Ejercicios del Tema 5

Transcripción

1 Ejercicios del Tema 5 En este documento encontrará cómo se puede emplear el programa Maxima para resolver o apoyar algunos pasos de la resolución de varios de los ejercicios del tema. Debe tener en cuenta que: En esencia se utilizan los comandos que aparecen en la bibliografía básica de la asignatura. Pero aparecen algunos más que pueden resultarle interesantes para resolver ejercicios y apoyar sus cálculos actuales y futuros. En muchas ocasiones existe más de una forma de llegar al mismo resultado, es decir, se pueden utilizar distintos comandos o los comandos en orden diferente. Le animamos a experimentar con el programa. Tiene los comandos escritos y solamente debe ejecutarlos para comprobar la salida. Pero qué ocurre si cambia los datos? Obtiene lo que esperaba? La forma ideal de trabajar con este documento es. Primero leer el enunciado del ejercicio y tratar de resolverlo sin ayuda de Maxima. Si encontramos dificultades en las que creemos que Maxima nos puede ayudar o queremos verificar el resultado, intentar utilizar el programa para realizar esas tareas. Finalmente recurrir a la información de este documento para comprobar la solución y ver qué sugerencias de resolución o apoyo aparecen. 1 Ejercicio 193 El producto escalar entre dos vectores se realiza en Maxima con un. Es importante dejar espacios antes y después del punto para distingirlo del punto decimal. En las siguientes instrucciones de Maxima, primero definimos los vectores y después calculamos su producto escalar. --> v1:[0,1,2]; v2:[-3,-4,2]; v1. v2; (%o1) [0, 1, 2] (%o2) [ 3, 4, 2] (%o3) 0 Como el resultado es cero los vectores resultan ser ortogonales. 1

2 2 Ejercicios 194 y 196 Definimos los vectores u y v. --> u:[-1,1]; v:[2,3]; (%o4) [ 1, 1] (%o5) [2, 3] Calculamos sus normas (recordemos que la norma de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo), su suma y la norma de su suma. --> normu:sqrt(u. u); normv:sqrt(v. v); u+v; sqrt(%. %); (%o6) 2 (%o7) 13 (%o8) [1, 4] (%o9) 17 Calculamos el vector 3u y su norma. --> 3*u; sqrt(%. %); (%o10) [ 3, 3] (%o11) 3 2 Calculamos el coseno del ángulo que forman u y v. --> (u. v)/(normu*normv); (%o12) El ángulo formado por los vectores se consigue aplicando la función arco coseno al valor anterior. --> acos(%); ( ) 1 (%o13) acos 2 13 Si deseamos conocer el valor numérico aproximado utilizamos el comando float. 2

3 --> float(%); (%o14) Para expresar u en coordenadas polares utilizamos las ecuaciones que relacionan estas coordenadas con las coordenadas cartesianas. Las componentes del vector u se denotan por u[1] y u[2] en Maxima. --> rho=sqrt(u. u); solve(tan(theta)=u[2]/u[1],theta); (%o15) ρ = 2solve : usingarc trigfunctionstogetasolution.somesolutionswillbelost. (%o16) [θ = π 4 ] Maxima nos avisa de que ha utilizado la función arco tangente para resolver la ecuación y que es posible que se hayan perdido soluciones. En este caso efectivamente se ha perdido la solución que nos interesa. El vector u está en el segundo cuadrante y el valor buscado es el que da Maxima más 2pi. 3 Ejercicio 197 Utilizamos las ecuaciones que relacionan coordenadas cilíndicas y cartesianas. u:[1,1,1]; rho=sqrt([u[1],u[2]]. [u[1],u[2]]); solve(tan(theta)=u[2]/u[1],theta); z=u[3]; (%o1) [1, 1, 1] (%o2) (%o3) [θ = π 4 ] (%o4) z = 1 ρ = 2solve : usingarc trigfunctionstogetasolution.somesolutionswillbelost. En este caso, puesto que el vector (1,1) está en el primer cuadrante, la solución que nos propone Maxima para theta es la que buscábamos. 4 Ejercicio 198 Nuestro primer objetivo es calcular las coordenadas cilíndricas del vector (1,2,- 1). Limpiamos la memoria del programa e introducimos el vector. 3

4 u:[1,2,-1]; (%o1) [1, 2, 1] Ahora reutilizamos el código del ejercicio anterior para calcular las coordenadas cilíndricas. --> rho=sqrt([u[1],u[2]]. [u[1],u[2]]); solve(tan(theta)=u[2]/u[1],theta); z=u[3]; (%o2) ρ = 5solve : usingarc trigfunctionstogetasolution.somesolutionswillbelost. (%o3) [θ = atan (2)] (%o4) z = 1 Las coordenadas buscadas son las que aparecen porque el vector (1,2) pertenece al primer cuadrante. Podemos aproximar numéricamente el valor de theta. --> theta=atan(2.0); (%o5) θ = Pasemos ahora a las coordenadas esféricas. Resolviendo con el comando solve las ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las cartesianas. --> rho=sqrt(u. u); solve(tan(theta)=u[2]/u[1],theta); solve(sin(phi)=u[3]/sqrt(u. u)); (%o6) (%o7) (%o8) ρ = 6solve : usingarc trigfunctionstogetasolution.somesolutionswillbelost. [θ = atan (2)]solve : usingarc trigf unctionstogetasolution.somesolutionswillbelost. ( 1 [φ = asin 6 )] 5 Ejercicios 204 y 205 Maxima tiene un comando para representar las curvas de nivel de una función. Se llama contour plot y lo utilizamos a continuación. --> wxcontour_plot(x^2-y^2/3+8, [x, -4, 4], [y, -4, 4])$ 4

5 (%t9) --> wxcontour_plot(x^2-y, [x, -4, 4], [y, -5, 5])$ (%t10) 6 Ejercicio 206 Maxima no calcula límites de funciones de varias variables. Pero podemos calcular con Maxima los límites reiterados porque se definen a partir de límites de una variable. f(x,y):=(x^2+y^3)/(x^2+y^2); (%o1) f (x, y) := x2 + y 3 x 2 + y 2 Definimos los límites reiterados anidando dos sentencias limit, es decir poniendo una dentro de la otra, del modo siguiente. 5

6 --> limit(limit(f(x,y),x,0),y,0); limit(limit(f(x,y),y,0),x,0); (%o2) 0 (%o3) 1 Como los valores no coinciden el límite no existe. Como complemento mostramos la gráfica de la función y sus curvas de nivel. --> wxplot3d(f(x,y),[x,-2,2],[y,-2,2]); wxcontour_plot(f(x,y),[x,-2,2],[y,-2,2]); (%t4) (%o4) (%t5) (%o5) Fíese en cómo, debido a la no existencia de límite, algunas curvas de nivel pueden tender al mismo punto en (0,0). 6

7 7 Ejercicio 209 f(x,y):=(x^2+y^2)*sin(1/(x^2+y^2)); (%o1) f (x, y) := ( x 2 + y 2) ( ) 1 sin x 2 + y 2 En este ejercicio se realiza un cambio a coordenadas polares y no se estudian los límites laterales. Calcularemos esos límites aquí. --> limit(limit(f(x,y),x,0),y,0); limit(limit(f(x,y),y,0),x,0); (%o2) 0 (%o3) 0 Observamos que el valor coincide y no obtenemos información sobre la continuidad de f en (0,0). Para calcular el límite en coordenadas polares en Maxima hacemos: --> limit(f(rho*cos(theta),rho*sin(theta)),rho,0); (%o4) 0 Como complemento representamos la función y sus curvas de nivel. utilizado la opción grid para aumentar la definición de las gráficas. Hemos --> wxplot3d(f(x,y),[x,-1,1],[y,-1,1],[grid, 90, 90]); wxcontour_plot(f(x,y),[x,-1,1],[y,-1,1],[grid, 90, 90]); (%t5) (%o5) 7

8 (%t6) (%o6) 8 Ejercicio 210 Utilizaremos este ejercicio para mostrar cómo podemos utilizar Maxima para calcular límites al tender a un punto siguiendo una determinada curva. Queremos estudiar la continuidad en el origen de la función que para x distinto de 0 toma el valor y^2/x y en otro caso es 0. En primer lugar nos acercamos utilizando alguna recta del haz y=m*x. --> limit((m*x)^2/x,x,0); (%o7) 0 Observamos que no depende de m. A continuación tendemos a (0,0) utilizando alguna parábola de ecuación y=k*x^2. --> limit((k*x)^2/x,x,0); (%o8) 0 Tampoco depende de k. Y no podemos afirmar nada sobre la continuidad. Probamos con parábolas de ecuación x=l*y^2. --> limit(y^2/(l*y^2),y,0); 1 (%o9) l Resulta que el límite depende de la parábola que utilizamos para aproximarnos al origen y la función no es continua. 8

9 9 Ejercicio 213 En primer lugar definimos la función poniendo un apóstrofe delante del comando integrate para indicar a Maxima que no deseamos que calcule la integral. f(x,y):=x* integrate(s*exp(s),s,0,y); (%o1) f (x, y) := x y 0 s exp (s) ds Calculamos el gradiente. Recuerde que es el vector formado por las derivadas parciales. --> gradf=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)]; (%o2) gradf = [ y 0 s e s ds, x y e y ] Veamos que si retiramos el apóstrofe llegamos al mismo resultado, pero con la integral calculada. --> f(x,y):=x*integrate(s*exp(s),s,0,y); gradf=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)]; (%o3) f (x, y) := x y 0 s exp (s) dsisypositive, negative, orzero?p; (%o4) gradf = [(y 1) e y + 1, x ((y 1) e y + e y )] Al ejecutar el comando Maxima nos pregunta el signo de y. Para indicárselo escribimos la inicial p y después pulsamos mayúsculas + enter. 10 Ejercicio 214 y 216 En primer lugar definimos la función y calculamos las derivadas parciales. f(x,y):=y*tan(exp(x))+(cos(x+y))^2; g(x,y):=log(x*y); (%o1) f (x, y) := y tan (exp (x)) + cos (x + y) 2 (%o2) g (x, y) := log (x y) 9

10 Ahora calculamos la expresión del gradiente en un punto arbitrario. --> gradf:[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)]; gradg:[diff(g(x,y),x),diff(g(x,y),y)]; (%o3) [e x sec (e x ) 2 y 2 cos (y + x) sin (y + x), tan (e x ) 2 cos (y + x) sin (y + x)] (%o4) [ 1 x, 1 y ] Por último, evaluamos esa expresión en el punto (0,0). --> at(gradf,[x=0,y=0]); at(gradg,[x=2,y=3]); (%o5) [0, tan (1)] (%o6) [ 1 2, 1 3 ] Otra opción para calcular el gradiente es utilizar el paquete linearalgebra que contiene el comando jacobian. --> load(linearalgebra); jacobian([f(x,y)],[x,y]); at(%,[x=0,y=0]); jacobian([g(x,y)],[x,y]); at(%,[x=2,y=3]); (%o7) (%o8) (%o9) (%o10) ( 1 x (%o11) ( 1 2 C : /P ROGRA 2/M AXIM A 1.0/share/maxima/5.27.0/share/linearalgebra/linearalgebra.mac ( e x sec (e x ) 2 y 2 cos (y + x) sin (y + x) tan (e x ) 2 cos (y + x) sin (y + x) ) ( 0 tan (1) ) 1 y 1 3 ) ) 11 Ejercicio 217 Comenzamos limpiando la memoria y definiendo la función. f(x,y,z):=x^2+y^3+z^2-2*z; (%o1) f (x, y, z) := x 2 + y 3 + z 2 + ( 2) z 10

11 Calculamos el gradiente. --> gradf:[diff(f(x,y,z),x),diff(f(x,y,z),y),diff(f(x,y,z),z)]; (%o2) [2 x, 3 y 2, 2 z 2] Resolvemos el sistema que resulta de igualar a cero cada una de las componentes del gradiente. --> solve([gradf[1]=0,gradf[2]=0,gradf[3]=0]); (%o3) [[z = 1, y = 0, x = 0]] Por lo tanto el punto en el que se anula el gradiente es (0,0,1). 12 Ejercicio 218 y 219 Definimos la función utilizando el comando if. f(x,y):=if ([x,y]=[0,0]) then (0) else (x*y)^2/(x^2+y^2); (x y)2 (%o1) f (x, y) := if[x, y] = [0, 0]then0else x 2 + y 2 A continuación calculamos las derivadas parciales. --> dfdx:diff(f(x,y),x); dfdy:diff(f(x,y),y); (%o2) (%o3) 2 x y 2 y 2 + x 2 2 x3 y 2 (y 2 + x 2 ) 2 2 x 2 y y 2 + x 2 2 x2 y 3 (y 2 + x 2 ) 2 Para comprobar que las expresiones dadas por Maxima son las mismas que aparecen en el libro podemos utilizar el comando factor. --> factor(dfdx); factor(dfdy); (%o4) (%o5) 2 x y 4 (y 2 + x 2 ) 2 2 x 4 y (y 2 + x 2 ) 2 11

12 Las expresiones que obtenemos para las derivadas parciales no están definidas en (0,0). Utilizamos la definición para calcularlas en ese punto. --> limit((f(0+h,0)-f(0,0))/h,h,0); limit((f(0,0+h)-f(0,0))/h,h,0); (%o6) 0 (%o7) 0 En el ejercicio 219 nos piden estudiar la continuidad de las derivadas parciales. Para hacerlo realizamos primero un cambio a polares y después calculamos el límite haciendo tender rho a 0. --> at(dfdx,[x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta)]); limit(%,rho,0); (%o8) 2 ρ 3 cos (θ) sin (θ) 2 ρ 2 sin (θ) 2 + ρ 2 cos (θ) 2 2 ρ 5 cos (θ) 3 sin (θ) 2 (ρ 2 sin (θ) 2 + ρ 2 cos (θ) 2) 2 (%o9) 0 Los cálculos anteriores son para la derivada parcial con respecto a x. Para el caso de la derivada parcial con respecto a la variable y hacemos. --> at(dfdy,[x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta)]); limit(%,rho,0); (%o10) (%o11) 0 2 ρ 3 cos (θ) 2 sin (θ) ρ 2 sin (θ) 2 + ρ 2 cos (θ) 2 2 ρ 5 cos (θ) 2 sin (θ) 3 (ρ 2 sin (θ) 2 + ρ 2 cos (θ) 2) 2 13 Ejercicio 220 Limpiamos la memoria y definimos la función que queremos verificar que es solución de la ecuación de ondas. u(x,t):=sin(x-t); (%o1) u (x, t) := sin (x t) Necesitamos calcular las derivadas parciales segundas con respecto a x y con respecto a t; y después comprobar que son iguales. Maxima calcula estas derivadas de orden superior directamente con el comando diff. 12

13 --> diff(u(x,t),x,2); diff(u(x,t),t,2); (%o2) sin (x t) (%o3) sin (x t) 14 Ejercicio 221 Maxima dispone de un comando específico para calcular la matriz hessiana de una función: hessian. f(x,y,z):=cos(x)+y^2/2; (%o1) f (x, y, z) := cos (x) + y2 2 El comando hessian es similar a diff o jacobian. Primero aparece la función y después las variables con respecto a las que se deriva. --> hessian(f(x,y,z),[x,y,z]); cos (x) 0 0 (%o2) Para evaluar la matriz hessiana en un punto utilizamos el comando at del modo siguiente. --> at(%,[x=0,y=1,z=0]); (%o3) Ejercicio 223 Realizaremos con Maxima los cálculos de este ejercicio. load(linearalgebra); 13

14 (%o1) C : /P ROGRA 2/M AXIM A 1.0/share/maxima/5.27.0/share/linearalgebra/linearalgebra.mac --> f(x,y):=x^2*y; jacobian([f(x,y)],[x,y]); at(%,[x=1,y=0]); hessian(f(x,y),[x,y]); at(%,[x=1,y=0]); (%o2) (%o3) (%o4) (%o5) (%o6) f (x, y) := x 2 y ( ) 2 x y x 2 ( 0 1 ) ( 2 y ) 2 x 2 x 0 ( 0 ) Ejercicio 224 Comenzamos limpiado la memoria y definiendo la función. f(x,y):=if ([x,y]=[0,0]) then 0 else ((x^3*y-x*y^3)/(x^2+y^2)); (%o1) f (x, y) := if[x, y] = [0, 0]then0else x3 y x y 3 x 2 + y 2 Calculamos las derivadas parciales y asignamos a las expresiones obtenidas el nombre dfdx y dfdy porque las volveremos a utilizar en el cálculo de las derivadas parciales segundas en (0,0). --> dfdx:diff(f(x,y),x); dfdy:diff(f(x,y),y); (%o2) 3 x 2 y y 3 y 2 + x 2 2 x ( x 3 y x y 3) (y 2 + x 2 ) 2 (%o3) x 3 3 x y 2 y 2 + x 2 2 y ( x 3 y x y 3) (y 2 + x 2 ) 2 Las expresiones obtenidas no son válidas en (0,0). Utilizando la definición calculamos las derivadas parciales en (0,0). 14

15 --> dfdx00:limit((f(0+h,0)-f(0,0))/h,h,0); dfdy00:limit((f(0,0+h)-f(0,0))/h,h,0); (%o4) 0 (%o5) 0 Con los datos obtenidos calculamos las derivadas segundas en (0,0) de la forma siguiente. --> dfdxx00:limit((at(dfdx,[x=0+h,y=0])-dfdx00)/h,h,0); dfdxy00:limit((at(dfdx,[x=0,y=0+h])-dfdx00)/h,h,0); dfdyx00:limit((at(dfdy,[x=0+h,y=0])-dfdy00)/h,h,0); dfdyy00:limit((at(dfdy,[x=0,y=0+h])-dfdy00)/h,h,0); (%o6) 0 (%o7) 1 (%o8) 1 (%o9) 0 17 Ejercicio 225 Vamos a comprobar que la derivada parcial segunda con respecto a x e y no es continua en (0,0). Lo haremos comprobando que los límites reiterados no coinciden. f(x,y):=(x^3*y-x*y^3)/(x^2+y^2); g(x,y):=diff(f(x,y),x,1,y,1); limit(g(x,y), x, 0); limit(g(x,y), y, 0); (%o1) f (x, y) := x3 y x y 3 x 2 + y 2 (%o2) g (x, y) := diff (f (x, y), x, 1, y, 1) (%o3) 1 (%o4) 1 15

16 18 Ejercicio 226 Para calcular la derivada direccional en la dirección u debemos en primer lugar calcular el vector unitario en la dirección u, es decir, u/norma(u). --> u:[sqrt(2),3,sqrt(5)]; norma_u:sqrt(u. u); u_unit:u/norma_u; (%o5) [ 2, 3, 5] (%o6) 4 (%o7) [ , 3 4, 5 4 ] Ahora debemos multiplicar escalarmente el vector obtenido por el gradiente en el punto en el que queremos calcular la derivada direccional. Como en este caso ese gradiente coincide con u tenemos que el valor de la derivada buscada es el siguiente. --> u. u_unit; (%o8) 4 19 Ejercicio 227 En primer lugar limpiamos la memoria y definimos la función f. f(x,y,z):=x*y-z; (%o1) f (x, y, z) := x y z Calculamos el vector unitario en la dirección y sentido de (0,1,1). --> u:[0,1,1]; (%o2) [0, 1, 1] (%o3) 2 (%o4) [0, norma_u:sqrt(u. u); u_unit:u/norma_u; 1 1, ]

17 Ahora calculamos el límite que define la derivada direccional. --> limit((f(1+h*u_unit[1],-1+h*u_unit[2],2+h*u_unit[3])-f(1,-1,2))/h,h,0); (%o5) 0 Como complemento calculamos el límite utilizando el gradiente. --> at(jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]),[x=1,y=-1,z=2]); (%o6) ( 1 1 ) 1 --> %. u_unit; (%o7) 0 20 Ejercicio 228 Limpiamos la memoria, definimos la función y calculamos su gradiente en el punto (0,0). f(x,y):=x*cos(x+y); at(jacobian([f(x,y)],[x,y]),[x=0,y=0]); (%o1) f (x, y) := x cos (x + y) ( ) (%o2) 1 0 El coseno del ángulo formado por el gradiente que acabamos de calcular y el vector (1,1) viene dado por la siguiente expresión. --> (%. [1,1])/(sqrt(%. %)*sqrt([1,1]. [1,1])); (%o3) 1 2 Utilizando la función arco coseno obtenemos el ángulo buscado. --> acos(%); (%o4) π 4 17

18 21 Ejercicio 229 La dirección de máximo crecimiento coincide con la dirección del gradiente. Calculamos el gradiente en ese punto para después dividirlo por su norma y obtener un vector unitario. f(x,y):=x^2*(x^2+y^2)^(-1); at(jacobian([f(x,y)],[x,y]),[x=1,y=1]); (%o1) (%o2) f (x, y) := x 2 ( x 2 + y 2) 1 ( 1 2 2) 1 Construimos el vector unitario. --> %*1/sqrt(%. %); (%o3) ) 1 2 (