TEMA 1 Revisión de fundamentos de análisis tensorial

Transcripción

1 EMA 1 Revsón de fundmentos de nálss tensol ESAM

2 1. 1. Intoduccón Escles, vectoes exsten ndependentemente de un sstem de efeenc Repesentcón: - sstem de efeenc - componentes que dependen del sstem de efeenc COMPONENES + LEY DE RANSFORMACIÓN Intoduccón ESAM

3 1. 2. nsfomcón de coodends Mgntud escl: no dependen del sstem de efeenc Mgntud vectol: oentcón del sstem de efeenc, no módulo y s sus componentes Z X Z Y X Y OXYZ: OX Y Z : v ( v1, v2, v)? v ( v1, v 2, v ) nsfomcón de coodends ESAM

4 nsfomcón de coodends de un mgntud vectol: u 1 u 2 u : vectoes untos sstem OXYZ u u u 1 2 : vectoes untos sstem OX Y Z Z Z Y X X Y nsfomcón de coodends ESAM

5 v v1 + 12v2 1v v v1 + 22v2 2v v + 1v1 + 2v2 v Escto en fom mtcl: v v v v v v 1 2 v R v R mtz de otcón cuys componentes son los cosenos dectoes nsfomcón de coodends ESAM

6 1.. ensoes y leyes de tnsfomcón Escles y vectoes son sufcentes p descb tods ls mgntudes físcs y ls elcones que exsten ente ells? F KX - MEDIO ISÓROPO Y ELÁSICO: K es un escl - MEDIO ANISÓROPO: K opedo mtemátco cpz de modfc módulo y sentdo 1.. ensoes y leyes de tnsfomcón ESAM

7 ENSOR: cet clse de entdd geométc o mtemátc que pemte descb ls mgntudes físcs y ls elcones que exsten ente ells REPRESENACIÓN EN COMPONENES: - númeo de componentes: n m n: dmensón m: oden del tenso - descpcón complet: COMPONENES + LEY DE RANSFORMACIÓN 1.. ensoes y leyes de tnsfomcón ESAM

8 ENSORES GENERALES ENSORES CARESIANOS L MECÁNICA DEL MEDIO CONINUO se puede desoll con ENSORES CARESIANOS En un espco tdmensonl ( m ): - ENSOR DE ORDEN CERO: Númeo de componentes: 1, escl Ley de tnsfomcón: ndependente del sstem de efeenc 1.. ensoes y leyes de tnsfomcón ESAM

9 - ENSOR DE ORDEN UNO: Númeo de componentes: 1, vecto Ley de tnsfomcón: otcón sstem de efeenc ctesno OXYZ OX Y Z v Rv R mtz de los cosenos dectoes 1.. ensoes y leyes de tnsfomcón ESAM

10 - ENSOR DE ORDEN DOS: Númeo de componentes: 2 9, MARIZ X Ley de tnsfomcón: otcón sstem de efeenc ctesno OXYZ OX Y Z R R 1 R R R mtz de los cosenos dectoes 1 R R : Mtz otogonl, Bses otonomles 2.. ensoes y leyes de tnsfomcón ESAM

11 1. 4. pos de tensoes de segundo oden Repesentcón mtcl de un tenso de oden dos: ENSOR SIMÉRICO: j j, 6 componentes ndependentes - ENSOR ANISIMÉRICO: j j, componentes ndependentes - ENSOR DIAGONAL: j s j - ENSOR ESFÉRICO: tenso dgonl con ENSOR UNIDAD: tenso esféco con pos de tensoes de segundo oden ESAM

12 1. 5. Deccones pncples de un tenso de segundo oden Sstem de EJES PRINCIPALES: l mtz que epesent el tenso es dgonl Deccones de los ejes pncples: VECORES PRINCIPALES O AUOVECORES v P λ v P De est expesón se deduce como elz el cálculo Deccones pncples ESAM

13 ESAM CÁLCULO DE AUOVALORES Y AUOVECORES: ) Autovloes: 2 1 λ λ λ λ λ λ b) Autovectoes: ejes pncples ) ( ) ( ) ( c b λ λ λ ),, ( c b v ( 1,2,) Deccones pncples

14 POLINOMIO CARACERÍSICO: 2 det( λi) λ + ( ) λ ( ) λ + det( ) Invntes del tenso: ndependentes del sstem de efeenc - RAZA O INVARIANE LINEAL: I INVARIANE CUADRÁICO: I INVARIANE CÚBICO: I det( ) Deccones pncples ESAM

15 1. 6. Popeddes de los tensoes smétcos Popeddes físcs: tensoes de segundo oden smétcos PROPIEDADES: - Exste sstem de efeenc de ejes pncples - Autovloes eles - Invntes: I 1 λ 1 + λ2 + λ I 2 λ 1λ2 + λ2λ + λλ1 I λ1λ 2λ Popeddes de los tensoes smétcos ESAM

16 1. 7. Cmpos tensoles Cmpos tensoles: cd punto del espco se le soc un tenso. -Un CAMPO ESCALAR es un cmpo tensol de oden ceo. -Un CAMPO VECORIAL es un cmpo tensol de pme oden. -Un CAMPO ENSORIAL DE ORDEN DOS soc un mtz cd punto del espco Cmpos tensoles ESAM

17 1. 8. Ejemplos Ejemplo 1: El tenso de nec u (cosα,cos β,cosγ ) I [ cos β cosα cosγ ] I I I X XY XZ I I Y I XY YZ I I I Z XZ YZ cos β cosα cosγ Ejemplos ESAM

18 ESAM Ejemplo 2: El tenso de tensones γ β α σ τ τ τ σ τ τ τ σ z yz zx yz y xy zx xy x z y x t t t u t Ejemplos