Errores en medidas experimentales

Transcripción

1 Errores en medidas experimentales 1. Objetivos Familiarizar al alumno con el procedimiento de asignación de errores en las medidas experimentales para poder expresar de forma correcta el valor de una propiedad. 2. Introducción Las magnitudes físicas son propiedades de la materia o de los procesos naturales que se pueden medir. Medir una cantidad de una magnitud es compararla con otra de la misma magnitud escogida como unidad. De esta forma se obtiene una medida directa. A partir de medidas directas pueden obtenerse valores de magnitudes que se relacionan entre ellas mediante expresiones matemáticas. Así se obtiene una medida indirecta de la magnitud. Por ejemplo, la velocidad a la que se mueve un objeto se puede obtener midiendo el espacio que recorre en un tiempo dado y aplicando la expresión, v = e/t. El espacio y el tiempo se medirían directamente y la velocidad indirectamente. Los instrumentos de medida se caracterizan por: sensibilidad, precisión y exactitud. Un instrumento es tanto más sensible cuanto menor es la variación mínima que permite apreciar. Un instrumento es preciso si, al hacer un conjunto de medidas de la misma cantidad de una magnitud en las mismas condiciones, dispersa poco sus valores. Un instrumento es exacto si, al realizar un conjunto de medidas de la misma cantidad de una magnitud en las mismas condiciones, el valor medio del conjunto se desvía poco del valor verdadero. En la figura de la página 2 se ilustran estos conceptos de precisión y exactitud con varios ejemplos. Cifras significativas Al realizar una medida directa los dígitos que leemos, salvo los ceros a la izquierda, se llaman cifras significativas. Para saber cuántas cifras significativas tiene un número aplicamos las siguientes reglas: cualquier cero final después de la coma es significativo, p. ej., tiene cuatro cifras significativas. los ceros al final de un número entero pueden ser o no significativos. Para evitar ambigüedades es mejor utilizar la notación científica que se explica en el siguiente apartado. Por ejemplo, si escribimos 4100 normalmente se considera que sólo tiene dos cifras significativas. En cambio, se considera que tiene cuatro. 1

2 40 15 eventos eventos variable variable (a) preciso y exacto (b) exacto pero no preciso eventos eventos variable variable (c) preciso pero no exacto (d) ni preciso ni exacto Figura 1: Representación de datos experimentales con diferentes situaciones posibles de precisión y exactitud (la línea roja vertical señala el valor verdadero). los ceros a la izquierda de la primera cifra no nula no son significativos, p. ej., tiene tres cifras lo mismo que las constantes fundamentales (la velocidad de la luz, c,...) así como las constantes matemáticas (π, e, 2,...) se puede considerar que son exactas o que tienen un número infinito de cifras significativas. Notación científica El manejo de números muy grandes o muy pequeños se facilita con el empleo de la notación científica. También es útil para evitar ambigüedades en el número de cifras significativas. En esta notación un número se escribe con la forma: ± } D.ddd {{ d } mantisa 2 10 exponente

3 donde D es un dígito en el rango 1 9, cada d es un dígito cualquiera entre 0 y 9 y el exponente es un número entero positivo o negativo. El número de cifras significativas se obtiene contando los dígitos de la mantisa. Por ejemplo, tiene cuatro cifras significativas. Redondeo Cuando tenemos un número con más cifras que las cifras significativas, no signific. {}}{ ± } D.ddd {{ d } nnn n significativas hay que mirar el dígito tras el último significativo para expresar el número: si el primer n es < 5 se desprecian todos los dígitos no significativos. si el primer n es 5 se desprecian todos los dígitos no significativos pero se aumenta en uno el último d. Por ejemplo, si tenemos el número : Número de cifras significativas Orden de magnitud Número inicial }{{} signif. Redondeado no signif. {}}{ no signif. 4 {}}{ }{{} signif no signif. {}}{ }{{} signif. El orden de magnitud permite hacer cálculos y comparar de una manera sencilla cantidades. Se obtiene por redondeo a la potencia de diez más próxima al número. A este número redondeado se le denomina orden de magnitud. El número 2374 es de un orden de magnitud de 10 3 y es de un orden de magnitud de Si queremos comparar las masas de un coche y una persona (1276 kg y 75 kg, respectivamente) podemos decir que la masa del coche es de unos 1000 kg y la de la persona 100 kg. O que el coche tiene una masa un orden de magnitud mayor que la persona. Cifras significativas del resultado de una operación Cuando se opera con números de precisión limitada el resultado también tendrá precisión limitada. Aunque la determinación rigurosa de las cifras significativas del resultado de un conjunto de operaciones no es una tarea trivial, en la mayoría de las ocasiones podemos recurrir a esta serie de reglas simples. 3

4 Al llevar a cabo una multiplicación o división el resultado tendrá tantas cifras significativas como tenga el más impreciso de los factores. Así, por ejemplo, al multiplicar por el resultado tendrá cuatro cifras significativas, de modo que se redondeará a Las potencias enteras son un caso particular de multiplicación en el que todos los factores tienen el mismo valor y precisión. Por tanto, al elevar un número a una potencia entera se mantiene el número de cifras significativas. Esta regla se puede generalizar a las potencias fraccionarias, = = 29.5, 5.43 = = 2.33, = = 160., = = En una suma o resta, por otra parte, la última cifra significativa del resultado ocupará la misma posición decimal que la correspondiente al sumando que menos decimales tenga. Por ejemplo, al sumar el resultado correcto es Cuando se lleva a cabo una secuencia de operaciones conviene realizar los cálculos intermedios con más precisión de la que corresponde a los resultados finales. De este modo, el procedimiento no produce un aumento de los errores inherentes a las cantidades de partida. El resultado final, por supuesto, se redondeará a las cifras significativas apropiadas. En cualquier caso estas recomendaciones no hay que tomarlas como verdades absolutas. Aplique siempre el sentido común antes de escribir un resultado. Supongamos que queremos evaluar podríamos proceder en etapas según: 12.23[43] [11259] = = ( ) [ ] = 5.063[483111] = donde hemos puesto entre corchetes las cifras no significativas que mantenemos al realizar las operaciones intermedias. Tipos de errores Todo procedimiento de medición conlleva errores. Algunos tipos de errores pueden ser evitados y otros no pero, en cualquier caso, las diferentes causas de error deben de ser examinadas y entendidas antes de que la medida pueda ser utilizada con confianza. Resulta útil clasificar las fuentes de error en tres categorías: (a) errores sistemáticos; (b) errores aleatorios; y (c) errores ilegítimos o espurios. Comenzaremos por la última categoría. Un error ilegítimo es aquél que no debería suceder si la medición se llevara a cabo siguiendo las técnicas correctas y reconocidas. La confusión de muestras, fallos catastróficos de los equipos, equivocaciones al transcribir resultados, uso de métodos totalmente inadecuados o la falsificación de datos son ejemplos de errores ilegítimos. La repetición de la medida, posiblemente tras elegir una muestra, equipo o experimentador diferente sirve para ponerlos de manifiesto. 4

5 Los errores sistemáticos, por otra parte, afectan por igual a un conjunto de medidas. Así, un aparato puede tener un defecto de construcción, estar mal calibrado, carecer de un aislamiento apropiado, etc. En ocasiones, la teoría que da fundamento a la medida puede depender de una hipótesis que sólo se cumple aproximadamente. Algunos errores sistemáticos se comprenden lo bastante como para desarrollar métodos de corrección estándar. Finalmente, los errores aleatorios producen una fluctuación característica de las mediciones. Si realizamos repetidamente una medida, manteniendo las mismas condiciones experimentales hasta el punto en que podemos controlarlas, obtenemos resultados diferentes en cada ocasión. Si los errores son realmente aleatorios, la secuencia de valores obtenidos no debe seguir ningún patrón predecible. Para expresar el error se utiliza: error absoluto es la diferencia sin signo entre el valor obtenido para la magnitud y un hipotético valor exacto de la misma. e a (x) = x x exacto (1) El error absoluto tiene las mismas unidades que la magnitud y se expresa con una sola cifra significativa, excepto si empieza por 1, en cuyo caso se pueden utilizar dos cifras. Por ejemplo, se mide el voltaje de una batería con un voltímetro y resulta V y sabemos que el valor verdadero es V. El error absoluto sería e a = = = V y la medida se expresaría como (1.512 ± 0.002) V. El error absoluto no nos informa de la bondad de la medida. No es lo mismo cometer un error de 1 cm al medir la altura de un edificio que al medir la longitud de una hoja de papel. error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud. e r (x) = e a(x) x exacto (2) En el ejemplo anterior tenemos e r = V V = Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento ( %) de error. El error relativo no tiene unidades. Error en un conjunto de medidas En la práctica, cuando se realiza una colección de medidas independientes de una variable x, que dan como resultado el conjunto de valores {x 1, x 2,..., x N }, se utiliza el valor medio de este conjunto como estimación del valor exacto desconocido. x exacto x = N x i i=1 N (3) El error absoluto de una medida se define entonces como la diferencia con respecto al valor medio. e a (x) = x x (4) 5

6 La diferencia entre el valor medido, x i, y el valor medio, x, se llama desviación, d i. d i = x i x Otra magnitud importante cuando se hace una serie de medidas es la deviación típica o desviación estándar de la media. Se representa con la letra griega sigma, σ y se calcula: σ x = d 2 i (5) N(N 1) Este parámetro puede usarse para estimar el error absoluto de una serie de medidas. Dependiendo del nivel de exigencia el error absoluto se suele tomar como el doble o el triple de la desviación estándar de la media. Nosotros usaremos la última opción e a 3σ x. Ejemplo: Se ha medido el tiempo que tarda un niño en rodear un campo de fútbol obteniéndose los siguientes datos: i t i /s (t i t)/s (t i t) 2 /s t i = s (t i t) 2 = s 2 Para las desviaciones y sus cuadrados mantenemos todas las cifras ya que son resultados intermedios. También podríamos haber calculado en cada caso el número de cifras significativas y añadido un par de ellas más para evitar los errores de redondeo. El valor medio será: t = s/7 = s. La desviación estándar de la media será σ t = /(7 6) = s. Con lo que el error absoluto será: e a = 3σ t = 1 s o e a = 3σ t = 1.2 s. Y el resultado se expresa de forma correcta como t = (225 ± 1) s o, de forma alternativa en este caso, como t = (224.8 ± 1.2) s. 6

7 3. Medida del período de un péndulo simple Se denomina péndulo simple a un dispositivo formado por una masa puntual suspendida de un punto fijo mediante un hilo inextensible y sin peso, que oscila en torno a una posición de equilibrio. La distancia del punto material al punto de suspensión se denomina longitud del péndulo. Este dispositivo es ideal, es decir, no tiene existencia real. En la práctica se considera un péndulo simple como un sistema formado por un cuerpo de masa reducida y un hilo inextensible cuya masa es despreciable en comparación a la del cuerpo. El péndulo simple, llamado también péndulo matemático, describe un movimiento armónico simple en torno a su posición de equilibrio. El período de oscilación (P) alrededor de dicha posición viene dado por la ecuación: L P = 2π (6) g donde L representa la longitud del péndulo (medida desde el punto de suspensión hasta la masa) y g es la aceleración de la gravedad en lugar donde se encuentra el péndulo. Material Péndulo formado por una masa m suspendida de un hilo fino de masa despreciable, cronómetro, regla. Procedimiento El alumno dispone de un péndulo, del cual va a medir el período de oscilación siguiendo el siguiente procedimiento: Se separa el péndulo de la posición vertical un ángulo pequeño (menor de 10 grados) y se deja oscilar libremente asegurando que la oscilación se produce en un plano vertical. Comprobado que las oscilaciones son verticales, se pone en marcha el cronómetro y se cuentan 5 oscilaciones completas (se considera oscilación completa aquella que dura el tiempo de ida y vuelta hasta la posición donde se tomó el origen del tiempo). El período del péndulo es igual al tiempo medido dividido entre 5. Se repite la medida anterior un total de 12 veces. Resultados A partir de los datos obtenidos calcule el periodo del péndulo y exprese el resultado de forma correcta. Mida la longitud del péndulo y calcule la aceleración de gravedad a partir de la ecuación (6), expresando el resultado de forma correcta. 7

8 4. Medida del volumen de una probeta Para medir con precisión el volumen, V, de una probeta puede pesarse en una balanza o en un granatario el líquido contenido en la probeta. Conocida la densidad, ρ, del líquido y su masa, m, se calcula el volumen fácilmente, utilizando la expresión: V = m ρ (7) Material Pipeta, vaso de precipitados, frasco lavador, balanza o granatario Procedimiento Lleve junto a la balanza o junto al granatario un vaso de precipitados, una probeta, un frasco lavador con agua y su cuaderno de laboratorio. Coloque el vaso de precipitados vacío encima de la balanza (granatario), y tare, poniendo la lectura a cero. Llene la probeta con agua destilada hasta la marca del enrase, y vierta el contenido dentro del vaso de precipitados que está encima de la balanza (granatario). Espere a que se estabilice la lectura, y anote el valor, mientras lo está viendo, exactamente como aparece en la pantalla de la balanza (granatario). Vacíe el vaso lleno de agua. Repita el proceso hasta tener 10 medidas de masa. Resultados Mida la temperatura del agua, o del laboratorio y busque en una tabla la densidad del agua a esa temperatura. Calcule el volumen de la probeta a partir de la ecuación (7) y exprese el resultado de forma correcta. 8

9 Unidades base del SI Magnitud base Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica amperio A Temperatura termodinámica kelvin K Cantidad de substancia mol mol Intensidad luminosa candela cd Prefijos del SI Factor Nombre Símbolo Factor Nombre Símbolo yotta Y 10 1 deci d zetta Z 10 2 centi c exa E 10 3 mili m peta P 10 6 micro µ tera T 10 9 nano n 10 9 giga G pico p 10 6 mega M femto f 10 3 kilo k atto a 10 2 hecto h zepto z 10 1 deca da yocto y Alfabeto griego Nombre Mayúscula Minúscula Nombre Mayúscula Minúscula Alfa A α Mu N ν Beta B β Xi Ξ ξ Gamma Γ γ Ómicron O o Delta δ Pi Π π, ϖ Épsilon E ɛ, ε Rho P ρ, ϱ Zeta Z ζ Sigma Σ σ, ς Eta H η Tau T τ Theta Θ θ, ϑ Ypsilon Υ υ Iota I ι Phi Φ φ, ϕ Kappa K κ Ji X χ Lambda Λ λ Psi Ψ ψ Mu M µ Omega Ω ω 9

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11 Nombre y apellidos Grupo de Prácticas Grupo de Teoría Resultados: (Exprese los resultados con sus cifras significativas correctas y sus unidades) Medida del período de un péndulo simple Anote en la tabla los resultados de las medidas. El tiempo, t, corresponde a tandas de 5 oscilaciones. La 3ª columna corresponde al periodo, P, calculado como P = t/5. Antes de rellenar la 4ª columna hay que calcular el valor medio, P mediante la ecuación (3). i t i /s P i /s (P i P)/s (P i P) 2 /s P i = (P i P) 2 = P = Calcule la desviación estándar de la media, mediante la ecuación (5), teniendo en cuenta que N = 12. σ P = 11

12 Calcule el error absoluto en la medida del periodo del péndulo utilizando la desviación obtenida anteriormente y expréselo de forma adecuada: e a (P) = Indique de forma correcta el resultado de las medidas P = Cuántas cifras significativas tiene? Calcule el error relativo del periodo e r (P) = Cuál es el orden de magnitud del periodo? Calcule el valor de la aceleración de la gravedad, g, partiendo de la ecuación (6), expresando el resultado de forma correcta. Para ello mida la longitud del péndulo con una regla. L = g = Cuántas cifras significativas tiene g? Calcule el error relativo de g e r (g) = Cuál es el orden de magnitud de g?

13 Nombre y apellidos Grupo de Prácticas Grupo de Teoría Resultados: (Exprese los resultados con sus cifras significativas correctas y sus unidades) Medida del volumen de una probeta Anote en la 2ª columna de la tabla los resultados de las medidas. Busque y anote el valor de la densidad del agua: ρ = Calcule los volúmenes a partir de la ecuación (7), escribiendo el resultado en la 3ª columna, con el número apropiado de cifras. Antes de rellenar la 4ª columna hay que calcular el valor medio, V mediante la ecuación (3). i m i /g V i /cm 3 (V i V)/cm 3 (V i V) 2 /cm V i = (V i V) 2 = V = Calcule la desviación estándar de la media, mediante la ecuación (5), teniendo en cuenta que N = 10. σ V = Calcule el error absoluto en la medida del volumen de la probeta utilizando la desviación obtenida anteriormente y expréselo de forma adecuada: e a (V) = 13

14 Indique de forma correcta el resultado de las medidas V = Cuántas cifras significativas tiene? Calcule el error relativo del volumen e r (V) = Cuál es el orden de magnitud del volumen?