egundo orden, mientra que la de la temeratura en el reactor contiene un numerador de rimer orden y un denominador de egundo orden. Lo anterior indica que ara un cambio en la temeratura en la camia el atrao dinámico e mayor con reecto a la concentración que con reecto a la temeratura en el reactor. Eto tiene un ignificado fíico orque un cambio en la temeratura de la camia debe afectar rimero a la temeratura ante de afectar la concentración en el reactor. En forma imilar, e ueden deducir la dinámica en la reueta del reactor con reecto a variacione en la concentración y temeratura en el alimento

23 MTLB: COMNDOS UTILIZDOS Comando folve Para el análii en etado etacionario del reactor adiabático e dearrollan lo archivo reactor1.m y olreactor1.m codificado con Matlab con lo cuale e comrueban que la condicione etacionaria determinada deen de la condicione iniciale aignada ara la corrida de dicho rograma. Se utiliza el comando folve cuya intaxi e: x = folve(@reactor1, Inicio) Se oberva en la intaxi que el nombre del archivo e recede de la y adicionalmente e requiere como argumento la condicione iniciale de la variable de etado en el reactor. Para el análii del comortamiento del reactor mediante el diagrama de fae e definen la ecuacione diferenciale en el archivo reactor.m y la olución e reuelve con el archivo olreactor.m. La trayectoria de fae on la gráfica de temeratura en función de concentración. El rograma rereenta la trayectoria de fae ara condicione iniciale con valore de concentracione de 0.5 y 10 kgmol/m 3 y temeratura dede 0 ºC hata 180 ºC ara cada una de la concentracione Comando eig La etabilidad del rector mediante la rereentación del modelo en la forma del eacio de lo etado requiere de la determinación de la matriz y de u correondiente valore roio que e calculan con el comando eig de Matlab. Ete comando e utilizó en el archivo reactor3.m y u intaxi olo requiere como argumento la matriz y e: Lambda = eig() Comando fzero Para el análii del comortamiento reactor adiabático en cuanto a la variación de la temeratura con el cambio en la temeratura de la alimentación en etado etacionario, e dearrollan lo archivo reactor5.m y olreactor5.m codificado con

24 170 Matlab con lo cuale e calculan lo valore de la temeratura en el reactor ara temeratura de alimento dede 1 hata 30 ºC, aignada de uno en uno. Se utiliza el comando fzero cuya intaxi e: x = fzero(@reactor1, Inicio) Se oberva en la intaxi que el nombre del archivo e recede de la y adicionalmente e requiere como argumento la condición inicial de la temeratura en el reactor. El rograma e lantea a abia que egún ea la temeratura inicial la olución de la ecuación de balance de energía en el reactor e atiface con una do o tre reueta. 9.5 MTLB - PROGRMS CODIFICDOS rchivo reactor1.m function f = reactor1(x) global Fv xf ko E R yf yj DH rhoc UV f = [Fv*(xf - x(1)) - ko*(ex(-e/(r*(x() + 73))))*x(1); Fv*(yf - x()) + (- DH/rhoc)*ko*(ex(-E/(R*(x() + 73))))*x(1) - (UV/rhoc)*(x() - yj)]; rchivo olreactor1.m function f = olreactor1(x) global Fv xf ko E R yf yj DH rhoc UV Inicio Fv = inut('valor de la velocidad eacio = '); ko = inut('valor de la contante de velocidad de reaccion = '); DH = inut('cambio de entalia en la reaccion = '); E = inut('energia de activacion = '); rhoc = inut('denidad or calor eecifico = '); yf = inut('temeratura del alimento = '); xf = inut('valor de la concentracion de en el alimento = '); UV = inut('coeficiente or area de tranferencia de calor = '); yj = inut('temeratura de la camia = '); R = inut('contante de lo gae = '); Inicio = inut('condicione iniciale ara concentracion y temeratura = '); x = folve(@reactor1, Inicio)

25 171 rchivo reactor.m function dx = reactor(t,x) global Fv Fv xf ko E R yf yj DH rhoc UV dx = [Fv*(xf - x(1)) - ko*(ex(-e/(r*(x() + 73))))*x(1); Fv*(yf - x()) + (- DH/rhoc)*ko*(ex(-E/(R*(x() + 73))))*x(1) - (UV/rhoc)*(x() - yj)]; rchivo olreactor.m function f = olreactor(x) global Fv xf ko E R yf yj DH rhoc UV Rango Inicio C Fv = inut('valor de la velocidad eacio en etado etacionario = '); DFv = inut('cambio ao en la velocidad eacio = '); xf = inut('valor de la concentracion de en el alimento = '); ko = inut('valor de la contante de velocidad de reaccion = '); E = inut('energia de activacion = '); R = inut('contante de lo gae = '); yf = inut('temeratura del alimento = '); yj = inut('temeratura de la camia = '); DH = inut('cambio de entalia en la reaccion = '); rhoc = inut('denidad or calor eecifico = '); UV = inut('coeficiente or area de tranferencia de calor = '); Fv = Fv + DFv; Rango = inut('intervalo de tiemo = '); C = [0.5 10]; T = [ ]; for i = 1: for j = 1:9 Inicio = [C(i) T(j)]; [t,x] = ode45('reactor', Rango, Inicio); lot(x(:,1),x(:,)+73) hold on rchivo reactor3.m global Fv xf ko E R DH rhoc UV x y Fv = inut('valor de la velocidad eacio en etado etacionario = ');

26 17 ko = inut('valor de la contante de velocidad de reaccion = '); DH = inut('cambio de entalia en la reaccion = '); E = inut('energia de activacion = '); rhoc = inut('denidad or calor eecifico = '); xf = inut('valor de la concentracion de en el alimento = '); UV = inut('coeficiente or area de tranferencia de calor = '); R = inut('contante de lo gae = '); x = inut('valor de la concentracion de en etado etacionario = '); y = inut('valor de la temeratura en el reactor en etado etacionario = '); k = ko*ex(-e/(r*(y + 73))); k = k*(e/(r*(y + 73)*(y + 73))); (1,1) = -Fv - k; (1,) = -x*k; (,1) = k*(-dh)/rhoc; (,) = -Fv -(UV/rhoc) + (-DH/rhoc)*x*k; Lambda = eig() rchivo reactor4.m F = 60; V = F; ko = 9703*3600; DH = -5960; E = 11843; rhoc = 500; Tj = 5; Caf = 10; U = 50; Tf = [ ]; T = [ ]; for i = 1:5 for j = 1:16 Qr(j) = (-U*Tj - F*rhoc*Tf(i)) + (U + F*rhoc)*T(j); Ca(j) = (F/V)*Caf/((F/V) + ko*(ex(-e/(1.987*(t(j)+73))))); Qg(j) = (-DH)*V*ko*(ex(-E/(1.987*(T(j)+73))))*Ca(j); lot(t,qr,t,qg) hold on

27 173 rchivo reactor5.m function f = reactor5(x) global F xf xc caf ko E R DH rhoc U V Inicio1 Inicio Inicio3 f = F*rhoc*(x - xf) + U*(x - xc) - (-DH*V)*ko*(ex(-E./(R*(x + 73))))*((F/V)*caf/((F/V) + ko*(ex(-e./(r*(x + 73)))))); rchivo olreactor5.m function f = olreactor5(x) global F V xf xc caf ko E R DH rhoc U Inicio1 Inicio Inicio3 a b F = 60; V = F; ko = 9703*3600; DH = -5960; E = 11843; rhoc = 500; xc = 5; caf = 10; U = 50; R = 1.987; a = [-5:1:1]; clear a x for i = 1:7 xf = a(i); if xf <= 1 x(i) = fzero(@reactor5,30); eleif xf ==5 x(i) = fzero(@reactor5,60); ele lot(a,x,'k') hold on b = [5:1]; for j = 1:17 xf = b(j);

28 174 x(j) = fzero(@reactor5,90); lot(b,x,'k') clear b x c = [ ]; for j = 1:17 xf = c(j); if xf == 5 x(j) = fzero(@reactor5,90); ele x(j) = fzero(@reactor5,10); lot(c,x,'k') clear c x d = [1:1:3]; for j = 1:1 xf = d(j); x(j) = fzero(@reactor5,177); lot(d,x,'k') rchivo reactor6.m global F V xf xc caf ko E R DH rhoc U F = 1; V = F; ko = 9703*3600; DH = -5960; E = 11843; rhoc = 500; caf = 10; U = 150; R = 1.987; x = [7:1:107];

29 175 c = inut('cao a etudiar x v xc = 1 o x v xf = '); witch c cae 1 xf = 5; for i = 1:81 xc(i) = x(i) + (F*rhoc*(x(i) - xf) - (-DH*V)*ko*(ex(-E/(R*(x(i) + 73))))*((F/V)*caf/((F/V) + ko*(ex(-e/(r*(x(i) + 73)))))))/U; figure(1) lot(xc + 73,x + 73) cae xc = 5; for i = 1:81 xf(i) = x(i) + (U*(x(i) - xc) - (-DH*V)*ko*(ex(-E/(R*(x(i) + 73))))*((F/V)*caf/((F/V) + ko*(ex(-e/(r*(x(i) + 73)))))))/(F*rhoc); figure() lot(xf + 73,x + 73) rchivo reactor7.m global F V xf xc caf ko E R DH rhoc U a x y V = 1; ko = 9703*3600; DH = -5960; E = 11843; rhoc = 500; caf = 10; U = 150; R = 1.987; x = [7:1:107]; a = [ ]*V; xf = 5; for j = 1:7 F = a(j);

30 176 for i = 1:81 xc(i) = x(i) + (F*rhoc*(x(i) - xf) - (-DH*V)*ko*(ex(-E/(R*(x(i) + 73))))*((F/V)*caf/((F/V) + ko*(ex(-e/(r*(x(i) + 73)))))))/U; lot(xc + 73, x + 73) hold on