APLICACIONES de la DERIVADA Optimización - Gráficos

Transcripción

1 APLICACIONES de la DERIVADA Optimización - Gráficos

2 Pautas de manejo de soja para lograr Rendimientos elevados Gráficos: Campañas año I y año II

3 OBJETIVOS Analizar propiedades de las distintas funciones mediante el uso de la derivada. Seleccionar y aplicar criterios que le permitan obtener los extremos de una función. Interpretar características de funciones a partir de la función derivada y derivada segunda de una función. Desarrollar procedimientos para representar curvas. Resolver problemas de optimización de funciones aplicados a situaciones agronómicas.

4 CONTENIDOS Aplicaciones de la derivada de Funciones. Gráficos de funciones: extremos absolutos y relativos. Máximos y mínimos de funciones. Puntos de Inflexión. Intervalos de Crecimiento y decrecimiento, de concavidad y convexidad. Optimización. Planteo y resolución de problemas con aplicaciones a las Ciencias Agropecuarias.

5 Gráfico de Funciones Qué podemos realizar con lo que estudiamos? Dom f e Img f Corte con los ejes coordenados Continuidad de la función eje y ( f (0)) eje x ( f (x) = 0) Comportamiento de la función en los extremos Dom f = R lím f (x) x + Dom f = [a,b] f (a) y f (b) y lím f (x) x - Comportamiento en los puntos de discontinuidad (asíntota vertical)

6 Extremos de una Función: Máximos y Mínimos y = f (x) f (x M ) x mr x m x M x MR x f (x m )

7 Definición 1: 1. El punto x M es un punto de máximo absoluto de la función y = f (x) si verifica que: f ( xm ) f ( x) para todo x perteneciente al Dom f El valor f (x M ) es el valor máximo absoluto de la función. 2. El punto x m es un punto de mínimo absoluto de la función y = f (x) si verifica que: f ( xm ) f ( x) para todo x perteneciente al Dom f El valor f (x m ) es el valor mínimo absoluto de la función.

8 Definición 2: 1. El punto x MR es un punto de máximo relativo de la función y = f (x) si verifica que: f ( xmr ) f ( x) para todo x I incluido en el Dom f El valor f (x MR ) es el valor máximo relativo de la función. 2. El punto x mr es un punto de mínimo relativo de la función y = f (x) si verifica que: f ( xmr ) f ( x) para todo x I incluido en el Dom f El valor f (x mr ) es el valor mínimo relativo de la función.

9 Importante!!! Máximo Absoluto o Relativo: ( x M, f (x M ) ) Punto de Máximo Valor Máximo Mínimo Absoluto o Relativo: ( x m, f (x m ) ) Punto de Mínimo Valor Mínimo

10 Puntos Extremos Definición 3: 1.Un par ordenado (x a, f (x a )) es un extremo absoluto de la función y = f (x) si es un máximo absoluto o mínimo absoluto de f. 2.Un par ordenado (x r, f (x r )) es un extremo relativo de la función y = f (x) si es un máximo relativo o mínimo relativo de f.

11 Qué relación existe entre la derivada y los puntos extremos de una función f? y = f (x) f (x M ) x mr x m x M x MR x f (x m ) Teorema 1: Si la función y = f (x) tiene un punto extremo en x e y es derivable en dicho punto, entonces f (x e ) = 0.

12 Definición 4: Un punto crítico de la función f es un punto x p que verifica f (x p ) = 0 o f no es derivable en x p y x p1 x p2 x p3 x p4 x

13 Condición necesaria para la existencia de extremos Si la función y = f (x) es: derivable en x e y tiene un extremo en (x e, f (x e )) x e es un punto crítico de f

14 Si x p es un punto crítico de la función f es (x p, f (x p )) un extremo de f? NO Ejemplo: f (x) = x 3 y x 3 x = 0 es un punto crítico x (0,0) NO es un punto extremo

15 Teorema de Rolle: Si y = f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que tiene derivada en todo punto x en el intervalo abierto (a,b) y verifica f (a) = f (b) entonces existe, al menos un punto x 0 en el intervalo abierto (a,b) para el cual f '( x0 ) 0 Teorema del Valor Medio o de Lagrange: Si y = f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que tiene derivada en todo punto x en el intervalo abierto (a,b), entonces existe, al menos, un punto x 0 en el intervalo abierto (a,b) para el cual: f '( x0 ) f ( b) f ( a) b a

16 Propiedad: Si la función y = f (x) es derivable en todo punto de un intervalo (a,b) entonces: Si f (x) = 0 para todo x (a,b) entonces f es constante Si f (x) > 0 para todo x (a,b) entonces f es creciente Si f (x) < 0 para todo x (a,b) entonces f es decreciente

17 Determinación de puntos extremos de una función Criterio Local Sea f una función continua en un intervalo (a,b), y c un punto interior del intervalo, entonces: Si c es punto crítico de f ( f (c) = 0 o f (c) no existe). f (x) > 0 para todo x en (a,c) (a la izquierda de c) y f (x) < 0 para todo x en (c,b) (a la derecha de c), y f (c) (c, f (c)) es un máximo de f crece c x decrece

18 Determinación de puntos extremos de una función Criterio Local Sea f una función continua en un intervalo (a,b), y c un punto interior del intervalo, entonces: Si c es punto crítico de f ( f (c) = 0 o f (c) no existe). f (x) < 0 para todo x en (a,c) (a la izquierda de c) y f (x) > 0 para todo x en (c,b) (a la derecha de c), y (c, f (c)) es un mínimo de f f (c) decrece c x crece

19 Determinación de puntos extremos de una función Criterio Puntual f es una función continua en un intervalo (a,b), y c un Si punto interior del intervalo, entonces: Si c es punto crítico de f ( f (c) = 0 o f (c) no existe). y f (c) < 0 y f (c) (c, f (c)) es un máximo de f c x

20 Determinación de puntos extremos de una función Criterio Puntual Sea f una función continua en un intervalo (a,b), y c un punto interior del intervalo, entonces: Si c es punto crítico de f ( f (c) = 0 o f (c) no existe). y f (c) > 0 y (c, f (c)) es un mínimo de f f (c) c x

21 Curvatura de una función Definición 5: Si f es una función derivable en todo punto de un intervalo I = (a,b), decimos que: 1. f es un cóncava hacia arriba en el intervalo I si: f (x) es creciente en todo punto x I, o bien f (x) > 0 en todo punto x I. 2. f es un cóncava hacia abajo en el intervalo I si: f (x) es decreciente en todo punto x I, o bien f (x) < 0 en todo punto x I

22 Definición 6: Un par ordenado (x i, f (x i )) donde el gráfico de la función f cambia su concavidad se llama punto de inflexión. y x i 1 x i 2 x f cóncava h. abajo: (-, x i 1 ) f cóncava h. arriba: (x i 1, x i 2 ) f es lineal (curvatura nula): (x i 2, + )

23 Determinación de puntos de inflexión de una función Sea f una función continua en un intervalo (a,b), y x i un punto interior del intervalo, entonces: Si f (x i ) = 0 ( o bien la f no existe) y f (x) cambia de signo en x i y = f (x) x i x (x i, f (x i )) es un punto de inflexión de f

24 Para graficar una función: 1. Dom f 2. Corte con los ejes coordenados eje y ( f (0) ) eje x ( f (x) = 0 ) 3. Continuidad de la función 4. Comportamiento de la función en los extremos Dom f = R lím f (x) x + y lím f (x) x - 5. Puntos críticos ( f (x) = 0 ) Dom f = [a,b] f (a) y f (b)

25 6. Extremos de la función Máximo: ( x M, f (x M ) ) ( f (x) < 0 ) Mínimo: ( x m, f (x m ) ) ( f (x) > 0 ) 7. Intervalos donde f : crece ( f > 0 ) decrece ( f < 0 ) constante ( f = 0 ) 8. Puntos de Inflexión ( x i, f (x i ) ) ( f (x i ) = 0 y cambio de signo en x i ) 9. Intervalos donde f : cóncava hacia arriba ( f > 0 ) cóncava hacia abajo ( f < 0 )

26 Para resolver Problemas de Optimización: 1. Realizar, cuando sea posible, un esquema o diagrama que represente la información del problema 2. Determinar: datos conocidos e incógnitas 3. Encontrar una función que modelice el problema, expresando la situación que se pretende optimizar. 4. Expresar la función encontrada en términos de una variable. 5. Determinar los extremos de la función, que permitirán decidir los óptimos del sistema.

27 Resolver... A fin de distinguir dos plantines de orégano, se desean rodear los mismos con un trozo de alambre. Se coloca alrededor de uno el alambre formando una circunferencia y del otro formando un cuadrado. Si se dispone de 48 cm de alambre para cortarlo en dos partes y formar las citadas figuras. Cómo debe cortarse el alambre de modo tal que la suma de las áreas encerradas por las figuras formadas sea mínima? 1. (x / 4) cm x cm 48 cm y cm (y / 2 ) cm

28 2. Incógnitas: x = perímetro del cuadrado Datos: x + y = 48 y = perimetro de la circunferencia 3. Función a optimizar: x f (x,y) = y Función de una variable: x f (x) = (48 x ) Mínimo de la función: x = 26,88 y = 21,12 El alambre se debe cortar de modo que el trozo para realizar el cuadrado sea de 26,88 cm. y para realizar la circunferencia de 21,12 cm.