UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS GUÍAS

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1 UNIVESIDAD LIBE FACULTAD DE INGENIEIA DEPATAMENTO DE CIENCIAS BASICAS GUÍAS NOMBE DE LA ASIGNATUA: CÁLCULO DIFEENCIAL MODULO DE TABAJO No: 5 GUÍA No: 10 TÍTULO: APLICACIONES DE LAS DEIVADAS TEMAS VAIABLES ELACIONADAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS CITEIO PIMEA DEIVADA CITEIO SEGUNDA DEIVADA OPTIMIZACIÓN DE GÁFICAS BIBLIOGAFÍA SUGEIDA: STEWAT, CÁLCULO. TOMO 1 OBJETIVOS Determinar los valores críticos de una función Enunciar y utilizar los criterios de la primera y segunda derivada para hallar máximos y mínimos relativos Analizar una función, hallando los puntos de inflexión y su concavidad Graficar una función utilizando los criterios de primera y segunda derivada esolver problemas que incluyan máximos y mínimos de una función CONCEPTOS TEÓICOS BÁSICOS 1. DEFINICIONES La función y f(x), tiene un mínimo relativo en x c, si existe un intervalo abierto (a,b), que contiene a c, tal que f(c) f(x). Si f(x) es continua para todos los valores de x en un intervalo abierto (a,b), y tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en x c f (c) no existe. Sea f una función derivable en un intervalo: Si f (x) > 0 para todo x en (a,b) f es creciente en (a,b); Si f (x) < 0 para todo x en (a,b) f es decreciente en (a,b); Si f (x) 0 para todo x en (a,b) f es constante en (a,b). Criterio de concavidad: a) En las curvas cóncavas hacia arriba, las pendientes de las rectas tangentes a la curva forman una sucesión creciente. Por lo tanto la

2 derivada en el intervalo correspondiente es creciente y su derivada (segunda derivada de la función), será positiva Si, f (x) > 0 para toda x (a,b) f(x) es cóncava hacia arriba. b) En las curvas cóncavas hacia abajo, las pendientes de las rectas tangentes a la curva forman una sucesión decreciente. Por lo tanto la derivada en el intervalo correspondiente es decreciente y su derivada (segunda derivada de la función), será negativa Si, f (x) < 0 f(x) es cóncava hacia abajo en (a,b). c) La segunda derivada cambia de signo, como ésta es continua, no puede cambiar de + a - o de - a +- sin volverse 0, por lo tanto: Si, c, f(c) es un punto de inflexión f (c)0. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos: a) Si, f (c) < 0 f tiene un máximo relativo en x c. b)si, f (c) > 0 f tiene un mínimo relativo en x c. EJEMPLOS Si f(x) x - x + a. Hallar los valores críticos de f. f (x) x 0 x ± 1 x 1 x -1 b. Determinar los intervalos donde f crece o decrece. Formamos los intervalos (-,-1) (-1,1) (1,+ ) Ahora analicemos el signo de la primera derivada en cada uno de estos intervalos: (-,-1) (-,-1) (1,+ ) f (x) CECE DECECE CECE c. Hallar los puntos máximo y/o mínimo relativo: f (x) 6x F (1) 6 f (-1) - 6 MINIMO MAXIMO f(-1) 4 (-1,4) MÁXIMO ELATIVO f(1) 0 (1,0) MÍNIMO ELATIVO d. Hallar los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. f (x) 6x 0 x 0 Formamos los intervalos (-,0) (0,+ )

3 Analizamos el signo de la segunda derivada en cada uno de ellos: (-,0) (0,+ ) - + f (x) DECECE CECE Luego f es cóncava hacia abajo en (-,0), y cóncava hacia arriba en (0,+ ). e. Hallar los puntos de inflexión. f (x) 6x 0 x 0 f(x) (0,) es el punto de inflexion. f. Dibujar la gráfica Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular cuyo volumen es 15 cm. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima. h A π h + π 1 V π h 15 De la ecuación se tiene h π y se reemplaza en la ecuación 1 Se obtiene A π + π

4 da d. 6π ( 50 + π ) 6π 50 π 0 despejando 5 y π 5 4π h π Hallar entre todos los rectángulos que tienen 48 cm de perímetro, aquel que ocupa la mayor área x y p x + y x 4 y A x y A da dy ( 4 y) y 4y y 4 y 0 y 1 x + y 48 x 1 EJECICIOS En los siguientes ejercicios encontrar: los valores críticos, los intervalos donde f decrece o crece, los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o hacia abajo, los puntos de inflexión, los valores máximos y mínimos y dibujar la grafica f ( x) x 6x + 4 f ( x) x 9x + 1 f ( x) f ( x) x x + 1 x x 7x + 10

5 esolver los siguientes problemas: Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima cuyo perímetro mide 50 centímetros Hallar el área máxima del rectángulo inscrito en una circunferencia de 4cm de radio Hallar dos números tales que la suma sea igual a y que la suma de sus cuadrados sea mínima Hallar las dimensiones del cilindro de mayor área lateral que se puede inscribir en una esfera de radio r Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar sus dimensiones cuando el perímetro es de 1cm y el área es la mayor posible.