Facultad de Ciencias Empresariales Escuela de Ingeniería Informática Empresarial Modulo: Matemáticas II

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Pablo Vera San Martín
hace 5 años
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1 Integrantes: Daniel Castro Felipe Norambuena Professor : Claudio Enrique Del Pino Ormachea

2 Historia El metodo simplex fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restriccionesy n variables. Es ampliamente utilizado en las industrias parcminimizar costos y maximizar ganancias gracias a este método se pueden resolver problemas complejos facilitando la toma de decisiones en casos complejos.

3 Conceptos El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos con dos o más variables, incorporando variables llamadas holgura. Holgura: son las variables que consideran la cantidad no utilizable de la solución. no pueden ser negativas Ejemplo: Por cada restricción se agrega una nueva variable.

El método es iterativo,según el contexto de la función objetivo, sea maximizar Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + +

... am1x1 +am2x2 + +amnxn < bm Donde: x1, x2,, xn 0 Se puede demostrar que un problema de Programación Lineal

Forma canonica del problema que se resuelve con el metodo simplex PASO 1 Plantear la tabla inicial Esta tabla

4 El método es iterativo,según el contexto de la función objetivo, sea maximizar Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn Sujeta a: a11x1 + a12x2 + + a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn < b2.... am1x1 +am2x2 + +amnxn < bm Donde: x1, x2,, xn 0 Se puede demostrar que un problema de Programación Lineal de n variables y m. Forma canonica del problema que se resuelve con el metodo simplex PASO 1 Plantear la tabla inicial Esta tabla se plantea a partir de un modelo: Maximizar Z = 800x y Sujeto a: 20x + 10y 500 (1) 10x + 20y 700 (2) x, y 0 Maximizar Z = 800x y + 0v1 + 0v2 Sujeto a: 20x + 10y + v1 + 0v2 = 500 (1) 10x + 20y + 0v1 + v2 = 700 (2) x, y, v1, v2 0

5 PASO 2 Criterio de optimización Si el renglón objetivo no tiene elementos negativos en las columnas etiquetadas con variables, entonces la solución indicada es óptima; con esto concluyen los cálculos. Para el caso que se analiza se comprueba que existen variables negativas, entonces es posible continuar con el procedimiento para encontrar una solución.

PASO 5 Eliminación por el método PIVOT Utilizando el

para transformar una matriz en la forma escalonada

tabla inicial, para el ejemplo: a) Multiplique el

Sumar los múltiplos adecuados del renglón pívot a

6 PASO 5 Eliminación por el método PIVOT Utilizando el método de eliminación por pívot -el mismo utilizado para transformar una matriz en la forma escalonada reducida por renglones- se procede a transformar la tabla inicial, para el ejemplo: a) Multiplique el renglón pívot por el inverso del valor del elemento pívot. /*1/20 PASO 5 Eliminación por el método PIVOT b) Sumar los múltiplos adecuados del renglón pívot a los demás renglones, incluyendo los de la función objetiva, de manera que se obtengan entradas iguales a cero.

7 Considerando que la columna PIVOT son todos iguales a cero, excepto el PIVOT,se vuelve al paso 2. PASO 2 Criterio de Optimalizad. Si el renglón objetivo no tiene elementos negativos en las columnas etiquetadas con variables, entonces la solución indicada es óptima; con esto concluyen los cálculos. Para el ejemplo se comprueba que existen variables negativas, entonces es posible continuar con el procedimiento para encontrar una solución. PASO 3 Eleccion de columna PIVOT Se determina como la columna con la entrada más negativa en el renglón objetivo. Si hay varios candidatos se elige cualquiera Para el caso que se analiza la columna PÍVOT es la etiquetada con la variable x. PASO 4 elecciones del renglón pivot Se elige como aquel como aquel cuya razón entre el elemento de la columna extrema derecha con el elemento de la columna PÍVOT sea menor. Para el ejemplo: 150 / 15 = / ½ = 70 Es decir que el renglón PÍVOT será el que contiene el elemento 15, el cual a su vez será el elemento PÍVOT. De otro lado, la variable de entrada será la x y la de salida v1, así como se indica en la tabla.

8 PASO 5 Eliminación por el método PIVOT Utilizando el método de eliminación por pívot se procede transformar la tabla: a) Multiplique el renglón pívot por el inverso del valor del elemento pívot. b) Sumar los múltiplos adecuados del renglón pívot a los demás renglones, incluyendo los de la función objetiva, de manera que se obtengan entradas iguales a cero.

9 Considerando que los elementos de la columna Pívot son todos iguales a cero se vuelve al paso 2. Paso 2 Criterio de Optimalizad. Si el renglón objetivo no tiene entradas negativas en las columnas etiquetadas con variables, entonces la solución indicada es óptima; con esto concluyen los cálculos. Para el caso que se analiza se comprueba que no existen variables negativas, entonces la solución encontrada es la óptima. Como conclusión y resultado del ejercicio planteado y ejercitado encontramos los valores que andábamos buscando que eran X e Y. El valor de x corresponde a mirar en la columna pivot, vemos donde sea 1 y miramos en el reglón de pivot su resultado es cual es X=10, lo mismo hacemos con Y que vale Y=30 Ahora tomamos la función objetivo a maximizar que corresponde a Z, y reemplazamos x e y Maximizar Z = 800x y Z= 800(10) (30) Z= 8000 * = Tenemos como resultado entonces el valor a maximizar es de el mismo de la solución de la matriz. Estos fueron los pasos del método simplex.

10 Diagrama de flujo de método simplex

11 Facultad de Ciencias Empresariales

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