Análisis Dimensional y Semejanza. Jesús Muñoz

Transcripción

1 Análisis Diensional y Seejanza Jesús Muñoz

2 Análisis Diensional y Seejanza Análisis Diensional: es un étodo o técnica ara estudiar el flujo de fluidos que erite reducir el núero y colejidad de las variables que intervienen en la descrición de un fenóeno físico Es iortante ara lanificar exerientos y resentar los resultados en fora coacta, así coo tabién se utiliza en los estudios teóricos. Perite reducir las variables y agruarlas en fora adiensional, lo que reresenta un enore ahorro de tieo y dinero.

3 Análisis Diensional y Seejanza Fuerza sobre un cuero inerso en la corriente de un fluido: F f (,V, ρ, µ )

4 Análisis Diensional y Seejanza F V 0 0x000 exerientos V F V 0 exerientos con 0 cueros distintos

5 Análisis Diensional y Seejanza 0x00000 exerientos F 0x000 exerientos 0 fluidos distintos

6 Análisis Diensional y Seejanza 000x00000 exerientos 0x00000 exerientos 0 fluidos con distintas viscosidades. Total: 00 fluidos

7 Análisis Diensional y Seejanza Con el análisis diensional odeos reducir la ecuación F a su fora equivalente: f (,V, ρ, µ ) Relación funcional diensional ρv F g ρv µ C F g ( Re) Relación funcional adiensional

8 Análisis Diensional y Seejanza C F Re

9 Túnel de Viento

10 Túnel de Viento Virtual Túnel de Viento

11 Análisis Diensional y Seejanza El análisis diensional ayuda a ensar y lanificar un exeriento o teoría. Sugiere foras adiensionales de las ecuaciones antes de gastar tieo y dinero ara encontrar las soluciones con ordenador. Sugiere las variables que deben descartarse, haciendo algunos ensayos que uestran que son oco iortantes. Perite hacer siilitud entre odelo y rototio, roorcionando las leyes de escala de conversión de datos.

12 Análisis Diensional y Seejanza C F C F Modelo Prototio C F g ( Re) Re Re

13 Princiio de Hoogeneidad Diensional Si una ecuación exresa correctaente una relación entre variables de un roceso físico, debe ser diensionalente hoogénea; esto es, todos sus suandos deben tener las isas diensiones. ρ + V + gz const

14 Factores de las ecuaciones que intervienen en el análisis diensional Variables Diensionales: as variables diensionales son las cantidades que varían en un caso dado y odrían reresentarse unas en función de otras ara ostrar los resultados. En la ecuación de Bernoulli son P,V,z. Todas tienen diensiones y todas ueden hacerse adiensionales a través de alguna técnica de análisis diensional. ρ + V gz const Constantes Diensionales: Pueden variar de un caso a otro, ero se antiene constantes. En la ecuación de Bernoulli son la densidad, g y const. Todas tienen diensiones y todas ueden hacerse adiensionales con otras. ero noralente se utilizan ara hacer adiensionales las variables del sistea. Constantes Puras: as constantes uras no tienen diensiones y nunca tendrán. Aarecen en las aniulaciones ateáticas. En la ecuación de Bernoulli son el / y el exonente Variables adiensionales or definición: Son adiensionales en virtud de su definición coo relación de cantidades adiensionales. Por ejelo la deforación, densidad relativa, los ángulos (relación entre la longitud del arco y el radio) y se iden en radianes or esta razón. +

15 Diensiones Fundaentales Corresonden a aneras diferentes de esecificación de las diensiones riarias. () M,,t,T Masa [M] ongitud [] tieo [t ] Teeratura [T] () F,,t,T Fuerza [F] ongitud [] tieo [t ] Teeratura [T]0

16 Diensiones de las cantidades de Mecánica de Fluidos MtT FtT MtT FtT ongitud Viscosidad - t - - t - cineática Área Tensión Suerficial Mt - F - Voluen 3 3 Fuerza Mt - F Velocidad t - t - Masa M Ft - Flujo 3 t - 3 t - Moento, Par M t - F voluétrico Flujo ásico Mt - Ft - Potencia M t -3 Ft - Presión, esfuerzo Velocidad de deforación Velocidad angular M - t - F - Densidad M -3 Ft -4 t - t - Calor esecífico t - T - t - T - t - t - Conductividad térica Viscosidad M - t - Ft - Coeficiente de Exansión Mt -3 T - Ft - T - T - T -

17 Teorea Pi de Buckingha E. Buckingha dio un rocediiento ara deterinar los aráetros adiensionales que gobiernan un fenóeno físico. Dado un roblea fisico en el cual el aráetro deendiente es función de n- aráetros indeendientes, odeos exresar la relación entre las variables, donde q es el aráetro deendiente y q, q3,.. qn son los n- aráetros indeendientes. Mateáticaente odeos exresar la relación funcional en la fora equivalente donde g es una función no esecificada, diferente de f. Si un roceso físico satisface el PHD y relaciona n variables diensionales, se uede describir ediante una relación entre sólo n- gruos adiensionales. a reducción es siere enor o igual al núero de diensiones que describen q g f ( q, q3,.., qn ) ( q, q,.., q ) 0 n ( Π Π ) Π G,.., Π, 3 n ( ) estas variables. G Π, Π,.., Π 0 n

18 Teorea Pi de Buckingha F f (,V, ρ, µ ) M,,t n 5 3 n F ρv C F g g ρv µ ( Re)

19 Teorea Pi de Buckingha istar los aráetros ilicados n. Seleccionar un conjunto de diensiones fundaentales, MtT o FtT istar las diensiones de todos 3 los aráetros en térinos de diensiones fundaentales. 4 Elegir de la lista de aráetros un gruo de aráetros a reetir igual al núero de diensiones riarias. 5 Establecer ecuaciones diensionales cobinando los aráetros a reetir con cada unos de los otros aráetros cada vez, ara forar gruos adiensionales.

20 Teorea Pi de Buckingha Toar la reducción igual al núero de diensiones indeendientes requeridas ara esecificar la totalidad de los aráetros ilicados, casi siere roduce el núero correcto de aráetros Π. Se ueden resentar robleas cuando las variables se exresan en térinos de sisteas diferentes de diensiones. El valor de uede establecerse con certeza deterinando el rango de la atriz diensional. Rango de una atriz: Se dice que A es una atriz de rango r, si tiene un conjunto de r vectores fila o coluna linealente indeendientes, y todo conjunto con ás de r vectores fila o coluna son linealente deendientes. Es igual al orden as grande de la atriz cuyo deterinante es distinto de cero. os n- gruos adiensionales no son únicos, deenden del conjunto de aráetros reetidos. Se recoienda seleccionar coo aráetros reetidos una longitud característica del cuero, una roiedad cineática V y una roiedad del fluido ρ. Esto erite reconocer la iortancia de las fuerzas de inercia que intervienen en la ayor arte de los robleas de ecánica de fluidos. as fuerzas de inercia reresentan la resistencia que oonen los cueros (las artículas de los fluidos) a obedecer a la acción de las fuerzas. En los fluidos las artículas oonen ayor resistencia a las fuerzas viscosas que tratan de antener el oviiento ordenado de las isas. Pueden considerarse coo las fuerzas necesarias ara vencer la resistencia al cabio en la cantidad de oviiento del fluido.

21 Fuerza sobre un cuero inerso en la corriente de un fluido: F f (,V, ρ, µ ) 3 F,,V,ρ,μ MtT o FtT F[Mt - ] FF [] [] V[t - ] V[t - ] ρ [M -3 ] ρft -4 μ M - t - r 3 μft - r3 F V ρ µ F V ρ µ M 0 0 F t 0 0 t 0 0 r3 r3

22 Teorea Pi de Buckingha 4 Mt,V,ρ Ft,V,ρ 5 n Π Π [ ] a [ V ] b [ ] c [ ][ ] [ ] [ ] a b 3 Mt t M F ρ M :+ c 0 c c M t :+ a + b 3c 0 a t : b 0 b Π F V ρ Π F ρv

23 Teorea Pi de Buckingha 5 cont. [ ] [ ] [ ] c b a V ρ µ Π [ ][ ] [ ] [ ] Re Re 0 : 0 3 : 0 : Π Π Π Π V V b b t a c b a c c M t M M t t M c b a ρ µ ρ µ

24 Ascenso Cailar Δh f ( D,γ,σ ) Δh Tubo D Ascenso cailar Δh,D, γ, σ MtT o FtT Δh[] Δh 3 D[] D[] γ[m - t - ] γ [F -3 ] σ[mt - ] r3 σ[f - ] r Δh D γ σ Δh D γ M 0 0 F t 0 0 r r σ

25 Variables y Fuerzas en un roblea de Mecánica de Fluidos: as variables que ueden intervenir en un roblea cualquiera de ecánica de fluidos se ueden reducir a ocho: a fuerza F, ongitud, a velocidad V, a densidad ρ, a viscosidad dináica μ, a aceleración de la gravedad g, a velocidad del sonido c, a tensión suerficial σ as fuerzas que se encuentran en los fluidos que fluyen son: Fuerza de inercia Fuerzas viscosas Fuerza de resión Fuerza de gravedad Fuerza de Tensión suerficial Fuerza de Coresibilidad

26 Fuerzas de los Fluidos que Fluyen Fuerza de inercia Fuerzas viscosas Fuerza de resión dv dv F a V V dt ds du V τ A µ A µ µ V dy Δ A Δ V 3 ρ ρ ρ V Fuerza de gravedad Fuerza de Tensión suerficial 3 g ρg σ Fuerza de Coresibilidad B

27 Gruos adiensionales de iortancia: a razón entre la fuerza de inercia y cada una de las otras fuerzas listadas conduce a 5 gruos adiensional fundaentales. Núero de ρv ρv Re Reynolds µ V µ Núero de Euler Núero de Froude Eu P ρv P ρ V ρv V Fr Fr 3 gρ g Ca V g P P ρ V v Núero de Weber We ρv σ ρv σ Núero de Mach ρv V M M B B ρ V c En gases ideales c KRT

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29 El núero de Weber es la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión suerficial. We juega un ael iortante sólo si es de orden unidad o enor; lo que ocurre noralente cuando la curvatura de la suerficie es coarable en taaño a la rofundidad del líquido, or ejelo, en gotas, flujos cailares, ondas de equeña longitud de onda y en odelos hidráulicos de equeñas diensiones. Si We es grande, sus efectos son desreciables. a fuerza de tensión suerficial suele ser de ordinario uy equeña. En la técnica esta fuerza entra en juego en las industrias relacionadas con la ulverización y atoización donde el radio de curvatura es aroxiadaente del iso orden de agnitud que la rofundidad de flujo (foración de gotas, "srays") que constituye una raa iortante de la ingeniería quíica. os núeros de Fr, Eu y We no intervienen si no hay suerficie libre, exceto si hay osibilidad de cavitación del líquido a valores uy bajos de Eu. Por tanto, los flujos viscosos a bajas velocidades sin suerficie libre, el único aráetro adiensional iortante es el núero de Reynolds. En el núero de Mach, V es la velocidad del flujo y c es la velocidad local del sonido. Es un aráetro clave ara caracterizar los efectos de coresibilidad en un flujo. Puede interretarse coo la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerzas debidas a la coresibilidad. Para flujo verdaderaente incoresible, c tiende a infinito de odo que M0. Para M<0,3, la variación de densidad áxia es enor que 5%, de odo que los flujos de gas ueden tratarse coo incoresibles. M0.3 ara aire en condiciones estándar corresonde a una velocidad de aroxiadaente 00 /s. os flujos coresibles counes son los sisteas de aire coriido eleados ara accionar herraientas de taller y taladros dentales, trasisión de gases en tuberías a alta resión y control neuático o hidráulico. os efectos de coresibilidad son iortantes en el diseño de aeronaves y isiles de alta velocidad, centrales teroeléctricas, ventiladores de alta resión y coresores. Para aire en condiciones estándar, un flujo uede considerarse incoresible si la velocidad es enor que unos 00 /s (350 ies/s). Esto corende una gran variedad de flujos de aire: oviiento de autoóviles y trenes, aviones ligeros, desegue y aterrizaje de aviones de gran velocidad, la ayoría de los flujos en tuberías y en turboáquinas a oderadas velocidades de giro. a ayor arte de los flujos de líquidos son incoresibles, uesto que las velocidades del flujo son equeñas y la velocidad del sonido uy grande.

30 Efectos de Viscosidad. Iortancia del Núero de Reynolds El flujo uede ser lainar, turbulento o transicional, según el efecto de viscosidad en relación con la inercia. En el flujo lainar, las artículas de agua se ueven en trayectorias suaves definidas o líneas de corriente, y las caas de fluido con esesor infinitesial arecen deslizarse sobre caas adyacentes

31 Efectos de Viscosidad. Iortancia del Núero de Reynolds En flujo turbulento, las artículas del agua se ueven en trayectorias irregulares, que no son suaves ni fijas, ero que en conjunto reresentan el oviiento hacia delante de la corriente entera. Entre los estados de flujo lainar y turbulento existe un estado ixto o transicional.

32 Efectos de Viscosidad. Iortancia del Núero de Reynolds h b Q

33 Iortancia del Núero de Froude Canales Abiertos h B b Q h

34 Efectos de la Gravedad. Influencia del Núero de Froude Clasificación del Moviiento según Fr Fr < Moviiento Subcrítico Fr Moviiento Crítico Fr > Moviiento Suercrítico El flujo se caracteriza or velocidad baja y a enudo, se describe coo tranquilo y de corriente lenta unidireccional. as erturbaciones ueden viajar aguas arriba; las condiciones aguas abajo ueden afectar el flujo aguas arriba. as condiciones de flujo reresentan las condiciones de flujo ara las cuales la energía esecífica edia es ínia. as fuerzas inerciales se vuelven doinantes; el flujo tiene una alta velocidad y se describe usualente coo ráido, ultrarráido y torrencial o fugaz. Ninguna erturbación uede viajar aguas arriba

35 Siilitud y Ensayo de Modelos Modelo Prototio

36 Siilitud y Ensayo de Modelos Deósito Conducto Forzado Rodete: Alabes y Disco Inyector Modelo Chorro a resión Prototio

37 Siilitud y Ensayo de Modelos Prototio

38 Siilitud y Ensayo de Modelos Modelo Prototio

39 Siilitud y Ensayo de Modelos Para que sea útil, una rueba de odelos debe roducir datos que uedan escalarse ara obtener las fuerzas, oentos y cargas dináicas que existirían en el rototio a escala natural. Qué condiciones deben satisfacerse ara asegurar la siilitud de los flujos del odelo y del rototio?

40 Condiciones de seejanza entre los flujos del odelo y el rototio Siilitud geoétrica: requiere que el odelo y el rototio sean de la isa fora, y que todas las diensiones lineales del odelo se relacionen con las diensiones corresondientes del rototio or edio de un factor de escala constante. Por tanto las longitudes, suerficies A, y volúenes V hoólogos del rototio y del odelo han de verificar las siguientes relaciones: A λ A λ V V 3 λ

41 Condiciones de seejanza entre los flujos del odelo y el rototio Siilitud Cineática: Dos flujos son cineáticaente siilares cuando las velocidades en untos corresondientes están en la isa dirección y se relacionan en agnitud ediante un factor de escala constante. De tal anera, dos flujos que son cineáticaente siilares tabién tienen atrones de líneas de corriente que se relacionan or un factor de escala constante. Puesto que las fronteras foran las líneas de corriente líite, los flujos que son cineáticaente siilares deben de ser geoétricaente siilares. En rinciio la siilitud cineática requeriría que un túnel de viento de sección transversal infinita se utilizara ara obtener datos corresondientes al arrastre sobre un objeto, con el roósito de odelar correctaente el funcionaiento en un cao de flujo infinito. En la ráctica, esta restricción uede relajarse considerableente eritiendo el uso de equio de taaño razonable. a siilitud cineática requiere que los regíenes de flujo sean los isos en el odelo y en el rototio, Si los efectos de coresibilidad o cavitación, que ueden cabiar incluso los atrones cualitativos del flujo, no están resentes en el flujo de rototio, deben evitarse en el flujo del odelo.

42 Condiciones de seejanza entre los flujos del odelo y el rototio Siilitud Dináica: Se establece cuando dos flujos tienen distribuciones de fuerza tales que tios idénticos de fuerzas son aralelos y se relacionan en agnitud or edio de un factor de escala constante en todos los untos corresondientes. os requeriientos ara la siilitud dináica son los ás restrictivos: dos flujos deben oseer tanto siilitud geoétrica coo cineática ara ser siilares dináicaente. Para establecer las condiciones requeridas ara la siilitud dináica coleta, deben considerarse todas las fuerzas que son iortantes en la situación del flujo. Así, los efectos de fuerzas viscosas, de resión, de tensión suerficial, etc., deben toarse en cuenta. Es necesario establecer las condiciones de rueba de anera que todas las fuerzas iortantes se relacionen ediante el iso factor de escala entre los flujos del odelo y del rototio. Cuando existe la siilitud dináica, los datos edidos en un flujo de odelo ueden relacionarse cuantitativaente con las condiciones en el flujo de rototio.

43 Condiciones de seejanza entre los flujos del odelo y el rototio SG SD Siilitud SC Cuáles son las condiciones ara asegurar la siilitud dináica entre los flujos del odelo y del rototio? Para alcanzar la siilitud dináica entre flujos geoétricaente siilares, debeos dulicar al enos uno de los gruos adiensionales obtenidos con el teorea Pi de Buckingha.

44 Ensayos entre Modelo y Prototio Para la erfecta seejanza dináica se deberían culir siultáneaente las cinco ecuaciones:. Re Re. Eu Eu 3. Fr Fr 4. We We 5. M M El culiiento siultáneo de estas cinco ecuaciones es iosible, orque estas ecuaciones sólo ueden culirse si la escala es /. Por esta razón, se escoge de estas ecuaciones una sola, la que ás se ajuste al fenóeno. Así or ejelo en el ensayo de un erfil de ala de avión en un túnel aerodináico, se ve inediataente que las fuerzas de tensión suerficial son desreciables; si el aire se suone incoresible las fuerzas elásticas taoco existen. as fuerza de la gravedad no altera la configuración de la corriente. o iortante en este roblea en articular es antener los núeros de Reynolds iguales en el odelo y en el rototio. Si esto se cule las configuraciones de corriente en el odelo y en el rototio serán seejantes.

45 Relaciones de escala según la ey de Froude y según la ey de Reynolds Según la ey de Froude: Escala de Velocidades: Según la ey de Reynolds: Suongaos que se utiliza el iso fluido en el odelo y en el rototio Escala de Velocidades: λ V V V V λ V V V V V V µ ρ µ ρ V V λ V V

46 Paráetros adiensionales de Turboáquinas Hidráulicas: Bobas, Ventiladores y Turbinas Variables relativas a la áquina: Q Caudal de fluido anejado. H Altura intercabiada con el fluido. D Diáetro del rodete de la áquina. N RPM de la áquina. P Potencia ecánica en el eje. η eficiencia total de la áquina. Variables relativas al fluido: ρ Densidad del fluido. μ Viscosidad absoluta del fluido. f ( Q, H, D, N, η,, ρ, µ ) 0 P Relación funcional diensional

47 Paráetros adiensionales de Turboáquinas Hidráulicas: Bobas, Ventiladores y Turbinas MT 3 n N ros Π φ Q 3 ND Coeficiente de Gasto η Eficiencia ψ gh N D Coeficiente de Altura Re ρd N µ Núero de Reynolds Pˆ P ρn 3 D 5 Coeficiente de Potencia

48 Paráetros adiensionales de Turboáquinas Hidráulicas: Bobas, Ventiladores y Turbinas Relación funcional adiensional: gh N D ρn P 3 D 5 Q ND, η, [ ρd 3 µ, N g ] El Nro de Reynolds de del alabe es uy elevado y se ha corobado exerientalente que su influencia sobre el funcionaiento de la áquina es uy equeño y se uede desreciar. ψ, η, P ˆ g ( φ)

49 Paráetros adiensionales de Turboáquinas Hidráulicas: Bobas, Ventiladores y Turbinas Siilitud: entre odelo y rototio 3 3 D N Q D N Q φ φ D N H D N H ψ ψ ˆ ˆ D N P D N P P P ρ ρ

50 Paráetros adiensionales de Turboáquinas Hidráulicas: Bobas, Ventiladores y Turbinas Paráetros silificados: se obtienen al alicarlos a una isa áquina. N N Q Q N Q N Q φ φ ψ ψ N N H H N H N H ˆ ˆ N N P P N P N P P P

51 Una boba aneja un caudal de /s cuando gira a 750 RPM con una altura de 40. Si se necesita que la boba de un caudal de /s, a qué r se debe hacer girar la boba y qué altura anejaría en estas condiciones? Datos: a) NN Régien de revoluciones en () φφ φφ QQ NN QQ NN QQ NN NN QQ Sustituyendo: NN 750 rrrrrr NN 3500 rrrrrr b) HH BB Altura de bobeo en () ψψ ψψ HH NN HH NN HH BB HH BB NN NN HH BB HH BB Tabla 3.. Datos aráetros silificados Paráetros de funcionaiento () Paráetros de funcionaiento () QQ QQ ss ss NN 750 RRRRRR NN? HH BB 40 HH BB?

52 VARIABE PROTOTIPO MODEO 74.9 KPa,5 3 /in 800 Kg/ Kg/ 3 0 rad/s 00 rad/s 60 0

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54 Al terinar el estudio de este cáitulo, el estudiante será caaz de: * Caracterizar el flujo fluido ediante aráetros adiensionales * Obtener lo aráetros adiensionales alicando el teorea de Pi. * Planificar exerientos en base a la edición de aráetros adiensionales. * Exlicar el conceto de siilitud entre odelo y rototio, en el flujo fluido.

55 Mediciones en Mecánica de Fluidos En el laboratorio de ingeniería y en uchas situaciones industriales es iortante edir las roiedades de fluidos y diversos aráetros de flujo, coo resión, velocidad y descarga. Ejelos serían el requeriiento de edición de la razón de flujo en una tubería o canal de irrigación, las resiones áxias en la suerficie de un rascacielos o los atrones de flujo alrededor de él; el arrastre sobre un autoóvil o caión que viaja a gran velocidad; el cao de velocidad alrededor de un avión coercial, los oviientos de fluidos en las industrias agrícolas, etrolera, del gas, quíica y de las bebidas, así coo el suinistro de agua y la disosición de aguas de desecho. etc. a incertidubre en las ediciones de éstos flujos ueden tener un iacto significativo sobre las consideraciones de ateriales y costos. Se han diseñado uchos disositivos ara edir aráetros de flujo, cada uno con un roósito esecífico y es iortante definir con claridad la necesidad de edir un aráetro en articular. El conociiento de la ecánica de fluidos es indisensable ara seleccionar el instruento aroiado y ara realizar con éxito la edición. El roósito de este tea es ofrecer al lector una introducción básica a los concetos y técnicas que los ingenieros alican al edir aráetros de flujo ya sea en el laboratorio o en un entorno industrial. Se resentan étodos e instruentos eleados ara edir resión, velocidad y descarga.

56 Medición de aráetros de flujo local Una edición de flujo local ilica que una cantidad se ide en un voluen de uestra del fluido relativaente equeño. Por lo regular, el voluen es lo bastante reducido coo ara oder decir que la edición reresenta la agnitud de la cantidad en un unto del cao de flujo. Dos cantidades de flujo local iortantes son la resión y la velocidad, otras son teeratura, densidad y viscosidad. Resuesta dináica y roediación as ediciones de flujo se ueden clasificar según la naturaleza del flujo: estable o inestable. Si la agnitud de una cantidad física se antiene constante en el tieo, decios que se trata del valor en estado estable. Por otro lado si la cantidad cabia con el tieo, la edición es transitoria, o inestable y exigen aaratos de edición altaente esecializados y requieren cierto tieo ara resonder a la cantidad física detectada y con un tieo enor que el tieo que tarda en ocurrir un cabio significativo en la cantidad física.