Anexo A.- ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIA

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1 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Anexo A.- ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIA Tradicionalmente, la adatación de imedancia ha ido coniderada como una oeración difícil y delicada, temida iemre or la mayoría de lo rofeionale de la electrónica, obre todo cuando e trata de abarcar una banda amlia. Sin embargo, éte e un aecto e muy imortante, ya que de eta adatación deende la otimización de lo emiore y recetore, influyendo, or tanto, en la calidad del enlace. o rimero trabajo relativo a la adatación de imedancia datan, como la mayoría de lo trabajo teórico, de lo año Dede entonce, varia han ido la vía de invetigación que e han abierto, y que han dado lugar a u vez a otra tanta olucione ara reolver el roblema en cuetión. Actualmente, no e oible acar concluione acerca de la eficacia o exactitud de uno u otro de eto método de forma que e ueda determinar cuál e el mejor. eciente y abundante etudio demuetran que aún no e ha dicho todo acerca de la adatación en banda ancha. No obtante, cualquiera que ea el rocedimiento que e adote, lo reultado numérico on arecido. En general, e trata de determinar lo valore de tre o cuatro comonente aivo, bobina o caacidade. El roceo e largo y tedioo, aunque e dionga de n ecuacione con incógnita. Por ello, eta ituación e reta a una etimación ráida de lo comonente, ara lo cuale e uede imlificar el cálculo. a olución final e obtiene mediante una erie de rueba ráctica comlementaria. o avance tecnológico de lo año 90, alicado a lo ordenadore, han ermitido el dearrollar algoritmo de otimización que alivian en arte el trabajo de lo dieñadore. Eta arte etá dedicado a la adatación de imedancia or medio del método llamado de imedancia conjugada y del cálculo del coeficiente de obretenión del circuito con carga. OBJETIVOS DE A ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIA En radiocomunicacione, lo que e retende e tranferir la máxima otencia de una fuente de tenión V E, con una reitencia interna G, a una carga de valor. El equema imlificado de la figura 9. reume el enunciado del roblema. G V E V S I Figura 9.. Tranferencia de otencia. a tenión V en lo borne de la carga vale: V VE G a otencia P uminitrada a la carga vale: VS P VE Se retende entonce hallar la relación entre y G, tal que la otencia ea máxima: dp G VE 3 d G dp Cuando 0, la otencia P e máxima. Eta condición equivale a la relación bien conocida G. d Cuando la reitencia de carga e igual a la reitencia interna del generador G, el circuito etá adatado en otencia. a otencia P uminitrada a la carga e máxima y vale: EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA

2 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz VE PSmáx 4 Conviene detacar que ete reultado no e idéntico al que e obtendría i e bucara la máxima tranferencia de tenión. El máximo de la función de tranferencia VS e obtiene cuando G 0. V E En el cao imle de la figura 9., la imedancia G y on reitencia ura. Ciertamente, uede dare ete hecho concreto, ero no uele er un cao real muy frecuente. Generalmente, la imedancia Z G y Z on imedancia comleja. Una imedancia comleja Z uede exreare de la iguiente forma: N Z D a imedancia e one en forma de relación de do olinomio función de j. a imedancia Z etá contituida or un número cualquiera de elemento aivo elementale, reitencia, bobina y condenadore. o grado de lo olinomio N y D difieren en, como máximo. TANSFOMACIÓN DE IMPEDANCIA El cálculo analítico e tanto má comlejo cuanto má elevado on lo grado de lo olinomio N y D. Por eta razón, el etudio e limita, en general, al cao de una imedancia contituida or una arte real y una arte imaginaria. Eta configuración correonde a circuito C erie o aralelo, o circuito erie o aralelo. El equema de la figura 9. muetra cómo una red cualquiera j uede er rereentada or una etructura erie o aralelo. Figura 9.. Tranformación de imedancia. Tranformación erie-aralelo Sea una imedancia erie Z, contituida or la dioición en erie de una reitencia y de una arte imaginaria Z > Por definición, el coeficiente de obretenión del circuito vale: Eta red erie uede tranformare en una red contituida or la dioición en aralelo de un elemento con arte real y otro con arte imaginaria. o valore y equivalente vienen dado or la relacione: ; Si el coeficiente de obretenión e mucho mayor que, eta relacione e imlifican:» ; Tranformación aralelo-erie Sea una imedancia aralelo Z contituida or una reitencia y una arte imaginaria en aralelo. Por definición, el coeficiente de obretenión del circuito vale: EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA

3 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Eta red en aralelo uede tranformare en una red contituida or la dioición en erie de un elemento con arte real y un elemento con arte imaginaria. o valore de y equivalente vienen dado or Si, entonce Tranformacione frecuente En el trancuro de la diferente oeracione, a menudo e neceario tranformar una red aralelo en una red erie o vicevera. Aí ocurre eecialmente cuando e buca y e calcula el coeficiente de obretenión del circuito cargado o cuando, or razone de imlificación de cálculo, debe er modificada una imedancia de fuente o de carga comleja. En la tabla 9. e han agruado la tranformacione má habituale. COEFICIENTES DE SOBETENSION DE OS CICUITOS C Circuito C erie a figura 9.3 rereenta un circuito C erie, el módulo de la imedancia normalizada y el argumento de eta imedancia comleja. El coeficiente de obretenión del circuito vale: C Si el ancho de banda a -3 db e rereenta or f. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 3

4 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz f 0 f ; f 0 π C Circuito C aralelo a figura 9.4 rereenta un circuito C aralelo, el módulo de la imedancia normalizada y el argumento de eta imedancia comleja. El coeficiente de obretenión P del circuito vale: C DEFINICIÓN DE ED DE ADAPTACIÓN Sean do imedancia Z G y Z cualequiera. a curva de la figura 9.5 e un ejemlo de lo que odría er la otencia en lo borne de la carga Z. Entre el generador y la carga e intercala una red de adatación de imedancia, conforme al equema de la figura 9.6. De eta forma, la otencia en lo borne de la carga Z tiene el aecto de la curva general de la figura 9.7. En ete cao, la red de adatación ha ermitido, en una banda de frecuencia f, la tranferencia máxima de otencia del generador a la carga. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 4

5 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Figura 9.4. Circuito P, P, C P en aralelo. a frecuencia central e encuentra rereentada or f o y, tíicamente, el coeficiente de obretenión vale: f 0 f GdB Figura 9.5. Función de tranferencia entre do imedancia cualequiera. f V E Z G ed de Adatación de Imedancia Z Figura 9.6. Inerción de una red de adatación de imedancia. Figura 9.7. función de tranferencia con la red de adatación. a red de adatación etá contituida excluivamente or elemento reactivo, bobina o caacidade. En ete cao, e dice que la red e no diiativa. Si la red de adatación incluye una o varia reitencia, la red e diiativa. En el curo reente no e abordará ete último cao. a do imedancia Z G y Z on, en general, reitencia ura o imedancia comleja, que ueden onere en forma de reitencia erie o aralelo, con una caacidad o una inductancia. Definición del coeficiente de obretenión del circuito con carga El conjunto de la red, e decir, la imedancia Z G y Z, y la imedancia de la red de adatación, uede rereentare mediante un circuito C erie o C aralelo. a elección de una rereentación erie o aralelo, deende únicamente de la etructura de la red. a mejor oción e la que mejor imlifique lo reultado. En numeroa obra, con vita a imlificar lo cálculo, el coeficiente de obretenión del circuito cargado e evalúa eliminando una u otra de la imedancia Z G o Z. En ete texto no utilizaremo eta hiótei imlificadora que dan reultado aroximado. Ejemlo de cálculo del coeficiente de obretenión del circuito cargado Partimo de una red de adatación en PI contituida or una bobina y do caacidade C y C, que e utiliza ara adatar do reitencia ura G y. El equema teórico de eta red e encuentra rereentado en la figura 9.8. Se trata de tranformar eta red en un circuito C erie o aralelo. En ete cao, la tranformación en un circuito C erie reulta imle. a red G, C aralelo e tranforma en una red A, C A erie. a red, C aralelo e tranforma en una red B, C B erie. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 5

6 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz o valore de lo nuevo elemento A, B, C A y C B vienen definido or la relacione iguiente: A G ; B C C C A C G C G GC ; C B C C C a red tranformada e encuentra rereentada en la figura 9.9. El coeficiente de obretenión del circuito cargado e igual a la relación de la imedancia de la bobina con reecto a la reitencia equivalente, reultante de oner en erie de A y B. GC C C C G A B G G Figura 9.8. Circuito de adatación en PI entre do reitencia G y. Figura 9.9. Tranformación de la red en PI y la reitencia G y. CONDICIONES PAA A ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS Princiio Sean la do imedancia Z G y Z de la figura 9. 0a. Si j G -j 0, el equema de la figura 9,0a uede imlificare, reumiéndoe en el equema de la figura 9.0b. Figura 9.0. Equivalencia de la red adatada. Para que la tranferencia de otencia ea máxima, debe cumlire la imle igualdad G. Ete encillo ejemlo uede generalizare or una ley igualmente imle. Sobre el equema de la figura 9.0a, la imedancia vita dede el unto A hacia la fuente vale Z. a imedancia vita dede el unto A hacia la carga vale Z. Si Z e igual al valor conjugado de la imedancia Z, quiere decir que el circuito etá adatado. Z Z* a función del circuito de adatación de la figura 9. conite, or tanto, en tranformar el valor de la imedancia comleja Z, de forma que eta imedancia, vita dede la entrada del circuito de adatación, ea igual al valor conjugado de la imedancia Z, e decir, Z*. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 6

7 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Figura 9.. Adatación de imedancia. Ejemlo de cálculo de un circuito de adatación Sea el circuito de la figura 9.. Se trata de adatar la do reitencia y mediante un filtro en. a imedancia Z vita dede el unto A hacia la fuente vale: Z j0 Figura 9.. Condición ara la adatación de imedancia. a imedancia Z, vita dede el unto A hacia la carga vale: C Z j C C Para que el circuito eté adatado, Z Z*. Igualando la arte reale y la arte imaginaria, e obtiene el itema de ecuacione iguiente: C ; C C a reolución de ete itema no lantea ninguna dificultad. C ; a do incógnita del itema correonden a lo valore de lo comonente y C. Igualando la arte reale y la arte imaginaria en la ecuación Z Z*, e obtienen do ecuacione que ermiten reolver inmediatamente el roblema. En eta condicione, el coeficiente de obretenión del circuito cargado viene definido or lo elemento calculado, no udiendo er elegido de forma indeendiente. En el cao del equema de la figura 9., el coeficiente viene dado or la relación: A artir de eto reultado, e uede comrobar que ete circuito ólo uede utilizare cuando >. CICUITOS DE ADAPTACIÓN CON DOS EEMENTOS EACTIVOS Imedancia de fuente y de carga reale a tabla 9. reúne cuatro intereante cao. Se trata de circuito en intercalado entre la do reitencia que e retenden adatar, y. El coeficiente de obretenión e una condición del circuito y viene definido únicamente or lo valore de la do reitencia y, cuando el circuito etá adatado. Tabla 9.. Adatación de Imedancia reale con do elemento reactivo. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 7

8 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz o reultado que e obtienen on relativamente imle, ueto que la Imedancia de fuente y de carga on reale. o circuito de tio y on alicable cuando >, e decir, cuando la reitencia de la fuente e inferior a la carga. o circuito de tio 3 y 4 on alicable cuando >, e decir, cuando la reitencia de la fuente e uerior a la carga. En todo lo cao, el coeficiente de obretenión aumenta con la diferencia de la reitencia y. El cao no e jutifica, ya que correondería a do reitencia idéntica que no neceitarían red alguna de adatación. Imedancia de fuente comleja e imedancia de carga real En ete cao tabla 9.3, la imedancia de la fuente e una imedancia comleja, contituida or la dioición en aralelo de la reitencia y la caacidad C. Eventualmente, eta red C uede er tranformada en una red C, donde lo do comonente etén en erie. Eto no cambia ara nada lo reultado que e obtienen en la condicione de la adatación. En el cao de lo circuito 7 y 8, aarece claramente la condición >. Imedancia de fuente real e imedancia de carga comleja a relacione dada en la tabla 9.4 reultan de la tabla anterior, dado que lo circuito on idéntico. En ete cao, la imedancia de la carga e comleja, contituida or y C en aralelo. a red C eventualmente ueden er tranformada en una red C erie. Eto cao imle ueden er aociado ara tratar rede que incluyan n elemento reactivo. En el cao de la tabla 9.5, la carga comleja e una bobina en aralelo con una reitencia. El emleo de do elemento reactivo y C imlica una condición en el coeficiente de obretenión del circuito cargado, que entonce e función de y, únicamente i la Imedancia on reale. Si una u otra de la Imedancia de fuente o de carga e comleja, el coeficiente de obretenión e función de la arte reale de la Imedancia y de la arte imaginaria. Ete coeficiente determina el ancho de banda obre el cual la Imedancia van a etar adatada. Tabla 9.4 Adatación entre fuente real y carga comleja or do elemento reactivo EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 8

9 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Tabla 9.3 Adatación entre fuente comleja y carga real or do elemento reactivo EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 9

10 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Circuito en PI y en T El cao de lo circuito en PI y en T e un cao intereante que ermite generalizar la combinación de la rede de adatación. Se ueden hallar lo valore de lo elemento reactivo, C y C de la figura 9.5 lanteando la tre ecuacione del itema: adatación y coeficiente de obretenión del circuito cargado. Eto lleva a la reolución de un itema relativamente comlejo. Una olución má imle conite en dividir la red de la figura 9.5 en do rede imle en, conforme al equema de la figura 9.6. Circuito en PI Se trata, ue, de manejar un conjunto de do circuito imle, relacionado or un valor común de la reitencia intermedia virtual. Cada uno de lo do circuito tiene un coeficiente de obretenión cargado y. Figura 9.5. Adatación entre do imedancia reale y or un filtro en PI. El coeficiente de obretenión del circuito en PI,, etá relacionado con y, mediante la igualdad: Se ueden ecribir la iguiente ecuacione: Para la rimera red ecuacione del circuito 4: Para la egunda red ecuacione del circuito : ; C ; ; C ; a rimera oeración conite en calcular lo valore de y. En cierta obra, ete cao e trata imoniendo un valor arbitrario ara el valor. Eto uede conducir a un reultado inexacto o aroximado. a reitencia intermedia uede, imlemente, er eliminada del itema de ecuacione. Bata entonce con reolver el itema de ecuacione. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 0

11 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA ; ue también e uede ecribir: 4 4 Figura 9.6. Tranformación del filtro en PI de la figura 9.4. Para ete itema, ólo exite una olución que da imultáneamente > 0 y >0: Eta olución da directamente el reultado ara lo valore de do condenadore C y C. El valor de la bobina viene dado or la relación: Se tiene que A El reultado final e, entonce: A C A C ; Sabiendo que: [ ] A 4 4 o reultado ara lo do filtro en PI e han agruado en la tabla 9.7. Tabla 9.7. Adatación entre fuente y carga real ara circuito en PI.

12 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz El mimo rocedimiento e alica ara el circuito 8. El circuito e divide en do; el condenador C e reemlazado or do condenadore C y C cargado or una reitencia intermedia de valor. El valor del condenador C etá relacionado con C y C mediante la exreión: CC C C C A continuación, e alica el mimo rocedimiento anterior: cálculo de lo elemento de cada uno de lo circuito en función de y y, deué, el cálculo de y. Eto lleva al reultado final in dificultade. Circuito en T El cao de lo circuito en T e trata de idéntica manera a la utilizada ara lo circuito en PI. a red en T e divide en do rede imle en, que e adatan obre una reitencia intermedia de valor deconocido. o reultado e han llevado a la tabla 9.8. Tabla 9.8. Adatación entre fuente v carga real ara circuito en T. Generalización del rocedimiento El roceo uede generalizare en el cao donde la imedancia que e van a adatar on comleja. Se trata, ue, de utilizar una imedancia intermedia real. El roblema e reduce a do adatacione entre una carga comleja y una carga real. a tabla que dan lo reultado ara lo circuito a 0 omiten la etaa de lo cálculo intermedio. El valor de la reitencia intermedia INT e función de la etructura de la rede elementale aociada. o reultado finale e encuentran agruado en la tabla 9.9. Tabla 9.9. Condicione ara la aociación de rede elementale. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA

13 Comilado, anexado y redactado or el Ing. Ocar M. Santa Cruz Circuito de adatación en PI con imedancia de fuente y de carga comleja El cao e idéntico al circuito en PI, ara imedancia de fuente y de carga reale. Ete reultado e idéntico al que e obtendría con do imedancia reale y adatada ara un circuito en PI de tre elemento, C C3 y C C4, CONCUSIÓN Aunque el enunciado del roblema correondiente a la condicione de adatación ea imle, la ecuacione exacta ueden dar origen a comlejo cálculo. En ete cao, un calculador analítico imlifica el manejo de la ecuacione fundamentale. a fórmula aroximada, cuando e aliquen, deben manejare con cuidado. a fórmula de ete tio deben ir acomañada de la condicione or la que e han coniderado la imlificacione. Una red de adatación, or comleja que ea, uede er tratada coniderando que e el reultado de oner en erie rede elementale en π, T o, lo que ermitirá obtener olucione exacta. EJEMPA DE DISTIBUCIÓN GATUITA 3