EJERCICIOS PROPUESTOS

Transcripción

1 10 Vectores EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Ejercicio resuelto Indica dos vectores equipolentes para cada uno de los siguientes CB, MH y AC : Vectores equipolentes de CB : KA, DO, LJ, EN, FP, MI y GH Vectores equipolentes de MH : LP y DN Vectores equipolentes de AC : JD y PE 3 Expresa GH y JK en función de OA, OB y OC GH = GE + EL + LH = CE + EF OC = OB + OA OC = OA + OB OC JK = JM + MO + OC + CK = OA OB + OC + OA = OA OB + OC y 5 Ejercicios resueltos 18 Unidad 10 Vectores

2 6 Escribe, si es posible, el vector u = ( 5, 1, w = ( 1,1, como combinación lineal de los vectores v = ( 0,1, 3 y Se debe intentar calcular λ y µ tales que u =λ v +µ w ( 5, 1, =λ( 0,1, 3 +µ ( 1,1, Si el sistema 5 = µ 1 =λ+µ = 3 λ+ µ es compatible, se podrá escribir u como combinación lineal de v y w En este caso se obtiene la solución λ= 4, µ= 5 y, por tanto, u = 4v 5w 7 Comprueba, en cada caso, si los vectores u, v y w forman o no una base de V 3 : w = = 3,4, v =,1, 3, s ( 0, 3,0 a u (, ( b u = ( 1,3,, v = (,,, w = ( 5,17, 14 c u = ( 4,8, 8, v = ( 3,0, 10, w = ( 3,0,3 a = = Sí forman base b 1 3 = = No forman base c = = Sí forman base 8 Calcula las coordenadas del vector a = ( 7, 13,8 { } en la base u = (, 4, 4, v = ( 0,0,, w = ( 9, 9,6 Se debe comprobar que, efectivamente, u, v y w forman una base de V 3 : = 7 36 = Sí forman base ( 7, 13,8 (, 4, 4 ( 0,0, ( 9, 9, 6 =λ +λ +λ 1 3 λ1 9λ 3 = 7 4 λ 1 9 λ 3 = 13 Resolviendo el sistema se obtiene su única solución λ 1 = 1, λ = 1, λ 3 = 1 4 λ 1 λ + 6 λ 3 = 8 Por tanto: a = u + v + w Las coordenadas de a en esta base son ( 1,1,1 Vectores Unidad 10 19

3 9 Calcula las coordenadas de los vectores de la base canónica en la base u =, 4, 4, v = 0,0,, w = 9, 9,6 { ( ( ( } i = ( 1,0,0 j = ( 0,1, 0 k = ( 0,0,1 u, v y w forman base porque = 7 36 = = λ1 9λ ,0,0 =λ1, 4,4 +λ 0,0, +λ3 9, 9,6 0 = 4λ1 9 λ3 λ 1 =, λ =, λ 3 = = 4 λ 1 λ + 6 λ 3 ( ( ( ( Por tanto, ( 1,0,0 1 1 = u + v w = λ1 9λ ,1,0 =λ1, 4,4 +λ 0,0, +λ3 9, 9,6 1 = 4λ1 9 λ3 λ 1 =, λ =, λ 3 = = 4 λ 1 λ + 6 λ 3 ( ( ( ( Por tanto, ( 0,1, = u v w = λ1 9λ3 1 0,0,1 =λ1, 4,4 +λ 0,0, +λ3 9, 9,6 0 = 4λ1 9λ3 λ 1 = 0, λ =, λ 3 = 0 1 = 4 λ 1 λ + 6 λ 3 ( ( ( ( Por tanto, ( 0,0,1 = 1 v 10 Calcula el valor o valores de a, si es que existen, para que u, v y w sean linealmente dependientes u =, a,3 v = 1,, a w = 5,,4 ( ( ( Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado con sus coordenadas debe ser nulo a 3 1 a = a a 4a = 0 5a 0 = 0 a =, a = 5 4 Luego los valores de a son y 11 a 13 Ejercicios resueltos 130 Unidad 10 Vectores

4 14 Dados los vectores u = (,,4 y v = ( 1,, 3 a ( u+ 3v ( u 3v b ( u+ v ( u 3v + ( 3u+ v ( 3u v c ( u v ( u+ 3v ( 3u v ( 3u+ v calcula: = 4, 4,8 + 3, 6,9 4, 4,8 3, 6,9 = 1, 10,17 7,, 1 = 30 u + v u 3v + 3u + v 3u v = a ( u v ( u v ( ( ( ( ( ( b ( ( ( ( (,,4 (, 4,6 (,,4 ( 3, 6,9 ( 6, 6,1 ( 1,,3 ( 6, 6,1 (, 4,6 = = = ( 0, 6,10 ( 5,4, 5 + ( 5, 8,15 ( 8,,6 = = = c ( u v ( u 3v ( 3u v ( 3u v (,,4 (, 4,6 (,,4 ( 3, 6,9 ( 6, 6,1 ( 1,,3 ( 6, 6,1 (, 4,6 = + + = = ( 4,, ( 1, 8,13 ( 7, 4,9 ( 4, 10,18 = = a Comprueba si los vectores u = ( 1,, 3 y v = ( 4,1, b Calcula un vector perpendicular a u = (,, son o no perpendiculares cuya primera coordenada sea 0 = 1,, 3 4,1, = = 0 a u v ( ( Sí son perpendiculares b ( 0,1, 1 16 Calcula, en cada caso, el valor de la incógnita para que los vectores u y v sean perpendiculares =, 1,5 =, + 1, 1 =,, + v = x+ 3,1, 4 x a u ( x v ( xx c u ( x xx ( b u = ( x+ 1, 3, x 1 v= ( 1, xx, d u = ( 3 x, 1, 4 x + v = ( x 3,3, 3x u v = 0 x, 1,5 x, x+ 1, 1 = x x 1 5 = 0 x x 6 = 0 a ( ( 1± ± 7 3 x = = x =, x = 4 4 ± u v = 0 x+ 1, 3,x 1 1, xx, = x+ 1 3x+ x x= 0 x x+ 1= 0 x = 4 4 = 1 b ( ( u v = 0 x, x,x+ x+ 3,1, 4x = x + 6x x 4x 8x = 0 x 3x = 0 c ( ( 3 x( x 3 = 0 x = 0, x = u v = 0 3 x, 1,4 x+ x 3,3, 3x = 3x 9x 3 1x 6x = 0 9x 15x 3 = 0 d ( ( x = +, x = 6 6 Vectores Unidad

5 u = 1+ m i + j k 17 Existe algún valor de m para que los vectores ( perpendiculares? Y paralelos? y v = i mj + k sean Si existe algún valor de m para que los vectores u y v sean perpendiculares, entonces su producto escalar ha de ser cero u v = 0 + m m = 0 m = 0 Si existe algún valor de m para que los vectores u y v sean paralelos, entonces debe cumplir: 1+ m 1 = = m 1 Luego: 1+ m = m = 5 1 y 1 1 = m = m 1 Por tanto, no existe un valor de m para que los vectores u y v sean paralelos 18 Calcula el valor de u v sabiendo que u+ v = 45 y u v = 10 u + v u v u v = u + v = u + v u v u + v u v u v = u + v = u v + u v u + v u v = u v + u v u + v u v = 4u v ( 45 u v = 4 10 u v = = 5 u v = 5 19 Sean u y v dos vectores ortogonales de módulos 4 y 3, respectivamente Calcula el módulo de u+ v y de u v u v = u v u v = u u v + v ( ( ( ( u + v = u + v u + v = u + u v + v u y v ortogonales u v = 0 u + v = u + v u + v = u + u v + v = = 5 u + v = 5 = 5 ( ( u v = u v u v = u u v + v = = 5 u v = 5 = 5 ( ( 13 Unidad 10 Vectores

6 0 Los vectores u y v definen el paralelogramo de la figura Se sabe que: u = 5 v = 13 u v = 15 a Expresa los vectores que definen las diagonales como combinación lineal de u y v b Calcula la medida de las dos diagonales a D = u + v b d = u v u v = u+ v u v u+ v = u + v + u v = = 68 D = 68 u v = u + v u v u v = u + v u v = = 8 d = 8 1 Desarrolla y simplifica las siguientes expresiones u v u v a ( ( b 4u ( u v c ( u 3v ( u+ v d ( u+ v ( u v u v = u v u v = u u v + v a ( ( 4u u v = 4u u 4u v = 8u 4u v b ( u 3v u+ v = u u+ u v 3v u 3v v = u u+ u v 3u v 3v v = u u v 3v c ( ( u + v u v = u u u v + u v v v = u v d ( ( a 5 Ejercicios resueltos 6 Calcula el ángulo que forman los vectores u = (,,0 y v = (,, 1 u v cosα= = = 0 α= arccos 0 = 90º u v Los vectores son perpendiculares Vectores Unidad

7 7 a Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al vector x = 4i + 4j 7k b Calcula todos los vectores que sean paralelos a AB = ( 1, 4, 8 y que tengan por módulo el triple que el módulo de AB a Todos los vectores paralelos a x son de la forma ( 4 λ,4 λ, 7λ Obligando a que su módulo valga la unidad: ,, 1 λ= λ + 16λ + 49λ = 1 81λ = 1 λ = λ=,, b Todos los vectores paralelos a AB son de la forma (, 4, 8 λ λ λ Obligando a que su módulo valga = 3 9 = 7 : 7 λ= = 3 ( 3, 1, 4 79 λ + 16λ + 64λ = 7 81λ = 7 λ = 9 81 λ= 7 = 3 3,1,4 9 ( 8 Calcula dos vectores linealmente independientes y que sean ambos perpendiculares al vector 1 u =,, v1 =,, v = 0,, 5 9 Calcula los valores de k para que los vectores u = ( k, k,0 y v = ( k, k, formen un ángulo de 45º k + k k k cos 45º = = = = k + = k k + k k + k + k k + k + k = 1 k + = k k + = 4k k = 1 k = 1 30 Comprueba que no existe ningún valor de k para el cual los vectores u = ( k,1,1 ángulo de 45º y v = ( 1,, k formen un u v k + + k cos 45º = = = = k + k + 3 = ( k + ( k + 3 = 4 u v k k k + k k + 3k + k = 0 k + 5k + = 0 No tiene solución Por tanto, no existe ningún valor de k para que los vectores u y v formen un ángulo de 45º 134 Unidad 10 Vectores

8 31 Dado el vector u = ( 1,,3 : a Calcula el ángulo que forma con cada uno de los tres vectores de la base i, j y k b Calcula la medida de las proyecciones de u sobre cada uno de los vectores de la base i, j y k i = ( 1,0,0 j = ( 0,1,0 k = ( 0,0,1 u i cosα= cos, = = = α= arccos 105º30' u i a ( ui b u j cosβ= cos ( uj, = = = β= arccos 57º 41' u j u k cos γ= cos ( uk, = = = γ= arccos 36º 4' u k u i proyi u = = 1 = 1 i u j proy j u = = = j u k proyku = = 3 = 3 k 3 a 34 Ejercicios resueltos 35 Calcula las coordenadas de un vector que sea ortogonal a los vectores u = ( 1,,0 módulo sea la unidad Cuántos vectores de estas características existen? y v = ( 1,, y cuyo i j k u v = 1 0 = 4i + j + 4k = ( 4,,4 1 Por tanto, todos los vectores perpendiculares a u y v a la vez deberán ser de la forma: ( 4 λ, λ,4λ Obligando a que este vector tenga por módulo 1, se obtiene los valores de λ : λ + 4λ + 16λ = 36λ = 1 6λ=± 1 λ=, λ= Los vectores buscados son w 1 =,, y w =,, Calcula los valores de x e y para que el vector ( v = i j + k y w = j + 3k u = 1+ x i + yj k sea ortogonal a los vectores i j k v w = 1 1 = 5i 6 j + 4k v w = ( 5, 6,4 El vector u debe llevar la misma dirección que 0 3 v w = 5, 6,4 y, por tanto, debe ser proporcional a él Luego: ( 1+ x y 3 = = x =, y = Vectores Unidad

9 37 Dados los vectores u = ( 3,1, y v = ( 3, α, a Calcula el valor de α para que los vectores sean paralelos b Calcula el valor de α para que los vectores sean perpendiculares Para este valor, calcula u v a Para que sean paralelos deben ser proporcionales: 3 1 = = α= 1 3 α b Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser nulo: 3 ( 3 +α = 0 9 +α 4 = 0 α= 13 i j k u v = 3 1 = 8i + 4k u v = 8,0, ( 38 a Calcula las coordenadas de los vectores u y v de la figura en la base canónica { i, jk, } b Calcula el área del paralelogramo determinado por u y v v a u = ( 1,,, = (,3,1 i j k b u v = 1 = 4i + 3 j k u v = ( 4,3, Por tanto, el área del paralelogramo es: A= u v = = 6 u 39 y 40 Ejercicios resueltos 136 Unidad 10 Vectores

10 41 Dados los vectores u = ( 1,3,6, v = ( 1, 8, 5 y w = ( 3,4, 5, calcula: a [ uvw,, ] c [ u v, u w, w ] u vu v w d b [ +,,3 ] u+ v, u vu, w ,, = = = a [ uvw ] ,,3 = = = b [ u vu v w ] i j k c u v = = 63i j + 11k u v = ( 63, 1, i j k u w = = 39i + 13 j 13k u w = 39,13, ( u v, u w, w = = = d u+ v, u vu, w = = Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u = (, 3,7 w = ( 13,, 7, v = ( 1,0,5 y V P 3 7 = uvw,, = = = 45u Calcula los valores de k para que los vectores AB = ( 1, k, 3, AC = ( k,1, 4 y AD = ( 3,0, : a Determinen un paralelepípedo de volumen de 11 unidades cúbicas b Determinen un paralelepípedo de volumen de 39 unidades cúbicas a 1 k 3 AB, AC, AD = k 1 4 = 1k 9 k = 11 k + 1k + 18 = 0 k + 6k + 9 = ( k + 3 = 0 k = 3 b 1 k 3 AB, AC, AD = k 1 4 = 1k 9 k = 39 k + 1k + 46 = ± 56 k + 6k + 3 = 0 k = No existe ningún valor real de k para el que se cumpla la condición Vectores Unidad

11 44 Calcula los valores de k para que los vectores AB = (, k,4, AC = ( 5,1, k ningún paralelepípedo Cómo deben ser estos tres vectores? y AD = ( 7,6, 1 no determinen Los tres vectores deben ser linealmente dependientes Su producto mixto debe ser nulo: k 4 AB, AC, AD = 5 1 k = k 8 + 1k + 5k = 0 7k 17k 90 = ± ± k = = k = 5, k = Si los módulos de los vectores u, v y w son 1, 14 y 15 respectivamente, entre qué valores está comprendido el valor absoluto de su producto mixto? ( ( ( u, v, w u ( v w u v w cos u = =, v w = u v w sen v, w cos u, v w ( El valor máximo absoluto del producto mixto uvw,, se obtiene cuando sen vw, máximo, es decir, uno Por tanto: uvw,, = u v w = = 50 ( El valor mínimo absoluto se obtiene cuando sen vw, Por tanto: uv,,w = 0 ( o cos uv, w ( y cos uv, w toman su valor toman su valor mínimo, es decir, cero 46 Calcula el volumen y una de las alturas del prisma de la figura El volumen del prisma será: ( 0, 5, 0, ( 15, 0, 15, (, 0, 10 = = = La altura es el cociente entre el volumen y el área de la base: h = = = = 4 ( 0, 5, 0 ( 15, 0, Ejercicio interactivo 48 a 54 Ejercicios resueltos 138 Unidad 10 Vectores

12 EJERCICIOS Vectores libres en el espacio 55 Observa la figura: a Indica un vector equipolente de cada uno de los siguientes: FL, FE y EB b Compara el módulo dirección y sentido de las parejas de vectores: i AF y BE ii FE y BA c Indica dos vectores del mismo módulo y dirección que EJ pero con diferente sentido a Vectores equipolentes de FL : AG, BH, CI, DJ, EK Vector equipolente de FE : LK Vectores equipolentes de EB : KH, JI, DC b i AF y BE tienen igual dirección e igual sentido y sus módulos son diferentes y verifican que BE = AF ii FE y BA tienen diferente dirección y, por tanto, no tiene sentido comparar sus sentidos c Sus módulos son iguales JE y IB 56 Dados los vectores u, v y w cuyas coordenadas respecto de la base canónica son u = i + 3j k, v = 3i + j + 3k y w = i + j k, calcula las coordenadas de los siguientes vectores referida a la misma base: 1 a u+ 3v w c u + v w b u v w d ( u v + ( u+ 3v 3w u = (,3, 1 v = ( 3,,3 w = ( 1,1, a u+ 3v w = ( 4,6, + ( 9,6,9 ( 1,1, = ( 6,11, = 1,, + 1, 8, 1 +,, =,, b u v w ( c u+ v w =,, + 1,, +,, =,, =, 6, 0 + 4,, = 18,, d ( u v ( u v w ( Vectores Unidad

13 Calcula los valores de a, b y c para que se verifique la igualdad: au + bv + cw = ( 3,,0 (,, 4 sabe que u = ( 3,0,, v = (, 1, 4 y w = ( 3, 1, 1 si se au + bv + cw = ( 3,,0 (,, au + bv + cw =,, ( 3a + b + 3 c, b c, a + 4b c =,, 4 Por tanto: 3a + b + 3c = b c = a =, b =, c = a + 4b c = 58 Decide si los siguientes tríos de vectores u, v y w son linealmente independientes o linealmente dependientes En qué casos los tres vectores u, v y w forman una base de V 3? = 1,1, 1 = 1, 1,1 w = 1,1,1 a u (, v (, ( b u = ( 1,, 3, v = (, 1,3, w = ( 5,0,3 c 1 3 u =,,, 4 1 = 0,, v, w = ( 1, 0, 10 Tres vectores linealmente independientes de V 3 forman base Si son linealmente dependientes, no forman base a b c = = 4 0 Sí forman base de V = = 0 No forman base de V = = 0 No forman base de V Calcula la relación que ha de existir entre a y b para que los vectores u = ( a,, b, v = ( 3,, a w = (,4,0 sean linealmente independientes y a b a + a 3 a = 1b 4a 4b 4a = 0 a + a b = 0 b = 4 0 Por tanto, la relación entre a y b para que los vectores u, v y w sean linealmente independientes es: a + a b 140 Unidad 10 Vectores

14 60 Calcula el valor o los valores de k para que los vectores u, v y w no formen una base de V 3 =,, 5 = 4,1, 7 w = k,5, 3 a u ( v ( ( b u = ( 1, k,3 v = (,4, 6 w = ( k, 5,9 c u = ( 1,,3 v = ( 4, 1, k w = ( k + 1, k,11 a = 19k 15 = 0 k = = 8 k = 8 k k 3 b 4 6 = 6k 30k 4 = 0 k = 4, k = 1 k 5 9 c k = k 11k + 80 = 0 k = 16, k = 5 k + 1 k Para cada caso, comprueba si los vectores u, v y w forman una base de V 3 y, en caso afirmativo, expresa a = 1, 30, 4 como combinación lineal de los vectores de esa base el vector ( a u = ( 1,0,, v = ( 1,3,, w = ( 5, 9, b u = (,3, 1, v = ( 1, 1,, w = ( 1,,1 a = = 60 0 Sí forman base de V ( 1, 30,4 ( 1,0, ( 1,3, ( 5, 9, =λ +λ +λ 1 3 λ1 λ 5λ 3 = 1 3λ 9λ 3 = 30 λ 1 =, λ = 1, λ 3 = 3 λ 1 λ + λ 3 = 4 Por tanto, a = u v + 3w Las coordenadas de a en esta base son: (, 1, 3 b = = 0 No forman base de V Se sabe que los vectores u, v y w son linealmente independientes Estudia, para cada caso, si los vectores, a, b y c son o no linealmente independientes a a = u 4v + w b = u v + 3w c = 3u v + 3w b a = u v + w b = u v + 4w c = u 4v + 6w a b = = 13 Sí son linealmente independientes = = 0 Sí son linealmente dependientes Vectores Unidad

15 63 a Comprueba que los vectores u = (, 1, y v = ( 1, 3, son linealmente independientes b Indica un vector w 1 tal que u, v y w 1 sean linealmente independientes Formarán los tres una base de V 3? c Indica un vector w tal que u, v y w sean linealmente dependientes Formarán los tres una base de V 3? a Dos vectores de V 3 son linealmente independientes si no son proporcionales: 1 Son linealmente independientes 1 3 b Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante no nulo hará que los tres sean linealmente independientes Por ejemplo, w 1 = ( 1,0,0 : = c Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante nulo hará que los tres sean linealmente dependientes Por ejemplo, w = u + v = ( 3, 4,0 : = = No forman base porque son linealmente dependientes 64 a Comprueba que los vectores u = ( 1, 1, 3, v = ( 1,, y = ( 1,5, 17 w son linealmente dependientes Se puede escribir cualquier otro vector a como combinación lineal de u, v y w? a = 4, 6, como combinación lineal de u, v y w b Intenta escribir ( a = = Al no formar base u, v y w, no es posible que cualquier otro vector de V 3 pueda escribirse como combinación lineal de ellos (Eso no quiere decir que algunos particulares sí se puedan escribir b ( 4, 6, ( 1, 1, 3 ( 1,, ( 1,5, 17 =λ +λ +λ F F1+ F F3 5 F F F3 3F1+ F Sistema compatible indeterminado Como, por ejemplo, una solución es λ 1 =, λ =, λ 3 = 0 el vector a sí se puede escribir como combinación lineal de u, v y w : a = u + v + 0w 14 Unidad 10 Vectores

16 65 a Calcula los valores de k para que los vectores u = ( 1, k,, v = ( k +, k 1, k y w = ( 4, 3,4 dependientes b Para 0 c Para 0 d Para = 1 k =, intenta escribir a = ( 6, 4, 4 k =, intenta escribir b = ( 3,,0 k, intenta escribir = ( 3,,0 como combinación lineal de u, v y w como combinación lineal de u, v y w b como combinación lineal de u, v y w sean linealmente a 1 k k + k 1 k = 4k + 4 6k 1 + 4k 8k + 8 3k 4k 8k = 9k = 0 k = Para cualquier valor k 0, los vectores u, v y w son linealmente independientes b ( 6, 4,4 ( 1,0, (, 1,0 ( 4, 3,4 =λ +λ +λ F3 4 F F F3 F1 F Sistema compatible indeterminado Como, por ejemplo, una solución es λ 1 =, λ = 4, λ 3 = 0, el vector a sí se puede escribir como combinación lineal de u, v y w : a = u + 4v c ( 3,,0 ( 1,0, (, 1,0 ( 4, 3,4 =λ +λ +λ F3 4 F F F3 F1 F Sistema incompatible El vector a no se puede escribir como combinación lineal de u, v y w d ( 3,,0 ( 1,1, ( 3,0,1 ( 4, 3,4 =λ +λ +λ F F 1 F F 3 7F 3F F 3 3 F1 F Sistema compatible determinado con única solución: λ 1 =, λ =, λ 3 = El vector a sí se puede escribir como combinación lineal de u, v y w : a = u + v w Vectores Unidad

17 Producto escalar de vectores 66 Calcula el producto escalar de los vectores u y v a u = ( 3,5, 10 v = ( 1,,1 b u =,, v =,, = 3,5, 10 1,,1 = = 17 a u v ( ( b u v =,,,, = + + = Dados los vectores u = ( 3,5, 10 a u ( 3v y v = ( 1,,1, calcula los productos escalares b u 4v u+ v u v u v v c ( 3 = 6,10 0 3,6, 36 = = 76 a u ( v ( ( b u 4 v u+ v =,,,, = + + = = + = c u v ( 3u 3v v ( 9,15, 30 ( 3, 6,36 ( 1,, =,,1941 ( 1,,1 = 68 Calcula el valor o los valores de k para que se verifiquen las siguientes igualdades: a ( ( k k, 3,4,1,3 = 5 b ( k ( k kk 1,, +,, 4 = c 1 1 k 1 9,, k,, k = a k 3 + 3k + 1 = 5 5k = 4 k = 4 5 b k + k + k 4k = k 3k = 0 k = 0, k = 3 k 1 9 k c + + k = k + = 0 16k + k 17 = 0 k = 1, k = Unidad 10 Vectores

18 69 Se considera el tetraedro regular ABCD de la figura de arista a a Calcula los productos escalares AB AC y AB AD b Calcula el producto escalar AB CD Qué puedes concluir? 1 a a AB AC = AB AC cos60º = aa = 1 a AB AD = AB AD cos60º = aa = = + = + = + a a AB CD AB CA AD AB CA AB AD AB AC AB AD = + = 0 b ( Las aristas AB y CD son perpendiculares Aplicaciones del producto escalar 70 Dados los vectores u = ( 1, 1,, v = ( 1,,3 calcula: a Los módulos de u y de v b El producto escalar de u v c La medida del ángulo que forman u y v d La medida de la proyección de v sobre u a u = 1 + ( 1 + = 6, v = ( = 14 b u v = 1 ( 1 + ( = 3 c ( u v 3 3 = = = ( 3 cos uv, uv, = arccos 70º 53' 36'' uv d Proyección de v sobre u u v 3 : proy vu = = u 6 Vectores Unidad

19 71 Los módulos de tres vectores u, v y w son 4, 4 y respectivamente Los vectores siguen las direcciones y sentidos de los vectores de la base canónica y, por tanto, son perpendiculares dos a dos a Halla las coordenadas de u, v y w y de u+ v + w b Determina el módulo del vector suma c Calcula el valor de los ángulos que el vector suma forma con cada uno de los vectores u, v y w a Se puede tomar las direcciones de los ejes coordenados como las de los tres vectores dados: u = 4i, v = 4 j, w = k s = u + v + w = y el vector suma vendrá determinado por las coordenadas ( 4,4, b u+ v + w = = 36 = 6 c ( s u 16 = = = ( cos su, su, = arccos 48º11' 3'' su s v 16 ( = = = ( cos sv, sv, = arccos 48º11'3'' sv s w 4 1 ( = = = ( 1 cos sw, sw, = arccos 70º31' 44'' sw Halla el valor o los valores de α para que los vectores u = ( 3,,5α y v = ( 1, 1, α sean perpendiculares Para que dos vectores no nulos sean perpendiculares es necesario y suficiente que su producto escalar sea nulo: ( 3,, 5α ( 1, 1, α = 3 + 5α = 0 α= 1, α= 1 73 Se consideran los vectores de coordenadas a = ( 1,, 1, b = ( x,1, y y c = (, x + y,0 a Calcula los valores de x e y para que el vector a sea perpendicular al vector b c y para que el vector b sea perpendicular al vector c a b Demuestra que, para los valores de x y de y hallados, el vector c es perpendicular al vector a b a a ( b c = 0 ( 1,, 1 ( x,1 x yy, x 3y = x =, y = ( = ( ( + + = 1 b c a 0 x,1, y 1, x y,1 x y 1 1,1,0,1, = = 0 c es perpendicular a a b b ( 146 Unidad 10 Vectores

20 74 Calcula las coordenadas de todos los vectores que lleven la misma dirección que u = ( 1,, 1 módulo 15 unidades de longitud y tengan por Todos los vectores paralelos a u son de la forma ( λ, λ, λ Obligando a que su módulo valga 15: λ=, 150, 75 λ + 4λ +λ = 15 6λ = 15 λ = λ=, 150, 75 Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al vector u = (1,, 1 Todos los vectores paralelos a u son de la forma ( λ, λ, λ Obligando a que su módulo valga 1: λ=,, λ + 4λ +λ = 15 6λ = 1 λ = λ=,, Calcula el ángulo que forman los vectores: = 4, 4,7 v = 1, 8, 4 a u ( y ( b c a b c u =,, y v =,, u =,, y v =,, cosα= u v = = α= arccos = 84º 0' u v cosα= u v = = 3 4 α= arccos = 51º53' u v u v cosα= = 6 3 = 0 α= arccos 0 = 90º u v Calcula el valor de k para que los vectores y u = (,,0 y v = ( 0, k, formen un ángulo de 60º u v k 1 cos60º = = = 4k = 3 + 8k 16k = 3 + 8k 8k = 3 u v 8 4+ k ( k = FALSA, k = Por tanto, el único valor de k es Vectores Unidad

21 78 Calcula las coordenadas del vector proyección de u = ( 6, 6,17 sobre el vector v = ( 6,10,15 u v = = 159 > 0 Por ser proy v u de la misma dirección y mismo sentido que v, será de la forma: proyv u = 6 λ,10 λ,15 λ ( para algún λ positivo Obligando a que el módulo de proy v u valga: u v = =, se obtiene el valor de λ : v proyv u = 36λ + 100λ + 5λ = 19λ= λ= El vector proyección buscado es proy v u =,, Calcula las coordenadas del vector proyección de u = ( 4,4,7 sobre el vector v = ( 1,, u v = = 10 < 0 Por ser proy v u de la misma dirección y diferente sentido que v, será de la forma: proy v u = λ,, ( λ λ para algún λ negativo Obligando a que el módulo de proy v u valga u v = 10, se obtiene el valor de λ : v proy vu = λ + 4λ + 4λ = 3λ= λ= El vector proyección buscado es proy v u =,, Dos vectores u y v verifican que u = 15, v = 1 y u v = 5 a Calcula el producto escalar u v De qué tipo es el ángulo que forman u y v? b Calcula el ángulo que forman u y v c Calcula el ángulo que forma u v con el vector v a u + v u v u v = = = 18 Al ser el producto escalar negativo, los vectores u y v formar un ángulo obtuso b ( u v 18 = = ( cos uv, 0,7111 uv, arccos( 0, º 0' u v 15 1 c ( ( u v v u v v = = ( cos u vv, 0,9067 u vv, arccos( 0,9067 = 155º3' u v v Unidad 10 Vectores

22 81 Los módulos de dos vectores valen 40 y 30 unidades de longitud, respectivamente El módulo de la suma de dichos vectores es 50 unidades de longitud Calcula el ángulo que forman los vectores suma y diferencia de los dos considerados u v = u + v u v = = 0 u v = u + v u v = 0 u v = u + v = 50 u v = 50 u + v u v = u v = = 700 ( ( ( u + v ( u v 700 cos ( u vu, v 0,8 ( u + = = = + vu, v arccos( 0,8 = 73º 44' u + v u v En física, se define el trabajo de una fuerza constante sobre una partícula como el producto escalar de dicha fuerza por el vector desplazamiento de dicha partícula Con esta información, calcula qué trabajo ha ejercido una fuerza, F = (, 3,4 (N sobre una partícula que se ha movido entre los puntos A( 1, 0, 3 y B (,, (m Vector desplazamiento: AB = (,, ( 1,0, 3 = ( 1,,5 =, 3,4 1,,5 = = 16 Por tanto, el trabajo de la fuerza F sobre la partícula es: F AB ( ( J Producto vectorial de vectores 83 Calcula el producto vectorial de los vectores u = i + 3j k y v = 4i + 3j 5k i j k u v = 3 = 9i + 18 j + 18k u v == 9,18, ( 84 Expresa los vectores MN y PQ calcula su producto escalar y su producto vectorial como combinación lineal de los vectores de la base canónica { i, j, k} y MN = i + k PQ = i + j MN PQ =, 0, 1,1, 0 = ( ( i j k MN PQ = 0 = i + j + k Vectores Unidad

23 85 a Calcula el producto vectorial u v de los vectores u = ( 0,, 4 y v = ( 1,3,3 b Calcula el módulo de u v c Calcula el seno del ángulo que forman u y v i j k a u v = 0 4 = 18i 4 j k b u v = = 344 c u v senα= = = = u v Calcula el producto vectorial de los vectores u y v y demuestra que el vector resultado es perpendicular a los dos dados: = 1, 3,5 v = 3,,4 a u ( y ( b u =,, y v =,, 3 6 i j k a u v = = i 19 j 11k u v = (, 19, u v u = + = u v u ( i j k b u v = = i j + k u v =,, u v u = + = 0 u v u ( u v v = + = u v v ( u v v = + + u v v ( 87 Dados los vectores u = ( 1,, 1 y v = (,1, 0 : a Demuestra que u y v son perpendiculares b Escribe, con ayuda de parámetros, todos los vectores x tales que verifiquen que u x = v c Qué hubiera ocurrido si u y v no hubieran sido perpendiculares? = 1,, 1,1, 0 = + = 0 u y v son perpendiculares a u v ( ( + = i j k c b x = a, b, c u x = 1 1 = c+ b i a+ c j + b a k = i + j a+ c = 1 a b c b a = 0 b ( ( ( ( a = 1 λ, b = λ, c = λ x = 1 λ, λ, λ ( c No habría ninguna solución, ya que el producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de ellos 150 Unidad 10 Vectores

24 Aplicaciones del producto vectorial 88 Calcula las coordenadas de un vector que sea perpendicular a los vectores u = ( 1,,3 y v = ( 0, 1, que su módulo mida 9 6 unidades de longitud Cuántos vectores de estas características existen? y tal i j k u v = 1 3 = 7i + j + k 0 1 Todos los vectores ortogonales a u y a v son de la forma ( 7 λ, λλ, Como el módulo debe ser 9 6, entonces: 49λ + 4λ +λ = 54λ = 486 λ = 3 o λ= 3 Existen dos vectores con las características requeridas: ( 1, 6, 3 y ( 1, 6, 3 89 Calcula todos los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores u = i + 3j k v = 4i + 3j 5k y i j k u v = 3 = 9i + 18 j + 18k El vector ( 9,18,18 tiene la misma dirección que el vector ( 1,, Todos los vectores ortogonales a u y a v son de la forma ( λ, λ,λ Como el módulo debe ser 1, entonces: λ + 4λ + 4λ = 9λ = 1 λ = 3 o λ= Existen dos vectores con las características requeridas: 1,, y 1,, Calcula el área del paralelogramo determinado por los vectores: = 1, 1,0 v = 0,1, 1 a u ( y ( b u = ( 1,, y v = (,1, 1 c u =, 1, y v =,,1 4 i j k a u v = = i + j + k A = u v = = i j k b u v = 1 = ( i + 3j + ( 1+ k A u v ( ( 1 1 u = = = 4 u i j k c u v = 1 = i + j + k A = u v = + 1+ = u Vectores Unidad

25 91 Calcula el área del triángulo determinado por los vectores u = (, 1, 3 y v = ( 4, 4, 10 i j k u v = 1 3 = i + 3 j + 1k A = u v = = 93 u 9 Calcula los posibles valores de a para que el área del paralelogramo determinado por los vectores u =, a, 3 v = 4, 1, 5 valga 633 u ( y ( i j k u v = a 3 = ( 5a 3 i j ( + 4a k ( ( ( ( 5a a = 633 5a a = a 14a 136 = 0 14 ± a = a =, a = La fuerza de Lorenz es la fuerza que sufre una partícula con carga eléctrica q cuando se mueve con una velocidad u dentro de un campo magnético B y viene dada por la expresión F = qv B Un protón cuya (T Determina el valor de la carga es de 1, C, entra un campo magnético uniforme B = ( 1,,3 fuerza sobre el protón en el instante en que su velocidad es: v = 3,1,5 (ms 1 a ( v (ms 1 b = (,1,0 c v paralela a B y con un valor de 5 ms 1 a 19 0 F = ( ( = ( 1,6 10 3,1,5 1,, , 4,11 (J b 19 0 F = ( ( = ( 1,6 10,1,0 1,, , 96,80 (J c Como v es paralela a B, entonces qv también es paralelo a B, luego qv B = 0 Por tanto, F = 0 Producto mixto de vectores 94 Calcula el producto mixto de los vectores u, v y w a u = (,4, 5, v = (,,5, w = (,4,6 b u =,,, v =,, 1, w =,, ,, = 5 = = a [ uvw ] ,, = 1 = = b [ uvw ] 15 Unidad 10 Vectores

26 95 Calcula el producto mixto de los vectores u = i + 3j 4k, v = 10i + 3 j k y w = 4i + j 4k 1 3 4,, = 10 3 = = [ uvw ] 96 Dados los vectores u = (,1, 1, v = (,,1 uvw,, = vwu,, y w = ( 1,, 3, comprueba que se verifica la igualdad uvw,, = 1 = = 5 vwu,, = 1 3 = = Aplicaciones del producto mixto 97 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: a u = ( 0,,, v = ( 3,0, 1, w = ( 3, 8,0 b u = (,0,0, v = (, 1,4, w = ( 10,, 36 0 VP = uvw,, = = 48 6 = 54 u a [ ] 0 0 VP = uvw,, = 1 4 = 190 = 190 u b [ ] 98 Dada la figura: a Calcula las coordenadas de los vectores u, v y w b Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores a u = ( 1,0,3, v = ( 0,5,3 y w = ( 1,5,0 b [ ] [ ] uvw,, = = = 30 V= uvw,, = 30 = 30 u Vectores Unidad

27 99 Calcula los valores de a para que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores u = i + aj + 5k, v = 8i + j 9k y w = ai + 3 j valga 173 unidades cúbicas 1 a 5 5 ± u, v, w = = a + 5a + 7 = 9a + 5a = 173 9a + 5a 6 = 0 a = a =, a = a Síntesis 100 Se considera el vector de coordenadas u = ( 1,1,1 a Escribe, con ayuda de los parámetros necesarios, la expresión de todos los vectores ortogonales a u a = 3 0,3 como suma de dos vectores, uno de los cuales sea paralelo a u y el otro b Descompón el vector ( ortogonal a u a Los vectores serán de la forma ( αλµ,, pero debe verificarse que su producto escalar sea nulo: ( 1,1,1 ( αλµ,, = 0 α+λ+µ= 0 α=λ+µ Los vectores pedidos son de la forma ( λ+µλµ,, x +λ+µ= 3 3,0,3 = xxx,, + λ+µλµ,, x+λ= 0 x x+ 3 x= 3 x +µ= 3 b ( ( ( ( ( ( x =, λ=, µ= 1 3,0,3 =,, + 1,,1 101 Dados los vectores u = (,1, 3, v = (,, 1 a Calcula el producto escalar u 3v y w = ( 1,,0 : b Calcula el producto vectorial u w c Calcula el producto mixto uvw,, 3 = 4,, 6 6, 6, 3 = = 18 a u v ( ( i j k b u w = 4 6 = 4i + 1 j 1k ,, = 1 = c [ uvw ] 154 Unidad 10 Vectores

28 10 Dados los vectores u = ( 1, 1, 0, v = ( 3,,3 y w = ( 1,1, 3, calcula: a El área del paralelogramo determinado por u y v b El volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w c La medida de la altura del paralelepípedo sobre la cara determinada por u y v i j k a u v = = 3i 3 j + k u v = ( 3, 3,1 A u v ( ( 3 3 = = = 19 4,36 u uvw,, = 3 3 = 3 VP = uvw,, = b [ ] u 3 V c h = = A P 3 19 u 103 Calcula: a El valor de x para que los vectores u = ( 1, x, 0 y v = ( x + 3,, 8 calcula el área del paralelogramo determinado por los dos vectores sean ortogonales y, para ese valor hallado, b Todos los valores de y que hacen que los vectores ortogonales del apartado anterior junto con el vector w = y, 1, y + 1 determinen un paralelepípedo de 0 unidades cúbicas de volumen ( a Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo Entonces: u v = 0 x x = 0 x = 1 u = 1, 1, 0, v =,, 8 ( ( i j k A= u v = = 8i + 8 j + 4k = = 1 u 8 1 = = y 4 0 si y y uvw,, = 8 = 1y 4 1y 4 = 0 3 y 1 y y = 0 si y < y = 3 3 b [ ] CUESTIONES 104 Se consideran u y v vectores de V 3 no nulos, no iguales y no opuestos Demuestra que se verifica la siguiente propiedad u = v u + v y u v son perpendiculares + = + u v u v u u v u v v = 0 u + v u v ( ( entonces ( u + v ( u v = 0 Como u + v u v Por tanto: u u v + u v v = 0 u = v u = v Vectores Unidad

29 105 Se consideran u y v vectores de V 3 no nulos, no iguales y no opuestos Demuestra que se verifica la siguiente propiedad u + v = u v u y v son perpendiculares Por el ejercicio 104 sabemos que dos vectores tienen el mismo módulo si y solo si su suma y su diferencia son perpendiculares Considerando los vectores a = u+ v y b = u v, entonces, a = b a + b a b Por tanto: u + v = u v u + v + u v u + v u v u v u v ( 106 Dado el vector u= ui 1 + uj+ uk 3 : a Demuestra que u es un vector unitario u b Calcula los cosenos de los ángulos que forma u con los vectores i, j y k de la base canónica u u a = = 1 u u b u = ( u, u, u i = ( 1,0,0 j = ( 0,1,0 k = ( 0,0,1 1 3 ( u i u1 u1 cos ui, = = = ui u 1 u ( u j u u cos uj, = = = u j u 1 u ( u k u3 u3 cos uk, = = = uk u 1 u 156 Unidad 10 Vectores

30 107 Indica, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a Si u, v y w son tres vectores no nulos de V 3 tales que u y v son linealmente dependientes, entonces u, v y w también son linealmente dependientes b Si u, v y w son tres vectores no nulos de V 3 tales que u y v son linealmente independientes y v y w son linealmente independientes, entonces u, v y w también son linealmente independientes c u+ v = u + v d Si u v = u w y u 0 v = w e Si u v = u w y u 0 v = w a Verdadero u y v son linealmente dependientes u = λv u = λ v + 0 w u, v y w son linealmente dependientes b Falso u = 1, 0, 0, v = 0,1, 0, w = 1,1, 0 Por ejemplo, ( ( ( c Falso Por ejemplo, si u = ( 1,0,0, v = ( 0,1,0, entonces, ( d Falso Por ejemplo, si u = ( 1,1, 0, v = ( 1, 0, 0, w = ( 0,1, 0 e Falso Por ejemplo, si u = ( 1, 0, 0, v = ( 0,1, 0, w = ( 1,1, 0 u + v = 1,1, 0, u + v =, u + v =, entonces u v = u w = 1 y v w, entonces: i j k i j k u v = = k, u w = = k, v w Vectores Unidad

31 PROBLEMAS 108 Un avión viaja en dirección Este Oeste partiendo del punto A y con una velocidad de 800 km/h a Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla en dirección Norte Sur Determina dicha velocidad verdadera dando su módulo y el ángulo que forma con la dirección Este Oeste b Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla del Noreste al Sudoeste (La dirección del viento forma 45º con el Oeste y 45º con el Sur a La velocidad del avión es v = 800 km/h La velocidad del viento es v s = 100 km/h El módulo de la velocidad verdadera será: v r = = = 806,5 km/h La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección Este Oeste: cosα= = α= arccos 7º 8' b La velocidad del avión es v = 800 km/h La velocidad del viento es v s = 100 km/h El módulo de la velocidad verdadera será: r v = cos135º = ,085 v = 873,577 km/h La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección Este Oeste: ,577 = senα= 0,081 α= 4º 39' senα sen135º r 158 Unidad 10 Vectores

32 109 Un barco se dirige hacia el este con una velocidad propia de 1 km/h en un momento en que la corriente es de 3 km/h en dirección al SW Encuentra la velocidad verdadera del barco La velocidad propia del barco es v = 1 km/h La velocidad de la corriente es v = 3 km/h El módulo de la velocidad verdadera será: v = cos 45º = 10,088 v = 10,104 km/h r La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección W E: 3 10,104 = senα= 0,1 α= 1º7' senα sen45º r 110 Dos remolcadores arrastran hacia el puerto un petrolero según el esquema de la figura Si cada uno tira del barco remolcado con una fuerza de 10 5 N, calcula el ángulo que forman los dos cables entre sí sabiendo que la resultante tiene un valor de 1, N Llamando α al ángulo formado por la resultante y uno de los dos remolcadores, y utilizando el teorema del coseno, se obtiene: Operando resulta: = , ,5 10 cosα cosα= 0,75 α= 41º 4' Multiplicando por se obtiene el ángulo entre los dos remolcadores: 8º 48' 111 Se considera el octaedro regular ABCDEF de la figura y la base de V 3 formada BC, BE, BA por { } a Indica los ángulos que forman los vectores de la base b Escribe los vectores BD, AD y AF en función de los vectores de la base c Calculando el producto escalar AF BD demuestra que las rectas AF y BD son perpendiculares Recuerda que un octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros ( = a (, = BC BE 90º, BC BA 60º ( BE, BA = 60º b BD = BC + BE AD = AB + BD = BA + BC + BE = BC + BE BA AF = AB + BF = AB + AD = BA + BC + BE BA = BC + BE BA c Suponiendo que los lados del octaedro miden todos a unidades de longitud AF BD = BC + BE BA BC + BE = BC BC + BC BE + BE BC + BE BE BA BC BA BE = ( ( 1 = a a a cos60 a cos60º = a 4a = a a = 0 Vectores Unidad

33 PARA PROFUNDIZAR 11 Las coordenadas del vector a respecto de la base de V 3 { uvw,, } son a = ( 8,4,1 a respecto de la base canónica si u = i + 3j k, v = i + j k a = 8u + 4v + w = 8i + 3j k + 4 i + j k + i + j + k = ( ( ( = 16i + 4 j 8k 4i + 8 j 4k + i + j + k = 14i + 34 j 11k 113 Las coordenadas del vector a respecto de la base de V 3 { u1, uu 3} coordenadas de a respecto de la base { v, v, v } v = u u + 3u Se supone que a = 10u 8u + 3u = xv + yv + zv Halla las coordenadas de y w = i + j + k son a = ( 10, 8,3 Halla las v = u 3u + u, v = u 1 + u u 3 y si Entonces: 10u 8u + 3u = xv + yv + zv = x u 3u + u + y u + u u + z u u + 3u = ( ( ( = x+ y+ zu + x+ y zu + x y+ zu ( ( 3 ( 3 Por tanto, se resuelve el sistema: 1 3 x + y + z = 10 3x + y z = 8 x y + 3z = F 3F1+ F F3 6F+ 7F3 3 3 F3 F1+ F El sistema es compatible determinado con solución única: x = 3, y = 3, z = 1 Por tanto: a = 3v + 3v + v Unidad 10 Vectores

34 114 a Demuestra que: ( u v + u v = u v b Calcula los módulos de los vectores u y v sabiendo que son iguales y que sus productos escalar y vectorial valen: u v = 08 u v = 85, 6,10 ( a Sea α el ángulo que forman los vectores u y v, entonces: u v + u v = u v cosα + u v senα = u v cos α+ u v sen α = ( ( ( = u v α+ α = u v ( cos sen ( b ( + = = ( + ( + ( u v u v u v u u = u = u = v = = Se consideran los vectores de V 3 : u = u 1,0,0 u v w a Calcula ( u w v u v w b Calcula ( ( ( v = v v (,,0 1 c Calcula el valor de u ( v w si u = ( 1,,3, v = ( 1, 4, y w = ( 3,3, 1 w = w w w (,, 1 3 i j k v w v1 v vw3i vw 1 3j vw 1 vw1 k w w w a = 0 = + ( 1 3 i j k u ( v w = u1 0 0 = ( uvw uv 1 w1 j uvw 1 1 3k v w vw vw v w = = = b ( u w v ( u v w uwv 1 1 uvw 1 1 uw 1 1( vi 1 vj uv 1 1( wi 1 wj w3k = uwv uvw i + uwv uvw j uvw k= uwv uvw j uvw k ( ( ( u v w u w v u v w Se deduce que ( = ( ( w c u = ( 1,,3, v = ( 1, 4, y = ( 3,3, 1 u v w = u w v u v w = v w = + = ( ( ( ( ( ( 1,4, 15 ( 3,3, 1 ( 33, 3,9 Vectores Unidad

35 AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has aprendido 1 En el tetraedro ABCD de la figura se consideran los vectores u = AB base del espacio V 3 Escribe, en función de los vectores u, v y w medio del segmento de extremos D y C v y w = AD que forman una el vector BM donde M es el punto = AC DC = DA + AC = AC AD = v w AM = AD + DM = AD + DC = w + ( v w = v + w 1 1 BM = BA + AM = AB + AM = u + v + w Dados los vectores u = ( 1, 1, 0, v = (, 1, y w = ( 0, 3,3 : a Prueba que son linealmente independientes Forman base de V 3? a = 8,7, 18 como combinación lineal de u, v y w Cuáles son las coordenadas de a respecto de b Escribe ( u, v y w? a Tres vectores son linealmente independientes si el determinante formado por ellos no es nulo: = = Los vectores u, v y w sí forman una base de V 3 λ 1+ λ = 8 =λ1 1, 1,0 +λ, 1, +λ3 0, 3,3 λ1 λ 3λ 3 = 7 λ + 3 λ 3 = 18 b a ( ( ( F F1+ F F3 F+ F El sistema es compatible determinado con solución única λ 1 =, λ = 3, λ 3 = 4 Por tanto: a = u+ 3v 4w Las coordenadas de a respecto de la base B= { uvw,, } serán (,3, 4 16 Unidad 10 Vectores

36 3 Dados los vectores u = ( 1, 1, 0, v = (, 3, 1 y w = ( 6, 7, 1 a Prueba que son linealmente dependientes Son base de V 3? b Escribe w como combinación lineal de u y v a Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante formado por ellos es nulo: = = 0 Los vectores u, v y w no forman una base de V λ 1+ λ = 6 6, 7, 1 = λ1 1, 1,0 +λ, 3, 1 λ1 3λ = 7 λ = 1 b ( ( ( El sistema es compatible determinado con solución única: λ 1 = 4, λ = 1 Por tanto: w = 4u+ v 4 Calcula los valores de a para que los vectores u= ( aa,,5 y v = ( a+ 7,1, a sean perpendiculares Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo: u v = a a a + 5a = a + 7a + 6a = a + 13a = a a + 13 ( ( u v = 0 a a + 13 = 0 a = 0, a = 13 ( 5 Dados los vectores u = i + j 3k, v = i + j + k u + 3v 3v w a Calcula el producto escalar ( ( b Calcula el producto vectorial 3u ( w y w = 3i + 4j 5k : c Calcula el producto mixto uvw,, u = (,1, 3 v = (,, w = ( 3,4, = 10,8,0 9,,11 = = 106 a ( u v ( v w ( ( i j k 3u w = = 4i j + 66k b ( 1 3,, = = = c [ uvw ] Vectores Unidad

37 6 Dados los vectores u = 4i 5k, v = 4i + 3j y w = i 3j + 5k, calcula: a La medida de la proyección de u sobre v b El área del paralelogramo determinado por u y v c El volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w u = ( 4,0, 5 v = ( 4,3,0 w = (, 3,5 u v a proy vu = = = v i j k b u v = = 15i + 0 j + 1k A= u v = = 769 u VP = uvw,, = = = 30 u c [ ] 7 Halla las coordenadas de todos los vectores paralelos a u = ( 6, 6, 7 unidades de longitud y que tengan módulo igual a 33 Todos los vectores paralelos a u son de la forma ( 6 λ, 6 λ, 7λ Obligando a que su módulo valga 33 se tiene: Si λ=3, entonces ( 18, 18, 1 Si λ= 3, entonces ( 18,18,1 36λ + 36λ + 49λ = 33 11λ = 33 λ = Unidad 10 Vectores

38 8 Dados los vectores u = ( 1, 1,1 y v = ( 8,9, 1, calcula: a El ángulo que forman b Un vector unitario y perpendicular a ambos c Las coordenadas del vector proyección de u sobre v a ( u v = = = = ( cos uv, 0,8997 uv, = 154º7' u v i j k b u v = = 36i 84 j 87k, es decir, todos los vectores ortogonales a u y a v son de la forma: ( 36 λ, 84 λ, 87λ Como el módulo debe ser 1, entonces: 36 λ + 84 λ + 87 λ = 1591λ = 1 Luego: λ= o λ= Por tanto, existen dos vectores: c u v = = 60 < ,, y ,, Por ser proy v u de la misma dirección y diferente sentido que v, será de la forma: proyv u = ( 8 λ,9 λ, 1 λ para algún λ negativo u v Obligando a que el módulo de proy v u valga = =, se obtiene el valor de λ : v proy vu = 64λ + 81λ + 144λ = 17λ= λ= El vector proyección buscado es proy v u =,, Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso 1 Si u, v y w son tres vectores no nulos: A El vector u ( v w B El vector u ( v w C El vector u ( v w D Nada de lo anterior es verdad se puede escribir como combinación lineal de u y de v se puede escribir como combinación lineal de u y de w se puede escribir como combinación lineal de v y de w La respuesta correcta es la C porque el vector u ( v w a v y a w a la vez u v w Por tanto, el vector ( es combinación lineal de v y w es perpendicular a v w que, a su vez, es perpendicular Vectores Unidad

39 En el paralelepípedo de la figura el producto escalar GM JK vale: A 0 B 5 C 61 D 7 La respuesta correcta es B 1 GM = GB + BO + OA + AM = OC OB + OA + OC = OA OB OC JK = JO + OA + AE + EK = OB + OA + OC + OB = OA + OB + OC GM JK = OA OA + OA OB + OA OC OB OA OB OB OB OC OC OA OC OB OC OC = = OA OB OC = = = Se sabe que u v = w y que u, v y w no son nulos: A Los vectores u y v son perpendiculares B Los vectores u y w son perpendiculares C Los vectores u v y v u tienen diferente sentido D Los vectores u v y v u tienen el mismo sentido La respuesta correcta es B porque la dirección de w = u v es perpendicular a los dos vectores u y v En particular es perpendicular al vector u Señala, en cada caso, las respuestas correctas 1 4 Se consideran los vectores u =, 1, A Los vectores tienen el mismo módulo B Son ortogonales C Forman un ángulo de 60º D Llevan la misma dirección 1 y v =, 1, : Las respuestas correctas son A y C 1 u = + 1+ =, v = =, es decir, los vectores tienen el mismo módulo 4 4 ( uv 1 1, = arccos arccos 60º = =, es decir, forman un ángulo de 60º 166 Unidad 10 Vectores

40 5 Sabiendo que uvw,, = 0, se puede afirmar con seguridad que: A Por lo menos uno de los vectores u, v y w tiene módulo cero B Los vectores son linealmente dependientes C El vector w se puede escribir como combinación lineal de los vectores u y v D Por lo menos dos de los vectores u, v y w llevan la misma dirección La respuesta correcta es B Señala el dato innecesario para contestar 6 Se quiere calcular el ángulo que forman los vectores u y v Para ello se dan los siguientes datos: 1 u + v = 314 u v = v = 5 u 4 u v = 40 A Puede eliminarse el dato 1 B No puede eliminarse el dato C Pueden eliminarse los datos 1 y a la vez D Todos los datos son necesarios La respuesta correcta es A, es decir, se puede eliminar el dato 1primer dato: u v = 154, v = 5 u, u v = 40 u + v u v 6 u 154 u v = 40 = u = 9 = 3, v = 5 3 = 15 Vectores Unidad