ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

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1 ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL Insiuo de Ciencias Maemáicas ANÁLISIS MULTIVARIADO DE LAS VENTAS DE UNA EMPRESA DE ALIMENTOS MARZO 994-SEPTIEMBRE 006 TESIS DE GRADO Previa a la obención del Tíulo de: INGENIERO EN ESTADÍSTICA INFORMÁTICA Presenado por: JOSE M. AGUAYO ESCANDON Guaaquil Ecuador 007

2 A G R A D E C I M I E N T O A Dios por darme el camino la fuerza para recorrerlo erminarlo. A mi familia por apoar cada paso que daba por pequeño que fuera. A mi esposa por el amor valor que me dio para consruir mi carrera alcanzar esa mea. Al Ma. John Ramírez, Direcor de Tesis, por su guía paciencia para la elaboración de ese esudio. A mis jefes compañeros de rabajo, por apoar mí desarrollo profesional.

3 3 D E D I C A T O R I A MIS PADRES MIS HERMANOS MI ESPOSA MI HIJA MIS AMIGOS

4 4 TRIBUNAL DE GRADO Ing. Washingon Armas DIRECTOR DEL ICM Ma. John Ramirez DIRECTOR DE TESIS Ma. Eduardo Rivadeneira VOCAL PRINCIPAL Msc. Soraa Solís VOCAL PRINCIPAL

5 5 DECLARACIÓN EXPRESA La responsabilidad del conenido de esa Tesis de Grado, me corresponden eclusivamene: el parimonio inelecual de la misma a la ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL. (Reglameno de Graduación de la ESPOL) José M. Aguao Escandón

6 6 RESUMEN El presene esudio nos planea dos herramienas que una empresa de alimenos debería usar para solucionar problemas como el mal cálculo de presupueso mal enfoque del segmeno al cual dirigir sus producos. Uilizando el regisro de compra en dólares de los clienes de la empresa esudiada se armaron ablas con regisros desde marzo 994. Mediane un Análisis de Series de Tiempo se obuvieron pronósicos que se acercaron mucho a la vena real (en dólares). En la segunda eapa se omó una muesra de los clienes de Guaaquil aendidos por la empresa. Con esa información se realizó un Análisis de Componenes Principales se obuvo información mu imporane en cuano a las caracerísicas más imporanes de compra de los consumidores. La aplicación de ese esudio en una empresa de alimenos puede opimizar recursos mejorar el enfoque comercial.

7 7 INDICE GENERAL Pág. RESUMEN 6 INDICE GENERAL. 7 ABREVIATURAS. 9 SIMBOLOGIA.. 0 INDICE DE TABLAS.. INIDICE DE GRÁFICOS 4 CAPITULO Inroducción.. Anecedenes Objeivo de la Tesis Meodología Definición de las Variables Definición del Problema. 5 CAPITULO Teoría Esadísica.. Análisis de Series de Tiempo. 3

8 8.. Análisis de Componenes Principales Muesreo Aleaorio Simple.. 98 CAPITULO 3 Análisis Esadísico 3.. Análisis Descripivo Univariane Análisis de Series de Tiempo Análisis de Componenes Principales.. 50 CAPITULO 4 Conclusiones Recomendaciones ANEXOS

9 9 ABREVIATURAS ACP AST FAS FAP Análisis de Componenes Principales Análisis de Serie de Tiempo Función de Auocorrelación Simple Función de Auocorrelación Parcial

10 0 SIMBOLOGIA MA(q) AR(p) ARMA(p,q) ARIMA(p,d,q) X i Y i Modelo de Medias Móviles Modelo Auorregresivo Modelo de Auorregresivo de Medias Móviles Modelo de Auorregresivo de Medias Móviles Variable de Invesigación Variable Original para el ACP

11 INDICE DE TABLAS CAPITULO 3 Análisis Esadísico Pág. 3...a. Análisis Descripivo Cerdo b. Pareo de Consumo según género Cerdo 3...c. Rangos de Edad de Consumidores de Cerdo a. Análisis Descripivo Embuidos b. Pareo de Consumo según género Embuidos c. Rangos de Edad de Consumidores de Embuidos a. Análisis Descripivo Congelados b. Pareo de Consumo según género Congelados c. Rangos de Edad de Consumidores de Congelados 3..4.a. Análisis Descripivo Producos del Mar b. Pareo de Consumo según género Producos del Mar c. Rangos de Edad de Consumidores de Producos del Mar a. Análisis Descripivo Conservas b. Pareo de Consumo según género Conservas c. Rangos de Edad de Consumidores de Conservas a. Análisis Descripivo Arroz

12 3..6.b. Pareo de Consumo según género Arroz c. Rangos de Edad de Consumidores de Arroz a. Modelo ARIMA de Venas Cerdo b. Pronósico Vs. Vena Real Cerdo a. Modelo ARIMA de Venas Embuidos b. Pronósico Vs. Vena Real Embuidos a. Modelo ARIMA de Venas Congelados b. Pronósico Vs. Vena Real Congelados a. Modelo ARIMA de Venas Producos del Mar b. Pronósico Vs. Vena Real Producos del Mar a. Modelo ARIMA de Venas Conservas b. Pronósico Vs. Vena Real Conservas a. Modelo ARIMA de Venas Arroz b. Pronósico Vs. Vena Real Arroz Variables Originales ACP Cerdo ACP - Embuidos ACP - Congelados ACP - Producos del Mar ACP - Conservas... 65

13 ACP - Arroz

14 4 INDICE DE GRÁFICOS Pág.. CAPITULO Teoría Esadísica... Función de Auocorrelación Simple FAS Función de Auocorrelación Parcial FAP Comparaivo FAS - FAP Comparaivo FAS FAP Modelo Univariane Esrucura Daos para un ACP Represenación de Nube de Individuos Proecciones Gráfico de Correlación enre Variables Originales Gráfico de Correlación enre Variables Gráfico de nubes de punos Gráfico de la proección de la nube Gráfico de la nube proecada Relación enre los dos espacios R p Y R n Gráfico de elemenos suplemenarios Gráfico de conribución relaiva Inerpreación de nubes de variables 84

15 5..3 Correlación enre variables 86 CAPITULO 3 Análisis Esadísico 3...a. Hisograma de Frecuencias de la Vena de Cerdo b. Disribución de Consumidores Por Género Cerdo. 3...a. Hisograma de Frecuencias de la Vena de Embuidos b. Disribución de Consumidores Por Género Embuidos a. Hisograma de Frecuencias de la Vena de Congelados b. Disribución de Consumidores Por Género Congelados 3..4.a. Hisograma de Frecuencias de la Vena de P. del Mar b. Disribución de Consumidores Por Género P. del Mar a. Hisograma de Frecuencias de la Vena de Conservas b. Disribución de Consumidores Por Género

16 6 Conservas a. Hisograma de Frecuencias de la Vena de Arroz b. Disribución de Consumidores Por Género Arroz Pronósico de la Vena Cerdo Pronósico de la Vena Embuidos Pronósico de la Vena Congelados Pronósico de la Vena Prod. del Mar Pronósico de la Vena Conservas Pronósico de la Vena Arroz a. Screen Plo ACP, Cerdo a. Screen Plo ACP, Embuidos a. Screen Plo ACP, Congelados a. Screen Plo ACP, Producos del Mar a. Screen Plo ACP, Conservas a. Screen Plo ACP, Arroz. 68

17 7 CAPITULO I.. ANTECEDENTES La empresa, de la cual se omiirá el nombre por seguridad empresarial políicas inernas, iene como objeivo producir, comercializar disribuir producos cárnicos, conservas arroz. La empresa ha dividido la comercialización de sus producos en res canales principales Auoservicios: Supermercados de gran amaño con un número ilimiado de producos de disinas caegorías con más de 4 cajas regisradoras, en la cuales los consumidores acceden a los producos direcamene. Ese canal se divide en los siguienes Sub Canales: Auoservicios Maores: con clienes con mas de 6 cajas regisradoras.

18 8 Auoservicios Menores: con clienes como Comisariaos/Supermercados, Oras Cadenas de Supermercados, Almacenes, Supermercados Independienes Tradicional: Agrupa a odos aquellos locales en los cuales el consumidor final se abasece de víveres, cárnicos, confiería, bebidas arículos para consumo principalmene en el hogar. La ocasión de compra del consumidor en esos locales es el re - abasecimieno de canidades limiadas de víveres por visia. Ese Canal se divide en los siguienes Sub Canales: Víveres: el cual comprende clienes como: Frigoríficos/Cenros Cárnicos, Kioscos (fijos de víveres), Maorisas, Mercados Populares, Tiendas Tradicionales, Micromercados. Tiendas Especializadas: el cual posee clienes como Delicaessens, Esaciones de Servicio, Panaderías, Carnicería /Tercena, Farmacias Licorerías, Oras Tiendas Servicios Especiales Consumo Inmediao: Agrupa a los negocios de vena de comidas preparadas bebidas. El objeivo es ofrecer al consumidor final servicio

19 9 de alimenación para consumir en el lugar, llevar o enregar a domicilio. Ese Canal se divide en los siguienes Sub Canales: Comidas Bebidas: denro de los cuales se encuenran clienes como resauranes, asaderos, cafeerías/bares, clubes/resors, friaderías, hornaderías, comidas rápidas, pizzerías, comedores populares Educación Enreenimieno: donde se encuenran clienes como cines, clubes 4 5 esrellas, bares comedores de colegio universidades, cenros de esparcimienos o parques cenro de evenos. Hoelería Transpore: en esa caegoría se encuenran clienes como hoeles, hoserías, hosales aerolíneas. Trabajo e Insiuciones: donde se encuenran clienes como comedores de indusrias, empresas, hospiales clínicas, servicios de caering. Todos los canales difieren ano en concepo como fuerza de vena. La fuerza de vena es especializada según el canal con un porafolio de producos mu diferene. Es decir podemos ener el mismo produco en

20 0 varios canales pero en diferenes presenaciones. Pongamos de ejemplos los embuidos. En el canal Tradicional Auoservicios enconraremos paquees de salchichas de 00 gramos pero esos no serían los ideales para el canal de Consumo Inmediao, por esa razón se comercializan las presenaciones de kilogramos. Al ener una fuerza de vena para cada ipo de canal de comercialización se cuena con un personal más especializado para comercializar los producos que describiremos a coninuación. Eisen res líneas básicas de producos en la empresa en cuesión enemos: La línea de producos cárnicos, conservas arroz. Enre los producos cárnicos que se comercializan en esa empresa se encuenran: Cerdo: El cerdo es faenado, procesado conservado bajo rigurosas políicas de calidad. Debido al bajo conenido en grasa es considerado el mejor cerdo del mercado. Enre la variedad de producos de cerdo enemos: Canales, es decir cerdos eneros o miades, cores primarios; por ejemplos piernas, brazos, lomo

21 ecéera. También se producen empaques individuales, como por ejemplo de friada, chuleas, paas ec. Y por úlimo enemos cores al granel. Embuidos: Pollo Res. De ambos se produce una amplia variedad producos embuidos: moradela, salchichas (cócel, ho dog, desauno ec.), jamones. Y producos horneados. Enre esos úlimos enconramos producos como pavo, friada, piernas de cerdo. Todos esos lisos para hornear sin maor esfuerzo. Producos Congelados: Esa línea se caraceriza por ener producos de fácil consumo, enfocado en consumidores sin mucho iempo de cocinar después del rabajo. Denro de las caegorías en esa línea enconramos hamburguesas, apanados, marinados oros Producos del Mar: Los mariscos ambién se desacan denro del grupo objeivo del mercado mencionado en los producos congelados. Esa al ener presenaciones más económicas ingresa mu bien en el Canal Tradicional. En la variedad de producos en esa línea enconramos: Tilapia, camarón, pargo, aún, corvina, picudo, dorado salmón

22 La línea de conservas fue una línea neamene del Canal Auoservicios ha omado mucha fuerza denro del canal Tradicional ganando espacio en el mercado mu rápidamene. Enre los producos de conservas enemos: Aderezos: Salsas de omae, maonesa, mosaza, spaghei oros Ajíes: Ajo, habanero, criollo abasco Aliños: Salsas chinas, abasco pasas de omae. Culinarios: Aceie, cremas, sopas caldos Especialidades de dulce: Cócel de fruas, duraznos en almíbar mermeladas Comida rápida: Enlaados como el maíz dulce, fréjol lenejas. La línea de arroz se la comercializa empacada esa dirigido al igual que como se vio en el ejemplo del embuido, con diferenes presenaciones según el canal. Con esa pequeña reseña se describirá cual es el problema que se planea en esa esis cuales son los objeivos que audará a enconrar la solución para esa. Información de Esrucura Comercial de la empresa a esudiar.

23 3.. OBJETIVO DE LA TESIS Se desea mediane ese esudio oorgar a empresas, como la que se presenó, herramienas que le permian enconrar:. Obener una proección o pronósicos de venas más eacas que los lleve a omar decisiones más aceradas en períodos fuuros.. Obener los facores que mejor eplican la decisión de compra en cada línea..3. METODOLOGIA. Uilizaremos modelos de series de iempo para realizar pronósicos confiables que servirán para omar decisiones más eacas.. Mediane una encuesa a los minorisas o clienes de esa empresa se desarrollara una invesigación mercado para obener la información correspondiene a los componenes principales que afecan la decisión de compra de las diferenes líneas la relación que eise enre esos facores los segmenos del mercado en el Canal Tradicional.

24 4.4. DESCRIPCION DE LAS VARIABLES En esa invesigación se ienen seis variables cuaniaivas. Esas, en breves rasgos describen la vena en dólares de cada línea. A coninuación enemos la descripción deallada de cada una. X : CERDO; indica las venas en dólares de la línea de produco cárnicos derivados del faenamieno procesamieno de cerdo. X : EMBUTIDOS; indica las venas en dólares de la línea de producos cárnicos procesados para la producción de embuidos. X 3 : CONGELADOS; indica la vena en dólares de la línea de producos cárnicos procesados de al forma que sean producos lisos para consumir luego de calenar. X 4 : PRODUCTOS DEL MAR; indica la vena en dólares de la línea de mariscos procesados.

25 5 X 5 : CONSERVAS; indica la vena en dólares de la línea de producos secos procesados para converirse en producos de conservas. X 6 : ARROZ; indica las venas en dólares de la línea de arroz enfundado. Para la invesigación de mercado es necesario, anes de declarar las variables, planear las hipóesis que surgen del problema de invesigación. Ese problema presena el siguiene planeamieno:.5. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.5.. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN DE MERCADO No se dispone de información, complemenaría a las venas regisradas desde marzo de 994 hasa sepiembre de 006, que muesre los facores que afecan la decisión de compra.

26 6 Se desea obener información que complemene el análisis de series de iempo con relación a los facores que influen en el proceso de compra de los consumidores en cada línea..5.. MERCADO OBJETIVO Para análisis de componenes principales se omara como mercado objeivo a los dueños de los negocios que perenecen al canal radicional HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN DE MERCADO H 0 : El segmeno femenino es el que maor compra de cerdo realiza en el Canal Tradicional. H 0 : El segmeno femenino es el que maor compra de embuido realiza en el Canal Tradicional. H 03 : El segmeno femenino es el que maor compra de congelados realiza en el Canal Tradicional.

27 7 H 04 : El segmeno femenino es el que maor compra de producos del mar realiza en el Canal Tradicional. H 05 : El segmeno femenino es el que maor compra de conservas realiza en el Canal Tradicional. H 06 : El segmeno femenino es el que maor compra de arroz realiza en el Canal Tradicional. H 07 : La maoría de los compradores de cerdo son maores a 30 años. H 08 : La maoría de los compradores de embuidos son maores a 30 años. H 09 : La maoría de los compradores de congelados son maores a 30 años. H 00 : La maoría de los compradores de producos de mar son maores a 30 años. H 0 : La maoría de los compradores de conservas son maores a 30 años. H 0 : La maoría de los compradores de arroz son maores a 30 años. H 03 : Eisen una ala correlación enre odos los facores que afecan la decisión de compra de cerdo. H 04 : Eisen una ala correlación enre odos los facores que afecan la decisión de compra de embuidos. H 05 : Eisen una ala correlación enre odos los facores que afecan la decisión de compra de producos congelados.

28 8 H 06 : Eisen una ala correlación enre odos los facores que afecan la decisión de compra de producos del mar. H 07 : Eisen una ala correlación enre odos los facores que afecan la decisión de compra de conservas. H 08 : Eisen una ala correlación enre odos los facores que afecan la decisión de compra de arroz CUESTIONARIO Con el objeo de analizar por segmeno del mercado cada facor que influe en el proceso de compra de las líneas se ha desarrollado el siguiene cuesionario.

29 9 Analisis Mulivariado de las venas de una Empresa de Alimenos Cuesionario CANAL TRADICIONAL. De cada 0 compradores, Cuanos son hombres cuanos son mujeres? CERDO EMBUTIDOS CONGELADOS PRODUCTOS DEL MAR CONSERVAS ARROZ Mujeres Hombres 3. Deermine con una X en que rango de edad se encuenran sus compradores de cada linea Menores a 5 anios Enre 5 30 anios Maor a 30 anios CERDO EMBUTIDOS CONGELADOS PRODUCTOS DEL MAR CONSERVAS ARROZ

30 30 4. Califique con un circulo el grado de imporancia de las siguienes caracerisicas que influen en la decision de compra en cada linea. Nada Imporane Mu Imporane CERDO Calidad Sabor Teura Empaque Cosumbre Frescura Precio Promociones Impulso Publicidad Oros EMBUTIDOS Calidad Sabor Teura Empaque Cosumbre Frescura Precio Promociones Impulso Publicidad Oros CONGELADOS Calidad Sabor Teura Empaque Cosumbre Frescura Precio Promociones Impulso Publicidad Oros PRODUCTOS DEL MAR Calidad Sabor Teura Empaque Cosumbre Frescura Precio Promociones Impulso Publicidad Oros CONSERVAS Calidad Sabor Teura Empaque Cosumbre Frescura Precio Promociones Impulso Publicidad Oros ARROZ Calidad Sabor Teura Empaque Cosumbre Frescura Precio Promociones Impulso Publicidad Oros 3 4 5

31 3 CAPÍTULO II. TEORIA ESTADISTICA Para el desarrollo de la presene esis se uilizaran cuaro écnicas de esadísica apare del análisis descripivo de las diferenes variables.. Análisis de Series de Tiempo. Análisis de Componenes Principales 3 3. Muesreo Aleaorio Simple 4. ANALISIS DE SERIES DE TIEMPO Se planea uilizar el Análisis de Series de Tiempo para, en función de las venas regisradas desde marzo de 994 hasa sepiembre de 006, realizar esimaciones de un modelo que eplique su comporamieno obener pronósicos de las venas en los meses poseriores Para la eoría concerniene al Análisis de Series de Tiempo se uilizó el capíulo de de Modelos de Series de Tiempo disponible en el eo Economería da. Edición 000 por A. Novales, Mc Grawhill. 3 En cuano a la eoría uilizada para el Análisis de Componenes Principales se uilizo el capíulo de Análisis de Componenes Principales diseñado por el Profesor Salvador Carrasco Arroo de la Universidad de Valencia. 4 La eoría de la eapa de muesreo fue omada del curso dado por el ICM en Ingeniería en Esadísica Informáica.

32 3 Para la esimación del mejor modelo sus correspondienes pruebas uilizaremos Demera 5, lo haremos en base de los modelo ARIMA. A coninuación se enconrara la eoría concerniene a los modelos ARIMA.... INTRODUCCION Una lisa de variables eógenas se uiliza para eplicar el comporamieno de ora variable, endógena. Hemos raado del conrase de hipóesis con dichos modelos, así como de su uilización con fines predicivos, poseriormene, hemos considerado modelos dinámicos. Ese desarrollo convencional del modelo economérico de relación enre variables se basa en el principio de mínimos cuadrados, radicional en la Teoría Esadísica, que se ha aplicado habiualmene en la esimación de relaciones en odo ipo de ciencias, eperimenales o no eperimenales. Pero en ciencias no eperimenales como la Economía, el invesigador debe incluso raar de descubrir la especificación del modelo, pues no eise un diseño eperimenal que haa generado los daos de que dispone. Apenas hemos raado hasa ahora de la especificación de dichos modelos, ecepo por algunas referencias concepuales, nunca suficienemene precisas, al 5 Demera Versión.0, desarrollado para Eurosa por Jens Dosse Servais Hoffmann.

33 33 aspeco de Teoría Económica en debae. En 970, Bo Jenkins propusieron una meodología rigurosa para la idenificación, esimación diagnósico de modelos dinámicos para daos de series emporales que, jusificadamene, se ha converido en una herramiena habiual en el análisis de series económicas, que presenamos en ese capíulo. En la primera pare analizamos modelos en los que el comporamieno de una variable se eplica uilizando sólo su propio pasado, por lo que se conocen como modelos univarianes. Poseriormene, consideramos modelos dinámicos con variables eplicaivas, que se conocen como modelos de función de ransferencia. Concepualmene, los modelos de función de ransferencia no son disinos de los modelos economéricos que hasa ahora hemos considerado, con la diferencia de que los procedimienos de especificación diagnósico que se inroducirán permian que las propiedades dinámicas de las relaciones enre variables, así como la esrucura esocásica del érmino de error, queden perfecamene recogidas en los modelos esimados. Los modelos univarianes, por ora pare, son un complemeno perfeco al esudio de relaciones enre variables. Un modelo univariane permie caracerizar adecuadamene muchas de las caracerísicas de una variable económica en su dimensión emporal, ello es imporane, al menos por dos

34 34 razones: a) Porque el invesigador querrá que las variables que aparecen en ambos lados de un modelo de relación engan en común algunas de sus caracerísicas más imporanes, como indicaivo de que la relación que ha especificado es realmene relevane. b) Porque consiue una referencia, relaivamene sencilla de obener, con la que comparar posibles modelos de relación que poseriormene pudieran esimarse. Se definirá caracerizará una amplia familia de esrucuras esocásicas lineales, así como una familia de esadísicos que nos permian escoger una de ales especificaciones como la más adecuada para represenar la esrucura esocásica de la variable económica que se esá analizando.... DEFINICIONES...a. Proceso esocásico, ruido blanco, paseo aleaorio Comenzamos inroduciendo algunos concepos fundamenales sobre los que se susena la eoría en que se desarrolla el siguiene marco eórico:

35 35 Definición.. Se define al proceso esocásico como una sucesión de variables aleaorias Aunque el índice que describe la sucesión de variables aleaorias que configura un proceso esocásico no necesia ener una inerpreación concrea. La uilización de ese concepo de Economería confiere al índice una inerpreación como del período al que corresponde la variable aleaoria. Esa definición es mu general, las variables aleaorias no precisan saisfacer ninguna propiedad en paricular. Podrían carecer de algunos momenos, como varianza o esperanza; incluso su disribución marginal podría no eisir. Según que las variables saisfagan unas u oras propiedades, enemos un proceso esocásico de uno u oro ipo, como los que comenzamos a a presenar:,...,,,0,,,...,. Definición.. Se llama ruido blanco a una sucesión de variables aleaoria con esperanza cero, igual varianza, e independienes en el iempo. En lo sucesivo, denoamos un ruido blanco, por. Definición.3. Una caminaa aleaoria es un proceso esocásico { }

36 36 cuas primeras diferencias forman un proceso de ruido blanco, es decir: donde es un ruido blanco. O lo que es Lo mismo:,,...,,,0,,,..., T Una forma de abordar el análisis esadísico de una serie emporal económica consise en considerar que la serie emporal correspondiene a una variable como el consumo agregado es la realización de un proceso esocásico. Bajo ese puno de visa, cada dao de la serie es una realización es decir, una muesra de amaño del proceso esocásico....b. Esacionariedad Definición.4. Un proceso esocásico { } es esacionario en senido esrico si para oda m-upla (,,..., m ) odo enero k el vecor de variables,,..., m iene la misma disribución de probabilidad conjuna que el vecor k, k,..., m k Se eaminará esa definición en dealle: Qué ocurre cuando m =? En al

37 37 caso, el conjuno de variables se reduce a una sola ( ), de acuerdo con la definición, en un proceso esocásico esacionario ese conjuno ha de ener la misma disribución independienemene del valor del índice, es decir, que las variables aleaorias que componen un proceso esocásico esacionario esán idénicamene disribuidas. En paricular, la esperanza la varianza de las variables son independienes del iempo. Cuando m =, la disribución conjuna del par (, -s ) en un proceso esacionario debe ser independiene del iempo. Como consecuencia, la covarianza enre ellas, así como su coeficiene de correlación, debe ser invariane en, dependiendo únicamene del valor del reardo, s. Es decir, en un proceso esocásico esacionario, la covarianza enre e - es igual a la covarianza enre s e s- para odo s, si bien será generalmene diferene de la covarianza enre e - o de la covarianza enre e -3 que serán a su vez consanes en el iempo, aunque diferenes enre si. Sin embargo, el concepo de esacionariedad en senido esrico implica el cumplimieno de un número de condiciones que es ecesivo para nuesras necesidades prácicas. Generalmene, nos conformamos con un concepo menos eigene, como es el de esacionariedad en senido débil o de segundo orden, que se produce cuando odos los momenos de primer

38 38 segundo orden del proceso esocásico son invarianes en el iempo. Esos momenos incluen la esperanza maemáica la varianza de las variables pero ambién las covarianzas correlaciones enre diversos reardos a que anes hemos hecho referencia. En lo sucesivo, cuando hablamos de proceso esacionario nos referimos a un proceso esocásico esacionario de segundo orden. Algunas de esas condiciones son fácilmene conrasables. Por ejemplo, si una serie emporal muesra una endencia creciene, como cada observación es una realización de la variable aleaoria correspondiene, no podremos manener que la esperanza maemáica de dichas variables es consane, sino que deberemos acepar que crece con el iempo. En oras ocasiones, una, serie emporal económica eperimena flucuaciones de ampliud creciene en el iempo, en cuo caso deberemos reconocer que la varianza de las variables no es consane el proceso no es esacionario de segundo orden. El ruido blanco es un ejemplo de proceso esocásico esacionario de segundo orden. La caminaa aleaoria no es un proceso esacionario, pueso que puede escribirse: 3

39 39 sin que esé definida su esperanza ni su varianza, ni ampoco la disribución marginal de cada. Sí esá definida, sin embargo, su disribución condicional en el pasado: { -, -,, }, que será del mismo ipo que la de, (es decir normal o binomial dependiendo de que ésa lo sea), con igual varianza, esperanza igual a la de, aumenada en el valor realizado de -, A veces se considera una caminaa aleaoria al que se le ha impueso una condición inicial, la de comenzar a parir de un valor numérico 0. de modo que puede escribirse: 3 o Ese proceso, sobre el que ha que insisir que es disino de la caminaa aleaoria que anes hemos definido, iene disribución marginal, que será, por ejemplo Normal si la de varianza igual a lo es para odo, con esperanza igual a 0 creciene en el iempo. Como consecuencia, ampoco es esacionario. Su disribución condicional es igual a la de la caminaa aleaoria. Unos esadísicos fundamenales en la especificación de modelos univarianes son las funciones de auocovarianza, de auocorrelación simple de

40 40 auo-correlación parcial que a coninuación inroducimos: Definición.5. La función de auocovarianza de un proceso esocásico { } es una función, a la que en lo sucesivo nos referimos como FAC, que para cada insane cada número enero k oma un valor, denoado por K () igual a la covarianza enre e -k es decir: Definición.6. La función de auocorrelación simple de un proceso esocásico { }, a la que en lo sucesivo nos referimos por FAS., es una función que para cada insane cada enero k oma un valor () k Cov igual a la correlación enre e -k K ` k k Cov Var ( ) ` k Var ( k ) ( ) k Var ( k ) Definición.7. La función de auocorrelación parcial de un proceso esocásico { }, a la que en lo sucesivo nos referimos como FAP, es una función que para cada insane cada enero k oma un valor igual a la correlación enre e

41 4 -k, ajusada por el efeco de los reardos inermedios -, -, -k-. El gran inerés de un proceso esocásico esacionario reside en que las FAC, FAS FAP son independienes del iempo, por lo que puede omiirse dicho argumeno emporal. Lo que es crucial es que dicha invarianza permie la esimación muesral de ales funciones. Asimismo, aun anes de pasar a su esimación, el concepo de esacionariedad nos permie deducir algunas propiedades de esas funciones: En general, pare de la correlación eisene enre e - esará producida por el hecho de que ambas esán correlacionadas con - eso es lo que raa de corregir la FAP. El primer valor de la FAP es la correlación enre e - sin que haa que corregir por ningún reardo inermedio, pueso que no eisen. Por eso es que el primer valor de las FAS FAP de cualquier proceso esocásico coinciden. De manera análoga el valor inicial de la FAS 0 es igual a en odo proceso esacionario, por ser el cociene de la varianza del proceso (consane en el iempo) por sí misma. Por un razonamieno similar al anerior, concluimos que el valor inicial de la FAP es asimismo igual a en odo proceso esacionario. Por úlimo, las FAS FAP de un proceso de ruido blanco son iguales a cero, ecepo en sus valores iniciales que, como hemos viso, son iguales a. Eso no es sino una

42 4 manifesación de una propiedad más general que consise en que las FAS FAP de odo proceso esocásico esacionario decrecen rápidamene hacia cero....c. Esimación de las funciones de auocorrelación de un proceso esacionario Ya se ha epueso cómo la esacionariedad de un proceso permie considerar la esimación de sus FAS FAP que son las herramienas básicas de la especificación de su represenación univariane. La esimación de los disinos valores k se lleva a cabo de la siguiene forma: k T T k T ( ) r k ( )( T k k T k ) ( k ) Disinas simplificaciones se consiguen en esa epresión cuando el amaño maesral T es grande con respeco a k, pues enonces dividir por T o por T-k es prácicamene lo mismo, en cuo caso odos los cocienes de la forma T T k que aparecen en la epresión anerior pueden eliminarse.

43 43 Por ora pare, las medias muesrales de sobre las observaciones,,..., T, o sobre las observaciones k +, k+,, T serán mu similares- Con esas aproimaciones se iene el esimador: r k k ( )( ( k ) ) k 0,,... La epresión que acabamos de presenar para la esimación de esa función garaniza que el valor esimado de ˆ 0 será siempre igual a. Finalmene, en odo proceso esacionario, la función de auocovarianza es simérica, es decir, k k ` lo que proviene del hecho de que la covarianza enre e k es igual a la covarianza enre e. Cómo k consecuencia, la función de auocorrelación es ambién simérica, por lo que en el rabajo prácico se analizan únicamene dichas funciones para valores de k= 0,,, El primer valor de la FAP, que vamos a denoar por (luego veremos por qué uilizamos dos subíndices), puede esimarse ransformando la serie, en desviaciones con respeco a su media muesral ~, a coninuación esimando una regresión de ~ sobre ~ En el caso de variables con media muesral igual a cero, el esimador MCO

44 44 de de la regresión u es precisamene igual al coeficiene de correlación parcial enre e, muliplicado por el cociene de sus desviaciones ípicas. En ese caso, las variables en la regresión son ~, e ~ si el proceso es esacionario, sus desviaciones ípicas son iguales. Por ano, la pendiene esimada de la regresión anerior coincide con el coeficiene de correlación enre, e es decir,. Ora consecuencia de ese comenario es que el primer valor de la FAP es siempre igual al primer valor de la FAS. Inuiivamene, la razón es que al esimar la correlación enre e no ha que corregirla de ningún valor inermedio, por lo que las dos funciones, oman el mismo valor numérico, al igual que ocurre con sus valores eóricos. El segundo valor de la FAP se esima mediane una regresión ~ de sobre ~ e ~.. ~ ~ ~ El coeficiene esimado mide la correlación enre ~ e ~ una vez que se ha enido en cuena el efeco común de ~, incluida como ora variable eplicaiva adicional. Así, la FAP puede esimarse mediane una serie de regresiones, cada una de las cuales coniene como variable eplicaiva un reardo más que la anerior, de las que nos vamos quedando en cada caso u

45 45 con los coeficienes esimados en los reardos más alos:,, 33, Ora posibilidad de obener la FAP esimada es mediane fórmulas recursivas. Uilizando la FAS previamene esimada, uilizando las ecuaciones de Yule- Walker, como veremos en la sección siguiene...3. MODELOS AUTORREGRESIVOS Comenzamos a inroducir en esa sección las esrucuras esocásicas lineales que raaremos de asociar a una serie emporal de daos económicos. La primera de ales esrucuras es la de los modelos auorregresivos. Definición.8. Un proceso auorregresivo de orden, denoado por AR(), viene definido por donde son consanes, es un ruido blanco. Si un modelo AR() es esacionario, enonces su esperanza varianza son consanes en el iempo, se iene que:

46 46 a ) E E E E, peroe E E / por lo que b) Var ( ) Var Var ahora bien, si le proceso AR() es esacionario, enonces Var = Var, por lo que Var ( ) /( ) s Por ora pare, mediane susiuciones repeidas, puede verse que: s [ /( )] s 0 s Esa epresión endrá senido sólo si la suma infinia que en ella aparece converge. Dicha suma es aleaoria, pueso que es una combinación lineal de las variables aleaorias converge si sólo si lo hace su varianza. Dado que las variables, son independienes, se iene: s s s Var s Var s Var ( ) Var /( ) s 0 s 0 0 s 0 por lo que la varianza de la combinación lineal es finia si sólo si. Sólo si endrá senido la epresión, en consecuencia, podrá epresarse como función de de odas las variables aneriores al insane, pero de ninguna fuura. Sólo enonces es el proceso AR()

47 47 esacionario, para lo que es necesario suficiene que. Es enonces cuando su esperanza varianza esán bien definidas por las epresiones que aquí hemos derivado. El coeficiene de cada variable k en dicha epresión es k. Como el proceso es un ruido blanco, enonces se conclue que: a) E( k ) 0 para odo k> 0, a que k depende de k valores aneriores del proceso, pero no de sus valores fuuros. Por ano: E s E /( ) 0 E 0 0 0, 0 k s ks k s k b) E E /( ) E, 0 k k s0 s k s k Por ora pare, si se susiue por su epresión equivalene en el modelo se iene: s` es decir ~ ~ Donde ~ denoa la diferencia enre su esperanza poblacional. Dicha diferencia iene los mismos momenos que la variable ~. En paricular:, pueden aplicarse los resulados aneriores a) b). Con odo ello, la función de auocovarianza de ese proceso resula ser:

48 48 ), /( 0 como vimos anes 0 ~ ~ ~ ~ E E ~ ~ ~ ~ ~ ~ E E E ~ ~ ~ ~ ~ ~ E E E Y así sucesivamene, de modo que: k p k p p p ;...; ; ; 0 para odo k> 0, por lo que los valores de la FAS son las sucesivas poencias del parámero. Además, la condición garaniza que los sucesivos valores de la FAS convergen a cero. Esa función puede ener dos aspecos disinos, dependiendo del signo de al parámero. Así, se iene que: Auor: José Aguao E. Fuene: Economería da. Edición 000 por A. Novales, Mc Grawhill Gráfico... Análisis Mulivariado de las Venas de una Empresa de Alimenos Marzo 994 Sepiembre 006 Función de Auocorrelación Simple

49 49 Se deduce que su FAP iene como primer valor como resanes valores 0. kk Por ejemplo, el segundo valor de dicha función sería el parámero en la regresión: ~ Y ~ ~ pero, de acuerdo con el modelo eórico debe ser cero, lo mismo ocurre para odo kk con k. Grafico... Análisis Mulivariado de las Venas de una Empresa de Alimenos Marzo 994 Sepiembre 006 Función de Auocorrelación Auor: José Aguao E. Fuene: Economería da. Edición 000 por A. Novales, Mc Grawhill Definición.9. Un proceso es auorregresivo de orden, que se denoa como AR(), si responde a la le esocásica:

50 50 es esacionario si,. Bajo esas condiciones,, puede escribirse como función de, sus valores previos. Calculemos la función de auocorrelación de un proceso AR() esacionario para ello comencemos noando que E /( ). Ahora susiuimos en la ecuación del modelo por `, se iene: Muliplicando por k para k = 0,, omando esperanzas se iene que: [..4] por, en general, muliplicando k para algún k>o omando esperanzas se iene: k k k k donde hemos uilizado el hecho de que la función de auocovarianza es simérica, de modo que para obener: k El sisema de ecuaciones puede resolverse k

51 5 Var ( ) 0 ( ) /( ) 0 / ) / * ( 0 que implican: /( ) /( )] [ en general: k k, k k Pariendo de esimadores de,, se pueden obener esimaciones, de r 0. r, r o, recíprocamene, como es más usual en la prácica, podemos comenzar de los valores esimados en la muesra de, 0,, obener esimaciones de,,. Esa esraegia dual se puede eender a modelos auorregresivos de orden p, AR(p). Para cualquier p>o. El sisema de ecuaciones [..4] consiue las llamadas ecuaciones de Yule-Walker, que pueden eenderse a procesos AR(p) Un proceso AR() con parámero negaivo puede generar raíces complejas en su ecuación caracerísica L L 0. En al caso,, pre-

52 5 senará ciclos de período T dado por. cos( / T ) /( ) facor de amoriguamieno: d - La función de auocorrelación de los procesos AR() ambién converge eponencialmene a cero. Sin embargo, dicha convergencia puede presenar una gran variedad de aspecos. Puede ser siempre con signo posiivo, pero ambién puede alernar en signo. Esas dos eran las posibilidades en los modelos AR(). Sin embargo, ahora puede haber ambién convergencia a cero siguiendo una curva sinusoidal. Esa diversidad, juno con el hecho de que para algunos valores de la FAS es similar a la de los modelos AR() hace que sea preciso alguna herramiena adicional para idenificar un proceso AR(). En cuano a su FAP, es claro que las esimaciones de los parámeros en las regresiones. ~ ~ u ~ ~ ~ Serán no nulas, pero, sin embargo, la esimación de 33 en ~ ~ ~ ~ u

53 53 será esadísicamene igual a cero, al igual que... Eso implica que la 44, 55 FAP de un proceso AR() es cero para valores k>. Lo imporane es que a pesar de la variedad de formas que puede adopar la FAS dependiendo de los valores de los parámeros, sin embargo, la propiedad que acabamos de mencionar para la FAP es independiene de dichos valores. Una propiedad similar es válida para odo modelo AR(p), donde p es cualquier enero posiivo p: su función de auocorrelación parcial es cero para valores k > p...4. MODELOS DE MEDIAS MOVILES Se analizará en esa sección una clase diferene de procesos esocásicos, los procesos de medias móviles. Definición.0. Se llama proceso de medias móviles de orden, que denoamos MA(), a la esrucura donde, es un ruido blanco. Como primeras propiedades de ese proceso se iene inmediaamene de su definición que E, = ambién que Var ( ) ( ) En cuano a la función de auocovarianza, se iene:

54 54 0 ( ) 0 0 para odo k k por ano: /( )]; 0, 0 para odo k. La función [ k g( ) /( ) es monóona decreciene en, como consecuencia, puede verse fácilmene que el máimo valor absoluo que puede omar en un modelo MA() es 0,50, ése es el único valor no nulo de su función de auocorrelación simple, siendo negaivo si > 0, posiivo en caso conrario.

55 55 Grafico..3. Análisis Mulivariado de las Venas de una Empresa de Alimenos Marzo 994 Sepiembre 006 FAS vs FAP Auor: José Aguao E. Fuene: Economería da. Edición 000 por A. Novales, Mc Grawhill

56 56 A parir del proceso MA() puede llevarse a cabo el siguiene esquema «de inversión»: Y que implica: Del mismo modo: 3 por lo que, se iene, susiuendo: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Por ano: 3 3 ) ( [..5] el proceso coninuaría, eliminando ahora el érmino 3. Ese procedimieno conduce, en el límie, a epresar, como función de su propio pasado, así como del valor conemporáneo del ruido blanco, pero sólo iene senido si. De oro modo, se endría en [..5] que el pasado de, iene una gran imporancia para deerminar su comporamieno acual, ana más imporancia cuano más arás en el iempo. Cuando se

57 57 dice que el proceso MA() es inverible podemos obener su represenación auorregresiva como límie del procedimieno descrio en [..5]: / s s s El hecho de que al inverir un proceso MA() se engan coeficienes s en los reardos de, sugiere, como así es, que la FAP de un proceso MA() decae eponencialmene hacia cero, quizá alernando en signo. Si el parámero es negaivo, enonces la FAP converge a cero eponencialmene alernando en signo, empezando de un valor posiivo. Si, en cambio, el parámero iene signo posiivo, enonces la convergencia va a ser con odos los valores de la FAP. omando signo negaivo. Nóese, por ano, que un proceso MA() no puede generar nunca una FAP que sea siempre posiiva, pero sí puede generar una función de auocorrelación parcial que es siempre negaiva. Definición.. Un proceso de medias móviles de orden es un proceso esocásico que sigue la le:

58 58 Gráfico..5. Análisis Mulivariado de las Venas de una Empresa de Alimenos Marzo 994 Sepiembre 006 FAS vs FAP Auor: José Aguao E. Fuene: Economería da. Edición 000 por A. Novales, Mc Grawhill Siguiendo un proceso de inversión análogo al que hicimos con el proceso MA() se puede probar fácilmene que la FAP de ese proceso puede ener diversas formas, dependiendo de los signos los valores relaivos de parámeros En cambio, la función de auocovarianza cumple: 0 ( )

59 59 ) )( ( 3 E E 3 E E E 3 3 E E E E ) ( donde se ha uilizado en repeidas ocasiones la orogonalidad íneremporal del proceso de ruido blanco ;. Del mismo modo, se iene: E E mienras que k = 0 para odo k >. Por ano, la FAS es: ) / ( - / 0 k Para odo k> La idenificación de un modelo MA() mediane su FAP es basane difícil al igual que ocurre con las FAS de un AR(), mienras que es mu sencillo idenificar un modelo MA() por medio de su FAS igual que idenificar un AR() mediane su FAP. Además los crierios de idenificación son los mismos: La FAS de un proceso MA() es cero para k >, de igual modo que la FAP

60 60 de un modelo AR() es cero para k>. Por ora pare, esos resulados son perfecamene generalizables para modelos de orden superior, AR (p) MA (q), con p, q eneros posiivos cualquiera...5. MODELOS ARMA Hasa ahora hemos viso modelo de series emporales sencillos, en los que un proceso esocásico enía una esrucura auorregresiva «pura», o una esrucura de medias móviles «pura». Sin embargo, en el análisis empírico de series emporales económicas es mu frecuene enconrar represenaciones que ienen una componene auorregresiva así como una componene de medias móviles. Esos modelos se denoan como modelos ARMA(p, q), donde p q denoan, respecivamene, los órdenes de los componenes auorregresivo de medias móviles. Definición.. La esrucura ARMA más sencilla es el modelo ARMA(, ): que depende de cuaro parámeros desconocidos:,. El proceso, ARMA(, ) es esacionario cuando, e inverible cuando. Disinos modelos perenecienes a esa familia pueden escribirse sin más que

61 6 variar los órdenes (p, q) de los componenes auorregresivo de medias móviles. La esperanza del proceso ARMA(, ) es E ( ) /( ). Para deerminar su varianza, supongamos que = 0 lo que sin duda no afeca a la varianza del proceso, para obener: E( ) E ( Var ( ) E 0 ) E( ) E( ) E ( ) E( ) 0 E( ) donde se han uilizado las siguienes propiedades: a) Si, el proceso ARMA(, ) es esacionario depende de aneriores, pero no de sus valores fuuros, en paricular, es independiene de, b) por ser ruido blanco, E( ) 0 Como además, E ( ), se iene de la epresión anerior que 0( ) ( ), finalmene: 0 ) /( )] [( Los disinos valores de la función de auocovarianza del proceso ARMA(, ) pueden obenerse de un modo similar:

62 6 ) ( )( ) / E ( 0 * ( ( E ), en general, k k para odo k. Como resulado, la función de auocorrelación de un proceso ARMA (, ) es ( )( ) / para odo k k p k En consecuencia, la función de auocorrelación de un proceso ARMA(, ) comienza del valor que acabamos de mosrar, a parir de él, decrece a una asa. Es decir, dicha función de- auocorrelación se compora, a parir de k=, como la función de auocorrelación de un proceso AR(). Esa propiedad puede generalizarse: La función de auocorrelación de un proceso ARMA(p, q) se compora como la función de auocorrelación del proceso AR(p), a parir de k > q. Ello hace que la idenificación de esos modelos por inspección de la serie emporal correspondiene no se ajuse a unas normas an bien definidas como la idenificación de modelos AR(p) o MA(q). Ello se debe a que ano la función de auocorrelación como la función de auocorrelación parcial de los modelos ARMA heredan caracerísicas de ambos componenes. Así puede

63 63 probarse ambién que mienras que la función de auocorrelación parcial de un modelo AR() es cero para k>, sin embargo, la de un modelo ARMA(, ) no endrá esa caracerísica, pues a ella ha que superponer la de la componene MA(), que genera, como sabemos, una función de auocorrelación parcial que converge eponencialmene a cero. Las mismas consideraciones pueden hacerse para la función de auocorrelación simple. Sin embargo, en la prácica esa dificulad no resula ecesivamene imporane, pues ampoco se raa de obener la mejor idenificación del modelo en un primer ineno. Así, el modo más frecuene de erminar con una especificación ARMA(, ), por ejemplo, es haber comenzado con una especificación AR(), observar que los residuos obenidos ras la esimación de al modelo ienen una esrucura MA() (o recíprocamene). Es ineresane hacer hincapié en que esa superposición de modelos iene un fundameno analíico. Si se ha especificado el modelo u ras esimarlo e inspeccionar la función de auocorrelación de los residuos se observa que ésos parecen seguir una esrucura MA(): uˆ enonces esos dos modelos pueden unirse para obener:

64 64 es decir, una esrucura ARMA(, ). En uno de los ejercicios al final del capíulo se pide al lecor que lleve a cabo varios ejemplos similares a ése...6. VARIABLES NO ESTACIONARIAS Al presenar los modelos AR(p), supusimos que se saisfacían las condiciones necesarias para garanizar que el proceso en esudio era esacionario. Sin embargo, las series de daos económicos suelen caracerizarse por ser claramene no esacionarias. Como a hemos ciado, la observación de una endencia lineal o cuadráica en el iempo basa para rechazar el supueso de esacionariedad. Cuando eso ocurre en series económicas, es ambién ciero que si se oman primeras o segundas diferencias de la serie o se obienen series ransformadas que son esacionarias. Lo que se hace en ales siuaciones es rabajar con las series en primeras o segundas diferencias, especificando esimando un modelo para ellas. Como veremos más adelane, si se ha llevado a cabo un análisis de predicción para esas series, es basane sencillo raducir las predicciones obenidas para esas series diferenciadas en predicciones para las series

65 65 originales, que son, en definiiva, aquellas en cuo análisis esaba ineresado el invesigador. Los procesos no esacionarios que pueden ransformarse en esacionarios mediane sus diferencias de orden d se conocen como procesos esocásicos no esacionarios, homogéneos de orden d. Un ejemplo de ales procesos es la caminaa aleaoria. Su varianza crece con el iempo, lo que le hace no esacionario. Sin embargo, su primera diferencia es, por definición: un ruido blanco, como al, es un proceso esocásico esacionario. Cuando se especifica un modelo ARMA(p, q) para la variable d se dice que enemos un modelo ARIMA(p, d, q) para. Si la evidencia de no esacionariedad proviene de que el gráfico de la serie emporal que se preende analizar muesra flucuaciones cua ampliud cambia para disinos inervalos del período muesral, pensaremos igualmene que el proceso esocásico que generó la serie emporal no es esacionario. En ese caso, la no esacionariedad surgiría porque la varianza de las diferenes variables aleaorias que lo inegran a lo largo del iempo no son iguales enre si. El procedimieno habiual en esa siuación consise en ransformar la variable omando logarimos, pasar a analizar esa variable ransformada. Veremos en la sección dedicada a predicción cómo recuperar

66 66 las predicciones de la serie original a parir de las predicciones obenidas para la serie en logarimos. Es imporane hacer noar que la ransformación logarímica no va a corregir el problema de heeroscedasicidad sino que simplemene lo va a amoriguar, hasa el puno de hacerlo apenas percepible. En ese senido, esa ransformación es concepualmene diferene de la diferenciación en el caso de no esacionariedad en la esperanza maemáica que hemos viso anes. Por ora pare, la ransformación logarímica persigue esabilizar la varianza de la variable, mienras que la diferenciación busca esabilizar su esperanza maemáica. También debe noarse que la ransformación Bo-Co inclue a la logarímica como caso paricular que, en ocasiones, podría considerarse ora ransformación de la familia Bo-Co...7. ESTACIONARIEDAD E INVERTIBILIDAD - Ha varias razones imporanes para preender que un proceso esocásico con el que se va a efecuar rabajo empírico sea esacionario: En primer lugar. Si no es esacionario en media, por ejemplo, ello quiere decir que la esperanza maemáica de las variables del proceso cambia con el iempo,

67 67 enonces habría que esimar un número infinio de parámeros. Aún más imporane. Un proceso puede ser no esacionario porque sus momenos, o su disribución no eisan. Lo mismo ocurriría con la varianza. Un modelo AR() puede desarrollarse: 0 Vimos aneriormene que el inerés de que un proceso AR() sea esacionario se basa en que, de lo conrario, con -se endría que la epresión anerior es divergene, como puede apreciarse en el hecho de que los coeficienes de las variables aleaorias en la serie son crecienes sin límie. Esos comenarios pueden eenderse a cualquier proceso AR(k). Por ejemplo, un proceso AR(), u es esacionario si al descomponer su ecuación caracerísica en facores - L ( L)( ) L L donde L denoa al operador de reardos, ambos parámeros,, ienen módulo menor que. Basaría, por el conrario, que uno de ellos fuese maor que en valor absoluo, para que la realización de, dependiese de

68 68 valores fuuros de las variables, quizá ambién de sus valores pasados. En la Sección..3 que las condiciones sobre los parámeros para que ello no ocurra son:,, Por ora pare, odo proceso MA de orden finio, por ser una combinación lineal de un número finio de variables aleaorias con disribución Normal, iene asimismo una disribución Normal, con esperanza cero una varianza que depende de los coeficienes del modelo, pero que es independiene del iempo es, por ano, siempre un proceso esocásico esacionario. En el caso de procesos de medias móviles, las condiciones similares a las de esacionariedad son las de inveribilidad, pero ienen una inerpreación diferene: Cuando un proceso de medias móviles es inverible, enonces dicho modelo admie una represenación auorregresiva, en que los valores pasados de la variable, reciben una ponderación (coeficienes) cada vez menor cuano más alejados en el iempo. Esa propiedad de un modelo de medias móviles es fundamenal a efecos de predicción, para lo que, como veremos, es necesario inverir primero el proceso MA obener su represenación AR. Un proceso ARMA (p, q) es esacionario si lo es su componene AR, es