Cap. 2 : Probabilidad
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- Rosa Cano Acosta
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1 Cap. 2 : Probabilidad Alexandre Blondin Massé Departamento de Informática y Matematica Université du Québec à Chicoutimi 13 de junio del 2015 Modelado de sistemas aleatorios Ingeniería de sistemas, producción y ambiental A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 1 / 64
2 Tabla de contenidos 1. Espacios muestrales y eventos 2. Axiomas y propiedades de probabilidad 3. Técnicas de conteo 4. Probabilidad condicional 5. Independencia A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 2 / 64
3 Espacio muestral Definición El espacio muestral de un experimento, denotado por S, es el conjunto de todos los resultados posibles de ese experimento. Definición Sea S el espacio muestral de un experimento. Cualquier subconjunto E S es un evento. Si el resultado del experimento está contenido en E, entonces dicemos que el evento E ocurre (u occurrió). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 3 / 64
4 Ejemplos (1/3) Estamos interesado en el género de un niño por nacer. Entonces S = {M, F }, donde M significa masculino y F significa femenino. E = {M} es el evento Será un chico ; E = {F } es el evento Será un chica ; E = {M, F } es el evento Será un chico o una chica ; E = es el evento No será un chico o una chica ; A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 4 / 64
5 Ejemplos (2/3) Hay una carrera entre 7 caballos numerados de 1 a 7. Entonces, S es el conjunto de las 7-tuplas de números en {1, 2,..., 7} sin repetición, que se llaman permutaciones. Por ejemplo, el resultado (2, 3, 1, 6, 5, 4, 7) significa que el caballo 2 ha llegado primero, seguido por el caballo 3, el caballo 1, etc. Qué es el tamaño de S? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 5 / 64
6 Ejemplos (3/3) En una tienda, se mide el tiempo en segundos que transcurre antes de que un cliente llegue. Qué es S? Hay varias posibilidades: Si no hay valor máximo, S = R+ = (0, + ). Si la tienda esta abierta 10 horas, por ejemplo, entonces S = (0, ). También se puede que los valores de S son enteros: S = {0, 1, 2,..., }. A veces, cuando S est muy grande, por simplicidad, suponemos que S R. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 6 / 64
7 Eventos son conjuntos Dos dados regulares son lanzados. S = {(i, j) i, j {1, 2,..., 6}}. Sea E el evento la suma es 7. Entonces E = {(1, 6), (2, 5),..., (6, 1)}. Sea F el evento el secondo dado es 3. Entonces F = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 3)}. E F = {(4, 3), (5, 2), (6, 1)} es el evento la suma de los dados es 7 y el secondo dado es 1, 2 ou E F A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 7 / 64
8 Operaciones de conjuntos (1/4) Operación Notación Diagrama de Venn S Intersección E F E F S Unión E F E F A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 8 / 64
9 Operaciones de conjuntos (2/4) Operación Notación Diagrama de Venn S E3 E2 Intersección generalizada n i=1 E i E4 E1 E5... S E3 E2 Unión generalizada n i=1 E i E4 E1 E5... A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 9 / 64
10 Operaciones de conjuntos (3/4) Operación Notación Diagrama de Venn S Complemento E E S Diferencia E F E F A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 10 / 64
11 Operaciones de conjuntos (4/4) Operación Notación Diagrama de Venn S Diferencia simétrica E F E F A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 11 / 64
12 Relaciones básicas entre conjuntos Relación Notación Diagrama de Venn S F Inclusión E F E S Disjuntos E F = E F A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 12 / 64
13 Otras relaciones útiles Conmutatividad : E F = F E E F = F E. Asociatividad : E (F G) = E (F G) E (F G) = (E F ) G. Distributividad : E (F G) = (E F ) (E G) E (F G) = (E F ) (E G) Leyes de De Morgan : E F = E F E F = E F A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 13 / 64
14 Tabla de contenidos 1. Espacios muestrales y eventos 2. Axiomas y propiedades de probabilidad 3. Técnicas de conteo 4. Probabilidad condicional 5. Independencia A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 14 / 64
15 Tres axiomas fundamentales Sea S un espacio muestral. Está asociado con cada evento E S un número real P (E) que satisface las siguientes propiedades: 1. Para cualquier evento E S, 0 P (E) P (S) = Para cualquiera serie (finita o infinita) de eventos disjuntos dos a dos E 1, E 2,..., ( n ) P E i = i=1 n P (E i ), n = 1, 2,...,. i=1 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 15 / 64
16 Consecuencia de los axiomas Proposición Para cualquier evento E S, P (E) = 1 P (E). Demostración Claramente, E y E son disjuntos. Por los axiomas 2 y 3, obtenemos 1 = P (S) = P (E E) = P (E) + P (E). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 16 / 64
17 Principio de inclusión-exclusión (1/3) Proposición Sean E, F S dos eventos. Entonces P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F ). Se entiendo más fácilmente con un diagrama de Venn : S E F i ii iii A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 17 / 64
18 Principio de inclusión-exclusión (2/3) Demostración Se ve que la regiones (i), (ii) y (iii) son disjuntos. Por el axioma 3, obtenemos Entonces, P (E) = P (i) + P (ii) P (F ) = P (ii) + P (iii) P (E F ) = P (i) + P (ii) + P (iii). P (E F ) = P (E) + P (F ) P (ii) = P (E) + P (F ) P (E F ). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 18 / 64
19 Principio de inclusión-exclusión (3/3) Se generaliza a varios conjuntos Proposición Sean E, F, G S tres eventos. Entonces P (E F G) = P (E) + P (F ) + P (G) P (E F ) P (E G) P (F G) + P (E F G). Proposición Sea E i S un evento, i = 1, 2,..., n. Entonces ( n ) n P E i = ( 1) k+1 P (E i1... E in ). i=1 k=1 1 i 1 <...<i n n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 19 / 64
20 Tabla de contenidos 1. Espacios muestrales y eventos 2. Axiomas y propiedades de probabilidad 3. Técnicas de conteo 4. Probabilidad condicional 5. Independencia A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 20 / 64
21 Dos principios básicos Principio de la suma Sean A y B dos conjuntos. Si hay m formas de elegir un objeto de A y n formas de elegir un objeto de B, entonces hay m + n formas de elegir un objeto de A o B, asumiendo que no aparece ningún objeto en ambos A y B. Principio del producto Sean A y B dos conjuntos. Si hay m formas de elegir un objeto de A y n formas de elegir un objeto de B, entonces hay mn formas de elegir un objeto de A y un objeto de B. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 21 / 64
22 Ejemplo Dos bolas se extraen al azar de una urna sin reemplazo. Hay 6 bolas blancas y 5 bolas negras en la urna. Cuál es la probabilidad que une bola sea blanca y la otra negra? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 22 / 64
23 Ejemplo Dos bolas se extraen al azar de una urna sin reemplazo. Hay 6 bolas blancas y 5 bolas negras en la urna. Cuál es la probabilidad que une bola sea blanca y la otra negra? Hay 11 opciones para la primera bola y 10 para la seconda, entonces = 110 en total, por el principio de la suma. Hay dos posibilidades: blanca/negra, entonces hay 6 5 = 30 formas; negra/blanca, entonces hay 5 6 = 30 formas. Entonces, la probabilidad buscada es ( )/110 = 6/11. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 22 / 64
24 Permutaciones (1/5) De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar las letras a, b y c? De cuántas maneras se pueden ordenar n letras? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 23 / 64
25 Permutaciones (1/5) De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar las letras a, b y c? De cuántas maneras se pueden ordenar n letras? Hay 6 maneras para a, b y c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 23 / 64
26 Permutaciones (1/5) De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar las letras a, b y c? De cuántas maneras se pueden ordenar n letras? Hay 6 maneras para a, b y c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. En general, si hay n letras, entonces hay arreglos posibles. n(n 1)(n 2) = n! A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 23 / 64
27 Permutaciones (2/5) Deseamos colocar 10 libros en un estante. Hay 4 libros de matematica, 3 libros de química, 2 libros de historia y 1 libro de lingüística. Se pueden ordenar los libros de cualquiera manera, pero libros de mismo tema deben ser agrupados. Cuántos arreglos hay? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 24 / 64
28 Permutaciones (3/5) Primero asumen que los temas aparecen en el orden M/Q/H/L Hay 4! maneras de colocar los libros de matematica, 3! para química, 2! para historia, 1! para lingüística. Si el orden es Q/H/L/M, entonces hay el mismo número de maneras de ordenar los libros. Como hay 4! maneras de eligir el orden de los temas, el número total es 4!4!3!2!1! = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 25 / 64
29 Permutaciones (4/5) En un curso de probabilidad, hay 6 hombres y 4 mujeres. Los 10 estudiantes toman un examen y obtienen resultados distintos. Nos centramos en la ranking. Cuántas rankings hay (los estudiantes son todos diferentes)? Asumiendo que todos las rankings son igualmente probables, cual es la probabilidad que las 4 mujeres tienen los 4 mejores resultados? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 26 / 64
30 Permutaciones (5/5) Hay 10! = rankings. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 27 / 64
31 Permutaciones (5/5) Hay 10! = rankings. Para que las 4 mujeres sean primeras, necesitamos que los 6 hombres sean últimos. Hay 4! maneras de ordenar las 4 mujeres y 6! maneras de ordenar los 6 hombres. Entonces la probabilidad buscada es 4!6! 10! = = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 27 / 64
32 k-permutaciones Definición Sean n y k dos enteros, donde 0 k n. El número de maneras de elegir k objetos con orden en un conjunto de n objetos es P (n, k) = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n! (n k)!. Una k-tupla que representa un orden se llama k-arreglo o k-permutación. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 28 / 64
33 Ejemplo Sea une carrera de 10 caballos con números 1, 2,..., 10. Deseamos contar el número de rankings para los 3 primeros caballos solamente. Un 3-arreglo (o una 3-permutación) por ejemplo es (5, 10, 1). El número de ranking es P (10, 3) = 10! (10 3)! = 10! = = ! A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 29 / 64
34 Combinaciones Definición Sean dos enteros n y k, 0 k n. El número de maneras de elegir k objetos no ordenados en un conjunto de n objetos es n! C(n, k) = k!(n k)!. Un conjunto de k objetos represenando una opción se llama k-combinación. También se utiliza la notación ( ) n k para denotar C(n, k). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 30 / 64
35 Ejemplo Cuántos grupos (en cualquier orden) de 3 letras sin repetición se pueden formar con las letras A, B, C, D y E? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 31 / 64
36 Ejemplo Cuántos grupos (en cualquier orden) de 3 letras sin repetición se pueden formar con las letras A, B, C, D y E? Las opciones posibles son {A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D}, {B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}. Entonces hay 10 grupos. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 31 / 64
37 Relación entre permutaciones y combinaciones Proposición Sean n y k dos enteros, 0 k n. Entonces C(n, k) = P (n, k). k! A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 32 / 64
38 Relación entre permutaciones y combinaciones Proposición Sean n y k dos enteros, 0 k n. Entonces C(n, k) = P (n, k). k! Demostración Podemos elegir k objetos ordenados en un conjunto de n objetos de P (n, k) maneras. Pero, en el caso de combinaciones, el orden no es importante. Entonces cada grupo es contado k! veces: el resultado se divide por k! para obtener C(n, k). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 32 / 64
39 Ejemplo (1/3) Deseamos formar un grupo de 5 personas elegiendo en un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Cuál es la probabilidad que el grupo contiene exactamente 2 mujeres y 3 hombres? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 33 / 64
40 Ejemplo (1/3) Deseamos formar un grupo de 5 personas elegiendo en un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Cuál es la probabilidad que el grupo contiene exactamente 2 mujeres y 3 hombres? Hay C(15, 5) maneras de formar un grupo de 5 personas a partir de un grupo de 15 personas. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 33 / 64
41 Ejemplo (1/3) Deseamos formar un grupo de 5 personas elegiendo en un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Cuál es la probabilidad que el grupo contiene exactamente 2 mujeres y 3 hombres? Hay C(15, 5) maneras de formar un grupo de 5 personas a partir de un grupo de 15 personas. También, hay C(9, 2)C(6, 3) grupos formados de 2 mujeres entre las 9 y 3 hombres entre los 6. Entonces, la probabilidad es C(9, 2)C(6, 3)/C(15, 5) = 240/1001. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 33 / 64
42 Ejemplo (2/3) En un equipo de volleyball, hay 6 hombres y 6 mujeres. Deseamos creer pares de jugadores. Asumiendo que los pares son hechas al azar, Cuál es la probabilidad que ningún hombre sea con una mujer? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 34 / 64
43 Ejemplo (3/3) Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2) para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 35 / 64
44 Ejemplo (3/3) Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2) para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc. Entonces, hay C(12, 2) C(2, 2) = 2 maneras de formar los pares = 12! 2 6 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 35 / 64
45 Ejemplo (3/3) Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2) para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc. Entonces, hay C(12, 2) C(2, 2) = 2 maneras de formar los pares = 12! 2 6 Pero el orden de los pares no es importante, entonces hay en total 12!/(2 6 6!) pares. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 35 / 64
46 Ejemplo (3/3) Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2) para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc. Entonces, hay C(12, 2) C(2, 2) = 2 maneras de formar los pares = 12! 2 6 Pero el orden de los pares no es importante, entonces hay en total 12!/(2 6 6!) pares. Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!) 2 = (6!/(2 3 3!)) 2 donde ningún hombre es con una mujer. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 35 / 64
47 Ejemplo (3/3) Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2) para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc. Entonces, hay C(12, 2) C(2, 2) = 2 maneras de formar los pares = 12! 2 6 Pero el orden de los pares no es importante, entonces hay en total 12!/(2 6 6!) pares. Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!) 2 = (6!/(2 3 3!)) 2 donde ningún hombre es con una mujer. La probabilidad buscada es ( ) 6! / 12! 3! 2 6 6! = ,0216. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 35 / 64
48 La paradoja del cumpleaños (1/2) Si hay n personas en una habitación, cuál es la probabilidad que nadie nació el mismo día? Suponemos que todas las fechas son igualmente probables). A partir de cuánto es la probabilidad menos que 1/2? Por simplicidad, suponemos que nadie nació el 29 de febrero. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 36 / 64
49 La paradoja del cumpleaños (2/2) Claramente, hay 365 n resultados posibles. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 37 / 64
50 La paradoja del cumpleaños (2/2) Claramente, hay 365 n resultados posibles. Para que las fechas sean distintas, hay 365 opciones para la primera persona, 364 para la seconda, etc. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 37 / 64
51 La paradoja del cumpleaños (2/2) Claramente, hay 365 n resultados posibles. Para que las fechas sean distintas, hay 365 opciones para la primera persona, 364 para la seconda, etc. Entonces, hay P (365, n) en total. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 37 / 64
52 La paradoja del cumpleaños (2/2) Claramente, hay 365 n resultados posibles. Para que las fechas sean distintas, hay 365 opciones para la primera persona, 364 para la seconda, etc. Entonces, hay P (365, n) en total. La probabilidad buscada es p(n) = P (365, n)/365 n. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 37 / 64
53 La paradoja del cumpleaños (2/2) Claramente, hay 365 n resultados posibles. Para que las fechas sean distintas, hay 365 opciones para la primera persona, 364 para la seconda, etc. Entonces, hay P (365, n) en total. La probabilidad buscada es p(n) = P (365, n)/365 n. Calculamos p(n) para n = 1, 2,..., 30: 1,0000, 0,9973, 0,9918, 0,9836, 0,9729, 0,9595, 0,9438, 0,9257, 0,9054, 0,8830, 0,8589, 0,8330, 0,8056, 0,7769, 0,7471, 0,7164, 0,6850, 0,6531, 0,6209, 0,5886, 0,5563, 0,5243, 0,4927, 0,4617, 0,4313, 0,4018, 0,3731, 0,3455, 0,3190, 0,2937. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 37 / 64
54 Tabla de contenidos 1. Espacios muestrales y eventos 2. Axiomas y propiedades de probabilidad 3. Técnicas de conteo 4. Probabilidad condicional 5. Independencia A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 38 / 64
55 Ejemplo Dos dados regulares son lanzados. S = {(i, j) i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Sabemos que S = 36. Cuál es la probabilidad que la suma sea 8? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 39 / 64
56 Ejemplo Dos dados regulares son lanzados. S = {(i, j) i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Sabemos que S = 36. Cuál es la probabilidad que la suma sea 8? La probabilidad es 5/36. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 39 / 64
57 Ejemplo Dos dados regulares son lanzados. S = {(i, j) i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Sabemos que S = 36. Cuál es la probabilidad que la suma sea 8? La probabilidad es 5/36. Suponemos ahora que conocemos el resultado de uno de los dados, por ejemplo, el primer dado es 3. Cuál es la probabilidad que la suma sea 8? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 39 / 64
58 Ejemplo Dos dados regulares son lanzados. S = {(i, j) i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Sabemos que S = 36. Cuál es la probabilidad que la suma sea 8? La probabilidad es 5/36. Suponemos ahora que conocemos el resultado de uno de los dados, por ejemplo, el primer dado es 3. Cuál es la probabilidad que la suma sea 8? El secondo dado debe ser 5. Entonces, la probabilidad es 1/6. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 39 / 64
59 Definición Definición Sean E, F S dos eventos. La probabilidad condicional de E dado que ocurrió F se define por (asumiendo que P (F ) > 0). Interpretación P (E F ) = P (E F ). P (F ) Dado que ocurre F, el conjunto F se puede ver con un nuevo espacio muestral y entonces E F es el nuevo evento. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 40 / 64
60 Ejemplos (1/2) En una fábrica, se prueban algunos componentes en una caja de 40 componentes. Hay 5 componentes defectuosos (se da cuenta de inmediato), 10 componentes son parcialmente defectuosos (necesitan algunas horas de prueba) y 25 son aceptables. Un componente se elige al azar. Si es initialmente functional, cuál es la probabilidad que sea aceptable? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 41 / 64
61 Ejemplos (2/2) Sean los eventos siguientes: A : el componente es aceptable; D : el componente es defectuoso; P : el componente es parcialmente defectuoso. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 42 / 64
62 Ejemplos (2/2) Sean los eventos siguientes: A : el componente es aceptable; D : el componente es defectuoso; P : el componente es parcialmente defectuoso. Buscamos P (A D). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 42 / 64
63 Ejemplos (2/2) Sean los eventos siguientes: A : el componente es aceptable; D : el componente es defectuoso; P : el componente es parcialmente defectuoso. Buscamos P (A D). Por definición de probabilidad condicional P (A D) = P (A D) P (D) = P (A) P (D) = P (A) 1 P (D) = 25/40 1 5/40. Nota: A D = A (A P ) = A (porque A A P ). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 42 / 64
64 Ejemplos (2/2) Sean los eventos siguientes: A : el componente es aceptable; D : el componente es defectuoso; P : el componente es parcialmente defectuoso. Buscamos P (A D). Por definición de probabilidad condicional P (A D) = P (A D) P (D) = P (A) P (D) = P (A) 1 P (D) = 25/40 1 5/40. Nota: A D = A (A P ) = A (porque A A P ). Entonces P (A D) = = 5 7. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 42 / 64
65 La paradoja de los dos niños Bob tiene dos niños. Sabemos que al menos uno de los dos es un chico. Cuál es la probabilidad que ambos niños sean chicos? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 43 / 64
66 La paradoja de los dos niños Bob tiene dos niños. Sabemos que al menos uno de los dos es un chico. Cuál es la probabilidad que ambos niños sean chicos? Sean los eventos A : Al menos uno de los dos niños es un chico y B : Los dos niños son chicos. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 43 / 64
67 La paradoja de los dos niños Bob tiene dos niños. Sabemos que al menos uno de los dos es un chico. Cuál es la probabilidad que ambos niños sean chicos? Sean los eventos A : Al menos uno de los dos niños es un chico y B : Los dos niños son chicos. Buscamos P (B A). Entonces, P (B A) = P (A B) P (A) = P ({(M, M)}) P ({(M, M), (M, F ), (F, M)}) = 1 3. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 43 / 64
68 Intersección de eventos Una otra relación importante es P (E F ) = P (F ) P (E F ). Alicia tiene 30 % de probabilidad que su empresa inicie una sucursal en Bogotá. Si es el caso, hay une probabilidad de 60 % que sea la directora. Cuál es la probabilidad que Alicia sea directora de una sucursal en Bogotá? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 44 / 64
69 Intersección de eventos Una otra relación importante es P (E F ) = P (F ) P (E F ). Alicia tiene 30 % de probabilidad que su empresa inicie una sucursal en Bogotá. Si es el caso, hay une probabilidad de 60 % que sea la directora. Cuál es la probabilidad que Alicia sea directora de una sucursal en Bogotá? Sean los eventos B : Una sucursal inicia en Chicago. y D : Alicia es directora de una sucursal en Chicago A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 44 / 64
70 Intersección de eventos Una otra relación importante es P (E F ) = P (F ) P (E F ). Alicia tiene 30 % de probabilidad que su empresa inicie una sucursal en Bogotá. Si es el caso, hay une probabilidad de 60 % que sea la directora. Cuál es la probabilidad que Alicia sea directora de una sucursal en Bogotá? Sean los eventos B : Una sucursal inicia en Chicago. y D : Alicia es directora de una sucursal en Chicago Entonces P (B D) = P (B) P (D B) = 0,3 0,6 = 0,18. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 44 / 64
71 Ejemplos (1/6) Una compañia de seguros divide sus clientes en dos categorías: (1) en riesgo de tener un accidente y (2) no en situación de riesgo. Considera que hay una probabilidad de 0,4 que los clientes de la categoría (1) tengan un accidente en el proximo año y estos de la categoría (2) tengan una probabilidad de 0,2. Asumiendo que 30 % de la populación es en la categoría (1), cuál es la probabilidad que un nuevo cliente tenga un accidente en el proximo año? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 45 / 64
72 Ejemplos (2/6) La idea clave es de suponer primero que el nuevo cliente es en riesgo y entonces que no es en situación de riesgo. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 46 / 64
73 Ejemplos (2/6) La idea clave es de suponer primero que el nuevo cliente es en riesgo y entonces que no es en situación de riesgo. Sean los eventos A : El cliente tendrá un accidente el año proximo y R : El cliente es en situación de riesgo. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 46 / 64
74 Ejemplos (2/6) La idea clave es de suponer primero que el nuevo cliente es en riesgo y entonces que no es en situación de riesgo. Sean los eventos A : El cliente tendrá un accidente el año proximo y R : El cliente es en situación de riesgo. Tenemos la relación A = (A R) (A R), donde A R y A R son disjuntos. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 46 / 64
75 Ejemplos (2/6) La idea clave es de suponer primero que el nuevo cliente es en riesgo y entonces que no es en situación de riesgo. Sean los eventos A : El cliente tendrá un accidente el año proximo y R : El cliente es en situación de riesgo. Tenemos la relación A = (A R) (A R), donde A R y A R son disjuntos. Entonces la probabilidad buscada es P (A) = P (A R) + P (A R) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 46 / 64
76 Ejemplos (2/6) La idea clave es de suponer primero que el nuevo cliente es en riesgo y entonces que no es en situación de riesgo. Sean los eventos A : El cliente tendrá un accidente el año proximo y R : El cliente es en situación de riesgo. Tenemos la relación A = (A R) (A R), donde A R y A R son disjuntos. Entonces la probabilidad buscada es P (A) = P (A R) + P (A R) = P (A R)P (R) + P (A R)P (R) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 46 / 64
77 Ejemplos (2/6) La idea clave es de suponer primero que el nuevo cliente es en riesgo y entonces que no es en situación de riesgo. Sean los eventos A : El cliente tendrá un accidente el año proximo y R : El cliente es en situación de riesgo. Tenemos la relación A = (A R) (A R), donde A R y A R son disjuntos. Entonces la probabilidad buscada es P (A) = P (A R) + P (A R) = P (A R)P (R) + P (A R)P (R) = 0,4 0,3 + 0,2 0,7 = 0,26. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 46 / 64
78 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
79 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A R) = 0,4. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
80 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A R) = 0,4. Buscamos P (R A). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
81 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A R) = 0,4. Buscamos P (R A). Entonces P (R A) = P (A R) P (A) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
82 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A R) = 0,4. Buscamos P (R A). Entonces P (R A) = = P (A R) P (A) P (R)P (A R) P (A) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
83 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A R) = 0,4. Buscamos P (R A). Entonces P (R A) = = = P (A R) P (A) P (R)P (A R) P (A) 0,3 0,4 0,26 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
84 Ejemplos (3/6) Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente. Cuál es la probabilidad que sea en situación de riesgo? Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A R) = 0,4. Buscamos P (R A). Entonces P (R A) = = = P (A R) P (A) P (R)P (A R) P (A) 0,3 0,4 0,26 = 6/13. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 47 / 64
85 Ejemplos (4/6) Un estudiante toma un examen de opción múltiple. Para una pregunta determinada, sean p la probabilidad que conoce la respuesta; 1 p la probabilidad que intenta de adivinar; En este último caso, la probabilidad que obtiene la respuesta correcta es 1/m, donde m es el número de opciones posibles. Si el estudiante tiene la respuesta correcta, cuál es la probabilidad que conoce la respuesta? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 48 / 64
86 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
87 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. Buscamos P (S C). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
88 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. Buscamos P (S C). También sabemos que P (S) = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
89 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. Buscamos P (S C). También sabemos que P (S) = p P (C S) = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
90 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. Buscamos P (S C). También sabemos que P (S) = p P (C S) = 1 P (C S) = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
91 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. Buscamos P (S C). También sabemos que P (S) = p P (C S) = 1 P (C S) = 1/m P (S) = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
92 Ejemplos (5/6) Sean los eventos siguientes C : El estudiante contesta correctamente y S : El estudiante sabe la respuesta. Buscamos P (S C). También sabemos que P (S) = p P (C S) = 1 P (C S) = 1/m P (S) = 1 p A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 49 / 64
93 Ejemplos (6/6) Por definición de probabilidad condicional, P (S C) = P (S C). P (C) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 50 / 64
94 Ejemplos (6/6) Por definición de probabilidad condicional, Entonces, P (S C) = P (S C). P (C) P (S C) = P (S)P (C S) = p 1 = p A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 50 / 64
95 Ejemplos (6/6) Por definición de probabilidad condicional, Entonces, P (S C) = P (S C). P (C) P (S C) = P (S)P (C S) = p 1 = p P (C) = P (C S)P (S) + P (C S)P (S) = p + 1 (1 p). m A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 50 / 64
96 Ejemplos (6/6) Por definición de probabilidad condicional, Entonces, P (S C) = P (S C). P (C) Obtenemos P (S C) = P (S)P (C S) = p 1 = p P (C) = P (C S)P (S) + P (C S)P (S) P (S C) = = p + 1 (1 p). m p p + (1 p)/m = mp 1 + (m 1)p. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 50 / 64
97 Ejemplos (6/6) Por definición de probabilidad condicional, Entonces, P (S C) = P (S C). P (C) Obtenemos P (S C) = P (S)P (C S) = p 1 = p P (C) = P (C S)P (S) + P (C S)P (S) P (S C) = = p + 1 (1 p). m p p + (1 p)/m = mp 1 + (m 1)p. Por ejemplo, si m = 5 y p = 1/2, entonces P (S C) = 5/6. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 50 / 64
98 Particiones y probabilidad condicional Teorema Suponemos que F 1, F 2,..., F n son eventos disjuntos dos a dos y que n i=1 F i = S, es decir que exactemente uno de los eventos F 1, F 2,..., F n ocurre. Entonces P (E) = n P (E F i ) = i=1 n P (E F i )P (F i ). i=1 S E F 1 F 2 F 3... F n 1 F n A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 51 / 64
99 Fórmula de Bayes (1/2) Teorema (Fórmula de Bayes) Sean A y B dos eventos. Entonces P (A B) = P (B A)P (A). P (B) Demostración Sigue de la seconda igualdad: P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). De hecho, observamos que P (A B) = P (A B) P (B) = P (B A)P (A). P (B) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 52 / 64
100 Fórmula de Bayes (2/2) Teorema (Fórmula generalizada de Bayes) Suponemos que F 1, F 2,..., F n son eventos disjuntos dos a dos y que n F i = S, i=1 es decir que exactamente uno evento de F 1, F 2,..., F n ocurre. Entonces P (E F j )P (F j ) P (F j E) = n i=1 P (E F i)p (F i ). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 53 / 64
101 Ejemplo (1/2) Un laboratorio proporciona una prueba para la detección de una enfermedad. Sabemos que si un paciente tiene la enfermedad, la prueba lo detecta en 99 % de los casos. Pero si alguién está sano, en 1 % de los casos, el resultado es un falso positivo. Suponemos que la enfermedad afecta 0,5 % de la población. Cuál es la probabilidad que alguien sea afectada dado que el resultado es positivo? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 54 / 64
102 Ejempo (2/2) Sean los eventos siguientes: A : La persona es afectada y R : El resultado es positivo. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 55 / 64
103 Ejempo (2/2) Sean los eventos siguientes: A : La persona es afectada y R : El resultado es positivo. Buscamos P (A R). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 55 / 64
104 Ejempo (2/2) Sean los eventos siguientes: A : La persona es afectada y R : El resultado es positivo. Buscamos P (A R). Por la fórmula de Bayes generalizada, tenemos P (A R) = P (R A)P (A) P (R A)P (A) + P (R A)P (A) A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 55 / 64
105 Ejempo (2/2) Sean los eventos siguientes: A : La persona es afectada y R : El resultado es positivo. Buscamos P (A R). Por la fórmula de Bayes generalizada, tenemos P (A R) = = P (R A)P (A) P (R A)P (A) + P (R A)P (A) 0,99 0,005 0,99 0, ,01 0,995 A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 55 / 64
106 Ejempo (2/2) Sean los eventos siguientes: A : La persona es afectada y R : El resultado es positivo. Buscamos P (A R). Por la fórmula de Bayes generalizada, tenemos P (A R) = = P (R A)P (A) P (R A)P (A) + P (R A)P (A) 0,99 0,005 0,99 0, ,01 0,995 = 0,3322. Entonces, solamente 33 % de los pacientes son afectados de hecho. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 55 / 64
107 La paradoja de Monty Hall Es una paradoja muy famosa. Serie Numb3rs: Se prueba con la fórmula generalizada de Bayes. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 56 / 64
108 Tabla de contenidos 1. Espacios muestrales y eventos 2. Axiomas y propiedades de probabilidad 3. Técnicas de conteo 4. Probabilidad condicional 5. Independencia A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 57 / 64
109 Definición Sean E y F dos eventos. Intuitivamente, E y F son independiente si el hecho de conocer F no cambia la probabilidad que E ocurre. Se traduce por P (E F ) = P (E). Entonces, como P (E F ) = P (E F )/P (F ), se deduce Definición P (E F ) = P (E) P (F ). Sean E y F dos eventos. Dicemos que E y F son independientes si P (E F ) = P (E)P (F ). Si no, dicemos que E y F son dependientes. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 58 / 64
110 Ejemplos (1/2) Elegimos al azar una carta de una baraja de 52 cartas. A : La carta es un as y C : La carte es de espadas. Claramente, P (A) = 1/13, P (C) = 1/4 y P (A C) = 1/52, entonces los eventos son independientes. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 59 / 64
111 Ejemplos (2/2) Un otro ejemplo R : El proximo presidente de los Estados Unidos será republicano. T : Habrá un terremoto durante el proximo año. C : Habrá una recesión económica durante los dos proximos años. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 60 / 64
112 Ejemplos (2/2) Un otro ejemplo R : El proximo presidente de los Estados Unidos será republicano. T : Habrá un terremoto durante el proximo año. C : Habrá una recesión económica durante los dos proximos años. Es razonable suponer que R y T son independientes. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 60 / 64
113 Ejemplos (2/2) Un otro ejemplo R : El proximo presidente de los Estados Unidos será republicano. T : Habrá un terremoto durante el proximo año. C : Habrá una recesión económica durante los dos proximos años. Es razonable suponer que R y T son independientes. Pero no parece razonable que R y C son independientes. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 60 / 64
114 Independencia de más de dos eventos Definición Sean E, F y G tres eventos. Dicemos que E, F y G son independientes si P (E F G) = P (E)P (F )P (G) P (E F ) = P (E)P (F ) P (E G) = P (E)P (G) P (F G) = P (F )P (G). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 61 / 64
115 Ejemplo Las cuatro igualidades son esentiales. Dos dados son lanzados. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 62 / 64
116 Ejemplo Las cuatro igualidades son esentiales. Dos dados son lanzados. Sean los eventos siguientes S : La suma es 7 ; T : El primer dado es 3 y Q : El secondo dado es 4. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 62 / 64
117 Ejemplo Las cuatro igualidades son esentiales. Dos dados son lanzados. Sean los eventos siguientes S : La suma es 7 ; T : El primer dado es 3 y Q : El secondo dado es 4. Claramente, S T, S Q y T Q son independientes. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 62 / 64
118 Ejemplo Las cuatro igualidades son esentiales. Dos dados son lanzados. Sean los eventos siguientes S : La suma es 7 ; T : El primer dado es 3 y Q : El secondo dado es 4. Claramente, S T, S Q y T Q son independientes. Pero P (S T Q) = 1/36, mientras que P (S)P (T )P (Q) = = A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 62 / 64
119 Circuitos eléctricos (1/2) Sea el circuito siguiente A 4 5 B Suponemos que el componente i funciona con probabilidad p i. Cuál es la probabilidad la corriente pasa entre A y B asumiendo que las probabilidades p i son independientes? A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 63 / 64
120 Circuitos eléctricos (2/2) Sean Fi : El componente i funciona, para i = 1, 2, 3, 4, 5; S : La corriente fluye a través la parte superior y I : La corriente fluye a través la parte inferior. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 64 / 64
121 Circuitos eléctricos (2/2) Sean Fi : El componente i funciona, para i = 1, 2, 3, 4, 5; S : La corriente fluye a través la parte superior y I : La corriente fluye a través la parte inferior. Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, es decir la probabilidad P (S I). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 64 / 64
122 Circuitos eléctricos (2/2) Sean Fi : El componente i funciona, para i = 1, 2, 3, 4, 5; S : La corriente fluye a través la parte superior y I : La corriente fluye a través la parte inferior. Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, es decir la probabilidad P (S I). Como S et I son independientes, P (S I) = P (S)P (I). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 64 / 64
123 Circuitos eléctricos (2/2) Sean Fi : El componente i funciona, para i = 1, 2, 3, 4, 5; S : La corriente fluye a través la parte superior y I : La corriente fluye a través la parte inferior. Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, es decir la probabilidad P (S I). Como S et I son independientes, P (S I) = P (S)P (I). Los valores p i son independientes también, entonces P (S) = p 1 p 2 p 3 y P (I) = p 4 p 5. A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 64 / 64
124 Circuitos eléctricos (2/2) Sean Fi : El componente i funciona, para i = 1, 2, 3, 4, 5; S : La corriente fluye a través la parte superior y I : La corriente fluye a través la parte inferior. Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, es decir la probabilidad P (S I). Como S et I son independientes, P (S I) = P (S)P (I). Los valores p i son independientes también, entonces P (S) = p 1 p 2 p 3 y P (I) = p 4 p 5. Consecuentemente, la probabilidad buscada es 1 P (S I) = 1 P (S)P (I) = 1 (1 p 1 p 2 p 3 )(1 p 4 p 5 ). A. Blondin Massé (UQAC) Capítulo 2 64 / 64
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