Banco de pruebas para el diseño de controladores para plantas intervalares

Transcripción

1 Banco de ruebas ara el diseño de controladores ara lantas intervalares Raon Pérez i Magrané, ESAII UPC Rabla Sant Nebridi, Terrassa,erez@esaii.uc.es Francesc Tanarro, ESAII UPC Rabla Sant Nebridi, Terrassa Resuen Hay últiles étodos ara diseñar controladores basados en odelos. La iniización de indicadores coo la integral del error cuadrático o el error en valor absoluto (ISE, IAE) es uno de ellos. Se roone generalizar este étodo cuando hay incertidubre en los odelos con dos enfoques diferentes. En el riero se iniiza en función de los aráetros del controlador la integral del error axiizada. En el segundo se ota or usar un odelo en que los aráetros adotan valores distintos dentro de los intervalos a lo largo de la siulación que sirve ara obtener el ISE a iniizar. Se ha alicado abos étodos de diseño a una failia de rocesos siilares, rocesos de laboratorio de control de caudal y se han coarado los resultados del control y sus indicadores. Palabras clave: sintonía, incertidubre, intervalar, control robusto. PLANTAS INTERVALARES En la figura el sistea con realientación unitaria se suone que G c ( es fija ientras que la lanta contiene incertidubres en los aráetros []. + Gc( - G( Fig. N ( ) N ( c s Gc ( :, G ( : () c Estas incertidubres en los coeficientes de N ( y D ( se exresan en fora de intervalos n D( : a + as ans () N ( : b + b s b s donde a k [a k -,a k + ], ara <k<n y b k [b k -,b k + ], ara <k<. Se define el conjunto olinoico intervalar ara el denoinador y el nuerador : N ( : n + { D( : a + as ans, ak [ ak, ak ], ara < k < n} + { N ( : b + b s b s, b [ b, b ], ara < k < } Nos referireos al sistea de la figura coo un sistea de control intervalar. Para referirse a la failia de lantas se usará la notación N ( G ( : () La incertidubre en los aráetros uede ser consecuencia de la irecisión de los odelos, tanto en la estiación de sus aráetros coo en el hecho de usar odelos de orden inferior reduciendo el original auentando la incertidubre. Otra causa de incertidubre es usar el iso odelo ara un gruo de lantas siilares ero que no son idénticas. En cualquier caso el diseño del sistea de control basado en este tio de odelos debe satisfacer las esecificaciones ara toda la failia de lantas. Esecificaciones que ueden ser de estabilidad, recisión o velocidad. El ejelo sobre el que se han realizado las ruebas es un sistea de control de caudal de laboratorio. Se cuenta con equios lo cual obliga a trabajar con un odelo intervalar. La identificación de los aráetros de cada lanta odelizada coo un sistea de segundo orden con retardo ha generado conjuntos de aráetros. Los extreos de estos han dado lugar a los intervalos que caracterizan a la failia. G ( s [.,.] [.,.] [.,.] [.,.] e + s + s k k k

2 El controlador con el que se trabaja es un PID. La elección se ha basado en el conociiento de este tio de controladores y su alio uso en la industria así coo el hecho que estos sisteas docentes llevan ileentado este tio de controlador. SINTONÍA DE CONTROLADORES Para el diseño de controladores es uy útil contar con un odelo si bien existen étodos de sintonía de controladores PID uy extendidos que no necesitan odelos []. A artir del odelo y estudiando sus características dináicas y estáticas se decide qué tio de controlador y luego se sintonizan los aráetros de estos ajustándose a unas deterinadas esecificaciones. El odelo de la lanta a controlar uede no conocerse con exactitud y conocerse la failia intervalar de lantas a la que ertenece []. El objetivo uede ser diseñar un controlador ara toda una failia de lantas reresentada or un odelo intervalar. Se roone generalizar algún étodo de sintonía ara lantas intervalares. La elección del controlador basada en le tio de sistea, orden y características tecnológicas no difiere de la elección en una lanta no intervalar. A la hora de hacer la sintonía los étodos basados en otiización se restan ara generalizarse en lantas intervalares. Una riera idea seria iniizar la sua de algún indicador (IAE, ISE, ITAE, IDAU,...) ara una serie de lantas que foran arte del conjunto. Las liitaciones que esta etodología conlleva son evidentes, elegir arbitrariaente un núero finito de reresentantes del conjunto y calcular ara cada una de ellas el indicador. Se roonen dos étodos que eriten hacer el barrido dentro de la failia de lantas de fora ás exhaustiva en un caso y ás ráida en el otro. En el trabajo que se resenta se han utilizado abos étodos ara la failia que se resenta en el aartado anterior. Coo índice se ha utilizado el IAE adeás del ISE que aarece en las forulas dado que los controles obtenidos usando este últio generalente no están bien aortiguados. riero se ha sintonizado utilizando coo odelo de la lanta : G (. +.s +..s e () s. MÁXIMO ÍNDICE Una vez se ha escogido un indicador del coortaiento del lazo de control se buscan unos aráetros que lo iniicen. Ésta es la etodología cuando se trabaja con lantas sin incertidubres. En el caso de lantas intervalares se roone iniizar en función de los aráetros del controlador el áxio índice en función de los aráetros de la lanta. Esta etodología ilica dos robleas de otiización anidados. El roblea externo busca el ínio en función de los aráetros del controlador de una función de coste que incluye otro roblea de otiización: in( k k ext ext ( k)) ( k) ax( int ( k, )) () donde k es el vector con los aráetros del controlador. k son los intervalos que contienen los valores eritidos ara las variables de la otiización. Estas variables son los aráetros del controlador y los intervalos vienen fijados or los líites del controlador. es un vector de aráetros intervalares corresondiente al odelo. El roblea interno axiiza el índice en función de las variables toando k coo aráetros: t f (, k) ISE(, k) ( r( t) y( t,, k dt () int )) donde t f es el horizonte teoral dentro del cual se hace la siulación ara obtener la salida y(t) en función de los aráetros k y variables, r(t) es la consigna.. SIMULACIÓN INTERVALAR VARIANTE EN EL TIEMPO Para evitar el anidaiento de dos robleas de otiización se roone que la siulación incluya la incertidubre. A lo largo de ésta los aráetros del odelo ueden toar cualquier valor dentro de los intervalos. Esta etodología equivale a toar una lanta que no es invariante a lo largo del tieo lo cual hace ás difícil el control de lo que en general se asue. Esta variación en los aráetros hace que el barrido se haga de fora aleatoria a lo largo del tieo en una única siulación.

3 La función de coste del único roblea de otiización corresonde al índice en función de las variables k lanta in( ( k, )) k k ( k, ) ISE( k, ) t f ( r( t) y( t,, k)) dt () donde la resuesta del sistea y(t) se calcula con un odelo de siulación en el cual los aráetros toan valores distintos ara cada instante de siulación. RESULTADOS En el caso de sintonizar el controlador usando un odelo no intervalar con la toolbox de otiización de Matlab se obtiene los controladores que iniizan el ISE y el IAE áxio ara la lanta. El controlador que se sintoniza es un PI, se obtienen los aráetros de la tabla. Tabla aráetro ISE IAE K.. K i.. El control de las diferentes lantas con estos controladores aarece en las figuras a la. La línea continua corresonde a la resuesta con los controladores sintonizados usando el criterio del valor absoluto del error y en discontinua la del controlador basado en la integral del error cuadrático. Este criterio de colores se ha utilizado en todas las figuras. lanta Fig. - Fig. lanta Fig. lanta Fig. El control es válido ara la lanta, la utilizada ara el diseño. Para las deás el control es bastante obre llegando a la inestabilidad usando ISE coo índice. En la tabla aarecen los índices edidos en el control de las diferentes lantas junto con los siulados ara la lanta.

4 Tabla lanta Planta ISE IAE Planta.. Planta.. Planta.. Planta.. Siulación.. Usando el rier étodo rouesto con la toolbox de otiización de Matlab se han obtenido los controladores que iniizan el ISE y el IAE áxio ara la failia de lantas que incluyen las cuatro con las que se cuenta en el laboratorio. Se obtiene iniizando una función que incluye otra iniización del índice cabiado de signo obtenido usando las funciones de siulación. En la tabla se resentan los aráetros obtenidos. Tabién aarece el valor de la función que corresonde en cada caso y el -áxio valor del índice ara toda la failia de lantas y que se ha iniizado con el controlador. Tabla Paráetro ISE IAE K.. K i.. Se ve coarando con los controladores de la tabla que el hecho de tener en cuenta la incertidubre conduce a unos controladores ás suaves, tanto la constante roorcional coo integral disinuyen. En las gráficas siguientes se resenta la resuesta de las lantas a los dos controladores. lanta - Fig. - lanta Fig. lanta Fig. Tabla - Fig. Planta ISE IAE Planta.. Planta.. Planta.. Planta.. Máxio.. Sería de eserar que el valor obtenido coo función de coste que corresondería al áxio valor del índice dentro de la failia que incluye a las lantas. El haber toado coo intervalos los valores extreos de estas lantas ha hecho

5 suoner que no había otra incertidubre que el hecho de tener lantas diferentes. Esto hace que la siulación dé unos resultados ejores que las edidas exerientales sujetas al ruido y incertidubres de odelo. lanta Para usar la segunda etodología se ha usado un odelo en que los aráetros varían siguiendo una distribución unifore dentro de un intervalo a cada aso de siulación. El odelo es discreto y se ha hallado discretizando todas las lantas lo cual ha resultado en odelos discretos con aráetros diferentes. Los aráetros extreos han definido los intervalos del odelo discreto. z + G ( z) z + z + z [.,.] [.,.] [.,.] [.,.] El diseño se ha basado en la iniización de los isos índices, ISE y IAE, durante un iso horizonte teoral, s. Los controladores obtenidos son los de la tabla. Tabla - Fig. lanta - Fig. Paráetro ISE IAE K.. K i.. lanta Las resuestas de las diferentes lantas con estos controladores se uestran en las figuras de la a la. lanta Fig. Fig. En la tabla, al igual que en la tabla, se resentan los valores de los indicadores ara las cuatro lantas así coo la el resultado de la siulación. En este caso la siulación no se ha hecho sobre una lanta concreta de la failia sino sobre un odelo intervalar.

6 Tabla Planta ISE IAE Planta.. Planta.. Planta.. Planta.. Siulación.. CONCLUSIONES Si se obvia la incertidubre en los aráetros y se sintoniza el controlador ara una lanta cualquiera el funcionaiento de éste sólo uede garantizarse ara esta lanta en tanto en cuanto no haya incertidubre en la identificación. Si bien los controladores hallados usando el índice IAE al ser ás conservadores no desestabilizan las lantas ara las que no han sido diseñados si que resonden eor que si se tiene en cuenta la incertidubre. En el caso de los controladores diseñados usando ISE sólo se estabiliza la lanta usada en la sintonía. Estos robleas se han evitado usando lantas intervalares que incluyan toda la failia. Y si bien no se deuestra la validez ara cualquier failia de lantas se resentan dos étodos ara sintonizar estos controladores y se corueban ara una failia de lantas. De los dos étodos rouestos el basado en la axiización de la integral ha dado ejores índices cuadráticos ientras que el basado en lantas cuyos aráetros varían con el tieo ha dado ejores integrales de error absoluto. Este segundo étodo da ás iortancia a la acción roorcional con lo que se tiene una resuesta ás ráida ero oscila ás. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido arcialente financiado or la CICYT ref. TAP - y or la Generalitat de Catalunya. Los autores son iebros del gruo de investigación consolidado SGR- SAC. BIBLIOGRAFÍA [] S.P. Battacharyya, H. Chaullat, L.H. Keel. Robust Control. Prentice Hall PTR. [] K.. Astro, T.Hägglund. PID control. Instruent Society of Aerica. [] P. Cugueró, S. Tornil, T. Escobet,. Saludes, V. Puig. Tie-doain robust stability test under lant and controller interval uncertainty. rd IFAC Syosiu on Robust Control Design. Praga une.