Capitulo 3 Modelo RBC con solución analítica

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1 Capitulo 3 Modelo RBC con solución analítica Hamilton Galindo galindo h@up.edu.pe 3 de mayo de 207 Índice. Introducción 2 2. Construcción del modelo Función de utilidad Familias Empresas Equilibrio de mercado y definición del choque Ecuaciones principales Calibración 4. Estado estacionario 2 5. Linealización vs Log-linealización Linealización (variable en niveles) Linealización (variables en logarítimo) o Log-linealización Solución del sistema lineal Método analítico Método de Blanchard y Kahn Representación de serie de tiempo Funciones impulso-respuesta Simulación de las variables endógenas 6 0.Componente cíclico de las variables simuladas 62.Cálculo de los momentos teóricos 63 2.Comparación modelo teórico con los datos 64 3.Códigos 64

2 . Introducción El objetivo de este capítulo es ilustrar en profundidad cada uno de los pasos en la construcción de un modelo RBC. Con este fin en mente, estudiar un modelo sencillo (toy model) es una ventaja. Para ello este capítulo se basa en el modelo desarrollado por Long y Plosser (983) y Plosser (989). El modelo propuesto por Long y Plosser (983) busca capturar las dinámicas de diversos sectores económicos y sus comovimientos entre ellos ante un choque de productividad. De otro lado, el modelo propuesto por Plosser (989) es un modelo unisectorial. Ambos modelos tienen dos supuestos subyacentes. La primera es que se asume que los bienes son perecibles y duran un solo periodo; es decir, el capital se deprecia totalmente. La segunda es que las preferencias son aditivas y están expresadas como el logaritmo del consumo y el logarítmo del ocio. Estos dos supuestos tienen importantes efectos en la solución del modelo. En primer lugar permite que el modelo sea resuelto analíticamente; es decir, se puede encontrar un solución exacta a mano y papel. La segunda es que la función de política del trabajo sugiere que esta variable no reacciona ante el capital ni ante el choque de productividad; es decir, siempre se mantiene en estado estacionario. Esto se debe a que el efecto de la tasa de interés sobre el consumo es nulo porque el efecto sustitución e ingreso se contrarestan totalmente entre ellos. 2. Construcción del modelo Este modelo esta basado en Long y Plosser (983, 989) y tiene solución analítica; es decir, se puede resolver directamente por medio de operaciones algebraicas. Esto se debe a dos supuestos: depreciación total y utilidad logarítmica (en consumo y ocio). Además, este modelo se basa en los siguientes supuestos: en la economía existen dos agentes económicos (familias y empresas), de las cuales las familias son dueñas del capital y las empresas se desarrollan en un ambiente de competencia perfecta tanto en el mercado de bienes y como en el de factores. Además, se asume que la economía es cerrada, lo cual implica que el ahorro sea igual a la inversión. Finalmente, en esta economía, la única fuente de incertidumbre proviene por el lado de la oferta, en particular se asume un choque de productividad. La figura esquematiza la interacción entre las familias y las empresas y los mercados en que ellos participan. 2.. Función de utilidad Antes de describir en detalle el modelo es importante entender el rol que tiene las formas funciones de la función de utilidad en la construcción del modelo de equilibrio general. King et. al. (988) imponen dos restricciones sobre las preferencias (función de utilidad) que permiten que el estado estacionario sea compatible con un equilibrio competitivo óptimo: La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo debe ser invariante a la escala del consumo. 2

3 Figura : Esquema del modelo de Long y Plosser (983, 989) Economía cerrada Mercado de trabajo (competencia perfecta) Familias - Utilidad logarítmica - Depreciación total Mercado de bienes (competencia perfecta) Mercado de capital (competencia perfecta) h oferta h demanda c demanda i demanda y oferta k oferta k demanda Empresas Choque a la productividad El efecto ingreso y sustitución asociadas con el crecimiento en la productividad laboral no debe alterar la oferta de trabajo. La función de utilidad que cumple estas dos restricciones es: σ v(l), u(c, l) = c σ si σ > 0 y σ ln(c) + v(l), si σ = Donde c es consumo y l es ocio; σ es la elasticidad de sustitución del consumo (invariante a la escala del consumo) y v(l) es una función del ocio. Según King et. al. (988), un caso particular de esta función de utilidad es cuando v(l) = θln(l): u(c, l) = ln(c) + θln(l) () Además, en la literatura de los modelos RBC aparecen otras funciones de utilidad, en las cuales se considera que l t es el ocio, h t es el trabajo y que se cumple la siguiente relación entre ambas: l t + h t =, donde el tiempo disponible por la familia, que usualmente son 24 horas, se ha normalizado a. A continuación se mencionan otras funciones de utilidad usual en la literatura: Hansen(985): u(c t, l t ) = ln(c t ) + Bl t (2) Greenwood, et. al. (989): u(c t, h t ) = ) γ (c t h+θ t γ + θ (3) 3

4 Campbell (994): trabajo fijo (se usa en el capítulo 4) u(c t, h t ) = c γ t γ (4) Campbell (994): trabajo variable (se usa en el capítulo 5) u(c t, h t ) = ln(c t ) + θ ( h t) γn (5) γ n Long y Plosser (983) y Plosser (989): u(c t, h t ) = ln(c t ) + θln( h t ) (6) La función de utilidad de la ecuación (6) se obtiene considerando γ n = en la función de utilidad (5). Esta es la función de utilidad que Long y Plosser (983) consideran en su modelo. Cabe resaltar dos ideas: la primera es que θ es la participación del ocio en todo el tiempo que dispone la familia representativa. La segunda es que cada función de utilidad tiene un nivel diferente de elasticidad de Frisch y de elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (ESI c ) Familias Uno de los principales supuestos de los modelos RBC es que las familias presentes en la economía son todas idénticas. Ese decir, sus preferencias y restricciones son similares. Este supuesto permite analizar el comportamiento de las familias por medio del estudio de un agente representativo (una familia que represente a todas), y permtie realizar la agregación de las familias de manera sencilla. En el modelo de Long y Plosser se considera el supuesto del agente representativo, el cual maximiza una función de utilidad descontada: Max E 0 β t u(c t, h t ) (7) {c t,h t,k t+ } t=0 Donde c t es el consumo del periodo t y β es el factor de descuento, el cual está expresado de la siguiente manera: t=0 β = + ρ Donde ρ refleja la impaciencia del agente representativo. Mientras más impaciente sea la familia más grande será ρ y por tanto β será menor. Es decir, el individuo valora menos a las utilidades futuras. Si ρ = 0 significa que la familia es totalmente paciente y por tanto β =, lo cual indica que la familia brinda la misma valoración a la utilidad de hoy que la utilidad de mañana. Este análisis se aprecia mejor en el cuadro considerando que el valor presente de la función de utilidad se expresa de la siguiente manera: β t u(c t, h t ) = u(c 0, h 0 ) + βu(c, h ) + β 2 u(c 2, h 2 ) + β 3 u(c 3, h 3 )... t=0 4

5 Cuadro : Efecto de la impaciencia en el factor de descuento Impaciencia ρ Impaciencia nula ρ = 0 Poca impaciencia ρ = Mayor impaciencia ρ = 2 Impaciencia total ρ = Efecto en β t=0 βt u(c t, h t ) β = u(c 0, h 0 ) + u(c, h ) + u(c 2, h 2 ) +... β = /2 u(c 0, h 0 ) + 2 u(c, h ) + 4 u(c 2, h 2 ) +... β = /3 u(c 0, h 0 ) + 3 u(c, h ) + 9 u(c 2, h 2 ) +... β = 0 u(c 0, h 0 ) + 0u(c, h ) + 0u(c 2, h 2 ) +... Valoración La familia brinda la misma valoración a la utilidad a traves del tiempo. La familia brinda más valoración a la utilidad de hoy que en el futuro: la valoración a la utilidad de hoy es, mientras que a la utilidad en t = es 0.5 y en t = 2 es La familia brinda más valoración a la utilidad de hoy que en el futuro: la valoración a la utilidad de hoy es, mientras que a la utilidad de mañana lo valora con 0.33 y en t = 2 es 0.. La familia brinda toda la valoración a la utilidad de hoy. No valora nada consumir en el futuro. Considerando la forma funcional de la función instántanea de utilidad según la ecuación (6), la función objetivo a maximizar sería: Max E 0 β t( ln(c t ) + θln( h t ) ) {c t,h t,k t+ } t=0 t=0 La maximización de esta función objetivo está sujeta a dos restricciones: la restricción presupuestaria y la ley de movimiento del capital, las cuales se describen a continuación. Restricción presupuestaria: por un lado, la familia percibe sus ingresos del alquiler del capital k t a las empresas a una tasa de interés real r t. Además, las familias forman parte del mercado de trabajo donde ofrecen mano de obra h t a un salario real w t. Ambos ingresos se observan en cada periodo y son iguales a: r t k t + w t h t. Por otro lado, la familia destina sus ingresos a bienes de consumo c t y al ahorro que, en economía cerrada, es igual a la inversión i t. Por tanto, uniendo los ingresos y los egresos, la restricción presupuestaria de la familia representativa es: La elasticidad de Frisch es la elasticidad de la oferta de trabajo manteniendo constante el efecto ingreso. Esta elasticidad será analizada con mayor detalle en el capítulo 5. 5

6 c t + i t = r t k t + w t h t (8) Ley de movimiento del capital: por cuentas nacionales se sabe que la inversión neta es igual a la inversión bruta menos la depreciación: I neta = I bruta Depreciación (9) k t+ k t = i t δk t k t+ = ( δ)k t + i t (0) A la ecuación (0) se le conoce como la ley de movimiento de capital, la cual describe el comportamiento del stock de capital. Cabe mencionar que esta ecuación supone que el stock de capital se deprecia en un porcentaje δ (usualemente 2.5 % trimestral) en cada periodo. Sin embargo, Long y Plosser (983) asumieron que la tasa de depreciación es total (δ = ); es decir, que el capital en cada periodo se deprecia totalmente en ese mismo periodo de tal manera que no queda capital para el siguiente periodo (esto es el supuesto que todos los commodities son perecibles). Aunque el supuesto es muy poco realista, ayuda a eliminar ciertas no linealidades del sistema de ecuaciones. Con este supuesto en mente, la ecuación (0) se convierte en: k t+ = i t () Es decir, el capital en t+ es la inversión que se realiza en t. No hay stock de capital, el capital se convierte en un flujo y siempre es igual a los nuevos bienes en cada periodo. Introduciendo la ecuación () en la restricción presupuestaria, ecuación (8), se tiene: Entonces el problema de optimización de la familia es: c t + k t+ = r t k t + w t h t (2) sujeto a: Max E 0 β t( ln(c t ) + θln( h t ) ) {c t,h t,k t+ } t=0 t=0 c t + k t+ = r t k t + w t h t Construyendo la función de Lagrange: L = E 0 β t ( u(c t, h t ) + λ t rt k t + w t h t (c t + k t+ ) ) t=0 Donde la versión extendida de la función de Lagrange se puede expresar de la siguiente manera: 6

7 L = E 0 {β 0 u(c 0, h 0 ) + λ 0 ( r0 k 0 + w 0 h 0 (c 0 + k ) ) + β u(c, h ) + λ ( r k + w h (c + k 2 ) ) + β 2 u(c 2, h 2 ) + λ 2 ( r2 k 2 + w 2 h 2 (c 2 + k 3 ) ) + β 3 u(c 3, h 3 ) + λ 3 ( r3 k 3 + w 3 h 3 (c 3 + k 4 ) ) + β 4 u(c 4, h 4 ) + λ 4 ( r4 k 4 + w 4 h 4 (c 4 + k 5 ) ) β t u(c t, h t ) + λ t ( rt k t + w t h t (c t + k t+ ) ) + β t+ u(c t+, h t+ ) + λ t+ ( rt+ k t+ + w t+ h t+ (c t+ + k t+2 ) ) +... } +... Las condiciones de primer orden, en el periodo t, son: { L = 0 = E 0 β t u ct + λ t ( ) } = 0 c t u ct = λ t (3) { L = 0 = E 0 β t u ht + λ t (w t ) } = 0 h t u ht = λ t w t (4) Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (4) se obtiene la oferta de trabajo: u ht = λ t w t θ h t = w t c t θ = w t h t c t (5) De otro lado, la condición de primer orden con respecto al capital k t+ es: { L = 0 = E 0 β t λ t ( ) + β t+ λ t+ (r t+ ) } = 0 k t+ λ t = βe t λ t+ (r t+ ) (6) Reemplazando le ecuación (3) en la ecuación (6) se obtiene la ecuación de Euler: u ct = βe t u ct+ (r t+ ) = βe t (r t+ ) (7) c t c t+ 7

8 2.3. Empresas Función de producción: se asume que existe un solo bien final en la economía y es producido por una función de producción neoclásica f(a t, k t, h t ). La función de producción Cobb-Douglas cumple con las características de una función neoclásica y describe razonablemente bien la producción de un país. y t = f(a t, k t, h t ) = a t k α t h α t (8) Donde k t es el stock de capital predeterminado (elegido en el periodo t- ) y h t es el insumo trabajo. Además, la variable a t hace referencia a la productividad; el cual se supone que se comporta de manera estocástica y es expresado por un AR(). Una característica importante de la función Cobb-Douglas es que la participación de cada uno de los factores en la renta total es constante e igual a los exponentes de cada factor en la función de producción. Como se sabe en competencia perfecta (supuesto clave en los moldelos RBC), el alquiler del capital es igual a la productividad marginal del capital; es decir: r t = ( α) yt k t. De igual forma para el trabajo: w t = α yt h t. La renta destinada al pago del capital y del trabjo es r t k t y w t h t respectivamente. Al considerar que la producción representa toda la renta de un país entonces, la proporción de la renta orientada al pago del capital con respecto a la renta total es r t k t /y t : r t k t y t = ( α) y t k t k t y t = ( α) (9) De igual forma calculando la proporción de la renta total orientada al pago del trabajo: w t h t y t = α y t h t h t y t = α (20) La ecuación (9) y (20) indican que la participación del capital en la renta es igual a α, y la participación del trabajo en la renta es α. Ambas participaciones son constantes e iguales a los exponentes de los factores en la función de producción. Esto sugiere que se podría obtener el valor de α mediante las cuentas nacionales, lo cual sería en los términos de los modelos RBC una calibración del parámetro α. En el capítulo se observa que el promedio de la participación del trabajo en el ingreso nacional entre 948 y 204 para la economía norteamericana es igual a 66.3 %. Esto sugiere que α podría tomar dicho valor. 8

9 Características de la función de producción neoclásica Para que una función de producción f(a t, k t, h t ) sea considerada neoclásica debe de tener tres características (Barro y Sala-i-Martin, 2009):. Rendimientos a escala constante: la función f(a t, k t, h t ) debe de mostrar rendimientos a escala constante; es decir, si multiplicamos el capital y el trabajo por una constante λ, el producto queda multiplicado por esa misma constante. f(a t, λk t, λh t ) = λf(a t, k t, h t ) (2) 2. Rendimientos positivos y decrecientes: la función de producción neoclásica presenta productos marginales positivos y decrecientes en cada factor de producción. Rendimientos positivos : Rendimientos decrecientes : f( ) > 0, k t 2 f( ) kt 2 < 0, f( ) > 0 h t 2 f( ) h 2 < 0 t 3. Condiciones de Inada: estas condiciones indican que el producto marginal del capital tiende a infinito cuando el capital tiende a cero y tiende a cero cuando el capital tiende a infinito. La misma condición se cumple para el trabajo. En términos matemáticos estas condiciones se expresan como: ( ) ( ) f( ) f( ) Capital : Lim =, Lim = 0 k t 0 k t k t k t ( ) ( ) f( ) f( ) Trabajo : Lim =, Lim = 0 h t 0 h t h t h t La optimización: las empresas se desenvuelven en un contexto de competencia perfecta en el mercado de bienes y en el mercado de factores (trabajo y capital). Ellas maximizan su función de beneficos considerando su tecnología, la cual se asume tiene la forma funcional Cobb-Douglas. En este modelo las empresas deciden cuanto capital alquilar y cuanto trabajo (en horas) contratar. Por tanto, las dos variables de optimización son: capital k t y trabajo h t. Sujeto a la función de producción: Max Π t = y t (r t k t + w t h t ) {k t,h t} t=0 y t = a t k α t h α t (22) Cabe mencionar que debido a que la empresa no enfrenta una restricción dinámica, la empresa maximiza los beneficios en cada momento del tiempo. Por ello el problema de optimización es estático. Para resolver este problema se introduce la función de producción en la función objetivo: 9

10 Max Π t = a t k {k t,h t} t α h α t (r t k t + w t h t ) (23) t=0 Derivando esta expresión, ecuación (23), con respecto al capital k t : Π = 0 = (a tkt α h α t r t k t ) = 0 = ( α)a t k α t h α t r t = 0 k t k t De esta condición de primer orden se obtiene la demanda de capital: α ht r t = ( α)a t k t h α r t = ( α)a t t kt α r t = ( α)a t h α t kt α k t r t = ( α)a t h α t k α t Derivando la ecuación (23) con respecto al trabajo h t : k t k t r t = ( α) y t k t (24) Π = 0 = (a tkt α h α t r t k t w t h t ) = 0 = αa t k α t h α t w t = 0 h t h t De esta condición de primer orden se obtiene la demanda del trabajo: α kt w t = αa t h t k α t w t = αa t ht α kt α w t = αa t h t h α t w t = α y t h t (25) 2.4. Equilibrio de mercado y definición del choque Para cerrar el modelo es necesario definir el equilibrio en el mercado de bienes: y t = c t + i t (26) Además, es necesario definir el comportamiento de la productividad: lna t = φlna t + ɛ t (27) Cabe mencionar que el choque de productividad ɛ t se comporta como una distribución normal con media cero y varianza constante: ɛ t N(0, σ 2 ɛ ). 0

11 2.5. Ecuaciones principales Las ecuaciones principales del modelo se resumen en el cuadro 2: Cuadro 2: Sistema de ecuaciones no lineal del modelo Agente Ecuaciones Descripción Familia c t = βe t c t+ r t+ Ecuación de Euler k t+ = i t Ley de movimiento del capital θ h t = wt c t Oferta de trabajo Empresa y t = a t kt α h α t Función de producción r t = ( α) yt k t Demanda del capital w t = α yt h t Demanda de trabajo Equilibrio y t = c t + i t Equilibrio mercado de bienes Choque lna t = φlna t + ɛ t Choque de productividad Es importante mencionar que el sistema de ecuaciones está conformada por: el mercado de capital: oferta de capital representada por la ley de movimiento de capital y la demanda de capital, 2 el mercado de trabajo: oferta de trabajo y la demanda de trabajo, 3 el mercado de bienes: la oferta de bienes representada por la función de producción, la demanda de consumo representada por la ecuación de Euler y la demanda de inversión que está representada por la ley de movimiento de capital; asismimo, este mercado requiere que se haga explícito su equilibrio por medio de la ecuación y t = c t +i t, finalmente 4 el choque de productividad. Todas estas ecuaciones están descritas en el cuadro 2. Asimismo, es importante verificar que el número de variables sea igual al número de ecuaciones. En este caso existen ocho variables (y t, c t, i t, k t, h t, r t, w t y a t ) y ocho ecuaciones. 3. Calibración La calibración puede ser entendida como una forma de estimación por simulación (Hoover, 995). Este procedimiento consiste en asignar valores a los parámetros del modelo y luego se compara las principales características de las variables simuladas del modelo calibrado con aquellas provenientes de los datos. En este capítulo como en el capítulo 2 la calibración está basada en King y Rebelo (2000), cuyos valores se muestran en el cuadro 3. Tal como lo menciona Cooley y Prescott (995), dado que la estructura subyacente a los modelos RBC es un modelo neoclásico de crecimiento, la elección del valor de los parámetros (calibración) y las formas funcionales (por ejemplo: función de utilidad y la ley de movimiento de capital) deberían asegurar que el modelo económico muestre un crecimiento balanceado 2. 2 Se entiende por crecimiento balanceado (balanced growth) a la situación en la cual todos los sectores de una economía crecen a la misma tasa constante. Esto es similar a la definición de crecimiento en estado estacionario (steady-state growth), el cual indica la situación en la cual el producto, capital, trabajo y consumo cambian a la misma tasa. Como la tasa de crecimiento del capital depende de los ahorros, el crecimiento en estado estacionario requiere que la función de ahorros sea estable: la política de endeudamiento puede promover estabilidad manteniendo la tasa de interés constante. Si la tasa de crecimiento es

12 Parámetro α = θ = φ = β = σ e = Cuadro 3: Calibración Observación Proporción de largo plazo del trabajo en el ingreso nacional Calibrado para que el trabajo en estado estacionario sea igual a 20 % Persistencia del choque Factor de descuento Desviación estándar del choque de productividad 4. Estado estacionario Al estado estacionario se le conoce como equilibrio de largo plazo donde x t = 0 (para todas las variables del modelo) y que el choque de productividad (ε t ) toma su valor promedio (= 0). Además, dada la ecuación de movimiento de la productividad, su valor de estado estacionario es a =. Asimismo, las expectativas desaparecen, por ello se le conoce como solución no estocástica. El objetivo es encontrar el valor de estado estacionario en función del conjunto de parámetros del modelo. Para ello es importante considerar los siguientes tres criterios: en primer lugar, colocar todas las ecuaciones del modelo en estado estacionario; es decir, eliminar la temporalidad y las expectativas. En segundo lugar, utilizar las variables que solo dependen de los parámetros del modelo para hallar el estado estacionario de las demás variables. En tercer lugar, tratar de resolver el sistema de ecuaciones en función de ratios; por ejemplo, en lugar de buscar el valor de k ss (capital de estado estacionario) se podría buscar el valro del ratio /k ss. Cabe mencionar que hallar el estado estacionario es un paso previo a la log-linelización. Para la ecuación de Euler se tiene lo siguiente: r t+ c c t = βe t t+ c ss = r ss c βe t ss = βr ss r ss = β (28) De la misma manera para la ley de movimiento del capital: Para la oferta de trabajo: k t+ = i t k ss = i ss (29) igual a cero, entonces se dice que la economía está en estado estacionario (stationary state o steady state). Este ultimo es un estado teórico de la economía en el cual se consume exactamente lo que se produce y reemplaza lo que este consume al final del periodo. Otra forma de enterderlo es cuando una economía tiene un tamaño de población y stock de capital constante; es decir, la inversión solo es realizada para mantener el stock de capital existente; en otras palabras su steady-state growth es igual a cero (Rutherford,2002; Collin, 2003). 2

13 Para la función de producción: θ = w t h t c t θ = w ss (30) c ss y t = a t kt α h α t = a ss kss α h α ss (3) Para la demanda de capital: r t = ( α) y t k t r ss = ( α) k ss (32) Considerando la ecuación (28) en la ecuación (32), se tiene el ratio yss k ss parámetros del modelo: en función de r ss = ( α) k ss β = ( α) k ss = k ss β( α) (33) Es una buena estrategia encontrar ratios, especialmente cuando el denominador es el capital. Esto permite que cada variable dependa del capital en estado estacionario, el cual al hallar su valor permite encontrar los valores de las variables restantes. Para demanda de trabajo: Para la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes: w t = α y t h t w ss = α (34) y t = c t + i t = c ss + i ss (35) Pero, de la ecuación (29) se sabe que: k ss = i ss, entonces considerando esta igualdad en la ecuación (35), se tiene: 3

14 = c ss + i ss = c ss + k ss = c ss + k ss k ss c ss = k ss k ss c ss = k ss β( α) (36) Finalmente para la ecuación de comportamiento de la productividad: lna t = φlna t + ɛ t lna ss = φlna ss + ɛ }{{} ss =0(valor de su media) lna ss = φlna ss ln(a ss ) = ln(a φ ss) a ss = a φ ss (37) Dos valores de a ss podrían resolver esta última ecuación (37): a ss = o a ss = 0. Sin embargo, solo cuando a ss =, el lna ss existe. Por tanto, la solución correcta es a ss =. Con el fin de encontrar los estados estacionarios de las demás variables es necesario realizar algunas operaciones algebraicas adicionales. Uniendo la oferta de trabajo, ecuación (30), con la demanda de trabajo, ecuación (34), por medio del salario real se tiene: θc ss }{{} oferta de trabajo Operando en la ecuación resultante: = w ss = α }{{} demanda de trabajo (38) 4

15 θc ss = α θ = α θ c ss = α /k ss c ss /k ss De la ecuación : (33) y (36) θ β( α) = α β( α) = (α ) θ β( α) β( α) = θ(α )( β( α)) = θ(α )( β( α)) + = α θ( β( α)) + α (39) Dado que ya se tiene el valor de, entonces se puede hallar el capital de estado estacionario k ss de la función de producción (ecuación (3)): = a α ssk α k ss = de la ecuación (33) : = β( α) /α = β( α) ss h α ss α hss k ss α hss k ss k ss k ss = k ss = β( α) /α α θ( β( α)) + α β( α) /α (40) Dado que algunas variables se encuentran expresadas en ratio con respecto al capital, entonces su valor de estado estacionario se puede hallar en función del valor de estado estacionario del capital. De la ecuación (33) se halla el producto : 5

16 = k ss β( α) = k ss β( α) = α θ( β( α)) + α Haciendo lo mismo en la ecuación (36) se halla el consumo c ss : β( α) α (4) c ss = k ss β( α) c ss = k ss β( α) α β( /α c ss = α) θ( β( α)) + α β( α) (42) En la demanda de trabajo, ecuación (34), se sustituye y y se obtiene el salario de estado estacionario w ss : w ss = α w ss = α α θ( β( α))+α β( α) α α θ( β( α))+α w ss = α β( α) α (43) En el cuadro 4 se resume la expresión del estado estacionario de cada variable del modelo. Cuadro 4: Estado estacionario Estado estacionario Estado estacionario (forma paramétrica) Valores (forma recursiva) r ss = β = β r ss =.063 α α = θ( β( α))+α = θ( β( α))+α = 0.2 a ss = = a ss = /α k ss = β( α) = α /α θ( β( α))+α β( α) k ss = i ss = k ss = α /α θ( β( α))+α β( α) i ss = = k ss β( α) = α θ( β( α))+α β( α) α = 0.46 c ss = k ss β( α) = α /α θ( β( α))+α β( α) β( α) c ss = w ss = α yss = α β( α) α w ss = Nota: El cálculo de los estados estacionarios se encuentra en Long Plosser EstadoEstacionario.m. 6

17 Como se menciono antes, este modelo está basado en la calibración de King y Rebelo (2000). En ese estudio los autores asumen que el trabajo de estado estacionario es igual a 0.2. Bajo esta premisa, el valor del parámetro θ se calcula endógenamente de la expresión de estado estacionario del trabajo, el cual se deriva del modelo. Entonces bajo esta consideración se tiene: = = α θ( β( α) ) + α }{{} η α θη + α Despejando θ : θη + α = α θη = α( ) h ( ss ) hss θ = α η (44) 5. Linealización vs Log-linealización Un paso importante en el proceso de solución del modelo es linealizar o log-linealizar las ecuaciones del sistema. En estricto la técnica de linealización es única, lo que difere es la naturaleza de la variable, la cual en un caso está considerada en niveles y en otro caso en logarítmo. En términos prácticos se llamará a la primera linealización (variables en niveles) y a la segunda log-linealización (variable en logarítmo). En ambos casos se apróxima cada ecuación del modelo por medio de la expansión de Taylor de primer orden (Dejong y Dave, 2007). 5.. Linealización (variable en niveles) Paso : el primer paso consiste en ordenar cada ecuación del sistema de tal manera que el lado derecho de la ecuación sea igual a cero. Luego, el lado izquierdo de la ecuación renombrarla como una función que depende de las variables que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, sea la siguiente expresión una ecuación del modelo: Se ordena los términos al lado izquierdo: Finalmente renombramos la ecuación como una función: αx t y t = βy t + θz t (45) αx t y t βy t θz t = 0 (46) F (x t, y t, z t ) = αx t y t βy t θz t = 0 (47) Paso 2: el segundo paso es aproximar la función 47 por medio de una expansión de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario. 7

18 F (x t, y t, z t ) = αx t y t βy t θz t = 0 F (x t, y t, z t ) F ( ) ss + F ss (x t x ss ) + F ss (y t ) + F ss (z t z ss ) (48) x t y t z t Considerando que F ( ) ss = 0 y realizando un cambio de variable: x t = x t x ss ; donde x t es la desviación de la variable (en niveles) con respecto a su estado estacionario. Aplicando este cambio de variable a la ecuación 48, se tiene: F (x t, y t, z t ) F ( ) ss + F x t ss (x t x ss ) + F y t ss (y t ) + F z t ss (z t z ss ) F (x t, y t, z t ) 0 + F ss ( x t ) + F ss (ỹ t ) + F ss ( z t ) x t y t z t F (x t, y t, z t ) (α ) x t + ( β)ỹ t + ( θ) z t pero : F (x t, y t, z t ) = 0,entonces... 0 = F (x t, y t, z t ) (α ) x t + ( β)ỹ t + ( θ) z t 0 = (α ) x t + ( β)ỹ t + ( θ) z t α x t = βỹ t + θ z t (49) La ecuación (49) es la versión lineal de la ecuación (46). Aplicando esta técnica a cada ecuación del sistema no lineal se obtendrá el sistema lineal con las variables en niveles. Para el caso de la ecuación de Euler se tiene: F (c t, c t+, r t+ ) = r t+ βe t = 0 c t c t+ Extrayendo las expectativas : E t F (c t, c t+, r t+ ) = E t ( β r t+ ) = 0 c t c t+ F (c t, c t+, r t+ ) F ( ) ss + F ss (c t c ss ) + F ss (c t+ c ss ) + F ss (r t+ r ss ) c t c t+ r ( t+ F (c t, c t+, r t+ ) 0 + ) ( c 2 c t + β r ) ( ss ss c 2 c t+ + β ) r t+ ss c ss ( 0 = E t ) ( c 2 c t + β r ) ( ss ss c 2 c t+ + β ) r t+ ss c ss ( 0 = ( ) c c 2 t + E t β r ) ( ss ss c 2 c t+ + β ) r t+ ss c ss ( ( ) c t = E t β r ) ( ss c t+ + β ) r t+ c 2 ss c 2 ss c ss c t = βe t (r ss c t+ c ss r t+ ) (50) Haciendo el mismo procedimiento de linealización para la ley de movimiento del capital: 8

19 F (k t+, i t ) = k t+ i t = 0 F (k t+, i t ) F ( ) ss + F ss (k t+ k ss ) + F ss (i t i ss ) k t+ i t F (k t+, i t ) 0 + () k t+ + ( )ĩ t 0 = k t+ + ( )ĩ t kt+ = ĩ t (5) Para la oferta de trabajo, la ecuación linealizada sería: F (h t, w t, c t ) = θ h t w t c t = 0 F (h t, w t, c t ) F ( ) ss + F ss (h t ) + F ss (w t w ss ) + F ss (c t c ss ) h t w t c t F (h t, w t, c t ) θ 0 + ( ) h 2 t + w t + w ss c ss c 2 c t ss 0 = θ ( ) h 2 t w t + w ss c ss c 2 c t ss θ w t = c ss ( ) h 2 t + w ss c 2 c t ss w t = w ss θ t + c t ( ) h (52) De manera similar para la función de producción: F (y t, a t, k t, h t ) = y t a t kt α h α t = 0 F (y t, a t, k t, h t ) F ( ) ss + F ss (y t ) + F ss (a t a ss ) + F ss (k t k ss ) + F ss (h t ) y t a t k t h t F (y t, a t, k t, h t ) 0 + (ỹ t ) + ( kss α h α ss)(ã t ) + ( ( α)a ss k α 0 = ỹ t ã t ( α) kt α ht a ss k ss ss h α ss)( k t ) + ( αa ss kss α h α ss )( h t ) ỹ t = a ss ã t + ( α) k ss kt + α ht (53) Haciendo lo mismo para demanda de capital: F (r t, y t, k t ) = r t ( α) y t k t = 0 F (r t, y t, k t ) F ( ) ss + F r t ss (r t r ss ) + F y t ss (y t ) + F k t ss (k t k ss ) ( α) F (r t, y t, k t ) 0 + () r t + 0 = () r t + k ss ( α) k ss ỹ t + ( α) kss 2 kt ỹ t + ( α) kss 2 kt k ss kt = ỹ t k ss α r t (54) 9

20 De igual forma para la demanda de trabajo: F (w t, y t, h t ) = w t α y t h t = 0 F (w t, y t, h t ) F ( ) ss + F ss (w t w ss ) + F ss (y t ) + F ss (h t ) w t y t h ( ) ( ) t α αyss F (w t, y t, h t ) 0 + () w t + ỹ t + h 2 ht ss ( ) ( ) α αyss 0 = w t ỹ t + h 2 ht ss ( ) ( ) α αyss w t = ỹ t ht (55) h 2 ss Para la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes: F (y t, c t, i t ) = y t c t i t = 0 F (y t, c t, i t ) F ( ) ss + F ss (y t ) + F ss (c t c ss ) + F ss (i t i ss ) y t c t i t F (y t, c t, i t ) 0 + ()ỹ t + ( ) c t + ( )ĩ t ỹ t = c t + ĩ t (56) Finalmente para el choque de productividad: F (a t, a t, ɛ t ) = lna t φlna t ɛ t = 0 F (a t, a t, ɛ t ) F ( ) ss + F ss (a t a ss ) + a t Considerando : ɛ ss = 0 F (a t, a t, ɛ t ) 0 + ã t + ( φ )ã t + ( )ɛ t a ss a ss 0 = ã t + ( φ )ã t + ( )ɛ t a ss a ss ã t a ss = ( φ )ã t + ɛ t a ss Dado que : a ss = F ss (a t a ss ) + F ss (ɛ t ɛ ss ) a t ɛ t ã t = φã t + ɛ t (57) El cuadro 5 resume las ecuaciones linealizadas del modelo Linealización (variables en logarítimo) o Log-linealización Es usual considerar la log-linearización del modelo debido a que las variables transformadas están expresadas como la desviación porcentual de su estado estacionario. Es decir: x t = ln(x t ) ln(x ss ) 20

21 Cuadro 5: Sistema de ecuaciones lineal del modelo (Long y Plosser, 983) Agente Ecuaciones Descripción Familia c t = βe t (r ss c t+ c ss r t+ ) Ecuación de Euler kt+ = ĩ t Ley de movimiento del capital w t = wss ( ) h t + θ c t Oferta de trabajo Empresa ỹ t = yss a ss ã t + ( α) yss k kt ss + α yss a ht ss Función de producción k kt ss ( = ỹ t kss α( r t α w t = )ỹ t α h 2 ss ) ht Demanda del capital Demanda de trabajo Equilibrio ỹ t = c t + ĩ t Equilibrio mercado de bienes Choque ã t = φã t + ɛ t Choque de productividad En ese contexto, los coeficientes de la solución del sistema lineal se interpretan como elasticidades. Esta técnica fue inicialmente propuesto por King et al (987) y Campbell (994). Para log-linearizar el sistema no lineal se puede aplicar dos formas. La primera es siguiendo el mismo camino descrito en la sección previa pero con una variante. La forma estándar sugiere que los términos de la ecuación son llevados al lado izquierdo y luego es renombrada por una función (que depende de las variables de la ecuación), para finalmente aplicar una apróximación de esta función por medio de la expansión de Taylor de primer orden. La variante es que primero se tiene que aplicar logarítmo a ambos lados de cada ecuación y luego procurar expresar cada variable en logarítmo; por ejemplo, el consumo c t está en niveles, para que esté en logarítmo se puede hacer lo siguiente: e lnct. La segunda forma es propuesta por Uhlig (997), la cual es mucho más práctica. La propuesta de Uhlig (997) consiste en reemplazar cada una de las variables por su logdesviación (x t = x ss e xt ) y luego considerar tres propiedades de aproximación, las cuales se mencionan mas adelante. Cabe mencionar que para el modelo de este capítulo en particular ambas formas de log-linealizar no representan diferencia en esfuerzo. La propuesta de Uhlig (997) gana mayor importancia en cuanto a practicidad a medida que el modelo es más complejo. Por ejemplo, el modelo del capítulo 5 hacia adelante puede ser log-linealizado rápidamente y con poco esfuerzo por medio de la técnica de Uhlig en comparación con el camino estándar. Método estándar: debido a los supuestos del modelo de Long y Plosser (983), algunas ecuaciones no requeriran una apróximación de Taylor de primer orden sino que será sencillo obtener la ecuación expresada en log-desviaciones. En estos casos bastará colocar la ecuación en logarítmo y restar la ecuación en estado estacionario. Dichas ecuaciones son: la ley de movimiento del capital, la función de producción, la demada de capital, la demanda de trabajo y la productividad. Para el caso de la ecuación de Euler, la oferta de trabajo y la ecuación de equilibrio del mercado de bienes sí se requiere aplicar la expan- 2

22 sión de Taylor. Claramente, a medida que el modelo sea más complejo la aplicación de la expansión de Taylor será más requerida. Para la ecuación de Euler se tiene lo siguiente: en primer lugar se toma logarítmos en ambos lados de la ecuación (ecuación (58)), luego se lleva todos los elementos de esta ecuación a la lado izquierdo y se renombra como una función de las variables endógenas que aparecen en esta ecuación. En este caso en particular la función es f(lnr t+, lnc t+, lnc t ). r t+ = βe t c t c t+ ln = E t ln β r t+ E t lnβ + lnr t+ lnc t+ + lnc t = 0 c t c t+ lnc t = E t lnβ + lnr t+ lnc t+ F (lnr t+, lnc t+, lnc t ) = E t lnβ + lnr t+ lnc t+ + lnc t = 0 (58) F (lnr t+, lnc t+, lnc t ) = 0 (59) El paso siguiente es aproximar la función F ( ) por medio de una expansión de Taylor de primer order. F (lnr t+, lnc t+, lnc t ) E t F ( ) ss + F ss (lnr t+ lnr ss ) + lnr t+ F ss (lnc t+ lnc ss ) + F ss (lnc t lnc ss ) lnc t+ lnc t F (y t, c t, i t ) E t 0 + ()(lnrt+ lnr ss ) + ( )(lnc t+ lnc ss ) + ()(lnc t lnc ss ) F (y t, c t, i t ) E t rt+ ĉ t+ + ĉ t ĉ t = E t ĉt+ r t+ (60) Con respecto a la ley de movimiento del capital se procede de la misma manera que en la ecuación de Euler excepto que no es necesario aplicar la aproximación de Taylor. k t+ = i t lnk t+ = lni t lnk ss = lni ss lnk t+ lnk ss = lni t lni ss kt+ = î t (6) En el caso de la oferta de trabajo. 22

23 θ = w t h t c t ln θ = ln w t h t c t lnθ ln( h t ) = lnw t lnc t (62) lnθ ln( ) = lnw ss lnc ss (63) (62) (63) : ln( h t ) + ln( ) = lnw t lnc t lnw ss + lnc ss ordenando : ln( h t ) + ln( ) = (lnw t lnw ss ) (lnc t lnc ss ) ln( h t ) + ln( ) = ŵ t ĉ t (64) Para que la ecuación (64) esté totalmente log-linealizada falta expresar el trabajo como su log-desviación de su estado estacionario. Para ello se hará lo siguiente: ln( h t ) = ln( e lnht ) Esta expresión se aproxima por medio de la expansión de Taylor de primer orden: g(lnh t ) = ln( e lnht ) g( ) ss + g ss (lnh t ln ) lnh t e lnh t ln( e lnht ) ln( e lnhss ) + (lnh t ln ) e lnht hss ln( e lnht ) ln( ) (lnh t ln ) hss ln( e lnht ) ln( ) ĥ t (65) Reemplazando la ecuación (65) en (64) se obtiene la expresión log-lineal de la oferta de trabajo. ln( h t ) + ln( ) = ŵ t ĉ t hss ln( ) + ĥ t + ln( ) = ŵ t ĉ t hss ĥ t = ŵ t ĉ t (66) Para obtener la forma log-lineal de la función de producción basta con aplicar logarítmo a la función de producción y luego evaluarla en sus estado estacionario para finalmente restar ambas ecuaciones. 23

24 y t = a t kt α h α t lny t = lna t + ( α)lnk t + αh t (67) ln = lna ss + ( α)lnk ss + α (68) (67) (68) : lny t ln = lna t lna ss + ( α)lnk t ( α)lnk ss + αh t α ŷ t = â t + ( α) k t + αĥt (69) La demanda de trabajo sigue los mismos pasos que la función de producción. w t = α y t h t lnw t = lnα + lny t lnh t (70) lnw ss = lnα + ln ln (7) (70) (7) : lnw t lnw ss = lny t ln lnh t + ln ŵ t = ŷ t ĥt (72) Con respecto a la demanda del capital se obtiene: r t = ( α) y t k t lnr t = ln( α) + lny t lnk t (73) lnr ss = ln( α) + ln lnk ss (74) (73) (74) : lnr t lnr ss = lny t ln lnk t + lnk ss r t = ŷ t k t (75) Para la ecuación de equilibrio de mercado se tiene: y t = c t + i t lny t = ln(c t + i t ) lny t ln(c t + i t ) = 0 (76) Debido a que se desea que las variables esten expresadas en logarítmo se realiza el siguiente artificio: cada variable x t se expresa como e lnxt. Aplicando este artificio a la ecuación (76): lny t ln(c t + i t ) = 0 lny t ln(e lnct + e lnit ) = 0 F (y t, c t, i t ) = lny t ln(e lnct + e lnit ) = 0 (77) 24

25 Apróximando F (y t, c t, i t ) por medio de la expansión de Taylor de primer orden se tiene: F (y t, c t, i t ) F ( ) ss + F ss (lny t ln ) + F ss (lnc t lnc ss ) + F ss (lni t lni ss ) lny t lnc t lni t F (y t, c t, i t ) 0 + ()(lny t ln ) + ŷ t c ss ĉ t i ss î t c ss + i ss c ss + i ss ŷ t c ss ĉ t i ss î t e lncss e lncss + e (lnc e lniss lniss t lnc ss ) + e lncss + e (lni lniss t lni ss ) ŷ t c ss ĉ t + i ss î t (78) Finalmente para la ecuación de productividad. lna t = φlna t + ɛ t Se sabe : lna ss = 0 lna t lna ss = φlna t φlna ss + ɛ t â t = φâ t + ɛ t (79) Método de Uhilg (997): se define x t como la log-desviación de la variable x t con respecto a su valor de estado estacionario (x ss ): De lo anterior se obtiene: x t = ln(x t ) ln(x ss ) (80) x t = x ss e xt (8) Además, se sabe que para pequeñas desviaciones del estado estacionario se cumple que: era propiedad : e xt + x t (82) Esta primera propiedad se obtiene al aplicar una aproximación de Taylor de primer orden, la cual se explica a continuación. Aproximación de Taylor (er orden): aproximar la función f( x t ) alrededor de su estado estacionario x ss : f( x t ) f( x ss ) + f ( x ss )! Considerando una aproximación de er orden: ( x t x ss ) + f ( x ss ) ( x t x ss ) ! f( x t ) f( x ss ) + f ( x ss ) ( x t x ss )! 25

26 Si f( x t ) = e xt, entonces (sabiendo que x ss = 0, porque x t = x t x ss ): e xt e xss + e xss ( x t x ss ) e xt + ( x t x ss ) e xt + x t Dos propiedades adicionales son importantes: 2da propiedad : x t ŷ t 0 (83) 2da propiedad : E t ae x t+ = E t a x t+ + a (84) Aplicando estas propiedades se procede a log-linealizar el sistema descrito en el cuadro 3: Para la ecuación de Euler: c t = βe t c t+ r t+ css eĉt = βe e r t css eĉt+ rss t+ e ĉt = E t e ĉ t+ e r t+ e ĉt = E t e ĉ t++ r t+ ĉ t = E t ĉt+ + r t+ ĉ t = E t ĉt+ r t+ La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedaría: (85) k t+ = i t k ss e k t+ = i ss eît k ss ( + k t+ ) = i ss ( + î t ) k ss + k ss kt+ = i ss + i ss î t k ss kt+ = i ss î t como : k ss = i ss kt+ = î t (86) Para la oferta de trabajo: θ = w t h t c t Recordando : h t = l t θ = w t l t c t θ = wsseŵt l ss e l t c ss eĉt e l t = eŵt ĉt l t = + ŵ t ĉ t lt = ĉ t ŵ t (87) 26

27 Para terminar de obtener la oferta de trabajo en su versión log-lineal es necesario obtener la relación log-lineal entre el ocio l t y el trabajo h t : Log-linealizando esta expresión: l t = h t l t = h t l ss e l t = eĥt l ss ( + l t ) = ( + ĥt) l ss + l ss lt = ĥ t l ss lt = ĥ t lt = l ss ĥ t lt = ĥ t (88) Introduciendo (88) en (87) se obtiene la oferta de trabajo log-lineal: lt = ĉ t ŵ t Haciendo lo mismo para la función de producción: ĥ t = ĉ t ŵ t ĥ t = ŵ t ĉ t (89) y t = a t kt α h α t eŷt = a ss eât k ss e k t α hss eĥt α eŷt = a ss eât kss α e ( α) k t h α sse αĥt eŷt = eât+( α) k t+αĥt Con respecto a la demanda de capital: + ŷ t = + â t + ( α) k t + αĥt ŷ t = â t + ( α) k t + +αĥt (90) 27

28 Para la demanda de trabajo r t = ( α) r ss e rt = ( α) r ss e rt = ( α) e rt = eŷt k t ( yt ) k t ( yss eŷt ) k ss e k t ( yss eŷt k t k ss ) + r t = + ŷ t k t r t = ŷ t k t (9) En el equilibrio de mercado de bienes: w t = α y t h t w ss eŵt = α eŷt eĥt eŵt = eŷt eĥt eŵt = eŷt ĥt + ŵ t = + ŷ t ĥt ŵ t = ŷ t ĥt (92) y t = c t + i t eŷt = c ss eĉt + i ss eît ( + ŷ t ) = c ss ( + ĉ t ) + i ss ( + î t ) + ŷ t = c ss + c ss ĉ t + i ss + i ss î t ŷ t = c ss ĉ t + i ss î t Finalmente, la ecuación de la productividad: ŷ t = c ss ĉ t + i ss î t (93) lna t = φlna t + ɛ t lna ss eât = φlna ss eât + ɛ t lna ss + â t = φlna ss + φâ t + ɛ t â t = φâ t + ɛ t (94) El cuadro 6 resume las ecuaciones log-lineal del modelo obtenidas por las dos formas (método estándar o la propuesta de Uhilg): 28

29 Cuadro 6: Ecuaciones log-lineal Ecuaciones log-lineal Descripción ĉ t = E t ĉt+ r t+ Ecuación de Euler 2 kt+ = î t Ley de movimiento del capital 3 ĥ t = ŵ t ĉ t Oferta de trabajo 4 ŷ t = â t + ( α) k t + αĥt Función de producción 5 r t = ŷ t k t Demanda de capital 6 ŵ t = ŷ t ĥt Demanda de trabajo 7 ŷ t = css ĉ t + iss î t Equilibrio en el mercado de bienes 8 â t = φâ t + ɛ t Choque de productividad Nota: Para obtener directamente la solución del modelo con Dynare se puede utilizar el mod Long Plosser Dynare lineal log.mod del capítulo Solución del sistema lineal La solución del sistema lineal consiste en encontrar las funciones de políticas; es decir, las variables de control en función de las variables de estado y variables exógenas. En este modelo la variable de estado es el capital k t y la variable exógena es la productividad a t. La idea es encontrar, por ejemplo, para el consumo: ĉ t = η ck kt + η ca â t De manera similar para todas las variables endógenas: ŷ t, ĉ t, î t, k t+, ĥt, ŵ t y r t. En la literatura existe varias formas de resolver el sistema de ecuaciones en diferencias estocásticas. Dejong y Dave (2007) sugieren que al menos cuatro métodos son usuales: método de Blanchard y Kahn (983), método de Sim (200), método de Klein (2000) y el método de coeficientes indeterminados de Uhlig (999). Este capítulo se concentra en los dos más usuales: método de Blanchard y Kahn, y el método de coefientes indeterminados. Sin embargo, antes de describir y aplicar ambos métodos, se resolverá el modelo de Long y Plosser analíticamente. Esta solución analítica es factible debido a que las no linealidades desaparecen a causa de los dos supuestos del modelo: depreciación total y utilidad logarítmica. 6.. Método analítico En primer lugar se procura disminuir la dimensión del sistema de ecuaciones lineales mediante la unión de algunas ecuaciones. Empezamos con el equilibrio en el mercado de trabajo (eliminamos ŵ t ). Del cuadro 4 unimos la ecuación 3 y 6: ĥ t + ĉ t = ŷ t ĥt ĥ t = ŷ t ĉ t (95) Luego se elimina la inversión î t al reemplazar la ecuación 2 en 7: 29

30 ŷ t = c ss ĉ t + i ss î t ŷ t = c ss ĉ t + i ss kt+ (96) Introduciendo la tasa de interés real (ecuación 5) en la ecuación de Euler (ecuación ): ĉ t = E t ĉt+ r t+ ĉ t = E t ĉt+ (ŷ t+ k t+ ) ĉ t = E t ĉt+ ŷ t+ + k t+ (97) Pero de la ecuación (95) se sabe que: ĥ t = ŷ t ĉ t ĉ t ŷ t = ĥ t ĉ t+ ŷ t+ = ĥ t+ (98) Reemplazando la ecuación (98) en la ecuación de Euler (ecuación (97)): ĉ t = E t ĉt+ ŷ t+ + k t+ ĉ t = E t ĥ t+ + k t+ (99) Además, de la ecuación (96) se despeja el capital en t + : ŷ t = c ss ĉ t + i ss kt+ kt+ = i ss (ŷ t c ss ĉ t ) (00) Esta última expresión se reemplaza en la ecuación de Euler (ecuación (99)): 30

31 ĉ t = E t ĥ t+ + k t+ ĉ t = E t ĥ t+ + i ss (ŷ t c ss ĉ t ) ĉ t i ss (ŷ t c ss i ss ĉ t ) = E t ĥ t+ ĉ t (c ss + i ss ) i ss ( i ss i ss ŷ t = E t ĥ t+ ĉ t ŷ t = E t ĥ t+ i ss i ss (ĉ t ŷ t ) = E t ĥ t+ i ss h ) ss ĥ t = E t ĥ t+ ĥ t = E t ĥ t+ i ss β( α) } {{ } =φ h > ĥ t = E t ĥ t+ (0) Por un momento evaluemos la ecuación (64) sin el operador expectativa: φ h ĥ t = ĥt+ (02) Debido a que φ h es mayor a uno, entonces esta ecuación es explosiva. La única solución estable es cuando ĥt = 0. Esto implica que la solución del modelo para el trabajo es que esta variable se mantiene en su estado estacionario: como ĥt = 0, entonces, lnh t ln = 0, lo cual implica que lnh t = ln y por tanto: h t =. Por tanto, la función de política del trabajo ĥt es ĥt = 0. Dos conclusiones importantes emergen de esta última ecuación. Primero, no fue necesario utilizar el método de coeficientes indeterminados para obtener la solución de ĥt, y como veremos más adelante, de las demás variables. Esto es debido a que los dos supuestos del modelo de Long y Plosser (983), depreciación total y utilidad logarítmica, eliminan no linealidades del sistema de ecuaciones. Esto permite que el modelo pueda ser resuelto directamente. Segundo, el trabajo ĥt no depende de la variable exógena â t ni de la variable de estado k t. Esto indica que un incremento de la productividad no afecta al trabajo ni directamente ni indirectamente por medio del capital. Para encontrar la solución del resto de variables se revisa sus ecuaciones de comportamiento. En primer lugar se revisa la función de producción log-lineal: 3

32 ŷ t = â t + ( α) k t + αĥt ŷ t = â t + ( α) k t + 0 ŷ t = â t + ( α) kt }{{} η yk ŷ t = â t + η yk kt (03) De la demanda de capital se obtiene la solución para la tasa de interés real r t : De la ecuación (03) : r t = ŷ t k t r t = η yk kt + â t k t r t = (η yk ) kt + â t }{{} η rk En la demanda de trabajo se obtiene el salario real ŵ t : r t = η rk kt + â t (04) ŵ t = ŷ t ĥt De la solución : ecuación (03) y ĥt = 0 ŵ t = η yk kt + â t 0 ŵ t = η yk kt + â t (05) Al reemplazar la solución de ĥt y de ŵ t en la oferta del trabajo se encuentra la solución del consumo ĉ t : ĥ t = ŵ t ĉ t 0 = ŵ t ĉ t ĉ t = ŵ t ĉ t = η yk kt + â t (06) De la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes se obtiene la solución para la inversión: 32

33 ŷ t = c ss ĉ t + i ss î t y ( ss î t = ŷ t c ) ss yss ĉ t i ss ( î t = η yk kt + â t c ss (η yk kt + â t ) î t = (η yk kt + â t )( c ss ) i ss î t = (η yk kt + â t ) i ss i ss ) yss î t = η yk kt + â t (07) Finalmente, de ley de movimiento del capital se obtiene la solución para el capital: i ss kt+ = î t kt+ = η yk kt + â t (08) Cuadro 7: Funciones de política y de estado (solución del modelo) Funciones de política Coeficientes (elasticidades) Valores ĥ t = 0 2 ŷ t = η yk kt + â t η yk = α η yk = r t = η rk kt + â t η rk = η yk η rk = ŵ t = η yk kt + â t 5 ĉ t = η yk kt + â t 6 î t = η yk kt + â t 7 kt+ = η yk kt + â t 6.2. Método de Blanchard y Kahn El método de Blanchard y Kahn resuelve un sistema de ecuaciones en diferencias estocástica por medio de la descomposición de Jordan; es decir, trata de partir el modelo o el sistema en dos componentes. La estrategía de solución consiste en resolver el componente inestable, de la cual se halla la función de política, y luego introducir esta función de política en la representación estado-espacio inicial para encontrar la ecuación de estado. En este apartado se diferencia dos subsecciones: en la primera se explica el método en términos generales y en la segunda se aplica el método al modelo de Long y Plosser (983). Descripción del método: el métódo de Blanchard y Kahn se puede descomponer en siete pasos (ver la figura 3). El primero consiste en transformar el sistema de ecuaciones en forma de estado-espacio. La utilidad de esta representación es que las ecuaciones se 33

34 pueden escribir como un sistema en diferencia de primer orden. El segundo paso consiste en obtener una forma de estado-espacio alternativo; es decir, transladar la matriz de coeficientes asociados al vector de la izquierda de la ecuación al lado derecho. El fin de ello es obtener un sistema de la forma siguiente: Z t+ = F Z t + GU t+. El tercer paso consiste en descomponer el sistema de ecuaciones en dos partes. Para ello se utiliza la descomposición de Jordan, la cual particiona la matriz de coeficientes F en sus eigenvalores asociados. El cuarto paso es utilizar la partición de Jordan para separar el sistema de ecuaciones en un subsistema estable y en un subsistema inestable. La nomenclatura inestable se refiere a que son las ecuaciones asociadas a los iegenvalores inestables (módulo mayor a uno) de la matriz F, y el subsistema estable se refiere a las ecuaciones asociadas a los iegenvalores estables (módulo menor a uno). El quinto paso es el cambio de variable con el fin de aprovechar al máximo la descomposición de Jordan, lo cual simplifica la solución del modelo. El sexto paso consiste en resolver la ecuación inestable por medio del método de sustitución iterada. El resultado de ello es la función de política. Finalmente, el septimo paso es utilizar la función de política en el modelo estado-espacio alternativo y de allí encontrar la función de estado. Figura 2: Pasos del método de Blanchard y Kahn Paso Paso 2 Paso 3 Paso 4 Forma de estado-espacio Forma de estado-espacio alternativo Descomposició n de Jordan Partición del modelo Paso 7 Paso 6 Paso 5 Encontrando la función de estado Solución de la ecuación inestable Cambio de variable Paso : Forma estado-espacio generalizado El primer paso para resolver el sistema de ecuaciones no lineales que representan el modelo 3 es colocar dicho sistema en forma estado-espacio: Xt+ A = B E t Y t+ Xt Y t + CV t+ (09) En la representación (09), la variable V t+ puede ser choques iid con media igual a cero (E(V t ) = 0) y autocorrelación nula. Alternativamente, V t+ puede comportarse como un proceso AR(), la cual depende de choques exógenos iid. 3 Cabe mencionar que a este sistema de ecuaciones no lineales se le conoce también como modelo estructural. Esto es debido a que muestra los parámetros profundos o iniciales del modelo. El modelo reducido es aquel que se obtiene de combinar las ecuciones de este sistema inicial; en este caso, los parámetros son combinaciones de los parámetros profundos. 34