Capitulo 4 Modelo RBC con trabajo constante *

Transcripción

1 Capiulo 4 Modelo RBC con rabajo consane * Hamilon Galindo Arizona Sae Universiy (ASU) hamilon.galindo@asu.edu Alexis Monecinos Massachuses Insiue of Technology (MIT) alexis.monecinos@sloan.mi.edu Borrador: 8 de julio de 27 Índice. Inroducción 3 2. Consrucción del modelo Familias Empresas Equilibrio de mercado y definición del choque Ecuaciones principales Calibración 8 4. Esado esacionario 5. Log-linealización Efeco susiución y efeco ingreso de la asa de inerés Solución del sisema lineal Méodo de coeficienes indeerminados Análisis de elasicidades Represenación de series de iempo Serie de iempo del capial Serie de iempo del produco Serie de iempo del consumo Serie de iempo de la asa de inerés real brua Serie de iempo de la inversión * Disclaimer: cualquier error u omisión es responsabilidad de los auores. Todos los derechos reservados.

2 8. Funciones impulso-respuesa Simulación de las variables endógenas 4.Componene cíclico de las variables simuladas 43.Cálculo de los momenos eóricos 43 2.Comparación modelo eórico con los daos empiricos 47 3.Códigos 48 2

3 . Inroducción El objeivo de ese capíulo es comprender dealladamene el proceso de consrucción y solución de un modelo de ciclos económicos reales. Además, enender cómo se consruye la simulación de las variables y cómo se obiene la función impulo-respuesa. Para ello, en ese capíulo, se analiza en dealle uno de los modelos propuesos por Campbell (994). El modelo base propueso por Campbell (994) es un modelo esacionario (sin endencia), pero con crecimieno diferene de cero en el esado esacionario. Ese modelo es un exensión del modelo de crecimieno esocásico, el cual permie rasrear los efecos dinámicos de cualquier eveno aleaorio (choque). No obsane, la solución del modelo esocásico es difícil principalmene por las nolinealidades que emergen del mismo modelo, las cuales se derivan de la ineracción enre elemenos muliplicaivos (función de producción Cobb-Douglas) y elemenos adiivos (ley de movimieno del capial). Un caso especial es el modelo propueso por Long y Plosser (983), descrio en el capíulo 3. En ese modelo las no-linealidades desaparecen debido al supueso no realisa que la depreciación es oal; es decir, la asa de depreciación es igual a uno (δ = ), y que además, la función de uilidad es logarímica (u(c, h ) = lnc +θln( h )). En ese caso el modelo llega a ser lineal y puede ser resuelo analíicamene; en los demás casos una solución aproximada es requerida. En línea con lo anerior, Campbell (994) menciona que un paper ípico en la lieraura RBC plasma el modelo y luego se mueve direcamene a la discusión de las propiedades de solución, sin especificar como se llegó a dicha solución. Lo anerior no permie que el lecor enienda el proceso para obener dichas propiedades de solución, ni la solución en sí misma. Ane ello, el auor propone un enfoque analíico simple del modelo de crecimieno esocásico, cuya versión log-lineal puede ser resuelo analíicamene para mosrar el mecanimo de solución lo más ransparene posible. Con el fin de ilusrar el méodo de solución, Campbell (994) lo aplica a cuaro modelos: ] modelo con ofera ed rabajo fija, 2] modelo con ofera de rabajo variable y con función de uilidad adiivamene separable, 3] modelo con ofera de rabajo variable y con función de uilidad no adiivamene separable, y 4] el segundo modelo exendido con un choque de gaso público. Ese capíulo se cenra en el primer modelo (ofera de rabajo consane), dejando para el siguiene capíulo el modelo con ofera de rabajo variable. 2. Consrucción del modelo Ese modelo esá compueso por familias y empresas en un enorno de economía cerrada, en la cual exise un único bien. Por un lado las familias ienen rabajo fijo; es decir, odas las familias esán empleadas. Por oro lado las familias son dueñas del capial y por ano demandan bienes para inverir lo cual a su vez crea una ofera de capial. Asimismo, las familias demandan bienes de consumo. 3

4 De oro lado, las empresas ienen un ecnología para producir el único bien en la economía en función del capial. Por ello las empresas demandan capial. En la figura ] se esquemaiza el modelo. Figura : Esquema del modelo de ofera de rabajo consane Economía cerrada Familias Mercado de capial (compeencia perfeca) Mercado de bienes (compeencia perfeca) c demanda i demanda y ofera k ofera k demanda Empresas 2.. Familias En ese modelo se asume que la economía esá poblada por un conjuno de familias idénicas que ienen vida infinia. La familia represenaiva busca maximizar su función de uilidad desconada: Max E β u(c ) () {c,k + } = Donde c es el consumo del periodo y β es el facor de descueno. Además, la función de uilidad insanánea esá descria por la siguiene forma funcional: = u(c ) = c γ γ (2) 4

5 Propiedades de la función de uilidad La función de uilidad previa iene un coeficiene de aversión al riesgo igual a γ y una elasicidad de susiución ineremporal (del consumo) σ = /γ Cálculo de ESI c +, (σ): u c = c γ ] c γ ] = E βc γ + T MgSI+, c uc = E βu c+ ESI+, c ln( c + c = ) ln(t MgSI+, c ) = T MgSIc +, c + T MgSI+, c c ( c+ c ) La elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ) se eniende como la disposición de la familia de susiuir consumo hoy ( c ) por consumo de mañana ( c + ). Cuando se dice que dicha elasicidad es fuere (σ es grande), se eniende que el consumidor esá dispueso a reducir su consumo hoy en mayor canidad. De oro lado, se asume que la familia es dueña del capial físico (k ), cuya dinámica de acumulación esá represenada por la ley de movimieno del capial: = γ k + = ( δ)k + i (3) Dicho capial (k ) es alquilado a las empresas a una asa de inerés real r. Ese flujo (r k ) posiivo represena los ingresos de la familia, los cuales son disribuidos enre el consumo (c ) y la inversión (i ). Esa equivalencia de flujos, para cada periodo de iempo, esá represenada en la resricción presupuesaria. Problema de opimización c + i = r k (4) El problema de opimización de la familia represenaiva es el siguiene: Max {c,k + } = sujeo a la resricción presupuesaria: E = β c γ γ c + k + ( δ)k = r k Donde la inversión (i ) se ha reemplazado por su expresión derivada de la ley de movimieno del capial (ecuación (3)). Además, cabe mencionar que las variables de conrol, en ese problema de opimización, son: c y k +. El problema de opimización de las familias puede ser escrio como una función de Lagrange: L = E β ( u(c ) + λ r k (c + k + ( δ)k ) )] = 5

6 Donde, de manera similar al capiulo 3 (modelo Lomg y Plosser (983)), la versión exendida de la función de Lagrange se puede expresar de la siguiene manera: L = E {β u(c ) + λ ( r k (c + k ( δ)k ) )] + β u(c ) + λ ( r k (c + k 2 ( δ)k ) )] + β 2 u(c 2 ) + λ 2 ( r2 k 2 (c 2 + k 3 ( δ)k 2 ) )] + β 3 u(c 3 ) + λ 3 ( r3 k 3 (c 3 + k 4 ( δ)k 3 ) )] + β 4 u(c 4 ) + λ 4 ( r4 k 4 (c 4 + k 5 ( δ)k 4 ) )] β u(c ) + λ ( r k (c + k + ( δ)k ) )] + β + u(c + ) + λ + ( r+ k + (c + + k +2 ( δ)k + ) )] +... } +... Las condiciones de primer orden, en el periodo, son: { L = = E β u c + λ ( ) ]} = c u c = λ (5) { L = = E β λ ( )] + β + λ + (r + + ( δ)) ]} = k + λ = βe λ + (r + + ( δ)) (6) Reemplazando le ecuación (5) en la ecuación (6) se obiene la ecuación de Euler: u c = βe u c+ (r + + ( δ)) c γ = βe c γ + (r + + ( δ)) (7) En línea con Campbell (994), se define la variable R como la asa brua de inerés de la inversión en capial de un periodo, el cual es igual a la asa de inerés real nea (r ) más el capial no depreciado ( δ). En el periodo + esa relación se expresa de la siguiene manera. R + = r + + ( δ) (8) Considerando la expresión anerior, la ecuación de Euler endría la forma siguiene: c γ = βe c γ + R + (9) La ecuación de Euler expresa una comparación beneficio/coso marginal de consumir una unidad del bien. Por un lado se iene el coso marginal de dejar de consumir una 6

7 unidad adicional del bien, el cual es expresado por la uilidad marginal u c. Por oro lado se iene el beneficio marginal de no consumir dicha unidad del bien en, la cual en el periodo siguiene + se conviere en ( + r + δ) unidades de bien. Eso se debe a que exise una asa de inerés y una asa de depreciación. La uilidad marginal que brinda esa unidad adicional en + es u c+ R +. Sin embargo, para compararlo con el coso marginal en es necesario raerlo a valor presene por medio del facor de descueno β. Por ano, el beneficio marginal, en, es igual a βu c+ (R + ). Eso se observa en la siguiene ecuación. u c = βe u c+ (r + + ( δ)) coso marginal beneficio marginal Por ano, la ecuación de Euler indica que la familia esá dispuesa a sacrificar consumo hoy hasa que el coso marginal de dejar de consumir una unidad del bien hoy sea igual al beneficio marginal de dicha unidad del bien raido a valor presene Empresas Se asume que las empresas se desarrollan en un conexo de compeencia perfeca ano en el mercado de bienes como en el mercado de facores de producción. En ese escenario, la empresa represenaiva maximiza su función de beneficios sujea a su ecnología (función de producción). Dicho problema de opimización esá descrio de la siguiene manera: Sujeo a la función de producción: Max Π = y r k {k } = y = a α k α () La función de producción solo depende de la producividad a y del capial k debido a que se asume que el rabajo h es consane (fijo). Además, debido a que la empresa no oma decisiones ineremporales, su problema de opimización se realiza para cada uno de los periodos. Por ano, el problema de opimización se puede realizar en y exender el resulado para los siguienes periodos. Inroduciendo la función de producción en la función objeivo y derivando esa úlima con respeco a la única variable de conrol (k ), se obiene la siguiene expresión. Π = = (aα k α r k ) = = ( α) k k a k ] α r = De esa condición de primer orden se obiene la demanda de capial: ] α a r = ( α) () k 7

8 2.3. Equilibrio de mercado y definición del choque Para complear el modelo anes descrio es necesario especificar dos ecuaciones adicionales. La primera describe el equilibrio en el mercado de bienes; es decir, odo lo que se produce en la economía debe enconrar su conrapare en los diferenes componenes del gaso agregado. La segunda especifica el comporamieno de la producividad. Con respeco a esa úlima, usualmene se supone que es esacionaria en media y que iene una varianza consane. La forma esándar de represenarla es asumiendo que la producividad sigue un proceso auorregresivo de orden uno. En ese modelo en paricular, se asume que no exise gaso de gobierno (g = ) y que la economía es pequeña y cerrada. Por ano, oda la producción endrá dos posibles desinos: el consumo (c ) y la inversión (i ). En ese senido, la condición de equilibrio esá descria por la siguiene ecuación: y = c + i (2) De oro lado, la producividad sigue un comporamieno esacionario AR(), en la cual el choque esá represenado por el ruido blanco ɛ, que iene una función de disribución normal con media cero y varianza consane N(, σ 2 ɛ )]. En esado esacionario, se asume que dicho ruido blanco oma el valor de su media. Asimismo, cuando se dice que la economía ha sufrido un choque en = significa que en dicho periodo el ruido blanco (ɛ ) ha dejado de ser cero y ha omado, solo en ese periodo, algún valor proporcional a su desviación esándar (nσ ɛ ). Usualmene, se considera que n es igual a uno. La ecuación (3) describe el comporamieno de la producividad. lna = φlna + ɛ (3) Cabe subrayar que el logarímo de la producividad se compora como un AR() y no la producividad en sí misma. Eso es imporane porque permie que, en el esado esacionario, la producividad sea igual a uno, lo cual evia cualquier división enre cero Ecuaciones principales Las ecuaciones principales del modelo se resumen en cuadro ]: Ese conjuno de ecuaciones represenan un sisema de ecuaciones en diferencias no lineales y esocásicas. Para resolver dicho sisema, como es usual en la lieraura, se ransforma en un sisema de ecuaciones lineales. Eso es debido a que las écnicas maemáicas de solución de sisemas lineales son ampliamene conocidas en la lieraura. La solución del sisema lineal será una aproximación de la solución del sisema no-lineal. Cabe mencionar que un paso previo a la linealización de sisema de ecuaciones es la asignación de valores a los parámeros (calibración) y el cálculo del esado esacionario. 3. Calibración Calibración es una meodología empírica, la cual consise en asignar un valor a los parámeros del modelo de equilibrio general basado en una diversidad de fuenes. Según Heer y Maußner (29), las fuenes mas comúnes son las siguienes: 8

9 Cuadro : Sisema de ecuaciones no lineal del modelo Ecuaciones Descripción c γ = βe c γ + R + Ecuación de Euler y = a α k α Función de producción r = ( α) ] a α k Demanda del capial R = r + ( δ) R es la asa de inerés real (brua) r es la asa de inerés real (nea) que considera la depreciación y = c + i Equilibrio mercado de bienes k + = ( δ)k + i Ley de movimieno del capial lna = φlna + ɛ Choque de producividad Noa: Esas 7 ecuaciones se pueden escribir direcamene en un mod en Dynare para obener la solución del modelo y los IRFs.. El uso del promedio del nivel de variables económicas de series de iempo o el promedio de los raios de dichas variables. 2. La esimación economérica de una ecuación. 3. Referencia a esudios economericos basados en daos microeconómicos o macroeconómicos. 4. Ajusar los parámeros para que el modelo replique cieros hechos empíricos como segundo momenos de los daos o impulso-respuesa de un VAR esrucural. La forma de evaluar el poder del modelo para capurar la realidad es por medio de la comparación de los valores de los segundos momenos y de las funciones impulso-respuesa con los valores obenidos empíricamene. En el cuadro 2] se indica los valores de los parámeros del modelo, los cuales esán basados en Campbell (994). Cuadro 2: Calibración (valores base) Parámero Nombre Suseno anual α =.667 ( α) es la paricipación del capial en el produco δ =.25 Tasa de depreciación % anual ln(r ss ) =.5, lleva a R ss = Tasa de inerés real brua de esado 6.84 % anual:.5 y por ano: β =.9852 esacionario ( +.5) 4 σ =.2 Tlasicidad de susiución ineremporal del consumo φ =.95 Persisencia del choque σ ɛ = Desviación esándar del choque 9

10 4. Esado esacionario Para el cálculo del esado esacionario se considera que la variable x se maniene consane. Enonces, en el esado esacionario se iene que x = x + = x ss. Esa úlima condición se aplica a odas las variables endógenas. Además, en el esado esacionario el choque ɛ ss oma su valor promedio, que es igual a cero. Para la ecuación de Euler se iene lo siguiene: c γ = βe c γ + R + c γ ss = βc γ ss R ss = βr ss R ss = β (4) Para la función de producción: y = a α k α y ss = a α sskss α (5) Para la demanda de capial: r = ( α) r ss = ( α) De la ecuación de la asa de inerés brua: ] α a k ass k ss ] α (6) R = r + ( δ) R ss = r ss + ( δ) por la ecuación (4): β = r ss + ( δ) Para la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes: r ss = ( δ) (7) β y = c + i y ss = c ss + i ss (8)

11 De la misma manera para la ley de movimieno del capial: k = ( δ)k + i k ss = ( δ)k ss + i ss i ss = δk ss (9) Finalmene para la ecuación de comporamieno de la producividad: lna = φlna + ɛ lna ss = φlna ss + ɛ ss =(valor de su media) lna ss = φlna ss ln(a ss ) = ln(a φ ss) a ss = a φ ss (2) Al igual que en el modelo de Long y Plosser (983), dos valores de a ss podrían resolver esa úlima ecuación (2): a ss = o a ss =. Sin embargo, solo cuando a ss =, el lna ss exise. Por ano, la solución correca es a ss =. La venaja de considerar la ecuación del choque de producividad en logarimos es que evia que la producividad en esado esacionario pueda ser cero. Eso es imporane porque evia que en las ecuaciones de esado esacionario y en las ecuaciones log-lineales se encuenre algún número o variable divida por cero. Hasa aquí se ha enconrado el valor de esado esacionario de la asa de inerés brua R ss, de la asa de inerés nea r ss y de la producividad a ss ; sin embargo para enconrar el esado esacionario para las demás variables se iene que hacer algunas operaciones algebraicas adicionales. De la ecuación (6) se iene: r ss = ( α) ] α ass Como ya se conoce el valor de r ss por la ecuación (7) y de a ss, enonces se puede conocer el valor del capial k ss. r ss = ( α) k ss = a ss k ss ] α ass r ss k ss ( α) Debido a que ya se conoce k ss, enonces se puede hallar el valor del produco y ss, de la inversión i ss y del consumo c ss : ] α (2) y ss = a α ssk α ss, de la ecuación (5) (22) i ss = δk ss, de la ecuación (9) (23) c ss = y ss i ss, de la ecuación (8) (24)

12 En el cuadro 3] se resume la expresión del esado esacionario de cada variable del modelo. Esado esacionario (forma recursiva) Cuadro 3: Esado esacionario R ss = β r ss = R ss ( δ) = β ( δ) a ss = = ] α r k ss = a ss β ss = ( δ) ( α) Esado esacionario (forma paramérica) = β y ss = a α ssk α ss = i ss = δk ss c ss = y ss i ss = = δ ] α α ] ( α) β ( δ) α α ] β ( δ) α α ] β +αδ β ( δ) α α ] α Noa: El cálculo de los esados esacionarios se encuenran en Campbell Lfijo.m (sección ). 5. Log-linealización El sisema de ecuaciones que describe el modelo de Campbell (994) es no lineal. Esa caracerísica del modelo dificula la forma de enconrar la solución de dicho sisema. Una forma esándar de abordar esa dificulad es log-linealizar cada ecuación; es decir, converir una ecuación no lineal en una ecuación lineal en érminos de log desviación de la variable con respeco a su esado esacionario. Además, para pequeñas desviaciones del esado esacionario, la log desviación de una variable iene una inerpreación económica imporane: ella es aproximadamene igual a la desviación, en porcenaje, del esado esacionario (Uhlig, 995). La venaja de aplicar log-linealización es que conviere el sisema no lineal en lineal, al cual se le puede aplicar los méodos maemáicos esándar para resolver dichos sisemas (Blanchard y Kahn, 98). En primer lugar, se define la variable en log-desviaciones: x = lnx lnx ss (25) En segundo lugar, despejando la variable x de la ecuación 25] se iene: x = x ss e x (26) En ercer lugar, se hace una aproximación de Taylor de primer orden de e x con respeco al esado esacionario, en el cual x = ; es decir, x = x ss : 2

13 e x x= e x x= = e x= + e x= ( x ) = + x Esa úlima ecuación se reemplaza en la ecuación (26): De la ecuación (28) se despeja x : e x = + x (27) x = x ss e x = x ss ( + x ) (28) x = x x ss x ss (29) Por ano, la variable en log-desviaciones es aproximadamene igual a la desviación, en porcenaje, del esado esacionario. De un puno de visa prácico, se puede reemplazar cada variable por su expresión log-lineal y luego se aplica la aproximación de primer orden según la ecuación (27). Log-linealizando la ecuación de Euler se iene: c γ = βe c γ + R + css eĉ] γ = βe ] γ css eĉ+ Rss e R + ] e γĉ = E e γĉ + e R + e γĉ = E e γĉ ++ R + γĉ = E γĉ+ + R + ] ĉ = E ĉ+ γ R + ] (3) Haciendo lo mismo para la función de producción: y = a α k α y ss eŷ = a ss eâ] α kss e k ] α y ss eŷ = a α sse αâ kss α e ( α) k eŷ = e αâ+( α) k Con respeco a la demanda de capial: + ŷ = + αâ + ( α) k ŷ = αâ + ( α) k (3) 3

14 r = ( α) r ss e r = ( α) r ss e r = ( α) r ss e r = ( α) e r = e α(â k ) ( ) α a k ( ) α ass eâ k ss e k ( ass k ss ( ass k ss + r = + α(â k ) ) α ( e â e k ) α ) α (e α(â k ) ) r = α(â k ) (32) En el caso de la asa brua de inerés, su forma log-lineal se obiene de la siguiene manera: En el equilibrio de mercado de bienes: R = r + ( δ) R ss e R = r ss e r R ss ( + R ) = r ss ( + r ) R = r ss R ss r (33) y = c + i y ss eŷ = c ss eĉ + i ss eî y ss ( + ŷ ) = c ss ( + ĉ ) + i ss ( + î ) y ss + y ss ŷ = c ss + c ss ĉ + i ss + i ss î y ss ŷ = c ss ĉ + i ss î ŷ = c ss y ss ĉ + i ss y ss î (34) La ley de movieno de capial en su forma log-lineal quedaría: k + = ( δ)k + i k ss e k + = ( δ)k ss e k + i ss eî k ss ( + k + ) = ( δ)k ss ( + k ) + i ss ( + î ) k ss + k ss k+ = ( δ)k ss + ( δ)k ss k + i ss + i ss î k ss k+ = ( δ)k ss k + i ss î k+ = ( δ) k + i ss k ss î (35) 4

15 Finalmene, la ecuación de la producividad: lna = φlna + ɛ lna ss eâ = φlna ss eâ + ɛ lna ss + â = φlna ss + φâ + ɛ â = φâ + ɛ (36) El cuadro 4] resume las ecuaciones log-lineal del modelo: Ecuaciones log-lineal ] ĉ = E ĉ+ R ] γ + Cuadro 4: Ecuaciones log-lineal Descripción Ecuación de Euler 2] ŷ = αâ + ( α) k Función de producción 3] r = αâ k ] Demanda de capial 4] R = rss R ss r Tasa de inerés brua 5] ŷ = css y ss ĉ + iss y ss î Equilibrio en el mercado de bienes 6] k+ = ( δ) k + iss k ss î Ley de movimieno del capial 7] â = φâ + ɛ Choque de producividad Noa: Para obener direcamene la solución del modelo con Dynare se puede uilizar el mod Campbell Lfijo Dynare.mod El número de ecuaciones del cuadro 4] se puede resumir en cinco, para ello se inroduce la ecuación de equilibrio del mercado de bienes (ecuación 5) en la ecuación del movimieno del capial (ecuación 6). La variable que relaciona ambas ecuaciones es la inversión. En primer lugar se despeja la inversión de la ecuación 5: î = ŷ c ] ss yss ĉ y ss En segundo lugar, se inroduce esa ecuación en la ley de movimieno de capial: k+ = ( δ) k + i ( ss ŷ c ] ) ss yss ĉ k ss y ss i ss Además, se inroduce la ecuación de la función de producción (y ): k+ = ( δ) k + i ( ] ) ss (αâ ) c ss yss + ( α) k ĉ k ss y ss i ss Ordenando los érminos algrebraicos se iene: k+ = ( δ) + δ( α) y ] ss i ss λ i ss k + δα y ss i ss λ 2 De los coeficienes de la ecuación (37) se demuesra que: δ c ss i ss = λ λ 2 5 â δ c ss i ss ĉ (37)

16 Por ano, la ecuación final es: k+ = λ k + λ 2 â + ( λ λ 2 )ĉ (38) De oro lado, la ecuación 3] (demanda de capial) se inroduce en la ecuación 4] (asa de inerés brua): R = α r ss r R ss R = α r ss â R k ] ss R = λ 3 â k ] (39) Donde en la ecuación previa se ha definido el coeficiene λ 3 : λ 3 = α r ss R ss El cuadro 5] resume las cinco principales ecuaciones log-lineal del modelo de rabajo fijo de Campbell (994). Cuadro 5: Ecuaciones log-lineal (sisema reducido) Ecuaciones log-lineal ] ĉ = E ĉ+ γ R + ] 2] ŷ = αâ + ( α) k 3] R = λ 3 â k ] 4] k+ = λ k + λ 2 â + ( λ λ 2 )ĉ 5] â = φâ + ɛ 5.. Efeco susiución y efeco ingreso de la asa de inerés Anes de resolver el sisema log-lineal es imporane analizar el impaco de la asa de inerés real sobre el consumo. Para abordar ese análisis es muy úil uilizar las ecuaciones log-lineales. La eoría del consumidor sugiere que cuando el precio (p ) de un bien (q ) cambia hay dos efecos sobre el consumidor: primero, el precio de q relaivo a oros producos cambia. Segundo, debido al cambio en p, el ingreso real del consumidor ambién cambia. El cambio del consumo ópimo como resulado de un cambio en el precio coniene ambos efecos. El efeco susiución es el efeco obenido solo por el cambio de precios relaivos, maneniendo consane el ingreso real. Mienras que el efeco ingreso es el efeco obenido solo por el cambio en el ingreso real. La asa de inerés represena el precio relaivo de la canasa en el periodo + (c + ) con respeco a hoy (c ). Por ano, un cambio en la asa de inerés producirá dos 6

17 efecos: susiución e ingreso. Efeco susiución (ES): un incremeno en la asa de inerés real hace que el consumo de mañana c + sea relaivamene menos cososo comparado con el consumo de hoy c. Eso se debe a que el ahorro es más renable para alcanzar el mismo mono de consumo mañana; es decir, el consumidor necesia sacrificar menos consumo hoy. Por ano, el efeco susiución se resume en: R Efeco Susiución c y c + Cabe mencionar que la ecuación de Euler refleja el efeco susiución del consumo. Además, σ es la elasicidad de susiución ineremporal del consumo. ĉ = E ĉ+ γ R + ] La magniud del efeco susiución es conrolado por σ, mienras más grande sea σ mayor será el efeco susiución; es decir: R Efeco Susiución c y c + Efeco ingreso (EI): un incremeno de la asa de inerés produce un efeco ingreso. Si el consumidor iene acivos (bonos o ahorro), un incremeno de la asa de inerés produce mayores ganancias por esos acivos y por ano mayor ingreso. Ese efeco iende a incremenar el consumo en odos los periodos. R Efeco Ingreso c y c + Cabe mencionar que la resricción presupuesaria refleja el efeco ingreso: c + i = r k Un incremeno de la asa de inerés produce dos efecos: ES c y c + (Ecuación de Euler) EI c y c + (Resricción presupuesaria) ET Depende de ESI σ y c + Efeco oal (ET): para observar el efeco final de la asa de inerés sobre el consumo nos basaremos en la resriccón presupuesaria y la ecuación de Euler (de las variables en niveles). 7

18 c + i = r k k (4) pero se sabe : despejando i : (4) en (4) : k + = ( δ)k + i i = k + ( δ)k (4) c + k + ( δ)k = r k k c + k + = (r k + ( δ) )k R c + k + = R k (42) Como se sabe el ingreso de la familia represenaiva en es R k, la cual se resumirá en A. De igual forma para el ingreso en + : R + k + = A +. Reescribiendo la ecuación (42) en érminos de ingreso se iene: c + k + = R k c + R +k + R + = R k c + A + R + = A (43) La ecuación (43) es una ecuanción en diferencias, la cual se puede resolver ierando hacia adelane. Por inducción maemáica hacemos lo siguiene: Luego la ecuación (46) se reemplaza en (45): A = c + A + R + (44) A + = c + + A +2 R +2 (45) A +2 = c +2 + A +3 R +3 (46) La ecuación (47) se reemplaza en (44): A + = c + + A +2 R +2 A + = c + + R +2 (c +2 + A +3 R +3 ) A + = c + + c +2 R +2 + A +3 R +2 R +3 (47) 8

19 A = c + A + R + A = c + (c + + c +2 + A +3 ) R + R +2 R +2 R +3 A = c + + c + + c +2 A +3 + (48) R + R + R +2 R + R +2 R +3 Dividiendo oda la ecuación (48) por R para hacer una generalización (en sumaoria) más sencilla: A c +2 A +3 = c + c R R R R + R R + R +2 R R + R +2 R +3 resumiendo : en una sumaoria... A 2 = + (49) R generalizando para n : A R = s= n s= c +s s j= R +j c +s s j= R +j aplicando Limie cuando : n A c = +s R s j= R +j A R = s= s= c +s s j= R +j A +3 3 j= R +j + A +(n+) n+ j= R +j + Lim n A +(n+) n+ j= R +j =(por ransversalidad) Para enconrar la relación de la asa de inerés con el consumo de hoy es necesario enconrar la relación del c +s con el consumo acual c, para ello se usa la ecuación de Euler (absrayendo el operador expecaiva) para, + y + 2 : (5) Muliplicando esas ecuaciones se iene: c γ = βc γ + R + c γ + = βc γ +2 R +2 c γ +2 = βc γ +3 R +3 9

20 c γ c γ + c γ +2 = β 3 c γ + R +c γ +2 R +2c γ +3 R +3 c γ = β 3 c γ R +3 R + R +2 R +3 R 3 = β 3 c γ +3 R +j c γ generalizando para s : c γ R = β s c γ j= s +s R +j R j= ( c+s c ) γ = despejando c +s : c +s = R β s s j= R +j R β s s j= R +j ] γ c (5) Inroduciendo la ecuación (5) en la ecuación (5): A R = s= A = β s γ R s= A = c R ] R β s γ s c j= R +j s= s j= R +j s j= β s γ R +j ] γ c R /γ s j= ] ] γ R +j R /γ (52) Caso simplificado: para analizar el efeco de la asa de inerés sobre el consumo de hoy c se supone que la asa de inerés es la misma en odos los periodos; es decir, R = R + = R +2 =... = R +j = R. Inroduciendo ese supueso en la producoria de la ecuación (52) se iene: s R +j = R s+ Reemplazando la expresión anerior en la ecuación (52) se iene: j= 2

21 A R = c β s γ R s+ ] ] γ R /γ s= A R = c ] β s γ R (s+) γ R /γ A R = c A R = c s= ] β s γ R (s( γ )+ γ R /γ s= ] β s γ R (s( γ ) R s= ] A = c β s γ R (s( γ ) s= ) s ] A = c (β γ R γ s= Por progresión geomérica de s= ( β γ R γ ) s se iene que: (53) γ s= ( ) s ) ( ) 2 ( ) 3 β γ R γ = + (β γ R γ + β γ R γ + β γ R γ... = Reemplazando la expresión (54) en la ecuación (53) se iene: A = c β γ R γ Aplicando logarímo a la ecuación (55) se iene: ] (54) β γ R γ c = A β γ R γ ] (55) ln(a ) = ln(c ) + ln β γ R γ ] (56) Aplicando la aproximación de Taylor de primer orden a ln β γ R γ ] se iene que: Reemplazando (57) en (56): ln β γ R γ ] β γ R γ (57) ln(a ) = ln(c ) + β γ R γ (58) Tomando diferencial a la ecuación (58) y considerando que A no cambia, y además, = σ (ESI), enonces: ln(c ) = (σ )β σ R σ R ln(c ) R = (σ )β σ R σ (59) 2

22 La ecuación (59) refleja el efeco final sobre el consumo de hoy un movimieno de la asa de inerés real. Una conclusión imporane es que el efeco final depende de la elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ). La expresión siguiene muesra el efeco final sobre el consumo dependiendo del valor de la ESI: σ < ln(c ) R σ = ln(c ) R σ > ln(c ) R > c = R no afeca el consumo < c Caso general: considerando la ecuación (52) y desarrollandola se iene: A = c β s γ R s= A R /γ = c β s γ s= A R /γ s j= s j= ] ] γ R +j R /γ R +j ] γ ] siendo explício en la sumaoria: ] = c + β γ (R R + ) γ + β 2 γ (R R + R +2 ) γ + β 3 γ (R R + R +2 R +3 ) γ... N A = c R /γ + N ] A = c R /γ + c R /γ N (6) Diferenciando la ecuación (6) con respeco a R + y considerando que R j (j ) no depende de R + : A = R /γ c + c R /γ N + c R /γ R + R + R + Desarrollando el diferencial: N R +, N (6) R + 22

23 N = ( R + γ ) β γ (R R + ) γ 2 R + ( γ ) β 2 γ (R R + R +2 ) γ 2 R R +2 + ( γ ) β 3 γ (R R + R +2 R +3 ) γ 2 R R +2 R muliplicando y dividiendo por R + ( = R + γ ) β γ (R R + ) γ 2 R R + + ( γ ) β 2 γ (R R + R +2 ) γ 2 R R + R +2 + ] ( γ ) β 3 γ (R R + R +2 R +3 ) γ 2 R R + R +2 R ( = R + γ ) β γ (R R + ) γ + β 2 γ (R R + R +2 ) γ + β 3 γ (R R + R +2 R +3 ) γ +... ( = R + γ ) N = ( γ ) N (62) R + Inroduciendo la ecuación (62) en la ecuación (6): ] A = R /γ c + c R /γ R + R + R + A = R /γ c + c R /γ R + R + R + A = R /γ Se sabe que A =, enonces: c + c R /γ N + c R /γ N + c R /γ N + R + c R /γ N (63) R + ( γ ) N R + ( γ ) N R + = R /γ c + c R /γ N + R + c R /γ ( = R /γ c + c N + ( γ ) R + ] c N R + = c + c N + ( γ ) R + c N R + = c + N ] + ( γ ) R + c N R + Ordenando algebraicamene los érminos, se iene: γ ) N R + c + N ] = ( γ ) R + c N R + c + N ] = ( c N γ ) R + c c = ( 23 R + N γ ) R + (64) + N R +

24 De la ecuación (64) se puede concluir que el impaco de la asa de inerés del periodo siguiene sobre el consumo de hoy es gobernada por la elasicidad de susiución del consumo ( γ = σ), al como se observó en el caso simplificado. 6. Solución del sisema lineal En el capíulo y 3 se señaló que en la lieraura exisen varios méodos para solucionar sisemas de ecuaciones lineales. En el capíulo 3 se ilusró el méodo de Blanchard y Kahn (98) y dada la nauraleza del modelo de Longy Plosser (983) se pudo obener la solución analíicamene ambién. En ese capíulo se uilizará el méodo de coeficienes indeerminados de Uhlig (999) con el fin de ener un panorama de los disinos méodos de solución. 6.. Méodo de coeficienes indeerminados El méodo de coeficienes indeerminados busca que las variables de conrol esén en función de las variables de esado ( k ) y de la variable exógena (â ). Es decir, de la misma forma que el méodo de Blanchard y Kahn, ese méodo busca la función de políica y la función de esado. Al analizar si cada ecuación log-lineal se encuenra en función del capial ( k ) y de la producividad (â ) se observa, en el cuadro 5], que la ecuación 2] (función de producción) y la ecuación 3] (demanda de capial que considera la asa de inerés brua) dependen de dichas variables. Además la ecuación 5] describe la producividad. Al inroducir la demanda de capial en la ecuación de Euler, dicha ecuación esaría en función del capial y de la producividad: ĉ = E (ĉ + σλ 3 (â + k + )) (65) De oro lado, la ley de movimieno del capial coniene a la variable de esado y al choque: k+ = λ k + λ 2 â + ( λ λ 2 )ĉ (66) Por ano, si enconramos el ĉ y k + en función de ( k, â ), el sisema esaría solucionado. Para ello, bajo el méodo de coeficienes indeerminados, se propone la siguiene solución: ĉ = η ck k + η ca â (67) k+ = η kk k + η ka â (68) En ese conexo, el problema radica en enconrar los valores de los coeficienes: η ck, η ca, η kk, η ka. Con ese fin, el análisis se realizará en cinco pasos: ] Ecuación de Euler: al reemplazar la solución propuesa en la ecuación de Euler (65) se obiene una expresión para los coeficienes η ca y η ck : η ca = η ka(σλ 3 + η ck ) φσλ 3 φ η ca = f(η ka, η ck ) (69) η ck = η kkσλ 3 η kk η ck = f(η kk ) (7) 24

25 2] Ecuación del capial: al reemplazar la solución propuesa en la ecuacion de movimieno del capial (66) se obiene una expresión para los coeficienes η kk y η ka : η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck η kk = f(η ck ) (7) η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca η ka = f(η ca ) (72) 3] Primer coeficiene: para hallar η ck elegimos (7) y (7): η ck = f(η kk ) : η kk = f(η ck ) : η ck = η kkσλ 3 η kk (73) η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck (74) 4] Enconrando η ck : la ecuación (74) se reemplaza en (73), de la cual se obiene: Q 2 η 2 ck + Q η ck + Q = (75) Donde, en primer lugar las dos raices de esa ecuación represenan los dos valores que puede omar η ck. En segundo lugar, el valor de ese coeficiene permie obener el valor de los res resanes, y finalmene, los valores de Q i son: Q 2 = λ λ 2 Q = λ + σλ 3 ( λ λ 2 ) Q = λ σλ 3 Al resolver la ecuación (75) se obiene los dos valores de η ck : η ck = Q + Q 2 4Q 2Q 2Q 2 η ck2 = Q Q 2 4Q 2Q 2Q 2 El signo de η ck que se debe de elegir es posiivo porque eso permie que η kk sea menor a uno, lo cual indica que la ecuación del capial es esable (no explosiva). Para ello, se evalúa el signo de cada Q i : Q 2 < (porque λ > y λ 2 > ) Q > Q > (Q = λ + Q 2 Q /λ ) De lo anerior, se demuesra que η ck2 iene signo posiivo, por ano se elige esa raíz. Eso permie obener los dos coeficienes η ck y η kk : η ck = Q Q 2 4Q 2Q 2Q 2 (76) η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck (77) 25

26 5] Coefienes resanes: para hallar los dos coeficienes resanes η ca y η ka se elige la ecuación (69) y (72): η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca η ka = f(η ca ) η ka y η ca : η ca = η ka(σλ 3 + η ck ) φσλ 3 φ η ca = f(η ka, η ck ) η ca = η ck λ 2 + σλ 3 (φ λ 2 ) φ + ( λ λ 2 )(η ck + σλ 3 ) η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca Con los parámeros calibrados para el modelo base se obiene que: η ck =.3253, η ca =.2643, η kk =.984 y η ka =.55. Finalmene, la solución del modelo para cada una de las variables endógenas son: Solución para el consumo: Solución para el capial: Solución para el produco: Solución para la inversión: ĉ = η ck k + η ca â (78) k+ = η kk k + η ka â (79) ŷ = ( α) k + αâ (8) ŷ = c ss y ss ĉ + i ss y ss î î = y ss i ss (ŷ c ss y ss ĉ ) Reemplazando (78) y (8): î = y ss ( α c ss η ck ) k + y ss (α c ss η ca )â (8) i ss y ss i ss y ss Solución (asa de inerés nea): Solución (asa de inerés brua): 6.2. Análisis de elasicidades r = α(â k ) (82) R = α r ss R ss (â k ) (83) Los coeficienes de la solución de cada una de las variables represenan elasicidades. Eso se debe a que las variables esán expresandas en logarimos. Por ejemplo para el caso del consumo se iene: ĉ = η ck k + η ca â 26

27 Dado que ĉ = ln( c c ss ) y de manera similar para las demás variables se iene: ln( c ) c ss = η ck ln( k ) + η ca ln( a ) k ss a ss ln(c ) ln(c ss ) = η ck (ln(k ) ln(k ss )) + η ca (ln(a ) ln(a ss )) ln(c ) = ln(c ss ) + ln(k ss ) + ln(a ss )] + η ck ln(k ) + η ca ln(a ) Tomando diferencial con respeco al capial (k ) se iene: ln(c ) = η ck ln(k ) c k = η ck c k c c k = η ck k Elasicidad c,k = η ck (84) Como se puede observar la ecuación (84), η ck refleja la elasicidad del consumo ane un cambio del capial. En paricular, η ck mide el efeco del capial ( k ) sobre el consumo acual ( c ), maneniendo consane la producividad ( a ); es decir, si el capial aumena %, el consumo aumena en η ck %. De esa forma se lee odos los coeficienes de la solución del sisema log-lineal. El cuadro 6] resume las elasicidades. Cuadro 6: Coeficienes (elasicidades) de la solución del modelo lineal Elasicidad Expresión Valor η ck = Q Elasicidad del consumo al capial: η ck Elasicidad del consumo a la producividad: η η ca = ca Q 2 4Q 2 Q 2Q η ck λ 2 +σλ 3 (φ λ 2 ) φ +( λ λ 2 )(η ck +σλ 3 ).2643 Elasicidad del capial de mañana al η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck.984 capial de hoy: η kk Elasicidad del capial de mañana a la producividad: η ka η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca.55 Noa: La expresión de las elasicidades y sus valores esán en Campbell Lfijo.m (sección 2). En el análisis de elasicidades dos parámeros son imporanes: la elasicidad de susiución ineremporal del consumo σ y la persisencia del choque φ. Para ver cómo esos parámeros influyen sobre las elasicidades vamos a revisar cada una de las elasicidades. Revisando λ, λ 2 y λ 3 : 27

28 λ = ( δ) + δ( α) y ss i ( ss = ( δ) + δ( α) δ k α ss = ( δ) + ( α) r ss α = ( δ) + ( ( δ)) β ) = β λ = F (β) (85) λ 2 = δα y ss i ( ss = δα δ k α ss ) = α r ss α = α α ( ( δ)) β λ 2 = F (α, β, δ) (86) Revisando Q, Q y Q 2 : λ 3 = α r ss R ss β ( δ) = α β = α( β( δ) λ 3 = F (α, β, δ) (87) Q 2 = λ λ 2 = ( β ) α α ( ( δ)) β β = + αδ ] α Q 2 = F (α, β, δ) (88) Q = λ + σλ 3 ( λ λ 2 ) = λ F (β) + σ λ 3 ( λ λ 2 ) F (α,β,δ) Q = F (σ (+) α, β, δ) (89) 28

29 Q = λ σλ 3 = λ F (β) σ λ 3 F (α,β,δ) Q = F (σ (+) α, β, δ) (9) De qué parámeros dependen las elasicidades (η ck y η kk )? Debido a que Q 2 es negaivo, el componene denro del radical es posiivo. En ese caso σ, que afeca posiivamene a Q y Q, iene un impaco posiivo sobre η ck. De oro lado, Q que se encuenra fuera del radical ambién raslada el efeco posiivo de σ sobre η ck. Cabe mencionar que η ck no depende de la persisencia del choque (φ). η ck = Q Q 2 4Q 2Q 2Q 2 = F (σ (+) α, β, δ) (9) De lo anerior se concluye la siguiene observación: Observación : η ck se incremena a medida que se incremena la elasicidad de susiución del consumo (σ). De oro lado, al analizar el coeficiene η kk se obiene lo siguiene: η kk = λ + ( λ λ 2 )η ck = λ + ( λ λ 2 ) F (β) = δ css iss = λ F (β) = λ F (β) δ c ss i ss δ c ss i ss η ck F (σ (+) α,β,δ) η ck F (σ (+) α,β,δ) F (α,β,δ) η ck F (σ (+) α,β,δ) η kk = F (σ ( ) α, β, δ) (92) De la ecuación (92) se concluye las siguienes observaciones: Observación 2: η ck y η kk no dependen de φ. Observación 3: η kk se reduce a medida que se incremena la elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ). De qué parámeros dependen las elasicidades (η ca y η ka )? η ca = η ck λ 2 + σλ 3 (φ λ 2 ) = F (φ, σ, α, β, δ) (93) φ + ( λ λ 2 )(η ck + σλ 3 ) η ka = λ 2 + ( λ λ 2 )η ca = F (φ, σ, α, β, δ) (94) 29

30 De la expresión (94) se puede ver que η ca iene una relación no lineal con φ y σ. De manera similar para η ka. De lo anerior se concluye las siguienes observaciones: Observación 4: η ca se incremena a medida que φ aumena para valores bajos de σ (σ ), pero se reduce para valores alos (σ > ). Observación 5: η kk y η ka se reducen a medida que se incremena la elasicidad de susiución del consumo (σ). Figura 2: Elasicidades (coeficienes de la solución) η ck η kk Elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ) Elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ) η ca η ka.5 φ= φ=.4 φ= Elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ).7 φ= φ=.4 φ= Elasicidad de susiución ineremporal del consumo (σ) Noa: Cabe mencionar que esos gráficos se obienen del código Campbell Lfijo Sim Parameros.m En el cuadro 7] se mencionan res casos de especial inerés. 3

31 Cuadro 7: Casos especiales Caso Valor de σ Caso σ = Caso 2 σ = Caso 3 σ = Función de uilidad No exise efeco susiución ineremporal Función de uilidad logarimica: u(c ) = ln(c ) Elasicidad η kk = Serie de iempo ln(c ) es un random walk, y ln(k ) y ln(k ) coinegran con el ln(c ) El efeco susiución y el efeco ingreso se anulan. Función de uilidad lineal: η kk =, η ka = φ k se compora como un u(c ) = c AR(), mienras c y y se comporan como un AR- MA(,) 7. Represenación de series de iempo Debido a que se iene la solución del modelo; es decir, cada variable endógena en función de la variable de esado (capial) y de la variable exógena (producividad), considerando además que la producividad se compora como un proceso AR(), enonces se puede hallar la represenación de series de iempo ARMA (p,q) de cada variable. 7.. Serie de iempo del capial De la solución del modelo, en paricular de la ecuación que describe el comporamieno del capial en + en función del capial en y de la producividad se iene: k+ = η kk k + η ka â Donde los coeficienes η kk y η ka han sido hallados previamene. De esa ecuación se puede enconrar la forma auorregresiva del capial ( k + ): ( η kk L) k + = η ka â k+ = Además, Considerando que â se puede expresar como: Enonces se iene que: k+ = η ka (95) η kk Lâ â = φâ + ɛ a = ɛ φl η ka ɛ ( η kk L) ( φl) La expresión anerior demuesra que el capial se compora como un AR(2): dos raices reales (φ y η kk ) y menores a (k + es esable). La expresión AR(2) del capial es: (96) (97) 3

32 k+ = η ka ɛ ( η kk L) ( φl) ( η kk L)( φl) k + = η ka ɛ ( η kk L φl + η kk φl 2 ) k + = η ka ɛ k+ η kk k φ k + η kk φ k = η ka ɛ k+ = (φ + η kk ) k η kk φ k + η ka ɛ (98) 7.2. Serie de iempo del produco De igual manera que en el caso del capial, para enconrar la expresión de series de iempo del produco se pare de la solución del modelo: ŷ = αâ + ( α) k (99) Para enconrar el modelo de series de iempo del produco (y ) se reemplaza en la ecuación previa (98) la expresión de la producividad (en función del error) y la expresión del capial (en función de la producividad). Esa úlima corresponde a la ecuación (96). ŷ = αâ + ( α) k ŷ = α e φl + ( α) η ka ( η kk L)â ŷ = α e φl + ( α) η ka ( η kk L) ŷ = α e φl + ( α) η ka L ( η kk L) e ( φl) e ( φl) () La ecuación () sugiere que el produco se compora como un ARMA(2,): ŷ = ] α + ( α)ηka αη kk ]L ɛ () ( η kk L)( φl) ( η kk L)( φl)ŷ = α + ( α)η ka αη kk ]L ] ɛ ( η kk L φl + η kk φl 2 )ŷ = αɛ + ( α)η ka αη kk ]ɛ ŷ η kk ŷ φŷ + η kk φŷ 2 = αɛ + ( α)η ka αη kk ]ɛ 7.3. Serie de iempo del consumo De la solución del modelo: ŷ = (η kk + φ)ŷ η kk φŷ }{{ 2 + αɛ } + ( α)η ka αη kk ]ɛ }{{ } AR(2) MA() ĉ = η ck k + η ca â El consumo se compora como un ARMA(2,) ĉ = ηca + (η ck η ka η ca η kk )L ( η kk L)( φl) ] ɛ (2) 32

33 7.4. Serie de iempo de la asa de inerés real brua De la solución del modelo: R + = λ 3 (â + k + ) La asa de inerés se compora como un ARMA(2,) ] ( ηka η kk L) R + = λ 3 ɛ (3) ( η kk L)( φl) 7.5. Serie de iempo de la inversión De la solución para la inversión (ecuación (8)): î = ( α c ss η ck ) k + (α c ss η ca ) y }{{ ss y }}{{ ss } η ik η ia î = η ik k + η ia â η ka ɛ î = η ik ( η kk L) ( φl) + η ɛ ia φl ] η ka L î = η ik ( η kk L) + η ɛ ia φl ] ηik η ka L + η ia ( η kk L) ɛ î = ( η kk L) φl ] ηia + (η ik η ka η ia η kk )L ɛ î = ( η kk L) φl Por ano, la inversión se compora como un ARMA(2,): ] ηia + (η ik η ka η ia η kk )L î = ɛ (4) ( η kk L)( φl) 8. Funciones impulso-respuesa La consrucción de la función impulso-respuesa de las variables endógenas requiere de dos eapas. En la primera eapa se ransforma la forma auorregresiva del capial AR(2) a su versión de media móviles MA( ). En la segunda eapa se cuanifica el impaco, en cada periodo, de un choque emporal (de un solo periodo) en cada variable endógena. Primera eapa: se obiene la forma MA( ) del capial. â ( φ L φ 2 L 2 ) k + = η ka ɛ k+ = (φ + η }{{ kk ) k } + η kk φ k + η ka ɛ φ φ 2 k+ = φ k + φ 2 k + η ka ɛ 33

34 Calculando las raices del AR(2): φ L φ 2 L 2 = En facores: (L y )(L y 2 ) = Facorizando y del primer facor e y 2 del segundo: ( ) ( ) y L y 2 L = y y 2 La expresión se reduce a: ( y θ )( L y 2 θ 2 ) L = Muliplicando por (-) a ambos érminos: ( θ L)( θ 2 L) = Por ano: equivalencia de raices (L y )(L y 2 ) = ( θ L)( θ 2 L) = Donde: θ = y Donde: θ 2 = y 2 Uilizando la equivalencia de raices del AR(2): (L y )(L y 2 ) k + = η ka ɛ ( θ L)( θ 2 L) k + = η ka ɛ k+ = η ka ɛ ( θ L)( θ 2 L) Ψ(L) Versión MA( ) del capial: Ψ(L) = + ψ L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L ψ k L k +... k ψ k = = j= θ j θk j 2 k+ = ( + ψ L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L )η ka ɛ (5) 34

35 Con esa expresión calculamos la función impulso-respuesa. La versión exendida de la ecuación (5) es: k+ = ( + ψ L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L )η ka ɛ k+ = η ka ɛ + (ψ η ka )ɛ + (ψ 2 η ka )ɛ 2 + (ψ 3 η ka )ɛ (6) Segunda eapa: en esa eapa se calcula la función impulso-respuesa del capial ane un choque de producividad. En ese caso para el cálculo de la función impulso respuesa del capial se considera que el impulso o choque ɛ se realiza en un solo periodo (el periodo uno) y que oma el valor de una desviación esándar σ ɛ, el cual se asume que es igual a uno; es decir, en =, ɛ = σ ɛ =. El error (ɛ ) omar el valor de cero durane los periodos anes del choque y después del choque. El cuadro 8] muesra la consrucción de la función impulso-respuesa del capial. Cuadro 8: Consrucción de la función impulso-respuesa del capial ɛ Versión MA( ) de k + IFR de k + ɛ = k = η ka ɛ +(ψ η ka ) ɛ +... k = η ka ɛ ɛ = = = k2 = η ka ɛ +(ψ η ka ) ɛ +... k2 = η ka ɛ 2 ɛ 2 = k3 = η ka = = ɛ 2 +(ψ η ka ) ɛ +(ψ 2 η ka ) ɛ +... k3 = ψ η ka ɛ = = 3 ɛ 3 = k4 = η ka ɛ 3 +(ψ η ka ) ɛ 2 +(ψ 2 η ka ) ɛ +(ψ 3 η ka ) ɛ +... k4 = ψ 2 η ka ɛ = = = = 4 ɛ 4 =... k5 = ψ 3 η ka ɛ En = odas las variables se encuenran en su esado esacionario. El capial en =, el cual se deermina en =, ambién se encuenra en esado esacionario. Tal es así que se cumple la ley de movimieno del capial: k = ( δ)k +i, donde k = k = k ss. El choque de producividad se realiza en el periodo = produciendo los siguienes efecos: er Efeco (sobre las empresas): un incremeno de la producividad produce un incremeno en la función de producción para cada nivel de capial. El capial se hace más producivo en = ; es decir, con el mismo capial se puede producir más. Por ano, la demanda de capial aumena. 2do Efeco (sobre las empresas): el aumeno de la demanda de capial permie que la asa de inerés en = se incremene: r (r r ), r > r. Eso se debe a que la ofera de capial en = se maniene consane ya que no se ve afecada por el choque de producividad. 3er Efeco (sobre las familias): el incremeno de la asa de inerés real produce un efeco ingreso sobre el consumo: = r (r > r ) r k > r k c 35

36 Figura 3: Efeco sobre la función de producción Y Y Y B Y Y A Kss = K = K K r Figura 4: Efeco sobre la demanda de capial Ok = Ok r r B A Dk Dk Kss = K = K K 4o Efeco (sobre las familias): el incremeno de la asa de inerés inceniva el ahorro, el cual en economía cerrada es igual a la inversión. Enonces la inversión pasa de i a i (i > i ). El impaco de una mayor inversión se observa en el incremeno de la ofera de capial en el siguiene periodo ( = 2) Por ano: k 2 = ( δ)k + i i > i k 2 > k 5o Efeco (sobre las empresas y las familias): como el impaco del choque de producividad iene persisencia; es decir, sus efecos son posiivos aunque cada vez menores en el iempo. En = 2 la función de producción se incremena generando que la demanda de capial ambién se incremene, pero en menor magniud que lo observado en =. Eso produce que la asa de inerés real en = 2 sea menor que en = (r 2 < r ); sin embargo, sigue siendo mayor que el valor en =. Enonces dado que el individuo compara su 36

37 Figura 5: Efeco sobre la ofera y demanda de capial r Ok = Ok Ok2 r2 r r B A C Dk2 Dk Dk Kss = K = K K2 K Cuadro 9: Valores de la función impulso-respuesa (variales log-lineales) ŷ k+ ĉ î R â Noa: Debido a que el choque se realiza en el primer periodo ( = ), el valor de las variables en = es cero. Cabe mencionar que esos valores se obienen del código Campbell Lfijo.m (sección 4) siuación en cada periodo con respeco a = (esado esacionario), enonces esa mayor asa de inerés (r 2 > r ) produce dos efecos sobre el consumo: r 2 > r : Efeco susiución c c 2 r 2 > r : Efeco ingreso r 2 k 2 > r k c 2 Por ano el efeco final de la asa de inerés sobre el consumo, para σ pequeño, es: EI > ES c c 2 El cuadro 9] muesra los valores de la función impulso-respuesa de las variables endógenas del modelo. Para leer correcamene esos valores se debe de recordar que esas funciones corresponden a las variables log-lineales, las cuales por ejemplo para el produco esá expresada de la siguiene manera: ŷ = ln(y ) ln(y ss ) o en su forma reducida ŷ = ln y y ss ]. 37

38 Figura 6: Función impulso-respuesa de las variables macroeconómicas log-lineales.7 Produco.7 Capial.35 Consumo Inversión.3 Tasa de inerés real brua Producividad Noa: Esas funciones impulso-respuesa corresponde a las variables log-lineales; es decir a ŷ, k, ĉ, î, r y â. Cabe mencionar que esos gráficos se obienen del código Campbell Lfijo.m (sección 4). En línea con lo anerior, según el cuadro 9] el valor del produco (log-lineal) en = es igual a cero. Es decir, ŷ = ln y ] y ss =. La única solución para esa expresión es que y y ss =, lo cual conlleva a que y = y ss. Eso quiere decir que cuando la variable log-lineal ŷ se encuenra en el valor cero, eso significa que la variable en niveles y se encuenra en su esado esacionario. De oro lado, en = el valor del produco (log-lineal) es igual a.667, en el cual se cumple: ŷ =.667 = ln y ] y ss. Resolviendo la segunda igualdad se iene que y y ss = e.667 y Por ano, y ss = +.667, lo cual conlleva finalmene a y = ( +.667)y ss. En = ŷ =.667 y = ( +.667)y }{{ ss } variable log-lineal variable en niveles Por ano, el valor (.667) de la función impulso respuesa en = significa que la variable produco en niveles (y ) esá 66.7 % por encima de su nivel de esado esacionario (y ss ). 38

39 En la figura 6] y el cuadro 9] se puede observar lo siguiene:. En = (anes de choque) odas las variables permanecen en su esado esacionario. Por ano, las variables log-lineales en = son iguales a cero ( x ss = ln ( ) x ss x ss = ln() = ). 2. En el periodo del choque ( = ), ɛ oma el valor de su desviación esándar, en ese caso igual a. 3. El primer efeco del choque de producividad es un incremeno en la función de producción, la cual incremena de producividad marginal del capial P Mgk ; es decir, la demanda del capial en (D k ). 4. El incremeno de la demanda de capial aumena la asa de inerés de hoy ( R ). Eso se debe a que la ofera del capial es perfecamene inelásica (verical) porque es fijada en el periodo anerior k. 5. R produce un Efeco Ingreso (EI): ( R k ) 6. El efeco ingreso incremena el c y i 7. i expande k + (ofera del capial de + ). 8. Lo anerior produce una caída de la asa de inerés en + ( r + ), pero aún esá por encima de su esado esacionario; es decir, es más ala que la asa de inerés anes del choque R, lo cuál inceniva a la familia rasladar consumo de hoy hacia mañana +. Es decir, exise un efeco susiución que es gobernado por la elasicidad de susiución del consumo. Para poder ver esa relación revisemos la ecuación de Euler log-lineal: ĉ = E ĉ+ γ R + ] Aquí se puede observar que si la asa de inerés de + se incremena en % enonces el consumo hoy se reduce en γ (elasicidad de susiución del consumo). Todo ello es el efeco susiución que produce la asa de inerés. 9. R + (pero por encima del esado esado esacionario) produce dos efecos: Efeco Susiución (ES) y Efeco Ingreso (EI).. Efeco susiución (de la asa de inerés): R + > R ĉ. Efeco ingreso (de la asa de inerés): R + > R ĉ + De la figura 7] se puede concluir algunas ideas. La primera conclusión es que el capial es más grande en unidades que cualquier ora variable. Por ejemplo, el valor de esado esacionario del capial es de unidades, la cual es mayor en gran medida con respeco a las demás variables (el valor de esado esacionario del produco es de 2.87 unidades). 39