Tecnología Química ISSN: Universidad de Oriente Cuba

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1 ecnología Quíica ISSN: Universidad de Oriente Cuba Díaz García, rando. BLNCES MICROSCÓPICOS DE ENERGI CLORÍFIC EN COORDENDS CILÍNDRICS PLICNDO ECUCIONES DISCRES OBENIDS EN UN VOLUMEN DE CONROL ecnología Quíica, vol. XXVI, nú., ayo-agosto, 006, Universidad de Oriente Santiago de Cuba, Cuba Disonible en: htt:// Cóo citar el artículo Núero coleto Más inforación del artículo Página de la revista en redalyc.org Sistea de Inforación Científica Red de Revistas Científicas de érica Latina, el Caribe, Esaña y Portugal Proyecto acadéico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

2 BLNCES MICROSCÓPICOS DE ENERGI CLORÍFIC EN COORDENDS CILÍNDRICS PLICNDO ECUCIONES DISCRES OBENIDS EN UN VOLUMEN DE CONROL rando. Díaz García Universidad de oriente En el resente trabajo se exone un étodo ara deterinar nuéricaente erfiles de teeratura en un araleleíedo utilizando diferencias finitas. El étodo se basa en balances de energía calorífica en volúenes de control ara los distintos sisteas de untos en que se divide al odelo, utilizando diferencias finitas y sin utilizar ecuaciones en derivadas arciales. Se toa coo odelo físico ara desarrollar el étodo un cuero cilíndrico que se encuentra inicialente a una teeratura deterinada y se introduce abrutaente en un fluido caliente roduciéndose un calentaiento gradual. Se exlica el étodo y se obtienen las ecuaciones que ueden ser utilizadas ara redecir la teeratura en algún unto del cilindro en cualquier tieo deseado. Palabras clave: balances de energía calorífica, ecuaciones discretas. In the resent wor is exosed a ethod to deterine rofiles of teerature nuerically in a cylinder using finite differences. he ethod is based on balances of heating energy in control volues for the different systes of oints in that is divided to attern using finite differences and without using equations in having artial derivatives. It is taen as hysical odel to develo the ethod a cylindrical body that is initially at a certain teerature, and it is introduced abrutly in a hot fluid taing lace a gradual heating. he ethod is exlained, and are obtained the equations that can be used to redict the teerature in any oint of the cylinder in any wanted tie. Key words: heating energy balances, discret equetions. Introducción En un artículo de igual nobre, ero alicado a un sistea descrito en coordenadas rectangulares, ublicado en esta isa revista, se dieron los eleentos básicos indisensables relacionados con las diferencias finitas indisensables ara corender cada uno de los asos necesarios ara llevar a cabo el balance icroscóico. En este trabajo alicareos el étodo general que erite, con conociientos uy eleentales de álgebra y geoetría, llevar a cabo balances icroscóicos de calor en un sistea cilíndrico soetido a calentaiento o enfriaiento or convección. Generalidades Para exlicar el étodo utilizareos un ejelo basado en un odelo físico sencillo: un cilindro hoogéneo de longitud finita y roiedades físicas constantes, soetido a calentaiento or convección. Suongaos un cuero sólido hoogéneo en fora cilíndrica de longitud L y radio R, que se encuentra inicialente a una teeratura 0 y abrutaente (a artir de un tieo t = 0) se introduce en una asa de fluido a la teeratura EX, constante, intercabiando calor or convección. Considereos que los coeficientes de transferencia de calor en la elícula en toda la suerficie del sólido son conocidos y constantes, ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No.,

3 y se desea conocer la teeratura en cualquier unto del cuero en un tieo t. Según las características esecificadas, el cilindro tendrá sietría tanto geoétrica coo fenoenológica, y or lo tanto, sólo tendreos que desarrollar las ecuaciones ara describir la itad del cilindro en cuestió tal coo se uestra en la figura. EX Puntos bases del eje central: L(0,). Constituido or todos los untos bases de la línea central del cuero que intercabian calor or conducción con dos untos vecinos (ver esquea en la figura 3)., 0 0, 0 0,, 0 r L r EX 0, Sisteas Fig. Cilindro sólido siétrico exuesto a calentaiento or convección. Un sistea es, ara los balances icroscóicos, el conjunto de untos bases de la red que ueden ser descritos or una isa ecuación discreta. Para que distintos untos bases foren arte de un sistea, es necesario que tengan la isa geoetría e igual situación fenoenológica. Para el caso que nos ocua se ueden distinguir los siguientes sisteas de untos bases: Puntos bases interiores: V() Constituido or untos bases que Intercabian solo calor or conducción con cuatro untos vecinos (ver esquea en la figura ). n, P() n, Fig. Esquea del sistea de untos bases interiores. Fig. 3 Esquea del sistea de untos de bases del eje central. Puntos bases de la suerficie lateral: S(N,). Constituido or todos los untos bases de la suerficie que intercabian calor or conducción con tres untos vecinos y or convección con un unto vecino ficticio (ver esquea en la figura 4). P() N, N, N, N, EX Fig. 4 Esquea del sistea de untos bases de la suerficie exterior. Puntos bases de la suerficie inferior (fondo): S(N,). Constituido or todos los untos bases de la suerficie inferior que intercabia calor or conducción con tres untos vecinos y or convección con un unto vecino ficticio (ver esquea en la figura 5). 54 ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No., 006

4 P() n, 0 n, n, 0 0,, 0, 0 n, 0 0, 0 EX r EX Fig. 5 Esquea del sistea de untos bases de la suerficie exterior inferior (fondo). Fig. 7 Esquea del sistea de untos bases del centro en el fondo del eje central. Puntos bases de línea o borde: L(N,0) Constituido or todos los untos bases del borde inferior de la suerficie del fondo que ocuan la geoetría tíica de una circunferencia y que intercabian calor or conducción con dos untos vecinos y or convección con dos untos vecinos ficticios (ver esquea en la figura 6). P() N, 0 EX N, N, 0 EX Puntos vecinos Puntos vecinos de los untos bases interiores Son los untos interiores que se relacionan con los untos bases según se indica en la figura. Observe que ara todos los untos interiores el unto base tiene coo untos vecinos, los untos n,, n,, y todos transfiriendo calor or conducción. eniendo en cuenta que la transisión de calor or conducción queda definida or las relaciones: qc r = ( ) ( ) n, n, Fig. 6 Esquea del sistea de untos bases del borde inferior (fondo). qc = ( ) ( ) Punto base de centro (unto central del fondo): P() Es siilar a los untos bases del eje central ero se diferencia en que resenta intercabio térico or convección con un unto vecino ficticio (ver esquea en la figura 7). donde qc es la densidad de flujo de calor en los ejes cooordenados esecificados, y que el flujo de calor es erendicular a las suerficies de transferencia, no habrá otros untos vecinos involucrados que no sean los geoétricaente erendiculares al unto base. ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No.,

5 Puntos vecinos de los untos bases de la suerficie lateral Para un unto base en la suerficie la relación de los untos vecinos se uestra en la figura 4. En la isa se observa que a la derecha,en la dirección r no existe cuero aterial, sino contacto con el fluido con el cual se establecerá la tranferencia or convección Los untos bases, en este caso ara todos los untos de la ared situados en el lano (N,), ueden ser reresentados de fora general según la figura 4 or N,, siendo los untos vecinos en contacto or conducción N, ; N, y N, y en contacto or convección con el unto vecino ficticio EX. Observe que en este caso, todos los untos están en la osición (N,) corresondiente a la ared situada en N = de acuerdo con R la sietría.. Puntos vecinos de los untos bases de la suerficies inferior (fondo) La relación con los untos vecinos ara un unto base situado en la suerficie inferior se uestra en la figura 5. En la isa se observa que hacia abajo, en la dirección - no existe cuero aterial sino contacto con el fluido con el cual se establecerá la tranferencia or convección. Los untos bases, en este caso ara todos los untos de la ared situados en el lano (0), ueden ser reresentados de fora general según la figura 5 or n, 0, siendo los untos vecinos en contacto or conducción n, ; n, 0 y n, 0 y el unto vecino ficticio en contacto or convección EX. Puntos vecinos de los untos bases de linea (bordes) Los untos que conforan el borde de la suerficie del fondo concuerdan tabién con un sistea de untos ues, resentan transferencia de calor or convección or dos lados, y a su vez resentan conducción de fora geoétricaente diferente de los de la suerficie. De este odo, teniendo en cuenta que el cuero resenta sietría, habrá sólo un sistea de untos ara el borde, el corresondiente al borde de la suerficie del fondo. En la figura 6 se uestra un esquea de la distribución de los untos vecinos en el borde inferior del cilindro, observe que resenta dos untos vecinos or conducción y dos untos vecinos ficticios en contacto or convección. El unto base, en este caso ara todos los untos del borde situados en la circunferencia L (0), viene dado de fora general or el reresentado en la figura 6, N, 0 siendo los untos vecinos en contacto or conducción y N,0 N,. Puntos vecinos de los untos bases de linea (eje central) Los untos bases del eje central se caracteriza al igual que los untos interiores, or intercabiar calor con cuatro untos vecinos or conducción (ver figura 3) con la diferencia que todos los untos vecinos en el radio resentan sietría fenoenológica y geoétrica, y or tanto son una isa variable, or lo que la ecuación que los describe estará en función sólo de tres untos vecinos. Puntos vecinos de centro (unto central del fondo): P() Son siilares a los untos vecinos de la suerficie del fondo ero se diferencia en que los untos vecinos radiales son siétricos, corresondiendo a una isa variable discreta, or lo que la ecuación que lo describe estará en función sólo de tres untos. El esquea de la distribución de los untos se uestra en la figura 7. Balances de calor en el voluen de control Balance de calor no estacionario Para llevar a cabo el balance de calor no estacionario en el voluen de control, tendreos en cuenta que en cualquiera de los sisteas analizados se cule que: 56 ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No., 006

6 Variacion del flujo de calor Flujo de calor Flujo de calor = que entra al que sale del voluen de control voluen de control () La variación del flujo de calor viene dada or la exresión: Variación del flujo de calor unto Vi = ρ C ( ) base t unto base () y el flujo de calor que entra o sale del voluen de control es esecífico del unto base de que se trate. Se toa la itad del voluen de control teniendo en cuenta que el flujo de calor se roduce en todo el volue y se suone que la acuulación ocurra en la itad del voluen de control y no en su totalidad. Balance de calor en untos interiores Para el sistea de untos bases interiores en que sólo tiene lugar intercabio de calor or conducción la ecuación de balance viene dada or: Variación del flujo = de calor [ ( ) ( )] rex n, [( ) ( )] n, n, n, (3) donde, rex y z son las áreas de transferencia del voluen de control erendiculares a la dirección del flujo, ya sea en r o en. Obsérvese de la existencia de dos áreas en la dirección r, una interna y otra externa. Esto es debido a que el área en la dirección r es variable en un cilindro, siendo una función del radio, or lo que osteriorente cuando se analicen las áreas de transferencia habrá que definir el valor de r donde se efectúa el balance. Variación del flujo = de calor Balance de calor en untos bases de la suerficie Para los untos de la ared lateral, cuyos untos vecinos se uestran en la figura 4, en los que tiene lugar transferencia de calor or convección y conducció la ecuación de balance será según el esquea ostrado en la figura 4: ( ) h ( ) N, N, [( ) ( )] N, rex N, EX N, N, N, (4) Balance de calor en untos bases de la suerficie del fondo Para los untos del fondo del cilindro, cuyos untos vecinos se uestran en la figura 5, en los que tiene lugar transferencia de calor or convección y conducció la ecuación de balance será, según el esquea ostrado en la figura encionada: ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No.,

7 Balance de calor en untos bases del borde Los untos bases del borde se aseejan en ucho a los untos bases de la suerficie del fondo, ero se diferencian en que resentan dos untos vecinos ficticios ocuados or la teeratura externa. En la figura 6 se uestra un esquea ara el sistea de untos del borde en su relación con los untos vecinos. Variación del flujo = de calor [ ( ) ( )] rex n,0 0 ( ) h ( ) 0 n,0 0 EX 0 (6) Observe que hay dos untos vecinos ficticios descritos or la ecuación de convección. Balance de calor en los untos bases del eje central Variación del flujo de calor = Los untos bases del eje central se diferencian de los untos bases interiores en que en éstos existen dos untos siétricos alrededor del eje que son descritos or una sola variable. De este odo, según el esquea ostrado en la figura 3. ( ) h ( ) N,0 ( ) h ( ) N, N,0 N,0 rex EX EX N,0 N,0 (7) Coo los untos vecinos de la siguiente anera: son iguales y las áreas rex = la ecuación se uede escribir, y, Variación del flujo = de calor [ ( )] [( ) ( )], 0, 0, 0, 0, 0, (8) Balance de calor en el unto base del centro en el fondo El balance de calor en el unto del centro del área del fondo tiene ucha siilitud con el balance en la suerficie del fondo, ero en este caso existen dos untos vecinos siétricos que son reresentados or un solo unto. Para este unto cuyo esquea se uestra en la figura 7. Variación del flujo de calor = [ ( ) ( )] rex,0 ( ) h ( ) 0,,0 EX 58 ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No., 006

8 Coo la fora:,0, 0 = or sietría y las áreas son iguales = rex, la ecuación se uede escribir de Variación del flujo = de calor,0 ( ) h( ) 0, EX (9) Deterinación de las áreas y el voluen de control El área de transferencia de calor del voluen de control en el caso de las suerficies cilíndricas, tiene características singulares. El área seccional es constante siere, ara el caso de la transferencia de calor cuando se utilizan esacios discretos igualente esaciados, coo es el ejelo que trataos. El área lateral del cilindro r es función del radio y se increenta en la edida que el radio crece según la ecuación: = π r = 4 π n, or lo que al efectuar el balance de calor debe elegirse el área eniendo en cuenta que El voluen de control será: Vi = = 8 π n Áreas ara el balance en untos bases de la suerficie 3 Para la suerficie lateral según el esquea ostrado en la figura 4: = π r ; rex = π r r = n y haciendo que ejor reresente el flujo global de transferencia de calor, en el trabajo ( ) desarrollado ara discutir este asecto se deostró que ara coordenadas cilíndricas el balance debe desarrollarse en el área anular interedia del increento, esto r es en el unto del ángulo. Áreas ara el balance en los untos interiores Para el caso de los untos interiores el área de transferencia se deterina de acuerdo con el diagraa de la figura. El área de transferencia se deterina calculando el área del voluen de control erendicular al flujo de calor ara todos los casos es: [ R ( R ) ] = π R ; rex = π R y = π r Coo los increentos son iguales y R = N ( n ) ; = π ( n ) y = 4 n = π π r rex ( N ) ; = 4 π N y = [ N ] = π π r rex El voluen de control será: Vi = = π ( N ) y = π r r ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No.,

9 Área ara el balance en untos bases de la suerficie del fondo Para los bordes, ostrado el ejelo en la figura 5: las cuales se ueden escribir de fora discreta: [( r ) ( r ) ] = π r ; rex = r ; = r π π [ n ] ; = π ( n ) ; = 4 n = π π rex El voluen de control será: Vi = = 4 π n Para el resto de los untos, las áreas se dan en la tabla. abla Áreas de transferencia y voluen de los volúenes de control de los untos bases en un cilindro 3 d = π y Vd = π Puntos bases / d / d / d Vi/Vd 3 () (n-) (n) 4n 8n (0,) (N,) (N-) 4N (N-) (N-) (0) (n-) (n) 4n 4n (N,0) (N-) N N- N- () ( Obtención de las ecuaciones discretas Ecuación discreta ara los untos base interiores Obtenidas las áreas de transferencia se sustituyen en la ecuación (3) y este resultado se sustituye luego en la ecuación (), obteniéndose: n n ( )) = Fo, q q n, n, 4 n la cual se uede escribir de la fora: n n n ( ) 4 Fo Fo = n,, q n, n,, q n,, q n, n,, q (0) donde Fo es el núero adiensional de Fourier y viene dado or: t Fo = ρ C () Ecuación discreta ara los untos bases de suerficie Sustituyendo () en (4) y sustituyendo las áreas or su valor dado en la tabla, se tiene: 60 ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No., 006

10 4N N ( ) = Fo Bio 4Fo Bio N, N, N, N, N, EX 0, la cual se uede escribir de la fora: N, N N = 4Fo Bio N, Fo N, N, N, N 0,, q N N Bio N EX donde Bio es el núero adiensional de Biot y viene dado or: h Bio = (3) Balance de calor en untos bases de la suerficie del fondo Sustituyendo (5) en () y sustituyendo las áreas or su valor dado en la tabla, se tiene: n n,0 N, Bio n Bio EX ( ) = Fo n n Fo( Bio) la cual se escribe definitivaente de la fora: n n,0 0 n n 0 = Fo( Bio) 0 Fo n,0 n,0 n, Bio n n Procediendo de igual fora en todos los casos se obtiene: Ecuación discreta ara los untos bases del borde N N N,0 = Fo Bio ` N,0 FoN,0 N, Bio N N Ecuación discreta ara los untos bases del eje central [ ] ( 6Fo) Fo( ) 0, = 0, 4, 0, 0, Ecuación discreta ara el unto base del centro en el fondo ( Fo( 3 Bio) ) Fo( Bio ) =,0 0, EX EX EX (4) (5) (6) (7) Las seis ecuaciones discretas obtenidas ara los diferentes sisteas de untos bases deberán ser alicados en los untos corresondientes a sus líites suerior en inferior. En el caso exuesto de acuerdo con la sietría, todos los sisteas de untos bases tendrán las siguientes líites: Variable Mínio Máxio n N-. M ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No., 006 6

11 Las ecuaciones se evalúan aso a aso artiendo del valor de teeratura inicial conocida, y actualizando las variables cada vez que se requiera un nuevo cálculo. Convergencia y estabilidad de las ecuaciones discretas Las ecuaciones (0), (), (4), (5), (6) y (7) son ecuaciones en diferencias finitas exlícitas, las cuales deben culir condiciones de convergencia y estabilidad. odas las ecuaciones obtenidas son del tio: = a a a... C y ara que sean convergentes y estables los coeficientes a deben culir las siguientes condiciones:. ai > 0 odos los coeficientes deben ser ositivos.. a i < odos los coeficientes deben ser enores que la unidad. 3. a i La sua de los coeficientes debe ser igual o enor que la unidad. Conclusiones La conclusión fundaental de este trabajo consiste en ostrar un étodo relativaente sencillo, con el cual es osible obtener un sistea de ecuaciones discretas que describa la distribución de teeratura en un cuero en coordenadas cilíndricas, sin otros requeriientos ateáticos que siles conociientos de geoetría y álgebra eleental. abién ueden ser utilizadas ara describir los untos bases en condiciones líites or convección o con condiciones variables, en las que no es osible obtener odelos ateáticos analíticos. Noenclatura y unidades área de transferencia de calor ( ) d área del circulo de radio ( ) 3 3 rex área externa de intercabio de calor en el voluen de control en la dirección r ( ) área interna de intercabio de calor en el voluen de control en la dirección r ( ) área de intercabio de calor en el voluen de control en la dirección ( ) Bio núero adiensional de Biot. cal C caacidad calorífica g C Fo núero de Fourier de transferencia de calor or conducción (adiensional).h transferencia de calor en la interfase cal sólido fluido h C. núero de iteraciones en dirección M núero total de intervalos en dirección cal. conductividad térica h C N núero total de intervalos de esacios en dirección r N núero de iteración en dirección r qc densidad de flujo de calor (cal/h. ) EX teeratura del fluido circundante al cuero ( C) teeratura ( C) n, teeratura en un tieo ara t=. t ara el unto base de coordenadas () 3 Vd π ( 3 ) Vi diensión de un eleento de voluen de control ( 3 ) coordenada axial en dirección z () ρ densidad (g/ 3 ) 6 ECNOLOGÍ QUÍMIC Vol. XXVI, No., 006

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